La trigonometria sferica nell’opera di Copernico
La trigonometria, secondo l’origine greca della parola, indica
letteralmente la scienza delle misure dei triangoli. Un triangolo è la
figura ottenuta tracciando i segmenti che congiungono tre punti del
piano non allineati. Un triangolo sferico è la figura che appare
proiettando un triangolo, dal centro di una sfera, sulla superficie della
sfera stessa. I suoi lati sono archi di cerchi massimi.
Ogni triangolo tracciato sulla superficie terrestre, ad esempio per
compiere misurazioni cartografiche o calcoli sulle distanze di stelle e
pianeti, è, in realtà, un triangolo sferico. Da qui l’importanza della
trigonometria sferica in astronomia. Il fisico polacco Copernico vi
dedica parte della sua opera principale, il trattato De revolutionibus
orbium coelestium.
A
B
C
Nel triangolo sferico la misura dell’angolo in A è per definizione la
misura dell’angolo formato dalle tangenti in A agli archi AB e AC.
Molte delle proprietà dei triangoli piani – presentate da Euclide negli
Elementi - valgono anche per i triangoli sferici: ad esempio, sono
uguali i criteri di similitudine e di congruenza (Libro I, 8) è analoga la
nozione di triangolo isoscele (Libro I, 9). Esiste però una sostanziale
differenza rispetto al caso piano: la somma degli angoli interni di
un triangolo sferico è sempre maggiore di 180°, e minore o uguale
a 270°. Ad esempio, il triangolo avente per vertici uno dei Poli e due
punti antipodali dell’Equatore possiede tre angoli retti. Ricordiamo
che assumere l’assioma delle parallele, uno dei cinque postulati
della geometria euclidea, equivale a richiedere che la somma degli
angoli interni di un triangolo sia sempre uguale a 180°.
La
geometria sferica
è dunque una particolare geometria non
euclidea. In essa le rette sono i cerchi massimi della sfera, i loro archi
sono i segmenti (come, ad esempio, i lati dei triangoli). È chiaro che
due qualunque rette della geometria sferica si intersecano in due
punti: non esistono, pertanto, rette parallele. L’assioma delle parallele
viene dunque sostituito dall’enunciato: Per un punto esterno ad una
retta data non passa alcuna parallela. Inoltre non vale più il primo
postulato di Euclide.
Gli studi sulla trigonometria sferica saranno ripresi, due secoli dopo,
da Eulero. Il primo trattato di trigonometria sferica della storia risale
al secolo I a.C., ed è dovuto a Menelao.
