Avvia il - Liceocopernico.it

Appunti di analisi infinitesimale
di Fabio Maria Antoniali
– versione del 18 maggio 2011 –
L’intenzione che ha sostenuto questo lavoro è stata di mettere a disposizione in futuro
un libro di analisi rigoroso e gratuito, che possa essere adottato unico testo di matematica
per il quint’anno di liceo scientifico. Al momento ciò non è pensabile, perché gli appunti
sono molto carenti di esempi ed esercizi, elemento indispensabile di ogni testo di matematica. Inoltre, nel presentare alcuni argomenti, si è preferito un taglio che, privilegiando
sintesi ed eleganza, in taluni casi può essere andato a discapito di una comprensione più
immediata. Quindi, allo stato delle cose, gli appunti rappresentano solo un supporto
dell’indispensabile lavoro svolto in classe con gli studenti. Spero tuttavia che l’obiettivo
di creare un testo più completo e valido didatticamente possa essere raggiunto in una
futura versione.
Un elemento che caratterizza questi appunti è la presenza delle dimostrazioni della
maggior parte dei teoremi, anche quelli che nei testi scolastici tipicamente vengono solo
enunciati. Nel corpo degli appunti sono presentati i principali teoremi dell’analisi infinitesimale e le dimostrazioni che tradizionalmente vengono proposte agli allievi di liceo
scientifico. Le dimostrazioni più complesse ed alcuni teoremi di approfondimento sono
invece riportati in appendice e rivolti a quei lettori che vogliono formarsi un quadro più
completo della materia, cosa che, a mio avviso, non può prescindere dalle dimostrazioni di alcuni teoremi chiave (ad esempio i teoremi di Weierstrass e dei valori intermedi),
tipicamente sorvolate nei testi scolastici. Allo scopo di rendere queste dimostrazioni maggiormente accessibili, dove possibile, pur nel rispetto del necessario rigore logico e formale,
ho preferito un approccio più diretto ed elementare di quello seguito dai testi di analisi.
Due scelte non tanto consuete nei testi scolastici sono state quelle di anteporre il
concetto di continuità a quello di limite e l’introduzione dell’integrale definito mediante
le funzioni a scalino, invece delle tradizionali successioni di Cauchy. La prima scelta è
stata fatta principalmente mirando all’eleganza delle dimostrazioni; la seconda per dare
una definizione di integrale alla Riemann che non richieda l’introduzione (esplicita od
implicita) del concetto di limite di una rete, ma si basi solo sull’assioma di continuità dei
numeri reali.
Un ringraziamento va a Pietro Donatis e Carlo Càssola per avermi aiutato a dar
forma a questi appunti, discutendone assieme i punti più delicati e dando un generoso
contributo al lavoro di revisione. Ogni volta che sfoglio le pagine di questo testo m’imbatto
in qualche errore sfuggito alle precedenti letture. In questo lavoro di revisone che sembra
non avere mai fine, sarò grato a ciascun lettore per l’aiuto che potrà dare nel comunicarmi
le eventuali manchevolezze riscontrate nel testo.
Nell’intento di dare a quest’opera la più ampia diffusione, essa viene pubblicata sotto una
licenza Creative Commons. Tale licenza consente a chiunque di modificare, riprodurre, distribuire, comunicare al pubblico, esporre in pubblico quest’opera alle condizioni riportate
nella pagina web:
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/it/
Udine, marzo 2009
Fabio Maria Antoniali [email protected].
Indice
Notazioni
5
1 Funzioni
7
1.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Successioni
24
2.1 Successioni aritmetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Successioni geometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Numeri reali
26
3.1 Assiomatica dei numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Massimo ed estremo superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Topologia canonica di R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Continuità
4.1 Alcuni teoremi sulle funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Operazioni sulle funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Continuità delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
37
39
42
5 Limiti
5.1 Definizione di limite . . . . .
5.2 Limiti a destra e a sinistra . .
5.3 Operazioni e teoremi sui limiti
5.4 Estensioni della retta reale . .
5.5 Limiti notevoli . . . . . . . .
44
45
48
51
54
57
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6 Infinitesimi ed infiniti
62
7 Asintoti all’infinito
68
8 Funzioni continue su un intervallo
72
9 Funzioni continue su insiemi compatti
74
10 Calcolo differenziale
10.1 Definizione di derivata . . . . . . . .
10.2 Significato geometrico della derivata .
10.3 Operazioni e teoremi sulle derivate .
10.4 Derivate elementari . . . . . . . . . .
11 Funzioni derivabili su un intervallo
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
76
76
77
79
82
86
INDICE
2
12 Funzioni concave e convesse
94
13 Formule di Taylor
96
14 Teoria elementare dell’integrazione
102
14.1 L’area del cerchio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
14.2 Il trapezoide e i plurirettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
14.3 Le funzioni a scalino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
14.4 Definizione dell’integrale definito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
14.5 Significato geometrico dell’integrale definito per le funzioni positive . . . . 107
14.6 Proprietà fondamentali dell’integrale definito . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
14.7 Significato geometrico dell’integrale definito per le funzioni di segno alterno 109
14.8 Integrale in un intervallo orientato: teoremi di additività e della media . . 110
14.9 Integrazione di funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
14.10Volume dei solidi di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
14.11Lunghezza di un arco di curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
14.12Integrali impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
15 Integrazione numerica
122
15.1 Metodo dei rettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
15.2 Metodo dei trapezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
16 Integrale indefinito
16.1 Integrazione di funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2 Integrazione per sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3 Integrazione per parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
. 126
. 127
. 130
17 Metodi numerici per equazioni
17.1 Metodo di bisezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2 Metodo delle secanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3 Metodo delle tangenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
. 132
. 135
. 137
A Teoremi sulle funzioni continue
139
A.1 Teorema sulle funzioni continue definite in intervalli . . . . . . . . . . . . . 139
A.2 Teorema di Weierstrass e continuità uniforme sui compatti . . . . . . . . . 140
B Teoremi sulle funzioni convesse
145
C Teoremi dell’integrazione elementare
149
D Formulario
D.1 Proprietà di esponenziali e logaritmi
D.2 Formule trigonometriche . . . . . . .
D.3 Relazioni nei triangoli . . . . . . . .
D.4 Limiti fondamentali . . . . . . . . . .
155
. 155
. 155
. 156
. 158
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
D.5 Calcolo differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
D.6 Calcolo integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5
Notazioni
N = {0, 1, 2, . . . }: insieme dei numeri naturali
N0 = N − {0}
Z = {0, ±1, ±2, . . . } : insieme dei numeri interi
: m ∈ Z, n ∈ N0 } : insieme dei numeri razionali
Q = {m
n
Q+ = {x ∈ Q : x ≥ 0}
Q− = {x ∈ Q : x ≤ 0}
Q0 = Q − {0}
Q+
0 = {x ∈ Q : x > 0}
Q−
0 = {x ∈ Q : x < 0}
R: insieme dei numeri reali
R+ = {x ∈ R : x ≥ 0}
R− = {x ∈ R : x ≤ 0}
R0 = R − {0}
R+
0 = {x ∈ R : x > 0}
R0 = {x ∈ R : x < 0}
Gli intervalli generalizzati sono i seguenti sottoinsiemi di R, al variare di a, b ∈ R
con a ≤ b
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
[a, b[= {x ∈ R : a ≤ x < b}
]a, b[= {x ∈ R : a < x < b}
] − ∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}
] − ∞, b[= {x ∈ R : x < b}
[a, +∞[= {x ∈ R : a ≤ x}
]a, +∞[= {x ∈ R : a < x}
1 FUNZIONI
1
7
Funzioni
In questa sezione introduttiva vengono richiamati gli elementi essenziali delle funzioni e
fornita una rapida panoramica delle funzioni reali elementari.
1.1
Definizione
Il concetto di funzione viene introdotto a partire da quello di relazione, che in questa
trattazione verrà assunto come noto.
Definizione 1 Dati due insiemi non vuoti X e Y , una relazione f che associa a ciascun
elemento x dell’insieme X uno ed un solo elemento y di Y si dice funzione di X in Y ,
l’elemento y di Y prende il nome di immagine di x tramite f e viene indicato in simboli
con f (x).
L’insieme X prende il nome di dominio della funzione f , mentre Y si dice codominio della funzione f . Indichiamo in simboli con Imf o ,equivalentemente, con f (X),
l’ immagine di f, ovvero l’ insieme delle immagini degli elementi di X tramite f . Pertanto
f (X) = { y ∈ Y | f (x) = y, per qualche x ∈ X }.
Per indicare in modo non ambiguo una funzione sono state introdotte nel tempo varie
notazioni, ma in questo lavoro verrà adottata la seguente:
f :X → Y
x 7→ f (x).
Inoltre, quando X e Y sono sottoinsiemi di R si dirà che f è una funzione reale.
Definizione 2 Data una funzione f : X → Y , di dice grafico di f il sottoinsieme Gf del
prodotto cartesiano X × Y definito ponendo
Gf = { (x, y) ∈ X × Y | y = f (x) per qualche x ∈ X }.
Evidentemente, se f è una funzione reale il suo grafico Gf può essere rappresentato sul piano cartesiano in modo canonico da una curva Γf , che, con un piccolo abuso di linguaggio,
verrà chiamata anch’essa grafico di f .
1 FUNZIONI
8
y
Γf : y=f(x)
y
x
x
Figura 1: grafico della funzione f
Definizione 3 Data una funzione f : X → Y , e un elemento y ∈ Y , si dice controimmagine di y l’insieme denotato con f ← (y) e formato dagli elementi x di X che hanno
come immagine y, ovvero
f ← (y) = { x ∈ X | y = f (x) }.
y
Γf : y=f(x)
y
x1
x2
x3
f←(y)={x , x , x }
1 2 3
Figura 2: la controimmagine f ← (y) di y
Definizione 4 Si dirà che una funzione f : X → Y è
• suriettiva, quando f (X) = Y ;
• iniettiva, quando ∀x1 , x2 ∈ X : x1 6= x2 → f (x1 ) 6= f (x2 );
• biettiva, quanto è suriettiva ed iniettiva.
x
1 FUNZIONI
9
Proposizione 1 Valgono le seguenti caratterizzazioni:
• f suriettiva se e solo se, per ogni y ∈ Y , si ha f ← (y) 6= ∅;
• f iniettiva se e solo se, per ogni y ∈ Y , l’insieme delle controimmmagini f ← (y)
contiene al più un elemento;
• f biettiva se e solo se, per ogni y ∈ Y , l’insieme delle controimmmagini f ← (y)
contiene esattamente un elemento, che in tal caso viene denotato con il simbolo
f −1 (y).
Definizione 5 Dato un insieme non vuoto X si dirà funzione identità su X, la funzione
idX definita ponendo
idX : X → X
x 7→ x.
Definizione 6 Date due funzioni f : X → Y e g : Y → Z, è possibile definire in modo
unico una funzione
g ◦ f : X → Z,
detta funzione composta di g con f , ponendo
g ◦ f (x) = g(f (x)),
per ogni x ∈ X.
1 FUNZIONI
10
Figura 3: funzione composta f ◦ g
Definizione 7 Se f : X → Y è biettiva, in virtù della proposizione dimostrata sopra,
è possibile definire in modo univoco una funzione f −1 : Y → X ove f −1 (y) è l’unica
controimmagine di y ∈ Y . Questa funzione si dice funzione inversa di f , ed è altresı̀
caratterizzata dalle due relazioni
f ◦ f −1 = idY
e f −1 ◦ f = idX ,
o, equivalentemente, da
∀y ∈ Y : f (f −1 (y)) = y
e ∀x ∈ X : f −1 (f (x)) = x.
Due insiemi X e Y per i quali esiste una funzione biettiva f : X → Y si dicono in
corrispondenza biunivoca.
1 FUNZIONI
11
Figura 4: funzione f e sua inversa f −1
Definizione 8 Data f : X → Y e un insieme non vuoto A ⊆ X, si dice restrizione di f
ad A la funzione
f |A : A → Y,
definita ponendo
f |A (x) = f (x),
per ogni x ∈ A.
Esempio Si consideri la funzione f : N → N in cui f (n) è il resto della divisione del
numero naturale n per 3. Chiaramente l’immagine è f (N) = {0, 1, 2}. Gli insiemi delle
controimmagini degli elementi del codominio N sono
f ← (0)
f ← (1)
f ← (2)
f ← (m)
=
=
=
=
{3k | k ∈ N},
{3k + 1 | k ∈ N},
{3k + 2 | k ∈ N},
∅, per ogni m ≥ 3.
Se si pone A = {3, 4, 5} e B = {0, 1, 2}, allora la restrizione f |A : A → B è evidentemente
biettiva. Questa è tale che f |A (n) = n−3, per ogni n ∈ A, pertanto la sua funzione inversa
1 FUNZIONI
risulta
12
f |−1
A : B → A
n 7→ n + 3.
Definizione 9 Si dice che una funzione f : I → R definita su un intervallo I ⊆ R è
monotona
• crescente, quando ∀x1 , x2 ∈ I : x1 < x2 → f (x1 ) < f (x2 );
• debolmente crescente, quando ∀x1 , x2 ∈ I : x1 < x2 → f (x1 ) ≤ f (x2 );
• decrescente, quando ∀x1 , x2 ∈ I : x1 < x2 → f (x1 ) > f (x2 );
• debolmente decrescente, quando ∀x1 , x2 ∈ I : x1 < x2 → f (x1 ) ≥ f (x2 ).
y
y
g(x )
2
f(x2)
g(x1)
f(x1)
x1
x2
x
x1
x2
x
Figura 5: grafici di funzione crescente (f ) e debolmente crescente (g)
Per le funzione monotone in senso forte, vale la seguente proposizione di immediata
dimostrazione.
Proposizione 2 Ogni funzione monotona decrescente (o crescente) è anche iniettiva.
1 FUNZIONI
13
Definizione 10 Si consideri una funzione f : A → R definita su un insieme A ⊆ R
simmetrico rispetto allo zero, ovvero tale che ∀x ∈ A : −x ∈ A. Si dirà che f è
• pari, quando ∀x ∈ A : f (x) = f (−x);
• dispari, quando ∀x ∈ A : f (x) = −f (−x).
3
y
y
y=x
f(x)=−f(−x)
y=x2
f(x)=f(−x)
−x
x
f(−x)
x
−x
x
Figura 6: grafici di funzioni pari e dispari
x
1 FUNZIONI
14
Per le funzioni pari e dispari vale la seguente caratterizzazione:
Proposizione 3 Data una funzione f : A → R e indicato con Γf il suo grafico, si ha
che f è
• pari se e solo se Γf è simmetrico rispetto l’asse y;
• dispari se e solo se Γf è simmetrico rispetto all’origine O(0, 0).
Definizione 11 Data una funzione f : A → R, definita su un insieme A ⊆ R, si dirà
che f è periodica se esiste un minimo numero reale T > 0 tale che
∀x ∈ A, k ∈ Z : f (x) = f (x + kT ).
