Probabilità non o-additive e analisi non-standard
di
SUMMARY •- We <lhow how
meMuJtU 011
a.
<I et
)
Alb~
;/Wo-va.R.u.eri 6-irU:te1.y atitUlive pItOba.bili;ty
a.U.ow.the Mu.dy 06 I1OI1<I.tartdaJul mode.t6. Tw
-i.<I a.ccompU<lheri v-i.a. a. <let
* (R)
-
•
R -i.<I a. <lu.peJL<l.vw.e.-tuJte bu.-i-U 011
poWeJL
<I et)
GIANNONE (Lecce)
06 6u.l1cUol1<l 6Jwm
)
:to R
(wheJLe
R by Col1<l-i.deJL-i.rtg ùuiuct<..ve1.y .the
, -i.e. a. pILOpeJLty -i.<I .vw.e -i11
* (R)-
-i66 d
hoidb a.imo<l.t
ceJLta.-i.l'liy -i11 J. Seme a.ppUca.tiol1<l :to a. 6ew exa.mpl.u -i11 da.<I<lica.i
a.na.tY<l-i.<l Me a.Uo g-ivel1.
1.- Le mlsure di probablità non o-additive sono state recentemente oggetto di numerose ricerche (cfr., ad es., [lJ, [2], [3], [4], [6),
[9]'[10]'[l1J,[12J,[131,[14J,[15J), volte a sviluppare le idee soste
nute da
B. de Finetti nel corso del1 'ultimo mezzo secolo
(i suoi
primi lavori sul1 'argomento risalgono infatti al 192B) e riportate in
[5J. Generalmente, quando si considerano probabilità "6-il'l-i..tamel1.te a.ddd-ive", si intende "non l1ecu<la.Jt-i.a.mel1.te o-additive". nel senso che
l'assioma di
o-additività non viene imposto a.
~~,
ma si può
rigua~
dare come una proprietà ulteriore della probabilità, valida solo in ca
si particolari.
Nei lavori sopra citati l'accento è invece posto sugli aspetti
pec~
liari di una misura di probabilità per la quale la o-additività 11011
sussista.
E' di questo tipo anche una misura di probabilità suscettibile di
sumere, sui sottoinsiemi di un insieme J, solo i due valori
(senza ridursi al caso banale di una misura
viamente, occorre assumere che
k = card J
conce~
a~
O e 1
in un punto): ov
sia quello che si dice un
cardinale "11011 m-i.<IuJta.bile" (ma con ciò si rimane in un ambito assai generale. se si tiene presente che un cardinale misurabi1e
riamente inaccessibile ed è preceduto da altri
k è
necess~
k cardinali inacces-
- 2 -
sibili).
una misura di probabilità
Chiameremo
non o-additiva
definita su un insieme J, e tale che \l(E) = O oppure \l(E) = 1 per
ogni E c J : com'è noto, l'insieme
tU. = {E
è un
~6~o
~ J :
\l(E)
=
l}
in J, ma nel seguito non dovremo fare uso di questa
osservazione. Notiamo anche che la
un punto (cioè 1'u1trafi1tro
~
\l
e
non può essere concentrata in
~b~).
In questo lavoro (che si colloca nella linea di
[7J, proponendosi
di rendere accessibili alcuni aspetti dei metodi non standard, anche
prescindendo da conoscenze specifiche di logica matematica) costruiamo una struttura di ordine superiore ("non standard") attraverso il
concetto di propri età
un insieme J
q(laò.{.
c.eJt-ta
(ci oè "vera" con probabil i tà 1) su
di indici su cui è assegnata una massa
\l:
il sostegno
di questa struttura è costituito dalle applicazioni definite su J
a valori in un insieme costruito a partire da11 'insieme
e
R dei reali
mediante successive operazioni di passaggio all'insieme potenza.
