Proposizioni Proposizione 1 (Costruire un triangolo equilatero) Su

Proposizioni
Proposizione 1 (Costruire un triangolo equilatero)
Su una retta terminata data costruire un triangolo equilatero
Costruire un triangolo equilatero, dato il lato
Sia AB la retta terminata data. (fig.1)
Si deve dunque costruire sulla retta AB un triangolo equilatero.
-Disegna il cerchio di centro A e raggio AB
-Disegna il cerchio di centro B e raggio BA (fig.2)
-Sia C il punto d’incontro dei due cerchi
-Traccia le rette CA e CB (fig.3)
Il triangolo ABC è il triangolo cercato, infatti:
1) AC=AB perché raggi di uno stesso cerchio
2) BC=BA perché raggi di uno stesso cerchio
3) Dunque entrambi i segmenti AC e BC sono uguali ad AB
4) Ma cose uguali ad una stessa cosa sono anche uguali fra loro
perciò anche CA=CB
5) Quindi i tre segmenti CA, CB e AB sono tutti uguali fra loro
Dunque il triangolo ABC è equilatero ed è stato costruito sulla
retta terminata data, AB. –c.d.f.
E’ applicata in 2, 9 10, 11
def.XX
post.III
post.III
post. I
def.XV
def.XV
1) e 2)
nc.I
3) e 4)
Proposizione 2 (Trasportare un segmento)
Applicare ad un punto dato una retta uguale ad una retta data
Siano A il punto dato e BC la retta data (fig.1)
-Unisci A con B (fig. 2)
-Costruisci il triangolo equilatero ABD
-Prolunga DA e DB rispettivamente in E e in F
-Disegna il cerchio di centro B e raggio BC che incontra la retta BF in G
-Disegna il cerchio di centro D e raggio DG che incontra la retta AE in H
Il segmento AH è uguale al segmento BC ed è applicato al punto A, infatti:
1) BC=BG perché raggi di uno stesso cerchio
2) DH=DG perché raggi di uno stesso cerchio
3) Ma DA=DB perché lati di un triangolo equilatero
4) Quindi AH=BG perché differenze di cose uguali sono uguali
5) Ma abbiamo già detto che BG=BC
6) Dunque AH e BC sono entrambi uguali a BG
7) Quindi anche AH=BC perché cose uguali ad una stessa cosa sono uguali
fra loro
Dunque AH è il segmento cercato, uguale a BC e applicato al punto A. –c.d.f.
Applica 1
E’ applicata in 3
post.I
prop.1
post.II
post.III
post.III
def.XV
def.XV
def.XX
nc.III
1)
1) e 4)
nc.1
Proposizione 3 (Trasportare un segmento su una retta)
Date due rette (segmenti) disuguali, applicare alla maggiore una
retta uguale alla minore.
Considerare, su una retta data, un segmento uguale ad un
segmento dato.
Siano AB e C le rette disuguali date, delle quali AB sia maggiore
(fig.1)
Si deve dunque applicare alla maggiore una retta uguale alla
minore.
-Applica al punto A la retta AD uguale alla retta C (fig.2)
-Con centro A e raggio AD descrivi il cerchio che taglia in E la
retta AB (fig.3)
La retta AE è la retta cercata, infatti:
1) AE=AD
2) Ma pure C=AD
3) Dunque le rette AE e C sono entrambe uguali alla retta AD
4) Perciò AE=C
Dunque, date due rette disuguali C e AB, alla retta maggiore,
AB, è stata applicata una retta uguale alla retta C. –c.d.f.
Applica 2.
E’ applicata in 5, 6, 9, 11, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 46.
prop.2
post. III
def.XV
costr.
1) e 2)
nc.I
Proposizione 4
(1° Criterio di uguaglianza dei triangoli)
Se due triangoli hanno due lati rispettivamente uguali a due lati e hanno uguali anche
gli angoli compresi fra i lati uguali, essi avranno anche la base uguale alla base, il
triangolo sarà uguale al triangolo e gli angoli rimanenti, opposti ai lati uguali,
saranno uguali ai rispettivi angoli rimanenti.
Se due triangoli hanno due lati e l’angolo fra essi compreso, rispettivamente
uguali, essi sono uguali.
Siano ABC e DEF due triangoli tali che:
a) AB=DE
b) ^BAC=^EDF (l’angolo BAC sia uguale all’angolo EDF)
c) AC=DF
Dico che anche la base BC sarà uguale alla base EF, che il triangolo ABC sarà uguale
al triangolo DEF e che gli angoli rimanenti del primo triangolo saranno uguali ai
rispettivi angoli rimanenti del secondo, l’angolo ABC uguale all’angolo DEF, e
l’angolo ACB uguale all’angolo DFE, infatti:
Se si sovrappone il triangolo ABC al triangolo DEF, in modo che il vertice A coincida
con il punto D e il lato AB sia sul lato DE, allora:
1) L’estremo B coinciderà col punto E (poiché AB=DE)
2) Siccome AB coincide con DE, il lato AC cadrà sul lato DF (poiché
^BAC=^EDF)
3) Inoltre, l’estremo C cadrà sul punto F (poichè AC=DF)
4) Quindi anche BC coinciderà con EF (poiché B ha coinciso con E e C coincide
con F) e sarà ad esso uguale (nc.IV)
5) Cosicché anche tutto quanto il triangolo ABC coinciderà con tutto quanto il
triangolo DEF e sarà uguale ad esso
6) E anche gli angoli rimanenti dell’uno coincideranno con gli angoli rimanenti
dell’altro e saranno ad essi uguali, l’angolo ABC uguale all’angolo DEF e
l’angolo ACB uguale all’angolo DFE
Dunque, se due triangoli hanno due lati uguali a due lati e l’angolo fra essi
compreso pure uguale, essi avranno rispettivamente uguali tutti gli elementi: la
base sarà uguale alla base, il triangolo sarà uguale al triangolo e gli angoli
dell’uno saranno uguali ai corrispondenti angoli dell’altro. –c.d.d.
E’ applicata in 5, 6, 10, 16, 24, 25, 26, 33, 34, 35, 47
Proposizione 5 (Proprietà fondamentale del triangolo isoscele)
Nei triangoli isosceli, gli angoli alla base sono uguali fra loro e, venendo
prolungati i lati uguali, anche gli angoli sotto la base saranno uguali fra loro.
Nei triangoli isosceli gli angoli alla base sono uguali.
Sia ABC isoscele, con AB=AC [ipotesi] (fig.1)
-Prolunga AB di un segmento BD e AC di un segmento CE (fig.2)
Dico che sono uguali fra loro gli angoli ABC e ACB e pure gli angoli CBD e
BCE. [tesi], infatti: [dimostrazione]
-Prendi su BD un punto a piacere, F (fig.2)
-Applica alla retta CE un segmento CG=BF (fig.2)
-Unisci F con C e G con B (fig.2)
1) Considera i triangoli ABG e ACF; essi hanno due lati e l’angolo fra essi
compreso rispettivamente uguali:
a) AB=AC per ipotesi
b) AG=AF perché somme di cose uguali sono uguali nc.II
c) Gli angoli BAG e CAF in comune (coincidono)
2) Dunque sarà BG=CF, ^ABG=^ACF e ^AGB=^AFC
3) Considera ora i triangoli BFC e CGB; anche essi hanno due lati e
l’angolo fra essi compreso rispettivamente uguali:
a) BF=CG per costruzione
b) BG=CF passo 2)
c) ^BFC=^CGB passo 2)
4) Pertanto anche ^CBG=^BCF e ^CBF=^BCG
5) Inoltre, anche ^ABC=^ACB [perché differenze di cose uguali sono
uguali, infatti ^ABG=^ACF (passo 2) e ^CBG=^BCF (passo 4), quindi
^ABG-^CBG=^ACF-^BCF]
Dunque, nei triangoli isosceli gli angoli alla base sono uguali fra loro e lo
sono anche gli angoli esterni sotto la base -c.d.d.
Applica 3 e 4
E’applicata in 7, 18, 19, 20, 24
def.XX
post.II
prop.3
post. I
prop.4
prop.4
nc III
Proposizione 6 (Inversa della proposizione 5)
Se in un triangolo due angoli sono uguali fra loro anche i lati opposti
agli angoli uguali saranno uguali fra loro.
Se un triangolo ha due angoli uguali fra loro, esso è isoscele.
Sia ABC un triangolo con ^ABC=^ACB
[ipotesi] (fig.1)
Dico che anche il lato AB è uguale al lato AC [tesi], infatti:
[dimostrazione]
1) Se AB fosse disuguale rispetto ad AC, uno dei due lati sarebbe
maggiore
2) Sia AB>AC (AB maggiore di AC)
- Applica alla retta BA un segmento BD=AC
- Unisci D con C (fig.2)
3) Considera ora i triangoli BDC e CAB (fig.2); essi hanno
rispettivamente uguali due lati e l’angolo fra essi compreso:
a) BD=AC per costruzione
b) BC in comune (costruzione)
c)^DBC=^ACB (ipotesi)
4) Dunque i triangoli BDC e CAB sono uguali,
5) Il minore al maggiore; ma ciò è assurdo
6) Dunque non può essere AB>AC (né AC>AB)
7) Quindi sarà AB=AC.
Dunque, se in un triangolo due angoli sono uguali fra loro, anche i
lati opposti agli angoli uguali saranno uguali fra loro. -c.d.d.
Applica 3 e 4
E’ applicata nei Libri seguenti
prop.3
post. I
prop.4
nc. V
Proposizione 7 (Unicità del triangolo, dati i lati)
Applicare agli estremi A e B di un segmento altri due segmenti, in
modo che essi si incontrino in un punto C; dico che non è
possibile applicare agli stessi estremi e dalla stessa parte, due
segmenti uguali a quelli già applicati (AC e BC) ed aventi un
diverso punto d’incontro.
