CAPITOLO II
EVENTO E PROBABILITA’
2.1 _ Logica proposizionale
La logica o scienza del discorso si occupa dei procedimenti mentali che collegano fra
loro ipotesi e tesi, le seconde derivate dalle prime tramite un processo deduttivo. Non tratta
quindi delle verità delle affermazioni, ma della loro coerenza. Essa fa uso degli enunciati
di tipo dichiarativo o descrittivo, cioè di quelle proposizioni che esprimono opinioni,
giudizi, credenze, valutazioni, situazioni di fatto, o più specificamente delle proposizioni
decidibili: Roma è capitale d’Italia; 2 è maggiore di 5. Le proposizioni possono essere
semplici e composte. Per proposizione p di tipo semplice intendiamo una asserzione
verbale, linguistica o un enunciato, per cui ha senso dire, senza ambiguità, che è vera o
falsa (logica bivalente.
Le proposizioni semplici collegate attraverso i termini "non", "e", "o", "oppure",
"se...allora", usati continuamente nel linguaggio naturale in varie forme, danno origine alle
proposizioni composte. In grammatica tali termini sono chiamati congiunzioni
proposizionali o connettivi del linguaggio e nel contesto della logica si chiamano
connettivi logici. A noi interessa non tanto la costruzione di tali proposizioni, ma quanto
stabilire il loro "valore di verità”, partendo dal valore di verità delle proposizioni
componenti.
Oggetto della logica è esattamente questa ricerca del valore di verità delle
proposizioni composte, chiamata anche calcolo proposizionale o algebra delle
proposizioni; in essa le operazioni (implicazione, negazione, congiunzione, disgiunzione,..,
collegabili strettamente a quelle degli insiemi), hanno sia come operandi che come risultati
proposizioni decidibili (non certo proposizioni come “il colore giallo è bello”, “non andar
giù”.
Considerate le proposizioni:
p “Giovanni è iscritto alla Facoltà di Scienze”,
q “Giovanni è studente fuori sede”,
d “Giovanni è uno studente dell’Università della Tuscia”
possiamo costruire le proposizioni
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¬p, negazione di p: “Giovanni non è iscritto alla Facoltà di Scienze”;
p∨q, congiunzione di p e q: “studente iscritto a Scienze o fuori sede”;
p∧q, disgiunzione di p e q: “Giovanni è iscritto a Scienze ed è fuori sede”,
p→d, p implica d: “se Giovanni è iscritto a Scienze è allora studente dell’Università
della Tuscia”.
Noi ci occuperemo principalmente della logica dell'incerto che utilizza non solo le
proposizioni che possono essere vere, a priori od a posteriori (nel lancio del dado esce un
numero ≤6, oppure è uscito un numero pari), o false, a priori od a posteriori (esce il
numero 92), ma anche le proposizioni possibili, cioè che possono essere vere/false solo
sotto certe condizioni: “all’esame di Metodi prenderò trenta”. Esse sono legate ad
enunciati la cui verità o falsità è detto valore di verità, in breve sono legate a prove
aleatorie.
Definiamo prova aleatoria una operazione il cui esito non è prevedibile con certezza,
cioè pur nella costanza di un insieme di condizioni non conduce allo stesso risultato.
Una o più prove aleatorie definiscono un fenomeno o esperimento aleatorio, mentre
definiamo evento aleatorio o casuale un possibile risultato di un esperimento aleatorio. Di
conseguenza un evento è caratterizzato da una proposizione di natura affermativa legata
alla realizzazione di un complesso di condizioni e quindi, come tale, deve avere una
precisa definizione e riferirsi a situazioni di non ambiguità. E’ necessario cioè che, una
volta verificatosi un evento, possa determinarsi con certezza se è vero o falso: “domani
pioverà” è una proposizione ambigua perché non si è precisato dove e come; “domani la
pioggia riempirà questa tazzina” è una affermazione precisa e controllabile (verificabile),
quindi è un evento. L'evento diventa possibile sulla base delle informazioni possedute da
chi lo annuncia, legate non solo su eventi futuri, ma anche ad eventi passati che il soggetto
può o meno conoscere.
