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Capitolo 5
Tassellazioni
In questo capitolo cercheremo di rispondere alla domanda:
É possibile tassellare con regolarità la sfera, cioè ricoprirla con
poligoni regolari tutti uguali, accostati lato contro lato, senza
creare buchi o sovrapposizioni?
Innanzitutto possiamo osservare che la
sfera si può ricoprire con biangoli tutti
uguali, aventi come angolo un divisore di
360◦ . Questa soluzione è ovviamente la
risposta più semplice ed immediata.
5.1
Ottaedro sferico
Certamente è possibile ricoprire la sfera con triangoli trirettangoli: quando si parlava di aree avevamo infatti osservato che otto di essi ricoprono
completamente la sfera.
Ma l’ottaedro sferico lo possiamo ottere anche proiettando l’ottaedro
euclideo, dal suo centro sulla sfera circoscritta.
5.1 Ottaedro sferico
26
C
A
B
Riconsideriamo il triangolo trirettangolo
costruito e studiato nei capitoli precedenti, con l’accortezza di prolungare le “rette”
su cui giacciono i lati del triangolo stesso
A’
B
C’
C
Come osservato precedentemente, abbiamo un triangolo trirettangolo ABC ed il
suo antipodale A′ B ′ C ′ . Inoltre tutte le
“rette” si incontrano formando angoli retti
B’
A
C
A
B
Possiamo pertanto considerare il triangolo trirettangolo adiacente ad un lato, ad
esempio AB, di quello precedentemente
costruito
C
B’
A
Ovviamente anche questo triangolo è
trirettangolo e “doppio” in quanto in questa geometria abbiamo sempre la copia
antipodale di quello che costruiamo
5.1 Ottaedro sferico
27
C
B’
A
Possiamo quindi considerare ed evidenziare il triangolo trirettangolo adiacente al
lato AC del triangolo ABC iniziale
B’
A’
Consideriamo quindi il triangolo trirettangolo adiacente al lato BC
C
B’
A’
Siamo quindi riusciti a coprire l’intera superficie sferica con quattro coppie di triangoli trirettangoli, ossia poligoni sferici
regolari
C
C
A
B
Gli otto triangoli trirettangoli formano
sulla sfera una speciale figura, detto “ottaedro sferico”, e questo non rappresenta
altro che il corrispettivo sulla sfera dell’ottaedro che conosciamo in geometria euclidea e che si studia nelle scuole medie
inferiori.
5.2 Cubo sferico
5.2
28
Cubo sferico
É possibile ricoprire la sfera con quadrati sferici tutti uguali, accostati lato
contro lato?
Per rispondere a questa domanda facciamo innanzitutto una prima osservazione: l’angolo che i quadrati sferici devono coprire in un vertice comune
è ovviamente un angolo di 360◦ , quindi ogni quadrato sferico deve avere un
divisore di 360 come misura in gradi degli angoli interni. Ma sappiamo che
il valore dell’angolo di un quadrato deve superare i 90◦ . Infatti, se tagliamo
un quadrato sferico con una diagonale, otteniamo due triangoli sferici congruenti, la cui somma degli angoli interni supera 180◦ . Quindi la somma
degli angoli interni congruenti del quadrato sferico supera i 360◦ . Ci sono
quindi due possibilità:
• in un vertice s’incontrano tre quadrati sferici con angoli di 120◦
• in un vertice s’incontrano due quadrati sferici con angoli di 180◦
Considerando queste due possibilità: sono entrambe accettabili?
La seconda possibilità è accettabile ma poco interessante, in quanto i
due quadrati con angoli di 180◦ sono nient’altro che due semisfere opposte!
Rimane quindi interessante per il nostro studio il primo caso e vediamo
come fare per costruire la tassellazione (sfruttando il fatto che nello spazio
ordinario il cubo è il duale dell’ottaedro...):
C
A
Partiamo dal considerare il triangolo trirettangolo ABC costruito sulla
superficie sferica
B
C
A
B
Tracciamo dal vertice C la mediana del
lato opposto AB
5.2 Cubo sferico
29
C
A
B
Eseguiamo lo stesso procedimento dal
vertice A sul lato BC
C
A
B
Facciamo la stessa cosa dal vertice B
sul lato AC.
