Per decidere quanto una funzione approssima i punti rilevati, esistono diversi metodi, ma il più usato è
quello dei minimi quadrati. Questa è una tecnica di ottimizzazione che permette di trovare una funzione
che si avvicini più possibile ad una distribuzione di un insieme di dati (tipicamente punti del piano). In
particolare la funzione trovata deve essere quella che minimizza la somma dei quadrati delle distanze dai
punti dati. Questo metodo richiede quindi di minimizzare la funzione
dove y sono i valori figurati.
Per risolvere il problema, bisogna prima scegliere con che funzione si vuole interpolare i punti rilevati. Di
seguito sono presentati il caso lineare, quello iperbolico e quello esponenziale.
CASO LINEARE
Nel caso lineare si vuole interpolare le rilevazioni con una retta del tipo
. Bisogna quindi trovare
il valore dei due parametri m e q.
La funzione di scarto da minimizzare risulta dunque essere
Calcolando le due derivate parziali, si ha
Facendo il sistema tra le due derivate equiparate a zero, per trovare i punti critici, si ottiene:
Risoluzione del sistema attraverso il metodo di Cramer
Le coppie cercate sono dunque:
Questa coppia di numeri potrebbe rappresentare sia un punto di minimo che di massimo che di sella ma,
essendo la funzione iniziale evidentemente infinita verso l’alto, è intuitivo che questo punto rappresenti un
punto di minimo. È comunque dimostrabile che esso lo sia effettivamente. Per fare questo, si cercano le
quattro derivate parziali seconde.
L’hessiano risulta essere:
È ora necessario capire di che segno sia il risultato. Per fare questo, possiamo ignorare il 4 e studiare il
segno di quanto scritto all’interno della parentesi, poiché il 4 non influenza il segno.
Indicando con M la media delle x e con x’ lo scarto di ogni x dalla sua media, è ovvio che la media sommata
con lo scarto ci dia la x presa in considerazione. Possiamo quindi studiare il segno di:
Da ciò, con semplici passaggi matematici, si ricava che:
È ovvio che la somma degli scarti dalle medie aritmetiche sia zero, quindi possiamo sostituire
con 0.
sarà sempre maggiore di zero perché somma di numero tutti positivi (sono infatti elevati al
quadrato e poi sommati), ad eccezione del caso che gli scarti dalla media sia 0, ma, perché si realizzi questo
caso, dovremmo avere una sola rilevazione o due rilevazioni nello stesso momento, cosa non possibile.
Avendo constatato che
e che
, possiamo affermare che il punto trovato è un punto
minimo per la funzione iniziale.
È tuttavia evidente come queste due formule siano di difficile memorizzazione. È possibile scrivere
l’equazione della retta interpolante in un altro modo più semplice basandosi sul concetto di baricentro
della distribuzione.
BARICENTRO DELLA DISTRIBUZIONE
Il punto di con ascissa la media delle ascisse e come ordinata la media delle ordinate si dice baricentro della
distribuzione.
Intendiamo dimostrare che la retta interpolante passa per questo punto. Per fare questo, inseriamo il
punto nell’equazione della retta interpolante dove m e q sono già stati sostituiti con i valori trovati in
precedenza.
Questa uguaglianza ci dimostra che la retta interpolante passa sempre per il baricentro della distribuzione.
Possiamo dunque dire che
è un’uguaglianza vera. Pertanto, possiamo fare la differenza
tra questa e la funzione della retta interpolante, ottenendo:
Sostituendo all’equazione che ci fornisce m ad x ed a y la media sommata agli scarti, possiamo dire che:
Possiamo quindi dire che l’equazione della retta interpolante si riduce ad essere:
CASO IPERBOLICO
In questo caso, intendiamo interpolare le rilevazioni con una funzione del tipo
. La funzione da
minimizzare è dunque:
È una funzione in una sola variabile, quindi è sufficiente calcolare la derivata prima e trovare dove è minore
e maggiore di zero. Calcoliamo dunque la derivata prima.
Equiparo la derivata prima a zero per trovare i punti critici.
Anche in questo caso, la funzione originale è infinita verso l’alto quindi questo punto critico è un punto di
minimo.
CASO ESPONENZIALE
Supponiamo, in questo caso, di voler interpolare le rilevazioni con una funzione del tipo
. Per fare
questo applichiamo il logaritmo ad entrambi i membri. La funzione diventa quindi:
Effettuando le seguenti sostituzioni:
si ottiene:
che evidentemente rappresenta una retta. Per minimizzare la funzione di scarto i valori di q e m saranno:
Inserendo i valori trovati nelle uguaglianze con cui abbiamo sostituito i termini:
INDICI DI SCOSTAMENTO
Individuata la funzione interpolante, bisogna stabilire quanto essa approssimi bene il fenomeno rilevato e
se un altro tipo di funzione lo approssima meglio. Per fare questo si usano gli indici di scostamento.
Gli indici di scostamento principali sono l’errore standard e l’indice quadratico relativo. L’errore standard è
dato dalla media degli errori di tutti i punti, anche in questo caso dapprima elevati al quadrato per far si che
non si annullino fra di loro. L’errore standard si calcola dunque:
La funzione approssima i punti rilevati meglio quando l’errore standard tende a zero.
Altro indice per capire quanto la funzione sia approssimata bene è l’indice quadratico relativo. Con esso
possiamo avere un valore percentuale del grado di errore della retta e si calcola:
Anche in questo caso, più il risultato è piccolo maggiore è il grado di precisione della funzione interpolante.
