SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE PER L’INSEGNAMENTO
SECONDARIO DELLA TOSCANA
Sede di Firenze
VIII CICLO
II ANNO
Unità didattica reale
Equivalenza ed equiscomponibilità delle superfici piane
Indirizzo
Specializzanda
Fisico Informatico Matematico
____________________________________
Anno Accademico 2007/2008
Leone Paola
INDICE
SCHEMA DELL’UNITÀ DIDATTICA ...............................................................................................p.2
CONTENUTI E METODI NEL DETTAGLIO......................................................................................p.6
1° LEZIONE.......................................................................................................................p.6
2° LEZIONE.....................................................................................................................p.10
3° LEZIONE.....................................................................................................................p.12
4° LEZIONE.....................................................................................................................p.17
5° LEZIONE.....................................................................................................................p.18
6° LEZIONE.....................................................................................................................p.23
7° LEZIONE.....................................................................................................................p.25
8° LEZIONE.....................................................................................................................p.26
9° LEZIONE.....................................................................................................................p.27
OSSERVAZIONI SUL COMPITO...................................................................................................p.27
CRITERI DI VALUTAZIONE........................................................................................................p.28
BIBLIOGRAFIA...........................................................................................................................p.30
1
SCHEMA DELL’UNITÀ DIDATTICA
PREMESSA
L’unità didattica in esame è rivolta ad una seconda classe di un liceo scientifico sperimentale
linguistico. Essa viene svolta subito dopo il modulo relativo ai poligoni inscritti/circoscritti in/ad
una circonferenza e prima della teoria della similitudine. Viene innanzitutto affrontato, il concetto di estensione di una figura piana. Si riprendono alcuni concetti, che lo studente già conosce in
forma intuitiva, al fine di inserirli nella trattazione della geometria razionale. Tale concetto viene
appreso sin dalla scuola elementare, ma nasconde molte difficoltà nella sua formalizzazione divenendo un punto particolarmente critico dell’insegnamento. Infatti, come la nozione di figure
congruenti, anche la nozione di figure piane equivalenti può essere fonte di circoli viziosi: può
capitare di leggere che due figure sono equivalenti se hanno la stessa area, e poco più sotto che
l’area è un numero che caratterizza una classe di figure piane tutte equivalenti fra loro.
Tradizionalmente nella scuola superiore si segue da vicino Euclide introducendo la nozione di
equiestensione come concetto primitivo.
TITOLO
Equivalenza ed equiscomponibilità delle figure piane
DESTINATARI
Classe seconda di un liceo scientifico (sperimentale linguistico)
PERIODO DI ATTIVITÀ
Dicembre – Gennaio
COLLOCAZIONE
L’unità didattica viene svolta subito dopo il modulo relativo ai poligoni inscritti/circoscritti in/ad
una circonferenza e prima della teoria della similitudine.
PREREQUISITI
Per affrontare questa unità didattica è necessario che i ragazzi conoscano:
le nozioni fondamentali di geometria del piano;
le relazioni tra rette;
le congruenze di figure;
i criteri di congruenza dei triangoli;
i poligoni e loro proprietà.
Per la verifica dei prerequisiti vengono poste ai ragazzi delle domande orali e si fa fede alle verifiche scritte delle precedenti unità didattiche.
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OBIETTIVI COGNITIVI (SAPERE)
a)
Conoscere il significato di equivalenza di superfici piane, i postulati e le proprietà.
b)
Conoscere la definizione di equiscomponibilità.
c)
Comprendere il legame tra equivalenza ed equiscomponibilità.
d)
Conoscere i criteri per stabilire l’equivalenza tra poligoni e le loro conseguenze.
e)
Conoscere l’enunciato e la dimostrazione del I teorema di Euclide
f)
Conoscere l’enunciato e la dimostrazione del teorema di Pitagora.
g)
Conoscere l’enunciato e la dimostrazione del II teorema di Euclide.
OBIETTIVI OPERATIVI (SAPER FARE)
a.1)
Saper riconoscere figure equivalenti.
b.1)
Saper riconoscere poligoni equiscomponibili.
c.1)
Saper utilizzare le nozioni di equivalenza ed equiscomponibilità nelle dimostrazioni.
d.1)
Saper utilizzare i criteri sull’equivalenza nelle dimostrazioni
e.1)
Saper utilizzare il I teorema di Euclide.
f.1)
Saper utilizzare il teorema di Pitagora.
g.1)
Saper utilizzare il II teorema di Euclide.
h.1)
Saper enunciare e dimostrare i teoremi inversi.
METODOLOGIA
Si giungerà per gradi ad una formalizzazione del concetto di equivalenza tra superfici piane, recuperando inizialmente la visione intuitiva che possono avere gli alunni, per poi razionalizzarla
inserendola in un ragionamento logicamente rigoroso. A questo scopo sarà utilizzato un laboratorio povero e saranno poste agli studenti delle domande stimolo, utili all’insegnante per individuare eventuali misconcetti. Le lezioni saranno di tipo laboratoriale (laboratorio povero), dialogico e
frontali. Attraverso le lezioni frontali saranno sistematizzati i concetti emersi. Per le dimostrazioni dei vari teoremi si alterneranno lezioni frontali (soprattutto per le prime dimostrazioni) e
lezioni interattive in cui i ragazzi vengono chiamati alla lavagna a fare dimostrazioni con l’aiuto
dell’insegnante. Ad essi seguirà lo svolgimento di alcuni esercizi di applicazione all’equivalenza
delle figure piane. A volte le dimostrazioni, portate avanti dagli allievi, magari guidati più o meno apertamente dall’insegnante, possono dare loro il vivo piacere della scoperta. Il percorso didattico prevede due lezioni interamente dedicate agli esercizi e alle verifiche individuali, utili
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all’insegnante per monitorare il processo di apprendimento di ciascun allievo. Dopo la verifica
sommativa, volta a verificare gli obiettivi prefissati, si prevede, se necessario, un’attività di recupero. Il recupero prevede un ripasso dei principali risultati e loro applicazioni. Non potendo utilizzare il laboratorio di informatica, si prevede l’utilizzo di un laboratorio povero, che miri a far
“toccare con mano” il concetto teorico appreso o che si andrà ad apprendere. I ragazzi hanno
grosse difficoltà nell’apprendimento della geometria, a causa della mancanza di un linguaggio e
di comprensione dello stesso. Sono sempre meno abituati ad esprimersi e a far uso di un linguaggio rigoroso; tutto questo è aggravato dalla non conoscenza della lingua italiana. Può capitare di
incontrare ragazzi che hanno difficoltà a capire quanto espresso nel testo di un problema; altri
hanno difficoltà nel rappresentare graficamente quanto viene loro richiesto, altri ancora a formalizzare in maniera corretta ciò che hanno rappresentato.
