Il criterio media-varianza e il modello CAPM

Il criterio media-varianza
e il modello CAPM
Enrico Saltari
1
Il criterio media-varianza
• Se α1 è la quota della ricchezza destinata all’acquisto del titolo 1 e α2 è la
quota impiegata nell’acquisto del titolo 2, il valore finale della ricchezza nello
stato s è
ys = W [α1 (1 + r1s) + α2 (1 + r2s)] = W (α1R1s + α2R2s)
Per semplificare, supporremo che la ricchezza iniziale sia pari a 1, W = 1.
• Calcoliamo media e varianza di un portafoglio qualsiasi. Prendendo l’aspettativa
µ ≡ E (ys) = α1E (R1s) + α2E (R2s) = α1µ1 + α2µ2
Il rendimento medio di un portafoglio, µ, è perciò pari alla combinazione
lineare dei rendimenti medi, µ1 e µ2, dei due titoli.
• La varianza del portafoglio, σ 2, è
σ2 = E [α1R1s + α2R2s − (α1µ1 + α2µ2)]2 =⇒
2
σ 2 = E [α1 (R1s − µ1) + α2 (R2s − µ2)]2
Svolgendo il quadrato, si ha
σ2 = α21E (R1s − µ1)2 + α22E (R2s − µ2)2
+2α1α2E [(R1s − µ1) (R2s − µ2)]
= α21σ21 + α22σ22 + 2α1α2σ 12
σ21 e σ22 sono le varianze dei rendimenti dei due titoli e σ12 è la covarianza.
• Il criterio media-varianza afferma che le preferenze individuali sono caratterizzate soltanto da questi due parametri. Gli individui preferiscono quei portafogli che presentano un rendimento atteso maggiore a parità di rischiosità
e, al tempo stesso, una rischiosità minore a parità di rendimento atteso
E (U) = V
∂V < 0.
con ∂V
>
0
e
∂µ
∂σ 2
µ, σ 2
3
• Due portafogli, il portafoglio A e il portafoglio B, caratterizzati da una media,
µA e µB , e da una varianza, σ2A e σ2B . Il portafoglio A è preferito o domina
il portafoglio B se A ha un rendimento atteso maggiore di quello di B e una
varianza uguale o minore di B; oppure, se A presenta una varianza minore e
insieme un rendimento atteso uguale o maggiore di B
µA > µB
e σ2A ≤ σ2B
σ 2A < σ2B
e µA ≥ µB
oppure
Il criterio media-varianza e la teoria dell’utilità attesa
• In quali casi l’approssimazione non è rilevante sicché il criterio media-varianza
e quello dell’utilità attesa danno luogo alla medesima scelta?
4
• La risposta intuitiva a questa domanda è chiara: il criterio di scelta fondato
sull’utilità attesa dipende dalla funzione di utilità delle conseguenze e dalla
loro distribuzione di probabilità. Se una di queste due funzioni può essere
definita in termini soltanto di media e varianza, i due criteri conducono alla
stessa scelta.
• Partiamo dalla funzione di utilità e effettuiamo un’espansione in serie di
Taylor di questa funzione nell’intorno di E (ys) = µ
1 ′′
U (ys) = U (µ) + U (µ) (ys − µ) + U (µ) (ys − µ)2 +
2
1 ′′′
+ U (µ) (ys − µ)3 + · · ·
3!
Prendendo l’aspettativa di questa espressione, otteniamo l’utilità attesa
′
1 ′′
E [U (ys)] = U (µ) + U (µ) E (ys − µ) + U (µ) E (ys − µ)2 +
2
1 ′′′
+ U (µ) E (ys − µ)3 + · · ·
3!
1 ′′
1 ′′′
2
= U (µ) + U (µ) σ + U (µ) E (ys − µ)3 + · · ·
2
3!
′
5
perché E (ys − µ) = E (ys) − µ = 0. In quali casi nell’espansione in serie
dell’utilità attesa contano soltanto media e varianza? I casi possibili sono
due.
Funzione di utilità quadratica
• Se la funzione di utilità è quadratica
1 2
U (ys) = c + bys − dys
2
dove c, b e d sono delle costanti positive, ovvero
1
U (ys) = ys − ays2
2
dove d/b = a. Prendendo l’aspettativa
1
1 2
2
2
E [U (ys)] = E (ys) − aE ys = µ − a σ + µ
2
2
perché
=E
− [E (ys)]2. L’utilità attesa dipende soltanto da media
e varianza, proprio come richiede il criterio M-V
σ2
ys2
6
La forma delle curve di indifferenza. Differenziando
d {E [U (ys)]} = 0 = dµ − aµdµ − aσdσ =⇒
dµ
aσ
=
>0
dσ
1 − aµ
Le curve di indifferenza sono crescenti: per mantenere l’utilità attesa costante,
ad un aumento dello scarto quadratico medio deve corrispondere un aumento del
rendimento atteso. Derivando ulteriormente
d2µ
a (1 − aµ) + a2σ (dµ/dσ)
=
>0
2
dσ 2
(1 − aµ)
Le curve di indifferenza sono convesse, l’aumento di µ è più che proporzionale
rispetto all’aumento di σ
7
µ
µB
B
C
µA
A
σA
σB
σ
8
Lacune della funzione di utilità quadratica.
1. Graficamente la funzione di utilità quadratica è una parabola con un punto
di massimo per ys = 1/a. Dopo questo punto l’utilità marginale diviene
negativa, contraddicendo il requisito della monotonicità.
2. Il coefficiente di avversione assoluta al rischio λ è
′′
U (ys)
a
=
λ (ys) = − ′
1 − ays
U (ys)
Deriviamo λ rispetto a ys:
′
λ (ys) =
a2
(1 − ays
)2
>0
L’avversione assoluta al rischio è crescente, un’implicazione poco plausibile
9
Distribuzione normale dei rendimenti dei portafogli
• Se i rendimenti dei portafogli sono normalmente distribuiti, l’intera distribuzione di probabilità dipende soltanto dalla media e dalla varianza (i momenti dispari intorno alla media sono nulli, mentre quelli pari dipendono dalla
varianza).
• Con l’ipotesi di normalità dei rendimenti l’utilità attesa è funzione soltanto di
media e varianza, basta fare alcune sostituzioni. Se i rendimenti dei portafogli
seguono una distribuzione normale, l’utilità attesa è
E [U (ys)] =
+∞
−∞
Ponendo
v=
2
1
(ys − µ)
√
U (ys)
exp −
2σ2
σ 2π
ys − µ
σ
e perciò dv =
dys
1
dys
σ
10
e sostituendo, otteniamo
E [U (ys)] =
=
+∞
v2
1
U (µ + vσ) √ exp −
2
2π
−∞
+∞
dv
U (µ + vσ) g (v) dv
−∞
dove g(v) è la normale standardizzata e l’utilità attesa dipende solo da µ e
σ.
• Le curve di indifferenza sono crescenti e convesse.
• Perché i rendimenti dei portafogli dovrebbero essere normalmente distribuiti?
Il teorema del limite centrale. Consideriamo un portafoglio qualsiasi: il
rendimento di questo portafoglio è dato dalla somma dei rendimenti dei