In tal modo i risultati di [7J, in cui ci si limitava allo studio
di un modello non standard del primo ordine, vengono notevolmente ampliati, e possono essere applicati (come mostreremo con qualche esempio nella parte finale del lavoro) per esporre rapidamente, ed in modo
(1) Questo termine è usato qui con un significato più particolare di
quello della definizione adottata in [7]. [101 e ripresa in alcuni dei lavori sopracitati.
- 3 -
molto più intuitivo dal punto di vista didattico, concetti e proprietà
dell 'analisi classica.
La linea espositiva scelta si basa anche sul lavoro [S}.
proccio qui adottato, con l'uso di una massa
ma l'al?
sull 'insieme J, met
~
te chiaramente in luce che, affinché nella struttura di ordine
re esistano elementi non standard (per es., nel caso di
non sia
m1 e infiniti), è essenziale che
superi~
R, infinitesi
o-additiva.
2.- Gli elementi di un insieme infinito X sono riguardati come ato
mi, cioé si conviene che, se aeX,
•
non ha senso scrivere
•
(X, e, =)
dicesi la
sono elementi di
Sl
prova
che
posto
UX
n=o n
costruita sugli atomi di
•
R, perché se
si ha
z
, il che vuol dire che R C Rz ;
R
e
R
,
Z(n-l)
2n l
•
Più in generale, se a,b e R,si ha
n > l.
•
e quindi
axb cCf('t(a " b))eR,
funzioni e relazioni, con dominio e codominio elementi di
menti di
X.
X = R, le coppie ordinate (xl,X Z ) =
e quindi
•
e
00
~up~tnuttuka
Osserviamo che, nel caso
Defi
•
niti induttivamente i seguenti 1nS1em1:
n-l
X - X
e
Vn e N ,
X
q(kUo\)
o
n
X
yea.
•
R, sono ele
R. Ne segue che .tu.t:ti. gU i1.6.6.wm<. e. te. pJt.optUw de.li' -<-M-<-eme.
R de..<. nwne.Jt..<. Jt.e.a.U. p0.6M no e..6.6 e.Jt.e. 6oJunuta.ti me.d.<.a.n.te. e..e.eme.YL.t.<. ck
-R.
- 4 -J
un arbitrario insieme infinito: detto
Sia J
applicazioni da
in
J
to con l'elemento
-R,
>le
-
aeR
J
aeR può essere identifica-
Sl
Vi e J
J: si costruisce una struttura su
una massa su
~
l'insieme delle
U
dirà Ustandard ) così definito:
ioa(i) - a
Sia ora
-
ogni elemento
(che
R
a = e
(l )
a
e
a, e e R
<
~
e
def
>
~({ieJ:
<
def
>
~({ieJ
a(i) - e(i)}) - l
: a(i) e e(i)}) - l
Si può facilmente verificare che
Va,b
e R:
a - b
(3)
(4)
a e b
se
-J
~
(2 )
R
-R nel
estendendo le relazioni di appartenenza e di uguaglianza di
guente modo: dati
-J
<= >
<= >
io
>le
a
-~
~
e di equivalenza e che,
\
io
a e b
~
Nel seguito, indicheremo anche l'uguaglianza e l'appartenenza in
-J
R
con i simboli usuali, tralasciando l'indice
~.
-J
Le definizioni precedenti sono giustificate dal fatto che, Va,eeR
ri sulta
a
a =
e
t e : infatti, sia
poiché
IJ
U
12
oppure
(aut)
a
F e ed anche
I J = {ieJ : a(i) = e(i)}
= J, si ha
~(Ill
=l
oppure
a e
B
oppure
e 12 ={ieJ : a(i) F e(i)l;
= l.
~(I2)
Analoga-
mente per l'altra affermazione.
3.- Ogni elemento di
-J
R
che appartenga a qualche
io
Rn si dice
- 5 -
"interno". L'unione di tutti gli elementi interni sarà denotato con
Si noti che ogni elemento standard è interno, poiché
a e R <=>
n
Per le ipotesi fatte su
*a
e
v, esiste una partizione numerabile
tale che
\/n e N
Se ne deduce:
aeR
Teorema 1.- Se
no
•
ha infiniti elementi, esiste un elemento inter-
be a che non è standard.
