SCIENTIA – http://www.scientiajournal.org
International Review of Scientific Synthesis – ISSN 2282-2119
Vol. 125 - hdl:11167/Scientia.Vol125.Sect2.Art05 – December 15th, 2013
doi:10.12969/Scientia.Vol125.Sect2.Art05
Il rapporto aureo, le sue potenze
e i numeri di Fibonacci
Fabrizio Coppola
Istituto Scientia – http://www.istitutoscientia.it – via Ortola 65 – 54100 Massa – Italy
Abstract
Il rapporto aureo (noto anche come sezione aurea) viene generalmente introdotto tramite
definizioni geometriche o dedotto dalla successione di Fibonacci. Questo articolo intende
presentarlo con un approccio diverso, per certi aspetti capovolto rispetto a quello tradizionale.
Partendo dalla semplice esposizione delle straordinarie proprietà di questo numero irrazionale
(circa 1,618034) comprensibili a chiunque, l'articolo le spiega gradualmente e le dimostra in
termini algebrici (relativamente semplici) per poi evidenziarne altre poco note ma non meno
notevoli riguardanti le sue potenze, fino a giungere ad una definizione alternativa, ma
rigorosa, della successione di Fibonacci. Non manca un'adeguata trattazione della formula di
Binet, mentre le classiche proprietà geometriche della sezione aurea, note fin dall'antichità,
vengono brevemente riassunte solo alla fine.
Keywords: successione, serie, Fibonacci, rapporto aureo, frazioni continue, formula di Binet
Scientia - Vol. 125 – Il rapporto aureo, le sue potenze e i numeri di Fibonacci
Indice.
I - La sezione aurea considerata da un punto di vista algebrico e numerico.
3
II - Alcuni numeri con parte decimale 0,618034...
4
III - Alcuni numeri con parte decimale 0,236068...
5
IV - Potenze del rapporto aureo.
7
V - Relazione tra le potenze di ϕ e la cosiddetta “serie di Fibonacci”.
8
VI – La “serie”, o meglio, “successione” o “sequenza di Fibonacci”.
9
VII - Numeri di Fibonacci partendo da n = 0.
10
VIII - Approssimazioni razionali successive della sezione aurea.
11
IX - Sviluppo del rapporto aureo come frazione continua.
13
X - La formula di Binet.
18
XI - Nota sull'idealismo pitagorico (e platonico).
20
XII - I conigli di Fibonacci.
22
XIII - L'origine geometrica della sezione aurea.
24
Appendice A.
25
Appendice B.
25
Appendice C.
25
Appendice D.
26
Appendice E.
26
Appendice F.
26
Appendice G.
27
Appendice H.
27
Riferimenti
...
2
Scientia - Vol. 125 – Il rapporto aureo, le sue potenze e i numeri di Fibonacci
I - La sezione aurea considerata da un punto di vista algebrico e numerico.
Consideriamo il seguente numero non intero, per adesso approssimato a 6 (sei) cifre decimali,
che indicheremo con la lettera greca ϕ (normalmente translitterata con i caratteri romani phi):
ϕ = 1,618034
Calcoliamo adesso il suo quadrato:
ϕ 2 = 2,618034
Curiosamente, la parte decimale (approssimata anch'essa a 6 cifre secondo le consuete regole
dell'arrotondamento) risulta identica, ovvero 0,618034 .
Consideriamo adesso l'inverso o reciproco di ϕ :
1
ϕ
= ϕ –11 = 0,618034
Ancora una volta la parte decimale (arrotondata a 6 cifre) è la stessa: 0,618034 . Com'è
possibile?
Potrebbe essere solo una fortunata coincidenza o addirittura un trucco intenzionale, possibile
forse perché ci siamo limitati a sole 6 cifre decimali... Niente affatto. Si è scelto di considerare
poche cifre (per ora) solo per comodità, affinché chiunque, con una semplice calcolatrice,
possa verificare facilmente e istantaneamente queste due insolite proprietà. Con strumenti
adeguati è possibile ottenere risultati ben più precisi, ovvero con un maggior numero di cifre
decimali, le quali resteranno invariate nei tre casi.
Per esempio il comune foglio elettronico Microsoft Excel raggiunge già una precisione di 13
cifre:
ϕ = 1,6180339887499
ϕ 2 = 2,6180339887499
1
= ϕ –11 = 0,6180339887499
ϕ
Possiamo constatare così che la parte decimale dei tre numeri rimane identica perfino
considerando ben 13 cifre decimali: 0,6180339887499 .
L'espansione completa ϕ in un numero limitato di cifre non può essere fornita da alcun
software, per quanto sofisticato, poiché si tratta (come vedremo) di un numero “irrazionale” e
come tale la sua rappresentazione decimale è illimitata. Tuttavia si può dimostrare che tutte le
3
Scientia - Vol. 125 – Il rapporto aureo, le sue potenze e i numeri di Fibonacci
(pur “infinite”) cifre decimali di ϕ , ϕ 2 e ϕ –11 (per usare un linguaggio informale ma chiaro
per tutti) devono essere inevitabilmente uguali (inoltre daremo espressioni alternative per
identificarlo perfettamente ed univocamente)
Per dimostrarlo, è sufficiente trovare quel numero x il cui quadrato x2 sia uguale a se stesso
più uno, ovvero x2 = x + 1 (aumentando un numero di uno, ovviamente la sua parte decimale
non cambia). Questa condizione equivale all'equazione di secondo grado riportata e risolta
nell'Appendice A.
1 5
, un'espressione che, pur fornendo
Il risultato (concettualmente esatto) è ϕ =
2
un'espansione illimitata in cifre decimali, per cui non può dare un valore esatto in tale forma,
permette comunque di calcolarlo con qualsiasi numero di cifre si desideri: per esempio noi lo
esprimeremo spesso con 13 cifre decimali, 1,6180339887499 , e altre volte con 6 cifre,
1,618034 , o in alcuni casi perfino con 3 soltanto, 1.618, come usano fare alcuni autori).
L'importante è che il valore di ϕ sia conosciuto perfettamente da un punto di vista
concettuale ed analitico, benché la sua espressione decimale illimitata non possa essere né
esplicitata (per ovvi motivi pratici), né riconducibile ad un numero periodico (nel qual caso,
pur avendo infinite cifre, mostrerebbe almeno delle ricorrenze regolari). Infatti ϕ è
irrazionale, perché la sua espressione include la radice quadrata di un numero naturale che
non è un quadrato perfetto, ovvero 5 . Tuttavia, come vedremo più avanti, ϕ ha la
singolare proprietà di poter essere espresso come “frazione continua” (illimitata) con tutti i
coefficienti uguali a 1.
II - Alcuni numeri con parte decimale 0,618034...
Conoscendo adesso (formalmente) il valore esatto di ϕ , (anche se non esprimibile in termini
decimali espliciti con perfetta precisione), si può formalmente dimostrare che ϕ 2 (cioè
2,6180339887499...) è esattamente uguale a ϕ + 1 . Lo facciamo esplicitamente
nell'Appendice B, sebbene sia una dimostrazione superflua, in quanto il fatto è garantito “a
priori” dalla definizione stessa di ϕ e dalla conseguente soluzione trovata nell' Appendice A.
1
Si può dimostrare inoltre che ϕ –11 , ovvero
(cioè 0,6180339887499...) è esattamente
ϕ
uguale a ϕ – 1 , il che viene spiegato nell'Appendice C.
A proposito di questo inatteso risultato, abbiamo trovato così qualcosa di ulteriore rispetto a
ciò che cercavamo, cioè x tale che x2 = x + 1. Non ci eravamo proposti infatti di trovare
1
anche x tale che
= x – 1 (come risulta dall'identità 0,618 … = 1,618… – 1 ).
x
Invece l'abbiamo trovato, ed è il medesimo. Com'è possibile che ϕ sia dotato fortuitamente
anche di questa interessante caratteristica? Ciò viene spiegato nell'Appendice D.
Ecco quindi che ϕ (cioè 1,618...
...)
... ha contemporaneamente (almeno) due proprietà
straordinarie, che molti matematici nei secoli scorsi, rimasti “estasiati”, definirono “magiche”
o addirittura “divine” (tra cui Luca Pacioli).
4
Scientia - Vol. 125 – Il rapporto aureo, le sue potenze e i numeri di Fibonacci
Il quadrato di ϕ (1,618...) è uguale a se stesso aumentato di uno (2,618...) ed il
reciproco di ϕ è uguale a se stesso diminuito di uno (0,618...). Vedremo anche che ϕ è
quel numero speciale che, espresso in forma di frazione continua (illimitata), ha tutti
coefficienti uguali ad 1.
Ovviamente la parte non intera di ϕ, ϕ 2 e ϕ −1 risulta identica nei tre casi, non solo se ϕ è
espresso in forma decimale, ma rimane tale in qualsiasi altra base.
Per esempio, espresso in forma esadecimale ϕ risulta essere 1,9E3779B98... , il suo
quadrato è 2,9E3779B98... ed il suo reciproco è 0,9E3779B98... (la parte non intera,
opportunamente arrotondata, rimane appunto ,9E3779B98).
In forma ottale ϕ risulta essere 1,47433571563... , il suo quadrato è 2,47433571563... ed il
suo reciproco è 0,47433571563...
In forma binaria ϕ è 1,1001111000110111011... , il suo quadrato è 10,100111100011011.....