singoli titoli, ciascun addendo essendo pesato con la quota della ricchezza
rivolta all’acquisto dei titoli che entrano nel portafoglio. Naturalmente, se il
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rendimento di ogni titolo ha una distribuzione normale, anche il rendimento
del portafoglio seguirà una distribuzione normale perché una combinazione
lineare di variabili normalmente distribuite ha anch’essa una distribuzione
normale.
• Ma, in generale, i rendimenti dei titoli non hanno una distribuzione normale.
Ed è a questo riguardo che possiamo fare appello al teorema del limite centrale. Questo teorema afferma che la somma di un dato numero di variabili
casuali ha una distribuzione che tende alla normale al crescere del numero di
variabili casuali considerate. Quanto maggiore è il numero dei titoli che entrano nel portafoglio tanto più la distribuzione del rendimento del portafoglio
approssima la normale.
• L’approssimazione dipende da due elementi: (i) dal grado di correlazione
tra i rendimenti dei titoli; quanto minore è la correlazione tanto migliore è
l’approssimazione alla normale; (ii) dalla misura in cui la distribuzione dei
rendimenti dei singoli titoli approssima la distribuzione normale.
12
• La distribuzione normale pone alcuni vincoli alla teoria dell’utilità attesa.
In primo luogo, occorre che la funzione di utilità sia definita per lo stesso
intervallo di variazione di una variabile con una distribuzione normale, cioè
tra −∞ e +∞. Ma alcune funzioni di utilità non sono definite per valori
negativi: ad esempio, una funzione di utilità come la logaritmica: non siamo
liberi di postulare qualsivoglia rappresentazione delle preferenze. In secondo
luogo, è realistico ipotizzare che il rendimento possa assumere valori negativi
e infinitamente elevati o se, viceversa, non è più plausibile ipotizzare che il
rendimento (negativo) non possa eccedere un certo limite, data la possibilità
di fallimento?
La frontiera dei portafogli efficienti (solo titoli rischiosi)
• Costruiamo ora l’insieme dei portafogli disponibili, ossia l’insieme dei portafogli che possono essere formati a partire dal titolo 1 e 2. Se applichiamo
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a questo insieme il criterio media-varianza, troveremo che alcuni portafogli
risultano dominanti ed altri sono dominati. I portafogli dominanti in base al
criterio media-varianza vengono definiti portafogli efficienti.
• Analiticamente è più semplice determinare il sottoinsieme di quei portafogli
che hanno la varianza minore a parità di rendimento atteso: questi vengono
detti portafogli di varianza minima. Il sottoinsieme dei portafogli con varianza minima è più ampio di quello dei portafogli efficienti. Un portafoglio
efficiente ha una varianza minore di tutti gli altri portafogli che hanno lo
stesso rendimento atteso, ma non è necessariamente vero il contrario: un
portafoglio con varianza minima potrebbe non essere efficiente.
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µ
M
µΑ
C
A
µΒ
B
M’
σ
L’intera curva MM ′ (compresa la parte tratteggiata) rappresenta la frontiera
dei portafogli di minima varianza; per ogni dato livello di µ, su MM ′ troviamo il portafoglio che ha uno scarto quadratico medio, e perciò una varianza,
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minima. La parte AM non tratteggiata della curva, il tratto crescente di
MM ′, è la frontiera dei portafogli efficienti.
• Supporremo inoltre che il titolo 1 abbia un rendimento atteso più elevato del
titolo 2, µ1 > µ2, ma che sia anche più rischioso, σ1 > σ2. Il rendimento
atteso di un portafoglio è
µ = α1µ1 + α2µ2
mentre la varianza è
σ 2 = α21σ21 + α22σ22 + 2α1α2σ12 =⇒
σ2 = α21σ21 + α22σ22 + 2α1α2ρσ 1σ2
Il problema di minima varianza
min σ 2 = α21σ 21 + α22σ22 + 2α1α2ρσ1σ 2
α1,α2
sotto i vincoli che
µ = α1µ1 + α2µ2
e α1 + α2 = 1
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• Dai vincoli possiamo ricavare direttamente i valori di α1 e α2.
µ = α1µ1 + (1 − α1) µ2 = α1 (µ1 − µ2) + µ2 =⇒
µ − µ2
α1 =
µ1 − µ2
µ1 − µ
e α2 =
µ1 − µ2
Sostituendo questi valori di α1 e α2 nell’espressione di σ2
σ2 =
=
2
2
1
2 [σ 1 (µ − µ2)
(µ1−µ2)
+ σ 22 (µ1 − µ)2 +
+2ρσ1σ2 (µ − µ2) (µ1 − µ)]
2
1
2 { σ1
(µ1−µ2)
+ σ 22
− 2ρσ 1σ2 µ2 − 2[σ21µ2 + σ 22µ1 −
−ρσ 1σ2 (µ1 + µ2)]µ +
ovvero
σ21µ22
+ σ22µ21
− 2ρσ1σ2µ1µ2 }
1 2
1
2
=
Aµ − 2Bµ + C =
Aµ − 2Bµ + C
2
D
(µ1 − µ2)
1 2
1 2
2
2
dove A =
σ + σ 2 − 2ρσ 1σ2 , B =
σ µ + σ2µ1 − ρσ1σ2 (µ1 + µ2) ,
∆ 1
∆ 1 2
σ2
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1 2 2
1
2
2
C=
σ1µ2 + σ 2µ1 − 2ρσ 1σ2µ1µ2 , D = AC −B 2 = (µ1 − µ2)2,
∆
∆
2
∆ = (σ1σ 2) 1 − ρ2 .
• Questa è l’equazione di una parabola. Se prendiamo la radice quadrata
1
σ=
Aµ2 − 2Bµ + C
µ1 − µ2
otteniamo l’equazione di un’iperbole nel piano scarto quadratico mediorendimento atteso
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(a)
σ
σ
B
σ1
( b)
σ2 A
M
45°
α1
1
0
( c)
µ
M
0
B
M
A
µ2
(d)
µ
µ1
B
µ1
σ
1
α1
µ2
A
σ2
σ1 σ
19
La parte (a): il grafico dello scarto quadratico medio del portafoglio in
funzione di α1
σ=
α21σ 21 + (1 − α1)2 σ 22 + 2α1 (1 − α1) ρσ1σ2
La parte (c): il grafico dell’equazione µ = α1 (µ1 − µ2) + µ2.
La parte (b) è una retta inclinata a 45o
Perfetta correlazione positiva tra i rendimenti
• Se i rendimenti sono perfettamente correlati in senso positivo, tra i rendimenti
dei due titoli in ciascuno stato del mondo esiste una relazione lineare positiva,
