Geometria 2 - Docente: Stefano Montaldo Esercizi

Geometria 2 - Docente: Stefano Montaldo
Esercizi sugli spazi affini
(1) Siano A1 , A2 , . . . , An , n punti arbitrari di uno spazio affine. Un punto G si chiama baricentro
se
GA1 + GA2 + · · · + GAn = 0.
• Dimostrare che se G esiste allora è unico.
• Sia O un qualsiasi punto dello spazio affine. Dimostrare che OG si può descrivere dalla
formula
1
{OA1 + OA2 + · · · + OAn }
n
• Dimostrare che la formula al punto precedente non dipende da O.
(2) Dimostrare che le diagonali di un parallelogramma si intersecano nel loro punto medio, cioè
OG =
se AA0 B 0 B è un parallelogramma e se M soddisfa AB 0 = 2AM , allora A0 B = 2A0 M .
(3) Dati tre punti A, B e C di un piano affine si consideri il baricentro G.
• Dimostrare che G è il punto di incontro delle mediane del triangolo A, B, C e che divide
ogni mediana in due parti una doppia dell’altra.
• Dimostrare che noti due vertici del triangolo ed il baricentro è noto il rimanente vertice.
(4) Dimostrare che esiste un’unica retta affine contenente due dati punti A, B di uno spazio affine.
(5) Siano F e F0 due sottospazi affini di uno spazio affine. Sotto quali condizioni F0 ∪ F è un
sottospazio affine?
(6) Sia ϕ : A → A0 una trasformazione affine. Dimostrare che l’applicazione indotta f : V → V 0
è un isomorfismo.
(7) Data una trasformazione affine ϕ : A → A un punto M ∈ A si dice fisso se ϕ(M ) = M .
Dimostrare che ϕ ha un unico punto fisso se e solo se l’isomorfismo indotto f : V → V ha
solo il punto fisso 0 ∈ V .
(8) Dimostrare che una trasformazione affine ϕ : A → A0 manda tre punti allineati in tre punti
allineati. Allineati significa che appartengono ad una stessa retta affine.
(9) Determinare una trasformazione affine di un piano affine che mandi i vertici di un triangolo
A, B, C sui loro punti simmetrici rispetto ai punti medi dei lati opposti. Dove dato P il suo
simmetrico rispetto a M è il punto P 0 tale che M P + M P 0 = 0. (Aiuto: fissare un sistema di
riferimento affine utilizzando i punti A, B, C).
(10) Una trasformazione ϕ di un piano affine A in se stesso è una prospettività se ha una retta
affine F di punti fissi e se per ogni punto A, B ∈ A i vettori Aϕ(A) e Bϕ(B)sono paralleli.
• Fissato un riferimento affine (O, e1 , e2 ) sul piano con O ∈ F, e1 parallelo alla giacitura
di F e e2 parallelo a Aϕ(A), determinare le espressioni x01 = ϕ1 (x1 , x2 ), x02 = ϕ2 (x1 , x2 )
della prospettività.
• Se rispetto ad un sistema di riferimento affine del piano una trasformazione è data da
x01 = 4x1 + x2 − 5, x02 = 6x1 + 3x2 − 10, dimostrare che è una prospettività.