Applicazioni economiche delle funzioni di due variabili

Applicazioni dell'analisi in più variabili a problemi di economia
La diversità tra gli agenti economici è alla base della nascita dell’attività economica e, in generale,
lo scambio di beni e servizi ha per effetto l’innalzamento del livello di benessere di ciascuno dei
partecipanti. Il migliore meccanismo di scambio è quello che rende massimo il guadagno totale.
In generale ciò che influisce sulla domanda di un bene non è solo il prezzo ma sono anche le
“preferenze” dell'acquirente. Queste non si possono misurare ma si possono “prevedere”
analizzando i comportamenti in un arco di tempo (utilizzando, come vedremo, metodi statistici).
In molti scambi, da un lato dello scambio troviamo l’impresa e non un individuo. In un certo senso
una impresa è diversa da un individuo, per il fatto che ad una impresa è associato un processo di
trasformazione, l’impresa acquista gli input (cioè i fattori produttivi) e li trasforma, mediante un
processo produttivo in output e quindi li vende. Se vogliamo, nel processo produttivo, ciò che per
l'individuo è rappresentato dalle preferenze, per l'impresa sono le tecnologie.
Prendiamo ora in esame i due diversi punti di vista (consumatore-impresa) e analizziamone analogie
e differenze.
Punto di vista del consumatore
La funzione di utilità è definita da:
U  x 1, x 2 = f  x 1, x 2  (1)
e rappresenta l'utilità del consumatore nel procurarsi i due beni x 1 e x 2, con x 10 e x 2 0 .
Ne esistono diversi tipi nella teoria economica:
-Funzione lineare
U  x 1, x 2 = x 1 x 2
-Funzione di secondo grado
U  x 1, x 2 = x 1 x 2 2
e diversi altri tipi, ma le più utilizzate sono la
- Funzione di Cobb-Douglas
U  x 1, x 2 = x 1a x 1−a
con 0≤a≤1
2
- Funzione di Stone-Geary
a
1−a
U  x 1, x 2 = x 1−s 1   x 2−s 2 
con 0≤a≤1
che differisce dalla precedente in quanto l'individuo fissa il suo livello minimo di sussistenza per i
due beni , indicati rispettivamente con s 1 e s 2 .
Dal punto di vista matematico la funzione di Utilità è
funzione delle due variabili
x 1 e x 2, con x 10 e x 20 della quale è possibile tracciare le linee di livello.1
Tali linee di livello prendono il nome di Curve di indifferenza e che si ottengono ponendo
U  x 1, x 2 =costante (2)
La nuova ipotesi di lavoro è che l’individuo detenga il proprio reddito in forma di moneta. La
quantità di moneta detenuta dall’individuo è indicata con B e non dipende dai prezzi.
Il vincolo di bilancio è definito dalla seguente equazione:
B= p1 x 1 p 2 x 2 (3)
ove p 1 e p 2 sono i prezzi unitari dei prodotti x 1 e x 2 e B è il suo bilancio (reddito).
Il problema dell'utilità del consumatore con il vincolo del bilancio è un problema di massimo
vincolato per funzioni di due variabili ove la (1) è la funzione da massimizzare e l'equazione (3) è
quella del vincolo. A seconda del tipo di funzione il problema può essere risolto mediante metodo
grafico o algebrico. 2
1 Esercitazione di laboratorio sulle curve di indifferenza
2 Vedere gli esempi 1 pag 137 del libro ed esempio 2 pag 139 del libro di testo . Esercizi dal n° 34 al n° 43 a pag.644 e
Definiamo utilità marginali le derivate parziali della funzione(1) fatte rispetto a ciascuna variabile
∂U ∂U
,
cioè
mentre si chiamano utilità marginali ponderate i quozienti tra le utilità marginali
∂ x1 ∂ x2
di una bene ed il prezzo di quel bene.
Si ha il seguente teorema1 noto in economia come il :
Teorema del livellamento delle utilità marginali ponderate:
Per avere il massimo utile il consumatore deve distribuire il suo bilancio in modo che per ogni
bene risultino uguali le utilità marginali ponderate.
Dimostrazione:
Consideriamo il problema del massimo utile del consumatore con il vincolo del bilancio come
problema di massimo in due variabili da risolvere con il metodo di Lagrange; si deve massimizzare
la funzione
Z  x 1, x 2, = f  x 1, x 2  p1 x 1 p 2 x 2−B (4)
risolvendo il sistema delle derivate parziali prime uguali a zero:
f ' x  p 1=0
1
f ' x  p 2=0 si ottiene
2
f 'x
p1
1
=
f 'x
p2
2
.
