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I NUMERI PRIMI DI FIBONACCI SONO INFINITI E
LA SOMMA DEI LORO RECIPROCI TENDE AD UNA
NUOVA COSTANTE IRRAZIONALE
Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto
Riassunto
In questo documento si dimostra che i primi di Fibonacci sono in numero
infinito e che la somma dei loro reciproci tende ad una nuova costante
irrazionale.
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Index:
1.
2.
DIMOSTRAZIONE CHE I PRIMI DI FIBONACCI SONO IN NUMERO INFINITO................................................. 3
SOMMA DEI RECIPROCI DEI PRIMI DI FIBONACCI .............................................................................................. 5
2.1 APPROSSIMAZIONE DEL VALORE DELLA NUOVA COSTANTE FP ................................................................... 9
3. RIFERIMENTI .............................................................................................................................................................. 10
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1.
DIMOSTRAZIONE CHE I PRIMI DI FIBONACCI SONO IN NUMERO
INFINITO
Per i numeri primi di Fibonacci il gap D(x) tra 2 primi consecutivi cresce in modo
infinito come il logaritmo naturale del logaritmo naturale ovvero ln ln(n) per n →∞
(vedi pag. 4, formula F(x)) .
12
23
35
4 13
5 89
6 233
7 1597
8 28657
9 514229
10 433494437
11 2971215073
Per I primi 10 termini si ha la seguente sequenza di D(x):
D(x) = 1, 2, 8, 76, 144, 1364, 27060, 485572, 432980208, 2537720636, …
Ora siccome sappiamo che i numeri di Fibonacci sono in numero infinito questa
successione di D(x) è equivalente ad una somma infinita di “1”, perchè ogni gap D(x)
vale esattamente 1 perché ne esiste solo e sempre uno di D(x), uno per 1, uno per 2, uno
per 8, uno per 76 e così via:
1+1+1+1+1+1+ … = ∞
Anche se la somma tende molto lentamente ad infinito ciò dimostra però che i primi di
Fibonacci sono in numero infinito.
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Infatti anche la formula approssimata che dà il numero N(x) di numeri di Fibonacci
minore o uguale ad una certa soglia x è la seguente:
N(x) ≈
1
log(x 5 ) = 2,0780869212350275376013226061178 … * log(x 5 )
log ϕ
con il rapporto aureo φ = 1,6180339887498948482045868343656 …
Da questa formula si può derivare che il numero di primi di Fibonacci F(x) minore o
uguale ad una certa soglia x è circa:
F(x) ≈ 2φ * log [log(x 5 )] = 3,236 * log [log(x 5 )]
Per x →∞ si ha F(x) →∞ e il numero di primi di Fibonacci cresce all’infinito come
il logaritmo naturale del logaritmo naturale anche se in maniera molto lenta ma
comunque sempre all’infinito.
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2. SOMMA DEI RECIPROCI DEI PRIMI DI FIBONACCI
I primi 23 numeri primi di Fibonacci sono i seguenti:
12
23
35
4 13
5 89
6 233
7 1597
8 28657
9 514229
10 433494437
11 2971215073
12 99194853094755497
13 1066340417491710595814572169
14 19134702400093278081449423917
15 475420437734698220747368027166749382927701417016557193662268716376935476241
16 529892711006095621792039556787784670197112759029534506620905162834769955134424689676262369
17 1387277127804783827114186103186246392258450358171783690079918032136025225954602593712568353
18 3061719992484545030554313848083717208111285432353738497131674799321571238149015933442805665949
19 10597999265301490732599643671505003412515860435409421932560009680142974347195483140293254396195769876129909
20 36684474316080978061473613646275630451100586901195229815270242868417768061193560857904335017879540515228143777781065869
21 96041200618922553823942883360924865026104917411877067816822264789029014378308478864192589084185254331637646183008074629
22
3571035606419098607209077741390634544455699265828433067940419974763010711027675704833435635185100078003041954440805185626309
0002738649893394461921019285676835268346883175442323421797852576592104074729131668157655686149077313521486178287771656087968
6368266117365351884926393775431925116896322341130075880287169244980698837941931247516010101631704349963583400361910809925847
7213008027417055194123065229412024294379288260338854166569679715599027431502632522294562989922630081267195892034304073852282
3036162849486017212970227117292646950080234260872200642074558629726792905250905915434096834850958055230714864200143847031622
9
23
5001956361269572929050245125969728066958033451362433489705652881794353613138049565055817826376346124779796798932751033961473
