Matematiche complementari I – Capitolo 6 Il periodo di transizione e oltre .
AA. 2009-2010
Capitolo 6. Il periodo di transizione e oltre.
6.1. Lo sviluppo dell’algebra nel periodo di transizione.
Con la pubblicazione del testo di Bombelli si apre il cosiddetto periodo di transizione, che
solitamente si fa terminare al 1770, anno di pubblicazione di Réflexions sur la résolution algébrique
des équations di Lagrange. Tale periodo è caratterizzato da numerosi tentativi infruttuosi per la
determinazione delle formule risolutive per radicali delle equazioni di grado superiori al quarto.
Questi tentativi, seppure non andati a buon fine, hanno però permesso una riflessione su quanto si
era ottenuto nei tumultuosi anni che vanno dal 1515 al 1545, portando da una parte ad un
consolidamento delle procedure, dall’altra allo sviluppo del simbolismo che conduce all’Algebra
simbolica e tramite l’introduzione dei coefficienti dell’equazione come parametri, alle formule
risolutive generali, spesso slegandosi dalla pratica geometrica.
Fondamentale per il simbolismo è stata l’opera di Viète, che ha contribuito a passare dalla Logistica
numerosa alla Logistica speciosa, vale a dire dall’Aritmetica all’Algebra, come studio delle specie,
termine di origine filosofica tratto da Aristotele.
In realtà anche Viète si muove nell’ambito della Algebra sincopata, in quanto invece dell’attuale
scrittura x6 – 15x4 + 85x3 – 225x2 + 274 = 120, scrive
«1QC – 15QQ + 85C – 225Q + 274N aequatur 120».
È importante osservare che, spostandosi verso il 1770, l’importanza dell’Algebra in parte
diminuisce, perché l’attenzione di molti matematici si sposta ai problemi dell’Analisi che viene
‘fondata’ tra XVII e XVIII secolo. La nascita di tale disciplina è strettamente legata allo studio
algebrico delle proprietà geometriche che prende spunto dal metodo dello coordinate introdotto da
Cartesio.
Tuttavia sono numerosi i matematici, anche grandi, che hanno dato contributi in Algebra e in altri
campi, ci sono anche dei nomi meno illustri che hanno fatto avanzare precipuamente l’Algebra.
6.2. Alcuni esempi di soluzione di equazioni di quarto grado.
Mostriamo qui un esempio di natura geometrica e una trattazione generale, relativa a equazioni di
quarto grado
6.2.1. Un esempio da Cartesio. Nella Géométrie (1637) Cartesio presenta il seguente problema:
173
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Determinare graficamente le soluzioni dell’equazione z4 = pz2 + qz + r.
In questa equazione p, q e r sono segmenti. Evidentemente l’omogeneità delle espressioni non è più
un problema. La soluzione proposta mostra anche cosa debba intendersi per Geometria cartesiana,
da non confondersi con quella che oggi viene chiamata, più correttamente, Geometria analitica.
Cartesio dimostra sul seguente disegno di avere interpretato correttamente l’equazione in termini
geometrici. Data una parabola sia
A il vertice A e si consideri l’asse
F
della parabola. Sia C un punto
H
M E
R
1
latus
2
rectus 1, Cartesio si esprime così,
V
K D
L
dell’asse tale che AC =
C A
indicando con la locuzione latus
S
rectus il segmento unitario. Sia
poi D un altro punto dell’asse
z
della parabola tale che CD =
G
all’asse, si considera E tale che DE =
e
sulla
perpendicolare
a
1
p
2
D
1
q. Si congiunga ora A con E e si prolunghi oltre A; sia R un
2
punto tale che AR = r e S sul prolungamento di EA, dalla parte di A, tale che AS = latus rectus. Sia V
il punto medio di RS e si tracci la semicirconferenza di centro V e raggio VS. Si conduca ora da A la
perpendicolare ad AE ed essa incontri in H la semicirconferenza di centro V. Si congiungano ora H
ed E e si tracci la circonferenza di centro E e raggio EH. Tale circonferenza interseca la parabola
nei punti F e G. Si vuole provare che detto K il piede della perpendicolare all’asse passante per G,
KG è un segmento che soddisfa l’equazione data.
