UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI BASILICATA FACOLTA’ DI ECONOMIA Corso di laurea in Economia Aziendale Statistica (Lez2A-18 marzo 2013) Docente: Massimo Cristallo MEDIA QUADRATICA E’ una media analitica, perché tiene conto di tutti i valori E’ utilizzata soprattutto nel caso di valori sia positivi che negativi, quando è necessario calcolare una media che prescinda dal segno Presenta generalmente poche ma specifiche e importanti applicazioni MEDIA QUADRATICA semplice E’ottenuta estraendo la radice quadrata alla media aritmetica dei quadrati delle modalità di un carattere quantitativo: N M q= x12 + x22 + ... + x N2 = N ∑ xi 2 i=1 N MEDIA QUADRATICA ponderata E’ottenuta come nel caso semplice, ma tenendo conto del numero di volte con cui si presenta ciascuna modalità: s Mq= x12.n1 + x22.n2 +...+ xs2.ns N = 2 x ∑ i .ni i=1 N MEDIA DI POTENZE DI ORDINE t (semplice) Tutte le medie analitiche semplici analizzate sinora sono riconducibili alla media (semplice) di potenze di ordine t: N Mt= t x + x + ... + x N t 1 t 2 t N = ∑ xi t i=1 CASI PARTICOLARI A) Media armonica semplice (t = -1) B) Media geometrica semplice (per t che tende a 0) C) Media aritmetica semplice (t = 1) D) Media quadratica semplice (t = 2) t N MEDIA DI POTENZE DI ORDINE t (ponderata) Tutte le medie analitiche ponderate analizzate sinora sono riconducibili alla media (ponderata) di potenze di ordine t: s t t t x . n + x . n + ... + x t 1 1 2 2 s . ns t Mt = = N ∑ xi . ni i=1 CASI PARTICOLARI A) Media armonica ponderata (t = -1) B) Media geometrica ponderata (per t che tende a 0) C) Media aritmetica ponderata (t = 1) D) Media quadratica ponderata (t = 2) t N RELAZIONE TRA LE MEDIE A parità di dati, la media di potenze assume valori crescenti man mano che aumenta il valore di t Questa è la ragione per cui, a parità di dati, la media armonica non supera quella geometrica, questa non supera quella aritmetica, che, a sua volta, non supera quella quadratica, ecc. In ogni caso, qualunque media è sempre compresa tra il più piccolo ed il grande valore che può assumere la modalità di un certo carattere quantitativo (condizione di Cauchy) CASO PARTICOLARE: se il carattere assume valori tutti uguali, allora tutti i valori medi analizzati assumeranno lo stesso valore. MEDIE LASCHE Sono quei valori medi che si basano solo su alcuni valori della distribuzione Solitamente richiedono un ordinamento dei valori osservati PRINCIPALI TIPI DI medie lasche: • VALORE CENTRALE • MEDIANA • QUARTILI • MODA VALORE CENTRALE E’ semplice da calcolare Si ottiene dalla semisomma dei valori estremi. Richiede che i valori osservati vengano preventivamente ordinati CALCOLO VALORE CENTRALE E’ottenuto come semisomma dei valori estremi: V.C. = X(1) + X( N ) 2 ove x(1) e x( N ) rappresentanoilpiù piccolo ed il piùgrandedei valoriosservati MEDIANA E’ una media di posizione Non è perturbata dai dati anomali, in quanto non è influenzata dai valori eccezionalmente bassi o elevati Richiede che i valori osservati vengano preventivamente ordinati MEDIANA (serie di dati) • Valore che bipartisce la graduatoria dei valori osservati, nel senso che lascia un uguale numero di termini da una parte e dall’altra; • E’ individuata nel seguente modo: M e = X N +1 se N è dispari 2 X N + X N Me = +1 2 2 2 se N è pari PROPRIETA’ DELLA MEDIANA Su un’autostrada ci sono 5 distributori di benzina ubicati ai chilometri 9, 44, 65, 75, 89 DOMANDA = A che chilometro occorre costruire un deposito da cui far partire un autobotte che rifornisca i distributori, in modo che sia minima la distanza percorsa? RISPOSTA = Il deposito deve essere costruito al Km 65 (valore mediano) PROPRIETA’= la somma dei valori assoluti degli scarti delle modalità rilevate rispetto alla mediana è un valore minimo, cioè prendendo un qualunque altro valore, diverso dalla mediana, si ottiene un valore maggiore MEDIANA (distribuzione di frequenze) E’ sempre quel valore che bipartisce la graduatoria dei valori osservati, nel senso che lascia un uguale numero di termini da una parte e dall’altra, ma la sua determinazione richiede il calcolo delle frequenze cumulate Ni: xi+1 − xi Me = xi + ( N 2 − Ni−1 ) ni