Economie di larga scala e Teoremi del Welfare: il

Economie di scambio con un numero finito di agenti e commodities
Economie di scambio con un continuum di agenti
Economie di larga scala: un continuum di agenti e spazio delle commodities infinito dimensionale
Modelli coalizionali e finitamente additivi
Economie di larga scala e Teoremi del Welfare:
il modello classico e le piú recenti
generalizzazioni
Francesca Centrone, Anna Martellotti
Dipartimento di Studi per l’Economia e l’Impresa, Novara
Dipartimento di Matematica e Informatica, Perugia.
June 4, 2014 — Perugia
Francesca Centrone, Anna Martellotti
Economie di larga scala e Teoremi del Welfare: il modello classico
Economie di scambio con un numero finito di agenti e commodities
Economie di scambio con un continuum di agenti
Economie di larga scala: un continuum di agenti e spazio delle commodities infinito dimensionale
Modelli coalizionali e finitamente additivi
Outline
1
Economie di scambio con un numero finito di agenti e
commodities
2
Economie di scambio con un continuum di agenti
3
Economie di larga scala: un continuum di agenti e spazio
delle commodities infinito dimensionale
4
Modelli coalizionali e finitamente additivi
Francesca Centrone, Anna Martellotti
Economie di larga scala e Teoremi del Welfare: il modello classico
Economie di scambio con un numero finito di agenti e commodities
Economie di scambio con un continuum di agenti
Economie di larga scala: un continuum di agenti e spazio delle commodities infinito dimensionale
Modelli coalizionali e finitamente additivi
Economia di scambio (1)
I fondamentali di una economia di scambio sono:
l’insieme degli agenti I = {1, . . . , n};
l’insieme delle commodities J = {1, . . . , m};
ogni agente i ∈ I possiede inizialmente un paniere ei che
specifica, per ognuna delle commodities, la quantità
posseduta;
La dotazione iniziali e le allocazioni risultanti dagli scambi
degli agenti sono vettori appartenenti allo spazio delle
commodities X = Rm .
Piú precisamente, supporremo che ogni agente possa
scegliere in un insieme di consumo Xi ⊂ X , che spesso
m
prenderemo per tutti uguale ad X+ = Rm
+ , il cono positivo di R .
Francesca Centrone, Anna Martellotti
Economie di larga scala e Teoremi del Welfare: il modello classico
Economie di scambio con un numero finito di agenti e commodities
Economie di scambio con un continuum di agenti
Economie di larga scala: un continuum di agenti e spazio delle commodities infinito dimensionale
Modelli coalizionali e finitamente additivi
Economia di scambio (1)
I fondamentali di una economia di scambio sono:
l’insieme degli agenti I = {1, . . . , n};
l’insieme delle commodities J = {1, . . . , m};
ogni agente i ∈ I possiede inizialmente un paniere ei che
specifica, per ognuna delle commodities, la quantità
posseduta;
La dotazione iniziali e le allocazioni risultanti dagli scambi
degli agenti sono vettori appartenenti allo spazio delle
commodities X = Rm .
Piú precisamente, supporremo che ogni agente possa
scegliere in un insieme di consumo Xi ⊂ X , che spesso
m
prenderemo per tutti uguale ad X+ = Rm
+ , il cono positivo di R .
Francesca Centrone, Anna Martellotti
Economie di larga scala e Teoremi del Welfare: il modello classico
Economie di scambio con un numero finito di agenti e commodities
Economie di scambio con un continuum di agenti
Economie di larga scala: un continuum di agenti e spazio delle commodities infinito dimensionale
Modelli coalizionali e finitamente additivi
Economia di scambio (1)
I fondamentali di una economia di scambio sono:
l’insieme degli agenti I = {1, . . . , n};
l’insieme delle commodities J = {1, . . . , m};
ogni agente i ∈ I possiede inizialmente un paniere ei che
specifica, per ognuna delle commodities, la quantità
posseduta;
La dotazione iniziali e le allocazioni risultanti dagli scambi
degli agenti sono vettori appartenenti allo spazio delle
commodities X = Rm .
Piú precisamente, supporremo che ogni agente possa
scegliere in un insieme di consumo Xi ⊂ X , che spesso
m
prenderemo per tutti uguale ad X+ = Rm
+ , il cono positivo di R .