STRUMENTI DI LAVORO
Lavagna e gessi colorati;
Cartoncini;
Forbici;
Tangram (per l’equiscomponibilità);
Libro di testo
VERIFICHE
Si prevedono:
Verifiche orali, per testare periodicamente quanto appreso.
Verifica sommativa al termine dell’unità didattica.
ATTIVITÀ DI RECUPERO
Se dalla verifica sommativa risulta che una buona parte della classe ha acquisito i contenuti
dell’unità didattica e ha raggiunto gli obiettivi minimi che questa prevede, ci si limiterà ad
un’attività di recupero durante la correzione del compito. Se il numero di coloro che hanno riportato una valutazione non sufficiente, è alto, si può pensare ad un ulteriore recupero di circa 2 ore
nelle quali si possono riassumere e commentare i principali risultati o ripetere un particolare risultato su richiesta dei ragazzi. Questo recupero viene effettuato nelle ore pomeridiane.
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FASI E TEMPI
L’unità didattica è suddivisa in 9 lezioni, per un totale di 14 ore che possono diventare 16 prevedendo 2 ore di recupero, oltre quello previsto durante la correzione della verifica sommativa.
Nel seguente schema riporto le fasi sintetizzate, in relazione alle ore, ai contenuti e alle metodologie.
SCHEMA RIASSUNTIVO
CONTENUTI
LEZIONE
METODOLOGIE E STRUMENTI
ORE
Introduzione al concetto di equivalenza suppor1°
Equivalenza
tato da esperienze spaziali. Lezione interatti-
1h
va/frontale.
2°
Equiscomponibilità
Criteri
3°
per
Aula: laboratorio povero
2h
Aula: utilizzo della lavagna e di gessi colorati
2h
Verifiche
1h
Aula: utilizzo della lavagna e di gessi colorati
2h
Lezione frontale.
1h
stabilire
l’equivalenza di particolari
poligoni
4°
5°
6°
Verifiche individuali ed esercizi
Il I teorema di Euclide ed il
teorema di Pitagora
II teorema di Euclide
Teorema di Pappo
Verifiche individuali ed eser-
7°
cizi: inverso del II teorema di
Euclide
8°
Verifica sommativa
9°
Restituzione del compito
Verifiche individuali
Esercitazioni in vista della prova sommativa
Somministrazione di una prova di verifica delle
conoscenze e delle competenze acquisite.
Correzione del compito ed eventuale recupero
1h
2h
2h
TOT 14h
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CONTENUTI E METODI NEL DETTAGLIO
1° LEZIONE: EQUIVALENZA (1 h)
Nella prima parte della lezione, che è di tipo interattivo e laboratoriale (“laboratorio povero”),
si parte dai concetti di superficie piana e di estensione di una superfici piana; tali concetti vengono assunti come primitivi. La lezione è arricchita da riferimenti storici. Essa inizia con una
discussione – dibattito per poi sfociare nella formalizzazione del concetto tramite l’introduzione
degli assiomi.
ESTENSIONE DI UNA SUPERFICIE PIANA
Si cerca di dare un’idea intuitiva di tali concetti, attraverso esperienze spaziali. In questo contesto l’insegnante mostra delle figure ritagliate da un cartoncino colorato, le pone su di un piano,
cercando di dare, attraverso l’immagine visiva, l’idea di ciò che viene chiamata superficie piana.
A
B
C
fig. 1
Dopo una breve riflessione si formalizza tale concetto con la seguente definizione: si chiama superficie piana limitata quella parte di piano delimitata da una linea chiusa.
Per quanto riguarda il concetto di estensione di una superficie piana possiamo pensare alla
quantità di vernice necessaria per colorare una sottile lamina o il cartoncino.
Nel passare al concetto di equivalenza è bene sollecitare l’interesse del giovane con domande –
stimolo del tipo “Cosa si intende per equivalenza?” Le possibili risposte a questa domanda possono aiutarci a capire se sono presenti, nei ragazzi, dei misconcetti a riguardo, ossia interpretazioni errate di informazioni ricevute precedentemente. Infatti nel linguaggio comune dire che due
oggetti sono equivalenti significa che sono uguali. E’ importante precisare che in matematica il
concetto di uguaglianza è associato a quello di congruenza mentre il concetto di equivalenza implica un’uguaglianza di aree. Ci si limita ad una definizione intuitiva di estensione superficiale (o
area) di una superficie piana, assumendo tale concetto come primitivo. Chiaramente due superfici uguali, cioè perfettamente sovrapponibili, mediante un movimento rigido, avranno la stessa
estensione.
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Premesso ciò, si può passare alla seguente definizione:
DEFINIZIONE DI SUPERFICI EQUIVALENTI
Due superfici A e B si dicono equivalenti, se hanno la stessa estensione, ed in simboli si scrive:
A =& B
Questo concetto può risultare ancora più chiaro se si confrontano due superfici che possono avere la stessa estensione pur avendo forme diverse. Se, per esempio, per ricoprire due pavimenti
diversi (uno di forma quadrata ed uno di forma rettangolare) occorre lo stesso numero di mattonelle (tutte dello stesso tipo), allora le superfici dei due pavimenti hanno la stessa estensione.
fig. 2
CURIOSITÀ STORICHE
Nella didattica può essere utile fornire una breve nota storica per stimolare maggior interesse. Si
può così far presente ai ragazzi che il concetto di equivalenza è presente fin dai tempi più antichi;
probabilmente si presentò all’uomo quando cominciò a vivere in comunità pressoché sedentarie.
Problemi relativi all’equivalenza erano già stati riscontarti dagli antichi Egizi: tutte le volte che il
Nilo ritirava le sue acque dopo un’inondazione essi dovevano ricostruire campi di estensione uguale a quella che gli stessi campi avevano in precedenza. La geometria nacque dal confronto di
estensioni di terreno. L’importanza data a tali questioni risulta palese non solo dalle notizie che
abbiamo sulla scienza egiziana, ma anche dal fatto che la scuola di Pitagora si occupò specialmente di quella parte della geometria che oggi si chiama “Teoria dell’equivalenza”. E’ noto che
gli antichi Cinesi avevano trovato formule relative all’area del triangolo e del trapezio. Anche i
Babilonesi sapevano determinare aree di trapezi, triangoli e cerchi. Ma ciò che ci interessa in
questo contesto non è la misura dell’estensione di una superficie piana. Fu solo con i Greci che il
problema dell’area venne affrontato sistematicamente, soprattutto per i poligoni, attraverso la
scomposizione degli stessi in parti congruenti.
