Analisi Matematica II 15 Gennaio 2007, ore 8.30 Versione A Nome, Cognome: Numero di matricola: Docente: Corso di Laurea: Codice corso: Analisi II 7,5 cr. es. 1,3,4 Analisi D es. 1,2,5 Analisi II V.O. es. 1,3,4 Esercizio 1 (10 punti). Sia dato il seguente campo piano: r r y x F(x, y) = 2 + ı + −3 + 3x 3y 1. Dire se esiste una regione A ⊆ R2 in cui F è conservativo. 2. Se al punto precedente la risposta è affermativa, calcolare un potenziale di F definito su A. Esercizio 2 (10 punti). Calcolare Z Z Z (1 + x2 ) dx dy dz, D 3 dove D ⊆ R è l’insieme di punti (x, y, z) che soddisfano le seguenti disequazioni: x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 D: x2 ≥ y 2 + z 2 x≥0 Esercizio 3 (10 punti). Sia data la serie ∞ X 2n sinn (3x) n=0 1. Determinare, se esiste, il più grande intervallo contenente 0 in cui la serie converge. 2. Calcolare la somma f (x) di tale serie. 3. Determinare, se esiste, un intervallo contenente l’origine in cui converge la seguente serie: ∞ X n n n n n 2 sin (3x) + (−1) x . n2 + 2 n=0 Esercizio 4 (10 punti). Sia dato il sistema di equazioni differenziali lineari β 1 Ẋ = X. 4 β 1. ( solo per gli studenti del Nuovo Ordinamento) Discutere la stabilità dell’origine al variare di β ∈ R. 2. Determinare l’integrale generale del sistema, quando β = −4. 3. Per β = −4, determinare la soluzione del problema di Cauchy con condizione iniziale 1 X(0) = 1 Esercizio 5 (10 punti). Sia data la funzione f (x, y) = ey log 2x . 1. Determinare il dominio di f . 2. Scrivere la formula di Taylor nell’intorno del punto (1, 1), esplicitandone i termini fino al secondo ordine compreso. 3. Trovare i punti critici di f e stabilirne il tipo. Analisi Matematica II 15 Gennaio 2007, ore 8.30 Versione B Nome, Cognome: Numero di matricola: Docente: Corso di Laurea: Codice corso: Analisi II 7,5 cr. es. 1,3,4 Analisi D es. 1,2,5 Analisi II V.O. es. 1,3,4 Esercizio 1 (10 punti). Sia dato il seguente campo piano: r r y x F(x, y) = 3 + ı + −2 + 2x 2y 1. Dire se esiste una regione A ⊆ R2 in cui F è conservativo. 2. Se al punto precedente la risposta è affermativa, calcolare un potenziale di F definito su A. Esercizio 2 (10 punti). Calcolare Z Z Z (1 + y 2 ) dx dy dz, D dove D ⊆ R3 è l’insieme di punti (x, y, z) che soddisfano le seguenti disequazioni: x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 D: y 2 ≥ x2 + z 2 y≥0 Esercizio 3 (10 punti). Sia data la serie ∞ X √ ( 3)n tann (2x) n=0 1. Determinare, se esiste, il più grande intervallo contenente 0 in cui la serie converge. 2. Calcolare la somma f (x) di tale serie. 3. Determinare, se esiste, un intervallo contenente l’origine in cui converge la seguente serie: ∞ X √ n xn . ( 3)n tann (2x) + (−1)n 2 n +1 n=0 Esercizio 4 (10 punti). Sia dato il sistema di equazioni differenziali lineari β 4 Ẋ = X. 1 β 1. ( solo per gli studenti del Nuovo Ordinamento) Discutere la stabilità dell’origine al variare di β ∈ R. 2. Determinare l’integrale generale del sistema, quando β = −4. 3. Per β = −4, determinare la soluzione del problema di Cauchy con condizione iniziale 1 X(0) = 1 Esercizio 5 (10 punti). Sia data la funzione f (x, y) = ex log 3y . 1. Determinare il dominio di f . 2. Scrivere la formula di Taylor nell’intorno del punto (1, 1), esplicitandone i termini fino al secondo ordine compreso. 