Dal cubo alla stella octangula

Fusani Egidia (associazione Matematica in Gioco)
Dal cubo alla stella octangula
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Ricordi le caratteristiche del tetraedro regolare? Facce, spigoli, vertici ….......
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Potresti inserire un tetraedro regolare in un cubo, in modo che i vertici del tetraedro coincidano con
alcuni dei vertici del cubo?
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Quale potrebbe essere lo spigolo del tetraedro?
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Prova a considerare due diagonali sghembe di facce opposte e completa con le altre diagonali che
collegano i quattro vertici.
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Costruisci lo scheletro del tetraedro con cannucce ed inseriscilo nel cubo trasparente di plexigas.
In alternativa potrai visualizzare il tetraedro cercando di avvolgere un filo di lana intorno ai vertici
di un cubo costruito con cannucce.
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Ti accorgerai che al tetraedro per completare il cubo mancano quattro solidi congruenti. Descrivili.
Sapresti costruirne lo sviluppo piano? Qual è il rapporto tra uno dei quattro solidi angolari e il cubo?
In che rapporto sta il volume del tetraedro con il volume del cubo?
La base del tetraedro è un triangolo rettangolo isoscele, mezza faccia del cubo e l'altezza è uguale a
quella del cubo, quindi Vt =1/3 di 1/2Vc =1/6 Vc.
Il volume complessivo dei quattro solidi angolari sarà 4/6 Vc = 2/3 Vc e,per differenza, il volume
del tetraedro regolare sarà
Vtr = Vc – 2/3 Vc =1/3Vc
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Se appoggio un tetraedro angolare sulla base triangolo equilatero quanto misura la sua altezza?
(formula inversa del volume).
E' interessante scoprire che è 1/3 della diagonale del cubo. Quando esamineremo la stella
ottangula potremo osservare le facce parallele dei due tetraedri che la formano e capire che
distano fra loro esattamente 1/3 della diagonale, quindi la loro altezza è 2/3 della diagonale del
cubo e doppia dell'altezza del 'tetraedrino-punta'. Gli otto tetraedrini sono simili con rapporto 1/2
ai grandi tetraedri.
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Visto che il tetraedro ha i vertici su 4 vertici del cubo, negli altri 4 liberi potremo inserire un altro
tetraedro? Prova con le cannucce.
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Che cosa puoi dire della posizione di questi due tetraedri?
I due tetraedri sono simmetrici l'uno rispetto all'altro; i piani di simmetria sono i tre piani mediani
del cubo e i sei piani diagonali.
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Si potrebbe con un movimento rigido portare un tetraedro sull'altro? C'è più di un modo?
Ciascun tetraedro può andare sull'altro con una rotazione di 90° attorno a ciascuna delle rette
perpendicolari a due facce parallele del cubo, passanti per il centro delle facce quadrate.
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Nel modellino finora usato sono evidenziati solo gli spigoli, cerca di visualizzare anche le facce
triangolari, riesci a immaginare il solido formato dalla composizione dei due tetraedri intersecati?
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Puoi osservare meglio questo solido a “otto punte”costruito con il cartoncino e ritrovare il cubo in
cui è inserito, ponendo delle cannucce sui suoi vertici, appoggiate con il Patafix.
Analizziamo meglio questo poliedro non convesso: ciascuna delle 8 punte è ….................................,
se la misura dello spigolo del cubo in cui è inserito è …... , la misura dello spigolo delle punte sarà
…...... , il solido intersezione tra i due tetraedri è un …............... (appoggia delle cannucce sugli
spigoli in comune alle facce dei tetraedri per visualizzarlo). Puoi vedere meglio questo solido
costruendo un tetraedro regolare con cannucce e unendo con un filo elastico i sei punti medi degli
spigoli.
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Questo bellissimo solido si chiama stella octangula, si può ottenere da un cubo, come abbiamo
visto, ma si potrebbe ottenere anche in un altro modo, riesci ad immaginare come?
(Dalla “stellazione” dell'ottaedro, stellando cioè le sue facce con piramidi regolari triangolari)
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Quali solidi dovrei aggiungere alla stella octangula per ottenere un cubo completo?
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Descrivi le facce di questi solidi.
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Proviamo a disegnare gli sviluppi piani dell'ottaedro centrale, dei tetraedri-punte e dei tetraedri non
regolari che completano.
E' interessante vedere che accostando opportunamente quattro di questi ultimi tetraedri si può
formare un ottaedro uguale a quello centrale e che dividendo uno qualunque di essi con un piano di
simmetria ottieni due tetraedri simili agli angolari.
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Ricomponiamo un cubo con tutti i poliedri costruiti.
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Riesci a stabilire il rapporto tra il volume dell'ottaedro e quello del cubo? Per aiutarti disponi
l'ottaedro all'interno del cubo trasparente, con i vertici al centro delle facce del cubo. Noterai che lo
si può considerare formato da due piramidi con la base in comune equivalente alla metà della …...
Vottaedro : Vcubo = 1/6
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Quale sarà il rapporto tra il volume della stella octangula e quello del cubo?
Vstella octangula : Vcubo = 1 /2
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Vpunta della stella octangula : Vcubo = 1/24
Il volume dei tetraedri irregolari che completano rispetto al volume del cubo sarà ….
V tetraedro irregolare : Vcubo = 1/24