POSTULATI
A questo punto, per sviluppare razionalmente l’argomento, è possibile introdurre dei postulati
che si riferiscono all’equivalenza:
Primo postulato: due superfici congruenti sono equivalenti
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In questo contesto occorre precisare, con i ragazzi, che l’asserzione inversa non è sempre vera in
quanto non è detto che due superfici equivalenti siano uguali! A questo proposito si possono
considerare due quadrati (di cartoncino) congruenti; ne tagliamo uno in due triangoli rettangoli
che possiamo successivamente accostare fra loro lungo un cateto. Otteniamo un quadrato ed un
triangolo fra loro equivalenti, perchè hanno la stessa estensione, ma NON congruenti (fig. 3).
fig. 3
Secondo postulato: l’equivalenza delle superfici piane gode delle seguenti proprietà:
a) Ogni superficie piana è equivalente a se stessa, cioè A =& A (proprietà riflessiva).
b) Se una superficie è equivalente ad un’altra, la seconda è equivalente alla prima, cioè
se A =& B , anche B =& A (proprietà simmetrica).
c) Due superfici equivalenti ad una terza, sono equivalenti fra loro, cioè se A =& B e
B =& C , anche A =& C (proprietà transitiva).
Poiché gode delle suddette proprietà tale relazione si definisce relazione d’equivalenza. Queste
proposizioni sono basate sull’intuizione e possono essere giustificate ricorrendo alle considerazioni fatte precedentemente per chiarire il concetto di superfici con uguale estensione.
Prima di dare gli altri postulati è bene precisare cosa si intende per somma e differenza di superfici piane:
se due figure A e B non hanno punti in comune, o hanno comuni solamente parti del loro
contorno, si definisce loro somma la figura formata dall’unione dei punti di A e di B. Tale
somma si indica con A+B ( fig. 4. a).
se la superficie C è la somma delle superfici A e B, si dice che A è la differenza fra C e B e si
scrive C – B. ( fig. 4. a).
a)
fig. 4
A questo punto si possono enunciare i seguenti:
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b)
Terzo postulato: somme e differenze di superfici equivalenti sono equivalenti
Per esempio: le parti in cui il triangolo della figura 5.a viene scomposto, sono disposte in
modo da formare il rettangolo della figura 5.b. Quindi i due poligoni sono equivalenti perchè
si ottengono sommando superfici uguali e quindi equivalenti.
fig. 5
a)
b)
Prendiamo un cartoncino e ritagliamolo lungo la linea tratteggiata (fig. 6.a). Posizioniamo la
superficie B come in figura 6.b. Le due superfici, il quadrato e la superficie di figura 6.b, sono equivalenti per somma.
B
B
A
A
fig. 6
a)
b)
Quarto postulato: la somma di superfici gode delle seguenti proprietà:
a)
A + B =& B + A (proprietà commutativa)
b) ( A + B ) + C =& A + ( B + C ) (proprietà associativa)
Possiamo pensare di confrontare le estensioni di due superfici. Da uno stesso cartoncino, ritagliamo due figure A e B. Dal confronto può risultare:
A> B
o
A =& B
o
A< B
Al confronto fra superfici si riferisce il quinto postulato:
Quinto postulato: una superficie non può essere equivalente ad una sua parte.
Questo postulato è detto Postulato di De Zolt. Quando una superficie A risulta avere
un’estensione maggiore di una superficie B, si dice che A è prevalente a B, oppure che B è suvvalente ad A. Il significato di questo postulato è di difficile comprensione. In particolare, l’apparente banalità dell’enunciato contrasta con la delicatezza del concetto che si nasconde dietro al
postulato stesso e che gli stessi matematici hanno sciolto solo nella seconda metà dell’800.
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2° LEZIONE: EQUISCOMPONIBILITÀ (2 h)
Lo scopo di questa lezione è quello di condurre pian piano lo studente al concetto di equiscomponibilità . Per rendere l’argomento più stimolante si cercherà di sollecitare la naturale curiosità del giovane incentrando il processo di insegnamento – apprendimento sul metodo della scoperta. A questo proposito ho allora pensato di trasformare questa lezione in un’attività di laboratorio “povero”. Si cercherà di trasformare l’apprendimento di un così importante concetto in
“gioco”: l’idea di scomposizione di una figura piana in parti congruenti viene data attraverso il
TANGRAM che si presta bene al lavoro di gruppo e che alcuni hanno incontrato nel ciclo inferiore.
COS’È IL TANGRAM? COMINCIAMO DALLA STORIA
Il Tangram è un antichissimo gioco cinese che risale al 740-730 a.C.. Si diffuse rapidamente nel
vasto impero cinese con il nome di “tavoletta della verità”, fino a diventare persino un oggetto di
culto. Nel 1800 il gioco arriva in Europa e trova appassionati in tutto il continente, basta pensare
che Napoleone divenne un accanito giocatore di Tangram durante il suo esilio nell’isola di
Sant’Elena.
Per costruire un Tangram si prende un cartoncino colorato di forma quadrata e lo si taglia a metà lungo una diagonale; si prende il
primo dei due triangoli ottenuti e lo si divide nuovamente a metà.
Si ricavano così due triangoli più piccoli che sono i primi due tan.
Si ritaglia il secondo triangolo rimasto (quello grande) seguendo
una linea che unisce i punti medi dei cateti, si otterranno un trian-
fig. 7
golo, che rappresenta il terzo tan, e un trapezio.
Si prende il trapezio ottenuto e si ritaglia lungo una linea perpendicolare che unisce un’estremità
della base minore del trapezio a quella maggiore, si ottengono un triangolo (quarto tan) e un trapezio rettangolo. Si ritaglia quest’ultimo dividendo a metà la base minore del trapezio e tracciando, per quel punto, la sua perpendicolare; si ottiene così un quadrato (quinto tan). Infine,
con un ultimo taglio parallelo al lato obliquo del trapezio rimasto, otteniamo gli ultimi due pezzi:
un piccolo triangolo ed un parallelogramma.
In sostanza, da un quadrato, si ottengono sette figure geometriche, con le quali si possono costruire altre figure dal contorno dato. Giocare con il Tangram può sembrare facile, soprattutto
quando lo si vede già assemblato sotto forma di quadrato, ma si trova difficoltà a comporre un
quadrato una volta tolti i pezzi dalla scatola. Il Tangram non è un rompicapo come tanti altri: do-
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po averci giocato un po’, i ragazzi possono apprezzare la sottile eleganza con cui è stato diviso il
quadrato. E’ possibile rappresentare lo stesso oggetto in posizioni differenti.
L’approccio materiale è utile dal punto di vista metodologico, in quanto aiuta la comprensione di
determinati concetti, derivandoli dall’esperienza.
fig. 8
ESEMPI DI FIGURE COSTRUITE CON IL TANGRAM
Introdotte, allora le regole del gioco, si formano dei gruppi che lavoreranno alla costruzione del
Tangram. Dopo aver realizzato il Tangram, verrà consegnato un foglio con delle immagini da realizzare e al termine dell’attività ogni gruppo mostrerà al resto della classe i disegni ottenuti. A
questo punto si può far riflettere i ragazzi sul fatto che di tutte le immagini create, anche se lontane dalle figure geometriche elementari, si può determinare l’estensione in quanto ciascuna di
esse è equivalente al quadrato di partenza.
