Calcolo delle probabilità -

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Grazia Vicario • Raffaello Levi
Calcolo delle probabilità
e statistica
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BOLOGNA
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BIBLIOTECA G.ASTENGO
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R. Levi
Calcolo delle probabilità
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ISTITUTO Ul-!IVERSITAHIO ARCHITETTURA
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BOLOGNA
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Indice
INDICE
Elementi di calcolo delle probabilità
1.1 Concetto di probabilità
1.1.1 Definizione a priori della probabilità (o classica)
1.1.2 Definizione a posteriori della probabilità (o frequentista)
1.1.3 Definizione di probabilità soggettiva
1.1.4 Definizione assiomatica di probabilità
1.2 Probabilità condizionata
I .2. I Teorema delle probabilità totali - Formula di Bayes
1.2.2 Regole per il calcolo della probabilità
1. 3 Indipendenza stocastica
2
Distribuzioni
2.1 Variabile casuale
2.2 Funzione di distribuzione cumulativa
2.3 Funzioni di densità
2.3 .1 Funzione di densità discreta
2.3.2 Funzione di densità di probabilità
2.4 Valori attesi
2.4.1 Media
2.4.2 Varianza
2.4.3 Valore atteso della funzione di variabile casuale g(X)
2.5 Disuguaglianza di Tchebycheff
2.6 Altre misure di posizione e dispersione
2. 7 Momenti e loro utilizzo
2.8 Funzione generatrice dei momenti
3
Famiglie di distribuzioni
3. 1 Distribuzioni discrete
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1
1
3
5
7
8
19
21
28
32
35
35
38
4Q
40
43
46
46
49
51
52
54
56·
5{
61
61
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Indice
3. I . I
3. 1.2
3. l.3
,l:.1.4
3.1.5
3.1.6
3. I. 7
Distribuzione uniforme discreta
Distribuzione di Bernoulli
Distribuzione binomiale
Teorema di Bernoulli
Distribuzione ipergeometrica
Distribuzione di Poisson
Approssimazione della densità binomiale mediante la densità di
Poisson
3.1.8 Processi di Poisson
3.1.9 Distribuzione geometrica e distribuzione binomiale negativa
3.2 Distribuzioni continue
3 .2. l Distribuzione uniforme ( o rettangolare )
3.2.2 Distribuzione normale
3...2.3 Approssimazione della densità binomiale mediante la funzione di
densità normale
3.2.4 Distribuzione esponenziale e distribuzione Gamma
3.2.5 Distribuzione Beta
3 .2. 7 La distribuzione di Weibull
3.2.8 La trasformazione di variabile casuale Y = g(X)
3 .2. 9 Altre distribuzioni
4
5
61
63
65
72
75
78
81
84
90
92
92
94
103
107
110
111
112
117
Statistica descrittiva
4.1 Distribuzioni sperimentali
4. 1. I Classificazione di dati campionari
4.1.2 Metodi grafici
4 .2 Misure descrittive
4.2.1 Misure di tendenza centrale
4.2.2 Misure di variabilità
119
119
Distribuzioni congiunte
5.1 Funzione di distribuzione cumulativa congiunta
5.2 Funzione di densità
5.2.1 Funzione di densità congiunta per variabili
5.2.2 Funzione di densità congiunta per variabili
5.3 Distribuzioni condizionate
5.3.1 Funzioni di distribuzione condizionate
discrete
5.3.2 Funzioni di distribuzione condizionate
continue
5.4 Indipendenza
5.5 Valori attesi
5.6 Covarianza e coefficiente di correlazione
5.7 Valori attesi condizionati
5.8 Funzione generatrice dei momenti congiunta
5. 9 Distribuzione multinomiale
145
145
149
149
152
156
119
123
130
132
140
casuali discrete
casuali continue
per variabili casuali
156
per variabili casuali
158
160
162
163
168
170
171
Indice
5. I O Distribuzione normale bidimensionale
172
6
Distribuzioni di funzioni di variabili casuali
6. I Trasformazioni di variabili casuali continue
6.2 Distribuzione della somma di due variabili casuali
6.3 Distribuzione della differenza di due variabili casuali
6.4 Distribuzione del prodotto di due variabili casuali
6.5 Distribuzione del quoziente di due variabili casuali
6.6 Trasformazioni lineari di variabili casuali normali
6.7 Valori attesi di funzioni di variabili casuali
6.8 Distribuzione del minimo e del massimo
6.9 Distribuzione dell'escursione (range)
177
177
181
185
186
188
189
190
193
196
7
Distribuzioni campionarie
7.1 Campionamento
7.2 Principali statistiche
7.3 La legge dei grandi numeri
7.4 Distribuzione chi-quadrato (di Pearson)
7.5 Distribuzione t di Student (Gosset)
7.6 Distribuzione F di Fisher
201
204
208
217
220
221
8
Inferenza statistica: intervalli di fiducia
8. 1 Stima puntuale
8.2 Stima per intervalli
8.3 Stima per intervalli della media
8.3.1 Caso in cui la varianza della popolazione è nota
8.3.2 Caso in cui la varianza della popolazione non è nota
8.3.3 Determinazione della numerosità campionaria
8.4 Stima per intervalli della differenza tra due medie
8.4. 1 Le varianze a~ e a~ sono note
cri
225
225
228
229
229
232
235
236
?.l 7
,
e a~ pur non essendo note, possono ritenersi
8.4.2 Le varianze
uguali
non sono note, né possono ritenersi uguali
8.4.3 Le varianze a~ e
a;
9
201
238
242
8.5 Stima per intervalli di una varianza
8.6 Stima per intervalli del rapporto fra due varianze (Confronto di due
varianze)
24 5
Test di ipotesi
9.1 Basi logiche dei test
9.2 Ipotesi nulla e test di significatività
9.3 Test riguardanti la media
249
250
252
255
243
,...