Francesca Centrone, Anna Martellotti
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Economie di scambio con un numero finito di agenti e commodities
Economie di scambio con un continuum di agenti
Economie di larga scala: un continuum di agenti e spazio delle commodities infinito dimensionale
Modelli coalizionali e finitamente additivi
Economia di scambio (1)
I fondamentali di una economia di scambio sono:
l’insieme degli agenti I = {1, . . . , n};
l’insieme delle commodities J = {1, . . . , m};
ogni agente i ∈ I possiede inizialmente un paniere ei che
specifica, per ognuna delle commodities, la quantità
posseduta;
La dotazione iniziali e le allocazioni risultanti dagli scambi
degli agenti sono vettori appartenenti allo spazio delle
commodities X = Rm .
Piú precisamente, supporremo che ogni agente possa
scegliere in un insieme di consumo Xi ⊂ X , che spesso
m
prenderemo per tutti uguale ad X+ = Rm
+ , il cono positivo di R .
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Economie di scambio con un numero finito di agenti e commodities
Economie di scambio con un continuum di agenti
Economie di larga scala: un continuum di agenti e spazio delle commodities infinito dimensionale
Modelli coalizionali e finitamente additivi
Economia di scambio (1)
I fondamentali di una economia di scambio sono:
l’insieme degli agenti I = {1, . . . , n};
l’insieme delle commodities J = {1, . . . , m};
ogni agente i ∈ I possiede inizialmente un paniere ei che
specifica, per ognuna delle commodities, la quantità
posseduta;
La dotazione iniziali e le allocazioni risultanti dagli scambi
degli agenti sono vettori appartenenti allo spazio delle
commodities X = Rm .
Piú precisamente, supporremo che ogni agente possa
scegliere in un insieme di consumo Xi ⊂ X , che spesso
m
prenderemo per tutti uguale ad X+ = Rm
+ , il cono positivo di R .
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Economie di scambio con un continuum di agenti
Economie di larga scala: un continuum di agenti e spazio delle commodities infinito dimensionale
Modelli coalizionali e finitamente additivi
Ogni agente è inoltre dotato di un relazione di preferenza i
tramite la quale definiamo:
Pi : Xi −→ 2Xi , xi 7→ Pi (xi ) = {yi ∈ Xi : yi i xi }
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Economie di scambio con un continuum di agenti
Economie di larga scala: un continuum di agenti e spazio delle commodities infinito dimensionale
Modelli coalizionali e finitamente additivi
Sistema di prezzi
Ipotizziamo che i consumatori agiscano come
price-takers;
Ogni unità di una singola commodity j avrà un prezzo pj ,
pertanto un paniere x =P
(x1 , . . . , xn ) di commodities avrà
un prezzo totale p · x = pj xj ;
i prezzi possono essere quindi visti come funzioni lineari
p : X −→ R (dunque in generale useremo
indifferentemente le notazione p · x e p(x)).
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Economie di scambio con un continuum di agenti
Economie di larga scala: un continuum di agenti e spazio delle commodities infinito dimensionale
Modelli coalizionali e finitamente additivi
Sistema di prezzi
Ipotizziamo che i consumatori agiscano come
price-takers;
Ogni unità di una singola commodity j avrà un prezzo pj ,
pertanto un paniere x =P
(x1 , . . . , xn ) di commodities avrà
un prezzo totale p · x = pj xj ;
i prezzi possono essere quindi visti come funzioni lineari
p : X −→ R (dunque in generale useremo
indifferentemente le notazione p · x e p(x)).
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Sistema di prezzi
Ipotizziamo che i consumatori agiscano come
price-takers;
Ogni unità di una singola commodity j avrà un prezzo pj ,
pertanto un paniere x =P
(x1 , . . . , xn ) di commodities avrà
un prezzo totale p · x = pj xj ;
i prezzi possono essere quindi visti come funzioni lineari
p : X −→ R (dunque in generale useremo
indifferentemente le notazione p · x e p(x)).
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Dato un sistema di prezzi p, il budget set del consumatore i è
l’insieme:
βi (p) := {xi ∈ Xi : pi · xi ≤ pi · ei }
mentre il demand set del consumatore i è l’insieme:
φi (p) = {xi ∈ βi (p) : Pi (xi ) ∩ βi (p) = ∅}
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Dato un sistema di prezzi p, il budget set del consumatore i è
l’insieme:
βi (p) := {xi ∈ Xi : pi · xi ≤ pi · ei }
mentre il demand set del consumatore i è l’insieme:
φi (p) = {xi ∈ βi (p) : Pi (xi ) ∩ βi (p) = ∅}
Francesca Centrone, Anna Martellotti
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Economie di scambio con un continuum di agenti
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Economia di scambio (2)
Formalmente, una economia di scambio
E = {I; Xi ; Pi , ei : i ∈ I} (Arrow-Debreu, 1959)
consiste in:
un insieme di consumatori I;
un insieme di consumo Xi ⊂ X+ , per ogni i ∈ I;
una mappa di preferenza stretta Pi , per ogni i ∈ I;
una dotazione iniziale ei ∈ X+ , per ogni i ∈ I;.