POLIGONI EQUISCOMPONIBILI
Due poligoni si dicono equiscomponibili se possono essere suddivisi in un numero finito di poligoni a due a due congruenti.
Considerato un ottagono (in cartoncino) e la figura composta da una successione di rombi creati
unendo gli spicchi colorati dell’ottagono, ho due figure equicomposte:
fig. 9
Con il gioco del Tangram i ragazzi si rendono subito conto che se due poligoni piani sono equiscomponibili allora essi saranno anche equivalenti (Teorema di Bolyai - Gerurin). Questo studio
risale a tempi piuttosto recenti: XIX secolo. E bene precisare che il viceversa vale SOLO nel
PIANO, non si può estendere ai solidi nello spazio. Tale questione fu inclusa nella lista di problemi posti da Hilbert nel 1900 e fu risolta nel 1903 da Dehn, il quale mostrò che esistono due
tetraedri di ugual volume che non possono essere decomposti in parti a due a due uguali. Anche
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se consideriamo un cerchio di raggio 1 ed un quadrato, essi non sono equiscomponibili ma possono essere equivalenti: basta che il quadrato abbia lato pari a
π . Quindi nel caso in cui le fi-
gure a cui ci si riferisce non sono necessariamente poligoni, allora l’equiscomponibilità diventa
condizione sufficiente ma non necessaria per l’equivalenza.
PER CASA: studiare quanto visto a lezione
3° LEZIONE:
COPPIE DI POLIGONI EQUIVALENTI (2h)
La lezione inizia con un breve riepilogo dei concetti affrontati nella lezione precedente. Tale riepilogo è però fatto dai ragazzi, in modo tale che l’insegnante possa capire se i concetti sono stati
appresi o meno, effettuando delle valutazioni. Il resto della lezione viene poi dedicato agli enunciati dei teoremi relativi all’equivalenza di coppie di poligoni con determinate caratteristiche.
Saranno utilizzati la lavagna e gessi colorati.
TEOREMA 1
Se due parallelogrammi hanno congruenti le basi e le altezze corrispondenti, allora sono equivalenti.
fig. 10
dim.:
Si considerino i parallelogrammi ABCD e MNPQ. Sopra il lato AB e dalla stessa parte di ABCD
si costruisca il parallelogrammo ABEF congruente a MNPQ: per la proprietà transitiva basterà
provare l’equivalenza dei parallelogrammi ABCD e ABEF.
fig. 11
Poiché hanno la stessa altezza, i lati CD ed EF, opposti alla base AB si troveranno sopra una medesima retta parallela alla base stessa. Si possono distinguere tre casi:
a) i lati CD ed EF hanno una parte comune, sono cioè parzialmente sovrapposti;
12
fig. 12
b) i lati CD ed EF hanno un estremo in comune;
E≡D
fig. 13
c) i lati CD ed EF non hanno nessun punto in comune.
fig. 14
Per ogni caso, si considerino i due triangoli AFD e BEC e si osservi che:
DÂF ≅ CB̂E perché angoli con i lati paralleli e concordi
AD ≅ BC
perché lati opposti di un parallelogramma
AF ≅ BE
quindi saranno congruenti per il 1° criterio di congruenza.
In ciascuno dei tre casi i due parallelogrammi ABCD e ABEF si ottengono togliendo al trapezio
ABCF rispettivamente i triangoli BEC ed AFD, tra loro congruenti. Allora per
l’equiscomponibilità ABCD e ABEF sono fra loro equivalenti. Per la proprietà transitiva
dell’equivalenza si ha:
ABCD =& ABEF ⇒ ABCD =& MNPQ
(c.v.d.)
COROLLARIO
Ogni parallelogrammo è equivalente ad un rettangolo avente base ed altezza rispettivamente
congruenti.
13
fig. 15
TEOREMA 2
Un triangolo è equivalente ad un parallelogrammo che abbia per base metà base del triangolo e
per altezza la stessa altezza del triangolo.
dim.
fig. 16
Per il primo teorema, se dimostriamo l’equivalenza fra ABC ed un qualsiasi parallelogrammo che
abbia per base metà base del triangolo e per altezza la stessa altezza del triangolo, allora avremo
dimostrato l’equivalenza fra ABC e tutti i parallelogrammi aventi per base metà base del triangolo e per altezza la stessa altezza del triangolo.
Tra tutti i possibili parallelogrammi con le caratteristiche richieste, ne costruiamo uno particolare
(perché risulterà di facile trattazione): dal punto medio D della base AB si conduca la parallela al
lato AC, che incontrerà in E la parallela al lato AB condotta per il vertice C.
fig. 17
Detto F il punto di intersezione dei segmenti BC e DE, i triangoli BDF e CFE sono congruenti
per il 1° criterio di congruenza avendo:
CF ≅ FB perché la parallela al lato AC condotta dal punto medio D di AC incontra il lato BC nel
suo punto medio F
CE ≅ DB perché entrambi congruenti ad AD
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FĈE ≅ FB̂D perché angoli alterni interni individuati dalla trasversale BC con le rette parallele
AB e CE. Allora il parallelogramma ADEC ed il triangolo ABC sono equivalenti perché equi-
scomponibili, infatti sono composti dal trapezio comune ADFC e dai due triangoli FEC e DBF
ordinatamente congruenti. Per la transitività:
ABC =& ADEC ⇒ ABC =& MNPQ (c.v.d.)
COROLLARIO
Due triangoli aventi basi ed altezze congruenti sono equivalenti.
TEOREMA 3
Un trapezio è equivalente ad un triangolo avente base congruente alla somma delle basi del trapezio ed altezza congruente.
dim.
fig. 18
Per il corollario del secondo teorema, se dimostriamo l’equivalenza fra ABCD ed un qualsiasi
triangolo che abbia base congruente alla somma delle basi del trapezio e per altezza la stessa altezza del trapezio, allora avremo dimostrato l’equivalenza fra ABCD e tutti i triangoli aventi base
congruente alla somma delle basi del trapezio ed altezza congruente all’altezza del trapezio.
Eseguiamo la seguente costruzione: sul prolungamento della base AB si prenda il segmento BE
congruente alla base CD e si congiunga D con E.
fig. 19
Detto F il punto di intersezione dei segmenti BC e DE, i triangoli DFC e EFB risultano congruenti per il 2° criterio di congruenza avendo:
DC ≅ BE per costruzione
DĈF ≅ EB̂F perché angoli alterni interni formati dalle parallele DC e AE con la trasversale CB
CD̂F ≅ BÊF perché angoli alterni interni formati dalle parallele DC e AE con la trasversale DE.
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Allora il trapezio ABCD ed il triangolo ADE sono equivalenti perché equiscomponibili, infatti
sono composti dal quadrilatero comune ABFD e dai due triangoli DFC e EFB ordinatamente
congruenti:
ABCD =& ADE ⇒ ABCD =& MNP
(c.v.d.)