(ricordiamo che in notazione binaria 10 significa 2) ed il suo reciproco è
0,100111100011011..... (Nota: con i numeri binari risulta più difficile che gli arrotondamenti
diano risultati adeguati ed è frequente ottenere approssimazioni meno precise rispetto alle
altre notazioni).
III - Alcuni numeri con parte decimale 0,236068...
Elevando ϕ alla terza potenza, sembrerebbe che le proprietà “magiche” finiscano (in realtà
vedremo che continuano sotto altra forma). Con nostro rammarico, constatiamo che ϕ 3 non
è 3,618... o 4,618... , cioè non otteniamo la solita parte decimale 0,618... bensì dà un
“banale” e “deludente” 4,236... (che in realtà mostrerà anch'esso interessantissime proprietà).
Prendendo non solo 3 cifre decimali, ma rispettivamente 6 e 13 (come nella convenzione
arbitraria che per semplicità di esposizione abbiamo già adottato con ϕ) otteniamo:
ϕ 3 = 4,236068...
ϕ 3 = 4,2360679774998...
Vediamo alcune proprietà interessanti di ϕ 3 . Anzitutto le sue cifre decimali sono identiche a
quelle della radice quadrata di 5, da cui differisce solo per la parte intera, che è 4 invece di 2.
Sempre effettuando il solito arrotondamento arbitrario a 6 e a 13 cifre (per noi ormai
convenzionale perché comodo e ben comprensibile) troveremo infatti:
5 = 2,236068...
5 = 2,2360679774998...
In altre parole, ϕ 3 =
5 + 2, come dimostrato nell'Appendice E.
Inoltre ϕ 3 = ϕ2⋅ϕ
ϕ , ma è anche = ϕ 2 + ϕ ; ovvero ϕ 3 è contemporaneamente prodotto e
somma dei due numeri ϕ 2 e ϕ . Infatti 4,236... è uguale a ϕ 2 per ϕ , cioè 2,618... per
1,618... ; però è anche uguale a ϕ 2 più ϕ , cioè 2,618... più 1,618...
Con 13 cifre decimali: ϕ 3 = 4,2360679774998 = ϕ 2 + ϕ =
= 2,6180339887499 + 1,6180339887499.
5
Scientia - Vol. 125 – Il rapporto aureo, le sue potenze e i numeri di Fibonacci
ϕ1⋅ϕ
ϕ = ϕ 2+ ϕ .
Questa proprietà si dimostra osservando che ϕ 3 = ϕ2⋅ϕ
ϕ = ϕ
Inoltre: ϕ 3 è uguale al doppio di ϕ più 1 :
ϕ 3 = 2ϕ
ϕ + 1 = 4,236... = 2⋅1,618...1 = 3,236... + 1 .
Prendendo 13 cifre decimali:
ϕ 3 = 2ϕ
ϕ + 1 = 4,2360679774998 = 2⋅1,61803398874991 = 3,2360679774998 + 1
Questo si dimostra osservando che ϕ 3 = ϕ 2 + ϕ = (ϕ + 1) + ϕ = 2ϕ
ϕ+1.
Fermandoci un momento a rivedere il quadro dei risultati ottenuti, dobbiamo notare oltre alla
già nota sequenza dei numeri irrazionali tra di loro correlati algebricamente che hanno tutte le
loro (pur) infinite cifre decimali uguali (0,618...; 1,618...; 2,618...; ovvero ϕ –11 ; ϕ ; ϕ 2 );
troviamo anche un'altra interessante sequenza: 2,236...; 3,236... (che è il doppio di ϕ );
4,236... (cioè rispettivamente 5 ; 2 ϕ ; ϕ 3) ; e, come vedremo tra poco, anche 0,236..., che
è il reciproco di ϕ 3, ovvero ϕ −3 , Anche in questi casi la parte decimale dei numeri elencati è
illimitatamente identica. Vedremo che ϕ 3 ha anche un'altra notevole proprietà: espresso in
forma di frazione continua (illimitata), ha tutti coefficienti uguali a 4.
Citiamo anche altre proprietà che non dimostreremo esplicitamente (ma che i lettori abili nel
trattare quadrati, cubi e radici quadrate, possono facilmente verificare):
1
1
= 0,382 circa , ma anche:
2 =
2,618...
ϕ
1
1–
= 1 – 0,618... = 0,382 circa .
ϕ
Il risultato, uguale nei due casi, approssimato a 13 cifre decimali risulta essere
1
0,3819660112501 . Inoltre questo numero, 2 , ci riserva anche un altro paio di sorprese.
ϕ
Anzitutto, chi era rimasto deluso dal fatto che ϕ 3 non facesse 3,618... né 4,618... , cioè la
terza potenza non continuasse la sequenza 0,618...; 1,618...; 2,618…; bensì facesse 4,236... ,
ora si potrà consolare sapendo che sommando ϕ 3 al numero ora preso in considerazione, cioè
1
, circa 0,382 , si ha come risultato proprio l'agognato 4,618... , con perfetta precisione.
ϕ2
Prendendo 13 cifre decimali otteniamo 4,2360679774998 + 0,3819660112501 =
1
= 4,6180339887499 , che è anche uguale a 2 + 5 +
. La parte decimale risulta
ϕ2
anche in questo caso esattamente quella (ormai famosa) di ϕ , ovvero 0,6180339887499...
Ma non basta. Ricordando che ϕ 3 = 5 + 2 = 4,236... , calcoliamo il suo reciproco
1
5−2
ϕ –33 = ( 5 + 2 ) –11 =
ovvero, razionalizzando,
=
52⋅ 5−2
52
5−2
5−2
=
=
= 5 – 2 = 2,236...– 2 = 0,236...
5−4
1
6
Scientia - Vol. 125 – Il rapporto aureo, le sue potenze e i numeri di Fibonacci
Considerando ϕ 3 = 4,236068 (con sole 6 cifre decimali per non appesantire troppo la lettura)
1
ne consegue facilmente che ϕ 3 – 4 = 0,236068 Ma curiosamente anche 3 = ϕ −3 è pari a
ϕ
0,236068 (con identica parte decimale), come avevamo anticipato poco sopra.
Infatti il numero ϕ 3 = 4,236068... ed il suo reciproco ϕ −3 = 0,236068... (entrambi
facilmente ricavabili dal solito ϕ , essendone il cubo e il suo inverso) presentano un'identica
sequenza di cifre decimali (,236068...) . Infine, una curiosità di minore importanza:
sommandoli, si ottiene
ϕ 3 + ϕ –33 = 5 + 2 + 5 – 2 = 2 5 = 4,472136 , che è il doppio della radice di 5.
IV - Potenze del rapporto aureo.
Molto importante è anche il fatto che qualsiasi polinomio a coefficienti interi con potenze di
ϕ , come ad esempio 2ϕ5 + 7ϕ4 + 4ϕ3 + 11ϕ2 + 9ϕ (scelto del tutto arbitrariamente dai
suddetti possibili polinomi), è esprimibile come semplicissimo binomio composto da un
multiplo di ϕ (senza potenze, cioè alla prima) più un numero intero. Infatti, aumentando di
grado partendo dal primo:
ϕ2=ϕ +1
(ovvero la famosa identità 2,618...= 1.618...+ 1);
ϕ2= ϕ+1
ϕ 3 = ϕ 2 + ϕ (come già dimostrato):
ϕ 3 = 2ϕ + 1 ;
ϕ 4 = ϕ2⋅ϕ
ϕ 4 = 3ϕ + 2 ;
ϕ2 = (1 + ϕ) (1 + ϕ) = 1 + 2 ϕ + ϕ2 = 1 + 2 ϕ + (ϕ +1)
ϕ 5 = 5ϕ + 3 ;
ϕ 5 = ϕ3⋅ϕ
ϕ 2 = (1 + 2ϕ) (1 + ϕ) = 1 + 3ϕ + 2ϕ2 = 1 + 3ϕ + 2 (ϕ +1)
ϕ6 = ϕ3⋅ϕ
ϕ 6 = 8ϕ + 5 ;
ϕ 3 = (1 + 2ϕ) (1 + 2ϕ) = 1 + 4ϕ + 4ϕ2 = 1 + 4ϕ + 4 (ϕ +1)
3
ϕ 7 = ϕ 4⋅ϕ
ϕ 7 = 13ϕ + 8 ;
ϕ = (2 + 3ϕ) (1 + 2ϕ) = 2 + 7ϕ + 6ϕ2 = 2 + 7ϕ + 6 (ϕ +1)
4
ϕ 8 = ϕ 4⋅ϕ
ϕ = (2 + 3ϕ) (2 + 3ϕ) = 4 + 12ϕ + 9ϕ2 = 4 + 12ϕ + 9 (ϕ +1) ϕ 8 = 21ϕ + 13 ;
4
2
9
ϕ 9 = ϕ5⋅ϕ
ϕ = (3 + 5ϕ) (2 + 3ϕ) = 6 + 19ϕ + 15ϕ = 6 + 19ϕ + 15 (ϕ +1) ϕ = 34ϕ + 21 ;
e continuando, si può facilmente calcolare che:
ϕ 10 = 55ϕ + 34 ; che, per inciso, fa circa 122,992 , risultato vicino al numero intero 123 ;
ϕ 11 = 89ϕ + 55 ; che fa circa 199,005 ;
ϕ 12 = 144ϕ + 89 ; che fa circa 321,997 , vicinissimo al numero intero 322 ;
ϕ 13 = 233ϕ + 144 ; che fa circa 521,002 ,
ϕ 14 = 377ϕ + 233 ; che fa circa 842,999 , vicinissimo al numero intero 843 ;
ϕ 15 = 610ϕ + 377 ; che fa circa 1364,0007 . Eccetera.