Infatti, se possibile:
-Costruiamo sul segmento AB i segmenti AC e BC che si
incontrano nel punto C, e inoltre i segmenti AD e BD,
rispettivamente uguali ad AC e BC, che si incontrino in un
punto D diverso dal punto C (fig.1)
-Uniamo C con D e chiamiamo con α,β,γ,δ, rispettivamente gli
angoli ACB, BCD; ADC, ADB (fig.2)
1) Il triangolo ACD è isoscele poiché AC=AD
2) Quindi gli angoli alla base sono uguali, cioè γ = α+β
3) Ciò vuol dire che γ è maggiore di β
γ>β
4) Quindi γ+δ è molto maggiore di β
5) Anche il triangolo BCD è isoscele poiché BC=BD
6) Quindi γ+δ=β
7) Ma è già stato dimostrato che γ+δ>β, anzi, molto maggiore
di β, il che è assurdo.
8) Quindi il punto D non può essere diverso dal punto C.
Dunque non è possibile applicare agli stessi estremi e dalla
stessa parte, segmenti uguali a quelli applicati ed aventi un
diverso punto d’incontro. –c.d.d.
Applica 5
E’ applicata in 8
post.I
costr.
prop.5
costr.
prop.5
passo 4)
Proposizione 8 (3°criterio di uguaglianza dei triangoli) (Inv. della 4)
Se due triangoli hanno due lati rispettivamente uguali a due lati e
anche la base uguale alla base, essi avranno uguali anche gli angoli
compresi dai lati uguali.
Se due triangoli hanno i tre lati rispettivamente uguali, essi sono
uguali.
Siano ABC e DEF due triangoli tali che : [ipotesi]
a) AB=DE
b) AC=DF
c) BC=EF (fig.1)
Dico che anche i loro angoli, BAC e EDF, compresi fra i lati uguali
sono uguali fra loro, [tesi] infatti:
Se si sovrappone il triangolo ABC al triangolo DEF in modo che B
coincida con E e il segmento BC con EF,
1) Anche C coinciderà con F, poiché BC=EF (fig.2)
2) Inoltre anche i lati BA e CA coincideranno rispettivamente con prop.7
ED e FD (Infatti, se BC coincide con EF e AB=DE e AC=DF,
non può esistere un punto G diverso da D in cui tali lati si
uniscano) (fig.3)
3) Quindi anche gli angoli BAC e EDF coincideranno, e perciò
saranno uguali
nc.IV
Dunque, se due triangoli hanno due lati rispettivamente uguali a
due lati e la base uguale alla base, anche gli angoli compresi fra i
lati uguali saranno uguali. –c.d.d.
Applica 7
E’ applicata in 9, 11, 12, 23, 48
Proposizione 9 (Costruire la bisettrice di un angolo)
Dividere per metà un angolo rettilineo dato.
Dividere un angolo in due parti uguali
Sia BAC l’angolo rettilineo dato
Si deve dunque dividerlo per metà
- Prendi su AB un punto a piacere D
- Applica alla retta AC un segmento AE=AD
- Unisci D con E
- Costruisci su DE il triangolo equilatero DEF
- Unisci A con F
Dico che l’angolo BAC è stato diviso a metà dalla retta AF, infatti:
1) Considera i triangoli ADF e AEF: essi hanno due lati
rispettivamente uguali a due lati e la base uguale alla base,
infatti:
a) il lato AD uguale al lato AE (costruzione)
b) il lato AF in comune
c) la base DF uguale alla base EF (costruzione)
2) Quindi anche ^DAF=^EAF
Dunque l’angolo rettilineo BAC è stato diviso per metà -c.d.f.
Applica 1, 3, 8
E’ applicata in 10
prop.3
post. I
prop.1
post. I
prop.8
Proposizione 10 (Trovare il punto medio di un segmento)
Dividere per metà una retta terminata data
Dividere un segmento in due parti uguali
Sia AB il segmento dato
Si deve dunque dividere per metà il segmento AB
- Costruisci su AB il triangolo equilatero ABC
prop.1
- Dividi a metà l’angolo ACB e sia CD la bisettrice
prop.9
Dico che il segmento AB è stato diviso a metà nel punto D, infatti:
1) Considera i triangoli CAD e CBD; essi hanno due lati e
l’angolo fra essi compreso rispettivamente uguali:
a) AC=BC (costruzione)
b) CD in comune
c) ^ACD=^BCD (costruzione)
2) Quindi anche la base AD è uguale alla base BD; AD=BD
prop.4
Dunque la retta AB è stata divisa per metà nel punto D. –c.d.f.
Applica 1, 4, 9
E’ applicata in 12, 16, 42
Proposizione 11 (Costruire la perpendicolare per un punto della retta)
Su una retta data, da un punto su di essa, innalzare una linea retta
perpendicolare alla data.
Costruire la perpendicolare ad una retta data, passante per un
punto dato, appartenente alla retta data.
Sia AB la retta data e C il punto dato su di essa
Si deve dunque innalzare sulla retta AB, dal punto C, una linea
retta perpendicolare alla retta AB
- Prendi un punto D su AC
- Applica alla retta CB un segmento CE=CD
- Costruisci su DE il triangolo equilatero DEF
- Unisci C con F
Dico che CF è la perpendicolare cercata, infatti:
1) Considera i triangoli FCD e FCE; essi hanno due lati
rispettivamente uguali a due lati e la base uguale alla base:
a) CD=CE per costruzione
b) FC in comune
c) La base DF uguale alla base EF per costruzione
2) Quindi l’angolo FCD è uguale all’angolo FCE
3) Ma gli angoli FCD e FCE sono adiacenti
4) Perciò sono entrambi retti
5) E la retta CF si chiama la perpendicolare.
Dunque, su una retta data, da un suo punto, è stata innalzata la
perpendicolare alla retta stessa. –c.d.f.
Applica 1, 8
E’ applicata in 13, 46, 48
prop.3
prop.1
post.I
prop.8
def. X
def. X
Proposizione 12 (Costruire la perpendicolare da un punto esterno)
Ad una data retta illimitata, da un punto dato esterno ad essa, condurre una linea
retta perpendicolare.
Costruire la perpendicolare ad una retta data da un punto esterno ad essa
Siano AB la retta illimitata e C il punto esterno (fig.1)
Si deve dunque costruire una retta perpendicolare ad AB, passante per C.
- Prendi un punto D, dall’altra parte di AB
- Traccia il cerchio di centro C e raggio CD
- Siano E e F i punti in cui il cerchio incontra la retta AB
- Unisci C con F e con E
- Individua il punto medio G di FE
- Unisci C con G (fig.2)
Dico che CG è la perpendicolare cercata, infatti:
1) Considera i triangoli CFG e CEG; essi hanno due lati rispettivamente
uguali a due lati e la base uguale alla base:
a) CG in comune
b) GF=GE per costruzione
c) La base CF uguale alla base CE (def. XV)
2) Quindi l’angolo CGF è uguale all’angolo CGE
3) Ma essi sono anche adiacenti
4) Quindi sono retti e CG si chiama perpendicolare
Dunque è stata condotta la perpendicolare ad una retta data, da un punto
esterno ad essa. –c.d.f.
Applica 8, 10
E’ applicata nei Libri successivi
post.III
post.I
prop.10
post. I
prop.8
def. X
Proposizione 13 (Teorema degli angoli adiacenti))
Se una retta innalzata su un’altra retta forma degli angoli, essa
verrà a formare o due angoli retti o due angoli la cui somma è
uguale a due retti.
Angoli adiacenti sono supplementari
Sia AB la retta innalzata su CD che forma gli angoli ABC e ABD.
Se ABC è uguale ad ABD, essi sono angoli retti (fig.1)
- Se così non è (fig.2) innalziamo dal punto B la perpendicolare BE,
così sono retti gli angoli EBD e EBC, che chiamiamo δ ed ε (fig.3)
- chiamiamo α, β e γ, rispettivamente gli angoli ABD, ABC, ABE
1) Osserva che α+γ = δ (fig.3)
2) Aggiungendo ε ad entrambi i membri, avremo α+γ+ε = δ+ε
3) Osserva che
β = ε+γ (fig.4)
4) Aggiungendo α ad entrambi i membri, avremo β+α = ε+γ+α
5) Allora sarà:
β+α = δ+ε
6) Ma la somma degli angoli δ ed ε è uguale a due retti
7) Perciò anche la somma α+β degli angoli ABD e ABC sarà
uguale a due retti.
Dunque, una retta innalzata su un’altra forma angoli la cui
somma è uguale a due angoli retti. –c.d.d.
Applica 11
E’ applicata in 14,15,17,28,29,32
def.X
prop.11
nc.II
nc.II
nc.I
costr.
nc.I
Proposizione 14 (inversa della 13)
Se per un punto di una retta, da parti opposte rispetto ad essa, si tracciano altre
due rette, ed esse formano con la prima, angoli adiacentii la cui somma è uguale
a due angoli retti, le due rette saranno allineate fra loro.
Se la somma di due angoli consecutivi è uguale a due angoli retti, essi sono
adiacenti
Sia AB la retta data (fig.1)
- Traccia le due rette BC e BD da parti opposte rispetto alla retta AB, e tali che la
somma degli angoli ABC e ABD sia uguale a due angoli retti (fig.2)
Dico che le due rette BC e BD sono allineate fra loro, infatti:
1) Supponiamo che BD non sia in linea retta con BC
2) Allora ci sarà un altra retta, BE, allineata con BC (fig.3)
3) In tal caso sarà ABC+ABE uguale a due retti
4) Ma anche ABC+ABD è uguale a due retti
5) Pertanto le due somme ABC+ABE e ABC+ABD saranno uguali fra loro
6) Sottraiamo ad entrambe le somme l’angolo ABC
7) Avremo dunque ABE=ABD
8) L’angolo minore uguale al maggiore, il che è impossibile
9) Perciò BE non è in linea retta con BC.
10)
Similmente potremo dimostrare che nessun’altra retta lo è
11)
Perciò BC è in linea retta con BD.
Dunque, se per un punto di una retta, da parti opposte rispetto ad essa, si
tracciano altre due rette, ed esse formano con la prima, angoli consecutivi la
cui somma è uguale a due angoli retti, le due rette saranno allineate fra loro.
–c.d.d.
Applica 13
E’ applicata in 45, 47
prop.13
ipotesi
nc. I
nc.III
nc.V
Proposizione 15 (Teorema degli angoli opposti al vertice)
Se due rette si tagliano fra loro, formano gli angoli opposti al
vertice tra loro uguali.
Angoli opposti al vertice sono uguali
Siano AB e CD le due rette, che si tagliano nel punto E.
