Lezione 7

CONDENSATI DI BOSE-EINSTEIN E SUPERFLUIDI
Consideriamo un fluido in una scatola. Questo è un insieme di tanti piccoli costituenti
che supponiamo per semplicità essere identici. Dalla meccanica quantistica sappiamo
esistere il dualismo onda-corpuscolo che afferma che la lunghezza d’onda λ caratteristica
di una particella è inversamente proporzionale al suo momento p dove la costante di Planck
è il coefficiente di proporzionalità:
(1)
λ=
h
.
p
Fintanto che la distanza media tra le particelle d è d λ la meccanica quantistica può
essere ignorata e per descrivere il sistema è sufficiente la teoria cinetica classica. Tuttavia,
siccome il momento medio risulta essere in prima approssimazione funzione crescente della
temperatura T
(2)
p ∼ (mkB T )1/2 ,
dove m è la massa della singola particella e kB la costante di Boltzmann, a parità di
densità nel sistema si può avere d ∼ λ per temperature sufficientemente basse. Siccome
la densità n risulta essere legata alla distanza media tra le particelle come n ' d−3 allora
la natura quantistica si rivela importante in un fluido quando vale
(3)
n2/3 h2
kB T ≤
.
m
Occorre ricordare che le particelle in natura possono essere bosoni o fermioni e questi
sono contraddistinti da proprietà di simmetria diametralmente opposte. Senza entrare
nei particolari è sufficiente ricordare che a causa del principio di esclusione di Pauli due
fermioni non possono occupare lo stesso stato quantistico mentre due o più bosoni sı̀.
Questo ha un fondamentale impatto a basse temperature perchè le particelle si “sentono”
diversamente: due funzioni d’onda bosoniche possono sovrapporsi mentre due fermioniche
no.
Per avere uno condensato, cioè uno stato dove tutti gli atomi sono nello stesso livello
energetico, è quindi necessario considerare un sistema composto da bosoni a temperature
al di sotto di una temperatura critica Tc detta temperatura di condensazione. Riporto
Figure 1. Rappresentazione qualitativa del dualismo onda-corpuscolo in
un gas.
1
2
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Figure 2. Rappresentazione qualitativa di un gas a basse temperature per
un sistema bosonico ed un sistema fermionico.
Sistema
Statistica Densità (cm−3 ) Temperatura critica (K)
Elettroni nei metalli classici
Fermi
∼ 1023
1-25
4
He liquido
Bose
∼ 1022
2.17
3
22
He liquido
Fermi
∼ 10
∼ 2 · 10−3
Gas alkalini bosonici
Bose
∼ 1015
10−7 − 10−5
12
Gas alkalini fermioni
Fermi
∼ 10
∼ 10−6
Table 1. Caratteristiche di condensazione in vari sistemi.
in tabella 1 gli ordini di densità e temperatura critica necessari ad avere condensazione
(anche attraverso il meccanismo di coppie di Cooper per i fermioni) in diversi sistemi.
È bene precisare che tutte le particelle massive scoperte finora sono fermioniche. Tuttavia, alcuni sistemi riportati in tabella sono considerati bosonici poichè composti da un
numero pari di fermioni come per esempio 4 He liquido (composto da 2 protoni, 2 neutroni
e 2 elettroni). Questa assunzione non è valida nei casi in cui sia energeticamente conveniente lo scambio di uno dei singoli componenti della particella con un altro di un’altra
particella: a questo punto la natura fermionica del sistema si manifesta e impedisce la
condensazione.
1. L’equazione di Gross-Pitaevskii
In uno stato condensato (nell’ipotesi di temperatura T → 0) la funzione d’onda totale del sistema Ψ può essere scomposta in prima approssimazione come un prodotto
delle funzioni d’onda di singola particella ψ perché tutti i componenti sono nello stato
fondamentale e le correlazioni tra le particelle sono praticamente nulle.
(4)
N
Y
ψ(xi , t)
√
Ψ(x1 , x2 , ..., xN , t) =
N
i=1
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Sappiamo che l’evoluzione della funzione d’onda di singola particella è regolata dalla nota
equazione di Schrödinger
∂ψ(x, t)
~2 2
(5)
i~
=−
∇ ψ(x, t) + Vext (x, t)ψ(x, t),
∂t
2m
dove Vest rappresenta un eventuale potenziale esterno che agisce sulla particella. In questo
caso tuttavia ogni particella interagisce anche “urtando” con le altre e quindi dobbiamo
includere un termine di accoppiamento aggiuntivo nell’equazione. Siccome le temperature
sono basse è buona norma considerare solo gli urti binari utilizzando la sezione d’urto di
scattering dell’autofunzione di forma s della funzione di particella singola. Questo porta
ad introdurre un potenziale medio efficace
4πas ~2
(6)
Vef f (x, t) =
|ψ(x, t)|2 ,
m
dove as è detta lunghezza di scattering di onda-s ed è una quantità che dipende dalla specie
bosonica considerata. Includendo questo termine si ottiene l’equazione di Gross-Pitaevskii
~2 2
4πas ~2
∂ψ(x, t)
=−
∇ ψ(x, t) +
|ψ(x, t)|2 ψ(x, t) + Vext (x, t)ψ(x, t)
(7)
i~
∂t
2m
m
che regola la dinamica del condensato. Trascurando per semplicità da qui in poi il potenziale esterno, l’equazione può essere scritta in forma adimensionale
(8)
i∂t ψ + ∇2 ψ − |ψ|2 ψ = 0,
introducendo le seguenti trasformazioni:
t −→ t = ~ t0
(9)
~
x −→ x = √
x0
2m
r
m
ψ −→ ψ =
ψ0
4πas ~2
2. Trasformazioni di Madelung e proprietà superfluide
L’equazione di Gross-Pitaevskii può essere espressa in formulazione fluidodinamica attraverso la trasformazione di Madelung
p
(10)
ψ(x, t) = ρ(x, t)eiφ(x,t) ,
dove ρ e φ sono funzioni a valori reali. Applicando la trasformazione all’equazione adimensionale e separando la parte reale dalla parte immaginaria si ottiene il seguente sistema:
√
∇2 ρ
− ∂t φ + √ − (∇φ)2 − ρ = 0,
ρ
(11)
∂t ρ + ∇ (ρ 2∇φ) = 0.