Si ponga quindi KG = z, per la proprietà della parabola, AK = z2, dato che la proprietà che definisce
la parabola è espressa dalla proporzione AK : KG = KG : latus rectus. Ora EM = DK = AK – AC –
CD, cioè EM = z2 –
costruzione DE =
1 1
1 1
1
− p . Elevando al quadrato si ha EM2 = z4 + + p 2 − pz 2 − z 2 + p . Per
2 2
4 4
2
1
1
q ed è DE = MK, da cui GM = z + q . Elevando al quadrato si ha GM2 = z2 +
2
2
1 2
1
1 1
1
q + qz, ma d’altra parte EG2 = GM2 + EM2 = z2 + q 2 + qz + z4 + + p 2 − pz 2 − z 2 + p =
4
4
4 4
2
1
Per difficoltà grafica non si pone attenzione alla distinzione tra segmento e misura della lunghezza del segmento,
solitamente indicata col soprassegno.
174
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z4 – pz2 + qz +
1 2
1 1
q + + p
4
2 2
2
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1 2 1 2 1
1
q + p + p + . D’altra parte EG = EH. Poiché EA2 = ED2 + AD2 =
4
4
2
4
=
1 2 1 2 1 1
q + p + + p.
4
4
4 2
Per il secondo Teorema di Euclide applicato al triangolo rettangolo SHR si ha che AS : HA = HA :
AR, quindi 1: HA = HA : r, vale a dire HA2 = r. Ma pure il triangolo AHE è rettangolo e quindi EH2
1 2 1 2 1 1
q + p + + p +r. Eguagliando l’espressione di EG2 con quella di EH2 si ha
4
4
4 2
= EA2 + HA2 =
z4 – pz2 + qz +
1
1
1 1
1 2 1 2 1
1
q + p + p + = q 2 + p 2 + + p +r, vale a dire z4 = pz2 – qz + r.
4
4
2
4
4
4
4 2
Se invece di considerare KG si opera su FL si riottiene l’equazione. Di fatto la scelta tra i due
segmenti dipende dal segno: se q avesse segno opposto, il punto E’ da considerare sarebbe il
simmetrico di E rispetto all’asse della parabola e la soluzione accettabile per Cartesio sarebbe FL.
Nella Géométrie non esiste il sistema cartesiano ortogonale che solitamente si associa al cosiddetto
‘piano cartesiano’. Qui viene data una figura, il sistema di riferimento (qui l’asse delle ordinate) è
solidale con la figura, essendo l’asse della parabola. Manca un asse delle ascisse e soprattutto
manca l’individuazione dei punti del piano mediante coppie ordinate.
La necessità, anzi l’indispensabilità dei numeri reali negativi, se si vuole considerare tutto il piano,
per Cartesio non è così stringente, tanto è vero che lui scarta quelle che ritiene soluzioni false:
«Mais souvent il arrive, que quelques unes de ces racines sont fausses, ou moindre que rien»
E qui Cartesio parla anche delle radici immaginarie, riprendendo la dicitura usata da Bombelli.
6.2.2. Le formule risolutive dell’equazione di quarto grado di Eulero. Eulero è
stato uno dei più grandi matematici di ogni tempo, che ha spaziato in vari campi,
tra cui l’algebra.
Un’equazione di quarto grado completa,
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
può modificarsi mediante una trasformazione a radici aumentate x = y + h, in
f IV (h) 4 f III (h) 3 f " (h) 2 f '
(h)
y +
y +
y +
y + f (h) = 0
4!
3!
2!
1!
avendo posto f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Si ha
f’(x) = 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d;
f”(x) = 12ax2 + 6bx + 2x;
fIII(x) = 24ax + 6b;
fIV(x) = 24a.