Applicazione al risultato del nostro esempio arbitrario precedente:
2ϕ5 + 7ϕ4 + 4ϕ3 + 11ϕ2 + 9ϕ =
= 2(5ϕ + 3) + 7(3ϕ + 2) + 4(2ϕ + 1) + 11(ϕ + 1) + 9ϕ =
= 10ϕ + 6 + 21ϕ + 14 + 8ϕ + 4 + 11ϕ + 11 + 9ϕ , ovvero, alla fine, =
= 59ϕ + 35 .
7
Scientia - Vol. 125 – Il rapporto aureo, le sue potenze e i numeri di Fibonacci
V - Relazione tra le potenze di ϕ e la cosiddetta “serie di Fibonacci”.
Abbiamo constatato che nei casi considerati le potenze di ϕ sono sempre binomi di primo
grado in ϕ (cioè ciascuna di esse è esprimibile come un multiplo intero di ϕ più un altro
numero intero), e per giunta, se calcolate esplicitamente, i loro risultati tendono
curiosamente ad avvicinarsi a numeri interi, come quelli che abbiamo visto sopra:
122,992 ; 199,005 ; 321,997 ; 521,002 ; 842,999 ; 1364,0007 ; ecc.
Tali numeri vengono chiamati quasi–interi, e più avanti esporremo il motivo di tale ulteriore
proprietà.
I coefficienti interi che si ritrovano nel calcolo dei binomi che rappresentano le potenze di ϕ
sono importantissimi e costituiscono la cosiddetta sequenza o serie di Fibonacci (che in
realtà matematicamente è una successione e non una serie). Tale sequenza, che verrà
approfonditamente esaminata nel prossimo paragrafo, viene spesso individuata dal simbolo
F(n), dove n è un qualsiasi numero naturale, e F(n) è appunto il corrispondente numero di
Fibonacci.
I primi numeri della successione sono i seguenti:
1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55 ; 89 ; 144 ; 233 ; 377 ; 610 ; 987 ; 1597 ; ecc.
Per esempio il settimo numero di Fibonacci è F(7) = 13.
Ciascun numero della successione si ottiene semplicemente sommando i due precedenti: è
sufficiente quindi attribuire un opportuno valore solo ai primi due numeri per definire tutti gli
altri, Fibonacci scelse i due numeri iniziali entrambi uguali ad 1 (è facile verificare comunque
che la stessa sequenza si ottiene definendo i primi due numeri rispettivamente come 0 e 1). A
quel punto l'intera successione è definita dalla formula “ricorsiva” (cioè in cui ogni termine
richiama o fa “ricorrere” uno o più dei valori precedenti, in questo caso gli ultimi due):
F(n) = F(n–1) + F(n–2) .
Ritornando alla notevole proprietà riguardante le potenze del rapporto aureo, sembrerebbe
evidente, dai vari esempi che abbiamo evidenziato esplicitamente, che:dagli esempi riportati
che:
ϕ n = F(n) ϕ + F(n-1) .
Si può dimostrare che questa formula è valida per qualsiasi numero naturale n .
Ciò viene dimostrato nell'Appendice F.
Nota. Questo risultato, che ciascuna potenza di ϕ (con esponente n) possa essere espressa
come un binomio in cui il coefficiente di ϕ stesso è un numero di Fibonacci (esattamente l'nesimo) ed il termine aggiuntivo è il numero di Fibonacci immediatamente precedente, è stato
trovato autonomamente dall'autore di questo articolo, che non l'ha mai riscontrato altrove,
sebbene ritenga probabile che sia già stato riportato da altri autori.
8
Scientia - Vol. 125 – Il rapporto aureo, le sue potenze e i numeri di Fibonacci
VI – La “serie”, o meglio, “successione” o “sequenza di Fibonacci”.
La sequenza di numeri naturali che viene impropriamente chiamata“serie di Fibonacci”, ma
che matematicamente è una successione, fu introdotta nel 1202 da Leonardo Fibonacci nello
storico “Liber Abaci” per un motivo apparentemente banale, ovvero per tentare di dare una
descrizione statistica di quanto si sarebbero riprodotti e moltiplicati dei conigli in condizioni
ideali (come descritto in un paragrafo successivo). In questo libro importantissimo, Fibonacci,
conosciuto anche come Leonardo da Pisa dal nome della sua città, stranamente aveva trattato
anche della sezione aurea ϕ (conosciuta già parecchi secoli prima dai matematici, geometri
ed artisti dell'antica Grecia) senza però fare alcun cenno alle strette connessioni (che forse non
aveva riconosciuto) con la nuova e inedita successione da lui proposta. Per i matematici
successivi, grazie al grandioso sviluppo dell'algebra (conseguente anche all'impulso dato dallo
stesso Leonardo) non fu difficile scoprire tali profondi connessioni ed esplicitarle.
La caratteristica storica più importante del Liber Abaci fu l'introduzione (in Europa) dei
cosiddetti “numeri arabi” e le regole per utilizzarli nei calcoli (in sostituzione degli antichi
numeri romani, poco efficienti per “far di conto”), ovvero delle dieci cifre oggi a noi
familiari; 1; 2; 3; ecc. fino a 9 e in più lo zero, sconosciuto nella matematica occidentale
antica.
I cosiddetti numeri”arabi” in realtà erano le cifre originarie dell'antica India Vedica. Grazie
all'opera di Fibonacci si diffusero rapidamente in Europa sostituendosi alle antiche e
cervellotiche cifre romane (inefficienti perfino per i calcoli più semplici) incrementando così
la facilità, la rapidità e la potenza di calcolo a partire dalle semplici quattro operazioni,
rappresentando così una pietra miliare per la matematica occidentale, a cui infatti permise un
esplosivo sviluppo nei secoli successivi.
Riassumiamo i primi valori della successione o sequenza (spesso impropriamente chiamata
serie) di Fibonacci, F(n), in funzione di ciascun numero naturale n a partire da 1:
F(1) = 1 ;
F(2) = 1 ;
F(3) = 2 ;
F(4) = 3 ;
F(5) = 5 ;
F(6) = 8 ;
F(7) = 13 ;
F(8) = 21 ;
F(9) = 34 ;
F(10) = 55 ;
F(11) = 89 ;
F(12) = 144 ;
F(13) = 233 ;
F(14) = 377 ;
F(15) = 610 ;
F(16) = 987 ;
F(17) = 1597 ;
9
Scientia - Vol. 125 – Il rapporto aureo, le sue potenze e i numeri di Fibonacci
F(18) = 2584 ;
F(19) = 4181 ;
F(20) = 6765 ;
F(21) = 10946 ;
F(22) = 17711 ;
e così via, all'infinito.
Avendo posto i primi due termini della successione, ovvero F(1) ed F(2), entrambi uguali ad
1, ogni termine F(n) successivo viene calcolato sommando i due immediatamente precedenti,
secondo la semplice formula “ricorsiva” (ovvero che tiene conto, nel calcolo esplicito
dell'ennesimo termine, di almeno uno dei termini precedenti):
F(n) = F(n–1) + F(n–2) .
Infatti:
F(3) = 1 + 1 = 2 ;
F(4) = 2 + 1 = 3 ;
F(5) = 3 + 2 = 5 ;
F(6) = 5 + 3 = 8 ;
F(7) = 8 + 5 = 13 ;
F(8) = 13 + 8 = 21 ;
F(9) = 21 + 13 = 34 ;
F(10) = 34 + 21 = 55 ;
F(11) = 55 + 34 = 89 ;
F(12) = 89 + 55 = 144 ;
e così via.
Ribadiamo che le potenze di ϕ (esaminate poco sopra) possono essere tutte ricondotte alla
prima potenza, ϕ , ed essere espresse esattamente come semplici binomi di primo grado in ϕ ,
secondo la notevole relazione:
ϕ n = F(n) ϕ + F(n–1) .
Per esempio:
ϕ 15 = F(15) ϕ + F(14)
che per inciso risulta essere 610 ϕ + 377 = 1364,0007 .
Abbiamo già menzionato, anche se non dimostrato, che al crescere dell'esponente n, i
risultati delle potenze di ϕ si avvicinano sempre più a numeri interi (le potenze di ϕ
infatti vengono anche dette “numeri quasi-interi”).
La dimostrazione (sebbene incompleta) verrà riportata più avanti (nel paragrafo riguardante
l'idealismo pitagorico) e sarà poi completata in un prossimo articolo riguardante i numeri di
Lucas.
VII - Numeri di Fibonacci partendo da n = 0.
Notiamo che la successione può essere definita anche partendo da n = 0 , ponendo F(0) = 0.
In questa forma i due numeri iniziali, che generano l'intera successione, sono appunto
10
Scientia - Vol. 125 – Il rapporto aureo, le sue potenze e i numeri di Fibonacci
F(0) = 0 ;
F(1) = 1 ;
Sommandoli si ottiene F(2) = 1 , in accordo con la successione che già conosciamo, che
quindi rimane inalterata (l'unica modifica è l'aggiunta del termine iniziale F(0) = 0 , il che
permette di ignorare F(2) nella definizione iniziale e calcolarlo già dalla formula ricorsiva).