R1s = a + bR2s, dove a e b sono delle costanti come pure tra i rendimenti
attesi
µ1 =
πs (a + bR2s) = a + bµ2
20
• Lo scarto quadratico medio del titolo 1 è
σ1 =
E [(a + bR2s) − (a + bµ2)]2 = bσ2
mentre per la covarianza
σ12 = E [(a + bR2s) − (a + bµ2)] [R2s − µ2] = bσ22
Il coefficiente di correlazione è
bσ 22
σ12
ρ=
= 2 =1
σ 1σ 2
bσ 2
Se ρ = 1, la varianza del portafoglio è
σ 2 = α21σ 21 + (1 − α1)2 σ 22 + 2α1 (1 − α1) ρσ1σ2
= [α1σ 1 + (1 − α1) σ2]2
e perciò lo scarto quadratico medio del portafoglio è
σ = α1σ1 + (1 − α1) σ2
Poiché µ = α1 (µ1 − µ2) + µ2, sostiuendo si ha
µ − µ2
σ=
(σ1 − σ2) + σ2
µ1 − µ2
21
La frontiera dei portafogli efficienti è una retta
22
(a )
σ
σ1
( b)
σ
B
A
σ2
45°
( c)
µ
A
µ2
0
1
(d)
µ
µ1
B
µ1
σ
α1
1
0
α1
µ2
B
σ2
A
σ1 σ
23
• Unica differenza: nella parte (a) è rappresentata una retta invece che un’iperbole. Se tra i rendimenti dei due titoli esiste una perfetta correlazione
positiva, ogni aumento di α1 comporta un aumento del rendimento atteso
del portafoglio ma anche un aumento della variabilità
Perfetta correlazione negativa tra i rendimenti
• Tra i rendimenti dei due titoli in ciascuno stato del mondo esiste una relazione
lineare negativa, R1s = a − bR2s. Il rendimento atteso del titolo 1 è
µ1 =
πs (a − bR2s) = a − bµ2
mentre il suo scarto quadratico medio è
σ1 =
E [(a − bR2s) − (a − bµ2)]2 = bσ2
La differenza importante rispetto all’altro caso polare è data dalla covarianza
σ12 = E [(a − bR2s) − (a − bµ2)] [R2s − µ2] = −bσ 22
24
Quando il rendimento di un titolo si trova al di sopra della propria media, il
rendimento dell’altro titolo è minore della sua media.
• Il coefficiente di correlazione
−bσ 22
σ 12
=
= −1
ρ=
2
σ 1σ 2
bσ2
Se ρ = −1, la varianza del portafoglio è
σ 2 = α21σ 21 + (1 − α1)2 σ 22 + 2α1 (1 − α1) ρσ1σ2
= [α1σ 1 − (1 − α1) σ2]2
Dobbiamo prendere il valore assoluto del termine in parentesi. Per definizione
lo scarto quadratico medio è positivo
σ = |α1σ1 − (1 − α1) σ2|
Se α1σ 1 − (1 − α1) σ2 > 0 e perciò se
σ2
α1 >
σ1 + σ2
25
lo scarto quadratico medio è
σ = α1σ1 − (1 − α1) σ 2 = (σ1 + σ2) α1 − σ2
2 , lo scarto quadratico medio è
mentre per valori di α1 < σ σ+σ
1
2
σ = (1 − α1) σ2 − α1σ 1 = σ 2 − (σ1 + σ2) α1
Queste due rette si trovano nella parte (a)
26
(a)
σ
( b)
σ
B
σ1
A
σ2
45°
M
0
( c)
µ
M
0
B
M
A
µ2
(d)
µ
µ1
B
µ1
σ
α1
1
0
1
α1
µ2
A
σ2
σ1 σ
27
In questo caso è possibile ridurre a zero lo scarto quadratico medio del
portafoglio. Il valore di α1 per cui ciò avviene è
σ2
σ1 + σ2
La possibilità di azzerare la variabilità dei rendimenti è dovuta alla loro perfetta correlazione negativa. Anche la parte (d) è costituita da una spezzata
la cui equazione è
µ−µ
2
(σ1 + σ2) − σ2
σ = |α1σ1 − (1 − α1) σ 2| = µ − µ
1
2
La frontiera dei portafogli efficienti è data dal tratto continuo MB. Tutti i
casi intermedi per cui −1 < ρ < 1 sono compresi tra i due analizzati.
28
µ
1
ρ=
0,5
ρ=
0
ρ=
R
−0
µR
ρ=
ρ = −1
,5
A
B
σ
A mano a mano che la correlazione tra i rendimenti dei due titoli diminuisce,
è possibile ridurre la loro variabilità a parità di rendimento atteso. Quanto
più i rendimenti dei due titoli tendono a muoversi in direzione opposta relativamente alle rispettive medie, tanto più è possibile combinarli nel portafoglio
in modo da attenuare la loro variabilità.
29
La frontiera dei portafogli con un titolo privo di
rischio
• La frontiera efficiente è una retta. Componiamo un portafoglio in cui una
quota α0 della ricchezza è impiegata nel titolo privo di rischio e la quota
residua 1 − α0 in un portafoglio A composto soltanto da titoli rischiosi
µ = α0R0 + (1 − α0) µA
mentre il suo scarto quadratico medio è
σ=
(1 − α0)2 σ 2A = (1 − α0) σA
Dall’ultima equazione otteniamo un’espressione per la quota di ricchezza
investita nei titoli rischiosi:
σ
1 − α0 =
σA
30
Se sostituiamo questa espressione nell’equazione del rendimento atteso
σ
σ
R0 +
µA =
µ = 1−
σA
σA
µ − R0
= R0 + A
σ
σA
In presenza di un titolo privo di rischio la relazione tra µ e σ è una retta.
31
µ
T
B
A
R0
σ
32
Tre possibili rette: ciascuna si distingue dalle altre perché combina il titolo privo di rischio con un diverso portafoglio di titoli rischiosi, A, B o T .
L’equazione che prima abbiamo ricavato si riferisce alla retta R0A.
• Se ci si basa sul criterio media-varianza, si preferiscono i portafogli che si
trovano lungo la retta R0B a quelli che si trovano sulla R0A
• Se indichiamo questo portafoglio con T , la frontiera efficiente in presenza di
un titolo privo di rischio assume la seguente forma
µ − R0
σ
µ = R0 + T
σT
L’equazione rimane indeterminata finché non siamo in grado di calcolare µT e
σT , finché cioè non conosciamo la composizione del portafoglio di tangenza.
33
La derivazione formale della frontiera
• Se accanto ai due titoli rischiosi ce n’è un terzo che offre un rendimento
certo, R0, il rendimento atteso di un portafoglio è
µ = α0R0 + α1µ1 + α2µ2 = R0 + α1 (µ1 − R0) + α2 (µ2 − R0)
perché
αi = 1.
• L’equazione della varianza rimane tuttavia inalterata perché la varianza del
titolo con il rendimento certo è ovviamente nulla.
• La ricerca del portafoglio con varianza minima a parità di rendimento atteso
si traduce nella soluzione del seguente problema di minimo
con il vincolo
1 2 1 2 2
2
2
α σ + α2σ2 + 2ρσ1σ2α1α2
min σ =
α1,α2 2
2 1 1
µ = α1 (µ1 − R0) + α2 (µ2 − R0) + R0
34
Formando il lagrangiano
1 2
L = σ + λ [µ − (α1 (µ1 − R0) + α2 (µ2 − R0) + R0)]
2
e derivando


