Dal triangolo al tetraedro - Matdidattica

Dal triangolo al tetraedro
Parte terza
di Carmelo Di Stefano
ABSTRACT
In questo lavoro, diviso in più parti, vogliamo considerare la geometria del tetraedro, considerandola come una generalizzazione di quella più nota (?!) del triangolo. In particolare considereremo la possibilità di generalizzare punti notevoli
come baricentro, ortocentro, circocentro e incentro, nonché di importanti teoremi come quello di Pitagora. Per aiutarci
nei nostri ragionamenti faremo largo uso del software Cabri3D e del procedimento di analogia, riducendo al minimo
le dimostrazioni, anche perché l’idea è quella di usare le procedure in una classe generica per tutti gli studenti, dai più ai
meno motivati. In questa parte andremo alla ricerca di eventuali punti notevoli, escludendo per il momento incentro e
ortocentro
In this paper, in more parts, we want to study the tetrahedron as a generalization of the triangle. In particular we want to
know if it is possible to find also in the tetrahedron special points as barycentre, orthocentre, and so on. The approach is
a combination of intuition and conjecture, using the well known software Cabri 3D as a device for verify the validity
of the conjectures. There are only a few of proofs, because the idea is use the work in class for each student, the better
like the frailer. In this part we are going to seek for special points, but incenter and orthocentre.
Possiamo adesso indagare sull’esistenza di eventuali punti notevoli per un tetraedro e sulle proprietà
da essi verificate.
1. Baricentro di un tetraedro
Ovviamente il più semplice dei punti notevoli, se ve ne sono, è il baricentro. In [P1], pagg. 37-44, il
problema di cercare il baricentro di un tetraedro a partire da quello di un triangolo, viene presentato
come esempio del concetto di analogia, nel breve dizionario di euristica. Ciò è in completo accordo
con lo spirito del lavoro.
Cominciano però, come abbiamo già notato per altri concetti, a nascere dei problemi. Il baricentro è
ovviamente, se esiste, il punto di incontro delle mediane, ma cosa intendiamo con quest’ultimo concetto? Possiamo dire che una mediana è ancora un segmento? E se sì, quali sono i suoi estremi?
Uno deve essere ovviamente uno dei vertici del tetraedro, e l’altro? Potremmo pensare al punto medio di uno spigolo opposto, ma il problema è che di spigoli del genere ce ne sono “troppi”, cioè ben
3. Invece ogni vertice ha una sola faccia opposta, quindi forse è meglio concentrarci su un punto di
questa faccia. E quale è meglio del baricentro della detta faccia?
Allora definiamo
Definizione Diciamo mediana di un tetraedro riferita a un vertice e alla sua faccia opposta (cioè
faccia non complanare con il vertice), il segmento che ha per estremi il vertice e il baricentro di tale
faccia.
Costruiamo le mediane di un tetraedro con Cabri3D e vediamo se la costruzione suggerisce o no che
le mediane si incontrano in un punto.
Il software ci suggerisce di enunciare il seguente risultato.
Teorema
Le mediane di un tetraedro si incontrano in un punto, che si chiama baricentro del tetraedro.
Dimostrazione
Consideriamo i tre piani in figura che contengono ciascuno uno degli spigoli AB, AC e AD e il punto medio delle facce opposte ai detti spigoli. Così α è determinato da AB e M1, β è determinato da
AC e M2 e γ è determinato da AD e M3.
Questi piani incontrano il piano determinato dal triangolo BDC ovviamente nelle mediane dello
stesso triangolo, quindi, per quel che sappiamo sui triangoli determinano il baricentro G1 di BCD.
Quindi i tre piani hanno in comune la retta baricentrica AG1. Ragionando allo stesso modo per le
altre terne di piani, determineremo le altre rette baricentriche e quindi ovviamente queste rette essendo comuni a più piani devono incontrarsi in uno stesso punto, che è perciò il baricentro.