175
Leonhard Euler
(1707-1783)
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Se, come fatto da Cardano per le equazioni di terzo grado, si determina h in modo da annullare
fIII(h), si ha h = −
b
, da cui si ottiene l’equazione
4a
x4 + px2 + qx + r = 0.
(1)
In questo forma il polinomio derivato è dato da 4x3 + 2px + q. Il discriminante dell’equazione è dato
dal risultante di Sylvester
1
0
0
4
0
0
0
0 p q
r
0
1 0
p q
r
0 1
0
p q
0 2p q
0 0
4 0 2p q
0
0 4 0 2p q
0 0
4 0 2p
1
0
p q
2p q
0
0
= 1 ⋅1 ⋅ 0 2 p q
0
4
0 2p q
0
4
0 2p
p
0
+ 4⋅4⋅ 1
4
0
q r
0
p q
r
0 p q
0 2p q
4 0 2p
0
1
− 4q ⋅
2p
3
p q
0 p
q 0
0 2p
p q r
0 p q
16q ⋅
1 0 p
4 0 2p
0
1 0
p q
r
0
0 1
0
p q
r
0 2p q
0 0
0 = 1⋅
4 0 2p q
0
0
0 4 0 2p q
0
0 0
4 0 2p
q
r
0
0
1
0 − 1⋅ 4 ⋅ 2 p
0
3
q
0
p q
r
0 p q
q 0
0
0 2p q
4 0 2p
0
0
r
1
0
0
− 4⋅
0
4
0
0
q
0
0
r
0 + 4 ⋅1 ⋅
0
q
p q
r
0
0 p q
r
1 0
p q
0 2p q
0
4 0 2p q
0 4 0 2p
p q
r
0
p q
1 0
0 2p q
0
4 0 2p q
0 4
0 2p
0
2p q
0
0
1
0
p
0
0 2p q
0
2p q
0
+q⋅
r =r⋅
4
0 2p q
0 2p q
0
0
4 0 2p
4 0 2p
q
r
q
− 4r ⋅
0
q
p q
r
0
0 2p q
0
+ 4q ⋅
4 0 2p q
0 4 0 2p
p q
r
1 0
p
0 2p q
4 0 2p
q
0
0
2p
+ 4r ⋅
0
3
q
0
0
q
+ 16r ⋅
0
q
p
0
4
0
0
0
r
=
0
0
q
0
r
0+
0
q
p q
r
q 0
0
−
0 2p q
4 0 2p
q r
0
p q
r
+
0 2p q
4 0 2p
0
2p q
0
q 0 0
0
p q
1 p q
r
2
= 2 pr ⋅ 0 2 p q + 4r ⋅ 2 p q 0 − 2 pq ⋅ 2 p q 0 + q ⋅ 0 q 0 −
q
4
0 2p
4 0 2p
0 2p q
4 2p q
q
p q
r
p q r
p q r
0 q r
2p q
0
2
− 8 pr ⋅ 0 2 p q + 12r ⋅ q 0 0 − 8 pq ⋅ 0 p q + 4q ⋅ 1 p q − 4 pr ⋅ 0 2 p q −
4 0 2p
4 0 2p
0 2p q
3 2p q
4
0 2p
q r 0
p q
r
p q r
p q
r
q r 0
2
2
− 16r ⋅ 2 p q 0 − 4q ⋅ 0 2 p q + 4q ⋅ 1 0 p + 16 pr ⋅ 0 2 p q + 64r ⋅ p q r −
4 0 2p
4 0 2p
0 2p q
4 0 2p
4 0 2p
176
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0 q r
p r 0
− 16q ⋅ 1 p q + 16 pq ⋅ 1 p q = 2pr(8p3+4q2) + 8pq2r – 2pq(4p2q – 2p2q) + q2(q2 – 4q2) –
4 2p q
4 2p q
2
8pr(4p3 + 4q2 – 8pr) - 24pq2r – 8pq(p3 -2p2q) + 4q2(3q2 + 2pr – 3pr – q2) - 4pr(8p3 + 4q2) –
16r(2pq2 – 4p2r) – 4q2(4p3+4q2-8pr) + 4q2(2pr – q2 – 2p3) + 16pr(4p3+4q2-8pr) + 64r(2pq2 + 4r2 2p2r) - 16q2(4q2 + 2pr – 4pr – q2) + 16pq(p2q + 4qr – qr – 2p2q) =