∂L

2


 ∂α = α1σ 1 + ρα2σ 1σ 2 − λ (µ1 − R0) = 0
1
∂L

2 − λ (µ − R ) = 0


=
ρα
σ
σ
+
α
σ

1
1
2
2
0
2
2
 ∂α
2
Il portafoglio di tangenza
• Per determinare l’equazione della frontiera, sfruttiamo l’equazione della frontiera prima ottenuta
µT − R0
σ
µ = R0 +
σT
in cui il coefficiente angolare è dato dal rapporto
µT −R0
σT
35
• Determiniamo media e varianza del portafoglio di tangenza dove α1 + α2 =
1.
1. Risolviamo le prime due equazioni del sistema per α1 e α2
dove ∆ =
α1 = λ σ22 (µ1
α2 = λ σ21 (µ2
2
2
2
σ 1σ 2 1 − ρ .
− R0) − ρσ1σ 2 (µ2 − R0)
− R0) − ρσ1σ 2 (µ1 − R0)
Poiché nel portafoglio di tangenza α1 + α2 = 1, sommando le due
precedenti soluzioni otteniamo
1 = λ (B − AR0)
sicché il λ del portafoglio di tangenza è
λ=
1
B − AR0
36
2. Determiniamo il rendimento atteso per il portafoglio di tangenza. Sostituiamo α1 e α2 nel rendimento atteso del portafoglio di tangenza
µT = α1µ1 + α2µ2 = α1 (µ1 − µ2) + µ2
2
= λ σ2 (µ1 − R0) − ρσ1σ2 (µ2 − R0) (µ1 − µ2) + µ2
1
2
=
σ2 (µ1 − R0) − ρσ1σ2 (µ2 − R0) (µ1 − µ2) + µ2
B − AR0
AR02 − 2BR0 + C
C − BR0
=
=⇒ µT − R0 =
B − AR0
B − AR0
3. Determiniamo la varianza del portafolglio di tangenza
(a) Moltiplichiamo la prima equazione per α1, la seconda per α2 e sommiamo
α21σ21+α22σ 22+2ρσ 1σ2α1α2 = λ [α1 (µ1 − R0) + α2 (µ2 − R0)] =⇒
2
σ
σ2 = λ (µ − R0) e perciò λ =
µ − R0
37
(b) Uguagliando questa espressione per λ con quella prima ricavata otteniamo
σ2T
1
=
µT − R0
B − AR0
ovvero
µT − R0 = σ2T (B − AR0)
4. L’ultimo passo consiste nel porre in relazione l’eccesso di rendimento e
la varianza del portafolglio di tangenza per determinare il coefficiente
angolare della frontiera efficiente. Poiché
A (R0)2 − 2BR0 + C
A (R0)2 − 2BR0 + C
µT −R0 =
=⇒ B−AR0 =
B − AR0
µT − R0
Sostituendo, otteniamo il coefficiente angolare
2
A
(R
)
− 2BR0 + C
0
2
µT − R0 = σT
=⇒
µT − R0
µT − R0
=
σT
A (R )2 − 2BR + C
0
0
µT − R0
38
Perciò, l’equazione della frontiera è
µ = R0 ± σ AR02 − 2BR0 + C
In presenza di un titolo privo di rischio, la frontiera dei portafogli con varianza minima è costituita da due rette che hanno una comune intercetta
pari a R0 e una pendenza che è pari al coefficiente di σ in valore assoluto.
µ
α0 < 0
α0 = 0
µT
R0
0<α0<1
T
α0 > 1
α0 = 1
E
σT
σ
39
La frontiera di minima varianza è costituita dalle due rette R0T e R0E; di
cui il tratto positivamente inclinato R0T costituisce la frontiera efficiente.
• Ogni portafoglio che appartiene a T R0E può essere visto come una combinazione lineare del titolo privo di rischio e del portafoglio di tangenza T . In
particolare:
1. Nel punto T , tutta la ricchezza viene investita nei due titoli rischiosi (α0 =
0);
2. In R0, tutta la ricchezza viene investita nel titolo privo di rischio (α0 = 1);
3. A destra di T , vi è una vendita allo scoperto del titolo privo di rischio
(α0 < 0) il cui ricavato viene investito, in aggiunta alla ricchezza iniziale,
nel portafoglio rischioso T ;
40
4. Nel tratto R0E, vi è una vendita allo scoperto del portafoglio T , il cui
ricavato viene investito, in aggiunta alla ricchezza iniziale, nel portafoglio
privo di rischio (α0 > 1).
Il modello CAPM
• Passiamo dall’analisi delle scelte individuali all’analisi del funzionamento del
mercato dei capitali esaminando l’equilibrio attraverso il modello CAPM.
• Il CAPM fa uso di ipotesi semplificatrici
1. Ogni investitore sceglie il proprio portafoglio massimizzando l’utilità
attesa. L’utilità attesa differisce da investitore a investitore ma dipende in
ogni caso soltanto da µ e σ 2. Ciò equivale ad assumere che i rendimenti
41
dei titoli seguano una distribuzione normale o che la funzione di utilità sia
quadratica. Le scelte di portafoglio sono effettuate in base al criterio mediavarianza.
2. Tutti gli investitori dispongono delle stesse informazioni e hanno le
stesse aspettative riguardo ai rendimenti futuri dei titoli e alla loro variabilità. Tutti gli investitori concordano sui rendimenti attesi dei titoli e sulle
loro varianze e covarianze.
3. Tutti gli investitori hanno lo stesso orizzonte temporale, ovvero tutte le
decisioni di acquisto e vendita dei titoli vengono prese nello stesso istante e
hanno la medesima durata.
4. Tutti gli investitori assumono come dati i prezzi dei titoli.
5. Esiste un titolo non rischioso che può essere venduto o acquistato in
quantità illimitate.
42
6. Non ci sono costi di transazione che gravano sugli scambi né imposte
(per esempio sui guadagni in conto capitale).
7. Le quantità disponibili di tutti i titoli sono fisse e, inoltre, ogni titolo è
infinitamente divisibile.
• Tralasciando la prima ipotesi, alle restanti molto spesso ci si riferisce dicendo
che il mercato dei capitali, delle attività, è perfetto.
• Le prime due ipotesi dell’elenco precedente ci permettono di trarre l’importante conclusione che i portafogli domandati da tutti gli individui si trovano
sulla stessa frontiera efficiente, anche se naturalmente questi portafogli differiscono tra loro.