Dico che l’angolo AEC è uguale all’angolo opposto al vertice
DEB, infatti:
- Chiamiamo gli angoli AEC,AED,DEB, rispettivamente con le
lettere α, β, e γ.
1) Poiché AE è innalzata su DC la somma degli angoli α e β,
è uguale a due angoli retti:
α+β= due retti
2) Poiché DE è innalzata su AB, anche γ+β= due retti
3) Dunque le somme α+β e γ+β sono uguali
4) Sottraendo β ad entrambe le somme avremo α= γ
5) Dunque l’angolo AEC è uguale all’angolo DEB.
Dunque, se due rette si tagliano fra loro, esse formano gli
angoli opposti al vertice uguali fra loro. –c.d.d.
Applica 13
E’ applicata in 16, 28, 29, 44
prop.13
prop.13
post.IV e nc.I
nc.III
Proposizione 16 (Teorema dell’angolo esterno maggiore)
In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è maggiore di
ciascuno dei due angoli interni ed opposti.
L’angolo esterno di un triangolo è sempre maggiore di ciascuno degli altri
due angoli interni non adiacenti ad esso
Sia ABC un triangolo.
- Prolunga un suo lato, BC ad esempio, oltre C sino a D
Dico che l’angolo esterno ACD è maggiore di ciascuno dei due angoli interni
ed opposti, BAC e ABC, infatti:
- Dividi AC per metà in E
- Unisci B con E e prolunga BE oltre E
- Sul prolungamento prendi EF=BE
- Unisci F con C
- Prolunga AC oltre C sino a G
1) Considera ora i triangoli ABE e FEC; essi hanno due lati e l’angolo fra
essi compreso rispettivamente uguali:
a) AE=EC (costruzione)
b) BE=EF (costruzione)
c) ^AEB =^ FEC perchè opposti al vertice (prop.15)
2) Quindi l’angolo ECF è uguale all’angolo EAB
3) Ma l’angolo ECF è minore dell’angolo ECD
4) Perciò anche l’angolo BAE è minore dell’angolo ECD (ACD)
5) Allo stesso modo, divisa per metà BC, si potrà dimostrare che anche
l’angolo BCG è maggiore dell’angolo ABC
6) Ma l’angolo BCG è uguale all’angolo ACD
7) Perciò l’angolo ACD è maggiore pure dell’angolo ABC
Dunque, in ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è
maggiore di ciascuno degli angoli interni ed opposti. –c.d.d.
Applica 4, 10, 15
E’ applicata in 17, 18, 21, 26, 27,
post.II
prop.10
post. I e II
prop.3
post.I
post.II
prop.4
nc.V
prop.16
prop.15
Proposizione 17 (Inversa del V Postulato)
In ogni triangolo, la somma di due angoli, comunque presi, è
minore di due angoli retti.
(Se c’è un triangolo, ovvero, se due rette si incontrano, allora la
somma dei coniugati è minore di due angoli retti)
La somma di due angoli interni di un triangolo è sempre minore
di due angoli retti
Sia ABC un triangolo.
Dico che, nel triangolo ABC, la somma di due angoli, comunque
presi, è minore di due angoli retti, infatti:
- Prolunga BC oltre C, fino a D
post.II
1) Nel triangolo ABC l’angolo ACD è esterno
2) Quindi esso è maggiore dell’angolo interno ed opposto ABC prop.16
Dunque:
ACD >ABC
3) Aggiungiamo ad entrambi l’angolo ACB
4) Quindi sarà ACD+ACB >ABC+ACB
5) Ma la somma degli angoli ACD e ACB è uguale a due angoli
retti
prop.13
6) Quindi la somma ABC+ACB è minore di due angoli retti.
Similmente si potrà dimostrare che anche la somma degli angoli
BAC e ABC è minore di due angoli retti, come pure la somma degli
angoli ACB e BAC.
Dunque, in ogni triangolo, la somma di due angoli comunque
presi è minore di due angoli retti. –c.d.d.
Applica 13, 16
E’ applicata nei Libri successivi
Riassumendo, se chiamiamo con α, β, γ, e δ rispettivamente gli
angoli BAC, ABC, ACB, ACD, avremo:
1) β < δ (prop.16)
2) β+γ < δ+γ (nc.VI)
3) Ma δ+γ = due retti (prop.13)
4) Quindi β+γ < due retti
Proposizione 18 (A lato maggiore si oppone angolo maggiore)
In ogni triangolo, a lato maggiore si oppone angolo maggiore.
In ogni triangolo, a lato maggiore si oppone angolo maggiore
Sia ABC un triangolo avente il lato AC maggiore del lato AB.
Dico che anche l’angolo ABC è maggiore dell’angolo ACB, infatti:
Poiché AC è maggiore di AB:
- Costruisci sul lato AC un segmento AD=AB
- Unisci B con D
1) Nel triangolo BDC l’angolo ADB è angolo esterno
2) Quindi è maggiore dell’angolo interno ed opposto DCB
3) Ma poiché AB=AD, l’angolo ADB è uguale all’angolo ABD
4) Quindi anche l’angolo ABD è maggiore dell’angolo ACB
5) Perciò l’angolo ABC è molto maggiore dell’angolo ACB
Dunque, in ogni triangolo, a lato maggiore si oppone angolo
maggiore. -c.d.d.
Applica 3, 5, 16
E’ applicata in 19
Riassumendo, se chiamiamo con α, β, γ, δ, rispettivamente gli
angoli ACB, ADB, ABD e DBC, avremo:
a) β > α (prop.16)
b) γ = β (prop.5)
c) Quindi anche γ > α
d) Quindi γ+δ molto maggiore di α
prop.3
post.I
prop.16
prop.5
nc.V
Proposizione 19 (Inversa della 18)
In ogni triangolo, ad angolo maggiore è opposto lato maggiore
In ogni triangolo, ad angolo maggiore è opposto lato maggiore
Sia ABC un triangolo avente l’angolo ABC maggiore dell’angolo
ACB.
Chiamiamo con β e γ rispettivamente gli angoli ABC e ACB;
dunque, nel triangolo ABC è β > γ.
Dico che anche il lato AC è maggiore del lato AB, infatti:
1) Se AC non fosse maggiore di AB, allora sarebbe uguale o
minore
2) Ma AC non è uguale ad AB, altrimenti sarebbe β=γ,
prop.5
ma non è β=γ (ipotesi)
3) Quindi AC non è uguale ad AB
4) Però AC non è neanche minore di AB, altrimenti sarebbe β<γ, prop.18
ma non è β<γ (ipotesi)
5) Quindi AC non è minore di AB
6) Ma avevamo detto che AC non è neanche uguale ad AB
passo 3)
7) Pertanto sarà AC maggiore di AB.
Dunque, in ogni triangolo, ad angolo maggiore è opposto lato
maggiore. –c.d.d.
Applica 5, 18
E’ applicata in 20, 24
Proposizione 20 (Disuguaglianza triangolare)
In ogni triangolo la somma di due lati, comunque presi, è
maggiore del lato rimanente.
In ogni triangolo un lato è sempre minore della somma degli
altri due e maggiore della loro differenza
Sia ABC un triangolo.
Dico che la somma di due suoi lati, comunque presi, è maggiore
del lato rimanente, cioè: BA+AC > BC
AB+BC > AC e
AC+CB > AB, infatti:
- Prolunga BA oltre A
- Sul prolungamento considera un segmento AD uguale ad AC
- Unisci D con C
1) Poiché AD=AC l’angolo ADC è uguale all’angolo ACD
2) Perciò l’angolo BCD è maggiore dell’angolo ADC
3) Quindi il lato BD è maggiore del lato BC:
BD>BC
4) Ma BD=BA+AD
5) E poichè AD=AC per costruzione, BA+AD = BA+AC
6) Ma allora è anche BD = BA+AC
7) Perciò anche BA+AC > BC.
Similmente si potrà dimostrare che anche la somma di AB e BC è
maggiore di AC, e che la somma di AC e CB è maggiore di AB.
Dunque, in ogni triangolo, la somma di due lati, comunque
presa, è maggiore del lato rimanente. -c.d.d.
Applica 3, 5, 19
E’ applicata in 21
post.II
prop.3
post.I
prop.5
nc.V
prop.19
nc.II
nc.I
passo 3)
Proposizione 21
Se su uno dei lati di un triangolo, a partire dagli estremi, si tracciano due
rette che si incontrino all’interno del triangolo, la somma di tali rette è
minore della somma degli altri due lati del triangolo, ma l’angolo da esse
formato è maggiore di quello formato dai lati.
Sia ABC il triangolo dato e siano BD e CD due segmenti che si incontrano
in D, all’interno del triangolo.
Dico che la somma BD+DC è minore della somma BA+AC e che l’angolo
BDC è maggiore dell’angolo BAC, infatti:
- Prolunga BD fino ad incontrare il lato AC in E
1) Considera il triangolo ABE :
BA+AE > BE
2) Aggiungendo EC ad entrambi i membri avremo:
BA+AE+EC >BE+EC
3) Ma AE+EC = AC
4) Perciò
BA+AC > BE+EC
5) Considera ora il triangolo EDC: CE+ED > CD
6) Aggiungendo DB ad entrambi i membri avremo:
CE+ED+DB > CD+DB
7) Ma ED+DB = EB
8) Perciò
CE+EB > CD+DB
9) Ma avevamo detto che BA+AC > BE+EC
10)
Quindi BA+AC è molto maggiore di BD+DC.
11)
Osserva che nel triangolo EDC l’angolo BDC è angolo
esterno
12)
Pertanto l’angolo BDC è maggiore dell’angolo DEC
13)
Osserva che nel triangolo ABE l’angolo CED è angolo esterno
14)
Pertanto l’angolo CED è maggiore dell’angolo BAE
15)
Ma avevamo detto che l’angolo BDC > CED
16)
Quindi l’angolo BDC è molto maggiore dell’angolo BAE .
Dunque, se su uno dei lati di un triangolo, a partire dagli estremi, si
tracciano due segmenti che si incontrino all’interno del triangolo, la
somma di tali segmenti è minore della somma degli altri due lati del
triangolo, ma l’angolo da essi formato è maggiore di quello formato dai
lati. –c.d.d.