Dim.- Se
b
e una successione di elementi di
n
\/n,m e N, n f m,
sia
b l'applicazione di
b(i) - b
n
•
Risulta
Ma
~
Vi e I
b non è standard: se esistesse
degli
I
n
=
cl)
=
C
e
in a tale che:
,( n-l ,2, ... ) .
poiché v (li eJ : b(i) e al)
b e a,
(lieJ: b(i)
n
J
b fb ,
n m
a tale che
-R tale
1, contro l'ipotesi che
= v(J)
che
=
1.
•
b - c, si avrebbe
b(i) - b
n
•
ln Clascuno
•
di massa nulla.
L'immersione di
-R i n
Ad esemplo, poiché
R(e
.( R-) e,
• pertanto, proprla.
•
R)
ha infiniti elementi, *R avrà elementi in-
terni che non sono standard (fra i quali gli infinitesimi e gli infiniti,
che considereremo al n. 5): identificando
R con l'i ns i eme deg l i
- 6 llc
elementi standard di
.
R;
S1
Nel seguito, SCrlveremo
•
Rc
puo SCrl vere
"q.c. P(i)"
llc
(cioè
R.
PIi)
vale quasi cer-
tamente in J) per indicare che
~{ieJ
Le (3), (4)
a
llc
+
a
di
: P(i)l - l
costituiscono proprietà elementari dell 'irmlersione
..J
R in
R; ne elenchiamo alcune altre:
llc
(5 )
0=0
•
a,beR
(6 )
"(anb) -
=>
a,beR
=>
a,beR
=>
•
2
aeR,b c R
(9 )
n \
llc
•
(8 )
a
. (a-b) - . a - '\
. (axb) - ax"b
•
(7)
llc
llc
=>
(dom b)
.
"
.,
- dom b, (codom b)=codom b
Dimostriamo, come esempio, la (7): la dimostrazione delle altre è
analoga, basandosi sempre sul fatto che una proprietà si può "trasferire" da
Si ha
•
•J
Ra
mediante una opportuna
R
llc
x e (a-b)
fortiori, che
. d'1
e qUln
X ~'''b
se e solo se
PIi) q.c. vera ln J.
q.c. xli) e a-b; questa implica, a
"
q.c. x(i)ea e q.c. xli) t b, cioè che x e a e
x e.. a- llc b . Viceversa, se xe " a- "b , osservan do c he
l 'intersezione di due sottoinsiemi di
deduce facilmente che
X
.e (a-b).
J di massa
4.- Le proprietà della superstruttura
mediante un linguaggio formale
l
ha massa l, si
•
R possono essere descritte
L,costituito da variabili, dagli
usu~
•
li simboli logici, e da simboli rappresentanti gli elementi di
ti anche "costanti"). In questo modo, partendo dalle cosiddette
le
atb~che,
cioè del tipo
R (de!
601UnlJ.
a e 8, si possono scrivere, mediante l'uso
- 7 -
ripetuto di connettivi e quantificatori, delle formule che espr1mono
le proprietà di
R.
F(x j ,x 2, ... x)
n
Una formula
contenente delle variabili
~b~e
(cioè che non figurano nel campo d'azione di un quantificatore)si dice
un
~e~c~o;
1n caso contrario F si dice un
Indicheremo con
l'insieme degli
l'insieme degl i enunciati di
-J
R
Anche
guaggi o
Se
L che sono
e~n~.
e~n~
vvu:. in
di
-R.
L, e con
Qo
si può descrivere in maniera analoga, mediante un lin-
i..
F e una formula di
ottenuta da
L, indichiamo con *F
sostituendo ciascuna costante
F
una formula di et
aeR- con
*aeR J
dato
da (cfr. n.2)
*a( l).
=
a
VieJ.
In tale formula figurano quindi solo elementi
Una formula di
si dice
~nt~na
F(xl,x?, ... x)
P
bili libere, e se
ha
~tandiHdl
R, cioè solo elemen-
*( R)- .
