Irriducibilità nello spazio di Hilbert

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IRRIDUCIBILITÀ NELLO SPAZIO DI HILBERT
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IRRIDUCIBILITÀ
Sistemi irriducibili di operatori in uno spazio di Hilbert
Un insieme o sistema di operatori {A, B, . . .} in uno spazio di Hilbert H
si dice irriducibile
se non esiste alcun sottospazio proprio di H
invariante per tutti gli operatori del sistema.
Richiami sui sottospazi invarianti
I sottospazi generati da un qualunque sottoinsieme degli autovettori propri e impropri di un operatore A,
cioè gli autospazi, i loro sottospazi e le somme dirette di quelli e di questi,
sono invarianti per A.
Se due operatori A e B commutano,
ogni autospazio (ma non ogni sottospazio invariante) di uno è invariante per l’altro
(e ovviamente anche le somme dirette di autospazi di uno sono invarianti per l’altro).
Se H è un sottospazio invariante di un operatore A autoaggiunto
anche il suo complemento ortogonale H = H H è invariante per A.
I sottospazi generati da un qualunque sottoinsieme degli autovettori di un operatore autoaggiunto A
sono tutti i sottospazi invarianti di A.
Nota
L’applicazione dell’aggettivo irriducibile al sistema di operatori è di uso corrente.
Forse l’espressione "H è irriducibile rispetto al sistema di operatori" traduce meglio il concetto.
Nota
Il concetto di sistema irriducibile di operatori
e quello di sistema esauriente di operatori autoaggiunti commutanti
sono del tutto distinti.
Anzi, un sistema di operatori autoaggiunti commutanti (esauriente o no)
non è mai irriducibile,
poiché tutti gli autospazi comuni e la loro somme dirette
(facendo riferimento per semplicità al caso di operatori con solo spettro discreto)
sono invarianti.
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Lemma di Schur
In uno spazio finitodimensionale
Sia A, B, . . . un sistema irriducibile di operatori;
sia Z un operatore commutante con tutti gli elementi del sistema irriducibile.
Allora Z è multiplo dell’identità.
Infatti Z ha almeno un autovalore e un corrispondente autospazio.
Per la commutatività di Z con A, B, C, . . ., tale autospazio è invariante per tutti gli operatori del sistema.
Esso coincide necessariamente con l’intero spazio,
cioè Z è multiplo dell’identità.
In uno spazio infinitodimensionale
(formulazione e dimostrazione disinvolte)
Sia A, B, C, . . . un sistema irriducibile di operatori;
sia Z un operatore, che supponiamo autoaggiunto,
commutante con tutti gli elementi del sistema irriducibile.
Allora Z è multiplo dell’identità.
Supponiamo che Z abbia solo o anche spettro continuo,
Z |ul (k)i = z(k)|ul (k)i.
Per la commutatività di Z con A, B, C, . . .,
Z A |ul (k)i = A Z |ul (k)i = z(k) A |ul (k)i)
e quindi
X
A |ul (k)i =
m
l
am
(k) |um (k)i.
Consideriamo il sottospazio generato dagli autovettori impropri appartenenti all’intervallo (k1 , k2 ),
cioè il sottospazio composto dai vettori propri del tipo
X Z
l
k2
dk αl (k) |ul (k)i.
k1
Allora
A
X Z
l
k2
dk αl (k) |ul (k)i =
k1
=
X Z
l
k2
dk αl (k)A |ul (k)i =
k1
X Z
m
X Z
m
k2
dk
k1
X
l
k2
dk βm (k) |um (k)i,
k1
e quindi il sottospazio considerato è invariante per A e analogamente per B, C, . . . .
Pertanto Z non può avere spettro continuo.
Allora Z ha certamente almeno un autovalore proprio e un corrispondente autospazio