3. Trovare i punti critici di f e stabilirne il tipo. Analisi Matematica II 15 Gennaio 2007, ore 8.30 Versione C Nome, Cognome: Numero di matricola: Docente: Corso di Laurea: Codice corso: Analisi II 7,5 cr. es. 1,3,4 Analisi D es. 1,2,5 Analisi II V.O. es. 1,3,4 Esercizio 1 (10 punti). Sia dato il seguente campo piano: r r y x F(x, y) = −2 + ı+ 3+ 5x 5y 1. Dire se esiste una regione A ⊆ R2 in cui F è conservativo. 2. Se al punto precedente la risposta è affermativa, calcolare un potenziale di F definito su A. Esercizio 2 (10 punti). Calcolare Z Z Z (1 + x2 ) dx dy dz, D 3 dove D ⊆ R è l’insieme di punti (x, y, z) che soddisfano le seguenti disequazioni: x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 D: x2 ≥ y 2 + z 2 x≥0 Esercizio 3 (10 punti). Sia data la serie ∞ X 2n sinn (4x) n=0 1. Determinare, se esiste, il più grande intervallo contenente 0 in cui la serie converge. 2. Calcolare la somma f (x) di tale serie. 3. Determinare, se esiste, un intervallo contenente l’origine in cui converge la seguente serie: ∞ X n n n n n 2 sin (4x) + (−1) x . n2 + 3 n=0 Esercizio 4 (10 punti). Sia dato il sistema di equazioni differenziali lineari β −1 Ẋ = X. −4 β 1. ( solo per gli studenti del Nuovo Ordinamento) Discutere la stabilità dell’origine al variare di β ∈ R. 2. Determinare l’integrale generale del sistema, quando β = 4. 3. Per β = 4, determinare la soluzione del problema di Cauchy con condizione iniziale 1 X(0) = 1 Esercizio 5 (10 punti). Sia data la funzione f (x, y) = ey log 4x . 1. Determinare il dominio di f . 2. Scrivere la formula di Taylor nell’intorno del punto (1, 1), esplicitandone i termini fino al secondo ordine compreso. 3. Trovare i punti critici di f e stabilirne il tipo. Analisi Matematica II 15 Gennaio 2007, ore 8.30 Versione D Nome, Cognome: Numero di matricola: Docente: Corso di Laurea: Codice corso: Analisi II 7,5 cr. es. 1,3,4 Analisi D es. 1,2,5 Analisi II V.O. es. 1,3,4 Esercizio 1 (10 punti). Sia dato il seguente campo piano: r r y x F(x, y) = −3 + ı+ 2+ 7x 7y 1. Dire se esiste una regione A ⊆ R2 in cui F è conservativo. 2. Se al punto precedente la risposta è affermativa, calcolare un potenziale di F definito su A. Esercizio 2 (10 punti). Calcolare Z Z Z (1 + y 2 ) dx dy dz, D dove D ⊆ R3 è l’insieme di punti (x, y, z) che soddisfano le seguenti disequazioni: x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 D: y 2 ≥ x2 + z 2 y≥0 Esercizio 3 (10 punti). Sia data la serie ∞ X √ ( 3)n tann (3x) n=0 1. Determinare, se esiste, il più grande intervallo contenente 0 in cui la serie converge. 2. Calcolare la somma f (x) di tale serie. 3. Determinare, se esiste, un intervallo contenente l’origine in cui converge la seguente serie: ∞ X √ n xn . ( 3)n tann (3x) + (−1)n 2 n +4 n=0 Esercizio 4 (10 punti). Sia dato il sistema di equazioni differenziali lineari β −4 Ẋ = X. −1 β 1. ( solo per gli studenti del Nuovo Ordinamento) Discutere la stabilità dell’origine al variare di β ∈ R. 2. Determinare l’integrale generale del sistema, quando β = 4. 3. Per β = 4, determinare la soluzione del problema di Cauchy con condizione iniziale 1 X(0) = 1 Esercizio 5 (10 punti). Sia data la funzione f (x, y) = ex log 5y . 1. Determinare il dominio di f . 2. Scrivere la formula di Taylor nell’intorno del punto (1, 1), esplicitandone i termini fino al secondo ordine compreso. 3. Trovare i punti critici di f e stabilirne il tipo.