Analisi Matematica II 15 Gennaio 2007, ore 8.30 Versione A Nome

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Analisi Matematica II
15 Gennaio 2007, ore 8.30
Versione A
Nome, Cognome:
Numero di matricola:
Docente:
Corso di Laurea:
Codice corso:
Analisi II 7,5 cr.
es. 1,3,4
Analisi D
es. 1,2,5
Analisi II V.O.
es. 1,3,4
Esercizio 1 (10 punti). Sia dato il seguente campo piano:
r r y
x
F(x, y) = 2 +
ı + −3 +

3x
3y
1. Dire se esiste una regione A ⊆ R2 in cui F è conservativo.
2. Se al punto precedente la risposta è affermativa, calcolare un potenziale di F definito su A.
Esercizio 2 (10 punti). Calcolare
Z Z Z
(1 + x2 ) dx dy dz,
D
3
dove D ⊆ R è l’insieme di punti (x, y, z) che soddisfano le seguenti disequazioni:

 x2 + y 2 + z 2 ≤ 1
D:
x2 ≥ y 2 + z 2

x≥0
Esercizio 3 (10 punti). Sia data la serie
∞
X
2n sinn (3x)
n=0
1. Determinare, se esiste, il più grande intervallo contenente 0 in cui la serie converge.
2. Calcolare la somma f (x) di tale serie.
3. Determinare, se esiste, un intervallo contenente l’origine in cui converge la seguente serie:
∞ X
n
n
n
n
n
2 sin (3x) + (−1)
x .
n2 + 2
n=0
Esercizio 4 (10 punti). Sia dato il sistema di equazioni differenziali lineari
β 1
Ẋ =
X.
4 β
1. ( solo per gli studenti del Nuovo Ordinamento) Discutere la stabilità dell’origine al variare di β ∈ R.
2. Determinare l’integrale generale del sistema, quando β = −4.
3. Per β = −4, determinare la soluzione del problema di Cauchy con condizione iniziale
1
X(0) =
1
Esercizio 5 (10 punti). Sia data la funzione
f (x, y) = ey log 2x .
1. Determinare il dominio di f .
2. Scrivere la formula di Taylor nell’intorno del punto (1, 1), esplicitandone i termini fino al secondo
ordine compreso.
3. Trovare i punti critici di f e stabilirne il tipo.
Analisi Matematica II
15 Gennaio 2007, ore 8.30
Versione B
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Numero di matricola:
Docente:
Corso di Laurea:
Codice corso:
Analisi II 7,5 cr.
es. 1,3,4
Analisi D
es. 1,2,5
Analisi II V.O.
es. 1,3,4
Esercizio 1 (10 punti). Sia dato il seguente campo piano:
r r y
x
F(x, y) = 3 +
ı + −2 +

2x
2y
1. Dire se esiste una regione A ⊆ R2 in cui F è conservativo.
2. Se al punto precedente la risposta è affermativa, calcolare un potenziale di F definito su A.
Esercizio 2 (10 punti). Calcolare
Z Z Z
(1 + y 2 ) dx dy dz,
D
dove D ⊆ R3 è l’insieme di punti (x, y, z) che soddisfano le seguenti disequazioni:

 x2 + y 2 + z 2 ≤ 1
D:
y 2 ≥ x2 + z 2

y≥0
Esercizio 3 (10 punti). Sia data la serie
∞
X
√
( 3)n tann (2x)
n=0
1. Determinare, se esiste, il più grande intervallo contenente 0 in cui la serie converge.
2. Calcolare la somma f (x) di tale serie.
3. Determinare, se esiste, un intervallo contenente l’origine in cui converge la seguente serie:
∞ X
√
n
xn .
( 3)n tann (2x) + (−1)n 2
n +1
n=0
Esercizio 4 (10 punti). Sia dato il sistema di equazioni differenziali lineari
β 4
Ẋ =
X.
1 β
1. ( solo per gli studenti del Nuovo Ordinamento) Discutere la stabilità dell’origine al variare di β ∈ R.
2. Determinare l’integrale generale del sistema, quando β = −4.
3. Per β = −4, determinare la soluzione del problema di Cauchy con condizione iniziale
1
X(0) =
1
Esercizio 5 (10 punti). Sia data la funzione
f (x, y) = ex log 3y .
1. Determinare il dominio di f .
2. Scrivere la formula di Taylor nell’intorno del punto (1, 1), esplicitandone i termini fino al secondo
ordine compreso.
3. Trovare i punti critici di f e stabilirne il tipo.
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Versione C
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Docente:
Corso di Laurea:
Codice corso:
Analisi II 7,5 cr.
es. 1,3,4
Analisi D
es. 1,2,5
Analisi II V.O.
es. 1,3,4
Esercizio 1 (10 punti). Sia dato il seguente campo piano:
r r y
x
F(x, y) = −2 +
ı+ 3+