16p4r + 8pq2r + 8pq2r – 4p3q2 – 3q4 – 32p4r – 32pq2r + 64p2r2 – 24pq2r – 8p4q + 16p3q2 + 8q4 –
4pq2r – 32p4r – 16pq2r – 32pq2r + 64p2r2 – 16p3q2 – 16q4 + 32pq2r + 8pq2r – 4q4 – 8p3q2 + 64p4r +
64pq2r – 128p2r2 + 128pq2r + 256r3 +128p2r2 – 48q4 + 32pq2r - 16p3q2 + 48pq2r =
p4(16r – 32r – 8q – 32r + 64r ) + p3q2 (-4 + 16 - 16 – 8 - 16) + p2r2 (64 + 64 – 128 + 128) + pq2r(8 +
8 – 32 - 24 - 4 – 16 - 32 + 32 +8 + 64 + 128 + 32 + 48) + q4(-3 + 8 – 16 - 4 – 48) + 256r3 = 8p4(2r
– q) – 28p3q2 + 128p2r2 + 220pq2r – 63q4 + 256r3 = r(16p4 + 128p2r + 256r2) – 8p4q – 28p3q2 +
220pq2r – 63q4 = r(4p2 + 16r)2 – 4p3q(2p + 7q) + q2(220pr – 63q2).
Eulero ha ripreso l’idea di Tartaglia di descrivere un termine come somma di incognite, stavolta tre,
prendendo l’incognita: x = u + v + w. Di qui si ha x2 = (u2 + v2 + w2) + 2(uv + uw + vw), da cui x2 –
(u2 + v2 + w2) = 2(uv+uw+vw). Elevando al quadrato entrambe i membri si ha
x4 – 2(u2 + v2 + w2)x2 + (u2 + v2 + w2)2 = 4(u2v2 + u2w2 + v2w2) + 8uvw(u + v + w)
Ma questa espressione, essendo u+v+w = x, può essere scritta come
x4 – 2(u2 + v2 + w2)x2 – 8uvwx + (u2 + v2 + w2)2 - 4(u2v2 + u2w2 + v2w2) = 0.
Confrontandola con la (1) si possono scegliere u, v e w come le soluzioni del seguente sistema:
u 2 + v 2 + w2 = −
p
2
q
8
2
2
(u + v + w 2 ) 2 − 4(u 2 v 2 + u 2 w 2 + v 2 w 2 ) = r
uvw = −
Tenendo conto della prima equazione la terza può semplificarsi ottenendo
u 2 + v 2 + w2 = −
uvw = −
q
8
p
2
u 2v 2 + u 2 w2 + v 2 w2 =
p2 r
−
16 4
Si tratta di un sistema algebrico di grado 24. Elevando al quadrato la seconda si ha
177
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u 2 + v 2 + w2 = −
u 2v 2 w2 =
(2)
q2
64
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p
2
u 2v 2 + u 2 w2 + v 2 w2 =
p2 r
−
16 4
Con questa trasformazione il sistema è divenuto di grado 48, ma, se si considerano come incognite i
quadrati, il grado diventa 6. Ci si è così ricondotti alle formule di Viète relative alle equazioni di
terzo grado in u2, v2 e w2. Si ha dunque che l’equazione di terzo grado completa
z3 +
(3)
p 2
p2 r
q2
− z−
=0
z +
2
16 4
64
detta la risolvente cubica dell’equazione di quarto grado.