VIII - Approssimazioni razionali successive della sezione aurea.
Un aspetto di fondamentale importanza è che al crescere di n, il rapporto tra un numero di
Fibonacci e il precedente si avvicina sempre più al valore di ϕ (sebbene non possa mai
perfettamente eguagliarlo, poiché ϕ è irrazionale e non può essere espresso come frazione
ovvero come numero razionale).
Vedremo in un certo dettaglio come migliorano le approssimazioni razionali di ϕ
all'aumentare di n (che nel nostro esempio porteremo da 1 fino a 22) e proveremo a
confrontare tali approssimazioni con un valore già piuttosto preciso di ϕ , ovvero
1,6180339887, con 10 cifre decimali, anche se di fatto l'approssimazione che raggiungeremo
effettivamente, arrivando fino al 22esimo numero di Fibonacci, sarà di “sole” 8 cifre: si tratta
comunque di un'ottima approssimazione, ovvero 1.61803398.
(Nota formale: in realtà il valore “giusto” con 8 cifre decimali dovrebbe essere 1.61803399,
per una questione di arrotondamento che però la nostra approssimazione non può “riuscire” a
vedere: infatti per effettuare un arrotondamento corretto ad 8 cifre dovremmo basarci sulla
nona cifra, che stabilirebbe se arrotondare l'ottava cifra “per difetto”, qualora la nona sia
compresa tra 0 e 4, o “per eccesso”, qualora sia tra 5 e 9: di fatto la nona cifra è 5, per cui
l'arrotondamento corretto sarebbe appunto 1.61803399: tuttavia la nostra approssimazione,
estendendosi appunto fino all'ottava cifra, non è in grado di valutare la nona. In realtà, pur
potendo considerare “ottima” un'approssimazione ad 8 cifre decimale, dobbiamo precisare
che oggigiorno ϕ è noto con una precisione incomparabilmente superiore, assolutamente
straordinaria, che include migliaia di cifre decimali!)
Ed ecco (finalmente) le approssimazioni razionali di ϕ in funzione dei rapporti tra i numeri
F N
di Fibonacci
, con n crescente fino a 22, le quali, come detto, forniscono già
F N−1
un'ottima approssimazione di ϕ (ad 8 cifre decimali). Alcuni autori considerano già buone le
approssimazioni a 6 o addirittura a sole 3 cifre decimali: in effetti si può facilmente verificare,
con 3 decimali, che 1,618 2 = 2,618 (sempre applicando le regole dell'arrotondamento) e che
1
1,618 -1 =
= 0,618 .
1,618
11
Scientia - Vol. 125 – Il rapporto aureo, le sue potenze e i numeri di Fibonacci
1
1
=
1,000000
Approssimazione molto grossolana di ϕ = 1.61803399
2
1
=
2,000000
Approssimazione ancora molto grossolana
3
2
=
1,500000
Approssimazione ancora grossolana
5
3
=
1,666667
Approssimazione alla prima cifra decimale (1,6)
8
5
=
1,600000
13
8
= 1.625000
21
13
= 1.615384
34
21
= 1,619048
55
34
= 1.617647
89
55
= 1.618182
144
89
= 1.617978
233
144
= 1.618056
377
233
= 1.618026
610
377
= 1.618037
987
610
= 1.6180328
1597
987
= 1.6180344 (!)
Già molto vicina all'effettivo valore di ϕ
2584
1597
= 1.6180338 (!)
Approssimazione alla sesta cifra (1,618033)
4181
2584
= 1.6180341 (!)
Approssimazione alla seconda cifra (1,61)
Approssimazione alla terza cifra (1,618), citata da molti autori
Approssimazione alla quarta cifra (1,6180)
Approssimazione alla quinta cifra (1,61803)
12
Scientia - Vol. 125 – Il rapporto aureo, le sue potenze e i numeri di Fibonacci
6765
4181
= 1.61803396 (!)
Approssimazione alla settima cifra (1,6180339)
10946
= 1.6180339985 (!)
6765
17711
= 1.6180339850 (!)
10946
Approssimazione all'ottava cifra (1,61803398)
(Riportiamo ancora, per confronto, il valore di ϕ con 10 cifre decimali:
ϕ = 1,6180339887...)
F N
risulta leggermente minore dell'effettivo valore di ϕ quando n è pari,
F N−1
e leggermente maggiore quando n è dispari, formando così una sequenza di oscillazioni
intorno a ϕ che diventano sempre più ristrette all'aumentare di n, cosicché i rapporti via via
successivi si avvicinano con maggiore precisione al valore esatto di ϕ .
Il rapporto
IX - Sviluppo del rapporto aureo come frazione continua.
Pur avendo mostrato la tendenza a convergere delle frazioni di cui sopra, dobbiamo precisare
che ϕ è considerato il numero irrazionale più arduo da approssimare, per una particolare
questione tecnica: infatti ϕ , espresso come “frazione continua” assume una forma
specialissima, unica, eccezionale: i suoi coefficienti sono tutti uguali ad 1. Questa è un'altra
proprietà straordinaria che conferma quanto sia importante questo numero. Tuttavia, ciò va a
discapito della facilità con cui lo si può approssimare, come ora vedremo.
Ricordiamo che qualsiasi numero irrazionale può essere espresso come una frazione continua
(illimitata) costituita da numeri interi strutturati nella forma seguente:
1
a 0
1
a 1
1
a 2
1
a3
1
a 4
1
a 5
a 6
1
a 7...
e così via...
Le frazioni continue sono utili per approssimare con grande efficienza numeri irrazionali (o
numeri razionali molto lunghi) grazie alla rapidità e alla precisione con cui (generalmente)
convergono in direzione del risultato cercato.
13
Scientia - Vol. 125 – Il rapporto aureo, le sue potenze e i numeri di Fibonacci
I coefficienti a 0 , a1 , a 2 , a 3 , a 4 , a5 , ecc. contenuti nella frazione continua di un numero
irrazionale sono infiniti, ma in pratica lo sviluppo viene fermato quando viene raggiunta la
precisione desiderata. I risultati di solito spesso di grande pricesione rispetto alla rapidità e
alla semplicità del metodo. La convergenza verso valori più precisi dipende però dal valore
dei coefficienti stessi: più alti sono, più rapida è la convergenza.
In altre parole, i risultati raggiunti usando frazioni continue a parità di numero p di parametri
(ovvero coefficienti) sono generalmente più precisi di quelli ottenuti con un'espansione
decimale diretta con lo stesso numero p parametri (ovvero cifre) ma ciò può non avvenire,
qualora i coefficienti della frazione continua siano troppo bassi.
Fatta eccezione per il primissimo (ovvero “zeresimo”) coefficiente a 0 , ben visibile in alto
a sinistra all'inizio dell'espressione, che è particolare perché individua esplicitamente la parte
intera del numero da rappresentare o calcolare, e perciò può essere un intero qualsiasi
(positivo, negativo o nullo), tutti gli altri coefficienti a i (con i > 1) che scendono
gradualmente verso destra devono essere numeri naturali (interi positivi), quindi non inferiori
ad 1. L'espressione prosegue illimitatamente verso destra, parte in cui presenta sempre un
numero 1 (al numeratore di ogni frazione).
Esaminiamo, come esempio importante, la frazione continua che rappresenta π o pi greco (il
rapporto tra circonferenza e diametro di un cerchio). A livello informale è quasi sempre
identificato con 3,14, stima piuttosto approssimativa, troncata già alla seconda cifra decimale
(con un errore relativo notevolmente superiore a quello commesso approssimando ϕ
brutalmente con 1,618). Quando sono necessarie stime migliori, viene spesso arrotondato a
3,1416 (con 4 cifre decimali) o a 3,141592 (con 6 cifre decimali, stranamente per difetto,
invece che per eccesso come prescritto dalle regole). Procediamo tenendo in considerazione,
per confronto, anche un arrotondamento a 8 cifre: 3,14159265.
Approssimiamo π utilizzando solo i primi 4 coefficienti della sua frazione continua,
a 0 , a1 , a 2 , a 3 , ovvero: 3; 7; 15; 1. Ebbene, questi 4 parametri forniscono un'ottima stima,
ovvero concorda un'approssimazione alla sesta cifre decimale. Otteniamo infatti:
1
3
7
1
1
15
1...
3
=
1
1
7
16
=
3
1
1121
16
= 3
16
113
=
33916
113
=
355
= 3,14159292 (molto vicino al valore approssimato all'ottava cifra: 3,14159265).
113
Invece utilizzando 4 parametri per esprimere lo stesso numero in cifre decimali si ottiene
ovviamente una precisione alla sola terza cifra (dopo il numero intero). La differenza è
notevole: si compari ad esempio la precisione di un millimetro (terza cifra decimale rispetto al
metro) con quella di di un micron o micrometro (sesta cifra).
14
Scientia - Vol. 125 – Il rapporto aureo, le sue potenze e i numeri di Fibonacci
Ricordiamo peraltro che il coefficiente a 0 , costituendo la parte intera del numero, non
contribuisce alla precisione della parte decimale (nota formale: a meno che non si intenda
valutare l'errore relativo sull'intero numero e non solo l'accuratezza della parte decimale).
Pertanto i parametri utilizzati nell'esempio mostrato praticamente sono solo tre.