Applica 16, 20
E’ applicata nel 3° Libro
post.II
prop.20
prop.20
passo 5)
prop.16
prop.16
passo 14)
Proposizione 22 (Inversa della proposizione 20 )
Con tre rette uguali a tre rette date, costruire un triangolo: occorre dunque
che la somma di due di esse, comunque prese, sia maggiore della rimanente.
Se tre segmenti sono tali che ognuno è minore della somma degli altri
due, con essi si può costruire un triangolo
Siano A, B, C le tre rette date, tali che la somma di due di esse, comunque
prese, sia maggiore della rimanente; cioè, tali che risulti
A+B > C ;
A+C > B ;
B+C > A
Si deve dunque costruire un triangolo con i lati uguali alle rette A, B, C.
- Considera una retta DE, terminata in D e illimitata dalla parte di E
- Sulla retta DE prendi DF=A
- Sempre sulla retta DE, prendi FG=B
- Infine prendi, sempre sulla retta DE, GH=C
- Con centro F e raggio FD, descrivi il cerchio DKL
- Poi, con centro G e raggio GH, descrivi il cerchio HKM
- Sia K il punto d’incontro dei due cerchi
- Unisci K con F e con G
Dico che il triangolo KFG è il triangolo cercato, infatti:
1) Poiché F è il centro del cerchio DKL, FD=FK
2) Ma FD=A
3) Quindi anche FK=A
4) Di nuovo, poiché G è centro del cerchio HKM, GH=GK
5) Ma GH=C
6) Quindi anche GK=C
7) Inoltre la retta FG è uguale alla retta B
8) Perciò le tre rette FK, FG, GK sono uguali rispettivamente alle tre
rette A, B, C e con esse è stato costruito il triangolo KFG.
Dunque, con tre rette uguali a tre rette date e tali che la somma di due di
esse è maggiore della rimanente è stato costruito un triangolo. -c.d.f.
Applica 3
E’ applicata in 23
prop.3
prop.3
prop.3
post.III
post.III
post.I
def.XV
costr.
nc.I
def.XV
costr.
nc.I
costr.
Proposizione 23 (Costruire un angolo uguale ad un angolo dato)
Costruire su una retta data e in un dato punto di essa, un angolo
rettilineo uguale ad un angolo rettilineo dato.
Siano AB la retta data, A il punto dato e DCE l’angolo rettilineo
dato.
Si deve dunque costruire sulla retta AB e con vertice in A un angolo
uguale all’angolo DCE.
- Prendi sulla retta CD un punto a piacere D
- Prendi sulla retta CE un punto a piacere E
- Congiungi D con E
post.I
- Con tre rette uguali alle tre rette CD, CE, DE, costruisci il
triangolo AGF, in modo che AF=CD, AG=CE, e FG=DE
prop.22
Dico che l’angolo FAG è uguale all’angolo DCE, infatti:
1) Considera i due triangoli FAG e DCE; essi hanno due lati
rispettivamente uguali a due lati e la base uguale alla base:
a) il lato AF uguale al lato CD
b) il lato AG uguale al lato CE
c) la base FG uguale alla base DE
2) Perciò anche l’angolo FAG sarà uguale all’angolo DCE
prop.8
Dunque, sulla retta data AB e nel suo punto A, è stato costruito
un angolo rettilineo uguale all’angolo rettilineo dato DCE. –c.d.f.
Applica 8, 22
E’ applicata in 24, 31, 42
Proposizione 24
Se due triangoli hanno due lati rispettivamente uguali a due lati e l’angolo fra
essi compreso diverso, allora anche la base sarà diversa e sarà maggiore la
base del triangolo il cui angolo è maggiore.
Siano ABC e DEF triangoli tali che AC=DF, AB=DE, ^BAC > ^EDF (fig.1)
Dico che anche la base BC è maggiore della base EF, infatti:
Poiché l’angolo BAC è maggiore dell’angolo EDF,
- Costruisci sulla retta DF e con vertice in D l’angolo FDG=CAB
- Sulla retta DG prendi DH=DE oppure DH=AB (fig. 2)
- Unisci H con E e con F (fig.3)
- Chiama con α, β, γ, δ, rispettivamente gli angoli DHF, EHF, DEH, DEF
1) Considera ora i triangoli DHF e ABC (fig.2); essi hanno due lati e
l’angolo fra essi compreso rispettivamente uguali:
a) DH=AB (costruzione)
b) DF=AC (ipotesi)
c) L’angolo FDH=CAB (costruzione)
2) Quindi HF=BC (fig.2)
3) Considera ora il triangolo DHE: esso è isoscele (fig.3)
4) Quindi γ = α+β
5) Ma α+β > β
6) Quindi γ > β
7) Ma γ+δ > γ
8) Quindi γ+δ è molto maggiore di β
9) Perciò il lato HF è maggiore del lato EF
HF>EF
10)
Ma HF=BC
11)
Pertanto sarà anche BC > EF
Dunque, se due triangoli hanno due lati rispettivamente uguali,
ma l’angolo fra essi compreso diverso, anche la base sarà diversa. –c.d.d.
Applica 3, 4, 5, 19, 23
E’ applicata in 25
prop.23
prop.3
post. I
prop.4
costr.
prop.5
nc. V
nc. V
prop.19
passo 2
Proposizione 25 ( Inversa della 24 )
Se due triangoli hanno due lati rispettivamente uguali a due lati ma
la base dell’uno è maggiore della base dell’altro, allora anche
l’angolo compreso fra i lati uguali dell’uno è maggiore dell’angolo
corrispondente compreso fra i lati uguali dell’altro.
Siano ABC e DEF due triangoli aventi rispettivamente i due lati AB,
AC uguali rispettivamente ai due lati DE, DF, cioè AB=DE e
AC=DF, ma la base BC sia maggiore della base EF.
Dico che anche l’angolo BAC è maggiore dell’angolo EDF, infatti:
1) Se non lo fosse, sarebbe o uguale ad esso, oppure minore
2) Ora, l’angolo BAC non è uguale all’angolo EDF, perché in tal
caso, anche la base BC sarebbe uguale alla base EF
prop.4
3) Ma non è BC=EF (ipotesi)
4) Perciò l’angolo BAC non è uguale all’angolo EDF
5) Ma l’angolo BAC non è neppure minore dell’angolo EDF,
perché in tal caso sarebbe BC<EF
prop.24
6) Ma non è BC<EF (ipotesi)
7) Perciò l’angolo BAC non è minore dell’angolo EDF
8) Ma avevamo detto che l’angolo BAC non è neppure uguale
all’angolo EDF
passo 4)
9) Perciò l’angolo BAC è maggiore dell’angolo EDF.
Dunque, se due triangoli hanno due lati rispettivamente uguali a
due lati, ma la base dell’uno è maggiore della base dell’altro,
anche l’angolo compreso fra i lati uguali dell’uno è maggiore
dell’angolo compreso fra i lati uguali dell’altro. –c.d.d.
Applica 4, 24
E’ applicata nel Libro 11°
Proposizione 26 -a) (2° criterio di uguaglianza dei triangoli)
Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente uguali a due angoli e un lato
uguale a un lato, o quello adiacente agli angoli uguali o quello che è opposto ad
uno degli angoli uguali, essi avranno anche i lati rimanenti uguali rispettivamente
ai lati rimanenti, e l’angolo rimanente uguale all’angolo rimanente.
Se due triangoli hanno rispettivamente uguali due angoli ed il lato fra essi
compreso, essi sono uguali
Siano ABC e DEF i due triangoli aventi gli angoli ABC e BCA rispettivamente
uguali agli angoli DEF ed EFD, cioè, ^ABC=^DEF e ^BCA=^EFD; ed abbiano
anche un lato uguale a un lato:
a) Consideriamo prima quello adiacente agli angoli uguali, cioè BC=EF.
Dico che essi avranno anche i lati rimanenti uguali ai lati rimanenti e cioè,
AB=DE e AC=DF, e l’angolo rimanente uguale all’angolo rimanente, cioè
^BAC=^EDF, infatti:
1) Se AB è disuguale rispetto a DE, uno dei due è maggiore: sia maggiore AB
- Allora su AB prendi BG=DE
- Unisci G con C
3) Considera i triangoli GBC e DEF; essi hanno due lati e l’angolo fra essi
compreso rispettivamente uguali:
a) BC=EF per ipotesi
b) ^ABC=^DEF per ipotesi
c) GB=DE per costruzione
4) Perciò l’angolo GCB è uguale all’angolo DFE
5) Ma anche l’angolo ACB è uguale all’angolo DFE
6) Perciò l’angolo GCB è uguale all’angolo ACB
7) Il minore al maggiore, è impossibile
8) Quindi AB non può essere disuguale rispetto a DE
9) Perciò AB è uguale a DE
10) Ma anche BC=EF e l’angolo ABC=DEF
11) Perciò la base AC sarà uguale alla base DF e l’angolo BAC sarà uguale
all’angolo EDF
Dunque se due triangoli hanno due angoli rispettivamente uguali a due angoli
ed il lato adiacente pure uguale, essi hanno anche i lati rimanenti uguali ai
lati rimanenti e l’angolo rimanente uguale all’angolo rimanente. –c.d.d.
prop.3
post. I
prop.4
ipotesi
nc.I
nc.V
ipotesi
prop.4
Proposizione 26 -b) (4° Criterio di uguaglianza dei triangoli)
b) Consideriamo ora il caso in cui siano uguali i lati opposti agli angoli
uguali, cioè sia AB=DE
Dico che anche AC sarà uguale a DF e anche BC=EF e infine, che anche
l’angolo BAC sarà uguale all’angolo EDF, infatti.