In tal caso T prende il nome di periodo della funzione. La richiesta dell’esistenza di un
minimo valore T per la data funzione permette di escludere tra le funzioni periodiche le
funzioni costanti e funzioni dall’andamento bizzarro, come la funzione caratteristica dei
razionali χQ .
y
y=f(x)
x
x+T
x+2T
x
f(x)=f(x+kT)
Figura 7: grafico di una funzione periodica
1 FUNZIONI
1.2
15
Funzioni elementari
Potenze ad esponente intero
Si dividano le funzioni potenza potn ad esponente intero n ∈ Z∗ in due gruppi:
• se n > 0 sono del tipo
potn : R → R
x 7→ xn
e hanno le seguenti proprietà:
– se n è pari: potn è pari con immagine è potn (R) = R+ ;
– se n è dipari: potn crescente, dispari, con immagine è potn (R) = R e quindi
biettiva.
y
y
y=xn (n pari )
y=x−n (n pari )
x
y=xm (m dispari)
x
y=x−m (m dispari)
Figura 8: grafici di funzioni potenza con esponenti interi
• Le potenze ad esponente negativo −n < 0 sono del tipo
pot−n : R0 → R0
x 7→ x−n =
1
xn
e godono delle seguenti proprietà:
– se n è pari: pot−n è pari con immagine è pot−n (R0 ) = R+
∗;
−
– se n è dispari: pot−n è decrescente in ciascuno degli intervalli R+
∗ e R∗ , dispari,
con immagine pot−n (R0 ) = R0 e quindi biettiva.
1 FUNZIONI
16
Funzioni irrazionali
Si considerino le funzioni irrazionali elementari del tipo sqrtn , ovvero le funzioni inverse
delle funzioni potenza potn ad esponente intero positivo. Queste si possono suddividere
in due gruppi in base alla parità dell’indice dell’indice del radicale.
• se n ≥ 2 pari sono del tipo
sqrtn : R+ → R+
√
x 7→ n x
la funzione irrazionale stabilisce una biezione di R+ in se stesso ed è inoltre crescente;
• se n ≥ 3 dispari sono del tipo
sqrtn : R → R
√
x 7→ n x
la funzione irrazionale stabilisce una biezione di R in se stesso ed è inoltre crescente
e dispari.
y
y=sqrt n(x) (n pari )
x
y=sqrt m(x) (m dispari)
Figura 9: grafici di alcune funzioni irrazionali
1 FUNZIONI
17
Potenze ad esponente reale
Le funzioni potenza ad esponente reale α > 0 sono del tipo
potα : R+ → R+
x 7→ xα .
Esse sono crescenti e biettive. Per esponenti α > 1 hanno grafici con concavità verso
l’alto, mentre per 0 < α < 1 la concavità è verso il basso.
y
y=xα (α>1)
y=x
y=xβ (1>β>0)
x
Figura 10: grafici di alcune funzioni potenza ad esponente reale
1 FUNZIONI
18
Funzioni logaritmiche ed esponenziali
Dato un reale 0 < a 6= 1 la funzione esponenziale di base a è del tipo
expa : R → R+
∗
x
x 7→ a .
Essa risulta biettiva crescente se a > 1, decrescente altrimenti; il suo grafico è asintotico
all’asse x.
La funzione inversa di expa si chiama logaritmo di base a:
loga : R+
∗ → R
x 7→ loga x.
Essa risulta biettiva crescente se a > 1, decrescente altrimenti; il suo grafico è asintotico
all’asse y. Nella figura 11 i grafici di alcune funzioni esponenziali e logaritmiche.
y
y
y=loga x (a>1)
y=expa x (a>1)
y=expb x (0<b<1)
x
x
y=logb x (0<b<1)
Figura 11: grafici di funzioni esponenziali e logaritmiche
1 FUNZIONI
19
Funzioni circolari e loro inverse
La funzioni circolari seno, coseno, tangente e cotangente sono definite come segue.
y
Si consideri la circonferenza γ di raggio unitario con centro nell’origine di un sistema di
riferimento cartesiano ( γ è detta circonferenza trigonometrica) e dato un qualunque reayP
P
le x ∈ [0, 2π[ si individui sulla circonferenza
quell’unico punto P = (xP , yP ) tale che la
[ sia x. Si
x
misura in radianti dell’angolo AOP
xP
O
A
x
ponga quindi
def
cos x = xP ,
def
senx = yp .
Le funzioni senx e cos x vengono quindi estese su tutto R di modo che siano periodiche
con periodo T = 2π. Si osservi, in particolare, che per costruzione vale la seguente
fondamentale identità:
cos2 x + sen 2 x = 1.
Si sono quindi costruite le due seguenti funzioni:
• funzione coseno
cos : R → R
x 7→ cos x.
è pari, non iniettiva, periodica di periodo T = 2π, e con immagine cos(R) = [−1, 1].
Viene resa invertibile restringendone il dominio all’intervallo [0, π], su cui risulta
decrescente, e il codominio a [−1, 1];
• funzione seno
sen : R → R
x 7→ sen x.
è dispari, non iniettiva, periodica di periodo T = 2π, e con immagine sen(R) =
[−1, 1]. Viene resa invertibile restringendone il dominio all’intervallo [−π/2, π/2],
su cui risulta crescente, e il codominio a [−1, 1].
1 FUNZIONI
20
y
y=sen(x)
x
y=cos(x)
Figura 12: grafici di seno e coseno
Le funzioni sen e cos, opportunamente ristrette, risultano invertibili con inverse
• funzione arcoseno:
arcsen : [−1, 1] → [−π/2, π/2]
x 7→ arcsen x,
• funzione arcocoseno:
arccos : [−1, 1] → [0, π]
x 7→ arccos x.
y
π
y=arccos(x)
π/2
y=arcsen(x)
x
−π/2
Figura 13: grafici di arcoseno e arcocoseno
1 FUNZIONI
21
Le funzioni tangente e cotangente sono definite sulla circonferenza trigonometrica nel
seguente modo.
y
Nel piano cartesiano tracciamo le rette c :
y = 1 e t : x = 1. Dato un qualunque reay
le x ∈ [0, π[ si individui sulla circonferenza
T
T
C
c
quell’unico punto P = (xP , yP ) tale che la
P
[ sia x e si
misura in radianti dell’angolo AOP
consideri la retta OP . Se x 6= π/2 allora OP
x
O
incontra t in un punto T = (1, yT ), mentre
xC A
x
se x 6= 0 la retta OP incontra c in un punto
C = (xC , 1).
t
Si ponga quindi
def
tg x = yT ,
def
ctg x = xC .
Le funzioni tg x e ctg x vengono quindi estese su tutto R di modo che siano periodiche
con periodo T = π. Si osservi in particolare che per costruzione valgono le seguenti
identità
cos x
senx
, tg x =
.
tg x =
cos x
senx
Si è quindi costruito la coppia di funzioni:
• funzione tangente
tg : A → R
x 7→ tg x,
con A = {x ∈ R | ∀k ∈ Z : x 6= π/2 + kπ},
• funzione cotangente
ctg : B → R
x 7→ ctg x,
ove B = {x ∈ R | ∀k ∈ Z : x 6= kπ}.
Tali funzioni risultano suriettive, dispari, periodiche di periodo π e con grafici aventi
infiniti asintoti verticali corrispondenti ai punti di frontiera dei rispettivi dominii.
La funzione tangente può essere resa biettiva restringendone il dominio a ]−π/2, π/2[,
mentre la funzione cotangente restringendolo a ]0, π[.
1 FUNZIONI
22
y
y=ctg(x)
y=tg(x)
π/2
−3π/2
−π/2
3π/2
x
Figura 14: grafici di tangente e cotangente
Le funzioni inverse delle restrizioni di tangente e cotangente sono
• funzione arcotangente:
arctg : R →] − π/2, π/2[
x 7→ arctg x,
• la funzione arcocotangente
arcctg : R →]0, π[
x 7→ arcctg x.
y
π
y=arcctg(x)
π/2
y=arctg(x)
x
−π/2
Figura 15: grafici di arcotangente e arcocotangente
1 FUNZIONI
23
Funzione valore assoluto
La funzione valore assoluto è di particolare importanza per lo sviluppo dei prossimi
capitoli, pertanto se ne richiamano definizioni e proprietà fondamentali.
La funzione valore assoluto, indicata con il simbolo | · |, è una funzione reale definita
ponendo per ogni x ∈ R
(
x
per x ≥ 0,
def
|x| =
−x per x < 0.
Il suo grafico è riportato in figura ?? e, per ogni x, y ∈ R, la funzione assoluto gode delle
seguenti relazioni:
1. |x| ≥ 0,
2. |x| ≥ x ≥ −|x|,
3. |x + y| ≤ |x| + |y| (disuguaglianza triangolare),
4. |x| − |y| ≤ |x − y|.
y
y=|x|
|x|=|−x|
x
−x
x
Figura 16: grafico della funzione valore assoluto
2 SUCCESSIONI
2
24
Successioni
Questa sezione è dedicata ad una classe particolarmente interessante di funzioni, dette
successioni.
Definizione 12 Si dice successione di numeri reali ogni funzione con dominio l’insieme
dei numeri naturali (o un suo sottoinsieme) a valori reali. In pratica, una successione fa
corrispondere ad ogni numero naturale n un ben preciso numero reale an . Un successione
n 7→ an , verrà denotata indifferentemente con uno dei seguenti simboli
{an }n∈N
o
{an }n .
Le nozioni di crescenza e decrescenza si estendono in modo del tutto naturale alle successioni, ed è immediato costatare che
Proposizione 4 Un successione {an }n risulta
• crescente
• decrescente
⇔
⇔
∀n ∈ N : an+1 > an ;
∀n ∈ N : an+1 < an .
Tra le successioni, occupano un posto di particolare rilievo le successioni aritmetiche e
geometriche, che verranno trattate nelle seguenti sezioni.
2.1
Successioni aritmetiche
Definizione 13 Dato un numero reale d, una successione {an }n si dice aritmetica di
ragione d quando
∀n ∈ N : an+1 − an = d.
Dalla definizione è immediato provare che il termine generale an di una successione
aritmetica soddisfa
an = a0 + nd.
2.2
Successioni geometriche
Definizione 14 Dato un numero reale q tale che q 6= 0 e q 6= 1, una successione {an }n
si dice geometrica di ragione q quando
∀n ∈ N :
an+1
= q.
an
2 SUCCESSIONI
25
Dalla definizione è immediato provare che il termine generale an di una successione
geometrica soddisfa
an = a0 q n .
Per le successioni geometriche è di particolare interesse una formula che ci dà la somma
dei suoi primi N + 1 termini:
Proposizione 5 Sia {an }n una successione geometrica di ragione q, allora la somma dei
primi N + 1 termini della successione, quantità indicata con SN , soddisfa
SN = a0 + · · · + aN = a0
1 − q N +1
.
1−q
Dim. Per definizione si è posto
SN = a0 + a1 + · · · + aN −1 + aN ,
e, dato che qan = an+1 , moltiplicando per q i membri della precedente uguaglianze si può
scrivere
qSN = a1 + a2 + · · · + aN + aN +1 .
Sottraendo, membro a membro, i termini della prima a quelli della seconda uguaglianza
di ottiene
(q − 1)SN = aN +1 − a0 ,
da cui si ottiene
SN =
aN +1 − a0
.
q−1
Tenuto conto che per una successione geometrica di ragione q si ha aN +1 = a0 q N +1 , si ha
infine
q N +1 − 1
SN = a0
.
q−1
3 NUMERI REALI
3
26
Numeri reali
In questa sezione vengono innanzitutto presentati gli assiomi dei numeri numeri reali,
mostrando che essi costituiscono un campo ordinato e completo. Successivamente si introducono i concetti di massimo e minimo e di estremo superiore ed inferiore di un dato
sottoinsieme dei numeri reali. Infine vengono presentate le linee essenziali della topologia
canonica dei numeri reali, a partire dalla nozione d’intorno di un punto.
3.1
Assiomatica dei numeri reali
Gli assiomi che ora verranno presentati specificano tutte le proprietà dei numeri reali, e
possono essere riassunti affermando che l’insieme dei numeri reali è un campo ordinato e
completo.
Assiomi algebrici:
In R è definita un’operazione interna, detta addizione e indicata con il segno +, tale che
1. ∀ a, b : a + b = b + a (propr. commutativa),
2. ∀ a, b, c : (a + b) + c = a + (b + c) (propr. associativa),
3. esiste un elemento neutro per l’addizione, detto zero e indicato con 0, cioè tale che:
∀ a : a + 0 = 0 + a = a,
4. per ogni a ∈ R esiste un elemento detto opposto di a e indicato con −a, tale che
a + (−a) = 0.
In R è definita un’altra operazione interna, detta prodotto e indicata con ·, tale che
1. ∀ a, b : a · b = b · a (propr. commutativa),
2. ∀ a, b, c : (a · b) · c = a · (b · c) (propr. associativa),
3. esiste un elemento neutro per il prodotto, detto unità e indicato con 1, cioè tale che:
∀ a : a · 1 = 1 · a = a,
4. per ogni a ∈ R0 esiste un elemento detto reciproco di a e indicato con a−1 , tale che
a · a−1 = 1.
Inoltre le operazioni di somma e prodotto si combinano tra loro in accordo alla seguente
legge distributiva
∀ a, b, c : a · (b + c) = a · b + a · c.
Si dimostra facilmente che l’elemento neutro dell’addizione e quello della moltiplicazione
sono unici. Sono inoltre unici l’opposto e il reciproco di un numero reale. Vale inoltre:
Proposizione 6 L’operazione di prodotto soddisfa le seguenti proprietà:
3 NUMERI REALI
27
1. ∀ a : a · 0 = 0,
2. ∀ a, b : a · b = 0 ↔ a = 0 ∨ b = 0 (legge di annullamento del prodotto).
Assiomi d’ordinamento:
In R è definita una relazione di ordine totale ≤ compatibile con le operazioni di addizione
e prodotto, cioè tale che:
1. ∀ a, b, c : a ≤ b → a + c ≤ b + c,
2. ∀ a, b ∀ 0 ≤ c : a ≤ b → a · c ≤ b · c.
Assioma di completezza ordinale:
Se A e B sono due sottoinsiemi non vuoti di R tali che ∀ a ∈ A ∀ b ∈ B : a ≤ b (si dirà in tal
caso che A e B sono una coppia di classi separate e scriveremo A ≤ B) esiste allora almeno
un elemento ξ ∈ R che separa le due classi, cioè tale che ∀ a ∈ A ∀ b ∈ B : a ≤ ξ ≤ b. Nel
caso in cui le classi separate soddisfano la proprietà
∀ > 0 ∃ a ∈ A, b ∈ B : b − a < ,
l’elemento separatore delle classi è unico, e si parla di classi contigue.
Si enuncia qui un’importante teorema che stabilisce una sorta di unicità dell’insieme dei
numeri reali.
Teorema 7 Ogni campo ordinato e completo è isomorfo a R, ovvero può essere stabilita
tra questo ed R una corrispondenza biunivoca che rispetta l’ordine e le operazioni di somma
e prodotto.
Si ricorda infine che mediante gli assiomi dei numeri reali sopra citati, in particolare
quello di completezza ordinale, è possibile definire le radici n−esime di un numero reale
positivo, costruire le funzioni circolari e le loro inverse, nonché le funzioni esponenziali e
logaritmiche. Qui di seguito, per esemplificare l’importanza
della completezza dei numeri
√
reali, viene dimostrata l’esistenza (e unicità) di 2.