Ma non basta. Volendo tralasciare anche l'ultimo coefficiente e affidandoci solo ad a 1 e
1
3
333
a 2 , si ottiene
1
, il cui calcolo dà
= 3,141509 , comunque una
7
106
15...
buona approssimazione, valida fino alla quarta cifra decimale (indubbiamente preferibile al
popolarissimo ma banale 3,14).
Purtroppo esistono casi meno fortunati, in cui la convergenza della frazione continua in
direzione del valore da approssimare è molto più lenta, ed in certi casi quasi esasperante.
Abbiamo accennato al fatto che esistono tendenze generali in tal senso e che esiste perfino un
caso limite che risulta peggiore di ogni altro (che è proprio dato da ϕ ).
Si può dimostrare (anche se noi non lo faremo) che una frazione continua tende a convergere
più rapidamente tanto più i suoi coefficienti a i sono alti. La spiegazione intuitiva è che
grandi coefficienti grandi creano grandi denominatori e quindi numeri razionali più precisi
nella stima del nostro numero irrazionale (per esempio la stima di un un numero in millesimi
sarà ovviamente più precisa che in centesimi). Nel caso di π i primi due coefficienti
significativi (escludendo il primo, che identifica la parte intera 3) risultano essere 7 e
addirittura 15, che non sono piccolissimi e spiegano così la convergenza piuttosto veloce che
abbiamo visto.
Ebbene, nel caso del rapporto aureo ϕ i coefficienti a i (anche se non lo dimostreremo)
sono tutti 1, il numero naturale più piccolo e perciò il minimo che possa comparire in una
frazione, il che rende la convergenza molto inefficiente e inevitabilmente più lenta rispetto a
qualsiasi altro numero irrazionale: nessun altro può fare di peggio.
Ecco perché ϕ viene anche detto “il più irrazionale dei numeri irrazionali”.
Tuttavia, in termini strettamente di frazioni continue, ϕ potrebbe essere definito un “numero
periodico” (in senso ben diverso dal termine tradizionalmente attribuito alla forma decimale),
poiché tutti i suoi coefficienti sono uguali ad 1 e quindi prevedibili all'infinito.
Un altro numero irrazionale molto importante è 2 , circa 1,414...
A parte il coefficiente a 0 = 1 , tutti gli altri a i sono curiosamente uguali a 2. Quindi
anch'esso nell'ambito della definizione limitata alle frazioni continue, può essere definito
“periodico” (definizione che però non è lecito trasferire ad altri campi della matematica,
come precisato poco sopra ). La frazione continua con tutti i coefficienti uguali a 2
(compreso a 0 ) dà invece 2,414... ovvero 2 + 1 .
La frazione continua di
2 + 1 si sviluppa dunque nel modo seguente:
15
Scientia - Vol. 125 – Il rapporto aureo, le sue potenze e i numeri di Fibonacci
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2...
Altra annotazione importante: la frazione continua con tutti i coefficienti uguali a 4 risulta
uguale al numero
ϕ 3 = 4,2360679774998... , che avevamo esaminato in precedenza.
Cambiando il solo coefficiente a 0 la parte decimale del numero rappresentato non cambia,
per cui il numero 5 ovvero 2,2360679774998... può essere espresso con la stessa frazione
continua, però con a 0 = 2 .
Non ci soffermeremo su 2 o 5 o altri numeri, ma passeremo ad analizzare piuttosto
ϕ
come frazione continua. Come anticipato, i suoi coefficienti, stranamente e
straordinariamente, sono tutti uguali a 1, il che conferma che ϕ è decisamente un numero
“speciale” (sebbene ciò ne renda lentissima la convergenza verso valori più precisi):
1
1
1
1
1
1
ϕ =
1
1
1
1
1
1
1...
L'espressione è costituita da una cascata illimitata di frazioni successive. Procedendo nel
calcolo, il risultato ottenuto diventa sempre più accurato e preciso e può raggiungere
qualunque livello di approssimazione si desideri (anche se molto lentamente).
Proviamo ad iniziare lo sviluppo, procedendo gradualmente. Partiamo considerando solo la
prima riga e troncando tutto il resto. Otteniamo:
1
1
1
ovvero 1 che è uguale a
11
2
3
2
Poi, continuando, otterremo, in successione:
1
1
1
1
11
ovvero
1
1
1
1
2
ovvero
1
16
1
3
2
ovvero
2 5
1 =
3 3
Scientia - Vol. 125 – Il rapporto aureo, le sue potenze e i numeri di Fibonacci
1
1
1
1
per poi ottenere
1
1
1
=
1
1
8
5
1
11
13
8
1
1
1
1
11
1
1
=
1
1
21
13
=
1
1
1
1
1
1
11
1
1
=
1
1
34
21
1
1
1
1
1
1
1
1
11
Si ottiene così la stessa sequenza di rapporti che avevamo ricavato calcolando il rapporto tra
ciascun numero di Fibonacci ed il precedente. Si tratta di un'elegantissima presentazione dello
stesso concetto sotto un nuovo aspetto, a cui però fa da contraltare il problema della
lentissima convergenza di ϕ . Ad esempio, dopo i vari passaggi che abbiamo ora svolto (con
34
7 coefficienti), l'approssimazione di ϕ è ancora piuttosto insoddisfacente: infatti
è
21
circa 1,619048, cioè non è ancora precisa nemmeno alla terza cifra decimale. Ricordiamo
invece che il calcolo di π risultava preciso alla sesta cifra decimale già con soli 4
coefficienti.
Concludiamo facendo notare le piccole differenze tra le frazioni continue dei numeri ϕ , ϕ 2, e
ϕ −1 . Se ϕ = 1,618... ha il privilegio di avere tutti coefficienti 1, il suo quadrato ϕ 2 =
2,618... presenta una struttura quasi identica, avendo di diverso solo il coefficiente a 0 , che,
rappresentando la parte intera, è 2 invece di 1, ed anche il suo reciproco ϕ −1 = 0,618... è
quasi identico, avendo come unica differenza a 0 , uguale a 0.
Un'altra importante proprietà che merita di essere evidenziata è che ϕ può essere espresso
anche come una sequenza infinita di radici quadrate cosiffatta:
17
Scientia - Vol. 125 – Il rapporto aureo, le sue potenze e i numeri di Fibonacci
1 1 1 1 1 1 1 1 1...
La dimostrazione è riportata nell'Appendice G.
X - La formula di Binet.
Nota. Il word/formula processor utilizzato inspiegabilmente si rifiuta di scrivere la formula di
Binet con n minuscolo, per cui qui viene riportato maiuscolo: N .
Tuttavia esiste una funzione di N che sembra farsi gioco dell'abisso concettuale che sembra
separare l'”irrazionalissimo” numero ϕ dai “normalissimi” e “purissimi” numeri interi.
L'abisso può essere inaspettatamente colmato grazie proprio allo stesso ϕ , che con le sue
potenze e un altro numero irrazionale ad esso correlato, 5 costituisce la formula di Binet.
Essa, pur contenendo solo numeri irrazionali, risulta essere una funzione naturale di numeri
naturali (cioè una funzione che ad ogni valore N naturale attribuisce un valore F(N) anch'esso
naturale). Infatti, sebbene il calcolo attraversi appunto i meandri irrazionali delle potenze di
ϕ , riesce però a fornire alla fine, con precisione assoluta (cioè in termini rigorosamente
esatti) i numeri naturali F(N) di Fibonacci. Così adesso disponiamo anche di una formula
“diretta” di F(N) in funzione di ogni nuumero naturale N, oltre alla nota formula ricorsiva
F(N) = F(N–1) + F(N–2) .
La semplice espressione della formula di Binet è la seguente:
F(N) =
ϕΝ −−ϕ−Ν
5
Per quanto strano possa sembrare, considerato che contiene esclusivamente parametri
irrazionali, in corrispondenza di N naturali essa restituisce valori naturali, cioè numeri interi
non negativi, che sono poi i numeri di Fibonacci.
Applicheremo ora la formula di Binet al caso N = 0 (abbiamo notato infatti che i numeri di
Fibonacci si possono estendere anche ad N = 0, e che F(0) = 0).
E quindi ai casi: N = 1 ; N = 2 ; ed N = 3.
Poi dimostreremo, con un teorema per induzione riportato nell'Appendice H, che la formula di
Binet è in grado di fornire qualsiasi numero di Fibonacci, cioè il generico N-esimo numero
della successione, in funzione di N.
Se N = 0, è evidente che le due potenze al numeratore danno entrambe 1, e la loro differenza
è 0. Quindi, come ci aspettavamo, F(0) = 0 . Passiamo quindi al caso N = 1.
18
Scientia - Vol. 125 – Il rapporto aureo, le sue potenze e i numeri di Fibonacci
−1
F(1) =
ϕ−−ϕ
=
5
2,236...
=1
2,236...
1,618...−−0,618...
=
5
−1
ϕ−−ϕ
tralasciando temporaneamente il
5
denominatore 5 , che reinseriremo subito dopo. Calcoliamo cioè solo ϕ−−ϕ−1 .
1 5
1− 5
Notiamo che ϕ =
= 1,618... e che –ϕ
ϕ –11 =
= –0,618... sono le due
2
2
radici della nostra equazione originaria. La radice meno nota, –ϕ
ϕ –11 = –0,618... , è spesso
rappresentata col simbolo κ.
