ARITMETICA MODULARE
PROBLEMA
Fra 2357 ore, in quale giorno della settimana ci troveremo? E in quale
ora del giorno?
Soluzione
Determiniamo quoziente e resto della divisione tra 2357 e 24 (lo possiamo fare perché
quoziente e resto sono unici):
2357 24 98 5
1a risposta:
ora del giorno: 10.15+5=15.15
Il quoziente “98” rappresenta il numero dei giorni; quante settimane?
98 7 14 0
Sono esattamente 14 settimane:
2a risposta:
giorno della settimana: sabato
Come si può osservare facilmente, in situazioni nelle quali compaiono dei “periodi” la conoscenza
dei resti permette soluzioni rapide.
Questo modo di operare introduce ad importanti generalizzazioni, che hanno come concetto
fondamentale le classi di resto modulo k (k>0).
Estendiamo il concetto di divisibilità in N all’insieme Z (insieme dei numeri interi) omettendo la
dimostrazione della unicità di q ed r, purché r sia positivo o nullo
Es: dividiamo -53 con 7: 53 7 (8) 3
CLASSI DI RESTO MODULO K
Definizione 1
Se k Z 0 e a, b Z , si dice che a è congruo a b modulo k e si scrive :
a bmod k oppure a b
k
se k / (a-b)
(k divide (a-b))
N.B. Il significato è : a e b divisi per k ammettono lo stesso resto.
Infatti, se a k q1 r1 e b k q2 r2 a b k (q1 q2 ) r1 r2 ,
ma allora
k / (a-b) r1=r2
Teorema 1
è una relazione di equivalenza.
k
Dimostrazione
Proprietà riflessiva: a a (banale)
k
Proprietà simmetrica: a b b a
k
infatti se a b a b kq , ma allora b a k (q)
k
k
perciò b a
k
a b kq e b c kq'
a b b c kq kq'
Proprietà transitiva: a b e b c a c
k
k
k
a c k (q q' ) a c
k
Conseguenza: la relazione “congruo” divide l’insieme Z in classi di equivalenza ; quante?
La classe di resto 0 : 0 0, k ,k ,2k ,2k ,...... = c, q Z ; c k q 0
La classe di resto 1 : 1 1, k 1,k 1,2k 1,2k 1,......= c, q Z ; c k q 1
………….
La classe di resto k-1 : k 1 k 1,2k 1,1,2k ,k 1,......= c, q Z ; c k q k 1
Possiamo perciò costruire un nuovo insieme con un numero finito di elementi:
Z / Z k 0 1 ... k 1
k
che è appunto l’insieme delle classi di resto modulo k
Definiamo in questo nuovo insieme le operazioni di somma ( ) e di prodotto ( )
Definizione 2: se a, b Z k
a b a b
Si prova facilmente che l’operazione è ben fondata; infatti se a'a e b'b , allora
a'b' a b , poiché:
a kq1 r1 a' kq'1 r1
b kq2 r2
quindi:
b' kq'2 r2
a b k (q1 q2 ) (r1 r2 )
a'b' k (q'1 q'2 ) (r1 r2 )
avendo perciò lo stesso resto nella divisione con k , a b e a'b' individuano la stessa classe di
resto.
Definizione3: se a, b Z k
a b a b
Anche questa operazione è ben fondata; infatti se a'a e b'b ,utilizzando le notazioni
precedenti:
a b k (kq1q2 q1r2 q2 r1 ) (r1r2 )
a'b' k (kq'1 q'2 q'1 r2 q'2 r1 ) (r1r2 )
avendo perciò lo stesso resto nella divisione con k , a b e a'b' individuano la stessa classe di
resto.
Per capire di quali proprietà godono le operazioni somma e prodotto facciamo alcuni esempi,
rappresentando le tabelle relative a Z5 e Z6.
Z5
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
4
1
3
3
3
1
4
2
4
4
3
2
1
Come si può facilmente desumere dalle tabelle entrambe le operazioni godono delle seguenti
proprietà:
Sono operazioni interne
Vale la proprietà associativa
Esiste l’elemento neutro ( 0 per la somma, 1 per il prodotto)
Ogni elemento ha il suo inverso
Vale la proprietà commutativa
Si può quindi dire che Z 5 , è un gruppo abeliano e Z 5 0, è un gruppo abeliano;
valendo inoltre la proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto, Z 5 ,, è un campo
commutativo.
Z6
Le cose cambiano con
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
0
2
2
3
4
5
0
1
3
3
4
5
0
1
2
4
4
5
0
1
2
3
5
5
0
1
2
3
4
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
2
2
4
0
2
4
3
3
0
3
0
3
4
4
2
0
5
5
4
3
4 2
2 1
Dalle tabelle si desume che entrambe le operazioni godono delle seguenti proprietà:
Sono operazioni interne
Vale la proprietà associativa
Esiste l’elemento neutro ( 0 per la somma, 1 per il prodotto)
Vale la proprietà commutativa
Ma solo per la somma vale che:
Ogni elemento ha il suo inverso
Si può quindi dire che Z 6 , è un gruppo abeliano ma Z 6 0, non è un gruppo perché non
tutti gli elementi hanno l’inverso.