Lemma.- Se
Sl
di
fin particolare,
.J
quando in essa figurano solo elementi interni di
ti di
l.tal'ldiHd
Xe
-R
e una formula di
L, con l e
X.
l
var1a-
beR, posto
e
*X -
Dim.- In base alla definizione di
.e b
•
R, è facile verificare che
•
XeR.
- 8 -
Supponiamo pr1ma che la formula
zione riguardante
*X
F Sla atomica: allora l'afferma-
segue dalle definizioni (l), (2) e dalla (4).
Supponiamo ora che i simboli logici di
(cioè
F siano soltanto connettivi
F sia priva di quantificatori): allora basta dimostrare che,
se il risultato vale per
F e G, vale anche per F ~ G e per
~
F;
quest'ultima affermazione si dimostra osservando che, posto
Y = b - X, si ha, per l a (7),
zlone riguardante
*Y = *b- *X.
Analogamente, la dimostra
FA G si basa sulla (6).
Nel caso generale, si può procedere per induzione sul numero
quantificatori (essendosi già provato il caso
A =
O). Se F ha
n di
n+l
quantificatori, essa si può sempre trasformare in una formula contenen
te tutti i quantificatori prima di ogni connettivo, e non è restrittivo supporre che il primo quantificatore Sla
3. Allora F
è del
tipo:
con G contenente gli altri
bili e l'insieme
Pertanto
essendo
•
X Sl scrlve
X - dom B,
•
n quantificatori con le relative varia
•
con
aeR il dominio di
]x. Ma siccome G ha n quantificatori,
ed in tal caso stiamo supponendo il Lemma vero, Sl ha, tenendo presente
anche la (8),
D'a ltra parte
- 9 -
dom( *B)
3x
e il dominio di
*aeR-J .
e
domI *B)
=
*(dom
Inoltre, per la (9),
B),
e quindi
*x - *(dom
b)
cioè la tesi.
Sia ora
... n
l'insieme degl i eYlUYlcA.a.-U .<.nte;uù di J?, ,ed
*no
il sottoinsieme di quelli che sono veri in *(R).
Teorema 2.- Sia
F
€
•
no
e Sla
'" F € *no
il corrispondente enunCla
to interno di ,f . Allora s i ha
F
Dim.- Se
€
no
<:=>
*F
•
F e senza quantificatori, il teorema segue facilmente dal
le definizioni (l), (2). Nel caso generale, si osservi che, scritto
l'enunciato
]x G, dire che F € .n. equivale a dire
F nella forma
che
A-
essendo
{x €
b : Gl i 0 ,
3x.
b 11 dominio di
Per il lemma precedente, per la (5) e
per la (3), ciò equivale a
cioè l'enunciato
appartiene a
*
*F
x
G
,
3
e
quindi il teorema è provato.
L'uso di tale teorema è uno dei più importanti aspetti dei metodi
- 10 -
non standard, perché consente di trasformare gli enunciati di
enunciati di
no
ln
"no' cioé in enunciati veri fra elementi di .(l'i)
(che sono interni).
Se y e R è una relazione binaria, allora ogni proprietà di
si possa esprimere mediante un enunciato di
per es., se y
è una funzione,
. Teorema 2,
5.- Per 11
"R
"y
no' è proprietà di
"y:
è una funzione.
ha le stesse proprietà di
esprimibili mediante enunciati di
y, che
no
totalmente ordinato. Ad es., a (b
e, pertanto,
R che Slano
·R è un campo
significa che q.c. a(i)~b(i).
ln "R
l'ordinamento totale indetto da tale relazione è espresso dal seguente
enunciato di
no:
(Vx)(Vy) [xeR"yeR] = [x<yJv[x=yJ.[y<x)
che, per il Teorema 2, si estende a
me non vuoto,
~nt~no,
di
"R,
"R.
Altro esempio:ogni sottoinsie-
limitato superiormente, ha un estremo su-
penore.