43
µ
3
2
1
R0
LMC
P3
T
P1
σ
Benché le scelte di questi tre investitori siano diverse, tutte e tre si trovano
sulla medesima frontiera. Questa conclusione discende dall’ipotesi aspettative omogenee; poiché tutti gli investitori percepiscono lo stesso insieme di
44
opportunità e quindi lo stesso portafoglio di tangenza, la retta R0T è rappresentativa dell’intero mercato e viene denominata linea del mercato dei
capitali (lmc).
• Tutti i portafogli che si trovano sulla lmc possono essere rappresentati come
combinazioni lineari del titolo privo di rischio e del portafoglio di tangenza T.
Ne discende che tutti gli investitori avranno la stessa composizione di portafoglio di titoli rischiosi. Tutti gli investitori distribuiranno la loro ricchezza
tra i titoli rischiosi secondo le proporzioni fissate dal portafoglio di tangenza
(Teorema di separazione)
• Poiché la domanda di titoli rischiosi di ciascun investitore riflette le proporzioni del portafoglio di tangenza, anche la domanda complessiva avrà le
medesime proporzioni. Domanda e offerta in equilibrio sono uguali; anche
l’offerta avrà perciò in equilibrio la composizione del portafoglio di tangenza.
Questa osservazione ci consente di derivare la relazione più importante del
modello capm.
45
• Questa relazione determina il rendimento atteso di un qualsiasi titolo o portafoglio come somma del rendimento del titolo privo di rischio e di un premio
per il rischio.
• Questa relazione è valida per tutte le attività, sia che appartengano alla lmc
sia che non vi appartengano. In equilibrio tutti i titoli sono rappresentati nei
portafogli individuali e quindi nel portafoglio di mercato, inteso come la media
dei singoli portafogli: se un titolo non venisse domandato, il suo prezzo cadrebbe facendo salire il rendimento fino a che non divenisse sufficientemente
attraente da venir incluso nel portafoglio di mercato.
Il portafoglio di mercato
• Definiamo con W i la ricchezza individuale dell’individuo i e con αij la
proporzione di questa ricchezza investita nel titolo j.
46
• La ricchezza totale, W M , è la somma delle ricchezze individuali
N
Wi = WM
1
In equilibrio domanda e offerta di ciascun titolo debbono uguagliarsi. Se αM
j
è la quota del titolo j nella ricchezza totale, l’equilibrio di mercato per il
titolo j comporta
N
M
αij W i = αM
j W
i=1
I coefficienti αM
j sono i pesi del portafoglio di mercato. Li scriviamo come
N
i
W
αij M
αM
j =
W
i=1
Il portafoglio di mercato è semplicemente la media ponderata dei portafogli
individuali, dove i pesi sono dati dalla ricchezza di ciascun investitore rispetto
alla ricchezza totale.
47
• Se sommiamo gli αM
j
αM
1
+ αM
2
N
N
Wi
Wi
=
(αi1 + αi2) M =
(1 − αi0) M =
W
W
i=1
i=1
N
Wi
= 1−
αi0 M
W
i=1
Il termine i αi0W i rappresenta la domanda netta (cioè la somma algebrica
delle domande individuali) del titolo non rischioso. Identificando questo titolo
con i prestiti tra gli investitori, in equilibrio la sua domanda netta deve essere
pari a zero perché vi è uguaglianza tra domanda e offerta di prestiti e perciò
ad ogni creditore corrisponde un debitore.
• In equilibrio deve essere
M
αM
1 + α2 = 1
Se poniamo pari a 1 la ricchezza totale esistente W M , la condizione dice
che in equilibrio questa ricchezza viene domandata dagli investitori senza
48
che si verifichino eccessi di domanda o di offerta. Gli αM
j indicano in quali
proporzioni questa ricchezza viene ripartita tra i due titoli dall’insieme degli
investitori ovvero la composizione del portafoglio di mercato.
• Nelle ipotesi del CAPM tutti i portafogli individuali sono formati allo stesso
modo per ciò che riguarda i titoli rischiosi: in tutti i portafogli i titoli rischiosi entrano nelle stesse proporzioni e questa è anche la composizione del
portafoglio di mercato.
• Il portafoglio di tangenza può differire da investitore a investitore perché dipende dalle aspettative individuali sui rendimenti dei titoli rischiosi e sulla
loro variabilità. Ma se, come nelle ipotesi del CAPM, tutti nutrono le stesse
aspettative su rendimenti attesi, varianze e covarianze, il portafoglio di tangenza risulterà uguale per tutti. Tutti gli investitori domanderanno i titoli
rischiosi nelle stesse proporzioni e in equilibrio, per l’uguaglianza di domanda
e offerta, questa sarà anche la composizione del portafoglio di mercato.
49
• Qualunque siano le preferenze degli investitori, le proporzioni con cui i titoli
rischiosi entrano nei portafogli individuali rimangono invariate.
• Il problema di scelta del singolo investitore. In sintonia con l’analisi mediavarianza, la sua funzione di utilità attesa dipenderà positivamente dal rendimento atteso e negativamente dalla varianza
E (U ) = V
µ, σ2
= V [α1 (µ1 − R0) + α2 (µ2 − R0) + R0,
α21σ 21 + α22σ22 + 2α1α2ρσ1σ2]
Obiettivo dell’investitore è di massimizzare questa funzione scegliendo le due
quote di portafoglio α1 e α2. Le condizioni del primo ordine sono