La precedente dimostrazione ha anche provato il seguente risultato
Corollario
I segmenti che congiungono i punti medi delle coppie di spigoli opposti, si incontrano nel baricentro, che è punto medio dei detti segmenti.
A questo punto è ovvio che vogliamo cercare qualche proprietà del baricentro simile a quella dei
triangoli. Una serie di verifiche con Cabri3D, ci convince a cercare di provare il seguente risultato.
Teorema
Il baricentro di un tetraedro divide ciascuna mediana in modo che la parte che contiene il vertice è
tripla dell’altra.
Dimostrazione
Consideriamo la figura seguente in cui G è il baricentro del tetraedro, AG1 e BG2 due sue mediane.
La dimostrazione è simile a quella che di solito si usa per la proprietà dei baricentri di un triangolo.
Per le proprietà di G1 e G2 nel triangolo ABM, abbiamo che dividono i rispettivi segmenti nel rapporto ½, quindi G1G2 è parallelo ad AB e misura 1/3 di esso. Adesso scegliamo i punti D ed E sulle
mediane in modo che siano a un terzo delle stesse. Allora anche DE è parallelo ad AB e misura 1/3
di esso, cioè DEG1G2 è un parallelogramma. Pertanto G dimezza le diagonali. Ma allora G divide le
mediane nel rapporto 1:3. Come volevasi dimostrare.
Il baricentro è incontro anche di altri interessanti segmenti.
Definizione
I segmenti che hanno per estremi i punti medi di due spigoli opposti (spigoli che non hanno punti
comuni) di un tetraedro, si chiamano segmenti mediali.
Vale la seguente proprietà.
Teorema
I segmenti mediali si incontrano nel baricentro, che li divide a metà.
Dimostrazione
Consideriamo la figura seguente, in cui abbiamo tracciato i puti medi degli spigoli e tracciato i
segmenti mediani, quindi abbiamo costruito i triangoli M1GM2 e M4GM6. È facile provare che tali
triangoli sono isometrici perché hanno i segmenti M1M2 e M4M6 isometrici fra loro perché misurano quanto metà di BD, come recita la proprietà sul segmento che unisce i punti medi di due lati di
un triangolo. La stessa proprietà afferma che M1M2 e M4M6 sono paralleli a BD, quindi anche gli
angoli interni dei triangoli sono a due a due isometrici. Ma allora G effettivamente dimezza i segmenti mediani come volevamo dimostrare.
Ricordiamo un risultato sul calcolo della misura di una mediana di un triangolo mediante le misure
dei lati. Forniamo solo il risultato che si trova abbastanza facilmente usando il teorema di Pitagora.
ma =
1
⋅ 2b 2 + 2c 2 − a 2
2
Anche per il tetraedro abbiamo un risultato simile.
Teorema
Il quadrato della misura di una mediana di un tetraedro è pari alla differenza fra un terzo della somma dei quadrati degli spigoli che hanno in comune il vertice da cui è condotta la mediana e un nono
della somma dei quadrati dei rimanenti spigoli. In formula
(
) (
2
2
2
2
2
2
2
1
1
AG1 = ⋅ AC + AD + AB − ⋅ BC + BD + CD
3
9
)
Dimostrazione
Consideriamo la seguente figura, in cui G è il baricentro del tetraedro, G1 è baricentro della faccia
BCD, M’ è punto medio di BG1.
Ora AG1 è mediana del triangolo AG1M2, quindi
2
AG1 =
2
2
2
1
1
1
⋅ AM 2 + ⋅ AM ' − ⋅ M ' M 2
2
2
4
Calcoliamo i valori incogniti mediante gli spigoli.