Considerato un qualunque sottoinsieme di
*N
ha le stesse proprietà di
ciati di
R, ad es. N, l'insieme
N che siano esprimibili mediante enun-
n : ad es., ogni sottoinsieme non vuoto,
o
~nteJtno,
di
"N
ha un primo elemento.
Per il Teorema l, esiste un elemento
vlamo che
~ >
menti standard di
.n , V"neN
neN,
J
"N
che non è standard. Pro-
è identificato con l'insieme degli ele-
"N): sia infatti
partizione numerabile di
comunque si fissi
(N
~e
tale che
ali)
=
~(Ik)
k Viel , con {lI'Iz, ... I , ... }
k
k
=
O; allora si ha che,
- 11 -
A11 ora
q.c. a(i)
>
n, cioé
a
,.
VreR (C R), esiste
Poiché
anche che
a
>
>
'" n.
neN
tale che
Irl
<
n, Sl avra
Irl , VreR, e quindi si deduce l'esistenza dei "numeri "
reali infiniti e infinitesimi(2).
Definizione.- Dati
La relazione
'"
è di equivalenza: Bj - Bj = OeRo, cioè
(B 1-B 2 ) e RO ==>(B 2 -B 1 )
ideale de11 'anello
(-1)(B]-B 2 )eRO (poiché -leR
-
R ) e quindi
F
•
In particolare, se
r
- l.se '" R: r
R F
,.
<
Sl
+
V,-eR )
!si,
riguardarsi in
"R
~
"e~<::;;nl'·
l'ins"i.erne degli .l'11fiol'
_ .•
.... 1 \ .
VreR} è l'insieme degli infiniti;
F
1·1
al posto di " II • I , poiché tale fllnzione può
come corrispondente della
ila la proprietà che
6€R
ha
- {Se '" R: jr~R + :lsl<rìè l'insieme dei numeri finiti; si
R-R
r
conviene di scrivere
(3) Ogni
e un
ossla
ClQe
R
RO
BI '" S2 => B2 ., B1 ;[(Bj-S2)eRO,,(P2-Bé)eRo]
•
Cfr[7] .. p.50:Ro
F
ed
B] '" S];
" 1rl=
.
r, Yr€ R,r ~ O
e
1·1 di R,
• r ,I~ -r ,
l,
e per il. 1"eor.2,
•
rE R,
r " O.
può rappresentarsi, in modo unico, come somma di un nume-
ro finito standard (la sua parte standard "stB
(cfr. [71 ,p.52).
lI
)
e di un numercì u::.R
o
- 12 -
6.- Ogni succeSS10ne reale (y)
n ne
N x R,
N' sottoinsieme di
•
un elemento y e R, CU1 corrisponde in
e
"y
l'elemento standard
che, per il Teorema 2, risulta essere una successione, sottoinsie-
"
me di
"N x R, tale che:
=
"(y)n
"
che ha le stesse proprietà di
d l'
"
Vn e N ,
"n
con
standard,
y, che siano esprimibili con enunciati
>/0 •
Lo stesso vale per ogni
f :
R ~ R,
R, corrisponde l'elemento standard
f( x) = "(f(x))
""
perché ad
"'f ('ff : "R
V '\ e
Siccome un elemento ~tand~d di "R
mento di
"R,
f ,
elemento di
-. "R)
tale che:
"x
con
s tandard.
si può riguardare come ele-
R, nel seguito possiamo anche non usare l'asterisco per ta
li elementi.
Teorema 3.-
Dati
f: [a,bJ ~ R,
X
o
e [a,bJ,
t e R,
le
segue~
ti propos1z10n1 sono equivalenti:
+
Va. e R ,
3oeR
+
: (xe[a,bl~ Ix-x I / ii) => if(x) -
o
,,(4)
"
Vx e L'ra,bl~
: x -'C xo => f(x)
Dim.- P )
l
Fissato
~
P )
2
[a,b]
Sl
'C
x E[a,b] ,x +c (c€RO)
o
o
ne ad
[a, b J .
xe
Cl
"[a,bJ:
-
R ctIi corrisponde
che, per il Teorema l, è es tens ione propria di
se
<
t
deve dimostrare che, se
C R, esso è un elemerto di
ti
[a, bJ
• .-
ì
la,bj
: per es ..
