DISEGNO TECNICO AEROSPAZIALE
a.a. 2007/2008
Tav.1 Proiezioni ortografiche di un tetraedro, calcolo grafico e/o
analitico delle : lunghezze spigoli, area triangolo, volume e dei
rapporti di proiezione, tracce di un piano.
Equazione del piano.Teorema di Desargues : verifica grafica. Proiezione
prospettica di un triangolo. Angolo solido.
Siano date le coordinate dei quattro vertici di un tetraedro P1=(1, 1, 4.5),
P2=(0.5, 3, 3), P3=(1.5, 2, 1.5), P4=(3, 2.5, 6), dove i valori delle coordinate
rappresentano le distanze in metri. Si scelga un’opportuna Scala per il disegno e si
disegnino le tre proiezioni ortogonali del tetraedro sui tre piani principali xy, yz, xz,
riportando le linee di costruzione tra i tre piani di proiezione.
Si calcoli con metodi grafici e/o analitici le seguenti grandezze e si confrontino i
risultati analitici e grafici, dove ciò è possibile:
1. la lunghezza dello spigolo P3P4, calcolo grafico e analitico.
2. L’area del triangolo P1P2P3 e le tre aree delle sue proiezioni sui piani principali,
verificare il teorema di Monge-Hachette (la somma dei quadrati delle aree di tre
proiezioni ortografiche di un triangolo è uguale al quadrato dell’area del
triangolo) rilevando le aree delle tre proiezioni dal disegno.
3. I rapporti di proiezione dei tre spigoli del triangolo P1P2P3 sul piano di proiezione
xy, calcolo grafico e analitico.
4. Il volume del tetraedro, calcolo analitico.
5. Il versore del piano Π definito dai tre punti P1, P2, P3, calcolo analitico.
6. Le tre tracce del piano Π ( linee di intersezioni di un piano con i tre piani
principali), costruzione grafica.
Parte facoltativa della Tav. 1
1. Calcolare l’equazioni analitiche del piano Π e le sue tracce sui piani xy, yz, xz.
2. Utilizzando due proiezioni principali del tetraedro, si disegni a piacere un triangolo
P1’,P2’,P3’, che abbia i vertici, rispettivamente, sugli spigoli P1P4, P2P4, P3P4, i due
triangoli sono detti prospettici rispetto al punto P4. Per tali triangoli è valido il
teorema di Desargues : se le tre rette congiungenti i vertici corrispondenti di un
triangolo convergono in un punto, si ha che i punti di intersezione dei lati
corrispondenti giacciono su una linea retta. Fare la verifica grafica del teorema di
Desargues sul due proiezioni ortografiche del tetraedro.
3. Supposto che il punto P4 sia il punto di vista di una proiezione prospettica,
utilizzando le due proiezioni ortografiche del triangolo P1P2P3 sui piani xy, yz,
costruire la proiezione prospettica del triangolo assumendo come piano di proiezione
il piano xy.
4. Calcolare analiticamente l’angolo solido del vertice P4; ( def. XI Libro XI
Elementi di Euclide : l’angolo solido di un vertice di un poliedro è la somma degli
angoli piani formati dagli spigoli del poliedro che hanno in comune tale vertice).
