Equazioni di primo grado ad un’incognita
Identità
Def:
Si dice IDENTITÀ un’uguaglianza fra due espressioni letterali che è verificata per ogni valore attribuito
alle lettere.
Es:
2ܽ = 2ܽ è un’identità
ܽ = 3 2 ∙ 3 = 2 ∙ 3 6 = 6
ܽ = −5 −10 = −10
….
Es:
3 ∙ ሺ5ܽ − 2ሻ = 15ܽ − 6 è un’identità
ܽ=3
3 ∙ ሺ5 ∙ 3 − 2ሻ = 15 ∙ 3 − 6
3 ∙ ሺ15 − 2ሻ = 45 − 6
3 ∙ 13 = 45 − 6
39 = 39
Es:
ሺܽ + 2ܾሻ ݔ− 5ܾ = ݔሺܽ − 3ܾሻݔ
è un’identità?
Verificare un’identità significa:
1. eseguire tutte le operazioni del primo e del secondo membro dell’uguaglianza;
ܽ ݔ+ 2ܾ ݔ− 5ܾ ݔܽ = ݔ− 3ܾݔ
2. eseguire tutte le possibili semplificazioni;
ܽ ݔ− 3ܾ ݔܽ = ݔ− 3ܾݔ
3. confrontare le due espressioni letterali ottenute e verificare che siano uguali.
È un’identità!
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Equazioni
Def:
Si dice EQUAZIONE un’uguaglianza fra due espressioni che si può verificare solo per particolari valori
attribuiti alle lettere, che si dicono INCOGNITE.
Es:
5ܽ − 3 = 12
Questa uguaglianza è verificata solo seܽ = 3 , infatti:
5 ∙ 3 − 3 = 12
15 − 3 = 12
12 = 12
Quindiܽ = 3 è l’unica soluzione dell’equazione
Def:
Se nell’equazione vi è una sola incognita con esponente 1, si dice che l’equazione è di primo grado ad
un’incognita.
NOTA BENE: Esistono equazioni intere, nelle quali l’incognita non figura al denominatore, ed
equazioni fratte, in cui compare l’incognita a denominatore.
Def:
Due equazioni si dicono EQUIVALENTI se hanno la stessa soluzione.
Es:
L’equazione:
2ܽ − 4 = 3ܽ + 5
ha per soluzioneܽ = −9, infatti:
2ሺ−9ሻ − 4 = 3ሺ−9ሻ + 5
−18 − 4 = −27 + 5
−22 = −22
Anche l’equazione
6ܽ − 12 = 9ܽ + 15
ha per soluzione ܽ = −9, infatti:
6ሺ−9ሻ − 12 = 9ሺ−9ሻ + 15
−54 − 12 = −81 + 15
−66 = −66
Quindi le due equazioni sono EQUIVALENTI.
Osservazione:
Il concetto di equazioni equivalenti viene applicato nella risoluzione delle equazioni, trasformando
un’equazione in un’altra più semplice, ad essa equivalente.
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La trasformazione avviene applicando due PRINCIPI DI EQUIVALENZA:
PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
ADDIZIONANDO O SOTTRAENDO DAI DUE MEMBRI DI UN’EQUAZIONE UNO STESSO NUMERO O UNA
STESSA ESPRESSIONE ALGEBRICA CONTENENTE L’INCOGNITA, OTTENIAMO UN’EQUAZIONE
EQUIVALENTE A QUELLA DATA.
Es:
Consideriamo l’equazione
x +1 = 4
e ad entrambi i membri sottraiamo 1:
x + 1 − 1 = 4 − 1 , eseguiamo i calcoli e otteniamo:
x = 3 soluzione dell’equazione data.
Consideriamo l’equazione
x−3= 5
e ad entrambi i membri aggiungiamo 3:
x − 3 + 3 = 5 + 3 , eseguiamo i calcoli e otteniamo:
x =8
soluzione dell’equazione data.
REGOLA:
In ogni equazione un termine può essere trasportato da una parte all’altra dell’uguale, cambiando il
suo segno.
Se nei due membri di un’equazione compaiono due termini uguali, essi possono essere semplificati.