L’intersezione delle tre
rette appena trovate non sarà altro che il
baricentro del triangolo sferico
C
A
B
Eseguiamo lo stesso procedimento su ogni
triangolo sferico e troviamo quindi quattro coppie di baricentri (ricordando la
tassellazione dell’ottaedro sferico)
C
A
B
Osservando la configurazione appena creata da un altro punto di vista otteniamo
una speciale struttura
5.2 Cubo sferico
30
C
A
B
Riusciamo quindi ad individuare un primo quadrato sferico (e quindi il suo
antipodale)
Costruiamo un altro quadrato sferico con
lato adiacente al precedente: osserviamo
che unisce il quadrato sferico precedente
con l’antipodale precedente
Osservando la tassellazione che stiamo
costruendo vediamo che manca un solo
quadrato per completare la superficie
Coloriamo l’ultimo quadrato ed otteniamo una tassellazione nuova costituita da
poligoni regolari (quadrati sferici congruenti in quanto tutti hanno due lati
adiacenti)
5.3 Altre tassellazioni
D
C
A
B
31
Abbiamo quindi costruito il “cubo sferico”: la tassellazione è costituita da tre
coppie di quadrati antipodali
Pertanto la tassellazione avrà le sei facce
regolari e regolarmente disposte come nel
cubo che conosciamo bene dalla geometria
euclidea
5.3
Altre tassellazioni
Possiamo presentare ora la costruzione molto sintetica di altre due tassellazioni: queste tassellazioni non vengono però illustrate con animazioni e
disegni in quanto per la costruzione deve venire meno l’idea di “antipodalità” della geometria sferica. Le costruzioni imitano analoghe costruzioni
euclidee.
5.3.1
Tetraedro Sferico
• scegliere uno dei vertici del cubo sferico appena costruito e fissare
l’attenzione sulle tre facce quadrate che hanno tale vertice in comune;
• di ognuna delle tre facce con il vertice in comune tracciare la diagonale
che parte dal vertice considerato e arriva in un vertice opposto del cubo
(notiamo che stiamo ripassando sopra le mediane precedentemente
tracciate);
• facciamo altrettanto a partire da ciascuno di questi tre vertici opposti,
in modo che alla fine della costruzione siano stati utilizzati esattamente
quattro vertici del cubo da ognuno dei quali si staccano tre diagonali,
mentre nessuna diagonale arriva nei rimanenti quattro vertici;
5.3 Altre tassellazioni
32
• otteniamo quindi un’altra tassellazione regolare della sfera fatta da
quattro triangoli equilateri con angoli di 120◦ . Questo è un poliedro
sferico regolare con quattro facce detto “tetraedro sferico”.
5.3.2
Il pallone da calcio
Questa particolare tassellazione della sfera è costituita da esagoni e pentagoni: differisce quindi dalle precedenti in quanto i poligoni che ricoprono la
superficie, invece di essere tutti uguali tra loro, sono di due tipi diversi.
Schematizziamo sinteticamente come ottenere questa particolare tassellazione:
• visualizziamo l’icosaedro euclideo (un poliedro regolare con 20 facce
triangolari)
• suddividiamo i suoi lati in tre parti uguali
• tagliamo le punte dei triangoli ottenendo cosı̀ un poliedro fatto di facce
esagonali e pentagonali
• gonfiamo il poliedro fino a farlo diventare sferico.
Possiamo quindi con un semplice conto combinatorio calcolare quanti
sono i vertici e i lati di questa particolare suddivisione della sfera in pentagoni P ed esagoni E. Si possono ad esempio contare i pentagoni: sono 12.
Ogni P è circondato da 5 E ed ogni E confina con 3 P diversi (e con 3 E
diversi), dunque 5 · 12/3 = 20 è il numero degli E. Ora, ogni P ha 5 lati (e
rispettivamente 5 vertici) ed ogni E ha 6 lati (e rispettivamente 6 vertici);
osservando che ogni lato è comune a 2 poligoni (e che ogni vertice è comune
a 3) si ottiene che il numero totale dei lati è (5 · 12 + 6 · 20)/2 = 90 e quello
dei vertici è (5 · 12 + 6 · 20)/3 = 60.