Si noti che il sistema è simmetrico in u2, v2 e w2, sicché se α,β,γ è una soluzione della (3), α,β,γ ,
α,γ,β , β,α,γ , β,γ,α , γ,α,β e γ,β,α sono soluzioni del sistema
α + β +γ = −
p
2
αβ + αγ + βγ =
αβγ = −
q
8
p2 r
−
16 4
Interpretando in senso complesso l’estrazione di radice, le soluzioni del sistema (2) sono date da
α, β, γ
β, α, γ
γ , α, β
α , β ,− γ
β , α ,− γ
γ , α ,− β
α ,− β , γ
β ,− α , γ
γ ,− α , β
α , − β ,− γ
β ,− α ,− γ
γ ,− α , − β
α, γ , β
β, γ, α
γ, β, α
α , γ ,− β
β , γ ,− α
γ , β ,− α
α ,− γ , β
β ,− γ , α
γ ,− β , α
α ,− γ ,− β
β ,− γ ,− α
γ ,− β , − α
− α, β, γ
− β, α, γ
− γ , α, β
178
Matematiche complementari I – Capitolo 6 Il periodo di transizione e oltre .
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− α , β ,− γ
− β , α ,− γ
− γ , α ,− β
− α ,− β , γ
− β ,− α , γ
− γ ,− α , β
− α ,− β ,− γ
− β ,− α ,− γ
− γ ,− α ,− β
− α, γ , β
− β, γ, α
− γ, β, α
− α , γ ,− β
− β , γ ,− α
− γ , β ,− α
− α ,− γ , β
− β ,− γ , α
−
− α ,− γ ,− β
− β ,− γ , − α
− γ ,− β ,− α
,−
,
Di questi 48 casi, sfruttando la proprietà commutativa dell’addizione alcuni dànno luogo alla stessa
soluzione dell’equazione di quarto grado (la cosa è messa in evidenza con il bordo o lo sfondo dello
stesso colore). Si può semplificare considerando solo le otto caselle della prima colonna con il
bordo colorato trascurando le caselle che hanno lo sfondo colorato.
Poiché nel procedimento si è elevato al quadrato, si sono introdotte soluzioni ‘improprie’. Come per
l’equazione di terzo grado, bisogna ora determinare solo i valori di u,v e w tali che uvw = −
q
. Dato
8
che si tratta del prodotto di tre quantità, c’è la possibilità di considerare l’opposto di due di esse
senza alterare il segno del loro prodotto. Se quindi u0,v0,w0 sono soluzioni del sistema (2) che
q
soddisfano la condizione u0v0 w0 = − , anche le terne u0, - v0, -w0; -u0, v0, -w0 e –u0, -v0, w0
8
soddisfano la stessa condizione, sicché le soluzioni della (1) sono ottenute raggruppando in due casi
le otto soluzioni rimaste da considerare tra le soluzioni del sistema (2) e precisamente sono date
come somma dei tre valori che compaiono nelle terne
ordinate della prima o della seconda colonna,
x1 = u0 + v0 + w0;
x2 = u0 - v0 - w0
x3 = -u0 + v0 - w0
x4 = -u0 -v0 + w0.
1° caso
2° caso
α, β, γ
α , β ,− γ
α ,− β ,− γ
α ,− β , γ
− α , β ,− γ
− α, β, γ
− α ,− β , γ
− α ,− β ,− γ
Il discriminante dell’equazione di quarto grado nella forma (1) è il discriminante dell’equazione
(completa) di terzo grado della risolvente cubica (3), pertanto la (1) avrà soluzioni coincidenti se e
solo se le ha la (3).
179
Matematiche complementari I – Capitolo 6 Il periodo di transizione e oltre .
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Il procedimento di Eulero è quello che si trova più frequentemente sui libri di testo di Algebra. Esso
è interessante perché evita le scelte ad hoc dei singoli casi che, come invece aveva ideato Ferrari,
richiedono, di volta in volta, di aggiungere termini opportuni.