e si può ripetere l’argomento usato nel caso finitodimensionale.
l
am
(k) αl (k)
|um (k)i
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Irriducibiltà del sistema {x̂, k̂} in L 2 (R)
Sia, al solito,
k̂f (x) = −i
x̂f (x) = xf (x),
d
f (x).
dx
I sottospazi di L 2 (R) invarianti rispetto a x̂
sono gli insiemi E (E) degli elementi di L 2 (R)
il cui supporto è contenuto in un dato sottoinsieme chiuso E di R.
D’altra parte
∞
X
exp ia(−id/dx) f (x) =
0
n
1 n dn
a
f (x) = f (x + a)
n!
dxn
Poiché un sottospazio invariante per un operatore è invariante anche per qualsiasi sua funzione,
ne segue che E (E) è invariante per k̂ se e solo se E = R oppure E = insieme vuoto,
cioè E (E) = L 2 (R) o rispettivamente E (E) = [0].
Il sistema {x̂, k̂} è pertanto irriducibile in L 2 (R).
Ovviamente la stessa affermazione vale per il sistema {x̂, p̂}.
Irriducibilità del sistema {ŝx , ŝy , ŝz } in `2s+1
Siano ŝx , ŝy , ŝz i soliti operatori di spin in `2s+1 .
I sottospazi invarianti rispetto a ŝz
L(e)
sono i sottospazi E (e) = m Em ,
dove Em sono gli autospazi (unidimensionali) di ŝz
e e è un sottoinsieme di {s, s − 1, . . . , −s}.
Ovviamente, E (e) è invariante per ŝ+ e ŝ− (e a loro volta per ŝx e ŝy )
se e solo se e = {s, s − 1, . . . , −s} oppure e = insieme vuoto,
cioè E (e) = `2s+1 o rispettivamente E (e) = [0].
Il sistema {ŝx , ŝy , ŝz } è pertanto irriducibile in `2s+1 .
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Teorema sull’irriducibilità in uno spazio prodotto
Sia {A(1) } un sistema irriducibile di operatori nello spazio di Hilbert H (1)
e {A(2) } un sistema irriducibile di operatori nello spazio di Hilbert H (2) .
Allora, considerato lo spazio di Hilbert H = H (1) ⊗ H (2) ,
il sistema di operatori in H {{A(1) } ⊗ I (2) , I (1) ⊗ {A(2) }}
è irriducibile.
La dimostrazione del teorema è data nell’appendice.
Implicazioni del teorema
Dal teorema e dai risultati precedenti segue che
il complesso degli operatori fondamentali dei costituenti elementari di un sistema composto
costituisce un sistema irriducibile.
Poiché gli operatori fondamentali di ciascun costituente elementare
sono anche grandezze fisiche del costituente elementare,
se tutte le grandezze fisiche dei costituenti elementari
sono anche grandezze fisiche del sistema composto,
gli operatori che a queste corrispondono costituiscono un sistema irriducibile.
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Teorema di Stone e von Neumann
Se {x̂, k̂} e {x̂0 , k̂ 0 } sono due sistemi di operatori
che agiscono rispettivamente negli spazi di Hilbert H e H 0 ,
che soddisfano rispettivamente alle regole di commutazione
0 0
x̂, k̂ = i
e
x̂ , k̂ = i ,
che sono ciascuno irriducibile nel rispettivo spazio di Hilbert,
−−−T−
−→
allora esiste un isomorfismo H ←−
−− H 0 tale che
T −1
x̂0 = T x̂ T −1 ,
k̂ 0 = T k̂ T −1 .
T è determinato a meno di un fattore numerico di modulo 1.
La dimostrazione del teorema è data nell’appendice.
Un teorema analogo vale ovviamente se k̂ e k̂ 0 sono sostituiti da p̂ e p̂0 .
Osservazione
L’esistenza in uno spazio di Hilbert H
di due operatori x̂ e k̂ con la regola di commutazione x̂, k̂ = i
implica che H è infinitodimensionale.
Teorema analogo per gli operatori di spin
Se {ŝx , ŝy , ŝz } e {ŝ0x , ŝ0y , ŝ0z } sono due sistemi di operatori