2 5
La loro differenza risulta
ovvero 5 ; adesso reintroduciamo il denominatore
2
5
5 ed otteniamo 5 ovvero 1. Quindi, come ci aspettavamo, F(1) = 1 (il primo
numero di Fibonacci).
Per essere più rigorosi, calcoliamo
Passiamo a considerare il caso N = 2.
−2
2
F(2) =
ϕ −−ϕ
=
5
−2
1ϕ−−ϕ
=
5
2,618...−0,382
=
5
2,236...
=1.
2,236...
(Questa è solo un calcolo intuitivo e non formale, che richiederebbe un certo spazio: chi
intende verificarla rigorosamente, può farlo partendo presente le varie relazioni evidenziate e
dimostrate in precedenza). Quindi anche F(2), sempre applicando Binet, dà il valore che ci
aspettavamo, F(2) = 1 (il secondo numero di Fibonacci, che è 1 come il primo).
Se N = 3 : ricordando, come visto sopra, che ϕ
ovvero
(–ϕ)
–3
= (–
5
2
=
– 2) , il risultato risulta essere F(3) =
= 5 + 2 – (– (
Binet
F(3) =
3
−2
5
ϕ −−ϕ
=
5
– 2)) =
5 + 2 + 5
3
−3
ϕ −−ϕ
=
5
–2 = 2
−2
1ϕ−−ϕ
5
5 + 2 , e che ϕ –3 == 5 – 2 ,
otterremo
2 5
=
5
5 , per cui calcolando con
2⋅2,236...
=2.
2,236...
Anche F(3) corrisponde al valore che ci aspettavamo: F(3) = 2 (il terzo numero di
Fibonacci).
Abbiamo così dimostrato che la formula di Binet è valida per i primi numeri naturali:
F(0) = 0 ; F(1) = 1 ; F(2) = 1 ; F(3) = 2 .
19
Scientia - Vol. 125 – Il rapporto aureo, le sue potenze e i numeri di Fibonacci
A questo punto possiamo verificare che la formula di Binet è valida per qualsiasi numero
naturale N, procedendo per induzione. Per applicarla è sufficiente partire dalla verifica dei
primi due numeri, che per noi sono stati F(0) ed F(1), per cui non ha importanza che il
calcolo di F(2) sia stato effettuato in modo non rigoroso. Questo teorema viene dimostrato
per induzione nell'Appendice H,
Ricordiamo anche che 5 = ϕ + ϕ –11 = ϕ – ( –ϕ
ϕ –11 ) = ϕ – κ
dove κ rappresenta –ϕ
ϕ –11 ovvero – 0,618...
Per questo motivo alcuni matematici, a cui evidentemente piace dare un tocco “estetico” alle
formule, preferiscono esprimere la Formula di Binet in questa versione (forse più elegante):
F(n) =
ϕΝ −−ϕ−Ν
, o nella forma più concisa di tutte: F(n) =
ϕ−−ϕ−1
Ν
ϕ −κ
ϕ−κ
Ν
.
XI - Nota sull'idealismo pitagorico (e platonico).
Riflettiamo un momento su ciò che abbiamo ottenuto: una formula che contiene solo
parametri irrazionali e che tuttavia restituisce numeri interi, e per giunta “speciali”, ovvero i
numeri della sequenza di Fibonacci, i quali a loro volta rendono il favore sviluppandosi in
modo che il rapporto tra un numero della successione ed il suo precedente si avvicini sempre
più al numero irrazionale ϕ . Si ha quindi un'inaspettata compenetrazione ed armonia tra
numeri interi ed il più irrazionale dei numeri irrazionali.
Storicamente questo potrebbe essere considerato un risultato straordinario perché capace di
risolvere l'antico cruccio di Pitagora e dei suoi seguaci, che nella loro visione filosoficamente
“idealistica” (a sua volta riconducibile al più vasto concetto di idealismo di Platone)
credettero di scorgere, nei “disordinati” e “irregolari” numeri irrazionali, una “inattesa” e
“deludente” perdita di “perfezione” nella matematica. Ciò sembra essere smentito da quanto
stiamo esaminando. Il legame così stretto, diretto e inatteso tra il numero più irrazionale che
esista, ϕ , e i numeri naturali di Fibonacci, “intuitivi“ e facilmente comprensibili da tutti, forse
può sanare proprio la millenaria apparente “imperfezione” che i pitagorici temettero di vedere
dopo avere scoperto i numeri irrazionali, dal fatto che essi non potessero essere espressi in
forma di frazione.
Il caso più semplice e drammatico si ebbe con la scoperta dell'incommensurabilità del lato di
m
un quadrato con la sua diagonale, poiché non esiste alcuna frazione
che possa
n
rappresentare il loro rapporto: esso infatti è pari a
2 , ovvero 1,4142135623731..., un
numero irrazionale (con illimitate cifre), forse il più noto dopo il celeberrimo rapporto tra
circonferenza e diametro di un cerchio, π o pi greco, 3,1415926535898..., e non meno noto
del numero di Nepero,
n
1
e = lim 1
= 2,7182818284590...
n
n ∞
20
Scientia - Vol. 125 – Il rapporto aureo, le sue potenze e i numeri di Fibonacci
Ai pitagorici numeri di questo tipo sembravano disordinati e appunto “irrazionali” (cioè
“illogici”) al punto di poter “rovinare” e “smentire” la presunta perfezione che essi
intendevano (quasi con devozione) scoprire nella matematica, poiché non erano riducibili a
delle comuni frazioni in cui al numeratore e al denominatore compaiono dei semplici numeri
naturali (fondamento dell'aritmetica e più in generale della matematica di ogni civiltà in ogni
epoca).
Però, se oggigiorno volessimo riaprire tale dibattito, avendo il vantaggio di conoscere gli
enormi sviluppi successivi, potremmo sbilanciarci nel dire che i numeri di Fibonacci possono
non solo cancellare la dolorosa preoccupazione che aveva colpito il (pur geniale) matematico,
fisico e astronomo dell'antichità... ma potrebbero rendere la matematica nel suo complesso più
unitaria e più “magica” (senza dover giungere allo slancio entusiastico del rinascimentale
Luca Pacioli, che definì ϕ addirittura come “proporzione divina”!).
L'intreccio tra i numeri naturali di Fibonacci e la sezione aurea ci induce a chiederci se ϕ
(come anche altri numeri irrazionali) costituisca veramente una “drammatica” anomalia per la
matematica, come avevano temuto i pitagorici... o se invece la rendono ancora “più perfetta”,
riuscendo a ricavare risultati interi “purissimi”, cioè rigorosamente precisi, dal presunto
“difetto” intrinseco di ϕ (la sua irrazionalità).
In un prossimo articolo analizzeremo i numeri di Lucas, che sono del tutto analoghi ai numeri
di Fibonacci ma i cui valori iniziali sono 1 e 3, per cui la successione si sviluppa nel modo
seguente:
1 ; 3 ; 4 ; 7 ; 11 ; 18 ; 29 ; 47 ; 76 ; 123 … Ebbene, l'apparente “magia” di cui stiamo trattando
risulta perfino più evidente in tale successione, al punto che l'equivalente della formula di
Binet diventa banalmente
F(N) = ϕ N + (– ϕ ) -N
ovvero
F(N) = ϕ N + κ -N .
Poiché il secondo termine tende a zero al crescere di N, è evidente che F(N) può essere
egregiamente approssimata dalla semplicissima ed elegantissima espressione ϕ N . Poiché
F(N) dà sempre come risultato un numero intero, ciò dimostra che ϕ N restituisce
inevitabilmente dei numeri “quasi-interi” (in quanto devono fornire un'eccellente
approssimazione dei numeri di Lucas). Una dimostrazione simile si applica alla formula di
Binet, ovvero ai numeri di Fibonacci (nel qual caso il denominatore 5 sembrerebbe
nascondere a prima vista tale proprietà, che invece ad un'analisi attenta si rivela perfettamente
valida: infatti il numero di Fibonacci si ottiene dopo la divisione per 5 ).
Un'ultima annotazione che forse renderebbe felice Pitagora, è la seguente: il “terribile”
rapporto 2 tra diagonale e lato del quadrato, che li rende incommensurabili tra loro, non è
poi così “irrazionale” (nel senso di “illogico”) come egli temeva. Abbiamo visto infatti che
l'espressione di 2 in termini di frazione continua è straordinariamente elegante, avendo (a
parte il coefficiente iniziale a 0 = 1) tutti coefficienti uguali a 2. In un certo senso, la si
potrebbe definire come una “frazione continua periodica”, un concetto estrapolabile, sebbene
21
Scientia - Vol. 125 – Il rapporto aureo, le sue potenze e i numeri di Fibonacci
differente, da quello di “numero periodico”, la cui rappresentazione in cifre è illimitata, pur
rimanendo un numero razionale poiché perfettamente definito da una frazione: il caso più
1
, che espresso in cifre decimali è (o tende ad essere) 0,333333333... Così,
semplice è
3
1
come non consideriamo irrazionale il numero
, non dovremmo considerare astrusi,
3
illogici o imperfetti i numeri irrazionali, o almeno non quelli che presentano invece proprietà
particolari come 2 ed il rapporto aureo ϕ ).