∂V



= V1 (µ1 − R0) + 2V2 α1σ21 + α2ρσ 1σ2 = 0

∂α1
∂V


2

= V1 (µ2 − R0) + 2V2 α2σ2 + α1ρσ 1σ2 = 0

∂α2
50
Ricaviamo
2V2
dalle due equazioni appena scritte
V1
2V2
µ1 − R0
µ2 − R0
=−
=−
2
V1
α1σ1 + α2ρσ 1σ2
α2σ 22 + α1ρσ1σ2
Risolvendo per il rapporto tra α1 e α2 , esso può essere scritto come
σ22 (µ1 − R0) − ρσ 1σ2 (µ2 − R0)
α1
= 2
α2
σ1 (µ2 − R0) − ρσ 1σ2 (µ1 − R0)
Il rapporto α1/α2 ci mostra qual è la composizione ottimale del portafoglio
del singolo investitore: questa composizione non dipende dalla particolare
funzione di utilità, ossia dalla forma di V (·). Non dipende dal particolare
atteggiamento del singolo verso il rischio. Per l’ipotesi di omogeneità delle
aspettative, il rapporto α1/α2 è uguale per tutti gli investitori.
• Il rapporto α1/α2 conferma anche un altro risultato, che in equilibrio il
portafoglio di mercato ha la stessa composizione del portafoglio di
tangenza. Esso è identico a quello ricavato in base al criterio media-varianza.
51
La linea di valutazione delle attività (SML)
• La conclusione appena raggiunta ha due corollari importanti.
• Il primo è che, siccome tutti gli investitori hanno la stessa composizione di
portafoglio relativamente ai titoli rischiosi, ciò che distingue un investitore
dall’altro è la ripartizione della ricchezza tra il titolo non rischioso e i titoli
rischiosi (teorema di separazione) .
• La scelta di portafoglio può essere separata in due stadi distinti:
1. trovare la composizione ottimale di portafoglio riguardo ai soli titoli rischiosi;
questa scelta conduce agli stessi risultati per tutti gli investitori e perciò è
indipendente dalle preferenze;
2. trovare la ripartizione ottimale della ricchezza tra titoli rischiosi e titolo non
rischioso; questa ripartizione dipende dalle preferenze individuali.
52
• Il secondo corollario sfrutta di nuovo la conclusione che il portafoglio di mercato coincide in equilibrio con quello di tangenza per pervenire ad un’equazione che determina il tasso di rendimento atteso per tutti i titoli e non
soltanto di quelli che appartengono alla lmc.
• Calcoliamo la covarianza tra il titolo 1 e il portafoglio di mercato
σ1M = E (R1 − µ1)
αM
1 R1
2
M
= αM
1 σ 1 + α2 ρσ 1σ 2
+ αM
2 R2
−
αM
1 µ1
+ αM
2 µ2
=
dove l’apice M ci ricorda che gli α sono riferiti al portafoglio di mercato.
• Utilizziamo le condizioni del primo ordine prima determinate

