Statistica (Lez2A-18 marzo 2013) Docente: Massimo Cristallo

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI BASILICATA
FACOLTA’ DI ECONOMIA
Corso di laurea in Economia Aziendale
Statistica
(Lez2A-18 marzo 2013)
Docente: Massimo Cristallo
MEDIA QUADRATICA
E’ una media analitica, perché tiene conto di tutti i valori
E’ utilizzata soprattutto nel caso di valori sia positivi che
negativi, quando è necessario calcolare una media che
prescinda dal segno
Presenta generalmente poche ma specifiche e importanti
applicazioni
MEDIA QUADRATICA semplice
E’ottenuta estraendo la radice quadrata alla media aritmetica
dei quadrati delle modalità di un carattere quantitativo:
N
M q=
x12 + x22 + ... + x N2
=
N
∑ xi
2
i=1
N
MEDIA QUADRATICA ponderata
E’ottenuta come nel caso semplice, ma tenendo conto del
numero di volte con cui si presenta ciascuna modalità:
s
Mq=
x12.n1 + x22.n2 +...+ xs2.ns
N
=
2
x
∑ i .ni
i=1
N
MEDIA DI POTENZE DI ORDINE t (semplice)
Tutte le medie analitiche semplici analizzate sinora sono
riconducibili alla media (semplice) di potenze di ordine t:
N
Mt=
t
x + x + ... + x N
t
1
t
2
t
N
=
∑ xi
t i=1
CASI PARTICOLARI
A) Media armonica semplice (t = -1)
B) Media geometrica semplice (per t che tende a 0)
C) Media aritmetica semplice (t = 1)
D) Media quadratica semplice (t = 2)
t
N
MEDIA DI POTENZE DI ORDINE t (ponderata)
Tutte le medie analitiche ponderate analizzate sinora sono
riconducibili alla media (ponderata) di potenze di ordine t:
s
t
t
t
x
.
n
+
x
.
n
+
...
+
x
t
1 1
2 2
s . ns
t
Mt =
=
N
∑ xi . ni
i=1
CASI PARTICOLARI
A) Media armonica ponderata (t = -1)
B) Media geometrica ponderata (per t che tende a 0)
C) Media aritmetica ponderata (t = 1)
D) Media quadratica ponderata (t = 2)
t
N
RELAZIONE TRA LE MEDIE
A parità di dati, la media di potenze assume valori crescenti man mano
che aumenta il valore di t
Questa è la ragione per cui, a parità di dati, la media armonica non supera quella geometrica,
questa non supera quella aritmetica, che, a sua volta, non supera quella quadratica, ecc.
In ogni caso, qualunque media è sempre compresa tra il più piccolo ed
il grande valore che può assumere la modalità di un certo carattere
quantitativo (condizione di Cauchy)
CASO PARTICOLARE: se il carattere assume valori tutti uguali, allora tutti i valori
medi analizzati assumeranno lo stesso valore.
MEDIE LASCHE
Sono quei valori medi che si basano solo su alcuni valori della
distribuzione
Solitamente richiedono un ordinamento dei valori osservati
PRINCIPALI TIPI DI medie lasche:
• VALORE CENTRALE
• MEDIANA
• QUARTILI
• MODA
VALORE CENTRALE
E’ semplice da calcolare
Si ottiene dalla semisomma dei valori estremi.
Richiede che i valori osservati vengano preventivamente ordinati
CALCOLO VALORE CENTRALE
E’ottenuto come semisomma dei valori estremi:
V.C. =
X(1) + X( N )
2
ove x(1) e x( N ) rappresentanoilpiù piccolo
ed il piùgrandedei valoriosservati
MEDIANA
E’ una media di posizione
Non è perturbata dai dati anomali, in quanto non è influenzata
dai valori eccezionalmente bassi o elevati
Richiede che i valori osservati vengano preventivamente
ordinati
MEDIANA (serie di dati)
• Valore che bipartisce la graduatoria dei valori osservati, nel
senso che lascia un uguale numero di termini da una parte e
dall’altra;
• E’ individuata nel seguente modo:
M e = X  N +1 
se N è dispari


 2 
X N  + X N
Me =

 +1
2 
 
2
2
se N è pari
PROPRIETA’ DELLA MEDIANA
Su un’autostrada ci sono 5 distributori di benzina ubicati ai chilometri 9, 44, 65, 75, 89
DOMANDA = A che chilometro occorre costruire un deposito da cui far partire un
autobotte che rifornisca i distributori, in modo che sia minima la distanza percorsa?
RISPOSTA = Il deposito deve essere costruito al Km 65 (valore mediano)
PROPRIETA’= la somma dei valori assoluti degli scarti delle modalità rilevate rispetto
alla mediana è un valore minimo, cioè prendendo un qualunque altro valore, diverso
dalla mediana, si ottiene un valore maggiore
MEDIANA (distribuzione di frequenze)
E’ sempre quel valore che bipartisce la graduatoria dei valori
osservati, nel senso che lascia un uguale numero di termini
da una parte e dall’altra, ma la sua determinazione richiede
il calcolo delle frequenze cumulate Ni:
xi+1 − xi
Me = xi +
( N 2 − Ni−1 )
ni