Esempio 1 Gli insiemi
A = q ∈ Q+ | q 2 ≤ 2
e
B = q ∈ Q+ | q 2 ≥ 2 ,
sono una coppia di classi contigue che ammette in R un unico elemento separatore ξ, non razionale, soddisfacente ξ 2 = 2.
Innanzitutto i due insiemi formano una coppia di classi separate, più precisamente si ha A ≤ B. Infatti se a2 < 2 e
b2 > 2, si può scrivere a2 < 2 e −b2 < −2, pertanto, sommando membro a membro le due disequazioni, segue a2 − b2 < 0,
ovvero (a − b)(a + b) < 0. Dato che a, b > 0, dovrà essere per forza a − b < 0, cioè a < b.
Per l’assioma di continuità dovrà esistere un elemento ξ ∈ R che separa le due classi, ovvero tale che A ≤ ξ ≤ B. Si
prova ora che deve essere xi2 = 2. Si osservi che tale argomento implica anche l’unicità dell’elemento separatore, infatti, se
esistesse un altro elemento separatore ξ 0 soddisfacente ξ 02 = 2, ne dedurremmo che xi2 − ξ 02 = 0, da cui (ξ − ξ 0 )(ξ + ξ 0 ) = 0,
quindi, dato che ξ, ξ 0 sono positivi, ξ − ξ 0 = 0, cioè ξ = ξ 0 .
3 NUMERI REALI
28
Si supponga per assurdo che l’elemento separatore non soddisfi ξ 2 = 2. Dovrà essere quindi ξ 2 < 2 o ξ 2 > 2. Nel primo
caso, si scelga innanzitutto un n ∈ N tale che
5
< 2 − ξ2 ,
n
e sfruttando la densità di Q in R, si prenda un intero q ∈ Q tale che
ξ<q<ξ+
1
.
n
Elevando al quadrato i membri della precedente disequazione si ottiene
q2 < ξ2 +
Poiché ξ < 2 e
1
n
1
1
2ξ
+ 2 = ξ2 +
n
n
n
2ξ +
1
n
.
≤ 1 segue
q2 < ξ2 +
5
,
n
quindi, tenuto conto di come è stato scelto inizialmente n, si può scrivere
q 2 < ξ 2 + 2 − ξ 2 = 2.
Ne discende che q 2 < 2, cioè q ∈ A, ma essendo anche ξ < q si ottiene una contraddizione con l’ipotesi che ξ è elemento
separatore.
Il secondo caso è analogo a quello ora trattato, quindi è lasciato ai lettori volenterosi. Si può quindi concludere che
l’elemento separatore delle due classi è unico e soddisfa xi2 = 2.
3.2
Massimo ed estremo superiore
In questa sezione si introdurrà il concetto di punto estremante, definendo estremo superiore ed inferiore, massimo e minimo di un sottoinsieme della retta reale.
Definizione 15 Dato un insieme non vuoto A ⊆ R, un numero λ ∈ R si dice maggiorante
o limitazione superiore di A se
1. ∀ a ∈ A : a ≤ λ (in simboli si può scrivere anche A ≤ λ)
Definizione 16 Un insieme non vuoto A ⊆ R si dice superiormente limitato quando
ammette una limitazione superiore; viceversa l’insieme si dirà superiormente illimitato.
Tra i possibili maggioranti di un insieme superiormente limitato ve ne sono due molto
particolari: il massimo, che non sempre esiste, e l’estremo superiore che invece esiste
sempre.
Definizione 17 Dato un insieme non vuoto A ⊆ R, un numero m ∈ R si dice massimo
di A se
1. m è limitazione superiore di A, ovvero A ≤ m
2. m ∈ A
3 NUMERI REALI
29
Il campo reale è totalmente ordinato, pertanto, se un suo sottoinsieme A ammette massimo
m, è immediato costatare che questo massimo è necessariamente unico. Infatti, se si
supponesse per assurdo che m1 e m2 siano massimi distinti, dato che entrambi devono
essere elementi di A, dalla definizione si potrebbe dedurre sia m1 ≤ m2 sia m2 ≤ m1 , da
cui deriverebbe m1 = m2 , in contraddizione con l’ipotesi. Pertanto, quando un insieme A
ammette massimo m, si potrà scrivere in modo univoco
m = max A.
Insiemi che non ammettono massimo, pur essendo superiormente limitati, sono ad esempio
gli intervalli aperti a destra, come A = [0, 1[. In questo caso è facile rendersi conto che
1 pur non essendo un massimo, dato che non appartiene all’insieme A, è la più piccola
limitazione superiore di A; si potrebbe dire che 1 è, tra tutte, la limitazione superiore più
addossata all’intervallo [0, 1[.
Può essere sempre trovata una minima limitazione superiore? La risposta è affermativa
e discende dall’assioma di completezza ordinale dei numeri reali.
Teorema 8 Dato un insieme A ⊆ R non vuoto e superiormente limitato esso ammette
una e una sola minima limitazione superiore.
Dim. La dimostrazione è semplice. Sia Λ l’insieme delle limitazioni superiori di A. Si ha
chiaramente A ≤ Λ, cioè i due insiemi formano una coppia di classi separate. Dunque,
per l’assioma di continuità, esiste un elemento ξ che separa le due classi, cioè A ≤ ξ ≤ Λ.
La prima disequazione ci dice che tale ξ è un maggiorante di A, dunque deve essere ξ ∈ Λ.
La seconda, ξ ≤ Λ, dice che tale ξ è proprio il minimo elemento di Λ, come volevasi
dimostrare. L’unicità di tale elemento deriva evidentemente dall’argomento sull’unicità
del minimo dell’insieme Λ, a cui si è accennato precedentemente.
Si può quindi dare la seguente definizione di estremo superiore:
Definizione 18 Dato un insieme A ⊆ R non vuoto e superiormente limitato, si dirà
estremo superiore di A la minima limitazione superiore λ ∈ R di A; in formule scriveremo
sup A = λ
Altrimenti, nel caso in cui l’insieme A è superiormente illimitato, in formule si scriverà
sup A = +∞
E’ immediato costatare che se A ammette massimo questo è anche estremo superiore,
viceversa l’esistenza dell’estremo superiore non implica l’esistenza di un massimo, come
nel caso dell’insieme [0, 1[.
Quando si vuole verificare operativamente se un punto è estremo superiore di un
insieme, la definizione sopra introdotta non è comoda, e ci si rivolge alla seguente caratterizzazione:
3 NUMERI REALI
30
Teorema 9 Dato un insieme non vuoto A ⊆ R superiormente limitato, un numero λ ∈ R
è estremo superiore di A se e solo se
1. A ≤ λ
2. ∀ > 0 ∃ a ∈ A : λ − a < Dim. Se si pone λ = sup A, tale numero soddisfa per definizione la proprietà 1. Se per
assurdo la 2 non fosse soddisfatta, esisterebbe un > 0 tale per cui per ogni a ∈ A si
avrebbe λ − a ≥ , ovvero a ≤ λ − . Si avrebbe dunque l’esistenza di una limitazione
superiore λ − dell’insieme A strettamente inferiore a λ, in contraddizione con il fatto
che quest’ultimo è estremo superiore.
Viceversa, detto s̄ = sup A l’estremo superiore di A, e dato un numero reale λ soddisfacente le condizioni 1 e 2 si supponga per assurdo che λ 6= s̄. In tal caso dovrà essere
s < λ, dato che λ è una limitazione superiore di A in virtù della 1. Fissato dunque il
numero positivo = λ − s̄, in virtù della proprietà 2, esisterà un elemento a ∈ A tale per
cui a > λ − , ma ciò significa che s̄ < a, in contraddizione con il fatto che s̄ è l’estremo
superiore di A.
Si definiscono in modo del tutto analogo il minimo e l’estremo inferiore di un sottoinsieme
di R, e si indicano con min A e inf A, rispettivamente.
Vale la pena di enunciare, senza però darne la dimostrazione, la seguente caratterizzazione
dell’estremo inferiore:
Teorema 10 Dato un insieme non vuoto A ⊆ R inferiormente limitato, un numero
λ ∈ R è estremo inferiore di A se e solo se
1. λ ≤ A
2. ∀ > 0 ∃ a ∈ A : a − λ < k
Esempio 2 Dati k ∈ N0 e b ∈ R+
∗ , esiste un unico reale a > 0 tale che a = b.
Sia A = {x ∈ R | xk ≤ b}. Una limitazione superiore di tale insieme è b, infatti preso un qualunque reale z con b < z segue
b ≤ bk < z k , quindi z k > b, cioè z non appartiene ad A. Si ponga a = sup A e si scelga una successione xn di elementi di
A convergente ad a. Essendo xkn ≤ b, passando al limite per n → ∞, seguirà che ak ≤ b. Si consideri ora la successione
definita ponendo
1
yn = a + ,
n
k , passando al limite
evidentemente costituita da elementi yn non appartenenti ad A e convergente ad a; poiché b ≤ yn
per n → ∞, seguirà che b ≤ ak . Si è quindi provato che sussistono ak ≤ b ≤ ak , ma ciò implica che ak = b. L’unicità
dell’elemento a è di facile deduzione e viene lasciata al lettore volenteroso.
3 NUMERI REALI
3.3
31
Topologia canonica di R
La nozione di intorno è il concetto centrale di tutta l’analisi infinitesimale, in quanto
consente di formalizzare nozioni intuitive come quella di x è prossimo a y o ancora x
tende a y. Si definisce innanzitutto l’intorno circolare di un punto della retta reale:
Definizione 19 Dato un punto x0 e un numero reale > 0, si dirà intervallo o intorno
circolare di centro x0 e raggio l’intervallo aperto Ix0 , definito da
Ix0 , =] x0 − , x0 + [= {x ∈ R : | x − x0 | < }
La definizione generale di intorno di un punto della retta reale è la seguente:
Definizione 20 Dato un punto x0 , un insieme A ⊆ R si dirà intorno (completo) di
x0 se esso contiene al suo interno almeno un intervallo circolare di centro x0 , cioè se
∃ > 0 : Ix0 , ⊆ A, oppure
∃ > 0 : | x − x0 | < → x ∈ A.
L’insieme degli intorni del punto x0 si indica con F(x0 ) e viene chiamato filtro degli
intorni di x0 .
La definizione d’intorno qui proposta definisce quella che si suole chiamare topologia canonica su R. Si osservi che alla base della nozione di intorno vi è la ben nota distanza euclidea
def
tra punti della retta reale (d(x, y) = |x − y|).
L’insieme degli intorni di un punto soddisfa le proprietà indicate nella seguente proposizione di cui si omette la semplice dimostrazione:
Proposizione 11 Dato un numero reale x0 ∈ R, valgono allora:
1. ∀ U ∈ F(x0 ) : U 6= ∅;
2. ∀ U ∈ F(x0 ) : U ⊆ A → A ∈ F(x0 );
3. ∀ U, V ∈ F(x0 ) : U ∩ V ∈ F(x0 ).
Rispetto alla topologia introdotta, l’insieme dei numeri reali risulta separato, ovvero:
Teorema 12 (Separatezza di R) L’insieme R è uno spazio separato, cioè se x 6= y
allora esistono un intorno U di x e un intorno V di y tali da non intersecarsi in alcun
punto, ovvero
∀ x 6= y ∃ U ∈ F(x), V ∈ F(y) : U ∩ V = ∅.
3 NUMERI REALI
32
Dim. Senza perdita di generalità si può supporre y > x. Si ponga = (y − x)/3, e si
considerino i seguenti intorni circolari U = Ix, e V = Iy, . È immediato costatare che U
e V sono due intorni disgiunti di x e y rispettivamente, come volevasi dimostrare.
La topologia definita su R permette di descrivere in modo oggettivo alcune proprietà che
mettono in relazione i punti della retta reale con i suoi sottoinsiemi:
Definizione 21 Sia D un sottoinsieme non vuoto di R e x0 un punto di R non necessariamente appartenente a D, si dice allora che x0 è
1. punto interno a D se esiste un intorno di x0 completamente contenuto in D,
ovvero
∃ U ∈ F(x0 ) : U ⊆ D;
2. punto esterno a D se esiste un intorno di x0 completamente disgiunto a D, ovvero
∃ U ∈ F(x0 ) : U ∩ D = ∅;
3. punto di chiusura o di aderenza di D se ogni intorno del punto x0 interseca D
in qualche punto, ovvero
∀ U ∈ F(x0 ) : U ∩ D 6= ∅;
l’insieme di tutti i punti di chiusura di D si dice chiusura di D e si indica con D;
4. punto di accumulazione per D se ogni intorno del punto x0 interseca D in
qualche punto diverso da x0 , ovvero
∀ U ∈ F(x0 ) : (U − {x0 }) ∩ D 6= ∅;
5. punto isolato di D se esiste un intorno di x0 che interseca D nel solo punto x0 ,
ovvero
∃ U ∈ F(x0 ) : U ∩ D = {x0 };
6. punto di frontiera per D se ogni intorno del punto x0 interseca sempre sia punti
di D che del suo complementare D{ , ovvero
∀ U ∈ F(x0 ) : U ∩ D 6= ∅ ∧ U ∩ D{ 6= ∅.
È facile provare che sostituendo al termine “intorno” il termine “intorno circolare”,
si ottengono definizioni del tutto equivalenti a quelle sopra date.
Di particolare interesse è la classificazione dei sottoinsiemi della retta reale in base alle
proprietà topologiche dei loro elementi:
Definizione 22 Un sottoinsieme D della retta reale si dice
3 NUMERI REALI
33
1. aperto se ciascun suo punto è interno all’insieme;
2. chiuso se D contiene tutti i propri punti di chiusura, cioè D = D;
3. discreto se ciascun suo punto è isolato;
4. denso in R se la sua chiusura coincide con la retta reale, cioè D = R.
Si osservi qui che gli intervalli chiusi sono tutti e soli quelli del tipo [a, b], [a, +∞[ e
] − ∞, a], mentre quelli aperti sono tutti e soli quelli del tipo ]a, b[, ]a, +∞[ e ] − ∞, a[.
Se un intervallo contiene solo uno dei due estremi invece non è né aperto, né chiuso.
A volte potrà essere utile ricorrere al concetto di intorno destro e sinistro, e di intorno
forato, che sono definiti come segue:
Definizione 23 Dato un punto x0 , si dirà intorno destro di x0 ogni insieme U che contiene un intervallo del tipo [x0 , x0 + [, per qualche > 0. L’insieme F + (x0 ) degli intorni
destri di x0 è definito da
def
F + (x0 ) = { U ∩ [x0 , +∞[ : U ∈ F(x0 )},
e in modo del tutto analogo si definisce il filtro F − (x0 ) degli intorni sinistri del punto x0 .
Se U è un qualunque intorno (completo, destro, sinistro) di x0 , si dirà intorno forato
(completo, destro, sinistro) di x0 l’insieme U r {x0 }.
Seguono alcuni esempi sullo studio dei punti estremanti dei sottoinsiemi della retta reale:
Esempio 3 Si studino i punti estremali dell’insieme A = {1 + e−n + e−2n |n ∈ N}.