Es:
ݔ−5=3
= ݔ5 + 3 = +8
2 ݔ− 8 = ݔ+ 2 − 8
2 ݔ = ݔ+ 2
2 ݔ− = ݔ+2
=ݔ2
SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Moltiplicando o dividendo i due membri di un’equazione per uno stesso numero (diverso da zero),
otteniamo un’equazione equivalente a quella data.
Es:
Consideriamo l’equazione – ݔ+ 1 = 4 e moltiplichiamo entrambi i membri per −1
ሺ−1ሻ ∙ ሺ− ݔ+ 1ሻ = +4 ∙ ሺ−1ሻ
3
+ ݔ− 1 = −4
= ݔ−4 + 1
= ݔ−3
Consideriamo l’equazione
3 ݔ1 1
+ =
2 3 6
per risolverla conviene “eliminare i denominatori” facendo il m.c.m.:
݉. ܿ. ݉. ሺ2,3,6ሻ = 6
Moltiplichiamo TUTTI I TERMINI del primo e del secondo membro per il ݉ܿ݉:
6∙
3ݔ
1 1
+6∙ = ∙6
2
3 6
Semplifichiamo
3 ∙ 3 ݔ+ 2 ∙ 1 = 1 ∙ 1
9 ݔ+ 2 = 1
9 = ݔ1 − 2
9 = ݔ−1
9 ݔ−1
=
9
9
1
=ݔ−
9
Def:
un’equazione si dice RIDOTTA A FORMA NORMALE se al primo membro c’è un solo termine in x e al
secondo membroun solo termine noto:
ܾܽ = ݔ
ܽ è il coefficiente dell’equazione e ܾ è il termine noto.
Nota bene:
seun’equazione non è ridotta in forma normale, si devono utilizzare i principi di equivalenza per
trasformarla in un’equazione ridotta in forma normale.
DISCUSSIONE EQUAZIONE DI PRIMO GRADO
Dopo aver trasformato un’equazione di I grado in FORMA NORMALE, per trovare la sua soluzione si
eseguono i seguenti passaggi:
ܾܽ = ݔ
ܾܽ ݔ
=
ܽ
ܽ
=ݔ
ܾ
ܽ
I CASO: EQUAZIONE DETERMINATA: ܽ ≠ 0
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La soluzione è = ݔ
In particolare, se ܾ = 0 la soluzione sarà = ݔ
= 0, cioè la soluzione è nulla.
In questo caso l’equazione è determinata e ha una sola soluzione.
Esempio:
3 = ݔ5
=ݔ
5
3
Esempio:
3 = ݔ0
=ݔ
0
=0
3
II CASO: EQUAZIONE IMPOSSIBILE: ܽ = 0 ݁ ܾ ≠ 0.
L’equazione non ha soluzioni perché l’uguaglianza 0 ܾ = ݔnon è possibile, non esiste un numero ݔ
che moltiplicato per 0 dia come risultato un numero ܾ diverso da 0. L’equazione si dice impossibile,
non ha soluzioni.
Esempio:
0 = ݔ5impossibile: ∄ ∈ ݔℝ (non esistono ݔappartenenti all’insieme dei numeri reali che sono
soluzioni dell’equazione data)
III CASO: EQUAZIONE INDETERMINATA: ܽ = 0 ݁ ܾ = 0
L’equazione ha infinite soluzioni perché l’uguaglianza 0 = ݔ0 è verificata per qualsiasi valore
attribuito alla ݔpoiché qualsiasi numero moltiplicato per 0 da come risultato 0. L’equazione si dice
indeterminata, ha infinite soluzioni.
Ogni equazione indeterminata è un’identità.
Esempio:
0 = ݔ0
ࢊࢋ࢚ࢋ࢘ࢇ࢚ࢇ: ∀ ∈ ݔℝ (l’equazione è verificata per ogni x appartenente all’insieme dei numeri
reali)
Riassumendo:
Equazione in forma normale ࢇ࢞ = ࢈
ࢇ≠
Equazione determinata
ܾ = ݔൗܽ
ࢇ=e࢈≠
Equazione impossibile
Nessuna soluzione
ࢇ=e࢈=
Equazione indeterminata
Infinite soluzioni
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