Nota. Nelle righe precedenti naturalmente abbiamo ragionato prevalentemente in termini
filosofici e non rigorosamente tecnici o matematici, solo per riproporre una domanda nota
ormai da secoli e che sembrava aver già avuto una risposta definitiva, cioè che le convinzioni
pseudo-magiche dei neo–pitagorici non avessero un fondamento razionale e fossero solo un
capriccio di perfezionismo o la visione illusoria di una sovrastruttura forse non solo
platonica o neo-platonica, ma addirittura mistico-idealistica, sebbene di fatto inesistente... E
sia chiaro, ammettiamo che queste argomentazioni si collocano al di fuori dell'effettiva
disciplina matematica e riguardano aspetti per lo più inessenziali all'atto pratico della
disciplina stessa, per giunta col possibile rischio di evocare perfino inopportuni concetti
mistici o comunque trappole mentali affini all'auto-illusione e all'auto-inganno. Tuttavia sono
aspetti che riteniamo importanti, non tanto (o non solo) per il loro fascino intrinseco, ma
soprattutto per la loro innegabile connessione ed esplicita appartenenza alla storia e alla
tradizione della matematica, esattamente come il “cruccio” di Pitagora, sul fronte opposto, è
stato (giustamente) tramandato fino ad oggi. Perché allora non mettere in evidenza l'altro
lato della medaglia, quello che sembrava ormai irrimediabilmente smentito o perduto?
XII - I conigli di Fibonacci.
Come abbiamo accennato, la sequenza in questione fu definita intorno al 1202 dal matematico
Leonardo Fibonacci da Pisa nel suo celebre trattato matematico Liber Abaci, di importanza
storica perché in esso, oltre a trattare gli importantissimi argomenti che abbiamo descritto e ad
altri di primaria importanza per la storia della matematica, introdusse l'utilizzo delle
cosiddette cifre “arabe” (in realtà di antichissima origine “indiana”, essendo già usati nei
Veda), ovvero le normali cifre che usiamo oggi. Egli paragonò la potenza di calcolo permessa
dai numeri arabi a quella di un autentico “abaco” (il sofisticato “pallottoliere” usato allora per
effettuare rapidamente i calcoli) che non doveva essere portato materialmente, ma poteva
essere perfettamente simulato operando con carta e penna! Si tratta in pratica di una sorta di
sofisticato trucco “software” che rende superfluo l'”hardware” dell'abaco stesso.
Il modo in cui Fibonacci arrivò a definire la sua “serie” può sembrare banale: egli si propose
di spiegare perché le coppie di conigli, che notoriamente procreano molto frequentemente,
non crescevano tuttavia in proporzione alla rapidissima successione 2n come molti matematici
invece si aspettavano. Per semplificare, si suppone che: il periodo di gestazione per i conigli
sia un mese; che ogni parto fornisse una coppia maschio–femmina; e ogni i gemelli di ogni
coppia così nata (senza preoccuparsi del concetto di incesto) diventassero rispettivi partner e
procreassero ogni mese, a oltranza.
22
Scientia - Vol. 125 – Il rapporto aureo, le sue potenze e i numeri di Fibonacci
Partendo dal primo mese con una sola coppia, ci si aspettava che dopo un mese ne sarebbe
nata un'altra, per un totale di due. Ciascuna delle due, nel mese successivo, avrebbe dato alla
luce un'altra coppia e il totale diventava quattro. Al mese successivo ciascuna delle quattro
coppie, dalla più anziana alla più giovane, procreava ancora, e si arrivava a otto, In breve,
ogni mese le coppie di conigli avrebbero dovuto raddoppiare: 1; 2; 4; 8;: 16: 32... seguendo
(statisticamente, o almeno grossolanamente) la sequenza 2n. Raddoppiando ad ogni mese, il
numero di coppie discendenti da quella iniziale avrebbe dovuto raggiungere il migliaio dopo
soli 10 mesi (poiché 2 10 = 1024), il che però non avveniva nemmeno nelle condizioni più
propizie. Si trovava invece che, in condizioni ideali per i conigli, il numero di coppie dopo 10
mesi si diventava (molto grossolanamente) “solo” qualche decina.
Fibonacci trovò l'ingegnosa soluzione osservando che i coniglietti appena nati non erano
ancora in grado di riprodursi, ma dovevano aspettare un certo tempo affinché i loro organi
sessuali si sviluppassero adeguatamente. Partendo quindi dal primo mese e considerando una
coppia di conigli appena nata (e ricordando che l'unità di misura su cui ragionare
appropriatamente non è il singolo coniglio ma appunto la coppia) statisticamente secondo
Fibonacci avverrebbe quanto segue.
Si inizia con una sola coppia di coniglietti appena nati. Al secondo mese (cioè un solo mese
dopo la nascita della coppia) essa non può ancora procreare ma deve aspettare un altro mese
per un parto e quindi al momento la coppia rimane sola. Al terzo mese la coppia n.1 ha potuto
finalmente procreare la coppia n.2 ed il totale sale a due. Il quarto mese la coppia 1 continua a
procreare (facendo nascere la coppia 3) ma la seconda, troppo giovane, rimane sola, e quindi
il totale è di tre coppie. Il quinto mese le coppie 1 e 2 danno alla luce le coppie 4 e 5, mentre
la coppia 3 non può ancora farlo, quindi il totale è cinque coppie. Il sesto mese le tre coppie 1,
2 e 3 mettono al mondo le tre coppie 6, 7 e 8, mentre le due coppie 4 e 5 aspettano: il totale è
quindi otto. Il settimo mese le cinque coppie 1, 2, 3, 4 e 5 danno alla luce le cinque coppie 9,
10, 11, 12 e 13, mentre le tre coppie 6, 7 e 8 aspettano: totale 13 coppie. L'ottavo mese le otto
coppie 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 danno alla vita le otto coppie 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 e 21,
mentre le cinque coppie 9, 10, 11, 12 e 13 aspettano: totale 21. Il nono mese le tredici coppie
dalla 1 alla 13 danno alla luce le tredici coppie dalla 22 alla 34 (comprese), mentre le otto
coppie dalla 14 alla 21 (comprese) aspettano: totale 34. Il decimo mese le ventuno coppie
dalla 1 alla 21 mettono al mondo le ventuno dalla 35 alla 55 mentre le tredici coppie dalla 22
alla 34 aspettano: totale 55. E così via...
Come si vede, il numero delle coppie esistenti, partendo dal quinto mese (che è il primo
sufficientemente significativo) è la seguente:
Quinto mese: 2 (prolifiche) + 2 (appena nate) + 1 (in attesa perché di un solo mese di età) = 5.
Sesto mese: 3 (prolifiche) + 3 (appena nate) + 2 (in attesa) = 8.
Settimo mese: 5 (prolifiche) + 5 (appena nate) + 3 (in attesa) = 13.
Ottavo mese: 8 (prolifiche) + 8 (appena nate) + 5 (in attesa) = 21.
Nono mese: 13 (prolifiche) + 13 (appena nate) + 8 (in attesa) = 34.
Decimo mese: 21 (prolifiche) + 21 (appena nate) + 13 (in attesa) = 55.
23
Scientia - Vol. 125 – Il rapporto aureo, le sue potenze e i numeri di Fibonacci
Questa successione (che è proprio la sequenza impropriamente detta serie di Fibonacci) può
essere espressa così:
F(1) = 1 ;
F(2) = 1 ;
F(3) = 2 ;
e per N > 3 si può esprimere nella forma ricorsiva:
F(N) = 2 F(N – 2) + F(N – 3) .
Ovvero il numero totale al tempo N è il doppio del numero al tempo N – 2 più il numero al
tempo N – 3 . Questa formula però è poco nota ed è alternativa a quella ben più celebre.
Esprimendo la successione in forma diversa, cioè considerando separatamente ad ogni mese
le coppie prolifiche (che al quinto mese per esempio sono 2) e accorpando quelle appena nate
e quelle in attesa di poter procreare (che al quinto mese sono rispettivamente 2 + 1, cioè 3),
avremo:
Quinto mese: 2 + 3 = 5.
Sesto mese: 3 + 5 = 8.
Settimo mese: 5 + 8 = 13.
Ottavo mese: 8 + 13 = 21.
Nono mese: 13 + 21 = 34.
Decimo mese: 21 + 34 = 55.
Si vede chiaramente che il totale è uguale alla somma dei due mesi precedenti, da cui segue la
famosa formula ricorsiva ben più famosa della precedente:
F(N) = F(N – 1) + F(N – 2)
XII - L'origine geometrica della sezione aurea.
Finora abbiamo considerato solo le proprietà numeriche espressamente algebriche (in quanto
riguardanti soluzioni di equazioni) ma non le importantissime proprietà geometriche del
numero ϕ, che sono quelle che l'hanno reso così importante e ben noto. Il numero ϕ viene
chiamato rapporto aureo o sezione aurea per le particolare proporzionalità che introduce
nelle arti figurative, al punto che il matematico Luca Pacioli la definì ϕ addirittura come
divina proporzione, che peraltro costituisce il titolo del suo libro forse più celebre (“De
Divina Proporzione”, 1509). In esso Pacioli si propone di mostrare come la sezione aurea (in
senso geometrico) viene applicata appunto nelle arti figurative (pittura, scultura, architettura,
ecc.).
Questa parte finale è ancora in revisione, sebbene l'articolo risalga al secondo semestre
2013.
Seguiranno adeguati riferimenti.
24
Scientia - Vol. 125 – Il rapporto aureo, le sue potenze e i numeri di Fibonacci
Appendice A.