1) Se BC è disuguale da EF, uno dei due è maggiore: sia maggiore BC
- Allora prendi su BC un segmento BG=EF
- Unisci A con G
2) Considera i triangoli ABG e DEF; essi hanno due lati e l’angolo fra essi
compreso rispettivamente uguali:
a) AB=DE per ipotesi
b) ^ABC = ^DEF per ipotesi
c) BG=EF per costruzione
3) Perciò sarà AG=DF, ^BAG = ^EDF, e l’angolo AGB sarà uguale
all’angolo DFE
4) Ma pure l’angolo ACB è uguale all’angolo DFE
5) Quindi l’angolo AGB sarebbe uguale all’angolo ACB
6) Perciò, nel triangolo AGC, l’angolo esterno AGB sarebbe uguale
all’angolo interno ed opposto ACB, ma ciò è impossibile perchè l’angolo
esterno è maggiore dell’angolo interno ed opposto
7) Perciò BC non è disuguale rispetto a EF, quindi è uguale
8) Ma se BC=EF i triangoli ABC e DEF hanno due lati e l’angolo fra essi
compreso rispettivamente uguali:
a) AB=DE per ipotesi
b) BC=EF per il passo 7
c) ^ABC = ^DEF per ipotesi
11) Quindi anche AC=DF e ^BAC = ^EDF
Dunque se due triangoli hanno due angoli rispettivamente uguali a due
angoli ed un lato uguale a un lato, o quello adiacente agli angoli uguali o
quello opposto ad uno degli angoli uguali, essi avranno anche i lati
rimanenti rispettivamente uguali ai lati rimanenti e l’angolo rimanente
uguale all’angolo rimanente. –c.d.d.
Applica 3, 4, 16
E’ applicata in 34
prop.3 e
post. I
prop.4
ipotesi
nc.I
prop.16
prop.4
Proposizione 27 (Teorema diretto sulle parallele)
Se una retta che venga a cadere su altre due rette, forma gli
angoli alterni uguali fra loro, le due rette saranno parallele.
Se due rette, tagliate da una trasversale, formano angoli
alterni interni uguali, esse sono parallele.
La retta EF, cadendo sulle rette AB e CD, formi gli angoli alterni
AEF ed EFD uguali fra loro.
Dico che la retta AB è parallela alla retta CD: AB//CD, infatti:
1) Se non lo fosse, le rette AB e CD, prolungate, si
incontrerebbero o dalla parte di A e C oppure dalla parte di
BeD
2) Si incontrino dalla parte di B e D e sia G il loro punto
d’incontro
3) Nel triangolo GEF l’angolo esterno AEF sarebbe uguale
all’angolo interno ed opposto EFG, il che è impossibile
4) Quindi le due rette, prolungate, non potranno incontrarsi
dalla parte di B e D
5) Similmente si potrà dimostrare che esse non possono
incontrarsi neanche dalla parte di A e C
6) Ma rette che non s’incontrano da nessuna delle due parti
sono parallele
7) Quindi AB è parallela a CD
Dunque, se una retta che venga a cadere su altre due rette,
forma gli angoli alterni uguali fra loro, le due rette saranno
parallele. –c.d.d.
Applica 16
E’ applicata in 28, 30, 31, 33
prop.16
def. XXIII
Proposizione 28 (Teorema diretto sulle parallele)
Se una retta che cada su due rette forma l’angolo esterno uguale
all’angolo interno ed opposto e che è dalla stessa parte, oppure
angoli interni, dalla stessa parte, la cui somma sia uguale a due retti,
le rette saranno parallele fra loro.
Se due rette, tagliate da una trasversale, formano angoli
corrispondenti uguali oppure angoli coniugati supplementari,
esse sono parallele (Criterio di parallelismo)
Sia EF la retta che cade sulle rette AB e CD.
-Chiama con α, β, γ, δ, rispettivamente gli angoli EGB, EHD, AGF,
BGF
Siano uguali gli angoli corrispondenti α e β:
α=β
(fig. 1)
Dico che le rette AB e CD sono parallele fra loro, infatti:
1) Gli angoli α e γ sono uguali perché opposti al vertice: α = γ
2) Ma è anche α = β per ipotesi, quindi
β=γ
3) Gli angoli alterni uguali, perciò AB è parallela a CD
Siano supplementari gli angoli coniugati δ e β:
δ+β = due retti
(fig. 2)
4) Ma anche
δ + γ = due retti
5) Perciò
δ+β= δ+γ
6) E, sottraendo δ avremo : β = γ
7) Gli alterni uguali, perciò la retta AB è parallela alla retta CD
Dunque, se una retta che cada su due rette forma l’angolo
esterno uguale all’angolo interno ed opposto e che è dalla stessa
parte, oppure angoli interni, dalla stessa parte, la cui somma sia
uguale a due retti, le rette saranno parallele fra loro. –c.d.d.
Applica 13, 15, 27
E’ applicata nei Libri successivi
ipotesi
prop.15
nc. I
prop.27
ipotesi
prop.13
nc. I
nc. III
prop.27
Proposizione 29 (Teorema inverso sulle parallele)
Una retta che cada su due rette parallele, forma gli angoli alterni uguali
fra loro, l’angolo esterno uguale all’angolo interno ed opposto e angoli
interni dalla stessa parte la cui somma è uguale a due retti.
Due rette parallele, tagliate da una trasversale, formano angoli alterni
uguali, corrispondenti uguali e coniugati supplementari.
Siano AB e CD parallele e sia EF una loro trasversale.
-Chiama con α,β,γ,δ, rispettivamente gli angoli EGB, EHD, AGF, BGF
Dico che:
a) gli angoli alterni β e γ sono fra loro uguali,
b) gli angoli corrispondenti α e β sono fra loro uguali,
c) gli angoli coniugati β e δ hanno somma uguale a due angoli
retti, infatti:
1) Se γ fosse diverso da β uno dei due sarebbe maggiore
2) Sia maggiore γ: γ > β
3) Aggiungiamo δ ad entrambi: dunque γ+ δ > β+ δ
4) Ma γ+ δ = due retti
5) Quindi β+ δ è minore di due retti
6) Ma rette che vengano prolungate illimitatamente a partire da
angoli la cui somma sia minore di due retti, si incontrano
7) Quindi AB e CD si incontreranno
8) Ma non s’incontrano, invece, poiché per ipotesi sono parallele
9) Perciò l’angolo γ non è disuguale rispetto all’angolo β
10)
Perciò l’angolo γ deve essere uguale all’angolo β : γ = β
11)
Ma
γ=α
12)
Perciò anche
α=β
13)
Dunque
γ=β
14)
Aggiungiamo δ ad entrambi gli angoli: γ+ δ = β+ δ
15)
E poiché γ+ δ = due retti
16)
Anche β+ δ = due retti
Dunque, una retta che cada su due rette parallele, forma angoli
alterni uguali, corrispondenti uguali e coniugati supplementari. –
c.d.d.
Applica 13, 15 e Postulato V
E’ applicata in 30, 32, 33, 34, 35, 44, 45, 46
nc. II
prop.13
post. V
prop.15
nc. I
passo 10
nc. II
prop. 13
nc. I
Proposizione 30 (Proprietà transitiva del parallelismo)
Rette parallele ad una stessa retta sono parallele fra loro.
Siano AB e CD due rette, entrambe parallele alla retta EF.
Dico che anche la retta AB è parallela alla retta CD.
-Infatti, sia GK una trasversale che incontra AB in G, EF in H e CD in K.
-Chiamiamo con α, β, γ, rispettivamente gli angoli AGK, GHF, HKD.
1) Dunque AB è parallela ad EF e gli angoli α e β sono alterni quindi
sarà α=β
2) Ma anche CD è parallela ad EF e gli angoli γ e β sono corrispondenti,
quindi sarà anche γ=β
3) Dunque, α=β e γ=β
4) Quindi α= γ
5) Ma α e γ sono angoli alterni delle rette AB e CD
6) Pertanto sarà AB parallela a CD
Dunque, rette parallele ad una stessa retta sono uguali fra loro. –c.d.d.
Applica 27 e 29
E’ applicata in 45, 47
Corollario: Data una retta r ed un punto P non appartenente alla
retta, per P si può condurre una sola parallela alla retta data.
Siano r la retta data e P il punto dato.
1) Se per P passassero due distinte rette, s e t, entrambe parallele ad r,
esse sarebbero parallele fra loro.
2) Ma ciò è assurdo perché se esse si incontrano in un punto, (P), non
sono parallele.
Dunque, per un punto esterno ad una retta data si può condurre una sola
parallela ad essa. –c.d.d.
prop. 29
prop. 29
passi 1 e 2
nc.I
prop. 27
prop. 30
def. XXIII
Proposizione 31 (Costruire la parallela ad una retta data)
Condurre per un punto dato una linea retta parallela ad una retta
data.
Costruire la parallela ad una retta data, passante per un punto
dato
Siano A il punto dato e BC la retta data.
Si deve dunque condurre per A una retta parallela alla retta BC.
- Prendi un punto D su BC
- Unisci D con A
- Sulla retta DA, nel suo punto A, costruisci un angolo DAE
uguale all’angolo ADC
- Prolunga EA in AF
Dico che la retta EAF è parallela alla retta BC, infatti:
1) La retta AD, cadendo sulle rette BC ed EF, ha formato gli
angoli alterni ADC e DAE uguali fra loro
2) Quindi le rette EAF e BC sono parallele fra loro
Dunque per il punto dato A è stata condotta la retta EAF
parallela alla retta data BC. –c.d.f.
Applica 23, 27
E’ applicata in 32, 37, 38, 39, 40, 42, 44, 46, 47
post. I
prop.23
post.II
prop.27
Proposizione 32 (Teorema dell’angolo esterno)
In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è
uguale alla somma dei due angoli interni ed opposti, e la somma
degli angoli interni del triangolo è uguale a due angoli retti.
L’angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma dei due
angoli interni non adiacenti ad esso. La somma degli angoli
interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto.
Sia ABC un triangolo.
- Prolunga BC, dalla parte di C, fino a un punto D
- Per il punto C conduci la parallela CE alla retta AB
- Chiama con α, β, γ, δ, ε rispettivamente gli angoli BAC,
ABC, ACE, ECD, ACB.
Dico che l’angolo esterno ACD è uguale alla somma dei due
angoli interni ed opposti, α e β , e che la somma dei tre angoli
interni, α, β ed ε, è uguale a due angoli retti, infatti:
1) Dunque AB è parallela a CE e su esse cade la retta AC
2) Perciò gli alterni α e γ sono uguali fra loro :
α=γ
3) Di nuovo, AB è parallela a CE e su esse cade la retta BD
4) Perciò i corrispondenti β e δ sono uguali fra loro: β = δ
5) Ma somme di cose uguali sono uguali, dunque le somme
α+β e γ+δ sono uguali fra loro:
α+β = γ+δ
6) Aggiungendo ad entrambe l’angolo ε:
α+β+ε = γ+δ+ε
7) Ma γ+δ+ε è uguale a due retti
8) Perciò anche α+β+ε è uguale a due retti
Dunque in ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo
esterno è uguale alla somma dei due angoli interni ed opposti,
e la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a due
angoli retti. –c.d.d.