Al fine di ottenere una gamma completa, gli eventi possibili devono essere
completati da due tipi di eventi corrispondenti agli stati di "informazione completa" e di
"informazione nulla": l'evento certo C o Ω, che per sua natura è senz'altro vero, nel senso
che si verificherà sicuramente e l'evento impossibile ∅, che per sua natura è senz'altro
falso, nel senso che sicuramente non si verificherà.
Quando non si sa se la proposizione è vera o falsa, nello stato di informazione
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incompleta, si parla di evento possibile o incerto; gli eventi possibili costituiscono la serie
esistente fra C e ∅. Il concetto di probabilità che introdurremo nasce proprio come
"surrogato" di questa mancanza di informazione, proponendosi di misurare il grado di
fiducia nel verificarsi dell'evento
2.2 _ Algebra degli eventi
Costituisce l'insieme delle operazioni e relative proprietà applicabili agli eventi quali
enti matematici. Indichiamo sempre con Ω l’insieme di tutti i possibili risultati di un
esperimento aleatorio, che chiameremo spazio campionario associato allo esperimento. Un
esempio di esperimento aleatorio è il lancio di un dado in cui Ω è costituito da
{1,2,3,4,5,6}. Un evento composto E è un sottoinsieme di Ω, cioè un insieme di possibili
risultati o uno dei possibili risultati di una prova. Ad esempio: E={1,2,3}, come risultato
della prova costituito da un numero minore di tre, ed F={1,3,5}, come risultato della prova
costituito da un numero dispari, sono casi di eventi composti; mentre G={1}, avente come
risultato uno è un evento elementare, cioè un evento che non può essere spezzato in altri
eventi.
In una prova si realizza o non l'evento E, se il risultato della prova appartiene o non
ad E. Gli eventi associati ad un esperimento, cioè i sottoinsiemi qualunque di uno spazio
campionario Ω, elementari e composti, formano il cosiddetto spazio degli eventi o σalgebra o di Boole, che è una classe additiva Å, (cioè contiene Ω, i complementari e le
unioni, finite ed infinite, degli insiemi della classe stessa). Nel caso del lancio di un dado Å
contiene 26 eventi, di cui solo sei sono elementari.
Solo nel caso in cui Ω sia finito o infinito numerabile allora ogni suo sottoinsieme è
un evento. Altrimenti, nel caso di Ω infinito, non necessariamente la classe di tutti i
sottoinsiemi dello spazio dei campioni corrisponde allo spazio degli eventi.
Dal momento che gli eventi sono insiemi, ogni affermazione relativa ad eventi può
essere espressa con il linguaggio degli insiemi e viceversa. Diciamo allora che esiste una
corrispondenza fra algebra degli insiemi ed algebra degli eventi.
È possibile creare una relazione fra un evento e l'insieme dei punti di un piano
(diagrammi di Venn) contenuti in un altro dato insieme che rappresenta l'evento certo C
nel seguente modo: tirando delle freccette che comunque colpiscano il piano in qualsiasi
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punto, diciamo che la relazione sussiste fra colpo all'interno o all'esterno di E con il
verificarsi o meno dell'evento E. Il rapporto tra la misura di E e quella di C ci dà un'idea
sul grado di fiducia legato al verificarsi di E. In questa corrispondenza, quello che in
insiemistica era l’insieme universo, nell'algebra degli eventi è l'evento certo C; come
corrispondente dell'evento impossibile si ha l'insieme vuoto ∅.
Uguaglianza: E≡F. Due eventi si dicono uguali quando il verificarsi dell'uno implica
il verificarsi dell'altro ed il non verificarsi dell'uno implica il non verificarsi dell'altro.