TEOREMA 4
Un quadrilatero aventi le diagonali perpendicolari è equivalente alla metà del rettangolo avente
dimensioni uguali alle diagonali del quadrilatero.
dim. :
Sia ABCD un quadrilatero le cui diagonali AC e BD sono
perpendicolari. Le parallele alle diagonali, condotte per i
vertici del quadrilatero determinano, intersecandosi, un
rettangolo MNPQ le cui dimensioni sono uguali alle diagonali del quadrilatero. La diagonale AC divide ABCD in
due triangoli ACD e ABC. Il triangolo ACD è equivalente
alla metà del rettangolo MACQ, avente la sua stessa base
fig. 20
AC e stessa altezza OD.
Il triangolo ABC è equivalente alla metà di ACPN avente stessa base AC e stessa altezza OB. Il
quadrilatero ABCD è equivalente alla metà di MNPQ, somma dei due rettangoli MACQ e ACPN
avendo una dimensione uguale ad AC e l’altra uguale a BD = OD + OB.
ROMBO
Caso particolare del teorema precedente è il seguente corollario:
Un rombo è equivalente alla metà di un rettangolo avente dimensioni uguali alle diagonali del rombo.
fig. 21
In questo contesto si chiedono ai ragazzi alcune proprietà dei quadrilateri: la definizione di rombo e le sue proprietà e più in generale la definizione di parallelogramma e sue proprietà. Con i
ragazzi si riassumono le conoscenze sui quadrilateri particolari con la simbologia insiemistica,
visualizzando con un diagramma di Venn.
16
TEOREMA 5 ( SENZA DIM.)
Ogni poligono circoscritto ad una circonferenza è equivalente ad un triangolo avente per base il
perimetro del poligono e per altezza il raggio della circonferenza1.
Alla fine della lezione verrà fatto il punto della situazione. Riassumendo quanto detto, infatti,
abbiamo dimostrato come, a partire da un parallelogrammo, sia possibile costruirsi un triangolo
ad esso equivalente e come, a partire da un triangolo, sia invece possibile costruirsi un trapezio
equivalente.
ESERCIZI PER CASA:
1. Disegna un parallelogramma ABCD e prendi sulla
diagonale minore AC un punto E qualunque. Unisci
E
con
B
e
D
(vedi
figura).
Dimostra
che BEC =& DEC .
2. Tra un parallelogramma P ed un triangolo T con altezze uguali e tali che la base di P è la
quarta parte di quella di T, quale relazione sussiste? Motiva la risposta.
3. Un triangolo e un rettangolo possono essere equivalenti?
4° LEZIONE: VERFICHE INDIVIDUALI ED ESERCIZI (1h)
La lezione ha inizio con la verifica degli esercizi assegnati precedentemente per casa e continuerà con verifiche individuali, utili all’insegnante per monitorare il processo di apprendimento. Di
seguito sono riportate alcune soluzioni
CORREZIONE ESERCIZI:
1. Disegna un parallelogramma ABCD e prendi sulla
diagonale minore AC un punto E qualunque. Unisci
E
con
B
e
D
(vedi
figura).
Dimostra
che BEC =& DEC .
1
Sia ABCDE il poligono circoscritto alla circonferenza di centro O e raggio r e PUV il triangolo avente la base PU congruente alla somma dei
segmenti PQ, QR, RS, ST e TU, rispettivamente congruenti ai lati AB, BC, CD, DE e EA del poligono, e avente l’altezza VH congruente a r.
Dimostreremo che il triangolo PUV è equivalente al poligono ABCDE.
Il triangolo ed il poligono risultano composti di triangoli a due a due equivalenti per avere basi ed altezze congruenti (corollario del secondo teorema), pertanto sono equiscomponibili, e dunque equivalenti. c.v.d.
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Si considerino i triangoli BEC e DEC sulla stessa base EC. Essi sono somma di triangoli fra loro
equivalenti. Infatti, detto O il punto di incontro delle diagonali si ha:
OCB =& OCD , perchè hanno basi congruenti OD ≅ OB (in quanto le diagonali di un paralle-
logramma si dividono scambievolmente a metà) e stessa altezza dal vertice E alle basi considerate;
OED =& OEB perchè hanno basi congruenti OD ≅ OB (in quanto le diagonali di un paralle-
logramma si dividono scambievolmente a metà) e stessa altezza dal vertice E alle basi considerate;
Allora i triangoli BEC e DEC sono equivalenti in quanto somma di triangoli equivalenti.
2. Tra un parallelogramma P ed un triangolo T con altezze uguali e tali che la base di P è
la quarta parte di quella di T, quale relazione sussiste? Motiva la risposta.
I ragazzi tendono a risolvere questo problema algebricamente, ricordando dalla scuola media le formule per
il calcolo delle aree. Non è sbagliato, ma si presuppone
che i ragazzi non conoscano ancora il concetto di misura. Si preferisce allora ragionare come segue:
se si considera il punto medio M di AE (base del triangolo T) e su AM si costruisce un nuovo parallelogramma AMND (P*) per il 2° teorema sui poligoni equivalenti si ha che: P* =& T . Allora
1
si intuisce facilmente che P =& T .
2
3. Un triangolo e un rettangolo possono essere equivalenti?
Sì, se il rettangolo ha un lato congruente a metà della base e l’altro all’altezza del triangolo.
Dopo la correzione degli esercizi le verifiche proseguono con altri esercizi e domande di teoria,
dimostrazione di teoremi....
5° LEZIONE : IL PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE E IL TEOREMA DI PITAGORA (2h)
In questa lezione saranno trattati noti teoremi relativi all’equivalenza di particolari poligoni: il
primo teorema di Euclide, il teorema di Pitagora e il secondo teorema di Euclide. I teoremi verranno dimostrati alla lavagna con l’ausilio di gessi colorati. Per affrontare tali dimostrazioni gli
studenti devono essenzialmente ricordare i criteri di congruenza dei triangoli, la definizione e le
proprietà (in particolare quella transitiva) dell’equivalenza ed i teoremi sull’equivalenza tra po-
18
ligoni. In realtà i ragazzi già conoscono le relazioni metriche di tali teoremi, quindi per facilitarne la comprensione si può pensare di ricordare tali relazioni.
PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE
In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che
ha per lati l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.
Th: Q( AC ) =& R ( AH , AB)
Hp: ABC è un triangolo rettangolo in C.
dim.:
Dato il triangolo ABC, rettangolo in C, disegniamo il
quadrato ACDE sul lato AC ed il rettangolo AFGH, che
ha per lati l’ipotenusa AB e la proiezione AH del cateto
AC sull’ipotenusa.