Applica 13, 29, 31
E’ applicata nei Libri successivi
post.II
prop.31
costruzione
prop.29
prop.29
nc.II
nc.II
prop.13
nc.I
Proposizione 33 (Criterio di riconoscimento dei parallelogrammi)
Rette che congiungono dalla stessa parte rette uguali e parallele,
sono anch’esse uguali e parallele.
Se un quadrilatero ha due lati opposti uguali e paralleli, esso è
un parallelogramma.
Siano AB e CD rette uguali e parallele e siano AC e BD due rette
che uniscono A con C e B con D.
Dico che anche le rette AC e BD sono uguali e parallele, infatti:
- Unisci B con C
- Chiama con α, β, γ, δ, ε, θ, rispettivamente gli angoli BCD,
ABC, CBD, ACB, CDB, CAB .
1) Poiché AB//CD e su esse cade BC, gli angoli alterni α e β
sono uguali fra loro
α=β
2) I triangoli ABC e DCB hanno due lati e l’angolo fra essi
compreso rispettivamente uguali:
a) AB=CD (ipotesi)
b) BC in comune
c) α = β (passo 1)
3) Perciò la base AC è uguale alla base BD, e gli angoli
rimanenti del 1° triangolo, opposti ai lati uguali saranno
uguali ai rispettivi angoli rimanenti del 2°, γ=δ, ε=θ
4) Dunque γ=δ ; perciò la retta BC, venendo a cadere sulle rette
AC e BD ha formato angoli alterni uguali fra loro
5) Ma allora AC//BD
6) Ma avevamo pure dimostrato che AC=BD
Dunque, rette che congiungono dalla stessa parte rette uguali e
parallele sono pure uguali e parallele. – c.d.d.
Applica 4, 27 29
E’ applicata in 36 e 45
post.I
prop.29
prop.4
prop.27
passo 3
Proposizione 34 (Proprietà dei parallelogrammi)
Negli spazi compresi fra rette due a due parallele i lati e gli angoli opposti sono uguali fra
loro, e il diametro li divide in due parti uguali.
I parallelogrammi hanno lati e angoli opposti uguali e una diagonale li divide in due
triangoli uguali.
Definizione: Si chiama parallelogramma un quadrilatero con i lati opposti paralleli.
Sia ABCD un parallelogramma e AC una sua diagonale.
Dico che i lati e gli angoli opposti sono uguali fra loro e che la diagonale AC lo divide in due
parti uguali, infatti:
- Chiama con α, α’, β, β’, γ, γ’, rispettivamente gli angoli CAD, ACB, ACD, CAB,
ADC, ABC.
1) Dunque AD//BC e AC cade su esse
2) Perciò gli alterni α e α’ sono uguali
α=α’
3) Anche AB//DC e AC cade su esse
4) Perciò gli alterni β e β’ sono uguali
β=β’
5) Considera i triangoli ABC e ADC; essi hanno due angoli e un lato (quello fra essi
compreso) rispettivamente uguali :
a) α=α’ (passo 2)
b) β=β’ (passo 4)
c) AC in comune
6) Quindi essi avranno anche l’angolo rimanente uguale all’angolo rimanente, e i lati
rimanenti rispettivamente uguali ai lati rimanenti dunque γ=γ’, AB=DC, AD=BC
7) Ma abbiamo detto che
α=α’ e β=β’
8) Perciò sarà pure
α+β’ = α’+β
9) Perciò i parallelogrammi hanno i lati e gli angoli opposti uguali.
Mostriamo ora che la diagonale li divide in parti uguali:
10) Considera ancora i triangoli ABC e ADC; essi hanno due lati e l’angolo fra essi
compreso rispettivamente uguali :
a) AB=CD (passo 6)
b) AC in comune
c) β=β’
(passo 4)
11) Pertanto essi sono uguali (equivalenti)
12) Quindi la diagonale AC divide il parallelogramma in parti uguali.
Dunque, negli spazi compresi fra rette due a due parallele i lati e gli angoli opposti sono
uguali fra loro, e il diametro li divide in due parti uguali. –c.d.d.
Applica 4, 26, 29
E’ applicata in 35, 37, 38, 41, 43, 45, 46
prop.29
prop.29
prop.26a
passi 2 e 4
nc. II
prop. 4
Proposizione 35 (Parallelogrammi equivalenti)
Parallelogrammi che siano sulla stessa base e fra le stesse rette
parallele sono uguali fra loro.
Parallelogrammi che hanno stessa base e stessa altezza sono
equivalenti.
Siano ABCD e EBCF due parallelogrammi aventi in comune la
base BC e posti fra le stesse rette parallele AF e BC.
Dico che ABCD è equivalente a EBCF, infatti:
1) AD=BC
2) EF=BC
3) Quindi AD=EF
4) Aggiungendo DE ad entrambi avremo AD+DE = EF+DE
5) Ma AD+DE = AE e EF+DE = DF, dunque AE=DF
6) Considera ora i triangoli ABE e DCF; essi hanno due lati e
l’angolo fra essi compreso rispettivamente uguali:
a) AB=DC (prop. 34)
b) AE=DF (passo 5)
c) ^BAD=^CDE (prop. 29) (la retta AF cade sulle
parallele AB, DC e forma angoli corrispondenti uguali
fra loro)
7) Pertanto essi sono uguali (equivalenti)
8) Togliamo ad entrambi i triangoli il triangolo DGE
9) Dunque i quadrilateri ABGD e EGCF sono equivalenti
10)
Aggiungiamo ad entrambi il triangolo GBC
11)
Dunque il parallelogramma ADCB sarà equivalente al
parallelogramma EFCB
Dunque, parallelogrammi posti sulla stessa base e fra le stesse
rette parallele sono uguali fra loro. c.d.d.
Applica 4, 29, 34
E’ applicata in 36, 37
prop.34
prop.34
nc. I
nc. 2
prop. 4
nc.III
nc. II
Proposizione 36 (Parallelogrammi equivalenti)
Parallelogrammi che siano posti su basi uguali e fra le stesse
parallele sono uguali fra loro.
Parallelogrammi di ugual base e stessa altezza sono equivalenti
Siano ABCD e EFGH parallelogrammi posti sulle basi uguali BC e
FG e fra le stesse parallele AH e BG.
Dico che ABCD è equivalente a EFGH, infatti:
- Unisci B con E e C con H
1) Le rette BC e FG sono uguali
BC=FG
2) Ma anche FG e EH sono uguali
FG=EH
3) Quindi BC sarà uguale a EH
BC=EH
4) Ma BC ed EH sono pure parallele
BC//EH
5) Quindi EBCH è un parallelogramma
6) Inoltre EBCH è equivalente a ABCD
7) Ma EBCH è equivalente anche a EFGH
8) Quindi ABCD è equivalente a EFGH
Dunque, parallelogrammi che siano posti su basi uguali e fra le
stesse parallele sono uguali fra loro. -c.d.d.
Applica 33, 35
E’ applicata in 38
post.I
ipotesi
prop.34
nc. I
ipotesi
prop.33
prop.35
prop.35
nc. I
Proposizione 37 (Triangoli equivalenti)
Triangoli che siano posti sulla stessa base e fra le stesse parallele
sono uguali fra loro.
Triangoli che hanno stessa base e stessa altezza sono equivalenti
Siano ABC e DBC i triangoli posti sulla stessa base BC e fra le
stesse rette parallele AD e BC.
Dico che il triangolo ABC è equivalente al triangolo DBC, infatti:
- Da B conduci la parallela ad AC, sia BE//AC
- Da C conduci la parallela a BD, sia CF//BD
1) AEBC e DBCF sono parallelogrammi e sono posti sulla
stessa base BC e fra le stesse parallele EF e BC
2) Quindi sono equivalenti
3) Ma il triangolo ABC è metà del parallelogramma AEBC
4) E il triangolo DBC è metà del parallelogramma DBCF
5) Quindi il triangolo ABC è equivalente al triangolo DBC,
poiché metà di cose uguali sono uguali fra loro
Dunque, se due triangoli sono posti sulla stessa base e fra le
stesse parallele, essi sono uguali fra loro. -c.d.d.
Applica 31, 34, 35
E’ applicata in 39, 41
prop.31
prop.31
ipotesi
prop.35
prop.34
prop.34
Proposizione 38 (Triangoli equivalenti)
Triangoli che siano posti su basi uguali e fra le stesse parallele
sono uguali fra loro.
Triangoli di ugual base e stessa altezza sono equivalenti
Siano ABC e DEF i triangoli posti sulle basi uguali BC ed EF e fra
le stesse parallele, BF e AD.
Dico che il triangolo ABC è equivalente al triangolo DEF, infatti:
- Prolunga AD da ambedue i lati fino a M e N
- Per B conduci la parallela ad AC
sia BG//AC
- Per F conduci la parallela a DE
sia FH//DE
1) I due quadrilateri AGBC e DEFH sono parallelogrammi e
sono posti su basi uguali e fra le stesse parallele
2) Quindi sono equivalenti
3) Ma la diagonale divide il parallelogramma in due parti uguali
4) Perciò ABC è metà di AGBC e DEF è metà di DEFH
5) Perciò ABC è equivalente DEF perchè metà di cose uguali
sono uguali fra loro
Dunque triangoli che siano posti su basi uguali e fra le stesse
parallele sono uguali fra loro. - c.d.d.
Applica 31, 34, 36
E’ applicata in 40, 42
post. II
prop.31
prop.31
costr.
prop.36
prop.34
Proposizione 39 ( Inversa della proposizione 37)
Triangoli uguali che siano posti sulla stessa base e dalla stessa
parte, sono compresi fra le stesse parallele.
Se due triangoli sono equivalenti e hanno la stessa base, allora
hanno anche la stessa altezza.
Siano ABC e DBC due triangoli equivalenti, posti sulla stessa
base BC e dalla stessa parte.