Complementazione. È una operazione unaria in quanto implica un solo evento. Si
chiama complemento di un insieme, l'insieme che contiene tutti gli elementi di Ω non
appartenenti all'insieme dato: CE= Ec. Il concetto di complementazione applicato alla
logica degli eventi definisce l'evento contrario (o negazione) rispetto all'evento E dato e si
indica con E. Però non sempre è immediato stabilire la proposizione contraria di una
proposizione data:
Implicazione logica: E ≤ F. Si ha una situazione di tal tipo quando il verificarsi di E
implica il verificarsi di F ma non il viceversa. L’uguaglianza fra eventi, E=F, si ottiene
dalla doppia implicazione logica: E≤F ed F≤E. Il simbolo ≤ equivale al termine
insiemistico dell'inclusione E⊆F. Uno studente del Corso di laurea in Scienze è anche uno
studente della Tuscia.
Incompatibilità. Al concetto di disgiunzione di insiemi corrisponde quello di
incompatibilità fra eventi: come due insiemi si dicono disgiunti se non hanno punti in
comune, analogamente due eventi si dicono incompatibili quando il verificarsi dell'uno
esclude il verificarsi dell'altro. L'evento E ed il suo contrario E costituiscono un caso
particolare di eventi incompatibili.
2.3 _ Operazioni su eventi
In genere possono essere sono binarie o ennarie, comunque definite su eventi
appartenenti ad una medesima prova.
Somma logica di eventi. All’operazione di unione di insiemi, corrisponde la somma
logica di due eventi E+F=E«F=G, indicando con G l'evento che si verifica se si verifica
almeno (o alternativo: vel latino) uno dei due eventi dati. F o E ciascuno dei due
separatamente, oppure F ed E insieme (caso di eventi compatibili). Diciamo che l’evento G
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vero nei casi in cui: E vero ed F falso, E falso ed F vero, E ed F entrambi veri. Si può
estendere a tre o più eventi, per cui un evento è vero quando è vero almeno uno degli
eventi addendi. Nell’algebra delle proposizioni il risultato è ottenuto con la congiunzione
“o”.
Due o più eventi Ei si dicono necessari quando uno di essi almeno si deve verificare,
cioè ∪Ei=Ω.
Prodotto logico. Corrisponde all'operazione di intersezione fra insiemi; per prodotto
logico di due eventi E·F=E∩F=H si intende quell'evento che si verifica se si verificano
entrambi gli eventi componenti. Nell'algebra delle proposizioni il risultato è ottenuto con la
congiunzione "e".
Le due operazioni, oltre alle proprietà comuni associativa e commutativa, possiedono
in comune la proprietà distributiva che vale non solo, come nell'algebra, per il prodotto
rispetto alla somma, ma anche nei confronti della somma rispetto al prodotto:
E·(F+G) = E·F + E·G
E + ( F·G ) = (E+F)·(E+G).
Per più eventi il prodotto logico è l’evento che è vero se sono veri tutti i fattori.
Regole di De Morgan o principio duale. Dati due eventi E ed F, il complemento
della loro somma logica (prodotto logico) è uguale al prodotto logico (somma logica) dei
complementi.
(E+F) = E F,
(E F) = E + F
2.4 _ Incompatibilità e partizione
Estendiamo il concetto di incompatibilità al caso di più di due eventi. Accenniamo
solo che esistono varie definizioni di cui una cosiddetta debole ed un altra forte. Noi
parleremo solo di incompatibilità forte od anche a due a due, cioè comunque si prendano
due eventi essi sono incompatibili: Ei ∩Ej = ∅, per qualunque i,j. Il fatto che gli eventi
siano incompatibili a due a due implica che lo siano a tre a tre e cosi' via, non avviene però
il viceversa.
Il concetto di partizione definisce un sistema completo di eventi incompatibili o
sistema elementare di casi possibili, in cui verificatosi un evento possiamo dire che si è
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verificato quello e soltanto quello (uno e non più di uno); essa è definita dalla condizione
di incompatibilità forte e dall'esaurimento in C, fig. 1.7b.