Poiché le funzioni y = e−x = ( 1e )x e y = e−2x = ( e12 )x sono decrescenti, il massimo valore dell’insieme A si otterrà in
corrispondenza a n = 0, dunque max A = 3. Ciò accade se e solo se
(
3∈A
3≥A
La prima asserzione è banalmente vera dato che 3 si ottiene in corrispondenza di n = 0. La seconda richiede di studiare la
disequazione 3 ≥ e−n + e−2n , cioè (e−n )2 + e−n − 2 ≤ 0, che può scriversi anche
(e−n + 2)(e−n − 1) ≤ 0
Quest’ultima è vera se e solo se (e−n − 1) ≤ 0, ovvero quando e−n ≤ 1, dunque per ogni n ∈ N.
Poiché y = e−x e y = e−2x sono funzioni i cui valori tendono a zero quando x cresce, ci sia aspetta che sia inf A = 1, ovvero
(
1≤A
∀ε > 0 ∃a ∈ A : a ≤ 1 + ε
La prima asserzione deriva dal fatto che gli esponenziali e−n e e−2n sono strettamente positivi, inoltre, per il medesimo
argomento, si può dire che 1 non appartiene ad A, dunque il minimo di tale insieme non potrà esistere. Per quanto concerne
la seconda asserzione si prenda ε arbitrario reale positivo e si consideri la disequazione
(D)
1 + e−n + e−2n ≤ 1 + ε,
3 NUMERI REALI
34
che può scriversi anche
(e−n )2 + e−n − ε ≤ 0.
Il discriminante dell’equazione associata alla disequazione è ∆ε = 1 + 4ε, che risulta strettamente positivo. Con semplici
manipolazioni algebriche si prova che una condizione sufficiente è affinché (D) sia soddisfatta è
n ≥ ln
√
−1 + ∆ε
.
2
Pertanto (D) è vera senz’altro per qualche n ∈ N, come volevasi dimostrare.
1
Esempio 4 Si studino i punti estremali dell’insieme A = sen(n π2 )(1 − n
)|n ∈ N .
1
Si noti che per x ∈ R la funzione y = 1 − x risulta positiva, crescente e tendente a 1 al crescere di x, inoltre il termine
sen(n π2 ) assume periodicamente i valori 0, 1, 0, −1 al crescere di n. Pertanto ci si aspetta che A abbia estremo superiore 1,
estremo inferiore −1. Si osservi ora che
π 1 1 sen n π
1 − 1 < 1,
sen
n
1
−
≤
·
≤
1
·
1
−
2
n 2
n
n
quindi ogni elemento di A è limitato inferiormente da −1 e superiormente da 1, valori che, tenuto conto della disuguaglianza
stretta, non possono appartenere all’insieme A.
Il punto 1 risulta estremo superiore di A se
(
1≤A
∀ε > 0 ∃n ∈ A : a ≥ 1 − ε
La prima asserzione è già stata provata col ragionamento precedente. Per quanto concerne la seconda asserzione, si consideri
un arbitrario reale positivo ε e si prenda in esame la disequazione
(D)
sen(nπ/2)(1 − 1/n) ≥ 1 − ε,
che per gli n del tipo 1, 5, 9, ..., 4k + 1, ... può scriversi anche 1 −
n>
1
n
≥ 1 − ε, da cui si ottiene
1
.
ε
Poiché la precedente può essere soddisfatta da infiniti interi n del tipo 4k + 1, anche la disequazione (D) risulta vera per
qualche n ∈ N, come volevasi dimostrare. Analogamente si prova che −1 è estremo inferiore di A. Naturalmente, per quanto
detto all’inizio della dimostrazione i punto −1 e 1 non possono essere minimo e massimo di A, perché non appartengono a
tale insieme.
Le seguenti proprietà topologiche dei sottoinsiemi della retta reale vengono lasciate come
esercizio:
Esercizio 1 Se A è un aperto allora A{ è chiuso; viceversa se C è chiuso allora A è aperto.
◦
Esercizio 2 Detti IA, DA, F A, A, rispettivamente, gli insiemi dei punti isolati, di accumulazione, di frontiera ed interni
dell’insieme A, allora valgono le seguenti relazioni
IA
◦
⊆ F A,
A
A
⊆ DA,
= IA ∪ DA,
A
= F A ∪ A.
◦
3 NUMERI REALI
35
Esercizio 3 L’insieme Z dei numeri razionali è denso in R, ovvero per punto ogni x0 ∈ R ed ogni ε > 0, esisterà un qualche
razionale q ∈ Q tale che |x0 − q| < ε.
Esercizio 4 Dato un insieme A e una sua limitazione superiore λ > A non appartenente all’insieme, vale la seguente
equivalenza:
λ è di accumulazione per A
⇔
λ = sup A.
o
n 2
| n ∈ N0 , se ne individuino i punti estremanti. VerifiEsercizio 5 Dati gli insiemi A = 2 + e−n | n ∈ N0 e B = nn−1
2
cato che A ≥ B, si determini l’insieme degli elementi separatori delle due classi.
Esercizio 6 Dato l’insieme A = x2 − 2x − 1 | 3 ≥ x ≥ 0 si dimostri che max A = 2 e min A = −2.
Esercizio 7 Dato l’insieme A =
nq
1+
1
x2
| x 6= 0
o
si dimostri che sup A = +∞ e inf A = 1.
4 CONTINUITÀ
4
36
Continuità
In questa sezione viene introdotta una proprietà cruciale delle funzioni reali che prende
il nome di continuità. Si cercherà innanzitutto di dare una nozione intuitiva di cosa
s’intenda con per continuità. Sia f : D → R una funzione e x0 un punto del suo dominio
D. In termini grossolani, si dice che la funzione f è continua nel punto x0 quando, in
corrispondenza a punti x opportunamente vicini a x0 , i valori y = f (x) possono essere
resi arbitrariamente vicini al valore y0 = f (x0 ). La nozione di vicinanza tra due punti
viene precisata in termini topologici mediante l’uso del concetto d’intorno, giungendo alla
seguente formulazione:
Definizione 24 Sia f : D → R una funzione reale e x0 ∈ D, con y0 = f (x0 ), si dirà che
la funzione f è continua nel punto x0 se
∀ V ∈ F(y0 ) ∃ U ∈ F(x0 ) : x ∈ U ∩ D → f (x) ∈ V.
La funzione f si dice continua in D se essa è continua in ogni punto di D. Una funzione
biettiva f si dice omeomeorfismo se è continua, con inversa f −1 anch’essa continua.
Esempio 5 In figura 17 sono riportati i grafici delle funzioni f e g, una continua e l’altra discontinua nel medesimo punto
x0 . Si noti che per quanto riguarda la funzione g, relativamente all’intorno V di y0 rappresentato in figura, qualunque
intorno U di x0 , per quanto piccolo lo si voglia prendere, conterrà infiniti punti x > x0 tali che f (x) ∈
/ V.
y
y
y=f(x)
y0
V
y0
V
U
x0
Figura 17:
U
x
x0
x
grafici di una funzione f continua in x0 e di g discontinua in x0
È facile provare che la continuità può essere espressa anche utilizzando i soli intorni
circolari. A questo proposito si presenta, omettendone la facile dimostrazione, la seguente
caratterizzione della continuità:
4 CONTINUITÀ
37
Proposizione 13 Sia f : D → R una funzione reale e x0 ∈ D. La funzione f è continua
nel punto x0 se e solo se
∀ ε > 0 ∃ U ∈ F(x0 ) : x ∈ D ∩ U → | f (x) − f (x0 )| < ε
A titolo di esempio, viene riportata qui di seguito la dimostrazione della continuità di una
funzione elementare:
Esempio 6 La funzione x 7→ x2 è è continua su R.
Sia dunque x0 un arbitrario punto della retta reale e ε un arbitrario reale positivo. Occorre provare che in corrispondenza
a tale ε esiste un intorno U di x0 tale che per ogni x ∈ U si ha
(D) |x2 − x20 | < ε.
Conviene considerare
tre casi distinti: x0 = 0, x0 > 0 e x0 < 0. Nel primo caso la disequazione (D) ci dà |x2 | < ε, che
√
equivale a |x| < ε. Pertanto l’intorno U =] − ε, ε[ soddisfa la richiesta di continuità in 0. Si consideri ora il caso x0 > 0.
La disequazione (D) può scriversi anche
y0 − ε < x2 < y0 + ε.
Senza perdita di generalità si può supporre ε < y0 = x20 , pertanto, prendendo le radici dei membri della precedente
disequazione, si ottiene
√
√
y0 − ε < |x| < y0 + ε.
√
√
In particolare, se x ∈ U =] y0 − ε, y0 + ε[ la disequazione (D) è soddisfatta. Ora è facile verificare che U è intorno di
x0 , da cui la continuità in x0 . Analogamente si procede nel caso x0 < 0, che viene lasciato al lettore volenteroso.
Un punto x0 del dominio D può essere isolato o di accumulazione per D. Nei punti isolati
del dominio, le funzioni risultano sempre continue, vale infatti:
Proposizione 14 Una funzione f : D → R è continua in tutti i punti isolati del suo
dominio D.
Dim. Sia x0 ∈ D punto isolato, esisterà dunque un intorno U ∈ F(x0 ) tale per cui
U ∩ D = {x0 }. Quindi, in corrispondenza ad un arbitrario ε > 0, si ha che se x ∈ U ∩ D,
cioè se x = x0 , allora |f (x) − f (x0 )| = |f (x0 ) − f (x0 )| = 0 < ε, come volevasi dimostrare.
Si osservi che come conseguenza della precedente proposizione segue che una funzione può
essere discontinua solo in un punto di accumulazione del proprio dominio. L’andamento
del grafico della funzione in prossimità dei punti di discontinuità verrà studiato in seguito
per studiare uan possibile classificazione delle discontinuità.
4.1
Alcuni teoremi sulle funzioni continue
Un teorema di importanza fondamentale sulle funzioni continue di variabile reale riguarda
la continuità della composizione di funzioni continue:
4 CONTINUITÀ
38
Teorema 15 Date due funzioni di variabile reale f e g
g
f
D −→ E −→ R
x0 7−→ y0 7−→ z0
se g è continua in x0 e f è continua in y0 allora f ◦ g : D → R è continua in x0 . Pertanto
se f e g sono continue allora f ◦ g è continua.
Dim. Per definizione f ◦ g(x0 ) = f (g(x0 )) = f (y0 ) = z0 , dunque se V è un arbitrario
intorno di z0 , per continuità di f in y0 , esisterà un intorno W di y0 tale per cui
y ∈ W ∩ E → f (y) ∈ V.
D’altronde, essendo y0 = g(x0 ), per continuità della g in x0 esisterà un intorno U di x0
tale per cui
x ∈ U ∩ D → g(x) ∈ W.
Si può quindi concludere che
x ∈ U ∩ D → f (g(x)) ∈ V,
per cui la funzione composta f ◦ g è continua in x0 .
Valgono inoltre i seguenti fondamentali risultati sulle funzioni continue:
Teorema 16 [Teorema di limitatezza locale] Se f è continua in x0 ∈ D allora esiste un
intorno di x0 in cui f è limitata.
Dim. Siano f (x0 ) = y0 e V =]y0 − 1, y0 + 1[. L’intervallo V è un intorno di y0 , dunque,
tenuto conto della continuità di f in x0 esiste un intorno U di x0 tale che
∀x ∈ U ∩ D : f (x) ∈ V.
L’intorno V è limitato, pertanto su U ∩ D la funzione è necessariamente limitata.
Teorema 17 [Teorema di permanenza del segno] Se f è continua in xo ∈ D e f (x0 ) =
y0 > 0, allora esiste un intorno U di x0 tale che ∀x ∈ U ∩ D : f (x) > 0.
Dim. Si consideri l’intorno V di y0 definito ponendo V =]y0 − y0 /2, y0 + y0 /2[. Poiché f
è continua in x0 esisterà un intorno U di x0 tale che ∀x ∈ U ∩ D : f (x) ∈ V ; si veda a
questo proposito la figura 18. Dato che inf V = y0 /2 > 0, in U ∩ D la funzione f risulta
strettamente positiva.
4 CONTINUITÀ
39
y
y=f(x)
y +y /2
0 0
V
y0
y0−y0/2
U
x0
x
Figura 18: permanenza del segno di una funzione continua
4.2
Operazioni sulle funzioni continue
Vengono definite di seguito un certo numero di operazioni algebriche sulle funzioni:
Definizione 25 Siano f e g due funzioni reali definite su uno stesso dominio D. Si
definiscono allora le funzioni
• somma f + g ponendo
def
(f + g)(x) = f (x) + g(x);
• prodotto f g ponendo
def
(f g)(x) = f (x)g(x);
• opposto −f ponendo
def
(−f )(x) = −f (x);
• reciproco
1
f
ponendo
1
1
def
(x) =
;
f
f (x)
• rapporto
f
g
ponendo
f
def f (x)
(x) =
;
g
g(x)
• modulo |f | ponendo
def
|f |(x) = |f (x)|.
Se le funzioni f e g sono continue, allora sono continue anche tutte le funzioni da loro
ottenute con le operazioni nella definizione di sopra. Più precisamente valgono i seguenti
teoremi:
4 CONTINUITÀ
40
Teorema 18 Siano f e g due funzioni di variabile reale continue su un medesimo dominio
D. La funzione somma f + g è continua su D.
Dim. Sia x0 punto arbitrario in D, poniamo y0 = f (x0 ) e z0 = g(x0 ). Fissato un
arbitrario ε > 0, occorre determinare un intorno U di x0 in cui
(f (x) + g(x)) − (y0 + z0 ) < ε.
Si osservi qui che vale la relazione
f (x) + g(x) − (y0 + z0 ) ≤ |f (x) − y0 | + |g(x) − z0 |.
(1)
In virtù della continuità di f e g si può determinare due intorni W1 e W2 di x0 tali che
se x ∈ W1 ∩ D allora |f (x) − y0 | < 2ε e se x ∈ W2 ∩ D allora |g(x) − z0 | < 2ε . Pertanto,
tenuto conto della eq. 1, per ogni x che appartiene a D e all’intorno U = W1 ∩ W2 di x0
si ha
f (x) + g(x) − (y0 + z0 ) < ε + ε = ε,
2 2
come volevasi dimostrare.
Teorema 19 Siano f una funzione di variabile reale continua sul dominio D. La funzione opposto −f è continua su D.
Dim. Sia x0 punto arbitrario in D e si ponga y0 = f (x0 ). Fissato un arbitrario ε > 0,
in virtù della continuità di f in x0 esiste un intorno U tale che se x ∈ D ∩ U si ha
|f (x) − y0 | < ε che equivale a |(−f (x)) − (−y0 )| < ε. Pertanto la funzione opposto −f
risulta necessariamente continua in x0 .
Teorema 20 Siano f e g due funzioni di variabile reale continue su un medesimo dominio
D. La funzione prodotto f g è continua su D.
Dim. Sia x0 punto arbitrario in D, poniamo y0 = f (x0 ) e z0 = g(x0 ). Fissato un
arbitrario ε > 0, occorre determinare un intorno U di x0 in cui
|f (x)g(x) − y0 z0 | < ε.
