Una nuova geometria:
Un viaggio virtuale
sulla superficie sferica
Poligoni sferici
Poligoni sferici
Un poligono sferico
Pn di n lati è una
figura geometrica
sulla sfera
delimitata da n archi
consecutivi di
cerchio massimo, gli
estremi dei quali
sono gli n vertici del
poligono.
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Poligoni sferici
Consideriamo solo
poligoni i cui lati non
superino metà
circonferenza
massima ed i cui
angoli non misurino
più di 180°: Pn è
contenuto così in una
semisfera. Il poligono
è regolare quando
tutti i suoi lati e tutti i
suoi angoli sono
uguali.
Poligoni sferici
È possibile creare
un poligono sferico
con soli due lati?
Il poligono sferico più
semplice sulla sfera è
il biangolo (chiamato
anche luna o spicchio
sferico). I suoi vertici
sono due punti
antipodali, i suoi lati
sono due mezze
circonferenze
massime.
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Poligoni sferici
L’area di un “biangolo
unitario”, il cui angolo
al vertice misura 1°, è
data dalla frazione
1/360 dell’area della
sfera S (servono 360 di
queste figure per ricoprire
esattamente S). L’area
di una luna L di
angolo (misurato
in gradi) sarà dunque:
Area( L ) ( / 360) Area( S )
Poligoni sferici
Se l’angolo misura
60°, l’area della luna
è 1/6 dell’area della
sfera (area della sfera di
raggio R è 4 R2). Infatti,
con sei di tali figure si
ricopre S! L’area di
questa particolare
luna sarà:
Area( L60 )
Area( S )
6
4 R2
6
2 2
R
3
3
Poligoni sferici
Ogni poligono sferico
Pn è l’intersezione di n
lune, una per ogni
vertice del poligono.
In realtà ne possono
bastare anche meno!
Intersecando due lune
aventi bisettrici
perpendicolari che si
tagliano a metà, si ottiene un
quadrilatero equiangolo con
lati opposti uguali: una sorta
di “rettangolo sferico”, ma
con angoli maggiori di 90°!
Poligoni sferici
In particolare, si
possono ottenere
in tal modo i
“quadrati sferici”
(quadrilateri
equilateri ed
equiangoli, con
misura degli
angoli compresa
fra 90°e 180°).
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Poligoni sferici
L’area di un triangolo sferico si calcola suddividendo
la sfera in biangoli e contando le sovrapposizioni.
Per trovare l’area di un poligono sferico Pn basta
allora suddividerlo in triangoli; si arriva così alla
seguente formula:
Area( Pn )
(
... (n 2) 180) Area( S )
720
dove , , eccetera sono le misure in gradi degli
angoli del poligono.
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