2
2
2
1
1
1
⋅ AC + ⋅ AD − ⋅ CD ;
2
2
4
2
2
2
2
1
1
1
AM ' = ⋅ AB + ⋅ AG1 − ⋅ BG1 ;
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4 1
1
1
2
2
1
M ' M 2 = BG1 = ⋅ BM 2 = ⋅  ⋅ BC + ⋅ BD − ⋅ CD  = ⋅ BC + ⋅ BD − ⋅ CD
9
9 2
2
4
9
9
 9
2
AM 2 =
Sostituiamo:
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
⋅ AC + ⋅ AD − ⋅ CD + ⋅ AB + ⋅ AG1 − ⋅ BG1 − ⋅ BG1 ⇒
4
4
8
4
4
8
4
2
2
2
2
2
2
3
1
1
1
1
3
⋅ AG1 = ⋅ AC + ⋅ AD − ⋅ CD + ⋅ AB − ⋅ BG1 ⇒
4
4
4
8
4
8
2
2
2
2
2
2
1
1
1
AG1 = ⋅ AC + AD + AB − ⋅ CD − ⋅ BG1 ⇒
3
6
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1 2
2
1
AG1 = ⋅ AC + AD + AB − ⋅ CD − ⋅  ⋅ BC + ⋅ BD − ⋅ CD  ⇒
3
6
2 9
9
9

2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
AG1 = ⋅ AC + AD + AB − ⋅ CD − ⋅ BC − ⋅ BD + ⋅ CD ⇒
3
6
9
9
18
2
2
2
2
2
2
2
1
1
AG1 = ⋅ AC + AD + AB − ⋅ BC + BD + CD
3
9
2
AG1 =
(
(
(
(
)
)
)
) (
)
Probabilmente considerando particolari tetraedri alcune delle precedenti proprietà saranno ancora
più particolari. Abbiamo infatti il seguente risultato.
Teorema
In un tetraedro equifacciale mediane e altezze (segmenti condotti da un vertice perpendicolarmente
alle facce opposte), sono isometriche.
Dimostrazione
Dato che il tetraedro è equifacciale e il volume si trova moltiplicando l’area di una faccia per un terzo dell’altezza relativa, è ovvio che le altezze siano isometriche.
Adesso passiamo alle mediane, considerando la figura seguente, in cui ne abbiamo tracciato due.
Consideriamo i triangoli AMG1 e BMG2, i quali hanno isometrici AM e BM perché mediane di
triangoli isometrici (ACD e BCD) relative al lato comune CD; così come i lati MG1 e MG2 per le
proprietà dei baricentri; l’angolo di vertice M in comune. Quindi sono isometrici per il criterio
LAL. Infine i lati AG1 e BG2 sono isometrici, come volevamo provare.
Sappiamo che il baricentro divide ciascun triangolo in tre triangoli equivalenti (quelli che hanno per
vertici il baricentro e due vertici del triangolo di partenza), come verificato da Cabri II plus, e come facilmente dimostrato, dato che l’area si può determinare moltiplicando la semimisura di un lato
qualsiasi, per esempio BC, per la relativa altezza, AH. Non è difficile vedere, per le proprietà del
baricentro e la similitudine dei triangoli AHMA e GHMA, che AH è il triplo di GH, quindi l’area di
ABC è tripla di quella di GBC. Stesso discorso vale anche per i triangolo ABG e CAG.
Ragionando in modo del tutto equivalente si dimostra facilmente il seguente risultato.
Teorema
Unendo il baricentro di un tetraedro ai vertici dello stesso si ottengono 4 tetraedri di uguale volume.
Concludiamo il paragrafo considerando un eventuale analogo del cosiddetto teorema di Napoleone
per i triangoli, quello che dice che costruendo su ogni lato di un triangolo un triangolo equilatero, il
triangolo che ha per vertici i baricentri di tali triangoli è anch’esso equilatero. Il problema consiste
nel fatto che dovremmo costruire tetraedri regolari su facce che non sono, in generale, equilatere e
quindi ciò non è possibile. Dobbiamo quindi partire da un tetraedro regolare. In questo caso effettivamente abbiamo un teorema analogo.