Si osservi che valgono le relazioni
|f (x)g(x)−y0 z0 | = [f (x)−y0 ]g(x)+[g(x)−z0 ]y0 ≤ |f (x)−y0 )| |g(x)|+|g(x)−z0 | | y0 |. (2)
Per il teorema di limitatezza locale si può determinare un intorno W0 di x0 in cui |f (x)| ≤
M per qualche costante reale M > 0. Sempre in virtù della continuità di f e g si possono
ε
determinare due intorni W1 e W2 di x0 tali che se x ∈ W1 ∩ D allora |f (x) − y0 | < 2M
e
ε
se x ∈ W2 ∩ D allora |g(x) − z0 | < 2(|y0 |+1) . Pertanto, tenuto conto della eq. 2, per ogni
x ∈ D appartenente all’intorno U = W0 ∩ W1 ∩ W2 di x0 si ha
|f (x)g(x) − y0 z0 | ≤ ε
come volevasi mostrare.
M
|y0 |
+ε
< ε/2 + ε/2 = ε,
2M
2(|y0 | + 1)
4 CONTINUITÀ
41
Teorema 21 Se f una funzione di variabile reale continua sul dominio D, allora la
funzione modulo |f | è continua su D.
Dim. Sia x0 punto arbitrario in D in cui y0 = f (x0 ) 6= 0. Fissato un arbitrario ε > 0,
dobbiamo determinare un intorno U di x0 in cui
|f (x)| − |y0 | < ε.
In virtù della continuità di f in x0 , esiste un intorno U tale che se x ∈ D ∩ U si ha
|f (x) − y0 | < ε, pertanto, utilizzando una nota disequazione sui valori assoluti, segue
|f (x)| − |y0 | ≤ |f (x) − y0 | < ε,
come volevasi dimostrare.
Teorema 22 Sia f una funzione di variabile reale continua sul dominio D. La funzione
reciproco f1 è continua su tutti i punti x di D in cui f (x) 6= 0.
Dim. Sia x0 punto arbitrario in D in cui y0 = f (x0 ) 6= 0. Fissato un arbitrario ε > 0,
occorre determinare un intorno U di x0 in cui
1
1 f (x) − y0 < ε.
Si osservi che valgono le relazioni
1
|f (x) − y0 |
1
−
f (x) y0 = |y0 ||f (x)| .
(3)
La funzione |f | è continua in x0 , quindi per il teorema di permanenza del segno si può
determinare un intorno W0 di x0 in cui |f (x)| ≥ |y0 |/2 > 0 . Sempre in virtù della
continuità di f si può determinare un intorno W1 tale che se x ∈ W1 ∩D allora |f (x)−y0 | <
ε|y0 |2 /2. Pertanto, tenuto conto della eq. 3, per ogni x ∈ D appartenente all’intorno
U = W0 ∩ W1 di x0 si ha
2
1
1
< ε|y0 | /2 = ε,
−
f (x) y |y0 ||y0 |/2
0
come volevasi mostrare.
Come immediato corollario dei precedenti teoremi, segue che le operazioni di differenza e
reciproco trasformano funzioni continue in funzioni continue. Qui di seguito l’enunciato
del teorema, la cui facile dimostrazione viene lasciata al volenteroso lettore.
Teorema 23 Siano f e g due funzioni di variabile reale continue sul medesimo dominio
D. La funzione differenza f − g è continua su D e la funzione rapporto fg è continua su
tutti i punti x di D in cui g(x) 6= 0.
4 CONTINUITÀ
4.3
42
Continuità delle funzioni elementari
Si dimostra ora la continuità delle principali funzioni reali:
Proposizione 24 Ogni funzione costante è continua sul proprio dominio.
Dim. Sia χ : x 7→ k funzione costante su D. Se x0 è un arbitrario punto nel dominio D e
V un qualunque intorno di k = χ(x0 ) si avrà che χ(x) = k ∈ V per ogni x ∈ D. Pertanto
qualunque intorno U di x0 verrà mappato in V .
Proposizione 25 La funzione identità è continua sul proprio dominio.
Dim. Sia id : x 7→ x la funzione identità su D. Sia x0 un punto qualunque di D e V
un arbitrario intorno dell’immagine id(x0 ) = x0 . Evidentemente l’intorno U = V di x0 è
mappato dalla funzione χ in V , come volevasi dimostrare.
Proposizione 26 Una funzione polinomiale reale p(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 è continua
su R.
Dim. Si osservi che la funzione x 7→ am xm con m ≥ 1 è ottenuta come prodotto della
funzione costante x 7→ am per m volte la funzione identità x 7→ x, pertanto è una funzione
continua. La funzione p(x) è quindi continua essendo somma di funzioni continue.
Proposizione 27 Le funzioni trigonometriche sen(·) e cos(·) sono continue su R.
Dim. Si dimostra questa proprietà solo per la funzione sen(·), essendo del tutto analogo
il procedimento per la funzione cos(·). Si richiama qui un’importante disuguaglianza vera
per ogni x ∈ R: | senx| ≤ |x|. Da questa relazione e dalle note formule di prostaferesi si
possono scrivere le seguenti relazioni:
x + x0
x − x0 sen
| senx − senx0 | = 2 cos
=
2
2
x
+
x
x
−
x
0
0
sen
≤ 2 · 1 · |x − x0 | ≤ |x − x0 |.
= 2 cos
2
2
2
Da ciò risulta evidente che qualunque sia l’intorno V di y0 = senx0 , si può determinare
un intorno U di x0 sufficientemente piccolo di modo che per ogni x ∈ U sia senx ∈ V .
Proposizione 28 Le funzioni trigonometriche tg (·) e ctg (·) sono continue sui loro
domini.
4 CONTINUITÀ
43
Dim. Le funzioni in esame, come noto, sono rapporto delle funzioni continue sen(·) e
cos(·), pertanto, in virtù del teorema 23, sono continue sul proprio dominio.
Proposizione 29 La funzione esponenziale x 7→ ex è continua su R.
Dim. Sia x0 un arbitrario punto in R e si ponga y0 = ex0 . Preso un qualunque ε > 0
occorre dimostrare che esiste un intorno U di x0 tale che |ex − y0 | < ε. La disequazione
sopra può essere scritta
−ε < ex − y0 < ε,
cioè
y0 − ε < ex < y0 + ε.
Senza perdita di generalità si può supporre che ε < y0 , pertanto i termini della precedente
catena di disequazioni sono positivi, ed applicando ad essi la funzione crescente ln si
ottiene
ln(y0 − ε) < x < ln(y0 + ε).
Sia ora U =] ln(y0 − ε), ln(y0 + ε)[. È immediato costatare che x0 risulta elemento di U .
Pertanto U è un intorno di x0 soddisfacente la condizione che se x ∈ U allora |ex −ex0 | < ε,
come volevasi dimostrare.
Per quanto riguarda le più comuni funzioni inverse, invece di fornire una dimostrazione
diretta, ci si rifà ad un noto risultato che verrà presentato più avanti nella sezione dedicata
alle funzioni continue definite su intervalli. Vale il seguente teorema:
Proposizione 30 La funzioni inverse
sono continue sui loro dominii.
√
m
·, arcsin(·), arccos(·), arctg (·), arctg (·), ln(·)
Dim. Le funzioni in esame sono inverse di funzioni continue e monotone definite
su intervalli della retta reale, pertanto, in virtù del teorema 60, risultano continue sui
rispettivi dominii.
5 LIMITI
5
44
Limiti
In questo capitolo viene introdotto un concetto fondamentale nell’analisi infinitesimale: il
limite. Questo, come si vedrà tra breve, è strettamente legato al problema dell’esistenza di
un’estensione continua di una funzione. Prima di addentrarsi nei dettagli della definizione,
si richiama qui il concetto di estensione di una funzione:
Definizione 26 Sia f : D → R una funzione, x0 un punto della retta reale non appartenente a D, ` un qualunque numero reale. Sia ora la funzione f¯ definita su D ∪ {x0 }
ponendo
(
f (x) x ∈ D e x 6= x0 ,
f¯(x) =
`
se x = x0 .
La funzione f¯ verrà detta estensione o, equivalentemente, prolungamento della funzione
f nel punto x0 con il valore `.
Data una funzione f : D → R e un punto x0 non appartenente a D, ci si può porre il
seguente quesito:
si può estendere la funzione f nel punto x0 assegnandole un opportuno
valore ` di modo che l’estensione f¯ risulti continua in x0 ?
y
y
f(x )
0
l
V
V
U
U
x
0
x
x0
x
Figura 19: esempio di estensione continua di una funzione f in x0
5 LIMITI
5.1
45
Definizione di limite
Come osservato nella sezione sulle funzioni continue, se x0 è un punto isolato nel nuovo
dominio D ∪ {x0 }, un qualunque valore ` potrà rendere continua in x0 l’estensione f¯.
Pertanto il caso in cui x0 risulta isolato nel dominio è ben poco interessante.
Se invece x0 è un punto di accumulazione per D, si può dimostrare che tale estensione
continua in x0 esiste solo per certe funzioni, come quella il cui grafico è riportato in
figura 19. Per le funzioni prolungabili per continuità, tuttavia, esiste un’unica estensione
continua. In altre parole, se è possibile estendere per continuità la funzione f in x0 , allora
il valore ` che dobbiamo assegnarle in x0 è necessariamente unico. Vale quindi il seguente
teorema:
Teorema 31 Data una funzione f : D → R e un punto x0 di accumulazione per D, se
esiste un numero reale ` tale che la funzione f¯ definita ponendo
(
f (x) x ∈ D e x 6= x0 ,
f¯(x) =
`
se x = x0 ,
sia continua in x0 , allora tale valore è unico e prende il nome di limite di f (x) al tendere
di x a x0 e si scrive
lim f (x) = `.
x→x0
Dim. Si supponga per assurdo che vi siano due distinti valori `1 e `2 che estendano f per
continuità nel punto x0 , e si indichino con f¯1 e f¯2 le due rispettive estensioni.
Dato che R è separato e `1 6= `2 , si possono scegliere due intorni disgiunti V1 e V2
rispettivamente di `1 e `2 in corrispondenza ai quali, esisteranno due intorni U1 e U2 di
x0 tali per cui
x ∈ D ∩ U1 → f¯1 (x) ∈ V1 ,
x ∈ D ∩ U2 → f¯2 (x) ∈ V2 .
y
La situazione è rappresentata nella figura accanto. L’insieme U = U1 ∩ U2 , intersezione
di intorni di x0 , è intorno di x0 . Siccome x0
è di accumulazione per D dovrà esistere nell’intorno U qualche punto z appartenente al
dominio D tale che z 6= x0 . Ma allora dovrebbe valere simultaneamente le condizioni
f¯1 (z) = f (z) ∈ V1 e f¯2 (z) = f (z) ∈ V2 , in
contraddizione con V1 ∩V2 = ∅. Ciò conclude
la dimostrazione.
l
2
V2
l1
V1
y=f(x)
U1
U2
z
x0
x
È importante osservare che la precedente dimostrazione continua a valere anche nel caso
in cui il punto x0 è elemento del dominio D della funzione f . In tal caso, piuttosto che
5 LIMITI
46
ad un’estensione, sarebbe opportuno riferirci a f¯ come alla funzione ottenuta da f ridefinendone con ` il valore da essa assunto in x0 . A parte questa precisazione terminologica,
il fatto cruciale è che il valore assunto eventualmente in x0 dalla funzione f non influenza
in alcun modo né l’esistenza, né il valore dell’eventuale limite in x0 .
Questo fatto appare con maggior chiarezza nella seguente caratterizzazione1 del concetto di limite:
Teorema 32 Il limite lim f (x) esiste e vale ` ∈ R se e solo se
x→x0
∀ V ∈ F(`) ∃ U ∈ F(x0 ) : x ∈ D ∩ U ∧ x 6= x0 → f (x) ∈ V
(4)
Dim. La dimostrazione è banale, infatti, se f¯ è ottenuta da f ponendo f¯(x0 ) = `, per
ogni x 6= x0 vale l’uguaglianza
|f¯(x) − f¯(x0 )| = |f (x) − `|,
inoltre il primo membro è nullo per x = x0 . Pertanto, la continuità di f¯ in x0 , equivale
alla relazione in equazione 4.
La Eq. 4 può essere equivalentemente riformulata con intorni circolari:
Proposizione 33 Sono equivalenti alla proposizione in Eq. 4 le seguenti proposizioni:
∀ ε > 0 ∃ U ∈ F(x0 ) : x ∈ D ∩ U ∧ x 6= x0 → |f (x) − `| < ε
(5)
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : x ∈ D − {x0 } ∧ |x − x0 | < δ → |f (x) − `| < ε
(6)
Introdotto il concetto di limite, è necessario stabilire se esso esiste per qualsiasi funzione e
punto di accumulazione. La risposta è negativa, come si scoprirà nel successivo esempio.
1
Questa caratterizzazione è spesso assunta come definizione di limite nelle trattazioni in cui il concetto
di limite precede quello della continuità.
5 LIMITI
47
Esempio 7 La funzione f : R → R definita ponendo
y
(
f (x) =
1
−1
l+ε
x < 0,
x > 0.
V
l
non può essere in alcun modo estesa per continuità in 0.
l−ε
Si supponga per assurdo che esista
U
lim f (x) = `.
x→0
x0
x
È facile intuire che vi sono due sole possibilità per il limite: ` = 1
oppure ` = −1, e, senza perdita di generalità, si supponga che sia
` = 1. Secondo la definizione in Eq. 5, in corrispondenza al valore
ε = 1/2 deve esistere un intorno U ∈ F (0) tale per cui
se
x ∈ U−{0}
allora
|f (x) − 1| < 1/2.
Nell’intorno U dovranno cadere sia numeri negativi che positivi. Per i
valori x < 0 la disequazione è soddisfatta avendosi |f (x)−1| = |1−1| =
0 < 1/2. Viceversa, per x > 0 si ha |f (x) − 1| = | − 1 − 1| = 2 > 1/2,
in contraddizione con l’ipotesi d’esistenza del limite.
Dalla definizione di limite discende immediatamente la seguente caratterizzazione della
continuità2
Teorema 34 Data una funzione reale f definita su D, x0 punto di accumulazione di D,
allora
f continua in x0 ⇔
lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
Dim. La dimostrazione è banale. Se la funzione f è continua in x0 , in tale punto l’unico
valore che la rende continua è proprio f (x0 ), quindi deve essere f (x) → f (x0 ). D’altra
parte, se f (x) → f (x0 ), significa che il valore che renderebbe f continua in x0 è proprio
f (x0 ), quindi f è già continua in x0 .
2
Questa caratterizzazione è spesso assunta come definizione di continuità nelle trattazioni in cui il
concetto di limite precede quello della continuità.
5 LIMITI
5.2
48
Limiti a destra e a sinistra
In questa sezione si vogliono estendere i concetti di continuità e limite in modo da disporre
di strumenti più acuminati per studiare il comportamento di funzioni in prossimità dei
punti di accumulazione. S’introducono innanzitutto la continuità a destra e a sinistra in
un punto:
Definizione 27 Sia f una funzione definita su un dominio D e x0 un punto del dominio.
Ripartito il dominio negli insiemi
D− = {x ∈ D | x ≤ x0 },
D+ = {x ∈ D | x ≥ x0 },
si dirà che
f è continua a sinistra in x0
f è continua a destra in x0
def
⇔
def
⇔
f |D− è continua in x0 ;
f |D+ è continua in x0 .