Punto di vista dell'impresa
L’impresa è un’istituzione che ha la funzione di acquisire beni sul mercato (fattori produttivi o
input) e utilizzarli in un processo produttivo al fine di trasformarli in un prodotto finito (output) da
mettere a disposizione del mercato. Pertanto, le attività primarie dell’impresa sono: l’acquisizione
degli input, la trasformazione degli input in output e la vendita dell’output ai consumatori.
Anche se nel mondo reale ciascuna impresa impiega molti input nel proprio processo produttivo e
porta sul mercato più di un output, la teoria economica della produzione analizza il comportamento
di un’impresa tipica che trasforma due soli input in un unico output. E’ questa un’ipotesi che rende
più agevole l’analisi, ma i risultati ottenuti sono facilmente generalizzabili.
La funzione di produzione
L’impresa tipica trasforma due fattori di produzione in un unico output. Assumiamo che i due
fattori di produzione siano gli input 1 e 2, impiegati dall’impresa in quantità pari a q1 e q2 per
produrre l’output z. Assumiamo inoltre che entrambi gli input siano fattori di produzione in senso
stretto: l’impresa ottiene un output crescente all’aumentare dell’impiego di ciascuno dei due input.
Determinante è la considerazione del processo produttivo che consente all’impresa di trasformare i
due input in output.
In generale, tale processo produttivo viene descritto da una funzione di produzione definita da:
z= f q 1, q 2  con q 1≥0 e q 2≥0 (5)
dove f(.) è una funzione crescente in entrambi i suoi argomenti.
La funzione di produzione è una funzione di due variabili e come per la funzione di utilità ne
esistono di diversi tipi:
-Funzione lineare:
z =q 1q 2
-Funzione di secondo grado:
z =q 1q 2 2
645 del libro.
-Funzione di Cobb-Douglas generalizzata:
z = A q 1a q b2 con 0a1 e 0b1 dove A è una costante positiva che dipende dal livello
tecnologico dell'azienda.
Uno degli aspetti della funzione di produzione che interessa l'impresa è quello dei rendimenti di
scala che analizzano la relazione tra il livello di impiego dei fattori di produzione e il volume
dell’output, cioè cosa avviene quando variano le quantità dei due input impiegati nel processo
produttivo. Ad esempio, che effetto ha sulla produzione un incremento delle quantità dei due input
da (q1, q2) a (sq1, sq2), dove s è una costante positiva?
Naturalmente, l’output aumenta da f(q1,q2) a f(sq1, sq2). Il problema però è verificare se
l’incremento dell’output sia proporzionale all’incremento degli input. In altri termini, è necessario
verificare se: f(sq1, sq2) è maggiore, uguale o minore sf(q1,q2).
In matematica questa proprietà si può formalizzare così:
se f  sq1, sq 2 s f q 1, q 2  si dice che i rendimenti di scala sono decrescenti
se f  sq1, sq 2 s f q 1, q 2  si dice che i rendimenti di scala sono crescenti,
se f sq1, sq 2 =s f q 1, q 2  si dice che i rendimenti di scala sono costanti ed in tal caso la funzione
f si dice omogenea di 1° grado.3
La funzione di produzione ha come linee di livello curve che prendono il nome di isoquanti: una
curva disegnata nello spazio dei punti (q1, q2) che rappresenta il luogo delle combinazioni di input
che producono lo stesso livello di output :
f q 1, q 2 =costante (6)
Supponiamo ora di trovarci nel breve periodo e che i due fattori utilizzati dall'impresa in input siano
L, la quantità totale di lavoro, e K il capitale utilizzato; indicando con Q la quantità prodotta la
funzione di produzione diventa allora del tipo:
Q=f(K,L) (7)
∂Q
e indichiamo con
il prodotto marginale del capitale cioè la variazione della quantità per una
∂K
∂Q
variazione unitaria del capitale e con
il prodotto marginale del lavoro cioè la variazione
∂L
della quantità per una variazione unitaria del lavoro.
Se indichiamo con w il costo unitario del lavoro e con r il costo unitario del capitale definiamo
Costo totale dell'impresa la funzione
C =wLrK (7)
Anche la funzione costo , come funzione di due variabili ammette come linee di livello quelle curve
(in genere delle rette) che rappresentano le possibili combinazioni di capitale e lavoro che lasciano
invariato il costo totale per l'azienda e prendono il nome di isocosti e si traducono nella condizione:
C 0=wLrK (8).