Teorema
I baricentri dei tetraedri regolari costruiti esternamente alle facce di un altro tetraedro regolare sono
vertici di un tetraedro regolare.
La proprietà vale più in generale per i tetraedri equifacciali.
Teorema
I baricentri dei tetraedri equifacciali costruiti esternamente alle facce di un altro tetraedro equifacciale sono vertici di un tetraedro equifacciale.
Dimostrazione omessa.
Passiamo a considerare eventuali altri punti notevoli.
2. Sfera circoscritta a un tetraedro
Il circocentro di un triangolo è punto di incontro degli assi dei lati, quindi pensiamo che analogamente accadrà per i tetraedri, in cui il circocentro ovviamente sarà centro di una sfera circoscritta.
L’asse non sarà una retta ma un piano. Poniamo allora la seguente definizione.
Definizione
Il piano perpendicolare a un segmento nel suo punto medio si chiama piano assiale del segmento.
Vale il seguente risultato.
Teorema
Ogni punto del piano assiale di un segmento dista ugualmente dagli estremi del segmento.
Dimostrazione
Consideriamo la figura, in cui AB è il segmento, M il suo punto medio e α il piano assiale, C un
punto qualsiasi su tale piano.
Proprio per la stessa definizione di piano assiale, il segmento CM, come mostrato, è sempre perpendicolare ad AM, quindi nel piano determinato da A, B e C, CM è parte dell’asse di AB, quindi dista
ugualmente da A e da B.
A questo punto è immediata la validità del seguente risultato.
Teorema
I piani assiali degli spigoli di un tetraedro si incontrano in un punto, che è il centro della sfera circoscritta al tetraedro.
Come per il circocerchio anche il centro della sfera circoscritta non è sempre interno al tetraedro.
Lo è nel caso di un tetraedro equifacciale, non lo è per un tetraedro trirettangolo, come mostrato di
seguito.
Vale anche un altro interessante risultato.
Teorema
Le rette perpendicolari alle facce di un tetraedro condotte dal centro della sfera circoscritta, le incontrano nei rispettivi circocentri. Inoltre il tetraedro che ha per vertici questi circocentri è tale che
le perpendicolari condotte dai suoi vertici alle facce del tetraedro dato si incontrano in un punto, il
centro della sfera, e viceversa. Diciamo che i due tetraedri sono ortologici.
Dimostrazione omessa.
Vogliamo cercare una relazione numerica per calcolo della misura del raggio della sfera circoscritta
in funzione degli spigoli e di qualche ente del tetraedro. All’avviso ricordiamo che in un traingolo si
ha (con a, b e c misure dei lati e S misura della superficie):
R=
a ⋅b ⋅c
4⋅S
Consideriamo il caso in cui il centro della sfera sia interno al tetraedro.
In questo caso unendo il centro con i vertici del tetraedro dividiamo quest’ultimo in 4 tetraedri che
hanno tre spigoli isometrici (perché sono raggi della sfera). Vediamo allora di determinare il volume di un tetraedro del genere. Consideriamo la figura seguente.
L’altezza OH relativa alla faccia ABC ovviamente ha il piede H che coincide con il circocentro del
triangolo. Ma allora il triangolo rettangolo AHO ha l’ipotenusa che misura quanto il raggio della
sfera e il cateto AH quanto il raggio del circocerchio di ABC, cioè, per quanto sappiamo su tale
grandezza:
AH =
AB ⋅ AC ⋅ BC
4 ⋅ S ABC
Allora possiamo ricavare l’altezza OH:
2
2
OH = OA − AH = OA
2
( AB ⋅ AC ⋅ BC )
−
2
16 ⋅ S 2 ABC
Pertanto il volume del tetraedro è
(
2
VABCO
2
16 ⋅ S ABC
⋅ OA − AB ⋅ AC ⋅ BC
OH ⋅ S ABC
=
=
3
3 ⋅ 4 ⋅ S ABC
)
2
⋅ S ABC
2
(
2
16 ⋅ S ABC
⋅ OA − AB ⋅ AC ⋅ BC
=
)
2
12
Ci rendiamo conto che così facendo avremo una formula alquanto complicata, che si semplifica se il
tetraedro è equifacciale; del resto per questo tetraedro abbiamo già notato che il centro della sfera
circoscritta è sempre interno.