È facile rendersi che possono esservi funzioni discontinue che sono continue solo a destra
o solo a sinistra, oppure né a destra e né a sinistra; si vedano a tal proposito i grafici
riportati in figura 20. Tuttavia, se in un punto una funzione è continua sia a destra sia a
sinistra, necessariamente lı̀ essa deve essere continua in senso ordinario; vale infatti:
Proposizione 35 Sia f una funzione definita su un dominio D e x0 un punto del dominio, allora
f è continua in x0
⇔
f è continua a destra e a sinistra in x0
Dim. Direttamente dalla definizione di continuità, si osservi che che se U è un intorno di
x0 allora
D ∩ U = (U ∩ D− ) ∪ (U ∩ D+ ),
pertanto, verificare la relazione |f (x)−f (x0 )| < ε per ogni x ∈ U ∩D, equivale a verificarla
per ogni x ∈ U ∩ D+ relativamente alla restrizione f + ed ogni x ∈ U ∩ D− relativamente
a f − , come volevasi dimostrare.
Dalle nozioni di continuità a sinistra e a destra in un punto, seguono le analoghe nozioni
di limite destro e di limite sinistro.
Definizione 28 Data una funzione f : D → R e un punto x0 di accumulazione per D,
def
analogamente a quanto fatto per la continuità a destra e a sinistra, siano D− = {x ∈
def
D | x ≤ x0 } e D+ = {x ∈ D | x ≥ x0 }. Qualora x0 sia di accumulazione per D+ , si
dirà limite destro della funzione f per x → x0 , il limite della funzione f |D+ per x → x0 .
In simboli, la definizione può essere scritta
def
lim+ f (x) = lim f |D+ (x).
x→x0
x→x0
5 LIMITI
49
Se x0 è di accumulazione per D− , si può definire in modo analogo il limite sinistro
della funzione f per x → x0 . In questo caso, la definizione è
def
lim− f (x) = lim f |D− (x).
x→x0
x→x0
Il legame tra limiti e continuità stabilito nel teorema 34, si estende immediatamente agli
analoghi concetti di continuità e limite a destra e a sinistra:
Teorema 36 Data una funzione f con dominio D e x0 ∈ D, valgono le seguenti caratterizzazioni:
f è continua a destra in x0 ⇔ lim+ f (x) = f (x0 ),
x→x0
f è continua a sinistra in x0 ⇔ lim− f (x) = f (x0 ).
x→x0
In virtù del teorema 35, si può quindi affermare che se f (x) tende a ` al tendere di x a x0 ,
allora esistono anche il limiti destro e sinistro in x0 ed entrambi valgono `, e viceversa.
Vale quindi la seguente proposizione:
Proposizione 37 Data una funzione f : D → R e un punto x0 ∈ R di accumulazione
per D− e D+ , valgono le seguenti relazioni di limite
lim f (x) = `
x→x0
⇐⇒
lim f (x) = lim+ f (x) = `.
x→x−
0
x→x0
5 LIMITI
50
Si consideri ora una funzione f : D → R discontinua in un punto x0 del suo dominio. Lo
studio del limite destro `+ e sinistro `− in x0 determina varie tipologie di discontinuità,
esemplificate nei grafici in figura 20, che possono essere classificate come segue:
• I limiti `+ e `− esistono entrambi finiti e sono coincidenti: in questo caso si dice che
in x0 vi è una discontinuità eliminabile o di prima specie.
• I limiti `+ e `− esistono entrambi finiti ma distinti: in questo caso si dice che in x0
vi è una discontinuità non eliminabile di tipo salto o di seconda specie.
• Almeno uno dei due limiti è infinito o non esiste: in questo caso si parla di discontinuità non eliminabile di terza specie.
y
y
y0
l+
y=f(x)
−
y=g(x)
l− = y0
+
l =l
x0
x0
x
y
x
y
l+=+∞
y=h(x)
y=i(x)
l−=y0
l−=y0
x0
x
x0
x
Figura 20: discontinuità di prima specie (f ), di seconda specie (g) e di terza specie (h, i)
5 LIMITI
5.3
51
Operazioni e teoremi sui limiti
Inizia ora la rassegna dei principali risultati sui limiti con una coppia di importanti teoremi
di cambiamento di variabile:
Teorema 38 (Teorema di cambiamento della variabile dipendente) Siano f e g
due funzioni di variabile reale che mappano
g
f
D −→ E −→ R.
Se esiste lim g(x) = ` e la funzione f è continua nel punto ` ∈ E, allora valgono le
x→x0
seguenti relazioni di limite
lim f ◦ g(x) = f
x→x0
lim g(x) = f (`).
x→x0
Dim. La funzione ḡ definita ponendo
(
`
se x = x0 ,
ḡ(x) =
g(x) altrimenti
risulta continua in x0 per definizione di limite. La funzione f ◦ ḡ è pertanto continua in
x0 essendo composizione di funzioni continue. Quindi
lim f ◦ ḡ(x) = f ◦ ḡ(x0 ) = f (`),
x→x0
da cui si ottiene
lim f ◦ g(x) = lim f ◦ ḡ(x) = f (`).
x→x0
x→x0
Teorema 39 (Teorema di cambiamento della variabile indipendente) Siano f e
g due funzioni di variabile reale che mappano
g
f
D −→ E −→ R.
Sia inoltre g omeomorfismo, cioè g è continua con inversa g −1 continua, e x0 di accumulazione per D. Posto y0 = g(x0 ), vale l’equivalenza
lim f (y) = `
y→y0
↔
lim f ◦ g(x) = `,
x→x0
nel senso che i limiti esistono solo simultaneamente e in tal caso sono uguali.
Valgono inoltre i seguenti teoremi:
5 LIMITI
52
Teorema 40 Se lim f (x) = 0 e g è limitata in un intorno di x0 , allora
x→x0
lim f g(x) = 0.
x→x0
Dim. Per ipotesi g è localmente limitata, pertanto esistono un intorno U e una costante
M > 0 tali che per ogni x ∈ U0 e x 6= x0 si ha |g(x)| < M . Inoltre, dato che
limx→x0 f (x) = 0, in corrispondenza ad un arbitrario ε > 0 è possibile determinare un
intorno U1 di x0 tale che per ogni x ∈ U1 e x 6= x0 sia |f (x)| < ε/M . Pertanto, posto
U = U0 ∩ U1 , si ha che se x ∈ U e x 6= x0 allora |f (x)g(x)| = |f (x)||g(x)| < ε/M · M = ε.
Ciò conclude la dimostrazione.
Vale anche il seguente teorema di permanenza del segno, la cui semplice dimostrazione
lasciamo come esercizio al lettore, essendo essa pressoché identica a quella dell’analogo
teorema 17 dimostrato per le funzioni continue:
Teorema 41 (Teorema di permanenza del segno) Se per una funzione f si ha
lim f (x) > 0,
x→x0
allora esiste un intorno U di x0 tale che
x ∈ D ∩ U ∧ x 6= x0 −→ f (x) > 0.
y
f(x )
0
l+l/2
V
l
l−l/2
U
x0
x
Figura 21: teorema di permanenza del segno
5 LIMITI
53
Un teorema d’importanza cruciale nel calcolo di molti limiti è il seguente:
Teorema 42 (Teorema del confronto) Siano f, g, h tre funzioni reali tali che in un
intorno di x0 , eccettuato al più x0 , sia: f (x) ≤ g(x) ≤ h(x). Se limx→x0 f (x) =
limx→x0 h(x) = `, allora limx→x0 g(x) = `.
Dim. Sia V un arbitrario intorno circolare di `. In corrispondenza a V per ipotesi è
possibile determinare due intorni U1 e U2 di x0 tali che
y
x ∈ U1 ∧ x 6= x0 → f (x) ∈ V,
y=h(x)
x ∈ U2 ∧ x 6= x0 → h(x) ∈ V.
L’insieme U = U1 ∩U2 , poiché intersezione di
intorni di x0 , è intorno di x0 ; inoltre, senza
perdita di generalità, si può assumere che se
x ∈ U r {x0 } si ha f (x) ≤ g(x) ≤ h(x).
Pertanto, se x ∈ U , eccettuato al più x0 , si
avrà f (x) ∈ V e h(x) ∈ V . L’intorno V è
un intervallo, quindi contiene tutti i valori
compresi tra f (x) e h(x); avendo fatto l’ipotesi che f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) dovrà essere
g(x) ∈ V . Si è dunque provato che esiste un
intorno U di x0 tale che
x ∈ U ∧ x 6= x0 −→ g(x) ∈ V.
Ciò conclude la dimostrazione del teorema.
l
V
y=g(x)
y=f(x)
U
x0
x
5 LIMITI
54
Dai teoremi delle operazioni sulle funzioni continue si deduce immediatamente:
Teorema 43 Siano f e g due funzioni reali e si supponga che
lim f (x) = `,
lim g(x) = m.
x→x0
x→x0
Valgono allora le seguenti relazioni di limite:
lim (f + g)(x) = ` + m;
x→x0
lim (f g)(x) = `m;
x→x0
lim −f (x) = −`;
x→x0
lim
1
1
=
g(x)
m
(purché m 6= 0);
lim
`
f (x)
=
g(x)
m
(purché m 6= 0);
x→x0
x→x0
lim |f (x)| = |`|.
x→x0
5.4
Estensioni della retta reale
La necessità di studiare il comportamento asintotico delle funzioni porta a considerare
un ampliamento topologico di R che permetta di dare un senso a limiti in cui la variabile indipendente tende all’infinito. A questo proposito sono comunemente usate diverse
estensioni della retta reale. In questa trattazione viene presentata l’estensione ottenuta
aggiungendo alla retta reale i simboli +∞ e −∞. Più precisamente si considera l’insieme
def
R = R ∪ {+∞, −∞},
in cui si pone per definizione ∀x ∈ R : x < +∞ e ∀x ∈ R : −∞ < x. L’estensione
topologica si ottiene assegnando il filtro degli intorni dei due nuovi punti +∞ e −∞:
def
F(+∞) = {U ⊆ R | ∃M > 0 : [M, +∞] ⊆ U }
e
def
F(−∞) = {U ⊆ R | ∃M > 0 : [−∞, −M ] ⊆ U }.
5 LIMITI
55
Questa estensione R è ancora uno spazio separato, totalmente ordinato, ma perde la
struttura algebrica di corpo. Come è facile provare, ad esempio, non si possono definire
in maniera coerente l’inverso di +∞ od operazioni algebriche del tipo x · (+∞). Tuttavia,
al prezzo di questa rinuncia, si possono estendere le definizioni di continuità e limite a
funzioni definite su R a valori in R.
Una prima proprietà topologica della retta estesa è espressa dalla seguente proposizione,
la cui facile dimostrazione è qui omessa:
Proposizione 44 Dato un insieme D superiormente (risp. inferiormente) illimitato in
R, allora D, pensato come sottoinsieme dell’estensione R, ammette +∞ (risp. −∞) come
punto di accumulazione.
Data una funzione f : D → R il cui dominio D è superiormente (risp. inferiormente)
illimitato, è possibile dare un significato alla scrittura limx→x0 f (x) = `, con ` finito,
anche per x0 = +∞ (risp. x0 = −∞). Per la Prop. 44 risulta che +∞ è di accumulazione
per il dominio, dunque per definizione di limite si ha
def
lim f (x) = ` ⇐⇒ ∀ V ∈ F(`) ∃ U ∈ F(+∞) : x ∈ D ∩ Ur{+∞} → f (x) ∈ V.
x→+∞
Senza perdita di generalità, sostituendo all’intorno V di ` un intorno circolare e all’intorno
U di +∞ una semiretta del tipo [M, +∞], si ottiene la seguente definizione operativa:
def
lim f (x) = ` ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ M > 0 : x ∈ D ∧ x > M → |f (x) − `| < ε.
x→+∞
Analogamente, per x → −∞, si avrà
def
lim f (x) = ` ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ M > 0 : x ∈ D ∧ x < −M → |f (x) − `| < ε.
x→−∞
Sinora si è considerato il caso in cui il limite ` è finito. Tuttavia nella retta reale estesa si
può dare significato anche al caso in cui il valore del limite ` è +∞ o −∞. La definizione,
in sostanza, è sempre la medesima:
def
lim f (x) = +∞ ⇐⇒ ∀ V ∈ F(+∞) ∃ U ∈ F(x0 ) : x ∈ D ∩ U ∧ x 6= x0 → f (x) ∈ V.
x→x0
Senza perdita di generalità, sostituendo all’intorno V di +∞ una semiretta del tipo
[M, +∞], si ottiene la seguente caratterizzazione operativa per i limiti infiniti:
lim f (x) = +∞⇐⇒∀ M > 0 ∃ U ∈ F(x0 ) : x ∈ D ∩ U ∧ x 6= x0 → f (x) > M.
x→x0
Infine, si possono considerare anche limiti in cui sia il valore x0 che il limite ` sono infiniti.
Operando come nei casi precedenti, dalla definizione di limite si ottengono le seguenti
5 LIMITI
56
caratterizzazioni
def
lim f (x) = +∞ ⇐⇒ ∀ M > 0 ∃ N > 0 : (x ∈ D ∧ x > N ) → f (x) > M,
x→+∞
def
lim f (x) = +∞ ⇐⇒ ∀ M > 0 ∃ N > 0 : (x ∈ D ∧ x < −N ) → f (x) > M,
x→−∞
def
lim f (x) = −∞ ⇐⇒ ∀ M > 0 ∃ N > 0 : (x ∈ D ∧ x > N ) → f (x) < −M,
x→+∞
def
lim f (x) = −∞ ⇐⇒ ∀ M > 0 ∃ N > 0 : (x ∈ D ∧ x < −N ) → f (x) < −M.
x→−∞
Spesso risulta comoda un’altra estensione della retta reale in cui si considera l’insieme:
def
R̃ = R ∪ {∞}.
La struttura topologica si ottiene in questo caso definendo come intorno di ∞ qualunque
insieme che contenga una coppia di semirette di verso opposto del tipo ] − ∞, −M [ e
[M, +∞[, cioè, in formule,
def
F(∞) = {U ⊇ R̃ | ∃M > 0 : |x| > M → x ∈ U }.
Ad esempio in R̄ non esiste il limite
1
lim ,
x→0 x
che invece esiste nell’estensione R̃ in cui è facile provare che
1
= ∞.
x→0 x
lim
Verrà ora presentato un risultato molto utile sui limiti delle funzioni monotone:
Teorema 45 (Limite di una funzione monotona) Sia f una funzione monotona debolmente crescente (risp. decrescente) definita su un intervallo I della retta reale e sia
f (I) l’immagine di f . Posto x0 = sup(I) e ` = sup(f (I)) allora vale
lim f (x) = `,
x→x0
eventualmente nella topologia estesa R, se uno o entrambi x0 e ` sono infiniti.