Cerchiamo esplicitamente quel numero x il cui quadrato sia esattamente uguale a se stesso
più uno, ovvero x + 1:
x2 = x + 1
il che equivale a risolvere l'equazione di secondo grado
x2 – x – 1 = 0
la quale fornisce come radici (soluzioni):
x1 =
1− 5 = − 1
ϕ
2
x2 =
1 5 = ϕ = 1,6180339887499...
2
= –0,6180339887499...
Considerando solo la radice positiva, abbiamo così trovato quel numero il cui quadrato è
esattamente uguale a se stesso più uno, cioè più un numero intero, per cui la parte decimale
nei due numeri ϕ e ϕ 2 risulterà inevitabilmente identica, qualunque sarà il numero di cifre
che vorremo prendere per approssimarli. Anche se per assurdo potessimo prendere infinite
cifre, in un linguaggio poco rigoroso (e forse improprio) possiamo affermare che tutte le
infinite cifre dei due numeri ϕ e ϕ 2 sarebbero identiche.
Appendice B.
Dimostriamo che ϕ 2 (cioè 2,6180339887499...) è esattamente uguale a ϕ + 1:
2
12 55
2 56
1 5
53 = 1 52 = 1 5 1 =
ϕ =
=
=
=
4
4
2
2
2
2
= ϕ + 1 ; C.V.D. (Come Volevasi Dimostrare) ovvero Q.E.D. (Quod Erat Dimostrandum).
2
Appendice C.
Dimostriamo che ϕ −1 =
1
(ovvero 0,6180339887499...) è esattamente uguale a ϕ – 1 :
ϕ
1
2
21− 5
21− 5
21− 5
= ϕ –11 =
=
=
=
=
ϕ
1−5
−4
1 5
1 51− 5
25
5−1 =
2
Scientia - Vol. 125 – Il rapporto aureo, le sue potenze e i numeri di Fibonacci
= 0,618...
e per concludere
5−1
2
=
1 5−2
1 5
−1 = ϕ – 1 .
=
2
2
Q.E.D.
Appendice D.
Dimostriamo che cercando il numero x tale che x2 = x + 1 (ovvero ϕ, circa 1,618... ) si
1
trova anche il numero x tale che
= x – 1 , come risulta dall'identità 0,618… =
x
= 1,618… – 1 .
1
Moltiplicando per x quest'ultima condizione, cioè appunto
= x – 1 (che inizialmente
x
non avevamo imposto), si trova proprio x = x2 – 1 , che corrisponde alla precedente
equazione di secondo grado x2 – x – 1 = 0 , per cui le radici sono le stesse.
Q.E.D.
Appendice E.
3
Dimostriamo che ϕ =
5 + 2. E' sufficiente calcolare esplicitamente ϕ =
3
per trovare
13 53⋅55 5
168 5
ϕ3=
=
=2+
8
8
1 5
2
3
5 .
Q.E.D.
Appendice F.
Dimostriamo che ciascuna potenza del rapporto aureo ϕ (con esponente n) può essere
espressa come un binomio in ϕ stesso in cui il coefficiente di ϕ è un numero di Fibonacci
(esattamente l'n-esimo) ed il termine aggiuntivo è il numero di Fibonacci immediatamente
precedente:
ϕ n = F(n) ϕ + F(n-1) .
Si tratta di un teorema dimostrabile per induzione.
26
Scientia - Vol. 125 – Il rapporto aureo, le sue potenze e i numeri di Fibonacci
Nel corso della trattazione avevamo verificato (con calcoli espliciti) che per le potenze di ϕ
con basso esponente si ha effettivamente la relazione
ϕ n = F(n) ϕ + F(n-1)
(abbiamo riportato ad esempio che ϕ 2 = ϕ + 1 , ϕ 3 = 2ϕ + 1 , ϕ 4 = 3ϕ + 2 , ecc.).
Ci proponiamo di mostrare che ciò risulta vero per qualsiasi numero naturale n.
Aumentiamo la potenza di un grado, moltiplicando ulteriormente per ϕ , per cui
ϕ n + 1 = ϕ (F(n) ϕ + F(n-1)) = ϕ 2 F(n) + ϕ F (n-1) .
Ma, come ripetutamente notato, ϕ 2 = ϕ + 1 . Perciò
(ϕ + 1) F(n) + ϕ F (n-1) = ϕ F(n) + F(n) + ϕ F (n-1) =
= F(n) + ϕ F(n) + ϕ F (n-1) = F(n) + ϕ (F(n)
+ F(n-1)) .
(
Ma F(n) + F (n-1) dà il numero di Fibonacci successivo, ovvero F(n+1) , per cui la nostra
espressione diventa F(n) + ϕ F(n+1) ovvero ϕ n + 1 = F(n+1) ϕ + F(n) , esattamente
l'espressione che ci aspettiamo per il numero n+1 di Fibonacci se è vera l'espressione
ϕ n = F(n) ϕ + F(n-1) .
Q.E.D.
Appendice G.
Consideriamo l'equazione originaria x2 = x + 1 ovvero x2 = 1 + x .
Poiché il membro di sinistra contiene x2, è semplice trovare la soluzione facendo la radice
quadrata di entrambi i membri:
dove però la x al primo membro non è
x= 1x
perfettamente risolta poiché essa compare anche al secondo membro, che quindi dev'essere
aggiornato con la soluzione stessa (appena trovata) x= 1x . Sostituendo, troviamo
x= 1 1x .
Ma al secondo membro rimane presente x, che dev'essere a sua volta aggiornata, per cui
x= 1 1 1 x . Ebbene, nel membro di destra rimarrà sempre una x ed essa dovrà
essere continuamente aggiornata, il che ci conduce alla tesi;
1 1 1 1 1 1 1 1 1...
Q.E.D.
Appendice H.
Teorema. Dimostrazione della formula di Binet.
Avendo calcolato in precedenza che la formula
27
Scientia - Vol. 125 – Il rapporto aureo, le sue potenze e i numeri di Fibonacci
F(N) =
ϕΝ −−ϕ−Ν
5
è valida se applicata ai primi numeri naturali, ovvero restituisce correttamente:
F(0) = 0
F(1) = 1
F(2) = 1
F(3) = 2 ;
adesso possiamo procedere per induzione, cioè verificare che se F(N) = F(N–1) + F(N–2) ,
ne consegue che F(N+1) = F(N) + F(N–1) , per cui la formula di Binet diventa valida per
qualsiasi numero naturale.
(Nota: nel nostro caso, poiché la successione è ricorsiva, ed è calcolata su due valori
successivi, non basta verificare che la formula sia valida per il primo numero naturale, sia
esso considerato N = 1 o N = 0 , come occorre fare quasi sempre nelle dimostrazioni per
induzione, ma qui occorre farlo anche per un secondo numero naturale: noi l'abbiamo
calcolata per ben 4 numeri, cioè per N da 0 a 3; chi ritiene che la dimostrazione per N = 2
sia stata troppo informale, e tuttavia non intende effettuare personalmente i calcoli, noterà che
avendo dimostrato che la formula è sicuramente valida per N = 0 ed N = 1 , i requisiti
necessari per procedere nella nostra dimostrazione li abbiamo comunque).
Dimostrazione.
Partendo dall'ipotesi che la formula di Binet sia valida, cioè fornisca i rfispettivi numeri di
Fibonacci per N e per N – 1, ovvero
ϕΝ −−ϕ−Ν
F(N) =
5
ϕ Ν −1−−ϕ− Ν −1
F(N – 1) =
5
ci proponiamo di ricavare la formula generale di F(N + 1) partendo da queste due e
verificando che esse soddisfano la proprietà fondamentale della successione di Fibonacci
F(N + 1) = F(N) + F(N – 1)
e verificando che le espressioni equivalenti (i termini di destra) risulta anch'essa un'identità.
Questo estenderebbe la validità del teorema a tutti i numeri naturali.
Per rendere più chiara la dimostrazione, nei calcoli successivi indicheremo –ϕ
ϕ –1 col simbolo
−1
1− 5
κ , come viene fatto da alcuni autori, ricordando che κ = –ϕ
ϕ –1 =
=
=
ϕ
2
= –0,618... è una delle due radici dell'equazione fondamentale x2 = x + 1 che avevamo
introdotto inizialmente, mentre l'altra è ϕ = 1.618...
1.618
28
Scientia - Vol. 125 – Il rapporto aureo, le sue potenze e i numeri di Fibonacci
ϕ Ν −1−κ Ν −1
ϕΝ − κ Ν
+
:
5
5
Raccogliendo al numeratore le ϕ e le κ separatamente, la somma in questione diventa:
Pertanto calcoliamo F(N) + F (N – 1) =
ϕ Ν−1⋅ϕ1−κ Ν −1 ⋅ κ1
5
Ma sappiamo che ϕ + 1 = ϕ 2, da cui ricaviamo che ϕ Ν−1⋅ϕ1 = ϕ Ν−1⋅ϕ 2 =
ϕ Ν1 . D'altra parte sappiamo che κ + 1 = –0,618 + 1 = 0,382 circa, ovvero (come
1
avevamo visto) = 2 = −κ2 = κ 2 , da cui calcolando il prodotto κ Ν−1⋅κ1 =
ϕ
Ν−1
2
Ν1
=
κ
⋅κ
κ
otteniamo finalmente
F(n+1) =
ϕ Ν 1−κ Ν 1
5
che è infatti la forma che deve essere assunta dalla formula di Binet per N + 1 .
Q.E.D.
Riferimenti.
...
29