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Economia di scambio (2)
Formalmente, una economia di scambio
E = {I; Xi ; Pi , ei : i ∈ I} (Arrow-Debreu, 1959)
consiste in:
un insieme di consumatori I;
un insieme di consumo Xi ⊂ X+ , per ogni i ∈ I;
una mappa di preferenza stretta Pi , per ogni i ∈ I;
una dotazione iniziale ei ∈ X+ , per ogni i ∈ I;.
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Economia di scambio (2)
Formalmente, una economia di scambio
E = {I; Xi ; Pi , ei : i ∈ I} (Arrow-Debreu, 1959)
consiste in:
un insieme di consumatori I;
un insieme di consumo Xi ⊂ X+ , per ogni i ∈ I;
una mappa di preferenza stretta Pi , per ogni i ∈ I;
una dotazione iniziale ei ∈ X+ , per ogni i ∈ I;.
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Economia di scambio (2)
Formalmente, una economia di scambio
E = {I; Xi ; Pi , ei : i ∈ I} (Arrow-Debreu, 1959)
consiste in:
un insieme di consumatori I;
un insieme di consumo Xi ⊂ X+ , per ogni i ∈ I;
una mappa di preferenza stretta Pi , per ogni i ∈ I;
una dotazione iniziale ei ∈ X+ , per ogni i ∈ I;.
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Economia di scambio (3)
Come risultato degli scambi ogni agente i riceverà un vettore
xi di commodities ∈ X+ .
Considerando tutti gli agenti, possiamo definire allocazione
una funzione x : I → X+ , i 7→ xi ∈ X+
Definizione
Una allocazione di dice feasible per E se:
n
X
xi =
i=1
n
X
ei .
i=1
Denoteremo con F (E, I) l’insieme delle allocazioni feasible.
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Egoismo: l’Equilibrio Walrasiano
Definizione
Un equilibrio Walrasiano per E è una coppia (x, p) tale che:
(i) x ∈ F (E, I);
0
(ii) p ∈ L \ {0} è un funzionale lineare di prezzo tale che
xi ∈ φi (p), per ogni i ∈ I.
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Egoismo: l’Equilibrio Walrasiano
Definizione
Un equilibrio Walrasiano per E è una coppia (x, p) tale che:
(i) x ∈ F (E, I);
0
(ii) p ∈ L \ {0} è un funzionale lineare di prezzo tale che
xi ∈ φi (p), per ogni i ∈ I.
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Iperpiani: notazione
Dati p funzionale di prezzo ed α numero reale, indichiamo con:
H(p, α) := {x ∈ X : p · x = α}
Ho+ (p, α) := {x ∈ X : p · x > α}, Ho− (p, α) := {x ∈ X : p · x < α}
H + (p, α) := {x ∈ X : p·x ≥ α}, H0− (p, α) := {x ∈ X : p·x ≤ α}.
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Iperpiani: notazione
Dati p funzionale di prezzo ed α numero reale, indichiamo con:
H(p, α) := {x ∈ X : p · x = α}
Ho+ (p, α) := {x ∈ X : p · x > α}, Ho− (p, α) := {x ∈ X : p · x < α}
H + (p, α) := {x ∈ X : p·x ≥ α}, H0− (p, α) := {x ∈ X : p·x ≤ α}.
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Iperpiani: notazione
Dati p funzionale di prezzo ed α numero reale, indichiamo con:
H(p, α) := {x ∈ X : p · x = α}
Ho+ (p, α) := {x ∈ X : p · x > α}, Ho− (p, α) := {x ∈ X : p · x < α}
H + (p, α) := {x ∈ X : p·x ≥ α}, H0− (p, α) := {x ∈ X : p·x ≤ α}.
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Osservazioni
1
2
3
4
Per ogni i ∈ I, ∆e βi (p) := βi (p) − ei ⊂ H − (p, 0);
La definizione di equilibrio Walrasiano richiede che
∆e Pi (xi ) := Pi (xi ) − ei ⊂ Ho+ (p, 0), per ogni i ∈ I;
Geometricamente quindi l’esistenza di un equilibrio
Walrasiano equivale alla possibilità di separare tramite un
iperpiano H(p, 0) gli insiemi ∆e βi (p) e ∆e Pi (xi ), per ogni
i ∈ I.