Dim. Si considera qui per semplicità solo il caso in cui x0 e ` sono entrambi finiti. Si fissi
dunque un arbitrario ε > 0. In base alla definizione di estremo superiore di f (I) dovrà
esistere un qualche ȳ ∈ f (I) tale che ` ≥ ȳ > ` − ε. Dato che ȳ appartiene all’insieme
immagine dovrà esistere x̄ ∈ I tale che ȳ = f (x̄), pertanto ` ≥ f (x̄) > ` − ε. Dato
che f è debolmente crescente e il punto x0 è l’estremo superiore di I allora per ogni
x ∈]x̄, x0 [ si avrà ` ≥ f (x) ≥ f (x̄) > ` − ε, da cui |f (x) − `| < ε. Siano ora δ = x0 − x̄ e
U =]x0 − δ, x0 + δ[, allora per quanto visto sopra si ha che se x ∈ U ∩ I ∧ x 6= x0 allora
|f (x) − `| < ε, come volevasi provare.
5 LIMITI
5.5
57
Limiti notevoli
In questa sezione vengono presentati due gruppi di limiti fondamentali di forme indeterminate. Il primo gruppo è riconducibile al seguente teorema:
Teorema 46 Sussiste il seguente limite
lim
x→0
senx
= 1.
x
Dim.
Dalla costruzione delle funzioni circolari è
facile dedurre che se x ∈] − π/2, π/2[ allora
y
T
P
| senx| ≤ |x| ≤ | tg x|.
(7)
Infatti, nel caso π/2 > x > 0, in accordo alla
figura qui a fianco, valgono le seguenti uguaglianze: senx = HP , tg x = AT ,
_
x = AP , e ovviamente vale la seguente
catena di diseguaglianze:
x
H
A
x
_
HP < AP < AT .
Il caso in cui x è negativo deriva dal precedente ricordando che tg x e senx sono
funzioni dispari.
Considerando i reciproci di ciascun termine nella catena eq. 7 ( con x 6= 0) si ottiene
cos x 1
1
≥
≥
,
| senx|
|x|
senx
quindi, moltiplicando tutto per | senx|, si deduce
senx 1≥
≥ |cos x| .
x
Tenuto conto che i termini entro i valori assoluto sono positivi, si può infine scrivere
1≥
senx
≥ cos x.
x
La conclusione viene dal teorema del confronto, osservato che per continuità cos x tende
a 1 al tendere di x a 0.
Ricordando che tg x =
senx
, e la continuità di cos, segue immediatamente:
cos x
5 LIMITI
58
tg x
=1
x→0 x
In un intorno di 0, escluso x = 0, valgono le seguenti uguaglianze
senx 2
sen 2 x
1
1 − cos x
1 − cos x 1 + cos x
1
=
=
·
,
=
·
·
2
2
2
x
x
1 + cos x
x
1 + cos x
x
1 + cos x
pertanto, facendo tendere x a 0, si ottiene il seguente limite:
lim
1 − cos x
1
=
2
x→0
x
2
Tenuto conto x 7→ seny e x 7→ tg y stabiliscono omeomorfismi dal dominio ]π/2, π/2[
ai codomini ] − 1, 1[ e R rispettivamente, dai limiti precedenti, mediante il teorema di
cambiamento della variabile indipendente, seguono immediatamente:
lim
lim
x→0
arcsen x
=1
x
e
lim
x→0
arctg x
= 1.
x
Il secondo gruppo di limiti deriva invece dal seguente teorema:
Teorema 47 Esiste finito il limite
lim
n→+∞
1
1+
n
n
= e.
La costante e risulta compresa nell’intervallo ]2, 3[ e prende il nome di numero di Nepero
o di Eulero.
Dim. Innanzitutto si prova che la successione di termine generale an = (1 + n1 )n è
crescente. Sviluppando il binomio, si ottiene
n 1
1 n(n − 1)
1 n(n − 1)(n − 2) . . . 1
n 1
+ ··· +
=2+
+ ··· +
=
an = 1 +
n
2
n n
2!
n
n!
nn
1 n
1
1
1
1
2
1
1
2
n−1
= 2+
1−
+
1−
1−
+···+
1−
1−
... 1 −
2!
n
3!
n
n
n!
n
n
n
Pertanto an risulta somma di n addendi che vengono indicati con
φn0 = 2,
φn1
1
=
2!
1
1−
,
n
φn2
1
=
3!
1
2
1−
1−
,
n
n
...
φnn−1
1
=
n!
1
1−
n
2
n−1
1−
... 1 −
.
n
n
5 LIMITI
59
È immediato costatare che φnk ≤ φn+1
per ogni k = 0, . . . , n − 1, pertanto
k
n
n
+ · · · + φn+1
≥ φn+1
+ · · · + φn+1
an+1 = φn+1
0
n
0
n−1 ≥ φ0 + · · · + φn−1 = an .
Questo argomento prova che n 7→ an è una successione monotona crescente. Inoltre
valgono le seguenti relazioni
1
1
≤ ,
φn1 ≤
2!
2
1
1
n
≤ 2,
φ2 ≤
3!
2
...
1
1
≤ n−1 ,
φnn−1 ≤
n!
2
pertanto, ricordando la formula per la somma delle successioni geometriche riportata in
prop. 5), si ha
1
an ≤ 2 +
2
1
1
1
1
1 1 − 2n−1
= 3 − n−1 < 3.
1 + + · · · + n−1 = 2 + ·
1
2
2
2
2
1−
2
Ciò prova che la successione n 7→ an è monotona e superiormente limitata, dunque l’insieme {an | n ∈ N} ammette estremo superiore finito, che si indica con il simbolo e. Per
il teorema sul limite di una funzione monotona crescente si ha
lim an = sup{an },
n→+∞
n∈N
da cui segue
lim an = e,
n→+∞
come volevasi dimostrare.
Si vuole ora provare che la funzione n 7→ an può essere naturalmetne estesa sui numeri
reali dell’insieme ] − ∞, −1[∪]0, +∞[ e anche tale estensione converge alla costante e
quanto x tende all’infinito. Si ha infatti:
Teorema 48 Vale il seguente limite:
lim
x→±∞
1
1+
x
x
= e.
Dim. Si consideri innanzitutto il caso in cui x → +∞. Senza perdita di generalità si
può considerare x > 0. Sia [x] la parte intera di x, e sia an = (1 + n1 )n . Valgono allora le
seguenti disequazioni
x x [x]+1 1
1
1
1
1+
≤ 1+
≤ 1+
= 1+
a[x]
x
[x]
[x]
[x]
5 LIMITI
e
60
x x [x]
a[x]+1
1
1
1
.
1+
≥ 1+
≥ 1+
=
1
x
[x] + 1
[x] + 1
1 + [x]+1
Quindi si ha
x
[x] + 1
1
[x] + 1
a[x]+1 ≤ 1 +
≤
a[x] .
[x] + 2
x
[x]
Per il teorema 47, al tendere di x a +∞, le funzioni a[x]+1 e a[x] tendono alla costante e,
inoltre
[x] + 1
[x] + 1
lim
= lim
= 1.
x→+∞ [x] + 2
x→+∞
[x]
Pertanto, in virtù del teorema del confronto, anche il termine centrale della precedente
catena di disequazioni dovrà tendere alla costante e.
Il caso x → −∞ può essere ricondotto al precedente mediante il cambiamento di variabile
indipendente indotto dall’omeomorfismo y = −x. La facile verifica di quest’affermazione
viene lasciata al lettore.
Ponendo y =
1
si ha
x
y
1
,
(1 + x) = 1 +
y
da cui, in virtù del teorema del cambiamento della variabile indipendente, segue il seguente
limite
1
x
1
lim (1 + x) x = e.
x→0
Dalle regole dei logaritmi, segue l’identità
1
ln(1 + x) x =
1
ln(x + 1),
x
pertanto, tenuto conto della continuità di ln, vale il seguente limite
ln(x + 1)
= 1.
x→0
x
lim
Infine, ponendo y = ex − 1, che equivale a x = ln(y + 1), si ha
ex − 1
y
=
,
x
ln(y + 1)
pertanto, in virtù del teorema di cambiamento della variabile indipendente, vale il seguente
limite
ex − 1
lim
=1
x→0
x
6 INFINITESIMI ED INFINITI
6
62
Infinitesimi ed infiniti
In questa sezione si vuole confrontare il comportamento di quelle funzioni che tendono a
0, chiamate infinitesimi, e di quelle che tendono a infinito, chiamate infiniti. Lo studio
dei limiti porta spontaneamente a stabilire gerarchie tra gli infiniti e tra gli infinitesimi.
Ad esempio, è intuitivo supporre che al tendere di x a +∞ il polinomio x2 + x tenderà
ad infinito con un comportamento che è prevalentemente determinato dal monomio di
grado maggiore x2 , la cui crescita è più veloce di quella di x. Per precisare questi concetti vengono introdotte opportune relazioni tra infiniti ed infinitesimi e dimostrati una
serie di teoremi che consentono di semplificare notevolmente lo studio di alcune forme
indeterminate di limite.
È possibile introdurre vari tipi di relazioni, alcune molto raffinate, per confrontare tra loro
gli infinitesimi gli infinitesimi. Qui si presenterà solo quella più comune, qui di seguito
introdotta:
Definizione 29 Date due funzioni α e β definite suo stesso dominio D e infinitesime
per x tendente a x0 , si dirà che α è infinitesimo di ordine superiore a β quando
lim
x→x0
α(x)
= 0;
β(x)
si dirà che α ha stesso ordine di infinitesimo di β quando
lim
x→x0
α(x)
= K finito e non nullo;
β(x)
si dirà infine che α è infinitesimo equivalente a β quando
lim
x→x0
α(x)
= 1.
β(x)
Se α è infinitesimo di ordine superiore a β scriveremo α = o(β), che si legge α è “o
piccolo” di β. Se α è equivalente a β scriveremo invece α ∼ β.
Occorre qui osservare che, rispetto alla relazione introdotta, non tutte le coppie di infinitesimi sono tra loro confrontabili. Si prendano ad esempio gli infinitesimi x e x senx, il
cui limite del rapporto non esiste al tendere di x a 0.
Risultano particolarmente utili nel calcolo dei limiti le seguenti equivalenze per x tendente
a 0:
x ∼ senx ∼ tg x ∼ arcsen x ∼ arctg x ∼ ln(x + 1) ∼ (ex − 1).
Infatti si vedrà poco oltre che vale un principio che permette di sostituire nel calcolo dei
limiti gli infinitesimi o gli infiniti tra loro equivalenti.
Anche per le funzioni che tendono all’infinito si può introdurre una analoga relazione che
permetta un confronto delle velocità con cui crescono (decrescono) gli infiniti3 :
3
Occorre qui precisare che la nozione di “o grande” appena introdotta, differentemente da quella di
“o piccolo”, non corrisponde a quella presentata nella maggior parte dei libri di analisi.
6 INFINITESIMI ED INFINITI
63
Definizione 30 Date due funzioni f e g definite suo stesso dominio D e tendenti all’infinito per x tendente a x0 , si dirà che f è infinito di ordine superiore a g quando
lim
x→x0
g(x)
= 0;
f (x)
si dirà che f ha stesso ordine di infinito di g quando
lim
x→x0
f (x)
= K finito e non nullo;
g(x)
si dirà infine che f è infinito equivalente a g quando
lim
x→x0
f (x)
= 1.
g(x)
Se f è infinito di ordine superiore a g si scriverà f = O(g), che si legge f è “o grande”
di g. Se f è equivalente a g si scriverà invece f ∼ g.
Nelle classi di infinitesimi ed infiniti, le potenze ad esponente reale formano una scala
continua nella quale la gerarchia è determinata proprio dal valore dell’esponente che viene pertanto identificato con l’ordine d’infinitesimo o infinito. Più precisamente, per gli
infinitesimi:
Definizione 31 Data r ∈ R+
0 , un infinitesimo α per x tendente a x0 si dice di ordine
reale r quando
• è dello stesso ordine di (x − x0 )r , nel caso di x0 finito;
• è dello stesso ordine di
1
, nel caso di x0 infinito.
xr
Invece, per gli infiniti:
Definizione 32 Data r ∈ R+
0 , un infinito α per x tendente a x0 si dice di ordine reale r
quando
• è dello stesso ordine di
1
, nel caso di x0 finito;
|x − x0 |r
• è dello stesso ordine di xr , nel caso di x0 infinito.
Si riporta di seguito l’enunciato di un teorema sul confronto tra infinitesimi ed infiniti
reali. La banale dimostrazione è lasciata al lettore volenteroso.
6 INFINITESIMI ED INFINITI
64
Teorema 49 Per ogni coppia di reali r, s > 0, al tendere di x a 0 si ha che
xr = o(xs ) ↔ r > s,
invece, al tendere di x a +∞, si ha che
xr = O(xs ) ↔ r > s.
Oltre alle potenze reali vi sono anche altre funzioni reali interessanti che tendono all’infinito al tendere di x a +∞, ad esempio la funzione logaritmica e quella esponenziale.
Come si può intuire dai grafici nella figura 22, ci si aspetta che la funzione esponenziale ex
cresca molto più velocemente di una qualunque funzione potenza xr , viceversa la funzione
logaritmica ln x mostrerà una crescita molto lenta delle funzioni polinomiali.
y
x
y=e
y=xβ (con β>1)
y=x
α
y=x
(con 0<α<1)
y=ln(x)
x
Figura 22: infiniti a confronto
6 INFINITESIMI ED INFINITI
65
Le precedenti considerazioni vengono precisate nel seguente teorema:
Teorema 50 Per ogni numero reale r > 0, al tendere di x a +∞ valgono le seguenti
relazioni tra infiniti:
1. xr = O(ln x)
2. ex = O(xr )
Pertanto si suole dire che la funzione esponenziale ha ordine d’infinito sovrareale, mentre
quella logaritmica ha ordine sottoreale.
(verrà presentaDim. Applicando la regola di l’Hospital per i limiti nella forma ∞
∞
ta successivamente alla sezione d’introduzione al calcolo differenziale nel teorema 81) si
ottengono le seguenti relazioni di limite
1
ln x
1
x
lim
= lim
= lim
= 0,
x→+∞ xr
x→+∞ rxr−1
x→+∞ rxr
pertanto, dalla definizione di ordine d’infinito, si ha xr = O(ln x). Sia [r] la parte intera
di r e poniamo s = r − [r]. Applicando la regola di l’Hospital per [r] + 1 volte si ottengono
le seguenti relazioni di limite
rxr−1
x−s
1
xr
=
lim
=
·
·
·
=
lim
r(r
−
1)
.
.
.
(r
−
[r])
= R lim s x = 0,
x
x
x
x→+∞ e
x→+∞
x→+∞ x e
x→+∞ e
e
lim
ove si è posto R = r(r − 1) . . . (r − [r]). Dunque ex = O(xr ), come si voleva dimostrare.
Nel calcolo dei limiti, coppie di infinitesimi o di infiniti equivalenti tra loro sono in qualche
senso interscambiabili. Vale infatti:
Teorema 51 (Principio di sostituzione) Siano f ∼ p e g ∼ q due coppie di infinitesimi o infiniti equivalenti al tendere di x a x0 . Vale la seguente relazione di limite
lim
x→x0
f (x)
=`
g(x)
⇐⇒
lim
x→x0
p(x)
= `,
q(x)
nel senso che i limiti esistono solo simultaneamente e in tal caso sono uguali.