1) Ei ∩Ej = ∅, qualunque i,j
2) Σi Ei ≡ C, somma logica uguale all'evento certo.
2.5 _ Definizione di probabilità
Abbiamo visto che il modo per rappresentare un evento è quello di considerarlo
come una porzione di un intero spazio; dal punto di vista operativo, la maggiore o minore
facilità del verificarsi di un evento viene valutata attraverso la probabilità, ovvero con la
misura dell'area della superficie dell'evento E, rapportata all'evento certo costituito
dall'intero spazio C. Da un punto di vista geometrico si usa la teoria della misura che ci
permette di misurare un insieme qualsiasi, attraverso i numeri reali nel campo di variabilità
fra 0, corrispondente all'evento ∅, ed 1, corrispondente all'evento C; il numero reale
relativo all'evento, dovrà essere coerente, cioè comprendere tutte le informazioni su di
esso.
Si definisce anche evento aleatorio quello per cui si è in possesso di sufficienti
informazioni per associare ad esso una probabilità. In tal modo esiste una distinzione fra
evento incerto e casuale. Gli eventi incerti possono verificarsi o meno e nulla si può
affermare circa la loro realizzazione; gli eventi casuali possono verificarsi o meno, ma la
proprietà della casualità è misurabile mediante la probabilità. Siamo di fronte al caso in cui
sono noti gli stati del sistema e si è in grado di formulare delle previsioni, cioè esprimere
probabilità riguardo agli stati che può assumere il sistema.
La probabilità di un evento, indicata con p(E), è un numero reale che giudica e
misura la maggiore o minore possibilità del verificarsi dell'evento con coerenza interna ed
esterna (cioè comprensibile per altri). Il calcolo delle probabilità è nato intorno al 1700
nell'analisi dei giochi d'azzardo in cui si è portati ad esprimere un giudizio oggettivo a
meno che non si posseggano ulteriori informazioni di tipo soggettivo per cui anche la
stessa valutazione diventa tale.
I mercanti fiorentini estesero la disciplina alle assicurazioni, studiando la ripetitività
degli eventi basandosi su osservazioni di carattere empirico (come la frequenza relativa
statistica). Ci sono però eventi come le corse dei cavalli che non rientrano in questo
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insieme. Gli eventi unici sono irripetibili quindi non è possibile calcolare la probabilità
tramite la ripetitività, ma si adatta lo schema di scommessa.
Nel 1654 un giocatore d'azzardo, il cavaliere di Méré chiese a Pascal quante volte
sarebbe venuto il doppio sei gettando 24 volte una coppia di dadi. Fu il matematico
svizzero Bernouilli (Ars conjectandi, 1713) a farne di questi argomenti un ramo della
ricerca matematica, seguito dal De Moivre (De mensura sortis); però, il primo trattato con
sistemazione rigorosa e moderna è dovuto a Laplace (1812) nella sua "Teoria analitica
della probabilità".
Abbiamo varie impostazioni del calcolo delle probabilità, esse sono:
a) Classica o oggettiva, la prima in ordine storico dovuta come detto a Laplace, in
cui la probabilità di un evento è definita come il quoziente fra il numero dei risultati
favorevoli all'evento ed il numero dei casi possibili, nell'ipotesi che tutti siano egualmente
possibili. Tale definizione ha un difetto di tautologia; essa, inoltre, è riferibile solo ad
eventi ripetibili, di numero finito ed egualmente probabili. Per alcuni l'impostazione
classica non fornisce una definizione, ma solo un modo di calcolo. Come esempio di
calcolo vediamo il caso geometrico costituito dalla probabilità che la somma dei quadrati
di due numeri reali compresi fra 0 e 2, non superi 4, cioè x2+y2≤4; essa è data dal rapporto
tra la quarta parte di area del cerchio x2+y2=4 e l’area di un quadrato di lato 2.
d) Assiomatica. L'idea di tale impostazione è risalente a Poincarè (1894), ma solo nel
1933 Kolmogorov ne diede i fondamenti. La mancanza di consensi sulle precedenti
impostazioni, fa ripiegare molti studiosi su questa teoria i cui assiomi sono:
1) Gli eventi sono sotto-insiemi di uno spazio Ω e formano una classe additiva Å.