Un altro motivo di interesse storico è il fatto che Eulero scrive nel 1732 in De formis radicum
aequationum cujusque ordinis conjectatio e lo ribadisce in una seconda opera del 1762, De
resolutione aequationum cuiusvis gradus, che le soluzioni di un’equazione algebrica di qualsivoglia
grado possono essere ottenute come somma di radicali, in vario modo. Di fatto, nella prima opera
citata mostra che in questo tipo di soluzione rientrano quelle di terzo e di quarto grado, ipotizzando
che opportune trasformazioni avrebbero portato il risultato anche nel caso di grado superiore a 4.
6.3. Dal 1770 in poi.
L’epoca di transizione solitamente si fa terminare con 1770, anno di pubblicazione negli Atti
dell’Accademia di Berlino di Réflexions sur la résolution algébrique des équations di Lagrange. È
anche l’anno di pubblicazione di Meditationes algebricae di Waring e l’anno in cui fu composta e
letta all’Académie, Mémoires sur la résolution des équations di Alexandre Vandermonde (1735 –
1796), pubblicata quattro anni più tardi.
Waring portò a termine il processo di simbolizzazione iniziato con Viète ed
introdusse le radici primitive dell’unità.
Vandermonde cercò, con scarso successo, di esprimere le radici di una generica
equazione mediante le radici dell’unità.
L’opera di Lagrange si rivelò fondamentale per gli studi successivi. In essa il
matematico torinese fece una sorta di sinossi di tutti gli studi precedenti. Avendo
Edward Waring
(1736-1798)
ricevuto la sua formazione in Italia, portò i risultati degli algebristi italiani a conoscenza della più
vasta platea europea, visto anche l’importanza della sua posizione scientifica all’Accademia di
Berlino (e poi in quella di Parigi).
Nella sua analisi cercò di chiarire i processi risolutivi delle equazioni fino al quarto grado, ponendo
attenzione sul concetto di trasformazione del dominio numerico in cui si considera il polinomio.
Egli provò che la generalizzazione dei metodi usati per i gradi inferiori a cinque portava, nel caso
dell’equazione di quinto grado, ad un’equazione di sesto. Di qui avanzò l’ipotesi che tale tipo di
equazione (e più generalmente quelle di grado superiore al quarto) non fosse risolubile (per
radicali):
180
Matematiche complementari I – Capitolo 6 Il periodo di transizione e oltre .
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«Il problema di risolvere per radicali equazioni il cui grado è superiore al quarto, è uno di quelli che non è
possibile risolvere, anche se nulla dimostra l’impossibilità di tale soluzione.»
2
Le ipotesi di Lagrange trovarono conferma nell’opera di Ruffini, Teoria generale delle equazioni in
cui si dimostra impossibile la soluzione algebrica delle equazioni di grado superiore al quarto, del
1799. Il docente dell’Università di Modena afferma nella prefazione
«La soluzione algebrica delle equazioni generali di grado superiore al quarto è sempre impossibile. Ecco un
teorema troppo importante nelle Matematiche, che io credo, seppure non erro, di poter asserire, e di cui la
dimostrazione quella si è, che principalmente mi ha spinto alla pubblicazione del seguente volume. L’immortale
La Grange […] ha somministrato il fondamento della mia dimostrazione: conveniva dunque premettere a questa,
per maggiore intelligenza un ristretto di simili riflessioni».
In essa, oltre a quanto promesso dal titolo, sono presenti molti risultati di interesse per l’Algebra,
come l’impossibilità di risolvere il caso irriducibile senza usare i numeri complessi e la ‘regola’ di
Ruffini nota dalle scuole superiori. L’attenzione di Ruffini è focalizzata sulle equazioni di grado 5.