è un elemert:odi *[a,b] che non appartic-
- 13 -
(la)
x '"
X
o
- ti
=>
<
a, Va e
La proposlzlone P ) è una formula
l
di, per il Teorema
+
R.
F appartenente ad
e qUin
no'
cioè, ricordando la convenZione stabi
lita prima di enunciare il Teorema,
*
(11) Va e R , J6 e R :(x e [a,bJ.. lx-x
+
+
In particolare, fra gli
*[a,b]
x e
sono quelli infinitamente ViCini a
mitazione peA og~
e quindi
*F
I
o
< 6)
=>
*
I f(x)-ti<a.
verificanti la Ix-x 1<6 Cl
o
x , i quali soddisfano questa li
o
6 e R+. Allora, se
non
x -'" xo , 6
da a,
~pende
Si può scrivere nella forma (la).
con
6 = 6o
dipendente da a), la
60
un qualunque infinitesimo
(i~
P ) si può scrivere nella forma (11), e quindi
2
la conclusione segue dal Teorema 2.
Con le opportune modifiche, se X è un insieme arbitrario, si deduce la seguente caratterizzazione della continuità in
f, definita in
p, )
l
p,)
2
f
x e X di una
o
X:
è continua in
.
Vxe X :
x '" X
o
=:>
(5) Si noti come si ottiene immediatamente li.. eontint:ità della funziù
ne composta
•
continua ln
f
o
f
f
•
1
(x )
1 o
ln
••
x
o
, se
x "> x
-
o
=>
•
- ccnt) nua
(x)
"
. J (v)
••
'I..
•l
f
f
l
•
.!..n x
o
e
t l;o.;ì i!
(x ) =>f(f (x»)''' f(fj(x».
o
l
-
.)
- 14 -
Teorema 4.- Sia
f: X ~ R . Le seguenti proposizioni sono equ1va-
lenti:
+
+
p, )
VaeR ,36€R :Vx,x'eX .. [X-X'I<6 => [f(x) - f(x')1 < a.
P")
*
Vx,x'e X :
x'" x' =>
•
•
f(x) '" f(x')
Dim.- P') => P"): Nella formula
*F
che esprime la P') si possono scegliere
.
corrispondente alla formula
x, x '
tali che
F
x '" x', e
quindi si può concludere in maniera analoga alla prima parte del Teorema 3.
P") -> P'): anche qU1 la dimostrazione è analoga a quella
della seconda parte del Teorema 3.
Si osservi l 'irrunediatezza della dimostrazione di un classico Teore
ma: Se
f
è continua in [a,b]
è, ivi, uniformemente continua.
Si deve provare che
Poiché
a < Xl < b
Pertanto, essendo
Xl
,Sl
~
ha
Xl € R , e lo stesso vale per
F
x2
.
stx l ; stx 2 (cfr. n.5., 1n fine)
Xo€[a,b] (6), poiché
x ,
e
x 2 . si ha che
Posto stx l ; stx 2; x ' si ha
o
o
+
x -x >b-x =a eR
e ciò è assurdo poiché
o
o l
l
l
'
essendo x ~x , Ix -x I<a, Va€R+. Analogamente, non è x <a. E' que
0-1
lo
o
sta una proprietà degli intervalli chiusi e limitati -[a,b], che
Se fosse x >b sarebbe
r
-
ogni loro punto è infinitamente vicino a qualche punto di La, hJ .
Tale proprietà, come si potrebbe far vedere, caratterizza ogni
compatto
x
C R.
- 15 -
ciò implica, essendo
E se
f
continua ln
X e un qualunque compatto di
Accettato pen ta
p~cpo~ta
det
x , che:
o
R, vale la stessa conclusione.
pubb~caz~one ~u
P~o6.
R. SCOZZAFAVA