4865076200759493751080454114500230430286734100629849340431965738212320115800718825260655080669453532923225685105665637237964
9097735304781630173812454531781511107460619516018844320335033801984806819067802561370394036732654089838823551603083295670024
4534775890931199183865663976776102742138373919545911476030544426503268279807811402759414252171724284486981617108417406880425
8720416125608491416676254900701271392217274825969056661458006268219660646649810257162768372671848322957804434364673769443640
6261444368327649097401550241341102704783841619376027737767077127010039900586625841991295111482539736725172169379740443890332
2343411043104709074498984155224148052103411380633509997307499509201472506832277987802648112156477065425116810278253908827707
62662185410080310045261286851842669934849330548237271838345164232560544964315090365421726004108704302854387700053591957
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Sia Fp, la somma dei primi di Fibonacci con p numero primo, si ha:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+ + +
+
+
+
+
+
+
+
=
2
3
5
13
89
233
1597
28657 514229
433494437
p: p∈Fp p
1
1
1
+
+
+
2971215073
99194853094755497
1066340417491710595814572169
1
+ … = 1,1264472276728533386016660044138 + …
19134702400093278081449423917
Fp =
∑
La somma per i primi 14 valori di primi di Fibonacci dà come risultato:
Fp ≈ 1,1264472276728533386016660044138 …
Il reciproco del 15° primo di Fibonacci è 2,1 * 10-75 , un valore così piccolo che non dà
quasi nessun contributo alla somma e non inficia i primi 74 decimali di Fp e questo vale
naturalmente anche se continuiamo nella somma dei reciproci successivi.
Ovviamente il valore di Fp sarà di un po’ superiore del valore dei primi 14 numeri
primi di Fibonacci.
Il valore di Fp è una nuova costante irrazionale perchè abbiamo dimostrato nel
paragrafo 1 che i primi di Fibonacci sono in numero infinito.
E’ interessante notare che questa nuova costante irrazionale è molto più piccola della
costante di Brun – somma dei reciproci dei numeri primi gemelli – di valore all’incirca
uguale a 1,902160583104…> 1,1264472276728533386016660044138, proprio perché
il numero dei primi di Fibonacci è nettamente inferiore al numero dei primi gemelli
sotto una certa soglia x.
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Si ha infatti, sotto una certa soglia x un numero minore o uguale per i numeri primi
gemelli pari a
x
2
(log x )
π2(x) ≈ 2C
dove:
C = 0,66016181584686957392781211001455 … costante dei numeri primi gemelli
e per i numeri primi di Fibonacci sotto una certa soglia x un numero minore o uguale a
F(x) ≈ 2φ * log [log(x 5 )] = 3,236 * log [log(x 5 )]
Quindi
π2(x) >> F(x)
Inoltre questa nuova costante Fp irrazionale è minore del valore di ψ – somma dei
reciproci di tutti i numeri di Fibonacci – che è irrazionale perché i numeri di Fibonacci
sono infiniti.
Il suo valore approssimato è il seguente:
Ψ = 3,35988566624317755317201130291892717968890513373…
Si osservi che il numero dei numeri di Fibonacci è nettamente superiore a quello dei
primi gemelli e a fortiori a quello dei primi di Fibonacci, come lo dimostrano
inequivocabilmente i valori delle costanti della somma dei loro reciproci.
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Il valore di tutti i reciproci dei primi di Fibonacci è anche minore del logaritmo naturale
di Ψ e quindi della seguente disequazione:
Fp < log Ψ = 1,2119069454923344087062057571675…
e come abbiamo visto questa asserzione è valida:
1,1264472276728533386016660044138 …<1,2119069454923344087062057571675…
La somma S(x) dei reciproci dei primi di Fibonacci è data dalla seguente formula
approssimata:
− 2ϕ
+ 1,1264472276728533386016660044138 =
x log x
− 3,236
− 3,236
=
+ 1,1264472276728533386016660044138 =
+ Fp
x log x
x log x
S(x) ≈
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2.1 APPROSSIMAZIONE DEL VALORE DELLA NUOVA COSTANTE FP
Una buona approssimazione del valore della nuova costante Fp è data da:
4
ϕ = 1,127838485561682260264835483177
Fp ≈ 1,1264472276728533386016660044138 …
con un errore relativo di 0,1235% e un errore assoluto di circa soli 0,00139, circa un
millesimo e mezzo.
ATTENZIONE che questo valore approssimato non tende affatto al valore della
nuova costante Fp che è indipendente dal rapporto aureo ed è un nuovo numero
irrazionale probabilmente anche trascendente.
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3. RIFERIMENTI
1) PROOF THAT THE PRIMES OF FIBONACCI ARE INFINITE IN NUMBER
Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, Francesco Di Noto
2) Wikipedia
3) Mathworld