- Uniamo A con D
Dico che la retta AD è parallela alla base BC, AD//BC, infatti:
- Se AD non è parallela a BC, allora tracciamo la parallela a
BC passante per A
sia AE//BC
- Uniamo E con C
1) Il triangolo EBC è equivalente al triangolo ABC
2) Ma ABC è equivalente a DBC
3) Perciò anche EBC è equivalente a DBC
4) Cioè il minore al maggiore, ma ciò è impossibile
Dunque, triangoli uguali che siano posti sulla stessa base e
dalla stessa parte, sono compresi fra le stesse parallele. –c.d.d.
Applica 31, 37
E’ applicata nei Libri successivi
post. I
prop. 31
post. I
prop. 37
ipotesi
nc. I
nc. V
Proposizione 40 (Inversa della proposizione 38)
Triangoli uguali che siano posti su basi uguali e dalla stessa parte
sono anche compresi fra le stesse parallele.
Se due triangoli sono equivalenti e hanno la base uguale,
hanno anche la stessa altezza.
Siano ABC e DCE triangoli equivalenti, posti sulle basi uguali BC
e CE e dalla stessa parte.
Dico che essi sono anche compresi fra le stesse parallele.
- Uniamo A con D.
Dico che AD è parallela a BE, infatti:
- Se AD non è parallela a BE, allora tracciamo la parallela a
BE passante per A
sia AF//BE
- Uniamo F con E
1) Dunque il triangolo ABC è equivalente al triangolo FCE
2) Ma ABC è equivalente a DCE
3) Quindi anche FCE è equivalente a DCE
4) Il minore al maggiore, il che è impossibile
5) Quindi AF non è parallela a BE
6) E allo stesso modo nessun’altra retta lo sarà, eccetto AD
7) Perciò è AD//BE
Dunque, triangoli uguali che siano posti su basi uguali e dalla
stessa parte, sono anche compresi fra le stesse parallele. -c.d.d.
Applica 31, 38
Non è mai applicata
prop. 31
post. I
prop. 38
ipotesi
nc. I
nc. V
Proposizione 41 (Relazione fra parallelogramma e triangolo)
Se un parallelogramma ha la stessa base di un triangolo ed è
compreso fra le stesse parallele da cui è compreso il triangolo, il
parallelogramma è doppio del triangolo.
Ogni triangolo è la metà di un parallelogramma avente stessa
base e stessa altezza.
Siano ABCD e EBC un parallelogramma e un triangolo aventi la
stessa base BC, e compresi fra le stesse parallele BC e AE.
Dico che ABCD è doppio di EBC, infatti:
- Unisci A con C
post. I
1) Il triangolo ABC è equivalente al triangolo EBC
prop.37
2) Ma ABCD è doppio di ABC
prop.34
3) Quindi ABCD è doppio pure di EBC
Dunque, se un parallelogramma ha la stessa base di un
triangolo ed è compreso fra le stesse parallele da cui è
compreso il triangolo, esso è doppio del triangolo. –c.d.d.
Applica 34, 37
E’ applicata in 42, 47
Proposizione 42 (Costruire un parallelogramma equivalente …)
Costruire in un dato angolo rettilineo un parallelogramma uguale
ad un triangolo dato.
Costruire un parallelogramma con un angolo dato ed
equivalente ad un triangolo dato.
Siano ABC il triangolo dato e D l’angolo dato.
Si deve costruire un parallelogramma equivalente al triangolo
ABC ed avente un angolo uguale all’angolo D.
- Dividi BC per metà in E
- Unisci A con E
- Costruisci sulla retta EC, con vertice in E l’angolo CEF=D
- Traccia la parallela a EC passante per A
sia AF//EC
- Traccia la parallela a EF passante per C
sia CG//EF
Dico che FECG è il parallelogramma cercato, infatti:
1) FECG è un parallelogramma
2) Il triangolo ABE è equivalente al triangolo AEC
3) Quindi ABC è doppio di AEC
4) Ma anche FECG è doppio di AEC
5) Quindi FECG è equivalente ad ABC ed ha l’angolo FEC
uguale all’angolo dato D.
Dunque è stato costruito un parallelogramma uguale ad un
triangolo dato ed avente un angolo uguale a un angolo dato.
-c.d.f.
Applica 10, 23, 31, 38, 41
E’ applicata in 44, 45
prop.10
post. I
prop.23
prop.31
prop.31
costr.
prop.38
prop.41
nc.VII
costr.
Proposizione 43 (Teorema dello gnomone)
In ogni parallelogramma i complementi dei parallelogrammi posti
intorno al diametro sono uguali fra loro.
Se per un punto della diagonale di un parallelogramma si
conducono due rette, l’una parallela ad una coppia di lati, l’altra
parallela all’altra coppia di lati, si ottengono quattro
parallelogrammi, due dei quali sono equivalenti: quelli non
attraversati dalla diagonale.
Sia ABCD il parallelogramma dato.
Sia K un punto della diagonale AC.
Siano EF//AD e GH//AB
Dico che i parallelogrammi EBGK e HKFD sono equivalenti, infatti:
- Chiama con α, α’, β, β’, γ, δ rispettivamente i poligoni AEK,
AKH, KGC, KCF, EBGK, HKFD
1) ABC è equivalente ad ACD perché metà dello stesso
parallelogramma
α+β+γ=α’+β’+δ
2) AEK è equivalente ad AKH
α=α’
3) KGC è equivalente a KCF
β=β’
4) Dunque AEK+KGC è equivalente a AKH+KCF α+β=α’+β’
5) Sottraendo ad ABC la somma α+β e ad ACD la somma α’+β’ i
resti saranno uguali γ=δ
6) Dunque EBGK è equivalente a HKFD
Dunque, in ogni parallelogramma i complementi dei
parallelogrammi posti intorno alla diagonale sono uguali fra
loro. -c.d.d.
Applica 34
E’ applicata in 44
prop.34
prop.34
prop.34
nc.II
nc. III
Proposizione 44 (costruire un parallelogramma equivalente a un poligono, dato l’angolo)
Applicare ad una retta data e con un angolo rettilineo dato un parallelogramma uguale ad un
triangolo dato.
Costruire un parallelogramma equivalente ad un triangolo dato e che abbia base uguale
ad una base data e un angolo uguale ad un angolo dato.
Siano C il triangolo dato, D l’angolo dato e AB la base data. Si deve dunque costruire su AB un
parallelogramma che abbia un angolo uguale all’angolo D e sia equivalente al triangolo C
- Costruisci un parallelogramma FGBE con l’angolo EBG=D ed equivalente al triangolo
C e disponilo in modo che il lato BE, metà di QR, sia allineato con AB
- Prolunga FG
- Conduci per A la parallela a BG o a EF che incontra il prolungamento di FG in H
- Unisci H con B
1) Poiché la retta FH cade sulle parallele FE e HA la somma degli angoli EFH e FHA è
uguale a due retti
2) Perciò la somma degli angoli EFH e FHB è minore di due retti
3) Quindi HB e FE, se prolungate, si incontrano, sia K il loro punto d’incontro
- Prolunga HA e GB oltre A e B
- Da K conduci la parallela a EA o FH che incontra i prolungamenti di HA e GB
rispettivamente in L e in M
4) Quindi HLKF è un parallelogramma e HK una diagonale
5) Cosicché GHAB e EBMK sono parallelogrammi posti intorno alla diagonale
6) E i parallelogrammi FGBE e BALM sono i complementi
7) Perciò essi sono equivalenti
8) Ma FGBE è equivalente al triangolo C
9) Quindi anche BALM è equivalente al triangolo C
10) Inoltre l’angolo ABM è uguale all’angolo GBE
11) Ma è anche ^ GBE=D
12) Perciò anche ^ABM=D
Dunque è stato applicato ad una retta data e con un angolo rettilineo dato, un
parallelogramma equivalente ad un triangolo dato. –c.d.f.
Applica 15, 29, 30, 31, 42, 43
E’ applicata in 45.
prop.42
post. 2
prop.30,31
post. I
prop. 29
post. V
post. II
prop.30,31
costr.
costr.
costr.
prop. 43
costr.
nc. I
prop. 15
costr.
nc.I
Proposizione 45 (Costruire un parallelogramma equivalente a un poligono, dati angolo e lato)
Costruire un parallelogramma uguale ad una figura rettilinea data, in un dato angolo rettilineo.
Costruire un parallelogramma equivalente ad un poligono dato ed avente un angolo uguale
ad un angolo dato.
Sia ABCD il poligono dato ed E l’angolo dato. Si deve dunque costruire un parallelogramma
equivalente ad ABCD ed avente un angolo uguale all’angolo E.
- Unisci B con D
- Costruisci un angolo FKH uguale all’angolo E
- Costruisci il parallelogramma FKHG equivalente al triangolo ABD
- Costruisci sulla retta GH un parallelogramma equivalente al triangolo DBC e avente
l’angolo GHM=E
- Chiama con α, β, γ, δ, ε, rispettivamente gli angoli FKH, GHM, GHK, FGH, HGL
Dico che il parallelogramma FKML è equivalente al poligono ABCD, infatti:
1) α = E
2) β = E
3) Quindi α = β
4) Aggiungendo ad entrambi l’angolo γ, sarà α+γ = β+γ
5) Ma α+γ = due retti perché coniugati interni
6) Quindi pure la somma β+γ = due retti
7) Ma allora KH e HM sono allineati
8) Perciò anche la retta KM è parallela a FG
9) Allora GH cade sulle parallele KM e FG e gli angoli δ e β sono alterni, perciò δ = β
10) Aggiungendo ad entrambi l’angolo ε, sarà δ+ε = β+ε
11) Ma β+ε = due retti poiché GL//HM
12) Quindi anche la somma δ+ε = due retti
13) Perciò le rette FG e GL sono allineate
14) Dunque FK è parallela e uguale a GH
15) E per lo stesso motivo GH è parallela e uguale LM
16) Perciò FK=LM (nc. I) e FK//LM
17) Quindi FKML è un parallelogramma
18) E poiché FKHG ABD e GHML DBC
19) Sarà FKML ABCD
Dunque è stato costruito un parallelogramma equivalente ad un poligono dato e con un
angolo uguale ad un angolo dato. –c.d.f.