Prolunghiamo i lati FA e GH del rettangolo AFGH, fino a incontrare il prolungamento del lato ED del quadrato ACDE rispettivamente nei punti M e N. Si osservi, innanzitutto, che il quadrilatero ACNM è un pafig. 22
rallelogramma, perché ha i lati opposti paralleli per costruzione.
I triangoli ABC e AME sono congruenti per il secondo criterio, perché hanno AC ≅ AE perchè lati di uno stesso
quadrato e ACˆ B ≅ MEˆ A . Inoltre EAˆ M ≅ CAˆ B dello stesso
fig. 23
angolo MAˆ C . In particolare, allora, hanno AB ≅ AM. Il
parallelogramma ACNM e il quadrato ACDE hanno la
stessa base AC e la stessa altezza AE, quindi sono equivalenti.
Il parallelogramma ACNM e il rettangolo AFGH hanno le basi congruenti (AM ≅ AF perché entrambe congruenti all’ipotenusa AB) e la stessa altezza AH, quindi sono equivalenti. Poiché
ACDE =& ACNM e ACNM =& AFGH, per la proprietà transitiva dell’equivalenza si ha che :
ACDE =& AFGH, ovvero Q( AC ) =& R ( AH , AB) .
19
In maniera analoga, eseguendo la costruzione sul cateto BC, si può dimostrare che
Q( BC ) =& R ( HB, AB ) . (c.v.d.)
TEOREMA DI PITAGORA
In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei
quadrati costruiti sui cateti.
Th: Q( AB) =& Q( AC ) + Q( BC )
Hp: ABC è un triangolo rettangolo in C.
Dim.:
Disegniamo i tre quadrati Q(AC), Q(BC) e Q(AB) rispettivamente sui lati AC, BC e AB del triangolo rettangolo ABC. Tracciamo l’altezza CH del triangolo e prolunghiamola in modo da scomporre il quadrato Q(AB)
nei due rettangoli R(AH, AB) e R(BH, AB). Per costruzione, quindi, si ha Q( AB ) =& R ( AH , AB ) + R ( BH , AB ) .
Poiché i segmenti AH e BH sono rispettivamente le
proiezioni dei cateti AC e BC sull’ipotenusa AB, si può
applicare
fig. 24
il
primo
teorema
di
Euclide:
Q( AC ) =& R ( AH , AB) e Q( BC ) =& R ( BH , AB) .
Poiché somme di figure equivalenti sono equivalenti, risulta:
Q( AC ) + Q( BC ) =& R ( AH , AB ) + R ( HB, AB )
Per la proprietà transitiva dell’equivalenza si ha:
Q( AB) =& Q( AC ) + Q( BC ) . (c.v.d.)
A questo punto per esercizio l’insegnante propone ai ragazzi di dimostrare che vale l’inverso del
teorema di Pitagora. L’esercizio viene svolto da un ragazzo alla lavagna, con l’aiuto
dell’insegnante.
TEOREMA INVERSO DI PITAGORA
Un triangolo è rettangolo se il quadrato costruito su un lato è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati.
Hp: Q( AB) =& Q( AC ) + Q( BC )
Th: ABC è un triangolo rettangolo in C.
20
dim:
Disegniamo il triangolo rettangolo DEF avente i cateti DF ed
EF rispettivamente congruenti ai lati AC e BC del triangolo
ABC. Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo DEF, si ha :
Q( DE ) =& Q( DF ) + Q( EF )
Ma, poiché DF ≅ AC e EF ≅ BC per costruzione, si ha che:
Q( DF ) =& Q( AC ) e Q( EF ) =& Q( BC )
Poiché somme di figure equivalenti sono equivalenti, risulta:
fig. 25
Q( DF ) + Q( EF ) =& Q( AC ) + Q( BC )
Dal momento che, per ipotesi, Q( AB) =& Q( AC ) + Q( BC ) , applicando la proprietà transitiva della
equivalenza si ottiene che Q( AB ) =& Q( ED ) ; quindi deve essere anche AB ≅ DE.
I due triangoli ABC e DEF, avendo i tre lati congruenti, sono congruenti per il terzo criterio; pertanto anche i loro angoli corrispondenti sono congruenti. In particolare, allora, Cˆ ≅ Fˆ . Quindi il
triangolo ABC è rettangolo in C. (c.v.d.)
OSSERVAZIONE
Si fa notare ai ragazzi che il Teorema di Pitagora esprime il fatto che: “Essere triangolo rettangolo è condizione sufficiente affinché valga la condizione pitagorica” o, equivalentemente che: “La
relazione pitagorica è condizione necessaria affinché il triangolo sia rettangolo”. Il teorema di Pitagora non esprime quindi una condizione necessaria e sufficiente, ma affinché questo avvenga è
necessario dimostrarne il teorema inverso. Analoghe considerazioni potranno essere fatte per i
teoremi di Euclide. Nell’invertire un teorema bisogna fare attenzione: può infatti capitare che lo
studente assuma implicitamente la tesi per dimostrarla. Ciò dal punto di vita logico è inaccettabile in quanto costituisce un circolo vizioso.
Negli Elementi, Euclide ha enunciato (proposizione VI, 31 degli Elementi) la generalizzazione
del teorema di Pitagora: nei triangoli rettangoli la figura descritta sul lato opposto dell’angolo
retto è uguale alla somma delle figure simili e similmente descritte sui lati che comprendono
l’angolo retto.
21
fig. 26
CURIOSITÀ
Pitagora è il secondo matematico greco che si incontra dopo Talete, e come Talete, è una figura
avvolta nella leggenda. Pitagora, profeta e mistico, nacque verso il 575 a.C. a Samo, una delle
isole del Dodecanneso, non lontano da Mileto, Patria di Talete. Il fatto che Pitagora rimanga una
figura molto oscura, è dovuto alla perdita di documenti di quel tempo, infatti le notizie che si
hanno su di lui e sulle sue scoperte sono basate sulla tradizione e non su documenti storici. Il teorema che viene associato al nome di Pitagora molto probabilmente aveva origini babilonesi. Per
giustificare la denominazione di Teorema di Pitagora, è stata avanzata l’ipotesi che i pitagorici
siano stati i primi a fornirne una dimostrazione; ma tale congettura non offre possibilità di verifica. Diverse sono le dimostrazioni del “Teorema di Pitagora”: quella fornita in questo contesto
sfrutta l’equivalenza fra le figure piane.
ESERCIZI PER CASA:
∆
1. Dimostrate che nel triangolo A B C rettangolo in A, presi due punti D ed E sui lati AB e
AC rispettivamente, la somma dei quadrati costruiti sui segmenti EB e DC è equivalente
alla somma dei quadrati costruiti sull’ipotenusa CB e ED.
2. Consideriamo un triangolo ABC, sui lati AB e BC costruiamo due parallelogrammi
BCDE e ABFG, i cui lati DE e FG, prolungati si incontrino nel punto H. Tiriamo la retta
HB che incontri in I la base AC. Preso il segmento IL, sulla retta che passa per H e per B,
congruente ad HB, costruiamo il parallelogrammo ACMN, con i lati AM e CN paralleli a
IL e ad esso congruenti. Questo parallelogrammo è equivalente alla somma di BCDE e
AFGB.
