La serie di Fibonacci nel microcosmo
(effetto Hall quantistico, cariche frazionarie ,
masse dei quark, numeri quantici, stabilità nucleare)
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro
congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa.
Abstract
In this paper we show some connections between some sub-atomic phenomena
and the aurea section.
Riassunto
In questo lavoro mostriamo le connessioni tra alcuni fenomeni sub-atomici
(effetto hall quantistico e cariche frazionarie, masse dei quark, numeri quantici,
stabilità nucleare e atomici (stabilità nucleare)) e la sezione aurea ed i numeri
di Fibonacci.
Nei tre fenomeni indicati nel titolo è presente il
coinvolgimento della serie di Fibonacci e del numero aureo
Φ = 1, 618, con sue potenze o radici, oltre che direttamente.
Cominciamo con l’effetto Hall quantistico, connesso a
1
resistenza elettrica, superconduttori, ecc.) ma anche alla carica
frazionaria, e/3 o e/5, dove 3 e 5 sono numeri primi, ma questo
aspetto deve ancora essere meglio definito.
Esso, infatti, potrebbe essere collegato alla congettura di
Goldbach per n = 10 , come somma dei numeri primi 3 + 7, e 5
+ 5 con 7 e 5 la carica rimanente come 7 decimi e 5 decimi
dell’elettrone, ponendo questa come 10 decimi = 1 = e.
Nelle cariche frazionarie, sono i decimi minori ad essere
interessati ( 3 e 5, ma non 7, maggiore di 5), e questo potrebbe
essere interessante. Per esempio, dal Rif. 17, riportiamo il
seguente brano, con riferimenti ad altre cariche frazionarie,
connesse al numero pari 100 (= carica dell’elettrone divisa in
100 centesimi):
“…Oltre che alle frequenze delle vibrazioni delle stringhe, alla stabilità nucleare, ai
cicli biologici di due specie di cicale (13 e 17 anni), tali numeri primi naturali
potrebbero essere collegati anche alle cariche elettriche frazionarie 1/5, 1/11, 1/13 e
1/53 (sebbene 53 non sia numero primo naturale ma numero primo normale, ma
molto vicino a 47 che è primo naturale, e il coefficiente 9 di 53=6*9-1 è contiguo a 8
di 47 = 6*8-1, con 8 numero di Fibonacci) .
Così infatti si legge nell’articolo “Superstringhe” della rivista Focus: …“La presenza
di dimensioni nascoste, consente alle stringhe di vibrare in un’infinità di modi diversi,
molto più di quanto si possa immaginare. La teoria delle stringhe, quindi, consente
2
non solo di descrivere le particelle note come l’elettrone o i quark, ma anche di
prevederne di nuove.
Alcune peserebbero di più di un atomo, altre avrebbero carica frazionaria, pari a 1/5,
1/11, 1/13 o 1/53 di quella dell’elettrone…”
Notiamo che tali denominatori 3, 5, 11 e 13, 53 costeggiano i
più piccoli numeri di Fibonacci 3, 5, 8, 13, 55 saltando
soltanto 1, 2 iniziali , e 21 e 34 compresi tra 13 e 55. Un semplice caso?
Rivediamo ora la congettura di Goldbach per N pari = 100 anziché 10,
e vedremo che i numeri primi coinvolti ora sono complementari a 100,
e 100 meno i centesimi della carica frazionaria a denominatore, sono
anch’essi numeri primi, tranne 87 che è un semiprimo,cioè prodotto
dei due numeri primi 3 e 29:
TABELLA 1
Centesimo di carica
frazionaria :
1/11, 1/13, 1/53
11 numero primo
13 numero primo
53 numero primo
100 - centesimi
Somma 100 come da
congettura di Goldbach
89 numero primo
87 = 3*29 non numero
primo
43 numero primo
100
100
100
Quindi abbiamo due coppie di Goldbach sulle tre possibili, ma
di sicuro 11, 13 e 53 sono numeri primi, come pure 3 e 5 delle
precedenti cariche frazionarie con denominatore minore di 5
Forse magari la congettura di Goldbach non c’entra, ma di
3
sicuro c’entrano i numeri primi, e soprattutto il numero 3,
poiché 1/3 e 2/3 sono, com’è noto le cariche frazionarie,
positive e negative, dei quark (dalla voce “Quark
(particella)” di Wikipedia), in modo che 3/3 o 1/3 +2/3 = 1 = e
carica dell’elettrone, e qui passiamo anche alle masse dei
quark:
Nome
Carica Massa stimata (MeV/c2)
Up (u)
+2/3
da 1,5 a 3,3 1[13]
Down (d)
−1/3
da 3,5 a 6 1[13]
Strange / Sideways (s)
−1/3
da 80 a 130
Charm / Centre (c)
+2/3
da 1 150 a 1 350
Bottom / Beauty (b)
−1/3
da 4 100 a 4 400
Top / Truth (t)
+2/3
173 100 ± 1 300
L’evidenza in rosso è nostra.