Applica 14, 29, 30, 33, 34, 42, 44
E’applicata nei libri successivi.
post.I
prop.23
prop.42
prop.44
costr.
costr.
nc.I
nc.II
prop.29
nc.I
prop.14
prop.29
nc.II
prop.29
nc.I
prop.14
prop.34
prop.34
prop.30
prop.33
costr.
nc.II
Proposizione 46 (Costruire un quadrato su un segmento dato)
Descrivere un quadrato su una retta data
Costruire un quadrato, dato il lato.
Sia AB la retta data. Si deve dunque costruire un quadrato di lato AB:
- Innalza da A la perpendicolare ad AB, sia AC
- Sulla retta AC, poni AD=AB
- Per D traccia la parallela ad AB, sia DE
- Per B traccia la parallela a AD, sia BE
Dico che il quadrilatero ABED è il quadrato cercato, infatti:
1) ABED è un parallelogramma
2) Perciò AB=DE e AD=BE
3) Ma AB=AD
4) Quindi le quattro rette AD, AB, BE, DE sono uguali fra loro
5) Dunque ABED è equilatero
Dico adesso che esso ha anche gli angoli retti, infatti:
6) AD cade sulle parallele AB e DE
7) Quindi la somma ^ADE+^DAB è uguale a due retti
8) Ma l’angolo DAB è retto
9) Perciò anche ADE è retto
10)
Ma i parallelogrammi hanno angoli opposti uguali fra loro
11)
Perciò anche gli angoli ABE e BED sono retti
12)
Quindi ADEB ha angoli retti
13)
Ma è anche equilatero
14)
Perciò è un quadrato ed è stato costruito sul segmento AB
Dunque è stato descritto un quadrato su una retta data. –c.d.f.
Applica 3, 11, 29, 31, 34
E applicata in 47
prop.11
prop.3
prop.31
prop.31
costr.
prop.34
costr.
nc.I
prop.29
costr.
nc.III
prop.34
passo 10
passo 5
def.XXII
Proposizione 47 (Teorema di Pitagora)
Nei triangoli rettangoli, il quadrato del lato opposto all’angolo retto
è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo
retto.
In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è
equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
Sia ABC un triangolo rettangolo con l’angolo BAC retto.
Dico che il quadrato di BC è uguale alla somma dei quadrati di AB e
AC, infatti:
- Costruisci i quadrati su BC, AB e AC, siano rispettivamente
BDEC, BAGF, ACKH
- Per A conduci la parallela a BD e CE, che incontra BC in M e
DE in L (fig.2)
- Unisci A con D e F con C (fig.1)
1) Poiché BAC è retto e BAG pure, e sono da parte opposta
rispetto ad AB, il segmento GA è in linea retta con AC
2) Per la stessa ragione AH è in linea retta con AB
Mostriamo ora che i triangoli ABD e FBC sono equivalenti (fig.1)
3) L’ angolo FBA è uguale all’angolo DBC perché retti
4) Aggiungendo ad entrambi l’angolo ABC, sarà
FBA+ABC = DBC+ABC
5) Dunque ^FBC=^DBA
6) Inoltre FB=BA e BC=BD
7) Perciò i triangoli FBC e ABD sono uguali (equivalenti)
prop.46
prop.31,30
post. I
prop.14
post.IV
nc.II
def.XXII
prop.4
Mostriamo che il rettangolo BDLM e il quadrato BAGF sono equivalenti
8) Il parallelogramma BDLM è doppio del triangolo ABD poiché
entrambi hanno la stessa base BD e sono compresi fra le stesse
parallele BD e AL (fig.2)
9) Invece il quadrato BAGF è doppio del triangolo FBC, poiché
entrambi hanno la stessa base FB e sono compresi fra le stesse
parallele FB e GC
10)
Ma il triangolo FBC è equivalente al triangolo ABD
11)
Perciò BAGF BDLM perché doppi di cose uguali sono
uguali
12)
Similmente, tracciate le congiungenti AE e BK, si potrà
dimostrare che il rettangolo MLEC è equivalente al quadrato
ACKH
13)
Quindi tutto quanto il quadrato BDEC sarà uguale alla
somma dei quadrati ACKH e BAGF
14)
Ma BDEC è descritto su BC, BAGF su BA e ACKH su AC
15)
Perciò il quadrato di BC è uguale (equivalente) alla somma
dei quadrati di AB e AC
Dunque, nei triangoli rettangoli, il quadrato del lato opposto
all’angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati che
comprendono l’angolo retto. –c.d.d.
Applica 4, 14, 31, 41, 46
E’ applicata in 48
prop.41
prop.41
passo 7
nc.II
Proposizione 48 (Inversa del Teorema di Pitagora)
Se in un triangolo il quadrato di uno dei lati è uguale alla somma dei
quadrati dei rimanenti due lati, l’angolo compreso fra i rimanenti due lati
del triangolo è un angolo retto.
Se in un triangolo la somma dei quadrati di due lati è uguale al
quadrato del terzo lato, il triangolo è rettangolo.
Sia ABC un triangolo tale che il quadrato di BC è uguale alla somma dei
quadrati dei lati AB e AC.
Dico che l’angolo BAC è retto, infatti:
- Innalza da A la perpendicolare ad AC, sia AE
- Sulla retta AE poni AD=AB
- Unisci D con C
1) Poiché AD=AB, anche il quadrato di AD è uguale al quadrato di AB
2) Aggiungi in comune il quadrato di AC
3) Così la somma dei quadrati di AB e AC è uguale alla somma dei
quadrati di AD e AC
4) Ma il triangolo DAC è rettangolo
5) Perciò la somma dei quadrati di AD e AC è uguale al quadrato di DC
6) E la somma dei quadrati di AB e di AC è uguale al quadrato di BC
7) Quindi il quadrato di DC è uguale al quadrato di BC
8) Perciò anche DC=BC
9) Ma allora i triangoli DAC e ABC hanno i tre lati uguali
10)
Perciò L’angolo DAC è uguale all’angolo BAC
11)
Ma l’angolo DAC è retto
12)
Perciò pure BAC è retto
Dunque, se in un triangolo il quadrato di uno dei lati è uguale alla
somma dei quadrati dei rimanenti lati, l’angolo compreso fra i
rimanenti lati è retto. –c.d.d.
Applica 8, 11, 47
E’ applicata nei libri successivi
prop.11
prop.III
post. I
costr.
nc.II
costr.
prop.47
ipotesi
nc.I
prop.8
costr.
nc.I
Libro Primo
Definizioni
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
IX.
X.
XI.
XII.
XIII.
XIV.
XV.
XVI.
XVII.
XVIII.
XIX.
XX.
XXI.
XXII.
XXIII.
Punto è ciò che non ha parti.
Linea è lunghezza senza larghezza.
Estremi di una linea sono punti.
Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa.
Superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza.
Estremi di una superficie sono linee.
Superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette su di essa.
Angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee su un piano, le quali si incontrino
fra loro e non giacciano in linea retta.
Quando le linee che comprendono l’angolo sono rette, l’angolo si chiama rettilineo.
Quando una retta innalzata su una (altra) retta forma gli angoli adiacenti uguali fra loro,
ciascuno dei due angoli uguali è retto e la retta innalzata si chiama perpendicolare a
quella su cui è innalzata.
Angolo ottuso è quello maggiore di un retto.
Angolo acuto è quello minore di un retto.
Termine è ciò che è estremo di qualche cosa.
Figura è ciò che è compreso da uno o più termini.
Cerchio è una figura piana compresa da un’unica linea (che si chiama circonferenza)
tale che tutte le rette, le quali cadano sulla (stessa) linea, (cioè sulla circonferenza del
cerchio), a partire da un punto fra quelli che giacciono internamente alla figura, sono
uguali fra loro.
Quel punto si chiama centro del cerchio.
Diametro del cerchio è una retta condotta per il centro e terminata da ambedue le parti
dalla circonferenza del cerchio, la quale retta taglia anche il cerchio per metà.
Semicerchio è la figura compresa dal diametro e dalla circonferenza da esso tagliata. E
centro del semicerchio è quello stesso che è anche centro del cerchio.
Figure rettilinee sono quelle comprese da rette, vale a dire: figure trilatere quelle
comprese da tre rette, quadrilatere quelle comprese da quattro, e multilatere quelle
comprese da più di quattro rette.
Delle figure trilatere è triangolo equilatero quello che ha i tre lati uguali, isoscele quello
che ha soltanto due lati uguali, e scaleno quello che ha i tre lati disuguali.
Infine, delle figure trilatere, è triangolo rettangolo quello che ha un angolo retto,
ottusangolo quello che ha un angolo ottuso, ed acutangolo quello che ha i tre angoli
acuti.
Delle figure quadrilatere, è quadrato quella che è insieme equilatera ed ha gli angoli
retti, rettangolo quella che ha gli angoli retti ma non è equilatera, rombo quella che è
equilatera ma non ha gli angoli retti, romboide quella che ha i lati e gli angoli opposti
uguali fra loro, ma non è equilatera né ha gli angoli retti. E le figure quadrilatere oltre a
queste si chiamano trapezi.
Parallele sono quelle rette che, essendo nello stesso piano e venendo prolungate
illimitatamente dall’una e dall’altra parte, non si incontrano fra loro da nessuna delle due
parti.
Postulati (post.)
I.
II.
III.
IV.
V.
Risulti postulato:
Che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro
punto
E che una retta terminata (un segmento) si possa prolungare continuamente
in linea retta
E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro ed ogni distanza
( raggio)
E che tutti gli angoli retti siano uguali fra loro
E che se una retta, venendo a cadere su due rette forma gli angoli interni e
dalla stessa parte minori di due retti (tali che la loro somma sia minore di
due retti), le due rette prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da
quella parte in cui sono gli angoli minori di due retti (la cui somma è
minore di due retti)
Nozioni comuni (nc.)
I.
II.
III.
IV.
V.
Cose che sono uguali ad una stessa sono uguali anche fra loro
E se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali
E se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti sono uguali
E cose che coincidono fra loro sono fra loro uguali
Ed il tutto è maggiore della parte
L’uguaglianza per Euclide è sempre riferita a grandezze omogenee:
linee uguali a linee
angoli uguali ad angoli
poligoni uguali a poligoni (aree uguali o equivalenti)