Corso di preparazione ai Giochi di Archimede 2014
Lezione del 23 OTT 2014
Geometria
1) Il cortile della casa di Luigi ha la forma di un triangolo rettangolo isoscele. Sapendo
che l'area del cortile è 16 m², quanto misura il lato più lungo del cortile?
(A)2 m (B) 4 m (C) 4√2 m (D) 8 m (E) 8√2 m
2) Sapendo che il rettangolo in figura viene diviso dalla linea
inclinata in due parti di aree una quadrupla dell'altra.
Calcolare il rapporto tra le misure dei segmenti a e b.
(A) 2/3 (B) 1/4 (C) 1/5 (D) 1/2 (E) 2/5
3) Sia ABC un triangolo acutangolo e sia H sul lato AB il piede
dell'altezza dal vertice C. Supponiamo che l'area del triangolo
AHC stia a quella del triangolo ABC come AC sta a 2AB.
Quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera?
(A) ABC è rettangolo (B) CÂB = 60° (C) AB = 2AH
(D) AB = AC (E) ABC è equilatero
4) In un triangolo due angoli misurano rispettivamente 30° e 105° ed il lato tra essi
compreso è lungo 2 cm. Qual è la misura del perimetro del triangolo?
(A) (5 +√3) cm, (B) (2 + 2√3 +√2) cm, (C) (3 +√3 +√2) cm,
(D) (5 +√2) cm, (E) (2 + 3√3) cm.
5) ABCDEF è un esagono regolare di lato 1 cm. G è il punto di
intersezione tra le diagonali AC e BE. Quanto vale l’area del
triangolo ABG?
(A) (√3−1)/2 cm2, (B) √3/8 cm2, (C) 9/40 cm2, (D) (1+√3)/12 cm2,
(E) √3/4 cm2.
6) Si sa che nella figura a fianco CÂE = 60°,
AÊB = 20°, AĈD = 25°. I punti E, D, B
sono allineati. Qual è la misura di BDC?
(A) 75° (B) 85° (C) 90° (D) 105° (E) le informazioni sono insufficienti.
7) Nel rettangolo ABCD (vertici indicati in senso antiorario), E ed F sono i punti
medi dei lati maggiori AD e BC rispettivamente. Sapendo che ABFE è simile a
ABCD, quanto vale AD/AB?
(A) 7/5 (B) 3/2 (C) √3 (D) 2√2 (E) le precedenti risposte sono tutte sbagliate.
8) Nel pentagono regolare disegnato a fianco, il triangolo ABC è equilatero.
Quanto vale l’angolo convesso EĈD?
(A) 120° (B) 144° (C) 150° (D) 168° (E) 170°.
9) Nella figura a fianco, il segmento DE è parallelo ad AB.
Sapendo che l’area di DEC è uguale ai ¾ di quella di ABC
e che AC misura 1 m, quanto misura DC?
(A) (2 − √3)/2 m, (B) (2 − √3) m, (C) √3/3 m,
(D) 3/4 m, (E) √3/2 m.
10) Claudia ha disegnato sul quaderno l’iniziale del suo nome, una C. Il disegno è stato
fatto tagliando esattamente a metà una corona circolare con raggio interno 1 cm e
raggio esterno 4 cm. Quanto misura il perimetro della C?
(A) 5 cm, (B) 5π cm, (C) (6+5π) cm, (D) (5+6π) cm, (E) (6+10π) cm.
11) In un rettangolo di area 150 m2 la misura della base è uguale ai 3/2
di quella dell’altezza. Quanto misura il perimetro del rettangolo?
(A) 50 m, (B) 54 m, (C) 60 m, (D) 64 m, (E) 70 m.
12) Nella tomba del faraone Tetrankamon è stato ritrovato uno smeraldo, lavorato a
forma di tetraedro (piramide a base triangolare) i cui spigoli misurano in millimetri 54, 32, 32, 29, 27, 20. Indicando con A,B,C,D i vertici del tetraedro e
sapendo che AB è lungo 54, quanti millimetri è lungo CD?
(A) 32 (B) 29 (C) 27 (D) 20 (E) non si può determinare.
13) Versando 40 cm3 di acqua in un recipiente a forma di parallelepipedo rettangolo
avente un lato della base lungo 4 cm il livello del liquido raggiunge 5 cm. Versandone una quantità incognita in un altro recipiente parallelepipedo rettangolo
che ha quel lato della base lungo 6 cm e l’altro inalterato, il liquido raggiunge un
livello di 15 cm. Quanti cm3 di acqua sono stati versati la seconda volta?
(A) 180 (B) 80 (C) 40 (D) 20 (E) 80/9.
Problemi BONUS
A. Un giardino quadrato di 20 metri di lato viene innaffiato con irrigatori puntiformi.
Ciascun irrigatore innaffia tutti i punti che distano da esso al più 10 metri. Qual è il minimo numero
di irrigatori necessario per innaffiare tutto il giardino?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5.
B. Sia ABC un triangolo acutangolo. Costruiamo un rettangolo che abbia un lato coincidente con AB e contenga il punto C sul lato opposto ad AB. Facciamo la
stessa costruzione partendo dal lato BC e dal lato CA,
ottenendo così tre rettangoli. Allora sicuramente i tre
rettangoli hanno:
(A) perimetri uguali, (B) aree uguali, (C) somma
delle lunghezze delle diagonali uguali, (D) uguale rapporto tra lato maggiore e lato minore, (E) nessuna
delle precedenti affermazioni è sicuramente vera.
C. Qual è la somma degli angoli convessi A, B, C, D, E in figura?
(A) 180° (B) 360° (C) 270° (D) 400° (E) 720°
D. Facendo ruotare un triangolo rettangolo attorno ad uno dei suoi cateti, il volume del cono
generato è 800π cm3. Facendo ruotare il triangolo intorno all’altro cateto, invece, il volume del
cono ottenuto è 1920π cm3. Calcolare la misura dell’ipotenusa.
(A) 20 (B) 23 (C) 24 (D) 26 (E) 33
E. Un esagono regolare ha lo stesso perimetro di un triangolo equilatero. Qual è il rapporto tra
l’area dell’esagono e quella del triangolo?
(A) 1 (B) 4/3 (C) 3/2 (D) √3 (E) 2
F. In un parallelogramma di area 1 m2 le lunghezze di due lati consecutivi sono una il doppio
dell’altra. Inoltre uno degli angoli interni misura 60°. Quanto misura la diagonale minore?
(A)√3/2 m, (B) 2·3¼/3 m, (C) 1 m, (D) 2√3/3 m, (E) 3¼ m.