che agiscono rispettivamente negli spazi di Hilbert H e H 0 di uguali dimensioni,
che soddisfano rispettivamente alle regole di commutazione
ŝx , ŝy = i ŝz ,
ŝy , ŝz = i ŝx ,
ŝz , ŝx = i ŝy
e
ŝ0x , ŝ0y = i ŝ0z ,
ŝ0y , ŝ0z = i ŝ0x ,
ŝ0z , ŝ0x = i ŝ0y ,
che sono ciascuno irriducibile nel rispettivo spazio di Hilbert,
−−−T−
−→
allora esiste un isomorfismo H ←−
−− H 0 tale che
−1
T
ŝ0x = T ŝx T −1 ,
ŝ0y = T ŝy T −1 ,
ŝ0z = T ŝz T −1 .
T è determinato a meno di un fattore numerico di modulo 1.
La dimostrazione del teorema è data nell’appendice.
Un teorema analogo vale evidentemente se {ŝx , ŝy , ŝz } e {ŝ0x , ŝ0y , ŝ0z }
sono sostituiti da {ŝ-x , ŝ-y , ŝ-z } e {ŝ-0x , ŝ-0y , ŝ-0z }.
Terminologia
Gli operatori {x̂, p̂} o {ŝ-x , ŝ-y , ŝ-z } in H e gli operatori {x̂0 , p̂0 } o {ŝ-0x , ŝ-0y , ŝ-0z }
costituiscono realizzazioni distinte degli operatori fondamentali in spazi di Hilbert distinti.
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Sistemi composti
Sia S un sistema composto dai sistemi componenti elementari A e B.
Consideriamo per ciascuno dei sistemi componenti
distinte realizzazioni {fˆA,i }, {fˆB,j } e {fˆA,i0 }, {fˆB,j 0 } degli operatori fondamentali
in distinti spazi di Hilbert HA , HB e HA0 , HB0 .
Allora gli isomorfismi TA e TB tra gli spazi di Hilbert relativi a ciascun sistema componente
generano un isomorfismo TS = TA ⊗ TB tra gli spazi di Hilbert HS = HA ⊗ HB e HS0 = HA0 ⊗ HB0
con la proprietà
fˆA,i0 ⊗ IB0 = TS fˆA,i ⊗ IB TS−1 ,
IA0 ⊗ fˆB,j 0 = TS IA ⊗ fˆB,j TS−1 .
Quanto affermato sopra si verifica facilmente
e si estende ai sistemi composti da più di due componenti elementari,
compresa la particella nello spazio tridimensionale come composta dai tre movimenti lungo x, y e z.
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DESCRIZIONI EQUIVALENTI DI UN SISTEMA FISICO
Per un sistema fisico arbitrario,
0
consideriamo due realizzazioni distinte {x̂α , p̂α , ŝ-α } e {x̂α
, p̂0α , ŝ-α0 } degli operatori fondamentali
negli spazi di Hilbert H e H 0 rispettivamente.
Consideriamo la corrispondenza tra H e H 0
|ψi0 = T |ψi,
|ψi = T −1 |ψi0
istituita dall’isomorfismo T .
Considerata una qualsiasi grandezza fisica G({x, p, s}) , facciamo corrispondere ad essa
l’operatore Ĝ = G({x̂, p̂, ŝ}) in H e l’operatore Ĝ0 = G({x̂0 , p̂0 , ŝ0 }) in H 0 .
Si ha
Ĝ0 = G({T x̂T −1 , T p̂T −1 , T ŝT −1 }) = T G({x̂, p̂, ŝ}) T −1 = T Ĝ T −1
e, poiché a ogni effetto si può scrivere 0hϕ| = hϕ|T −1 ,
0
hϕ|Ĝ0 |ψi0 = hϕ|Ĝ|ψi.
Inoltre, posto
i
U (t) = exp − Ĥt ,
}
i
U 0(t) = exp − Ĥ 0 t ,
}
si ha
U 0(t) = T U (t) T −1
e pertanto
U 0(t)|ψi0 = T U (t)|ψi .
È allora ovvio
che le descrizioni del sistema considerato in H e in H 0
sono del tutto equivalenti.
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FORMA ALTERNATIVA DEL PRINCIPIO E
Le considerazioni che precedono mostrano che il principio E,
che definisce lo spazio di Hilbert e gli operatori fondamentali dei sistemi elementari,
può essere posto nella forma seguente.
Principio E: sistemi elementari
a) A una particella senza struttura interna
è associato uno spazio di Hilbert H infinitodimensionale
nel quale sono definiti sei operatori x̂, ŷ, ẑ, p̂x , p̂y , p̂z
che soddisfano alle regole di commutazione
x̂i , x̂j = 0,
p̂i , p̂j = 0,
x̂i , p̂j = i}δij