22
6° LEZIONE (1h)
La lezione ha inizio con la correzione degli esercizi precedentemente assegnati per casa, tra i
quali il Teorema di Pappo. Infine si darà ai ragazzi la dimostrazione del II teorema di Euclide
CORREZIONE ESERCIZI:
∆
1. Dimostrate che nel triangolo A B C rettangolo in A, presi due punti D ed E sui lati AB e
AC rispettivamente, la somma dei quadrati costruiti sui segmenti EB e DC è equivalente
alla somma dei quadrati costruiti sull’ipotenusa CB e ED.
Per il Teorema di Pitagora applicato ai triangoli ABC,
EAD, CAD, EAD, tutti rettangoli in A, si ha:
Q( BC ) =& Q( AB) + Q( AC )
Q( ED) =& Q( EA) + Q( AD)
Q(CD ) =& Q( AC ) + Q( AD)
Q( EB) =& Q( AB) + Q( EA)
Sommando le ultime due tra loro e le prime due tra loro, si ha:
Q(CD ) + Q( EB ) =& Q( AC ) + Q( AD ) + Q( AB ) + Q( EA) =& Q( AB ) + Q( AC ) + Q( ED )
Q( BC ) + Q( ED ) =& Q( AB ) + Q( AC ) + Q( AD ) + Q( EA) =& Q( AB ) + Q( AC ) + Q( ED )
Confrontando queste ultime due relazioni si giunge alla tesi:
Q(CD ) + Q( EB ) =& Q( BC ) + Q( ED )
2. Consideriamo un triangolo ABC, sui lati AB e BC costruiamo due parallelogrammi
BCDE e ABFG, i cui lati DE e FG, prolungati si incontrino nel punto H. Tiriamo la retta
HB che incontri in I la base AC. Preso il segmento IL, sulla retta che passa per H e per
B, congruente ad HB, costruiamo il parallelogrammo ACMN, con i lati AM e CN paralleli a IL e ad esso congruenti. Questo parallelogrammo è equivalente alla somma di
BCDE e AFGB.
H
G
Per dimostrarlo prolunghiamo i lati CN, fino a incontrare in
E
B
O il segmento DE, e AM, fino a incontrare in P il segmento
FG. Il parallelogrammo BCDE è equivalente al parallelogrammo BCOH, dato che hanno la stessa base BC e stanno
O
P
F
D
A
I
C
tra le rette parallele BC e HD.
M
23
L
N
Per lo stesso motivo BCOH è equivalente a ICNL, dato che la base HB è congruente a IL per
costruzione e stanno tra le parallele HL e OC. Di conseguenza i parallelogrammi BCDE e ICNL
sono equivalenti ed, in modo analogo, risultano equivalenti anche AFGB e AILM. Dunque la
somma di BCDE e AFGB è equivalente a ACML. (c.v.d.)
Quanto appena dimostrato prende il nome di teorema di Pappo (matematico greco del V secolo
d.C.). Esso può essere visto come una generalizzazione del teorema di Pitagora, in quanto si applica ad un triangolo qualsiasi. Infatti se l’angolo in B è retto e BCDE e AFGB sono due quadrati, il segmento HB, e dunque IL, è congruente all’ipotenusa AC (dato che GBEH è un rettangolo
con i lati congruenti ai cateti) e la retta HL è perpendicolare ad AC, per cui il parallelogrammo
ACNM è il quadrato dell’ipotenusa. Questo teorema viene anche detto “Teorema di Pitagora al
sole”:se mettiamo al sole la figura pitagorica, nella sua ombra il triangolo non è più rettangolo e i
quadrati diventano parallelogrammi, ma la loro area è doppia di quella del quadrato da cui proviene. Questo mi dice che vale la proprietà pitagorica.
SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE
In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
Tesi: Q(CH ) =& R( AH , HB )
Ipotesi: ABC è un triangolo rettangolo in C.
dim.
Si costruisca il quadrato Q(AC) sul lato AC ed il rettangolo
ANMH come si è fatto per il primo teorema di Euclide (in
figura il rettangolo R(AH,AB)); si prenda poi sopra HM un
segmento HP ≅ AH e da P si conduca la parallela ad AH
fino ad incontrare in Q il segmento AN.
Il quadrilatero AQPH costruito in tal modo è un quadrato
(in figura è Q(AH)). Applicando il teorema di Pitagora al
triangolo AHC rettangolo in H, si ha:
Q( AC ) =& Q( AH ) + Q(CH ) .
fig. 27
Ma, per il primo teorema di Euclide, si ha:
Q( AC ) =& R ( AH , AB ) .
Quindi, confrontando le due relazioni; si ottiene:
24
R ( AH , AB ) =& Q( AH ) + Q(CH ) .
Se si toglie da ambo i membri il quadrato Q(AH), poiché differenze di superfici equivalenti sono
equivalenti, si può scrivere: R ( AH , HB) =& Q(CH ) . Questa equivalenza dimostra il teorema, in
quanto HM ≅ AB , HP ≅ AH e risulta PM ≅ HB ; poiché PQ ≅ AH si vede che il rettangolo
R(AH,AB) ha per lati le proiezioni dei cateti AC e CB sull’ipotenusa. (c.v.d.)
ESERCIZI PER CASA:
Studiare quanto visto a lezione e dimostrare l’inverso del II teorema di Euclide:
Se in un triangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa al lato maggiore è equivalente al
rettangolo che ha le dimensioni uguali alle proiezioni degli altri due lati sul primo, allora il
triangolo è rettangolo.
7°
LEZIONE: ESERCIZI E VERIFICHE INDIVIDUALI (1h)
Questa lezione è interamente dedicata ad esercizi in vista della prova sommativa. Contemporaneamente si intende verificare il processo di apprendimento tramite verifiche orali. La lezione ha
inizio con la correzione dell’esercizio assegnato precedentemente per casa e seguirà con domande teoriche ed ulteriori esercizi. Di seguito è riportato lo svolgimento dell’esercizio per casa.
CORREZIONE ESERCIZI
Se in un triangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa al lato maggiore è equivalente al
rettangolo che ha le dimensioni uguali alle proiezioni degli altri due lati sul primo, allora il
triangolo è rettangolo.
dim.:
Sia CH l’altezza relativa al lato maggiore AB di un triangolo ABC.
Per ipotesi il quadrato CHPN costruito su CH è equivalente al rettangolo AHOT costruito in modo che HO = HB. Proviamo che
ACB è retto.