Pertanto ∆e Pi (xi ) ∪ {0} è supportato in 0 dal funzionale p:
p · ei < p · y , ∀y ∈ Pi (xi ), ∀i ∈ I.
5
questo fatto, assieme ad xi ∈ βi (p), implica che l’insieme
Pi (xi ) dei panieri preferiti all’ allocazioni di equilibrio xi è
separato dagli insiemi {xi }, per ogni i ∈ I:
p · xi < p · yi , ∀yi ∈ Pi (xi ), ∀i ∈ I
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Osservazioni
1
2
3
4
Per ogni i ∈ I, ∆e βi (p) := βi (p) − ei ⊂ H − (p, 0);
La definizione di equilibrio Walrasiano richiede che
∆e Pi (xi ) := Pi (xi ) − ei ⊂ Ho+ (p, 0), per ogni i ∈ I;
Geometricamente quindi l’esistenza di un equilibrio
Walrasiano equivale alla possibilità di separare tramite un
iperpiano H(p, 0) gli insiemi ∆e βi (p) e ∆e Pi (xi ), per ogni
i ∈ I.
Pertanto ∆e Pi (xi ) ∪ {0} è supportato in 0 dal funzionale p:
p · ei < p · y , ∀y ∈ Pi (xi ), ∀i ∈ I.
5
questo fatto, assieme ad xi ∈ βi (p), implica che l’insieme
Pi (xi ) dei panieri preferiti all’ allocazioni di equilibrio xi è
separato dagli insiemi {xi }, per ogni i ∈ I:
p · xi < p · yi , ∀yi ∈ Pi (xi ), ∀i ∈ I
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Osservazioni
1
2
3
4
Per ogni i ∈ I, ∆e βi (p) := βi (p) − ei ⊂ H − (p, 0);
La definizione di equilibrio Walrasiano richiede che
∆e Pi (xi ) := Pi (xi ) − ei ⊂ Ho+ (p, 0), per ogni i ∈ I;
Geometricamente quindi l’esistenza di un equilibrio
Walrasiano equivale alla possibilità di separare tramite un
iperpiano H(p, 0) gli insiemi ∆e βi (p) e ∆e Pi (xi ), per ogni
i ∈ I.
Pertanto ∆e Pi (xi ) ∪ {0} è supportato in 0 dal funzionale p:
p · ei < p · y , ∀y ∈ Pi (xi ), ∀i ∈ I.
5
questo fatto, assieme ad xi ∈ βi (p), implica che l’insieme
Pi (xi ) dei panieri preferiti all’ allocazioni di equilibrio xi è
separato dagli insiemi {xi }, per ogni i ∈ I:
p · xi < p · yi , ∀yi ∈ Pi (xi ), ∀i ∈ I
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Osservazioni
1
2
3
4
Per ogni i ∈ I, ∆e βi (p) := βi (p) − ei ⊂ H − (p, 0);
La definizione di equilibrio Walrasiano richiede che
∆e Pi (xi ) := Pi (xi ) − ei ⊂ Ho+ (p, 0), per ogni i ∈ I;
Geometricamente quindi l’esistenza di un equilibrio
Walrasiano equivale alla possibilità di separare tramite un
iperpiano H(p, 0) gli insiemi ∆e βi (p) e ∆e Pi (xi ), per ogni
i ∈ I.
Pertanto ∆e Pi (xi ) ∪ {0} è supportato in 0 dal funzionale p:
p · ei < p · y , ∀y ∈ Pi (xi ), ∀i ∈ I.
5
questo fatto, assieme ad xi ∈ βi (p), implica che l’insieme
Pi (xi ) dei panieri preferiti all’ allocazioni di equilibrio xi è
separato dagli insiemi {xi }, per ogni i ∈ I:
p · xi < p · yi , ∀yi ∈ Pi (xi ), ∀i ∈ I
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Osservazioni
1
2
3
4
Per ogni i ∈ I, ∆e βi (p) := βi (p) − ei ⊂ H − (p, 0);
La definizione di equilibrio Walrasiano richiede che
∆e Pi (xi ) := Pi (xi ) − ei ⊂ Ho+ (p, 0), per ogni i ∈ I;
Geometricamente quindi l’esistenza di un equilibrio
Walrasiano equivale alla possibilità di separare tramite un
iperpiano H(p, 0) gli insiemi ∆e βi (p) e ∆e Pi (xi ), per ogni
i ∈ I.