Si possono presentare due tipi di problemi di applicazione della teoria dei massimi e minimi per
funzioni di due variabili:
1.Determinare la combinazione di capitale e lavoro che rende minimo il costo totale mediante il
vincolo della funzione di produzione 4[ con il metodo delle linee di livello si hanno gli isocosti
(8)];
2.Determinare la combinazione di capitale e lavoro che rende massima la produzione con il vincolo
3 Esercitazione di laboratorio sui rendimenti di scala.
4 Pag. 141 del testo
del costo5[con il metodo delle linee di livello si hanno gli isoquanti(6).6
Si definisce prodotto marginale ponderato il quoziente tra il prodotto marginale e il costo di quel
fattore, nel nostro caso
∂Q
prodotto marginale ponderato del lavoro= ∂ L e
w
∂Q
prodotto marginale ponderato del capitale= ∂ K .
r
Valgono i due seguenti teoremi che lascio da dimostrare ai lettori applicando la metodologia
utilizzata in precedenza nel teorema1e che vanno sotto il nome di Teorema del livellamento delle
produttività marginali ponderate:
Teorema2: Il costo totale di produzione è minimo se le produttività marginali ponderate dei diversi
fattori di produzione sono uguali7.
Teorema3:La produttività risulta massima se le produttività marginali ponderate dei diversi fattori
di produzione sono uguali8.
La funzione Utile
Come nel caso di problemi in una variabile la funzione utile che indicheremo con  q 1, q 2  è la
dufferenza tra il Ricavo totale (R) ed il costo totale (C):
 q 1, q 2  =R - C
(9)
e assume forme diverse a seconda di come si calcolano C ed R, in particolare per quest'ultimo :
1)Regime di concorrenza perfetta : un'impresa produce due beni q 1 e q 2 e li vende ai prezzi
p 1 e p 2 che sono fissi e non dipendono dalla quantità, quindi:
R=q 1 p 1q 2 p 2 (10)
quindi la funzione Utile è:
 q 1, q 2 =q 1 p 1q 2 p 2−C q 1, q 2  (11)
2)Regime di monopolio: in questo caso i prezzi non sono costanti ma dipendono dalla funzione di
domanda dei due prodotti .
Si può definire in questo caso il concetto di beni complementari , cioè tali che l'aumento di prezzo
di uno dei due faccia diminuire anche la domanda dell'altro ( ad es. benzina e automobili)oppure di
beni surrogati cioè tali che l'aumento di prezzo di uno dei due faccia aumentare la domanda
dell'altro (es. olio d'oliva e olio di semi vari)9.
3)Un'azienda che vende lo stesso prodotto in due mercati diversi: si devono determinare le quantità
q 1 e q 2 dello stesso prodotto tenendo conto che le leggi della domanda , e quindi i prezzi, dei due
mercati possono essere diverse. In ogni caso le quantità dei due prodotti devono essere tali che:
q 1q 2=q (12)
10
dove q è la quantità complessiva .
In ognuno di questi casi si applica la teoria sui massimi e minimi per funzioni di due variabili.
5 Pag.144 del testo
6 Esercizi dal n° 44 al 54 a pag. 647 e 648 del libro
7 Pag.142 del libro di testo
8 Pag. 144 del libro di testo
9 Vedere il concetto sulle elasticità parziali a pag. 130 paragrafo 3 del libro di testo
10 Vedere l'esempio 3 di pag. 135 del libro di testo
Riporto nella tabella seguente in parallelo le diverse funzioni trattate sia dalla parte del consumatore
che dell'impresa:
Consumatore
Impresa
Funzione di Utilità (1)
Funzione di produzione (5)
Curve di indifferenza (2)
Isoquanti (6)
Utilità marginali
Prodotto marginale del Lavoro
Prodotto marginale del Capitale
Vincolo del Bilancio (3)
Costo totale dell'impresa (7)- Isocosti (8)
Problema del massimo utile con vincolo del
bilancio (Teorema1)
Problema del minimo Costo con il vincolo di
produzione (Teorema2)
Problema della massima Quantità prodotta con il
vincolo del Costo (Teorema3)
Bibliografia:
1. John D. Hey (McGraw-Hill 2003), Intermediate Microeconomics: People are different ,
traduzione italiana a cura di Daniela di Cogno e Marco Spallone.
2. A.Gambotto Manzone, B.Consolini , Conoscere e applicare la matematica, testo in adozione , ed
Tramontana, vol 3 .
3. A. Scalzo(1986), Elementi di Economia politica ,Petrini ed.