5x
5y
1. Dire se esiste una regione A ⊆ R2 in cui F è conservativo.
2. Se al punto precedente la risposta è affermativa, calcolare un potenziale di F definito su A.
Esercizio 2 (10 punti). Calcolare
Z Z Z
(1 + x2 ) dx dy dz,
D
3
dove D ⊆ R è l’insieme di punti (x, y, z) che soddisfano le seguenti disequazioni:

 x2 + y 2 + z 2 ≤ 1
D:
x2 ≥ y 2 + z 2

x≥0
Esercizio 3 (10 punti). Sia data la serie
∞
X
2n sinn (4x)
n=0
1. Determinare, se esiste, il più grande intervallo contenente 0 in cui la serie converge.
2. Calcolare la somma f (x) di tale serie.
3. Determinare, se esiste, un intervallo contenente l’origine in cui converge la seguente serie:
∞ X
n
n
n
n
n
2 sin (4x) + (−1)
x .
n2 + 3
n=0
Esercizio 4 (10 punti). Sia dato il sistema di equazioni differenziali lineari
β −1
Ẋ =
X.
−4 β
1. ( solo per gli studenti del Nuovo Ordinamento) Discutere la stabilità dell’origine al variare di β ∈ R.
2. Determinare l’integrale generale del sistema, quando β = 4.
3. Per β = 4, determinare la soluzione del problema di Cauchy con condizione iniziale
1
X(0) =
1
Esercizio 5 (10 punti). Sia data la funzione
f (x, y) = ey log 4x .
1. Determinare il dominio di f .
2. Scrivere la formula di Taylor nell’intorno del punto (1, 1), esplicitandone i termini fino al secondo
ordine compreso.
3. Trovare i punti critici di f e stabilirne il tipo.
Analisi Matematica II
15 Gennaio 2007, ore 8.30
Versione D
Nome, Cognome:
Numero di matricola:
Docente:
Corso di Laurea:
Codice corso:
Analisi II 7,5 cr.
es. 1,3,4
Analisi D
es. 1,2,5
Analisi II V.O.
es. 1,3,4
Esercizio 1 (10 punti). Sia dato il seguente campo piano:
r r y
x
F(x, y) = −3 +
ı+ 2+

7x
7y
1. Dire se esiste una regione A ⊆ R2 in cui F è conservativo.
2. Se al punto precedente la risposta è affermativa, calcolare un potenziale di F definito su A.
Esercizio 2 (10 punti). Calcolare
Z Z Z
(1 + y 2 ) dx dy dz,
D
dove D ⊆ R3 è l’insieme di punti (x, y, z) che soddisfano le seguenti disequazioni:

 x2 + y 2 + z 2 ≤ 1
D:
y 2 ≥ x2 + z 2

y≥0
Esercizio 3 (10 punti). Sia data la serie
∞
X
√
( 3)n tann (3x)
n=0
1. Determinare, se esiste, il più grande intervallo contenente 0 in cui la serie converge.
2. Calcolare la somma f (x) di tale serie.
3. Determinare, se esiste, un intervallo contenente l’origine in cui converge la seguente serie:
∞ X
√
n
xn .
( 3)n tann (3x) + (−1)n 2
n +4
n=0
Esercizio 4 (10 punti). Sia dato il sistema di equazioni differenziali lineari
β −4
Ẋ =
X.
−1 β
1. ( solo per gli studenti del Nuovo Ordinamento) Discutere la stabilità dell’origine al variare di β ∈ R.
2. Determinare l’integrale generale del sistema, quando β = 4.
3. Per β = 4, determinare la soluzione del problema di Cauchy con condizione iniziale
1
X(0) =
1
Esercizio 5 (10 punti). Sia data la funzione
f (x, y) = ex log 5y .
1. Determinare il dominio di f .
2. Scrivere la formula di Taylor nell’intorno del punto (1, 1), esplicitandone i termini fino al secondo
ordine compreso.
3. Trovare i punti critici di f e stabilirne il tipo.