E a proposito delle masse delle particelle, notiamo che i loro
rapporti tra un valore e il precedente “costeggiano”da vicino
4
la serie di Fibonacci, a ulteriore riprova che i numeri (in
questo caso quelli di Fibonacci, vedi Rif. 2 e 4) sono molto
importanti in fisica, in questo caso sub-atomica:
TABELLA 2
Valori
minimi
massa
stimata
dei
quark
1,5
3,5/1,5=
2,33
3,5
22,85
80
14,37
1 150
3,56
≈ numeri
di
Fibonacci
o loro
medie
≈ numeri
di
Fibonacci
o loro
medie
Valori
Rapporti
massimi successivi
massa
stimata
dei quark
3
3,3
6/3,3=1,81 2
21
13
6
130
21,6
10,38
3
1 350
3,25
5
21
10,5
media tra
8 e 13
3
4 100
42,21
44,5
4 400
media tra
34 e 55
173 100 1 300=
171 700
173100+1300
=172600
39,34
34
La corrispondenza approssimativa è molto evidente.
E cosi pure per i rapporti orizzontali tra la stima massima e
quella minima, molto vicini o connessi al numero 1,618 =
numero aureo.
TABELLA 3
Stima massima M
3,3
6
130
1 350
Stima minima m
1,5
3,5
80
1 150
Rapporto M/m
2,2
1,71
1,625
1,17
≈ 1,618
2,6 = 1,618^2
≈ 1,618
≈ 1,618
≈1,22
media tra 1,27=
√1,618 e
1,12 =√1,27=
4
√1,618
4400
4100
1,073
173 100+1 300
=174 400
173100 - 1300 =
171 800
1,01513
8
≈1,061=√1,618
≈ 1,01515=
32
√1.618
Anche qui, l’evidenza della connessione dei rapporti
6
orizzontali tra stime massime e stime minime con il numero
aureo 1,618, il suo quadrato e le sue radici quadrate è
fortissima, assolutamente non imputabile al caso.
E quindi a sostegno della presenza del numero aureo nei
numeri espressione delle probabili masse dei quark ,
considerando le stime massime e quelle minime delle masse
dei quark.
Vediamo ora analoga connessione con i numeri quantici negli
atomi connessa ai loro livelli energetici
Dalla voce “Configurazione elettronica”paragrafo “numero
quantico principale (n)” :
“…Numero quantico principale (n)
Il primo numero quantico n, detto numero quantico principale, determina la distanza media dal
nucleo (dimensione dell'orbitale), che aumenta al crescere di n, e la maggior parte dell'energia
dell'elettrone (livello energetico=periodo). Elettroni (e orbitali) che condividono n appartengono
dunque allo stesso livello di energia.
Il numero quantico principale assume tutti i valori interi positivi in ordine crescente anche se le
orbite stazionarie definite della condizione quantistica m*v*r=n*h/(2π) (dove l'unica variabile è n,
essendo le altre costanti) sono solamente le prime sette.
I vari livelli correlati ai differenti valori di n vengono a volte detti "gusci" e (principalmente per
ragioni storiche) vengono anche indicati da lettere, come elencato di seguito:[1]
7
Valore di n Lettera Massimo numero di elettroni nel livello (pari a 2 x n2)
1
K
2
2
L
8
3
M
18
4
N
32
5
O
50
6
P
72
7
Q
98
…
…
…
Stati con valori di n superiori a quelli mostrati nella tabella sono perfettamente ammissibili in teoria
ma relativi ad atomi che non sono stati ancora scoperti (il valore n=8, ad esempio, si inizierà a
utilizzare con elementi aventi numero atomico superiore a 119)…. “
Come si nota facilmente, i numeri della terza colonna
(massimo numero di elettroni…) costeggiano da vicino i
numeri di Fibonacci o loro medie aritmetiche:
TABELLA 4
Massimo numero di
elettroni (e)
Numeri di Fibonacci
(f)
2
8
18
32
50
72
98
2
8
17 media tra 13 e 21
34
55
72 media tra 55 e 89
99,5
8
Differenza f – e
Anche queste numeri
di Fibonacci
0
0
1
2
5
0
1,5 media tra 1 e 2
Media tra 55 e 144
sebbene non consecutivi
(119)
116,5 (media tra 89 e
144)
-2,5 media tra 2 e 3
…
…
…
Anche qui, anche per il numero 119 non riportato in tabella da
Wikipedia, ma solo accennato poiché si riferisce ad atomi non
ancora scoperti, l’evidenza della connessione tra i due tipi di
numeri è forte, e cioè difficilmente frutto del caso.
