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L’equilibrio meccanico di un punto materiale
Punti materiali
Nello studio della meccanica possiamo talvolta approssimare un corpo con un punto(modello del
punto materiale). Le caratteristiche di questo modello sono che il punto materiale ha la stessa
massa del corpo che rappresenta e che è il punto di applicazione di tutte le forze che agiscono
sul corpo.
Si può utilizzare il modello del punto materiale quando:
1) il corpo è molto più piccolo delle dimensioni caratteristiche del problema: per esempio le orbite
dei pianeti intorno al Sole;
2) tutte le forze agenti sul corpo sono effettivamente applicate in un solo punto (come nel caso del
battello trainato per la prua di figura 1);
3) le rette d’azione di tutte le forze agenti sul corpo si incontrano in un unico punto (come nel caso
del battello trainato per i lati di figura 2): in questo caso si parla di forze concorrenti;
L’equilibrio
Diamo la definizione di equilibrio: un corpo è in
equilibrio
quando
rimane
fermo
indefinitamente. È importante specificare che il
corpo resti indefinitamente fermo. Infatti, se consideriamo l’esempio di una pallina lanciata verso
l’alto che poi ricade giù, c’è un istante preciso in cui essa è ferma (un attimo prima stava ancora
salendo, un attimo dopo sta già scendendo). In quell’istante essa è ferma, ma non è indefinitamente
ferma, quindi non è in equilibrio.
Poiché le forze provocano il moto, se su un corpo inizialmente fermo non agisce alcuna forza
questo rimarrà in equilibrio. Più in generale: la risultante delle forze che agiscono su un corpo in
equilibrio è nulla. Se il corpo in questione può essere rappresentato come un punto materiale
questa condizione da sola è sufficiente a garantire l’equilibrio.
Le reazioni vincolari
Il piano su cui è appoggiato un corpo o una fune a cui è legato sono esempi di vincoli. In generale
un vincolo è tutto ciò che limita la libertà di movimento di un corpo La forza che un piano
esercita sui corpi appoggiati su di esso (reazione vincolare) è diretta perpendicolarmente al piano
stesso e ha una intensità tale da annullare esattamente la forza con cui il corpo preme sul piano.
I piani di appoggio non sono gli unici sistemi che producono reazioni vincolari. Consideriamo.
Anche nel caso di una palla legata ad una fune che a sua volta è fissata al soffitto abbiamo una forza
dovuta al vincolo, che prende il nome di tensione della fune. Essa ha una intensità tale da annullare
le forze che tirano il corpo ad essa legato ed è diretta lungo la fune. Una importante proprietà delle
funi è che il valore della tensione è lo stesso ai due capi. Così, nel caso illustrato in figura 5, la forza
che la fune esercita sul soffitto è uguale al peso della palla ed è diretta verso il basso.
Problema svolto 1 – Calcolo della tensione di una fune e della forza di reazione del pavimento
Un blocco di 2 kg è appoggiato per terra e legato ad una fune che passa sopra una trave posta più in alto e al
cui altro capo è fissato un secondo blocco da 0,5 kg; il tutto è in equilibrio. Determinare la tensione della
fune e la reazione del pavimento sul primo blocco.
Scriviamo i dati del problema
Massa del blocco appoggiato: 2 kg
Massa del blocco sospeso: 0,5 kg
Incognite
La tensione T della fune e la reazione R del pavimento sul primo blocco
Analisi e soluzione
N
= 4,9 N (verso il basso), l’altra forza che
kg
agisce su di esso è la tensione della fune che deve equilibrare il peso: T = P1 = 4,9 N (verso l’alto).
Passiamo al blocco appoggiato: su di esso agisce la tensione della fune T = 4,9 N (verso l’alto) e il peso
N
P2 = 2 kg ⋅ 9,8
= 19,6 N (verso il basso). Quindi la reazione del pavimento deve essere tale da
kg
equilibrare la somma di queste due forze: R = P2 − T = 19,6 N − 4,9 N = 14,7 N (verso l’alto).
Partiamo dal blocco sospeso: il suo peso è P1 = 0,5 kg ⋅ 9,8
L’equilibrio meccanico e le reazioni vincolari nel quotidiano
Nella vita di tutti i giorni sono moltissimi gli esempi di sistemi in equilibrio. Pensiamo ad esempio a tutti gli
oggetti appoggiati su un piano orizzontale che cadono sotto la nostra esperienza: il telefono, la penna, la
calcolatrice sul tavolo, ma anche il tavolo stesso, la sedia, l’armadio sul pavimento. Anche le tensioni delle
funi sono presenti in svariate situazioni; il caso più comune è forse quello di un lampadario attaccato al
soffitto. In tutti questi esempi le forze che si fanno equilibrio sono due: il peso del corpo e la reazione. Viene
da domandarsi se non vi siano casi in cui le forze che garantiscono l’equilibrio sono in numero più elevato.
Un esempio molto interessante di un tale sistema lo troviamo in una tecnica costruttiva già nota ai popoli
antichi: l’arco autoportante. Nel punto più alto dell’arco, chiamato chiave di volta, le forze dovute alle due
parti dell’arco e il peso della chiave stessa si equilibrano esattamente.
