Una nuova geometria:
Un viaggio virtuale
sulla superficie sferica
Biangolo e Ottaedro sferico
Tassellazioni
E’ possibile tassellare con regolarità la sfera,
cioè ricoprirla con poligoni regolari tutti uguali,
accostati lato contro lato, senza creare buchi o
sovrapposizioni?
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Biangolo
Osserviamo che la
sfera si può ricoprire
con biangoli tutti
uguali, aventi come
angolo un divisore di
360°. Questa
soluzione è
ovviamente la
risposta più semplice
ed immediata:
nell’esempio a fianco
biangoli di 60°!
L’Ottaedro sferico
PROBLEMA:
È possibile
ricoprire la
superficie sferica
con triangoli
regolari
congruenti?
L’idea può partire dal
considerare i solidi
platonici…e cercare di
“costruire” proprio tali solidi
su S!
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L’Ottaedro sferico
Riconsideriamo il
triangolo
trirettangolo ABC
costruito e studiato,
con l’accortezza di
prolungare le rette
che formano i lati
del triangolo
stesso.
L’Ottaedro sferico
Abbiamo quindi la
costruzione del
triangolo A’B’C’
antipodale. Con la
costruzione
eseguita per
ottenere il triangolo
ho che le rette si
incontrano
formando quattro
angoli di
esattamente 90°.
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L’Ottaedro sferico
Possiamo pertanto
considerare il
triangolo
trirettangolo
adiacente ad un
lato, ad
esempio AB, di
quello
precedentemente
considerato…
L’Ottaedro sferico
Ovviamente anche
questo triangolo è
trirettangolo e
“doppio” in quanto
in questa
geometria
abbiamo sempre
la “copia
antipodale” di
quello che
costruiamo!
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L’Ottaedro sferico
Possiamo quindi
considerare ed
evidenziare
il triangolo
trirettangolo
adiacente al lato
AC.
L’Ottaedro sferico
Consideriamo
quindi il triangolo
trirettangolo
adiacente al lato
BC…
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L’Ottaedro sferico
Siamo quindi
riusciti a coprire
l’intera superficie
sferica con quattro
coppie di triangoli
trirettangoli, ossia
poligoni sferici
regolari!
L’Ottaedro sferico
Gli otto triangoli
trirettangoli formano
sulla sfera un
speciale ottaedro,
detto “ottaedro
sferico”: questo
rappresenta il
corrispettivo sulla
sfera dell’ottaedro
che conosciamo
dalla geometria
euclidea!
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