Pertanto ∆e Pi (xi ) ∪ {0} è supportato in 0 dal funzionale p:
p · ei < p · y , ∀y ∈ Pi (xi ), ∀i ∈ I.
5
questo fatto, assieme ad xi ∈ βi (p), implica che l’insieme
Pi (xi ) dei panieri preferiti all’ allocazioni di equilibrio xi è
separato dagli insiemi {xi }, per ogni i ∈ I:
p · xi < p · yi , ∀yi ∈ Pi (xi ), ∀i ∈ I
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Diagramma degli scambi netti
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Prima estensione: il modello di Aumann (1964)
Nella definizione di economia E di Aumann si hanno i seguenti
elementi:
L’insieme dei consumatori I è uncountable, ed è dotato di
una σ-algebra Σ con µ misura numerabilmente additiva e
non-atomica ( che implica µ({i}) = 0 per ogni i ∈ I);
le allocazioni sono funzioni x : I −→ X , µ- integrabili;
R
R
F (E, I) = {x : I → X+ : x = e, xi ∈ Xi , µ − q.o.i ∈ I}
nella definizione di WE si richiede che xi ∈ φi (p), µ-q.o
gli elementi di Σ vengono interpretati come coalizioni di
giocatori
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Economie di scambio con un continuum di agenti
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Prima estensione: il modello di Aumann (1964)
Nella definizione di economia E di Aumann si hanno i seguenti
elementi:
L’insieme dei consumatori I è uncountable, ed è dotato di
una σ-algebra Σ con µ misura numerabilmente additiva e
non-atomica ( che implica µ({i}) = 0 per ogni i ∈ I);
le allocazioni sono funzioni x : I −→ X , µ- integrabili;
R
R
F (E, I) = {x : I → X+ : x = e, xi ∈ Xi , µ − q.o.i ∈ I}
nella definizione di WE si richiede che xi ∈ φi (p), µ-q.o
gli elementi di Σ vengono interpretati come coalizioni di
giocatori
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Prima estensione: il modello di Aumann (1964)
Nella definizione di economia E di Aumann si hanno i seguenti
elementi:
L’insieme dei consumatori I è uncountable, ed è dotato di
una σ-algebra Σ con µ misura numerabilmente additiva e
non-atomica ( che implica µ({i}) = 0 per ogni i ∈ I);
le allocazioni sono funzioni x : I −→ X , µ- integrabili;
R
R
F (E, I) = {x : I → X+ : x = e, xi ∈ Xi , µ − q.o.i ∈ I}
nella definizione di WE si richiede che xi ∈ φi (p), µ-q.o
gli elementi di Σ vengono interpretati come coalizioni di
giocatori
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Prima estensione: il modello di Aumann (1964)
Nella definizione di economia E di Aumann si hanno i seguenti
elementi:
L’insieme dei consumatori I è uncountable, ed è dotato di
una σ-algebra Σ con µ misura numerabilmente additiva e
non-atomica ( che implica µ({i}) = 0 per ogni i ∈ I);
le allocazioni sono funzioni x : I −→ X , µ- integrabili;
R
R
F (E, I) = {x : I → X+ : x = e, xi ∈ Xi , µ − q.o.i ∈ I}
nella definizione di WE si richiede che xi ∈ φi (p), µ-q.o
gli elementi di Σ vengono interpretati come coalizioni di
giocatori
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Prima estensione: il modello di Aumann (1964)
Nella definizione di economia E di Aumann si hanno i seguenti
elementi:
L’insieme dei consumatori I è uncountable, ed è dotato di
una σ-algebra Σ con µ misura numerabilmente additiva e
non-atomica ( che implica µ({i}) = 0 per ogni i ∈ I);
le allocazioni sono funzioni x : I −→ X , µ- integrabili;
R
R
F (E, I) = {x : I → X+ : x = e, xi ∈ Xi , µ − q.o.i ∈ I}
nella definizione di WE si richiede che xi ∈ φi (p), µ-q.o
gli elementi di Σ vengono interpretati come coalizioni di
giocatori
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Economie di scambio con un continuum di agenti
Economie di larga scala: un continuum di agenti e spazio delle commodities infinito dimensionale
Modelli coalizionali e finitamente additivi
Prima estensione: il modello di Aumann (1964)
Nella definizione di economia E di Aumann si hanno i seguenti
elementi:
L’insieme dei consumatori I è uncountable, ed è dotato di
una σ-algebra Σ con µ misura numerabilmente additiva e
non-atomica ( che implica µ({i}) = 0 per ogni i ∈ I);
le allocazioni sono funzioni x : I −→ X , µ- integrabili;
R
R
F (E, I) = {x : I → X+ : x = e, xi ∈ Xi , µ − q.o.i ∈ I}
nella definizione di WE si richiede che xi ∈ φi (p), µ-q.o
gli elementi di Σ vengono interpretati come coalizioni di
giocatori
Francesca Centrone, Anna Martellotti
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Cooperazione: il core di E
Data E, sia S ∈ Σ una coalizione . Definiamo:
insieme delle allocazioniRfeasible
R per una coalizione S:
F (E, S) = {x : I −→ X+ : S x = S e, xi ∈ Xi , µ − q.o. i ∈ S}
x ∈ F (E, I) si dice dominata da S, con µ(S) > 0, se esiste una
allocazione y ∈ F (E, S) che risulta “preferita” ad x µ-q.o. dai
consumatori di S (scriveremo y S x per intendere che yi i xi
µ-q.o in S.)