∂V



= V1 (µ1 − R0) + 2V2 αM
σ21 + αM
ρσ 1σ2 = 0

1
2
∂α1
∂V


M
2
M

= V1 (µ2 − R0) + 2V2 α2 σ2 + α1 ρσ 1σ2 = 0

∂α2
53
M e sommiamo
Moltiplichiamo la prima per αM
,
la
seconda
per
α
1
2
V1 (µM − R0) + 2V2σ 2M
V2
µM − R0
= 0 =⇒
=−
V1
2σ 2M
Sostituendo
σ iM
E (Ri) − R0 = [E (RM ) − R0] 2 ; i = 1, 2
σM
Il rapporto σ iM /σ2M è il coefficiente di regressione di Ri su RM ; lo indicheremo con β i.
E (Ri) = R0 + [E (RM ) − R0] β i
per i = 1, 2. Essa è nota come linea di valutazione delle attività (sml, Security Market Line).
54
E(R i )
SML
E(RM)
R0
E(R M) - R
0
1
βi
• Essa afferma che il tasso di rendimento atteso di qualsiasi titolo o portafoglio
55
titoli, sia efficiente che non efficiente, è pari in equilibrio al tasso di rendimento
del titolo non rischioso più un premio per il rischio.
• A sua volta il premio per il rischio è composto di due parti: l’eccesso del
tasso di rendimento atteso del portafoglio di mercato e il coefficiente di
regressione β i. Il primo termine è evidentemente uguale per tutti i titoli:
corrisponde alla pendenza della sml. Il secondo varia da titolo a titolo; poiché
β i = Cov (Ri, RM ) / Var (RM ), esso è tanto maggiore quanto più il tasso
di rendimento del titolo considerato tende a muoversi in sincronia con il tasso
di rendimento del portafoglio di mercato, ovvero quanto più forte e positivo
è il “comovimento” tra i due tassi di rendimento.
• Un esempio. Due titoli, 1 e 2, che offrono lo stesso rendimento atteso in
livello (non come tasso), E (z1s) = E (z2s). Il titolo 1 ha un rendimento che
è positivamente correlato con quello del portafoglio di mercato, mentre quello
del titolo 2 è negativamente correlato con quello del portafoglio di mercato,
cioè β 1 > 0 e β 2 < 0. Per rendere concretamente l’idea, si può pensare
56
che il rendimento del titolo 1 è elevato quando l’economia è in espansione
mentre quello del titolo 2 è elevato quando l’economia è in depressione. Se
si valuta il rendimento in termini di utilità marginale, possiamo dire che una
unità addizionale del titolo 1 vale meno di una unità addizionale del titolo
2 perché nel primo caso il rendimento del titolo è maggiore quando già il
reddito dell’economia è elevato.
• Siccome il titolo 2 vale di più, la sua domanda risulterà relativamente più
alta di quella del titolo 1 e il suo prezzo sarà maggiore, P2A > P1A. Poiché i
due titoli hanno lo stesso rendimento atteso, ma il prezzo del titolo 2 è più
elevato, il tasso di rendimento del titolo 2 sarà minore di quello del titolo 1,
E (z2s)
E (z1s)
= E (R2s) < E (R1s) =
. Affinché tutti e due i titoli siano
A
A
P2
P1
domandati in equilibrio, occorre che il titolo 1 offra un tasso di rendimento
atteso più alto perché la sua struttura dei rendimenti è meno attraente di
quella del titolo 2.
57
Il mercato dei titoli
• La rischiosità di un titolo o di un portafoglio non può essere in generale
misurata dalla varianza o dallo scarto quadratico medio del rendimento ma da
quanto questo rendimento tende a muoversi in sincronia con quello dell’intero
mercato, ovvero con il rendimento del portafoglio di mercato
• Due sono le relazioni principali del capm. La prima riguarda la linea del
mercato dei capitali (lmc)
E (RM ) − R0
E (RP ) = R0 +
σP
σM
dove P è un portafoglio efficiente, che giace cioè sulla lmc, M è il portafoglio
di mercato e R0 è il rendimento del titolo non rischioso.
• L’altra relazione importante del capm è la linea di valutazione delle attività
(sml)
E (RA) = R0 + [E (RM ) − R0] β A
58
dove A è un titolo o portafoglio qualunque, sia esso efficiente o no. Possiamo
riscrivere l’equazione della sml come
E (RA) = R0 +
E (RM ) − R0 σAM
σM
σM
Le due equazioni presentano una struttura assai simile. In ambedue il rendimento atteso di una attività viene espresso come somma del rendimento del
titolo non rischioso e di un premio per il rischio.
• A sua volta il premio per il rischio può essere scomposto in due parti: una
E (RM ) − R0
prima parte
, uguale nelle due equazioni è abitualmente deσM
nominata prezzo di mercato del rischio o premio per unità di rischio e
rappresenta di quanto aumenta il rendimento atteso dell’attività considerata
quando viene aumentato di una unità il rischio; l’altra parte dà conto appunto del rischio e differisce nelle due equazioni. Tutt’e due le equazioni hanno
una struttura del tipo:
Rendim. atteso = Rendim. non rischioso + Premio rischio
59
dove
Premio rischio = Prezzo rischio × Ammontare rischio
Rimane da spiegare perché la definizione di rischio differisca nei due casi.
• Nel caso di attività efficienti la definizione di rischio coincide con lo scarto
quadratico medio. Prendiamo ad esempio il portafoglio di mercato che è
chiaramente efficiente (è identico al portafoglio di tangenza del singolo investitore); se poniamo A = M, σAM diviene σ2M sicché la misura del rischio
σ AM
σM
σ2M
σM
è
=
= σM . La stessa conclusione vale per tutti i portafogli efficienti: questi sono infatti formati per una quota α0 dal titolo privo di rischio
e per la quota residua 1 − α0 dal portafoglio di mercato. Si conclude che
σAM
σM = (1 − α0) σ M , il rischio corrisponde cioè ad una quota dello scarto
quadratico medio del portafoglio di mercato.
• Consideriamo ora un’attività qualsiasi, efficiente o meno che sia. Qual è
la misura rilevante del rischio in questo caso? Siccome tutti gli investitori
60
detengono il portafoglio di mercato il cui rischio è misurato dal relativo scarto
quadratico medio, la misura appropriata del rischio di un’attività qualsiasi è
costituita dalla variazione che subisce σM quando si varia la detenzione di
questa attività.
• Se continuiamo a supporre per semplicità che vi siano solo due titoli rischiosi,
σM è
σM =
α21σ 21
