ESTRAZIONE DI
DI DATI
DATI 3D
3D
ESTRAZIONE
DA IMMAGINI
IMMAGINI DIGITALI
DIGITALI
DA
(Visione 3D)
3D)
(Visione
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Structure From Motion
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Date m immagini di n punti 3D (fissi)
Stimare le m matrici di proiezione Pi e gli n vettori Xj date le mn
corrispondenze xij
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SFM in termini generali è ambiguo
• Se si scalano contemporaneamente con fattori reciproci sia P
che X, il risultato non cambia
• Più in generale, si può usare una generica trasformazione Q
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Ambiguità proiettiva
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Ambiguità affine
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Similarità
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Una gerarchia di trasformazioni
Proiettiva (15 par)
- preserva le intersezioni
Affine (12 par)
- preserva il parallelismo
Similarità (7 par)
- preserva angoli
Euclidea (6 par)
- preserva lunghezze
Senza altre informazioni la ricostruzione è di tipo proiettivo. Con
vincoli extra si arriva fino al caso euclideo
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La camera affine
Si tratta di una astrazione utile per sviluppare la teoria, anche se
diversa dalla realtà dei sistemi di ripresa ottica
La matrice di proiezione più semplice è
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La camera affine più generale combina la proiezione ortogonale
con due trasformazioni affini prima e dopo la proiezione
Si può esprimre in coordinate non-omogenee come somma di una
generica trasformazione lineare 2x3 ed una traslazione
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SFM affine
Riformulato nel caso affine
SFM ha 2mn equazioni in 8m+3n incognite, con 12 gradi di libertà
non stimabili (ambiguità affine). Deve essere quindi
Per m=2 si ha n>=4
La parte di traslazione è inessenziale, basta sottrarre i centroidi sia
ai punti mondo che ai punti immagine
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Esplicitando la struttura matriciale dei dati si ottiene il sistema
La matrice D ha per costruzione rango 3
La soluzione si ottiene per SVD di D (fattorizzazione), imponendo il
rango 3 mediante azzeramento di tutti i successivi valori singolari
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La decomposizione non è unica. Si ottiene la stessa D inserendo
una matrice 3x3 C e generando MC e C-1S
Questo accade perché non si sono posti vincoli sulla proiezione, ad
esempio sulla ortogonalità degli assi
Si ottengono 3m equazioni per la matrice L = CCT
da cui si ricava C per decomposizione (Cholesky)
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SFM proiettivo
Se vogliamo rendere esplicito il fatto che l’equazione x = PX
vale a meno di una scala, dobbiamo introdurre le profondità
proiettive zij
La ricostruzione è ambigua a meno di una trasformazione
proiettiva (matrice 4x4 Q)
Si ha soluzione se
Con m=2 occorrono almeno 7 punti (matrice fondamentale)
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La matrice D ha rango 4
La fattorizzazione in P ed X sarebbe possibile se fossero note le
z. Viceversa se fossero note P ed X si potrebbero calcolare le z.
La soluzione è una procedura iterativa che parte da una scelta
iniziale delle z (es. costanti)
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La procedura numerica minimizza un errore algebrico. Il risultato
viene allora inteso come una stima iniziale per la minimizzazione
di un errore geometrico (bundle adjustment)
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Per rendere euclidea la ricostruzione occorrono altri vincoli sulle
matrici di calibrazione (es. skew = 0, pixel quadrato). Sotto queste
ipotesi, il metodo viene anche detto self-calibration
La soluzione con m>2 è spesso resa complessa dalla mancanza
di qualche dato (qualche punto non visibile su qualche immagine).
Esistono procedure di recovery basate sulla coerenza della
proiezione
Il passo di bundle adjustment è una procedura complessa e di
terminazione non prevedibile (utile solo per processi offline)
Il settore della ricostruzione da viste multiple è ancora in corso di
sviluppo, specie in connessione con lo stereo classico (SSFM)
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