Verifiche di comprensione
1. Che cos’è il modello del punto materiale?
2. Quando approssimiamo un corpo con il modello del punto materiale che massa assegniamo al
punto materiale?
3. Quando approssimiamo un corpo con il modello del punto materiale dove applichiamo le forze
agenti sul corpo?
4. Sotto quali condizioni possiamo utilizzare il modello del punto materiale per rappresentare un
corpo e le forze agenti su di esso?
5. Fai tre esempi di situazioni ben rappresentate dal modello del punto materiale e tre esempi di
situazioni che non si possono rappresentare mediante il modello del punto materiale.
6. Cosa significa forze concorrenti?
7. Cosa si intende per corpo in equilibrio?
8. Fai un esempio di un corpo che sia fermo, ma non indefinitamente fermo.
9. Quanto vale la risultante delle forze agenti su un corpo in equilibrio?
10. In quale caso la condizione dell’annullarsi della risultante delle forze agenti è sufficiente a
garantire l’equilibrio di un corpo?
11. Qual’è la definizione di vincolo?
12. Fai tre esempi di vincoli.
13. Quanto vale e come è diretta la forza di reazione che un piano esercita su un corpo appoggiato
su di esso?
14. Quanto vale e come è diretta la forza di reazione esercitata da una fune su di un corpo attaccato
ad essa?
15. Cosa si intende per reazione vincolare?
Verifiche di conoscenza
1. Quale dei seguenti sistemi può essere correttamente rappresentato mediante il modello di punto
materiale?
a. una trave con due forze applicate agli estremi e dirette perpendicolarmente alla trave stessa
b. uno slittino trascinato da un ragazzo su per una salita tramite una cordicella
c. un vaso di fiori in caduta libera da un balcone
2. Su un corpo agiscono due forze, una orientata verso il basso e l’altra verso sinistra. La direzione
della forza equilibrante è:
a. in alto
b. in basso a sinistra
c. in alto a destra
d. in basso a destra
3. Un corpo è appoggiato su un piano inclinato di 30° rispetto alla direzione orizzontale. La
reazione vincolare del piano
a. forma un angolo di 60° con la verticale ed è diretta verso il basso
b. forma un angolo di 30° con la verticale ed è diretta verso l’alto
c. forma un angolo di 90° con l’orizzontale ed è diretta verso l’alto
d. forma un angolo di 60° con l’orizzontale ed è diretta verso il basso
4. Un corpo di 50 kg è legato a una fune e sospeso in verticale. La tensione della fune nell’estremo
in cui è legato il corpo vale
a. 50 kg ed è diretta verso il basso
b. 490 N ed è diretta verso l’alto
c. 50 kg
d. 490 N ed è diretta verso il basso
5. Un corpo può essere in equilibrio quando su di esso agiscono:
a. una sola forza?
b. due forze?
c. tre forze?
6. Un corpo è in equilibrio sotto l’azione di due forze. Come devono essere i moduli, le
orientazioni e i versi di queste due forze?
7. Nel gioco del tiro alla fune tirare più forte dell’avversario è assolutamente inutile, semmai è
importante piantare bene i piedi per terra e non farsi spostare. Perché?
Problemi
1. Un libro di 3,5 kg viene tenuto in mano da uno studente. Quanto vale e come è diretta la forza F
che deve esercitare lo studente per sostenere il libro?
2. Un pezzo meccanico di 190 kg viene sollevato da due operai che sviluppano la stessa forza.
Quanto vale la forza sviluppata da ciascuno di essi?
3. Il pezzo meccanico del precedente esercizio viene adesso sollevato da due operai di cui uno, più
robusto dell’altro, riesce a sviluppare una forza di 1000 N. Quanto vale la forza sviluppata
dall’altro operaio?
4. Cinque ragazze stanno spingendo la loro auto in panne. Arrivano quattro ragazzi e le
sostituiscono, spingendo l’auto con la stessa forza complessiva. Se ogni ragazzo sviluppa una
forza di 400 N, quanto vale la forza sviluppata da ciascuna ragazza?
5. Una fune riesce a sopportare una tensione di 380 N prima di rompersi. Sarà possibile con quella
fune sollevare un peso di 40 kg ?
6. Un blocco da 1 kg è attaccato al soffitto mediante una fune, ed un secondo blocco da 2 kg è
attaccato al di sotto del primo mediante un altro pezzo di corda. Quanto vale la tensione delle
due funi?
7. Un magazziniere sta tentando di sollevare dal pavimento una cassa di legno da 120 kg , ma
poiché egli è in grado di sviluppare una forza al massimo di 784 N egli non riesce nel suo
intento. Quanto vale la reazione del pavimento sulla cassa mentre egli tenta di sollevarla?
8. Due blocchi esattamente uguali aventi una massa di 18 kg sono sospesi ai due capi di una fune
che passa sopra una trave orizzontale posta più in alto. Il sistema è in equilibrio? Quanto vale la
tensione della fune?