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Capitolo 5 Tassellazioni In questo capitolo cercheremo di rispondere alla domanda: É possibile tassellare con regolarità la sfera, cioè ricoprirla con poligoni regolari tutti uguali, accostati lato contro lato, senza creare buchi o sovrapposizioni? Innanzitutto possiamo osservare che la sfera si può ricoprire con biangoli tutti uguali, aventi come angolo un divisore di 360◦ . Questa soluzione è ovviamente la risposta più semplice ed immediata. 5.1 Ottaedro sferico Certamente è possibile ricoprire la sfera con triangoli trirettangoli: quando si parlava di aree avevamo infatti osservato che otto di essi ricoprono completamente la sfera. Ma l’ottaedro sferico lo possiamo ottere anche proiettando l’ottaedro euclideo, dal suo centro sulla sfera circoscritta. 5.1 Ottaedro sferico 26 C A B Riconsideriamo il triangolo trirettangolo costruito e studiato nei capitoli precedenti, con l’accortezza di prolungare le “rette” su cui giacciono i lati del triangolo stesso A’ B C’ C Come osservato precedentemente, abbiamo un triangolo trirettangolo ABC ed il suo antipodale A′ B ′ C ′ . Inoltre tutte le “rette” si incontrano formando angoli retti B’ A C A B Possiamo pertanto considerare il triangolo trirettangolo adiacente ad un lato, ad esempio AB, di quello precedentemente costruito C B’ A Ovviamente anche questo triangolo è trirettangolo e “doppio” in quanto in questa geometria abbiamo sempre la copia antipodale di quello che costruiamo 5.1 Ottaedro sferico 27 C B’ A Possiamo quindi considerare ed evidenziare il triangolo trirettangolo adiacente al lato AC del triangolo ABC iniziale B’ A’ Consideriamo quindi il triangolo trirettangolo adiacente al lato BC C B’ A’ Siamo quindi riusciti a coprire l’intera superficie sferica con quattro coppie di triangoli trirettangoli, ossia poligoni sferici regolari C C A B Gli otto triangoli trirettangoli formano sulla sfera una speciale figura, detto “ottaedro sferico”, e questo non rappresenta altro che il corrispettivo sulla sfera dell’ottaedro che conosciamo in geometria euclidea e che si studia nelle scuole medie inferiori. 5.2 Cubo sferico 5.2 28 Cubo sferico É possibile ricoprire la sfera con quadrati sferici tutti uguali, accostati lato contro lato? Per rispondere a questa domanda facciamo innanzitutto una prima osservazione: l’angolo che i quadrati sferici devono coprire in un vertice comune è ovviamente un angolo di 360◦ , quindi ogni quadrato sferico deve avere un divisore di 360 come misura in gradi degli angoli interni. Ma sappiamo che il valore dell’angolo di un quadrato deve superare i 90◦ . Infatti, se tagliamo un quadrato sferico con una diagonale, otteniamo due triangoli sferici congruenti, la cui somma degli angoli interni supera 180◦ . Quindi la somma degli angoli interni congruenti del quadrato sferico supera i 360◦ . Ci sono quindi due possibilità: • in un vertice s’incontrano tre quadrati sferici con angoli di 120◦ • in un vertice s’incontrano due quadrati sferici con angoli di 180◦ Considerando queste due possibilità: sono entrambe accettabili? La seconda possibilità è accettabile ma poco interessante, in quanto i due quadrati con angoli di 180◦ sono nient’altro che due semisfere opposte! Rimane quindi interessante per il nostro studio il primo caso e vediamo come fare per costruire la tassellazione (sfruttando il fatto che nello spazio ordinario il cubo è il duale dell’ottaedro...): C A Partiamo dal considerare il triangolo trirettangolo ABC costruito sulla superficie sferica B C A B Tracciamo dal vertice C la mediana del lato opposto AB 5.2 Cubo sferico 29 C A B Eseguiamo lo stesso procedimento dal vertice A sul lato BC C A B Facciamo la stessa cosa dal vertice B