Teorema
Il raggio R della sfera circoscritta a un tetraedro equifacciale di spigoli ℓ i , i = 1,...3 e la cui faccia
generica ha area S è:
R=
9 ⋅V 2 + ℓ12 ⋅ ℓ 22 ⋅ ℓ 23
4⋅S
Dimostrazione
Dai precedenti calcoli abbiamo:
V=
4 ⋅ 16 ⋅ S 2 ⋅ R 2 − ℓ12 ⋅ ℓ 22 ⋅ ℓ 23
12
3
=
16 ⋅ S 2 ⋅ R 2 − ℓ12 ⋅ ℓ 22 ⋅ ℓ 23
3
9 ⋅V 2 + ℓ12 ⋅ ℓ 22 ⋅ ℓ 23
16 ⋅ S 2 ⋅ R 2 − ℓ12 ⋅ ℓ 22 ⋅ ℓ 23
V =
⇒R=
9
4⋅S
2
⇒
Nella quarta e ultima parte completeremo il discorso sui punti notevoli.
BIBLIOGRAFIA
[Be] Besso D., Sul tetraedro a facce uguali, Periodico di Matematiche, 1, 1886, scaricabile da
http://www.mathesisnazionale.it/periodicodimathematiche_file/periodico%20di%20matmatic
he.htm
[Bg] Biggiogero G., La geometria del tetraedro, in Enciclopedia delle matematiche elementari e
complementi, Vol. II Parte I, Hoepli, Milano, 1979
[C] Coxeter, Introduction to geometry, Second Edition, Wiley and sons, New York, 1989
[E] Euclide, Gli Elementi, Utet, Torino, 1988
[EA] Enriques F., Amaldi U., Elementi di geometria, Edizioni Studio Tesi, Pordenone, 1992
[G] Gronchi P., Un tetraedro ... isoscele, Archimede, 1 (2005), 3-8, scaricabile da
http://www.unifi.it/dipmaa/gronchi/tetraedro.pdf .
[P1] Polya G., How to solve it, a new aspect of mathematical method, Princeton University Press,
2004 (La traduzione italiana edita da Feltrinelli è da tempo esaurita)
[P2] Polya G., Mathematical Discovery, John Wiley & Sons, New York 1981. (La traduzione italiana edita da Feltrinelli è da tempo esaurita)
[TB] Tomasi L., Bainville E., Introduzione a Cabri 3D, Media direct, Bassano del Grappa, 2006
SITOGRAFIA
[AMC] http://www.ac-noumea.nc/maths/amc/polyhedr/tetra_.htm. Sito del vice rettorato della
Nuova Caledonia
[D1]
http://matdidattica.altervista.org/Cabri3D.htm. Sito dell’autore, da cui si possono scaricare i
files di Cabri 3D cui si fa riferimento e parecchi altri.
[D2] http://matdidattica.altervista.org/Cabri.htm. Sito dell’autore, da cui si possono scaricare i files sui triangoli di Cabri II plus cui si fa riferimento e parecchi altri.
[T]
http://www.matematica.it/tomasi/figure3d/index.html. Sito di Luigi Tomasi da cui scaricare
il manuale di Cabri 3D, citato come [TB], e diversi files.
[W1]
http://mathworld.wolfram.com/IsoscelesTetrahedron.html. Articolo di Weisstein, E. W.
"Isosceles Tetrahedron." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
[W2]
http://mathworld.wolfram.com/TrirectangularTetrahedron.html. Articolo di Weisstein, E.W.
"Trirectangular Tetrahedron." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.