Ponendo
(12)
v = 2∇φ,
si osserva che la seconda equazione non è altro che l’equazione di continuità per un fluido
avente densità ρ che ammette compressibilità. Applicando ora l’operatore divergenza alla
prima equazione e utilizzando la relazione tra v e φ si ricava
2√ 2∇ ρ
1
2
(13)
∂t v + ∇v = −∇(2ρ) + ∇
.
√
2
ρ
4
CONDENSATI DI BOSE-EINSTEIN E SUPERFLUIDI
Sfruttando la proprietà del calcolo vettoriale
1
(14)
(v · ∇) v = ∇v2 + (∇ × v) × v
2
e ricordando che il secondo termine a secondo membro è nullo poiché v è un gradiente si
ottiene
2√ 2∇ ρ
(15)
∂t v + (v · ∇) v = −∇(2ρ) + ∇
.
√
ρ
Quest’ultima relazione non è altro che l’equazione di Bernoulli per un fluido irrotazionale
con l’aggiunta di un termine di pressione chiamato pressione quantistica. Di conseguenza
un condensato regolato dall’equazione di Gross-Pitaevskii non è altro che un fluido senza
viscosità, cioè un superfluido, comprimibile e irrotazionale.
3. I vortici quantizzati
Il fatto che il fluido sia irrazionale non esclude però che ci siano delle strutture a vortice
al suo interno. È possibile misurare la circuitazione della velocità lungo un generico
cammino γ chiuso nello spazio tridimensionale
I
I
(16)
C = v · dl = 2 ∇φ · dl = 2 ∆φ.
γ
γ
Pertanto se la fase della funzione d’onda ha un “salto” durante il cammino su γ allora la
circuitazione è diversa da zero e all’interno del cammino la vorticià è non nulla. Affinché
il campo ψ sia continuo su tutto il cammino deve valere
∆φ = 2π n, con n ∈ Z
(17)
da cui ne consegue che la vorticià è quantizzata. Inoltre, dal teorema della divergenza
I
Z
Z
(18)
C=
v · dl =
∇ × v dΣ = 2 ∇ × ∇φ dΣ = 0
γ=∂Σ
Σ
ci si accorge che se la circuitazione è diversa da zero allora il dominio Σ avente come
contorno γ deve necessariamente essere non semplicemente connesso, cioè contenere delle
singolarità al suo interno.
Per capire la natura di queste singolarità consideriamo per semplicità una funzione
d’onda bidimensionale ψ(x, y, t) che al tempo t0 possiede una particolare condizione di
simmetria circolare attorno all’origine: la densità dipende solo dalla componente radiale
e la fase solo da quella angolare. Attraverso il passaggio a coordinate polari
x = r cos θ
(19)
y = r sin θ
questo significa
(20)
ψ(x, y, t0 ) −→ ψ(x, y) = f (r) eig(θ) .
Affinché il campo sia continuo percorrendo un giro attorno all’angolo θ deve valere per
esempio
g(θ) = n θ + θ0
(21)
, con n ∈ Z
g 0 (θ) = n
ovvero abbiamo scelto che la funzione di fase g abbia la particolare condizione di essere costantemente crescente, decrescente o uniforme (vedi figura 4). Ricordando che
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Figure 3. Passaggio da coordinate cartesiane a coordinate polari.
Figure 4. Rappresentazione qualitativa di tre casi della famiglia di funzioni g(θ).
l’operatore gradiente in coordinate polari è
∂
1 ∂
(22)
∇=
er +
eθ ,
∂r
r ∂θ
si ottiene che la velocità del fluido è
1 ∂g
2n
(23)
v = 2∇g = 2
eθ =
eθ
r ∂θ
r
e la circolazione attorno all’origine su una generica circonferenza S è
Z 2π
I
Z 2π
v · dl =
r vθ dθ =
2n dθ = 4π n.
(24)
C=
S
0
0
Siccome questo risultato vale per una qualsiasi circonferenza di raggio r è possibile prendere raggi via via più piccoli. Notiamo che la velocità è infinita solo per r → 0 ed è
proprio in questo unico punto che si trova la singolaritá (infatti anche la fase stessa non
è definita nell’origine).
Queste singolarità sono dette vortici quantizzati e si presentano come dei punti su
un piano e come delle linee nello spazio. Inoltre, in tre dimensioni queste linee devono
necessariamente chiudersi formando o anelli oppure terminando ai bordi del sistema.