insieme delle allocazioni allocazioni dominate da S:
D(E, S) = {x ∈ F (E, I) : ∃y ∈ F (E, S), y S x}
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Cooperazione: il core di E
Data E, sia S ∈ Σ una coalizione . Definiamo:
insieme delle allocazioniRfeasible
R per una coalizione S:
F (E, S) = {x : I −→ X+ : S x = S e, xi ∈ Xi , µ − q.o. i ∈ S}
x ∈ F (E, I) si dice dominata da S, con µ(S) > 0, se esiste una
allocazione y ∈ F (E, S) che risulta “preferita” ad x µ-q.o. dai
consumatori di S (scriveremo y S x per intendere che yi i xi
µ-q.o in S.)
insieme delle allocazioni allocazioni dominate da S:
D(E, S) = {x ∈ F (E, I) : ∃y ∈ F (E, S), y S x}
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Cooperazione: il core di E
Data E, sia S ∈ Σ una coalizione . Definiamo:
insieme delle allocazioniRfeasible
R per una coalizione S:
F (E, S) = {x : I −→ X+ : S x = S e, xi ∈ Xi , µ − q.o. i ∈ S}
x ∈ F (E, I) si dice dominata da S, con µ(S) > 0, se esiste una
allocazione y ∈ F (E, S) che risulta “preferita” ad x µ-q.o. dai
consumatori di S (scriveremo y S x per intendere che yi i xi
µ-q.o in S.)
insieme delle allocazioni allocazioni dominate da S:
D(E, S) = {x ∈ F (E, I) : ∃y ∈ F (E, S), y S x}
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Il core di E
Si dice core di E, l’ insieme delle allocazioni feasible che non
sono dominate da nessuna coalizione S di misura positiva,
ossia:
Definizione
C(E) := F (E, I) \
[
D(E, S)
S∈Σ,µ(S)>0
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Equivalenza Core-Walras
Teorema 1 (Shapley)
Per ogni economia di scambio E, si ha che WE x (E) ⊂ C(E).
Teorema 2
Se E è una economia di scambio (nonatomica) in cui ogni
consumatore ha preferenze monotone
(i.e. se 0 < x ≤ y ,
R
x 6= y , allora yi i xi per ogni i) e e 0 , allora
WE x (E) = C(E).
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Equivalenza Core-Walras
Teorema 1 (Shapley)
Per ogni economia di scambio E, si ha che WE x (E) ⊂ C(E).
Teorema 2
Se E è una economia di scambio (nonatomica) in cui ogni
consumatore ha preferenze monotone
(i.e. se 0 < x ≤ y ,
R
x 6= y , allora yi i xi per ogni i) e e 0 , allora
WE x (E) = C(E).
