Esercizi di Geometria 1 Foglio n. 9 – 11 aprile 2017

Esercizi di Geometria 1
Foglio n. 9 – 11 aprile 2017
1) Sia A uno spazio affine reale di dimensione n. Dati due sottoinsiemi S1 , S2 ⇢ A, definiamo
S1 ⇤ S2 = {p 2 A | 9 p1 2 S1 , 9 p2 2 S2 tali che p 2 bbbbbb
p1 pb2 } .
Verificare che l’operazione tra sottoinsiemi di A cosı̀ definita è associativa, cioè:
S1 ⇤ (S2 ⇤ S3 ) = (S1 ⇤ S2 ) ⇤ S3 , per ogni S1 , S2 , S3 ⇢ A .
Possiamo quindi scrivere S1 ⇤ . . . ⇤ Sm senza parentesi con S1 , . . . , Sm ⇢ A e in particolare
⇤mS = S ⇤ . . . ⇤ S (m copie di S) con S ⇢ A. Verificare che ⇤mS = hSiC per ogni m > n e
mostrare che in generale ⇤m S 6= hSiC se m  n.
2) Sia
a)
b)
c)
d)
e)
: A ! B un’applicazione affine tra spazi affini reali. Provare che:
b
bbb = bbbbbbbbbbbbbb
(bpq)
(p) (q) per ogni p, q 2 A;
C ⇢ A convesso ) (C) ⇢ B convesso;
D ⇢ B convesso ) 1 (D) ⇢ A convesso;
(hSiC ) = h (S)iC per ogni S ⇢ A;
1
(hT iC ) = h 1 (T )iC per ogni T ⇢ B.
3) Sia A uno spazio affine di dimensione 3 su K. Mostrare che a meno di affinità ci sono solo
tre possibili configurazioni di tre piani affini P1 , P2 , P3 ⇢ A con Pi e Pj trasversali per ogni
i 6= j. Stabilire quale di tali configurazioni assume la seguente tripla di piani in C2 al variare
del parametro a 2 C e scrivere l’equazione di un’affinità che trasformi i piani coordinati in
P1 , P2 , P3 quando a = 1:
P1 = {(x1 , x2 , x3 ) 2 C3 | 5x1
P2 = {(x1 , x2 , x3 ) 2 C3 | (a
P3 = {(x1 , x2 , x3 ) 2 C3 | (6i
1
1)x1
(a
2i)x1
3x2
1)x2
x3 =
4}
x2 + i x3 = i
(a + 3i
1}
1)x3 = 3i
2}
4) Classificare i quadrilateri semplici (cioè con lati non consecutivi disgiunti) nel piano affine
reale A2 (R) a meno di affinità. Determinare i possibili gruppi delle simmetrie affini di tali
quadrilateri (una simmetria affine di Q è un’affinità tale che (Q) = Q).
5) Sia A uno spazio affine di dimensione n su K campo di caratteristica 6= 2 e sia Q ⇢ A una
ipersuperficie quadrica di rango rg Q = r. Dimostrare che Q è unione di una famiglia di
sottospazi lineari di A aventi dimensione n r + 1. Dimostrare inoltre che tali sottospazi
contengono tutti un sottospazio lineare di A di dimensione n r se rg Q1 = rg Q (e quindi
rg Q  n), mentre sono tra loro paralleli se rg Q1 < rg Q.
6) Sia Q ⇢ R3 la quadrica di equazione x2 2y 2 5z 2 + 4xy 2xz + 8yz + 11x 6y + 13z = 5.
Determinare un riferimento affine di R3 rispetto al quale l’equazione di Q risulti in forma
canonica e scrivere tale equazione canonica. Stabilire quindi di che tipo di quadrica si tratta.