e che costituiscono un sistema irriducibile in H .
Alle coordinate cartesiane x, y, z della particella
corrispondono gli operatori x̂, ŷ, ẑ.
Alle componenti del momento lineare px , py , pz della particella
corrispondono gli operatori p̂x , p̂y , p̂z .
Gli operatori corrispondenti alle altre grandezze fisiche della particella
sono funzioni (autoaggiunte) di x̂, ŷ, ẑ, p̂x , p̂y , p̂z .
b) A uno spin di valore s
è associato uno spazio di Hilbert H (2s + 1)–dimensionale
nel quale sono definiti tre operatori ŝx , ŝy , ŝz
che soddisfano alle regole di commutazione
ŝx , ŝy = i} ŝz ,
ŝy , ŝz = i} ŝx ,
ŝz , ŝx = i} ŝy
e che costituiscono un sistema irriducibile in H .
Alle componenti sx , sy , sz dello spin
corrispondono gli operatori ŝx , ŝy , ŝz .
Gli operatori corrispondenti alle altre grandezze fisiche del sistema di spin
sono funzioni (autoaggiunte) di ŝx , ŝy , ŝz .
Nota
Il principio C relativo ai sistemi composti rimane inalterato.
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APPENDICE
Teorema sull’irriducibilità in uno spazio prodotto
Sia {A(1) } un set irriducibile di operatori nello spazio di Hilbert H (1)
e {A(2) } un set irriducibile di operatori nello spazio di Hilbert H (2) .
Allora, considerato lo spazio di Hilbert H = H (1) ⊗ H (2) ,
il set di operatori in H {{A(1) ⊗ I (2) }, {I (1) ⊗ A(2) }}
è irriducibile.
Ovvero,
nell’ipotesi che non esistano in H (1) sottospazi propri invarianti per tutti gli A(1)
e non esistano in H (2) sottospazi propri invarianti per tutti gli A(2) ,
non esistono in H sottospazi propri invarianti per tutti gli A(1) ⊗ I (2) e I (1) ⊗ A(2) .
Sottospazi
(1)
(2)
Siano {|ei i} e {|ej i} basi ortonormali in H (1) e H (2) rispettivamente.
Considerato un sottospazio Hs di H ,
i suoi elementi si scrivono
(1)
X
ij
(2)
sij |ei i|ej i,
dove combinazioni lineari di matrici sij sono ancora matrici sij .
X
(1)
(1)
Per ogni j i vettori
sij |ei i costituiscono un sottospazio Hj di H (1) ,
i
X
(2)
(2)
per ogni i i vettori
sij |ej i costituiscono un sottospazio Hi di H (2) .
j
Lemma
Se Hs è un sottospazio proprio di H ,
(1)
almeno uno dei sottospazi Hj
, Hi
(2)
è un sottospazio proprio del rispettivo spazio.
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Dimostrazione del lemma
(1)
Supponiamo per assurdo che tutti i sottospazi Hj
, Hi
(2)
siano non propri,
(1)
= H (1) oppure H 0
Hi
(2)
= H (2) oppure H 0 .
Supponiamo che per qualche i sia
Hi
(2)
=H0 ;
allora, per quegli i
sij = 0 per ogni j,
ovvero, per ogni j
sij = 0 per quegli i,
quindi, per ogni j,
Hj
quindi, per ogni j,
Hj
quindi, per ogni j,
sij = 0 per ogni i,
cioè
Hs = H0 , contrariamente all’ipotesi del lemma.
cioè, per ogni j,
Hj
e, per ogni i,
(1)
(2)
(2)
(1)
6= H (1) ,
(1)
=H0 ,
(1)
Allora, per l’ipotesi assurda, deve essere,
Hi
per ogni i,
(2)
= H (2) ;
ne segue che per ogni vettore di H possiamo scrivere
(1)
X
ij
(2)
cij |ei i|ej i =
X
i
X
X (1) X
X
(1)
(2)
(2)
(1)
(2)
|ei i
cij |ej i =
|ei i
sij |ej i =
sij |ei i|ej i,
j
i
j
ij
Hs = H , contrariamente all’ipotesi del lemma.
cioè
Dimostrazione del teorema
Supponiamo per assurdo che esista un sottospazio proprio Hs di H
invariante per l’azione di tutti gli operatori A(1) ⊗ I (2) , I (1) ⊗ A(2) .
Sia Hs costituito dai vettori
X
ij
(1)
(2)
sij |ei i|ej i.
Poiché Hs è invariante per I (1) ⊗ A(2) , si ha
X
(1)
(2)