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Punto cruciale del Teorema 2
1
Data una allocazione x : I −→ X+ , x ∈ C(E), definiamo per
ogni i ∈ I, l’insieme:
i x(i) =: {y ∈ X+ : y i x(i)}
e la corrispondenza Ψ : I −→ 2L :
Ψ(i) = {i x(i) − e(i)} ∪ {0}
2
R
Ψ ∩ X− = {0} (dove
3
R
Ψ è convesso
R
Ψ è l’integrale di Aumann di Ψ)
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Punto cruciale del Teorema 2
1
Data una allocazione x : I −→ X+ , x ∈ C(E), definiamo per
ogni i ∈ I, l’insieme:
i x(i) =: {y ∈ X+ : y i x(i)}
e la corrispondenza Ψ : I −→ 2L :
Ψ(i) = {i x(i) − e(i)} ∪ {0}
2
R
Ψ ∩ X− = {0} (dove
3
R
Ψ è convesso
R
Ψ è l’integrale di Aumann di Ψ)
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Punto cruciale del Teorema 2
1
Data una allocazione x : I −→ X+ , x ∈ C(E), definiamo per
ogni i ∈ I, l’insieme:
i x(i) =: {y ∈ X+ : y i x(i)}
e la corrispondenza Ψ : I −→ 2L :
Ψ(i) = {i x(i) − e(i)} ∪ {0}
2
R
Ψ ∩ X− = {0} (dove
3
R
Ψ è convesso
R
Ψ è l’integrale di Aumann di Ψ)
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Punto cruciale del Teorema 2
R
Ψ ∩ int(X− ) = ∅;
1
Dunque
2
Dal Teorema di separazione segue che esiste un
funzionale lineare R(non negativo) p 6= 0 che separa i due
convessi disgiunti Ψ ∩ int(L− );
R
Dunque pR supporta Ψ nel punto 0, ossia p · z ≥ 0, per
ogni z ∈ Ψ;
R
Tramite la supportabilità di Ψ si dimostra che, µ-q.o., p
supporta Ψ(i) in 0 :
3
4
p · e(i) ≤ p · y , ∀y i x(i)
5
si mostra poi che x ∈ WE x (E).
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Spazi di commodities infinito dimensionali
Allocazione intertemporale: `p , p ∈ [1, ∞];
Incertezza: Lp , p ∈ [1, ∞];
Commodity Differentiation: M(K )
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Spazi di commodities infinito dimensionali
Allocazione intertemporale: `p , p ∈ [1, ∞];
Incertezza: Lp , p ∈ [1, ∞];
Commodity Differentiation: M(K )
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Spazi di commodities infinito dimensionali
Allocazione intertemporale: `p , p ∈ [1, ∞];
Incertezza: Lp , p ∈ [1, ∞];
Commodity Differentiation: M(K )
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Spazi di commodities infinito dimensionali
Allocazione intertemporale: `p , p ∈ [1, ∞];
Incertezza: Lp , p ∈ [1, ∞];
Commodity Differentiation: M(K )
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Supportabilità delle allocazioni walrasiane: la
properness
Quando X è infinito dimensionale, puó accadere che X+ ,
abbia interno vuoto, e dunque che i classici argomenti di
separazione non possano essere applicati.
Molti spazi infinito dimensionali di interesse in economia e
finanza rientrano in questo caso.
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Properness
Definizione
Un relazione di preferenza P si dice v -uniformemente proper
per v ∈ L, se esiste un cono K aperto e convesso con vertice in
0 tale che v ∈ K e (x − K ) ∩ P(x) = ∅.
Figure :
Cono di properness
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Le economie di larga scala: il teorema di equivalenza
di Yannelis e Rustichini (1991)
Sia E = {(I, Σ, µ); X+ ; Pi , ei : i ∈ I}, con X spazio di Banach
separabile
e µ-misura numerabilmente additiva e nonatomica.
R
Se e 0 e sotto opportune ipotesi per le preferenze, tra cui
quella di v -uniforme properness, risulta:
W x (E) = C(E).
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Passaggio ai modelli finitamente additivi
Due problemi legati alla numerabile additività:
1
Se |I| = ℵ0 , allora µ n.a e nonatomica =⇒ µ ≡ 0.
2
Negli altri casi (roughly speaking) si ha invece:
Teorema di Ulam
L’unica misura n.a. e nonatomica su 2I è quella identicamente
nulla.
Questo comporta l’obbligo di restringersi ad un σ-algebra;
il che equivale ad imporre un meccanismo di veto rispetto
alla formazione di coalizioni.
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Passaggio ai modelli finitamente additivi
Invece assumendo µ solo finitamente additiva, esistono
estensioni “ragionevoli” della nonatomicità che presentano
entrambi i vantaggi:
permettono di estendere i modelli sia su |I| = ℵ0 che su 2I
senza diventare banali;
preservano la condizione sui singoletti (larga scala);
Naturalmente presentano anche delle patologie che
costringono a modificare le assunzioni (ad esempio il concetto
di assoluta continuità).
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Passaggio ai modelli finitamente additivi
Invece assumendo µ solo finitamente additiva, esistono
estensioni “ragionevoli” della nonatomicità che presentano
entrambi i vantaggi:
permettono di estendere i modelli sia su |I| = ℵ0 che su 2I
senza diventare banali;
preservano la condizione sui singoletti (larga scala);
Naturalmente presentano anche delle patologie che
costringono a modificare le assunzioni (ad esempio il concetto
di assoluta continuità).