Veniamo ora alla maggiore stabilità nucleare di alcuni
elementi, tramite “i numeri magici” dei loro pesi atomici
Dal nostro lavoro “La sezione aurea in chimica” sul sito
www.atuttoportale.it/didattica/botanica/OltreBotanica/OltreBotanica-05Chimica.pdf,
riportiamo:
“ Stabilità nucleare
Alcuni elementi chimici sono più stabili di altri, e tale maggiore stabilità chimica è
connessa, tramite i numeri magici, alla serie di Fibonacci (Vedi Rif. 1 e 2). La
stabilità nucleare è stata già introdotta nel terzo numero (Fisica Aurea) di questa
rubrica in cui viene definito numero magico, il numero di nucleoni per cui all'interno
del nucleo atomico si formano livelli energetici completi. Tali numeri sono: 2, 8, 20,
28, 50, 82, 126. I nuclei formati da un numero di nucleoni pari ad uno dei numeri
magici detti nuclei magici. Gli atomi aventi nuclei magici risultano particolarmente
stabili e ancora più stabili sono gli atomi aventi nuclei doppiamente magici nei quali
sia il numero di protoni che di neutroni corrispondono ad uno dei numeri magici.
Come si può notare questi numeri sono vicini ai Numeri di Fibonacci, in merito alle
9
loro differenze e somme consecutive. Infatti, tali numeri magici sono prossimi ai
numeri primi 2, 7, 19, 29, 47, 79, che sono numeri primi naturali, cioè di forma 6f + 1:
2=
6×0+2
7=
6×1+1
19 = 6 × 3 + 1
29 = 6 × 5 – 1
47 = 6 × 8 – 1
79 = 6 × 13 + 1
127 = 6 × 21 + 1
…
Z = 2 → Elio
Z = 8 → Ossigeno
Z = 20 → Calcio
Z = 28 → Nichel
Z = 50 → Stagno
Z = 82 → Piombo
Z = 126 → Inesistente “
Per il resto si rimanda all’articolo originale.
Conclusioni
Possiamo concludere che la sezione aurea è presente , oltre che
nel macrocosmo (fiori, conigli, conchiglie ecc.) anche nel
microcosmo quantistico e chimico, come sopra mostrato, E, a
proposito di orbite, oltre a quelle degli elettroni negli atomi
viste in questo lavoro, anche le orbite dei pianeti del nostro
sistema solare sono connesse alla sezione aurea, tramite le
10
distanze dei pianeti dal sole espresse sia in Unità astronomiche
sia in milioni di chilometri (Rif. 1) dal quale riportiamo:
(la legge astronomica di Bode esprime le distanze dei pianeti
dal Sole in Unità astronomiche. Nd.A.A.))
“ Nostre osservazioni e tabelle
“La serie numerica empirica 0 3 6 12
24 si potrebbe
benissimo completare con 1,5 compreso tra 0 e 3 e 48, 92 e
188 dopo 24, in modo da avere una serie (che poi è una
progressione geometrica con numero fisso 2)
0 1,5 3 6 12
24 48
92 184
Notiamo anzitutto che essa rispecchia grosso modo la
successione di Fibonacci:
11
TABELLA 1
Serie di Bode più
completa
Serie di Fibonacci
Differenza
Bode – Fibonacci
Prossima a numeri di
Fibonacci
0
1,5
3
6
12
24
48
0
1
3
5
13
21
34
92
184
≈ 44, 5 media tra
34 e 55
89
≈ 188,5 media tra
144 e 2332
…
…
0
0,5 ≈ 0
0
1
-1
3
14 ≈ 13
2
3,5 ≈ 3
3
-4,5 ≈ 5
…
Una leggera connessione quindi c’è, tra le due serie numeriche:
la prima progressione geometrica con numero fisso 2, la
seconda progressione geometrica con numero fisso 1,618…
non molto lontano da 2.
La correzione apportata da Bode ( aggiungendo 4 alla
12
progressione iniziale e dividendo per 10), avvicina ancora di
più le due progressioni:
TABELLA 2
Bode
≈ Fibonacci
0
0,55
0,7
0
1
1
1,0
1,6
2,8
5,2
10,0
19,6
38,8
77,2
1
2
3
5
8
21
34
≈ 72 media tra 55 e
89
Rapporti successivi
nella serie di Bode
(nella serie di
Fibonacci è ≈ 1,618
0,7/0,55 = 1,2727
≈ √1,618 = 1,2720
1/0,7 = 1,4285…
1,6/1 =1,6 ≈ 1,618
2,8/ 1,6 =1,75≈ 1,618
5,2/2,8 = 1,857
10,0/5,2= 1,9230
19,6/10=1,96
38,8/19,6=1,97
77,2/19,6=1,98
Come si nota, la vicinanza con i numeri di Fibonacci è più
marcata, ma ora manca il 13 e il 55.