2) Ad ogni E∈Å è assegnato un numero reale non negativo p(E), probabilità di E.
3) p(Ω)=1
4) se presa una successione di eventi {Ei} di Ω, tale che per qualunque j,k si ha Ej∩
Ek =∅ ed ∪Ei=Ω allora p(∪Ei)= Σi p(Ei): la probabilità della somma logica di un numero
finito o infinito di eventi, incompatibili a due a due, è uguale alla somma delle probabilità
dei singoli eventi,
La terna spazio Ω, la classe additiva Å e la funzione p(E) viene detto spazio di
probabilità (Ω,Å,p). La funzione di probabilità p(E) è un caso particolare di funzione
d'insieme, avente come dominio una collezione di insiemi (eventi) assunta come algebra e
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come codominio l'intervallo [0,1]. Lo spazio di probabilità è un termine singolo che
riassume però nella sua notazione l'esistenza di tutte e tre le componenti tra loro correlate:
Å è una collezione di sottoinsiemi di Ω e P è una funzione che ha Å come dominio.
Dagli assiomi seguono vari teoremi; riportiamo l'enunciato di alcuni essenziali:
a) p(E)=1-p(E)
b) p(∅)=0
c) p(E) ≤ 1
d) se E ≤ F allora p(E) ≤ p(F)
e) se p(E)=0 allora p(E∩F)=0 e p(E∪F)=p(F)
f) se p(E)=1 allora p(E∪F)=1 e p(E∩F)=p(F)
2.6 _ Principio delle probabilità totali
Per eventi compatibili (non mutuamente esclusivi) la probabilità della somma logica
di due eventi è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi diminuita della
probabilità del prodotto logico, fig. 2.3a:
(2.1)
p( E + F) = p(E) + p(F) - p(E·F)
In generale, dati n eventi Ei, incompatibili a due a due si ha:
(2.2)
p(Σ Ei) = Σ p(Ei)
2.7 _ Eventi condizionati o subordinati
Nel principio delle probabilità totali abbiamo incontrato la p(E·F) e vogliamo darne
un procedimento di calcolo. Dato un evento F, oltre a corrispondere ad esso una
probabilità autonoma p(F), spesso è necessario o interessa considerare lo stesso evento F
subordinatamente alla conoscenza che si è verificato un certo evento E. (F: ”nave a fondo,
E: ”tempesta in mare).
Dati due eventi E ed F, con E·F≠∅, definisco F/E, quoziente logico fra F ed E, come
quell'evento consistente nel verificarsi di F sapendo che E si è verificato.
È da rilevare che nel caso di eventi condizionati la dipendenza si intende da un punto
di vista logico e non temporale. Nel caso di impostazione classica la dipendenza può
risultare da una alterazione dei casi favorevoli, dei casi possibili o di tutti e due.
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2.8 _ Principio delle probabilità composte
Dati i due eventi F ed F/E, con p(E) probabilità non nulla, valutiamo le probabilità
corrispondenti p(F) e p(F/E). Nel caso in cui volessi calcolare p(F/E) nell'ipotesi che si
verifichi E, misurerò la sua probabilità rispetto ad E:
(2.3b)
p(F/E) = p(E·F) / p(E).
Tale valore è la probabilità condizionata o subordinata di F sotto l’ipotesi E ovvero
dato E; la relazione che esprime il principio delle probabilità composte e ci permette di
calcolare la probabilità del prodotto logico di due eventi è la seguente:
(2.3c)
p(E·F)=p(E) p(F/E)
“la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi è uguale alla probabilità del
primo evento per la probabilità del secondo calcolata quest'ultima subordinatamente
all'ipotesi che si sia verificato il primo evento.”