.,,
Indice
9.3. l Test riguardanti la media (varianza della popolazione nota)
9.3.2 Test riguardanti la media (varianza della popolazione incognita)
9.4 Curva caratteristica operativa e potenza del test
9.~· Test riguardanti la differenza di due medie
a; e a;
9.5.2 Le varianze a; e a;
9.5.1 Le varianze
255
258
261
269
sono note
269
sono incognite, ma possono ritenersi u,guali
269
9.6 Test di ipotesi riguardanti la varianza
9.7 Test di ipotesi sull'uguaglianza di due varianze
9.8 Applicazione al controllo statistico della qualità
-
271
275
277
10 Analisi della varianza
10. l Principi generali
10.2 Piani completamente casualizzati
I 0.2.1 Piani completamente casualizzati per un solo fattore controllato
(Analisi della varianza per un solo fattore sotto controllo)
10.2.2 Piani completamente casualizzati per due fattori controllati
(Analisi della varianza per due fattori sotto controllo)
10.2.3 Replicazioni; interazioni
10.3 Classificazione gerarchica
291
296
303
11 Regressione
11.1 Regressione lineare
11 . 1. l - Il metodo dei minimi quadrati
11. l .2 - Analisi della varianza
307
308
31 O
312
11.1.3
Proprietà degli stimatori
metodo dei minimi quadrati
Po e p
1
281
282
283
283
ed inferenza basata sul
11. l .4 Proprietà dello stimatore Y
11. l. 5 - Errore puro e bontà del modello scelto (Jack of fit)
11.2 Regressione non lineare
11.3 Regressione lineare multipla
11.4 Appendice
315
321
325
334
337
345
Bibliografia
350
Indice analitico
353
Tavole
357
Incontriamo regolarmente dispersione ed incertezza tanto o(i diversi
aspetti dell'attività professionale quanto neUa vita di tutti i giorni. La
descrizione di insiemi con ,·ariabilità aleatoria così come la gestione dei
rischi loro inerenti richiedono l'impiego di metodi probabilistici e
statistici, per i quali ,·engono presentati in questo libro struttura logica e
fondamenti matematici principali. Portata ed applicazioni dei
procedimenti introdotti vengono illustrati mediante esempi pratici,
sviJuppati in dettaglio in modo tradizionale e mediante procedure
informatiche dedicate.
GR \ZIA VIC \RJO. laureata in Matematica nell'Università di Torino, fa
parte del Dipartimento di Matematica deJ Politecnico di Torino, do\e
insegna metodi probabilistici e statistici io corsi di laurea e di diploma
anche teledidattici nella Facoltà di Ingegneria. Tiene inoltre insegnamenti di statistica nella Facoltà di Scienze Politiche dell'Università di
Torino, in corsi di educazione permanente e di formazione post laurea.
La sua attività di ricerca riguarda affidabilità, statistica applicata e
pianificazione degli esperimenti.
RAFFAELLO LEn. laureato in lngegneria Industriale nel Politecnico di
Torino, vi fa parte nel Dipartimento di Sistemi di Produzione ed
Economia delJ' Azienda, ed insegna tecnologia meccanica e disegno di
macchine in corsi dj laurea e di diploma teledidattico nella Facoltà di
Ingegneria. Tiene inoltre insegnamenti di statistica applicata e
pianificazione degli esperimenti lo corsi di educazione permanente, di
diploma teledidattico e di formazione post laurea. La sua attività di
ricerca riguarda meccanica sperimentale, metrologia. tecnologia
meccanica. statistica applicata e tecnica della sperimentazione. _.
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SOCIETÀ F.DITRICE ESCULAPIO
40131 Bologna - Via U. Tcm1cim 30 Tel 051-63.40.113 - Fax 051 -63.41.136
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ISBN 88-86524-16-l