+ α22σ22
+ 2α1α2σ12
1/2
dove le quote α1 e α2 sono riferite al portafoglio di mercato.
• Se variamo la quota α1 del titolo 1 nel portafoglio di mercato, la variazione
61
conseguente di σM è
α21σ21
+ α22σ 22
∂
+ 2α1α2σ12
∂σM
=
∂α1
∂α1
2
(1/2) 2α1σ1 + 2α2σ12
=
=
σM
σ1M
=
σM
1/2
=
Il rischio complessivo σA attribuibile ad un’attività viene abitualmente suddiviso in due parti: σσAM rappresenta il cosiddetto rischio sistematico o non
M
diversificabile, mentre il rischio residuo σA − σσAM viene detto non sistematico
M
o diversificabile.
62
µ
LMC
M
E (R)
E (RA )=E (RP)
P
A
Z
E (R)=R0
σΑΜ
σ
= σP
σΜ
σΑ = σΖ
σ
Figura 1:
L’attività A è chiaramente inefficiente perché si trova al di sotto della lmc.
Non tutto il rischio σA viene remunerato dal mercato ma solo la componente
sistematica. Viceversa, l’attività P è efficiente e tutto il rischio σP viene remunerato. Se invece guardiamo alla linea di valutazione delle attività tutte e
63
due le attività si trovano sulla sml . Il motivo è che in questo caso la variabile
sull’asse delle ascisse β i = σiM
2 è una misura del rischio sistematico, e le due
σM
attività hanno lo stesso livello di rischio sistematico.
E (R i)
SML
M
E (R M )
P
E ( R A )= E ( R P )
E ( R Z )= R 0
A
Z
β A =β P
1
βi
Sia la lmc che la sml ci dicono che soltanto la componente sistematica del
64
rischio è rilevante ai fini della determinazione del rendimento (atteso) di
un’attività. L’unica differenza è che nel grafico della lmc il rischio sistematico di un’attività non è misurato da tutta l’ascissa ma solo dal tratto
orizzontale che si trova tra il rendimento atteso dell’attività considerata e la
lmc.
• Che la lmc e la sml forniscano lo stesso messaggio a proposito del rischio lo
si può verificare anche guardando alle due equazioni che le definiscono,
LMC =⇒
E (RP ) − R0
E (RM ) − R0
=
σP
σM
SML =⇒
E (RA) − R0
E (RM ) − R0
=
σAM /σM
σM
Possiamo scrivere in forma compatta queste due equazioni nel seguente
modo:
E (RP ) − R0
E (RM ) − R0
E (RA) − R0
=
=
σP
σM
σAM /σM
Per qualunque attività, efficiente o inefficiente, il mercato paga lo stesso
premio per unità di rischio sistematico.
65
Il titolo con β = 0
• Guardiamo all’attività Z. Come risulta dal grafico, questa attività ha un
rendimento uguale a quello del titolo non rischioso perché il suo rischio sistematico è nullo. Siccome Z non ha rischio sistematico, può essere considerata
equivalente ad un’attività priva di rischio. Sfruttando la presenza di attività
come Z, possiamo costruire una versione del CAPM in cui non vi è alcun
titolo che fornisce un rendimento certo pari a R0.
66
µ
M
E(RM)
B
E (R B )
Z
E (R Z)
σΒΜ
σΜ
σΜ
σΖ σΒ
σ
Sia M il portafoglio di mercato. Conducendo la tangente alla frontiera di
minima varianza nel punto M e poi tracciando una retta orizzontale fino a
incontrare di nuovo l’iperbole, si individua l’attività Z che ha correlazione
zero con il portafoglio di mercato.
67
• Siccome Z ha un rischio sistematico nullo, può di fatto svolgere lo stesso
ruolo del titolo privo di rischio; in particolare, il premio per il rischio deve
essere calcolato rispetto a Z.
• Determiniamo in primo luogo il premio per unità di rischio per il portafoglio
di mercato; questo può essere fatto calcolando la pendenza della E(RZ )M
nel punto M:
E (RM ) − E (RZ )
σM
68
µ
2
1
M
P2
P1
Z
σ
Prendiamo ora una qualsiasi attività come B; il premio per unità di rischio
(sistematico) per questa attività equivale in termini grafici alla pendenza della
69
E(RZ )M nel punto B
E (RB ) − E (RZ )
σBM /σ M
Uguagliando le ultime due espressioni:
E (RM ) − E (RZ )
E (RB ) − E (RZ )
=
=⇒
σBM /σM
σM
E (RM ) − E (RZ ) σBM
E (RB ) = E (RZ ) +
σM
σM
La relazione principale del capm è immutata anche in assenza di un titolo
con un rendimento certo.
• È bene però sottolineare due punti che sono una conseguenza immediata del
fatto che in questa versione del CAPM non vi è un titolo privo di rischio.
Il primo è che la retta E(RZ )M non rappresenta l’insieme dei portafogli
disponibili agli investitori: la E(RZ )M non sostituisce la CML proprio perché
non vi è alcun titolo privo di rischio. Gli investitori scelgono piuttosto in base
70
alle loro preferenze un’attività che si trova sul tratto crescente dell’iperbole,
cioè sulla frontiera efficiente con soli titoli rischiosi.
• La figura illustra la situazione di due individui: l’investitore 1 sceglie il portafoglio P1 avendo così una posizione lunga in M e Z; l’investitore 2 sceglie
il portafoglio P2 con una posizione corta in Z e lunga in M.
• Si noti che ogni portafoglio può essere ottenuto combinando linearmente M
e Z. Dalla precedente equazione, ricordando che β i = σiM
2
σM
E (RB ) = (1 − β B ) E (RZ ) + β B E (RM )
71
µ
M
M
2
1
Z2
Z1
σ
Figura 2:
• Il secondo punto che va sottolineato è che abbiamo individuato l’attività Z
assumendo che il portafoglio di mercato sia M. Questo modo di procedere
è però rovesciato rispetto a quello che abbiamo prima seguito in presenza di
un titolo privo di rischio. In quest’ultimo caso siamo partiti dal titolo privo
di rischio per identificare il portafoglio di mercato. In assenza di un titolo
72
privo di rischio, siamo invece partiti dal portafoglio di mercato per individuare
l’attività Z con esso incorrelata: di conseguenza, esiste un’attività con un
rischio sistematico nullo per ogni possibile portafoglio di mercato, ovvero per
ogni possibile portafoglio efficiente.
• Per esempio, al portafoglio di mercato M1 corrisponde l’attività Z1 e al
portafoglio di mercato M2 corrisponde l’attività Z2. La versione del CAPM
senza un titolo privo di rischi soffre così di un’ambiguità che non può essere
eliminata finché non siamo in grado di identificare il “vero” portafoglio di
mercato.
73