s0ij |ei i|ej i


ij

X
(1)
(2)
I (1) ⊗ A(2)
sij |ei i|ej i = e d’altra parte
ij

X


(1)
(2)

sij |ei i A(2) |ej i,
ij
da cui per ogni i
X
(2)

s0ij |ej i


j

X
(2)
sij A(2) |ej i = e d’altra parte
j

X


(2)
 A(2)
sij |ej i,
j
e quindi ogni sottospazio Hi
(2)
è invariante per tutti gli A(2) .
(1)
Analogamente, ogni sottospazio Hj
è invariante per tutti gli A(1) .
Per il lemma,
(1)
uno dei sottospazi Hj
, Hi
(2)
è sicuramente proprio, contrariamente all’ipotesi del teorema.
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Teorema di Stone e von Neumann
Se {x̂, k̂} e {x̂0 , k̂ 0 } sono due sistemi di operatori
che agiscono rispettivamente negli spazi di Hilbert H e H 0 ,
che soddisfano rispettivamente alle regole di commutazione
0 0
x̂, k̂ = i
e
x̂ , k̂ = i ,
che sono ciascuno irriducibile nel rispettivo spazio di Hilbert,
−−−T−
−→
allora esiste un isomorfismo H ←−
−− H 0 tale che
T −1
x̂0 = T x̂ T −1 ,
k̂ 0 = T k̂ T −1 .
T è determinato a meno di un fattore numerico di modulo 1.
Dimostrazione (disinvolta)
Nello spazio H consideriamo gli operatori
a = √1 (α x̂ + αi k̂),
2
a+ = √1 (α x̂ − αi k̂),
2
per i quali si ha
+
a,a = 1,
a+a,a+ = a+ ,
+ a a,a = −a.
Gli autovettori e autovalori di a+ a costituiscono catene del tipo
autovettori
|u0 i, |u1 i,
autovalori
0,
1,
a |u0 i = 0,
a+ |un i =
. . . , |un i,
...
...,
...
n,
definite da
√
n + 1 |un+1 i,
da cui segue anche
√
a |un i = n |un−1 i,
e tutti gli autovettori di una catena sono normalizzati supponendo |u0 i normalizzato.
Poiché
√
1 √1 √n + 1 |u
x̂ |un i = α
n |un−1 i ,
n+1 i +
2
√
√
k̂ |un i = iα √1
n + 1 |un+1 i − n |un−1 i ,
2
il sottospazio generato da una catena di autovettori è invariante per x̂, p̂.
Per l’assunta irriducibilità del set x̂, k̂, esiste quindi una sola catena.
Per il carattere autoaggiunto dell’operatore a+a
gli autovettori {|un i} dell’unica catena costituiscono un set ortonormale completo.
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IRRIDUCIBILITÀ NELLO SPAZIO DI HILBERT
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Nello spazio H 0 costruiamo analogamente (usando lo stesso α) un set ortonormale completo {|un i0 }
per il quale
√
1 √1 √n + 1 |u
0
x̂0 |un i0 = α
n |un−1 i0 ,
n+1 i +
2
√
√
k̂ 0 |un i0 = iα √1
n + 1 |un+1 i0 − n |un−1 i0 ,
2
−−−T−
−→
La corrispondenza lineare biunivoca H ←−
−− H 0 definita da
T −1
|un i0 = T |un i
è ovviamente un isomorfismo per il quale
x̂0 = T x̂ T −1 ,
k̂ 0 = T k̂ T −1 .
T è determinato a meno di una fase arbitraria conseguenza delle fasi arbitrarie in |u0 i e |u00 i.
Nota
Si dimostra facilmente che, se S è un isomorfismo altrimenti costruito
per il quale
x̂0 = S x̂ S −1 , k̂ 0 = S k̂ S −1 ,
S differisce da T al più per un fattore di fase.
Infatti, posto
|vn i0 = S|un i,
si ha
a0 |v0 i0 = SaS −1 S|u0 i = Sa|u0 i = 0,
e quindi
|v0 i0 = exp(ic) |u0 i0 ;
inoltre
a0+ |vn i0 = Sa+ S −1 S|un i = Sa+ |un i =
Pertanto
|vn i0 = exp(ic) |un i0
e quindi
S = exp(ic) T.
√
n + 1 S|un+1 i =
√
n + 1 |vn+1 i0 .
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Teorema analogo per gli operatori di spin
Se {ŝx , ŝy , ŝz } e {ŝx0 , ŝy0 , ŝz0 } sono due sistemi di operatori
che agiscono rispettivamente negli spazi di Hilbert H e H 0 di uguali dimensioni,
che soddisfano rispettivamente alle regole di commutazione
ŝx , ŝy = iŝz ,
ŝy , ŝz = iŝx ,
ŝz , ŝx = iŝy
e
0 0
ŝx , ŝy = iŝz0 ,
0 0
ŝy , ŝz = iŝx0 ,
0 0
ŝz , ŝx = iŝy0 ,
che sono ciascuno irriducibile nel rispettivo spazio di Hilbert,
−−−T−
−→
allora esiste un isomorfismo H ←−
−− H 0 tale che
T −1
ŝx0 = T ŝx T −1 ,
ŝy0 = T ŝy T −1 ,
ŝz0 = T ŝz T −1 .
T è determinato a meno di un fattore numerico di modulo 1.
La dimostrazione è analoga a quella data per il teorema di Stone e von Neumann.
I due spazi di Hilbert H e H 0 hanno necessariamente dimensioni finite.
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