Dall’ipotesi segue:
AOH =& CPH
e AOP =& COP
ottenuti dai precedenti aggiungendo il triangolo OHP
AC // OP
25
perchè i triangoli equivalenti AOP e COP, avendo la stessa base, avranno uguali le relative altezze. Detto Q il punto comune alle rette OB e CP, si vede che i triangoli HPC e HOB sono rettangoli isosceli per cui, gli angoli HPC e HBO coincidono e sono pari alla metà di un angolo retto.
Inoltre HPC = QPB perchè opposti al vertice. Allora PQB è retto. Di conseguenza CQ e BH sono le due altezze del triangolo BCO, perciò ne individuano l’ortocentro P. Ne segue che la retta
OP è perpendicolare a BC e quindi la sua parallela AC è perpendicolare a BC. Quindi l’angolo
ABC è retto. (c.v.d.)
La lezione prosegue con verifiche individuali in cui vengono chiesti i teoremi dimostrati a lezione e la risoluzione di alcuni problemi, che servono ai ragazzi per esercitarsi in vista del compito
in classe.
8°
LEZIONE: VERIFICA SOMMATIVA (2h)
1. Considera le seguenti figure:
Si può dire che le due figure sono congruenti? Equiscomponibili? Ed equivalenti?. Motivare le risposte.
2. Dimostrare che un rettangolo è equivalente ad un triangolo avente la base e l’altezza rispettivamente congruenti alla base e al doppio dell’altezza del rettangolo.
3. Dimostrare che due triangoli equivalenti e che hanno basi congruenti, hanno uguali anche
le altezze.
4. Disegna un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa BC e il cateto minore AB. Sia M il
punto medio AB ed H il piede della perpendicolare condotta da M a BC. Dimostra che il
quadrato costruito su AC è equivalente alla differenza dei quadrati costruiti su CH e BH.
[Suggerimento: traccia la mediana CM.]
5. Enuncia e dimostra il II Teorema di Euclide.
6. Enuncia e dimostra l’inverso del I Teorema di Euclide
26
9°
LEZIONE:RESTITUZIONE DELLA PROVA (2h)
In questa lezione si riconsegnano ai ragazzi i compiti corretti, fornendo loro le opportune spiegazioni a riguardo. Si discutono gli errori, momento essenziale dell’attività formativa, cercando però di sdrammatizzarli affinché gli alunni più deboli non si sentano frustati nei confronti di quelli
più bravi, ma acquistino senso di adeguatezza e fiducia nelle proprie capacità. Le principali difficoltà incontrate dagli studenti si riscontrano nella lettura e nella comprensione del testo.
OSSERVAZIONI SUL COMPITO
La verifica si compone di sei problemi di differente difficoltà per permettere a tutti i ragazzi di
svolgerne almeno una parte. In particolare il primo, di semplice comprensione e svolgimento non
porta via tempo prezioso. Esso viene inserito per sdrammatizzare la verifica che verte soltanto su
argomenti di geometria, tipologia alla quale i ragazzi non sono abituati. L’ultimo quesito, richiede la capacità di saper invertire un teorema, enunciarlo correttamente, e saper individuare
l’opportuna strategia dimostrativa. In questo contesto lo studente dovrà fare attenzione a non ricadere nell’errore di assumere implicitamente la tesi per dimostrarla: cosa che dal punto di vista
logico è inaccettabile perchè costituisce un circolo vizioso. Il compito è stato preparato dopo aver scelto gli obiettivi da verificare. La scelta è avvenuta tenendo conto anche degli obiettivi verificati durante le verifiche individuali in itinere e dell’esito di tali verifiche. Nella tabella seguente sono riportate le corrispondenze fra gli obiettivi richiesti e i quesiti della prova:
OBIETTIVO a) b) c) d) e)
f)
g) a.1) b.1) c.1) d.1) e.1) f.1) g.1) h.1)
Esercizio
1
• • •
•
•
2
• • •
•
•
3
•
•
•
4
•
•
5
6
•
•
•
27
CRITERI
DI VALUTAZIONE
Nella valutazione della prova si tiene conto di alcuni parametri e di attribuire un punteggio:
PARAMETRI
PUNTEGGIO
Corretta
Rappresentazione dei dati noti
Completa
3
Precisa
Individuazione della strategia risolutiva
Corretta
Veloce
Rappresentazione e/o formalizzazione dei risultati
ottenuti
2
Corretta
Completa
3
Precisa
Nel dettaglio per ogni esercizio si può tener conto dei seguenti parametri:
ESERCIZIO
PARAMETRI
PUNTEGGIO
Rappresentazione e/o formalizzazione dei risul3
tati ottenuti
Rappresentazione dei dati noti
3
Individuazione della strategia risolutiva
2
2
Rappresentazione e/o formalizzazione dei risul3
tati ottenuti
Rappresentazione dei dati noti
3
Individuazione della strategia risolutiva
2
3
Rappresentazione e/o formalizzazione dei risul3
tati ottenuti
Rappresentazione dei dati noti
3
Individuazione della strategia risolutiva
2
4
Rappresentazione e/o formalizzazione dei risul3
tati ottenuti
Rappresentazione dei dati noti
3
Individuazione della strategia risolutiva
2
5
Rappresentazione e/o formalizzazione dei risul3
tati ottenuti
Rappresentazione dei dati noti
3
Individuazione della strategia risolutiva
2
6
Rappresentazione e/o formalizzazione dei risul3
tati ottenuti
Ho pensato di attribuire ad ogni quesito un punteggio. Il massimo punteggio raggiungibile è 43.
1
Volendo attribuire voti dal 3 al 10, si ha:
28
Voto = voto min +
Pg − Pmin
Pmax − Pmin
⋅ range
dove votomin = 3; Pg= punteggio grezzo dell’allievo; Pmin = 0; Pmax= 43; range = 10 – 3 = 7
Nella restituzione dei compiti, non viene dato ai ragazzi soltanto un voto sintetico, ma anche un
giudizio volto a orientare il ragazzo nel suo studio.
Il compito è stato svolto da 24 alunni, e i risultati raggiunti sono stati, nel complesso, positivi:
soltanto 2 le insufficienze gravi . La situazione rilevata è stata rappresentata dal seguente diagramma a torta:
Risultati della verifica sommativa
Gravemente
insufficiente
Ottimo
Buono
Lievemente
insufficiente
Sufficiente
Discreto
29
BIBLIOGRAFIA
Bergamini, Trifone, Zagnoli; Corso di matematica 2 – Geometria, Ed. Zanichelli
Boyer Carl B., Storia della matematica, Milano, Mondadori, 2004
Dodero N., Baroncini P., Manfredi R., Lineamenti di geometria, Ghisetti e Corvi Editori, Milano
2000.
Domingo Paola, Claudio Romeni, Manuale di algebra, geometria, informatica, vol.2, Edizioni
Archimede
Lamberti L., Mereu L., Nanni A., Corso di matematica – Geometria ETAS, Milano, 2007
Ottaviani, “Appunti su area ed equivalenza”, www.math.unifi.it.
30