Inoltre Ruffini mostra l’importanza del concetto di gruppo di trasformazioni (senza usare il termine
gruppo), del concetto di gruppo transitivo e di gruppo primitivo, ed il fatto che esiste un gruppo di
60 elementi, il gruppo alterno delle permutazioni su 5 oggetti, che non ha sottogruppi normali non
banali. Tutto ciò senza avere il concetto di tabella a doppia entrata né di sottogruppo normale.
Queste carenze di tipo linguistico rendono oscuro e difficile il suo testo. Ci sono anche alcuni errori
che furono individuati da matematici suoi contemporanei e sistemati in altre redazioni, che si
susseguirono negli anni 1802, 1803, 1805, 1806 e nella stesura finale del 1813.
Ruffini si occupò anche della soluzione numerica di equazioni di grado anche superiore al quinto.
I risultati di Abel, ottenuti dal matematico norvegese nel 1824 per via del tutto indipendente,
provarono che le equazioni generali di grado superiore al quarto non erano risolubili. Solo dopo la
pubblicazione Abel venne a conoscenza del lavoro di Ruffini che giudicò complicato e non sempre
soddisfacente.
In un lavoro apparso postumo nel 1829, Abel determinò alcuni casi in cui un’equazione poteva
essere risolubile per radicali.
Questo tipo di considerazioni venne ripreso dal Galois che nel 1832, la sera prima di morire, mise
su carta le sue idee sulle condizioni di risolubilità per radicali delle equazioni di grado superiore al
quarto, sotto forma di lettera. Con questo documento breve Galois aprì la via alla considerazione dei
gruppi, dei gruppi risolubili, dei campi, delle estensioni dei campi, degli automorfismi e di tanti altri
concetti che richiesero circa 100 anni ad essere chiariti e a divenire l’Algebra di oggi.
6.4. Genesi dell’approccio astratto - strutturale.
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Citazione già riportata a pag. 90.
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Quasi contemporaneamente alla scoperta della non risolubilità analitica delle equazioni algebrica e
del teorema fondamentale dell’Algebra, si hanno i primi passi verso l’approccio strutturale
all’Algebra (prima) e poi a tutta la Matematica. Dal punto di vista cronologico, questa fase dello
sviluppo della disciplina ha richiesto poco meno di 150 anni, a testimonianza di come i millenni e i
secoli precedenti avessero già preparato un terreno fertile ed anche di quanto l’argomento algebrico,
in questo periodo più vicino a noi, attraesse, di per sé, l’interesse degli studiosi.
Le idee di Galois furono per un certo periodo tenute celate ed
apparvero una quindicina di anni dopo la morte del loro autore, in
modo non completo ad opera di Liouville nel 1864. Ma la
comprensione completa delle idee presentate dal giovane
Camille Jordan
(1838 – 1922)
matematico si può dire compiuta solo con la pubblicazione di
Joseph Liouville
(1809 – 1892)
Jordan nel 1870 dopo la pubblicazione del Traité des substitutions. Di fatto, Galois
spostava l’attenzione dall’oggetto ‘equazione’ alle proprietà delle ‘trasformazioni’
che operano sul campo di razionalità delle radici dell’equazioni. Per questo
Hilbert usa la teoria di Galois, come esempio per illustrare l’indagine
metamatematica sui sistemi assiomatici.
David Hilbert
(1862 – 1943)
Erano comunque, nell’Europa continentale, gli anni delle ‘trasformazioni’ in
Matematica, visto che nel 1872 con la prolusione al suo corso di matematica,
Klein presentava il cosiddetto Programma di Erlangen, in cui individuava la ‘sostanza’ della
Geometria proprio nelle trasformazioni ed i loro gruppi. In questi esempi si vede già l’esigenza di
separare la struttura dai casi specifici e dalla ‘realtà’ degli enti di cui si occupa la matematica.
Diversa la situazione in Inghilterra. La disputa sulla prioritàpaternità del calcolo differenziale, tra Newton e Leibniz, che
aveva occupato buona parte del secolo XVIII, aveva creato
una frattura tra la matematica del continente e quella inglese.
