Esercizi di Geometria 1
Foglio n. 8 – 28 marzo 2017
1) Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi di R[x] e Mn,n R (considerati cone spazi affini su loro
stessi) sono sottospazi affini e in tal caso determinarne la dimensione e la codimensione:
a) {p(x) 2 R[x] | p(1) = 0} ⇢ R[x];
b) {p(x) 2 R[x] | p(0) = 2} ⇢ R[x];
c) {p(x) 2 R[x] | limx!1 p(x)/x3 = 4} ⇢ R[x]
d) {A 2 Mn,n R | a1,1 + . . . + an,n = n} ⇢ Mn,n R
e) {A 2 Mn,n R | a1,1 · . . . · an,n = 1} ⇢ Mn,n R
2) Sia A uno spazio affine di dimensione finita su C e siano L1 , L2 ⇢ A due sottospazi affini
disgiunti. Provare che L1 e L2 sono paralleli , dimhL1 [ L2 iA = max{dim L1 , dim L2 } + 1.
Determinare per quali valori del parametro a 2 C i seguenti sottospazi L1 e L2 di C4 sono
paralleli e quando lo sono scrivere un’equazione cartesiana di hL1 [ L2 iA :
L1 = {(at + 2as + 2ias
L2 = {(it + as
is, t + 4as
2ias + is, at + 2as
s, it
2s, as
as + 3ias
at + 3ias
is, at + s + 2) | t, s 2 C} ,
2is, 3as
s
t + a) | t, s 2 C} .
3) Sia A uno spazio affine di dimensione finita. Dimostrare che comunque dati due sottospazi
affini L1 , L2 ⇢ A esiste un unico sottospazio affine L ⇢ A tale che: a) L contiene L1 ,
b) L è parallelo a L2 , c) L ha dimensione minima tra i sottospazi affini con le due proprietà
precedenti. Scrivere un’equazione cartesiana di tale sottospazio L nel caso in cui A = R4 ,
L1 = {x 2 R4 | x1 + x3 = 1 , x1
x2
L2 = {x 2 R4 | x1 + x2 + x4 = 0 , x2
x4 = 0 , x2
2x3
x3
x4 = 2 , x3
2x4 =
1}
3x4 = 4} .
4) Siano H1 , H2 ⇢ An (K) = Kn iperpiani incidenti di equazioni rispettivamente A1 x B1 = 0
e A2 x B2 = 0 e sia L = H1 \ H2 . Provare che:
a) per ogni k1 , k2 2 K non entrambi nulli, posto A = k1 A1 + k2 A2 e B = k1 B1 + k2 B2 ,
l’equazione A x = B rappresenta un iperpiano H ⇢ Kn ;
b) gli iperpiani H ottenuti in tal modo sono tutti e soli gli iperpiani di Kn contenenti L.
Cosa si può dire di analogo nel caso in cui i due iperpiani H1 e H2 siano paralleli?
5) Provare che, a meno dell’inclusione A2 (R) ⇢ A2 (C) (indotta da R ⇢ C) e dell’identificazione
A2 (C) $ A4 (R) definita (x1 + y1 i, x2 + y2 i) $ (x1 , x2 , y1 , y2 ), valgono i seguenti fatti:
a) ogni retta reale L ⇢ A4 (R) è contenuta in un’unica retta complessa R ⇢ A2 (C);
b) ogni sottospazio affine reale L ⇢ A4 (R) di dimensione 3 contiene infinite rette complesse
R ⇢ A2 (C) tutte parallele tra di loro;
b) ogni retta complessa R ⇢ A2 (C) è un piano reale in A4 (R) la cui intersezione con A2 (R)
può essere una retta reale, un punto o il vuoto.
6) Sia A uno spazio affine (su V spazo vettoriale) su K. Dati p1 , . . . , pn 2 A e a1 , . . . , an 2 K tali
P
P
che ni=1 ai = 1 definiamo la combinazione affine p = ni=1 ai pi considerando un arbitrario
P
p0 2 A e ponendo p = p0 + ni=1 ai bbbbbd
p0 pi . Verificare che tale definizione è ben posta, cioè non
dipende dalla scelta di p0 . Verificare inoltre che le combinazioni affini sono preservate dalle
applicazioni affini, cioè se : A ! B è un’applicazione affine tale che (pi ) = qi per ogni
P
P
P
i = 1, . . . , n allora ( ni=1 ai pi ) = ni=1 ai qi per ogni a1 , . . . , an 2 K tali che ni=1 ai = 1.
