Distribuzione Esponenziale negativa Esponenziale negativa

Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Distribuzione Esponenziale negativa
h
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Esponenziale negativa
Usata nel caso in cui il tasso di guasto sia indipendente dal tempo (costante).
h (t )  
I componenti che seguono la distribuzione esponenziale non hanno memoria di
quanto tempo hanno funzionato cioè non sono sottoposti ad invecchiamento
La distribuzione esponenziale negativa è molto usata per descrivere la vita di
componenti soprattutto elettrici/elettronici.
Nella versione ad un solo parametro λ (>0) , la funzione densità di probabilità
della variabile aleatoria t è espressa come:
f (t )    et
con 0 ≤ t < +∞
1
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Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Esponenziale negativa
La funzione di probabilità cumulata si ottiene per integrazione e vale:
F (t ) 
L’affidabilità R(t) vale dunque

t
0
 e  t dt   e   t   1  e   t
t
0
R (t )  1  F (t )  e   t
h (t ) 
Da cui deriva un tasso di guasto costante
f (t )  e   t
  t  
R (t )
e
h
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Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Esponenziale negativa
MTTF (x esponenziale negativa)
Per l’esponenziale negativa, essendo h(t) costante = λ, si può scrivere
MTTF 
1 1

h 
Lo stesso risultato era ottenibile sfruttando la proprietà MTTF 
MTTF 


0
exp(   t )dt  
1

exp(   t )  0


1



0
R (t )dt
0  10 
1

Infine,, vale la ppena notare che
1
1
F ( MTTF )  F    1  exp(  1)  1   0 .632

e
 
Indipendentemente dal valore di λ,
probabilità cumulata di t=1/λ vale 63.2% (R = 36.8%)
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Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Esponenziale negativa
Variazione della forma di pdf al variare di λ
0.04
 = 0.01
 = 0.02
 = 0.04
0.035
0.03
f(t)
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
0
20
40
t
60
80
100
f 0   
f (t )    et
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Esponenziale negativa
Variazione della forma della cdf al variare di λ
1
0.8
F(t)0.6
 = 0.01
 = 0.02
 = 0.04
0.4
0.2
0
0
100
200
300
400
500
600
700
t
1
F    0 .632

3
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Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Esponenziale negativa
Variazione della forma della funzione tasso di guasto h(t) al variare di λ
0.05
0 04
0.04
h(t)
 = 0.01
 = 0.02
 = 0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
100
200
300
400
500
600
700
t
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Esponenziale negativa
Esercizio
La vita di una tipologia di lampadina è descritta da una esponenziale negativa
con parametro λ = 9.5·10-4 h-1. Si chiede di calcolare:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
La probabilità di rottura tra 0 e 500 ore
La probabilità di rottura tra 500 e 1000 ore
La probabilità di rottura tra 1000 e 1500 ore
La probabilità di rottura tra 1500 e 2000 ore
L’affidabilità condizionata tra 1000 e 1500 ore
La probabilità che una lampadina duri meno di 800 ore
La probabilità che una lampadina viva per più di 1600 ore
Il percentile 10% e 90%
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Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Esponenziale negativa
Esercizio
La vita di una tipologia di lampadina è descritta da una esponenziale negativa
con parametro λ = 9.5·10-4 h-1. Si chiede di calcolare:
1.
2.
3.
4.
La probabilità di rottura tra 0 e 500 ore
La probabilità di rottura tra 500 e 1000 ore
La probabilità di rottura tra 1000 e 1500 ore
La probabilità di rottura tra 1500 e 2000 ore
f (t )    e  t
F (t )  1  e t
t
f
F
Diff F
0
9.500E‐04
0
‐
500
5.908E‐04
0.378115
0.378115
37.8 %
1000
3.674E‐04
0.613259
0.235144
23.5%
1500
2.285E‐04
0.759492
0.146233
14.6 %
2000
1.421E‐04
0.850431
0.09094
09.1 %
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Esponenziale negativa
Esercizio
La vita di una tipologia di lampadina è descritta da una esponenziale negativa
con parametro λ = 9.5·10-4 h-1. Si chiede di calcolare:
5. L
L’affidabilità
affidabilità condizionata tra 1000 e 1500 ore
R(1000,500) 
R(1500) 1  F (1500)
 62.2%

R(1000) 1  F (1000)
6. La probabilità che una lampadina duri meno di 800 ore
F (800)  1  e800  1  e0.76  53.2%
7. La probabilità che una lampadina viva per più di 1600 ore
F (1600)  1  e1600  1  e1.52  78.1%
t
f
F
Diff F
0
9.500E‐04
0
‐
500
5.908E‐04
0.378115
0.378115
1000
3.674E‐04
0.613259
0.235144
1500
2.285E‐04
0.759492
0.146233
2000
1.421E‐04
0.850431
0.09094
R(1600)  1  0.781  21.9%
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Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Esponenziale negativa
Esercizio
La vita di una tipologia di lampadina è descritta da una esponenziale negativa
con parametro λ = 9.5·10-4 h-1. Si chiede di calcolare:
8. Il percentile 10% e 90%
F (t )  p  1  e
 t p
 t p  ln(1  p)
tp  
ln(1  p)

Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Per cui si ha:
t10%  
ln(1  0.1)
 111 h
0.00095
t90%  
ln(1  0.9)
 2424 h
0.00095
Esponenziale negativa
Distribuzione Esponenziale negativa a 2 parametri
Per effettuare la traslazione lungo l’asse dei tempi, si introduce il parametro t0; la densità di
probabilità diventa così:
f (t )    e t t0 
con t0 ≤ t < +∞
e la cumulata:
F ( t )  1  e   t  t 0 
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