Isaac Newton
(1642 - 1727)
Nel continente le derivate venivano indicate con la scrittura
‘frazionaria’
Gottfried W. Leibniz
(1646 – 1716)
d
, mentre in Inghilterra prevaleva la notazione
dx
flussionale (usata ancora oggi di preferenza dai fisici) in cui la
derivata è indicata mediante un punto. Ad esempio nel 1801,
uno dei più fortunati trattati di analisi matematica le Istituzioni
Maria G. Agnesi
(1718 – 1799)
analitiche ad uso della gioventù italiana, di Agnesi è stato
tradotto in Inglese come testo e come notazioni, per adattarle
allo stile del calcolo delle flussioni.
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Felix Klein
(1849 – 1925)
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La situazione di isolamento culturale era sembrata insostenibile
ad alcuni studiosi di Cambridge. In particolare Robert
Woodhouse (1773 – 1827) aveva iniziato (1803) a criticare la
posizione di ostracismo per i risultati ottenuti sul continente.
Charles Babbage
(1792 – 1881)
Attorno a lui si riuniscono alcuni giovani e tra essi Babbage e
Peacock. Si deve a questo movimento culturale un’attenzione
George Peacock
(1791 – 1858)
non già al contenuto, ma alla forma delle dimostrazioni. Per questi studiosi la Matematica pura
applica proprietà formali in campi diversi. Un esempio per tutti. In Analisi si dimostra la cosiddetta
regola della catena, cioè della derivata di funzione di funzione. La dimostrazione richiede
attenzione, ma la formula che spesso viene usata anche solo per scopi mnemonici, ponendo y = g(x)
e (f g)(x) = f(y) è
df ( y ) df dy
=
⋅ , proponendo così un’improbabile semplificazione tra
dx
dy dx
‘numeratore’ e ‘denominatore’ delle ‘frazioni’ differenziali.
Così la matematica si libera del cliché di scienza delle quantità e delle grandezze, per iniziare un
percorso di scienza delle forme.
È questo anche l’inizio della cosiddetta algebra astratta, cioè lo studio di strutture algebriche,
disgiunto dalle situazioni numeriche che avevano motivato il sorgere dei gruppi, degli anelli e dei
campi per rispondere alle esigenze della risoluzione delle equazioni.
Ancora a metà del XIX secolo, sempre in ambito inglese, c’è il tentativo di tornare alle origini, cioè
di mostrare che ogni gruppo (finito) è (isomorfo) ad un gruppo di trasformazioni su un insieme
(finito), tornando così alla natura trasformazionale degli enti.
La situazione della ricerca, tra la fine del XIX secolo e
l’inizio del XX smette di essere eurocentrica. Il cammino
intrapreso viene poi ampliato da molti studiosi in tutto il
mondo, fino a giungere negli anni ’30 del XX secolo. In
Bartel van der Waerden
(1903 – 1996)
questo periodo si ‘chiude’ la fase di costruzione
dell’approccio astratto (1930) con il testo Moderne Algebra
Emmy Noether
(1882 – 1935)
di van der Waerden, in cui veniva presentata la sistemazione dovuta a Emmy
Noether. Nel 1935 ‘nasce’ Bourbaki e il primo volume degli Éléments de Mathématique in cui
Bourbaki presenta la Matematica (e quindi anche l’Algebra) come lo studio delle strutture appare
nel 1939. Scrive Lolli (2009) 3:
3
G. Lolli: La nuova immagine della matematica, Intervento al Convegno dell'
Aila, Quale logica per la didattica,
Verona, 24-25 ottobre 2009.
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«[Il Bourbakismo] Nel bene e nel male ha dominato un trentennio, dagli anni cinquanta agli anni
ottanta del ventesimo secolo, presentandosi come la chiusura di un periodo di turbolenze e come
l'
organizzazione definitiva della matematica. »
Si completa così lo sviluppo strutturale dell’Algebra e, suggerito da questa disciplina,
anche quello della Matematica.
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Gabriele Lolli