sul lato AC. L’intersezione delle tre rette appena trovate non sarà altro che il baricentro del triangolo sferico C A B Eseguiamo lo stesso procedimento su ogni triangolo sferico e troviamo quindi quattro coppie di baricentri (ricordando la tassellazione dell’ottaedro sferico) C A B Osservando la configurazione appena creata da un altro punto di vista otteniamo una speciale struttura 5.2 Cubo sferico 30 C A B Riusciamo quindi ad individuare un primo quadrato sferico (e quindi il suo antipodale) Costruiamo un altro quadrato sferico con lato adiacente al precedente: osserviamo che unisce il quadrato sferico precedente con l’antipodale precedente Osservando la tassellazione che stiamo costruendo vediamo che manca un solo quadrato per completare la superficie Coloriamo l’ultimo quadrato ed otteniamo una tassellazione nuova costituita da poligoni regolari (quadrati sferici congruenti in quanto tutti hanno due lati adiacenti) 5.3 Altre tassellazioni D C A B 31 Abbiamo quindi costruito il “cubo sferico”: la tassellazione è costituita da tre coppie di quadrati antipodali Pertanto la tassellazione avrà le sei facce regolari e regolarmente disposte come nel cubo che conosciamo bene dalla geometria euclidea 5.3 Altre tassellazioni Possiamo presentare ora la costruzione molto sintetica di altre due tassellazioni: queste tassellazioni non vengono però illustrate con animazioni e disegni in quanto per la costruzione deve venire meno l’idea di “antipodalità” della geometria sferica. Le costruzioni imitano analoghe costruzioni euclidee. 5.3.1 Tetraedro Sferico • scegliere uno dei vertici del cubo sferico appena costruito e fissare l’attenzione sulle tre facce quadrate che hanno tale vertice in comune; • di ognuna delle tre facce con il vertice in comune tracciare la diagonale che parte dal vertice considerato e arriva in un vertice opposto del cubo (notiamo che stiamo ripassando sopra le mediane precedentemente tracciate); • facciamo altrettanto a partire da ciascuno di questi tre vertici opposti, in modo che alla fine della costruzione siano stati utilizzati esattamente quattro vertici del cubo da ognuno dei quali si staccano tre diagonali, mentre nessuna diagonale arriva nei rimanenti quattro vertici; 5.3 Altre tassellazioni 32 • otteniamo quindi un’altra tassellazione regolare della sfera fatta da quattro triangoli equilateri con angoli di 120◦ . Questo è un poliedro sferico regolare con quattro facce detto “tetraedro sferico”. 5.3.2 Il pallone da calcio Questa particolare tassellazione della sfera è costituita da esagoni e pentagoni: differisce quindi dalle precedenti in quanto i poligoni che ricoprono la superficie, invece di essere tutti uguali tra loro, sono di due tipi diversi. Schematizziamo sinteticamente come ottenere questa particolare tassellazione: • visualizziamo l’icosaedro euclideo (un poliedro regolare con 20 facce triangolari) • suddividiamo i suoi lati in tre parti uguali • tagliamo le punte dei triangoli ottenendo cosı̀ un poliedro fatto di facce esagonali e pentagonali • gonfiamo il poliedro fino a farlo diventare sferico. Possiamo quindi con un semplice conto combinatorio calcolare quanti sono i vertici e i lati di questa particolare suddivisione della sfera in pentagoni P ed esagoni E. Si possono ad esempio contare i pentagoni: sono 12. Ogni P è circondato da 5 E ed ogni E confina con 3 P diversi (e con 3 E diversi), dunque 5 · 12/3 = 20 è il numero degli E. Ora, ogni P ha 5 lati (e rispettivamente 5 vertici) ed ogni E ha 6 lati (e rispettivamente 6 vertici); osservando che ogni lato è comune a 2 poligoni (e che ogni vertice è comune a 3) si ottiene che il numero totale dei lati è (5 · 12 + 6 · 20)/2 = 90 e quello dei vertici è (5 · 12 + 6 · 20)/3 = 60.