Il principio si estende facilmente a un numero finito di eventi compatibili:
p(E1 E2 ...En) = p(E1) p(E2/E1) p(E3/E1E2)....p(En/E1E2..En-1)
la probabilità che si verifichino n eventi è uguale al prodotto della probabilità del
primo evento, per la probabilità del secondo subordinata all'ipotesi che si verifichi il primo
evento, per la probabilità del 3° evento subordinata all'ipotesi che i primi due eventi si
verifichino, per la probabilità dell'ultimo evento subordinata all'ipotesi che tutti gli altri si
verifichino.
2.12 _ Schemi di probabilità
Uno schema discreto che permette di fare semplificazioni notevoli è quello
bernoulliano. Un esperimento dicesi bernoulliano se consiste in più prove legate ad un
evento elementare le cui realizzazioni nello spazio Ω sono ripartite nel sistema completo di
due eventi incompatibili: E (=1, successo), ed E (=0, insuccesso). Siano p(E)=p, p(E)=1-p
= q, costanti nelle varie prove, eseguibili fino ad un numero n, tutte nelle stesse condizioni,
ciascuna prova indipendente dalle altre. Quindi l'evento totale può essere scomposto in n
singoli eventi E1,E2......En. Calcoleremo la probabilità che su n prove l'evento si verifichi h
volte. Esempio, lanciando 10 volte una moneta, calcolare la probabilità che venga 8 volte
testa.
Supponiamo di avere un'urna con un certo numero di palline bianche, facciamo
estrazioni consecutive rimettendo ogni volte la pallina estratta nell'urna; le prove
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successive sono indipendenti perché l'urna ritorna nelle medesime condizioni iniziali, per
cui vale il principio delle probabilità composte per eventi indipendenti. Consideriamo
l'evento E “pallina bianca”, p=p(E) e l’evento E pallina non bianca, p(E)=q=1-p. Facciamo
5 prove, può accadere che l'evento E, non considerando l'ordine, si verifichi:
5 volte E E E E E con probabilità ppppp = p5 q0
4 " EEEEE
"
pppqp = p4 q1
3 " EEEEE
"
pppqq = p3 q2
"
pqqqp = p2 q3
2 " EEEEE
1 " EEEEE
"
qqqpq = p1 q4
0 " EEEEE
"
qqqqq = p0 q5
Ora, considerando in particolare l'ordine in cui avviene, ad esempio, l'evento due
volte E, possiamo dire che esso può presentarsi in varie modalità ed esattamente in numero
dato da quante sono le combinazioni di 5 elementi di classe 2:
EEEEE
EEEEE
EEEEE
EEEEE
EEEEE
EEEEE
EEEEE
EEEEE
EEEEE
EEEEE
Le modalità sono infatti in numero di dieci; così per ciascuna delle possibili modalità
possiamo dire che sono in numero:
⎛5⎞
⎛ 5⎞
⎛5⎞
⎛ 5⎞
⎛5⎞
⎛ 5⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = 1,⎜⎜ ⎟⎟ = 5, ⎜⎜ ⎟⎟ = 10, ⎜⎜ ⎟⎟ = 10, ⎜⎜ ⎟⎟ = 5, ⎜⎜ ⎟⎟ = 1
⎝ 0⎠
⎝1 ⎠
⎝ 2⎠
⎝ 3⎠
⎝ 4⎠
⎝ 5⎠
Generalizzando: la probabilità che su n prove l'evento si verifichi h volte è pari a
⎛n⎞
n!
p h q n−h
Pn ,h = ⎜⎜ ⎟⎟ p h q n − h =
h!(n − h)!
⎝h⎠
Esempio P20,7 = ⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟ p 7 q13
⎝7 ⎠
20