Con i rapporti successivi, essi sono minori di 2, quindi
mediamente più vicini a 1,618 = rapporto aureo, e questo
13
spiega la maggiore vicinanza della seconda serie con i numeri
di Fibonacci.
Infine ricordiamo che, a livello microcosmico, per esempio
nelle cariche frazionarie, nei numeri quantici e nei pesi
atomici degli elementi più stabili, è fortemente presente la
sezione aurea ; e sia a livello microcosmico che a livello
macrocosmico, i numeri di Fibonacci (e i loro cugini numeri di
Lie e partizioni di numeri) sono, secondo noi, lo strumento
numerico della natura per regolare e stabilizzare i suoi
fenomeni, che tramite esso possono crescere sempre uguali a se
stessi ma a scale superiori, tramite i frattali, ma solo entro
certi limiti; abbiamo infatti notato che i numeri di Fibonacci,
ma anche i loro cugini, pur essendo infiniti, non superano mai
le 300 unità nei vari fenomeni in cui sono coinvolti. Per questo
non troviamo mai fiori connessi al numero 277 , ma al
massimo 144 (nei girasoli) e così via: la natura sembra
14
accontentarsi di questi numeri fino a circa 300, ma se la cava
benissimo lo stesso. Probabilmente, dopo tale limite , i
fenomeni coinvolti con tali numeri diventano caotici , instabili
e/o non più gestibili, e la natura non insiste oltre. Per questo
pensiamo che la fisica è un sottoinsieme della matematica per
quanto riguarda la componente numerica. La matematica
mette a disposizione numeri enormi, ma la natura usa i più
piccoli (fino a 300 o giù di lì), come in questo caso di Fibonacci
ecc., e anche loro medie aritmetiche (riscontrate in parecchi
fenomeni da noi studiati sotto questo aspetto). I numeri più
grandi usati per motivi pratici dai matematici sono i numeri
RSA, prodotti di due numeri primi di centinaia di cifre nella
crittografia RSA, ma questa non è fisica, è solo matematica
applicata. La fisica e la natura in genere si accontentano di
molto meno, forse per i motivi sopra accennati (è una nostra
supposizione, probabilmente e fondamentalmente corretta).
15
Rif. 1) “La sezione aurea in astronomia”
sul sito www.attuttoportale.it sezione
OLTRE LA BOTANICA LA SEZIONE AUREA -DAGLI ATOMI ALLE
STELLE, Rubrica curata da Francesco Di Noto e Eugenio Amitrano
http://www.atuttoportale.it/ , dal quale riportiamo la parte iniziale,
con le distanze in milioni di km anziché in U.A., e rispunta anche qui
la serie di Fibonacci :
“ Di seguito sono riportate le distanze medie dal Sole in milioni di km:
Pianeti interni (pianeti terrestri)
Mercurio 58
Venere 108
Terra 150
Marte 228
Fascia degli asteroidi 420
Pianeti esterni (pianeti gioviani, giganti gassosi)
Giove 778
Saturno 1426
Urano 2870
Nettuno 4497
Se dividiamo tutti i numeri per 50 otteniamo la seguente sequenza che risulta essere
molto vicina alla Successione di Fibonacci:
Mercurio: 1,16 ≈ 1;
Venere: 2,16 ≈ 2;
Terra: 3,00 = 3;
Marte: 4,56 ≈ 5;
Asteroidi: 8,40 ≈ 8;
Giove: 15,56 ≈ 13;
Saturno: 28,52 ≈ 27,5 = (21 + 34) / 2;
Urano: 57,40 ≈ 55;
Nettuno: 89,94 = 89 “
Qui però mancano il 21 e il 34, ma sono coinvolti nel numero
16
28,52 molto vicino alla media 27.5 = (21+34)/2 “
Come diceva l’antico filosofo Ermete Trimegisto, “come in
piccolo, così’ in grande”, e aveva ragione, almeno in questo
caso (orbite degli elettroni come le orbite dei pianeti ,
entrambe connesse alla sezione aurea e quindi alla serie di
Fibonacci)
Riferimenti
1) “La legge astronomica di Bode e i numeri di
Fibonacci”
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
(Di prossima pubblicazione su questo sito)
17