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Passaggio ai modelli finitamente additivi
Invece assumendo µ solo finitamente additiva, esistono
estensioni “ragionevoli” della nonatomicità che presentano
entrambi i vantaggi:
permettono di estendere i modelli sia su |I| = ℵ0 che su 2I
senza diventare banali;
preservano la condizione sui singoletti (larga scala);
Naturalmente presentano anche delle patologie che
costringono a modificare le assunzioni (ad esempio il concetto
di assoluta continuità).
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
L’assetto coalizionale
Le allocazioni divengono direttamente misure finitamente
additive rispetto alla µ.
Le preferenze non scelgono più tra panieri di commodities, ma
direttamente tra allocazioni, e a scegliere sono le coalizioni.
Naturalmente anche la dotazione iniziale è una allocazione,
ovvero una misura finitamente additiva.
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
L’assetto coalizionale
Cosa si deve cambiare nel nuovo assetto coalizionale?
feasible: α(Ω) = e(Ω).
Già nella definizione del core individualistico, ci si
occupava di allocazioni che dominano.
Definizione
Data un’allocazione α si dice che una coppia (β, F ) con β
allocazione e F coalizione blocca α se β F α e β(F ) = e(F ).
Il core diventa l’insieme delle allocazioni feasible che nessuna
coppia può bloccare.
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
L’assetto coalizionale
Definizione
Dati un sistema di prezzi x ∗ ∈ X ∗ e un’allocazione α, si dice
che una coppia (β, F ) con β allocazione e F coalizione
ostruisce α se β F α e x ∗ β(F ) ≤ x ∗ e(F ).
Se per la coppia (x ∗ , α) con x ∗ α ≤ x ∗ e non esistono coppie
che ostruiscono, allora la si dice un equilibrio walrasiano, e α
un’allocazione walrasiana.
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
L’assetto coalizionale
Ovviamente anche in questo nuovo contesto si cerca di
ottenere l’equivalenza Core-Walras.
Teorema (Armstrong - Richter 1984)
Se X é finito-dimensionale, e se le preferenze F , F ∈ Σ+
soddisfano un adeguato set di ipotesi, allora vale la
Core-Walras equivalence.
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Caso infinito dimensionale
Perché fin qui non si è pensato di estendere in questo assetto
l’ipotesi di properness?
Definizione
Dato un ordinamento di preferenza si dice che la commodity
v è estremamente desiderabile se esiste un intorno
dell’origine W , tale che per ogni commodity che si può scrivere
come:
z = y − tv + u ∈ X + , y ∈ X + , t ∈ R+
ed è tale che z y =⇒ u ∈
/ tW .
C=
[
t(v + W )
z ∈ (y + C) ∩ X + =⇒ z y .
t>0
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Caso infinito dimensionale
Definizione
Dato un ordinamento di preferenza coalizionale F , si dice
che la commodity v è estremamente desiderabile se esiste
un intorno dell’origine W , tale che per ogni commodity z ∈ X +
che si può scrivere come:
z = y − tv + u ∈ X + , y ∈ X + , t ∈ R+
ed è tale che z ∈ (y + C) =⇒ z · µ F y · µ.
Sarebbe auspicabile ottenere una formulazione più generale,
ipotizzando l’esistenza di una allocazione estremamente
desiderabile più generale di quella uniforme.
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Comprehensiveness
Sotto questa dicitura, Armstrong e Richter provano che la loro
formulazione comprende, cioè generalizza, molti risultati
Core-Walras precedenti.
In particolare, per quanto riguarda i modelli numerabilmente
additivi ed individualistici, il passaggio al modello coalizionale è
dato da:
l’identificazione delle allocazioni f : I → X + con i loro
integrali:
Z
fdµ
α(·) =
·
il trasporto delle preferenze però è definito come:
α F β ⇐⇒
dα
dβ
ω
,
dµ
dµ
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µ − q.o. in F .
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Modelli parametrici
Si tratta di modelli nei quali i primitives dell’economia,
allocazioni e/o prezzi dipendono da un parametro.
Pertanto le preferenze (coalizionali) agiscono su coppie
(allocazione, parametro):
Economie con Opere pubbliche (public projects)
Economie con Informazione asimmetrica.
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Modelli coalizionali e finitamente additivi
Conclusioni-Problemi aperti
Properness coalizionale con allocazione (anzichè
commodity) estremamente desiderabile
Un nuovo set di assiomi sulle preferenze secondo un
modello di voto più realistico
Economie con opere pubbliche
Economie con Informazione asimmetrica
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