Valendo comunque la proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto, Z 6 ,, è un anello
commutativo con unità.
Nella tabella del prodotto compare un fatto interessante:
2 3 0, 4 3 0
Il prodotto di due elementi diversi da zero ha risultato zero!!!
Quando può succedere?
Teorema 2: Se a , b Z k , a 0, b 0 , allora a b 0 k non è primo
Dimostrazione:
Se k non è primo, allora k m n m, n 1 . Prendiamo due numeri a e b tali che a è
multiplo di m ma non di k, e b è multiplo di n ma non di k; ciò vuol dire che: a 0e
b 0 , mentre, essendo a b multiplo di m n , a b 0
Sia invece k primo; supponiamo a b 0, cioè ab 0 ; questo vuol dire che ab è
k
multiplo di k ; essendo k primo, k divide a o k divide b, ma ciò contraddice l’ipotesi
a 0, b 0
ALCUNE APPLICAZIONI
1)Criteri di divisibilità per 3 e per 9
un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3 o un multiplo di 3
un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è 9 o un multiplo di 9
Ricordiamo che un qualunque numero naturale in base 10 si può rappresentare in forma
polinomiale:
a an 10n an110n1 ... a110 a0
Utilizziamo le classi di resto modulo 3:
10 1, 10 2 1 , …, 10 n 1 ,
perciò:
an 10 n an110 n1 ... a110 a0 an an1 ...a1 a0
quindi:
a è divisibile per 3 ( an an1 ...a1 a0 ) è divisibile per 3
Nello stesso modo si può procedere per il nove.
2)La prova del nove
Consideriamo la seguente moltiplicazione
1235 467 576745
e la sua prova del 9
1+2+3+5=11 1+1=2
2*8=16
1+7=8
2
8
7
7
4+6+7=17
5+7+6+7+4+5=34
1+6=7
3+4=7
Operiamo in Z9
Per la def.3
1235 467 576745
Poiché in Z9
10 1 1235 1 2 3 5, 467 4 6 7 ,
1 2 3 5 4 6 7 5 6 7 4 5
576745 5 7 6 7 4 5
3)Quale è la cifra delle unità di 3100?
3100 = (325)4
325 = 3 312
312 = (33)4
2
Operiamo in Z10:
poiché
3 7 ,
3
calcoliamo (33 ) 4 7 7 7 7 9 9 1 ; da ciò
3 3 (1 3) 3 3 3 3 1
100
25 4
2
4
La cifra delle unità è quindi 1
Si può anche procedere in un altro modo.
Si può dimostrare che la cifra delle unità delle potenze di 3 segue un ciclo:
3, 9, 27, 81, 243, 729,…
3,9,7,1: è un ciclo di ordine 4
Per calcolare la cifra delle unità di 3n, basta calcolare in Z4 la classe di resto di n e prendere
la cifra corrispondente al posto n4
Esempio: Cifra delle unità di 3127:
127 31 4 3 il resto è 3 la cifra delle unità è quella di posto 3 la cifra cercata è 7
SVOLGERE OGNUNO DEI SEGUENTI QUESITI, DANDONE ESAURIENTE
GIUSTIFICAZIONE
1)In quale giorno della settimana cadrà il 24 febbraio del 2243 ?
2) Un numero, scritto in forma decimale, è divisibile per 11 se la differenza (presa in
valore assoluto), fra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto
dispari, è 0, 11 o un multiplo di 11; ( per es. 625834 è divisibile per 11 in quanto
(2+8+4)-(6+5+3)=14-14=0).
Giustificare tale criterio.
3)Dimostrare che il numero ( 265+1) è divisibile per 11.
4)Stabilire se in Z20 sono risolubili le equazioni:
3 x 4, 5 x 10 , 5 x 9 ;
quando sono risolubili, determinare tutte le soluzioni.
5)Si consideri la successione di Fibonacci: 0,1,1,2,3,5,8,… in cui ogni termine, a
partire dal terzo, è la somma dei due che lo precedono. Dimostrare che, in ogni
gruppo di quattro termini consecutivi, uno è divisibile per 3.
SVOLGERE OGNUNO DEI SEGUENTI QUESITI, DANDONE ESAURIENTE
GIUSTIFICAZIONE
1)In quale giorno della settimana cadrà il 24 febbraio del 2243 ?
2) Un numero, scritto in forma decimale, è divisibile per 11 se la differenza (presa in
valore assoluto), fra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto
dispari, è 0, 11 o un multiplo di 11; ( per es. 625834 è divisibile per 11 in quanto
(2+8+4)-(6+5+3)=14-14=0).
Giustificare tale criterio.
3)Dimostrare che il numero ( 265+1) è divisibile per 11.
4)Stabilire se in Z20 sono risolubili le equazioni:
3 x 4, 5 x 10 , 5 x 9 ;
quando sono risolubili, determinare tutte le soluzioni.
5)Si consideri la successione di Fibonacci: 0,1,1,2,3,5,8,… in cui ogni termine, a
partire dal terzo, è la somma dei due che lo precedono. Dimostrare che, in ogni
gruppo di quattro termini consecutivi, uno è divisibile per 3.