Dim. Si osservi che vale l’uguaglianza
f (x) p(x) q(x)
f (x)
=
.
g(x)
p(x) q(x) g(x)
Pertanto, in virtù del teorema del limite del prodotto e della definizione di infiniti o
infinitesimi equivalenti, se esiste il limite
lim
x→x0
p(x)
,
q(x)
6 INFINITESIMI ED INFINITI
allora esiste anche
lim
x→x0
66
f (x)
,
g(x)
e tali limiti sono necessariamente uguali. Dato che in tutti i ragionamenti prodotti f
può essere scambiata con p e g con q, deve valere anche il viceversa. Ciò conclude la
dimostrazione.
L’intuizione porta a ritenere che nelle somme di infinitesimi si possano trascurare gli
infinitesimi di ordine superiore, in quanto convergono più rapidamente degli altri a zero.
Questo fatto viene formalizzato nel seguente principio di eliminazione:
Teorema 52 (Principio di eliminazione degli infinitesimi) Siano α, β, γ e δ infinitesimi al tendere di x a x0 , tali che β = o(α) e δ = o(γ). Vale allora la seguente
relazione di limite
lim
x→x0
α(x) + β(x)
=`
γ(x) + δ(x)
⇐⇒
lim
x→x0
α(x)
= `,
γ(x)
nel senso che essi esistono solo simultaneamente e in tal caso sono uguali.
Dim. Si osservi che valgono le uguaglianze
β(x)
α(x) + β(x)
=1+
,
α(x)
α(x)
γ(x) + δ(x)
δ(x)
=1+
.
γ(x)
γ(x)
I secondi membri delle due uguaglianze convergono a 1 per x tendente a x0 essendo
β = o(α) e δ = o(γ). Valgono quindi le seguenti equivalenze tra infinitesimi
α(x) + β(x) ∼ α(x),
γ(x) + δ(x) ∼ γ(x),
che in virtù del teorema di sostituzione conducono direttamente alla tesi cercata.
Allo stesso modo, nelle somme d’infiniti è intuitivo aspettarsi che prevalgano gli infiniti
di ordine maggiore. Viene qui presentato l’enunciato del principio di eliminazione degli
infiniti, omettendone la facile dimostrazione:
Teorema 53 (Principio di eliminazione degli infiniti) Siano f , g, h e l infiniti al
tendere di x a x0 , tali che f = O(g) e h = O(l). Vale allora la seguente relazione di limite
lim
x→x0
f (x) + g(x)
=`
h(x) + l(x)
⇐⇒
lim
x→x0
f (x)
= `,
h(x)
nel senso che essi esistono solo simultaneamente e in tal caso sono uguali.
7 ASINTOTI ALL’INFINITO
7
68
Asintoti all’infinito
In questa sezione si studiano le funzioni che presentano un comportamento asintotico al
tendere della variabile indipendente all’infinito. Il concetto di comportamento asintonto
viene precisato nella seguente definizione:
Definizione 33 Siano f, g due funzione reale definita in un intorno di +∞. si dirà che
f e g sono asintotiche per x → +∞ se
lim (f (x) − g(x)) = 0.
x→+∞
In particolare, se f è asintotica ad una funzione lineare g : x 7→ mx + q, si dirà che la
retta y = mx + q è un asintoto del grafico di f per x → +∞.
La presenza di asintoti all’infinito è molto utile in quanto caratterizza in modo abbastanza
preciso l’andamento del grafico della funzione per valori di ascissa tendenti all’infinito.
Vale infatti la seguente caratterizzazione geometrica:
Proposizione 54 Sia f una funzione definita in un intorno di +∞ con grafico Γf e r
una retta del piano. Allora r è asintoto di Γf se e solo se
lim d(Px , r) = 0,
x→+∞
ove Px = (x, f (x)) è il punto di Γf di ascissa x e d(Px , r) la distanza punto-retta secondo
la norma euclidea.
Dim.
y
Γf
Posto che sia r : y = mx + q, si ha che
r
d(Px , r) =
|f (x) − mx − q|
√
,
1 + m2
P
x
f(x)−mx−q
d
H
pertanto
x
lim d(Px , r) = 0 ⇔ lim (f (x)−mx−q) = 0,
x→+∞
x
x→+∞
che equivale al fatto che f sia asintotica a g :
x 7→ mx + q, cioè che f abbia come asintoto
la retta r al tendere di x a +∞.
Dal punto di vista operativo, la ricerca di asintoti all’infinito di una funzione si conduce
per mezzo della seguente utilissima caratterizzazione:
7 ASINTOTI ALL’INFINITO
69
Proposizione 55 Sia f una funzione definita in un intorno di +∞ con grafico Γf e
r : y = mx + q una retta del piano. Allora la retta r è asintoto di Γf per x → +∞ se e
solo se
f (x)
=m e
lim (f (x) − mx) = q.
lim
x→+∞
x→+∞ x
Dim.
Nel caso in cui sussistono i limiti della precedente caratterizzazione, dal teorema di limite
di una somma si ottiene che
lim (f (x) − mx − q) = 0,
x→+∞
cioè che f è asintotica alla funzione g : x 7→ mx + q, ovvero che f ha come asintoto la
retta r.
Viceversa, se si suppone che la retta r : y = mx + q sia asintonto di f per x → +∞,
allora si ha
lim (f (x) − mx − q) = 0,
x→+∞
che può scriversi anche
f (x) − mx − q = α(x),
con α(x) infinitesimo al tendere di x a +∞. Da ciò si ottiene
q α(x)
f (x)
=m+ +
,
x
x
x
che, passando al limite per x → +∞, conduce a
f (x)
= m.
x→+∞ x
lim
Il secondo limite della caratterizzazione risulta conseguenza banale del teorema sul limite
di una somma.
Infine, ecco alcune utili osservazioni sulla ricerca degli asintoti:
• f ammette un asintoto orizzontale, cioè del tipo y = q, per x → +∞ se e solo se
lim f (x) = q;
x→+∞
• f ammette un asintoto verticale per x → c+ , cioè una retta del tipo x − c = 0, se e
solo se limx→c+ f (x) = ±∞;
• condizione necessaria affinché f ammetta un asintoto obliquo di pendenza m 6= 0
per x → +∞ è che sussista
lim f (x) = ±∞.
x→+∞
7 ASINTOTI ALL’INFINITO
70
Di seguito viene presentato un esempio di ricerca di asintoti:
Esempio 8 Determiniamo gli asintoti della funzione
x
f (x) = xe x−1 .
Il dominio della funzione è D = R r {−1} e, con semplici considerazioni sugli ordini d’infinitesimo ed infinito, si
deducono i seguenti limiti alla frontiera di D:
limx→±∞ f (x)
limx→1− f (x)
limx→1+ f (x)
= ±∞,
= 0,
= +∞.
Vi è dunque la possibilità che per x → ±∞ la funzione possegga un asintoto obliquo del tipo y = mx + q. Affinché ciò
accada, devono esistere finiti i seguenti due limiti
x
limx→±∞
xe x−1
x
= m,
x
limx→±∞ (xe x−1 − mx)
=q
Il primo limite esiste e si ha m = e, mentre il secondo
x
lim (xe x−1 − ex) =
x→±∞
x
lim (xe(e x−1
x→±∞
1
=
lim (xe(e x−1 − 1) =
x→±∞
lim ex
x→±∞
−1
− 1) =
1
= e.
x−1
Pertanto la funzione ammette un asintoto verticale h : x = −1 per x → 1+ e un asintoto obliquo y = ex + e per x → ±∞.
8 FUNZIONI CONTINUE SU UN INTERVALLO
8
72
Funzioni continue su un intervallo
In questa sezione vengono presentati alcuni risultati fondamentali che riguardano le funzioni continue definite su intervalli. Il teorema centrale, da cui discenderanno tutti gli
altri, è il seguente:
Teorema 56
in intervalli.
4
Una funzione continua di variabile reale a valori reali manda intervalli
Dal precedente teorema si deducono immediatamente i seguenti due celebri risultati, le
cui semplici dimostrazioni vengono affidate al lettore volenteroso:
Teorema 57 (Teorema dei valori intermedi) Se una funzione continua definita su
un intervallo a valori reali assume i valori y1 e y2 , allora assumerà anche tutti i valori
intermedi.
Teorema 58 (Teorema degli zeri) Se una funzione continua a valori reali definita su
un intervallo assume sugli estremi di questo due valori (non nulli) di segno opposto allora
esisterà un punto interno in cui essa di annulla.
y
y
y=f(x)
y2
y2>0
y=f(x)
y
x
y1
1
x
x2
x
y1<0
x1
x x
2
x
Figura 23: teoremi dei valori intermedi e degli zeri
Si considerano ora le funzioni monotone definite su intervalli reali. Valgono per questa
classe di funzioni alcuni importanti risultati a cui si premette il seguente lemma:
Teorema 59 5 Se una funzione suriettiva f : I → J definita su un intervallo I a valori
in un intervallo J è monotona in senso debole o forte, allora essa è anche continua.
4
5
Una dimostrazione del teorema si può trovare in appendice A
Una dimostrazione del teorema si può trovare in appendice A
8 FUNZIONI CONTINUE SU UN INTERVALLO
73
Teorema 60 (Teorema della funzione inversa) Se f : I → R è una funzione definita su un intervallo I continua e monotona crescente (risp. decrescente), allora essa ha
come immagine un intervallo J e la sua funzione inversa f −1 : J → I risulta continua e
monotona crescente (risp. decrescente).
Dim. Il teorema 56 garantisce che l’immagine di f sia un intervallo J. La funzione f
essendo monotona in senso stretto è anche iniettiva, pertanto ammette come inversa una
funzione f −1 : J → I con medesimo tipo di monotonicità di f . La continuità di f −1
discende dal precedente lemma 59.
Il precedente teorema ammette una teorema inverso, sempre dipendente dal teorema 56,
di cui si omette la (semplice) dimostrazione:
Teorema 61 Se f : I → J è una funzione continua e biettiva da un intervallo I ad un
intervallo J allora essa risulta monotona crescente o decrescente.
Pertanto, dai teoremi 61-60, si può concludere che:
Teorema 62 Dati due intervalli I, J della retta reale e una funzione biettiva f : I → J,
si ha che tale funzione f è continua con inversa continua (cioè è un omeomorfismo) se e
solo se essa risulta monotona crescente o decrescente.
9 FUNZIONI CONTINUE SU INSIEMI COMPATTI
9
74
Funzioni continue su insiemi compatti
In questo capitolo vengono presentati alcuni fondamentali risultati sulle funzioni continue definite sui sottoinsiemi chiusi e limitati della retta reale, che vengono anche detti
compatti :
Definizione 34 Ogni sottoinsieme chiuso e limitato della retta reale si dice compatto.
Il risultato centrale del capitolo è il celebre teorema di Weierstrass:
Teorema 63 (Teorema di Weierstrass) 6 Ogni funzione continua definita su un sottoinsieme compatto della retta reale ammette massimo e minimo.
Un’immediata conseguenza del teorema di Weierstrass e del teorema 57, o dei valori
intermedi, riguarda il caso di una funzione continua definita su un intervallo chiuso e
limitato:
Teorema 64 Sia f : I → R continua sull’intervallo chiuso e limitato I, allora f assume
un massimo valore yM e un minimo valore ym . Inoltre, l’immagine f (I) della funzione è
l’intervallo chiuso e limitato [ym , yM ].
Dim.
y
L’intervallo I = [a, b] è chiuso e limitato, dunque compatto. Quindi, per il teorema di Weierstrass, esisteranno due punti
xm , xM ∈ I tali che
yM
xm b
ym = f (xm ) = min f (x),
x∈I
a
x
M
x
x
yM = f (xM ) = max f (x).
x∈I
Evidentemente ym ≤ f (I) ≤ yM , d’altronde, per il teorema 57 dei valori intermedi, f
dovrà assumere tutti i valori dell’intervallo
[ym , yM ]. Pertanto f (I) = [ym , yM ], come
volevasi dimostrare.
y=f(x)
ym
Dal teorema di Weierstrass si deduce il seguente risultato, la cui non difficile dimostrazione
viene omessa:
Teorema 65 Ogni funzione continua e biettiva definita su un sottoinsieme compatto della
retta reale ammette inversa continua.
6
Una dimostrazione del teorema si può trovare in appendice A
9 FUNZIONI CONTINUE SU INSIEMI COMPATTI
75
Un concetto che risulterà cruciale nella sezione dedicata all’integrazione elementare è
quello di uniforme continuità:
Definizione 35 Sia f una funzione reale su un dominio D. si dirà che f è uniformemente continua su D quando
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : x, y ∈ D ∧ |x − y| < δ → |f (x) − f (y)| < ε.
Grossolanamente, si può dire che se f è uniformemente continua su D allora la differenza
|f (x) − f (y)| può essere resa arbitrariamente piccola purché la differenza |x − y| sia
sufficientemente piccola, questo indipendentemente dalla scelta dei particolari x, y ∈ D.
È evidente che se f è uniformemente continua allora è anche continua. Il viceversa non è
in generale vero. Si consideri ad esempio la funzione ex , continua su R, per la quale, fissata
la differenza |x − y| piccola a piacere, la differenza |ex − ey | tende a divergere quando x, y
tendono a +∞. La continuità e l’uniforme continuità però si equivalgono sugli insiemi
compatti:
Teorema 66 7 Sia f funzione reale continua sul dominio D. Se D è compatto allora f è
uniformemente continua.
7
Una dimostrazione del teorema si può trovare in appendice A
10 CALCOLO DIFFERENZIALE
10
76
Calcolo differenziale
In questa sezione viene presentata la nozione di derivata di una funzione reale, le sue
principali proprietà e le regole di derivazione. La prima nozione che viene introdotta è
quella di rapporto incrementale:
10.1
Definizione di derivata
Definizione 36 Sia f una funzione reale definita in un intorno aperto U di un punto x0
della retta reale. La funzione definita in U − {x0 } da
x 7→
f (x) − f (x0 )
,
x − x0
si dice rapporto incrementale di f nel punto x0 .
Si dice derivata di f nel punto x0 il limite del rapporto incrementale al tendere di x a x0 ,
cioè
f (x) − f (x0 )
.
lim
x→x0
x − x0
Se il precedente limite esiste finito, si dirà che la funzione f è derivabile in x0 e s’indicherà
tale limite con i simboli:
Df (x0 ) o f 0 (x0 ).
Mediante il cambiamento della variabile indipendente si ottiene la equivalenza tra limiti
lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
=`
x − x0
⇐⇒
lim
h→0
f (x0 + h) − f (x0 )
= `,
h
che, operativamente, risulta particolarmente comoda per il calcolo delle derivate delle
funzioni reali.
Definizione 37 Si dice derivata a destra (risp. a sinistra) della funzione f in x0 il limite
del rapporto incrementale al tendere di x a x0 da destra (risp. da sinistra). La derivata
a destra (risp. a sinistra) della funzione f in x0 si indica in simboli con
Df+ (x0 ) o f+0 (x0 ) ( risp. Df− (x0 ) o f−0 (x0 ) ).
Definizione 38 Se una funzione f definita su un aperto U è derivabile in tutti i punti
di U si dice derivabile in U. S’indica con f 0 la funzione definita su U da x 7→ f 0 (x). La
derivata n−esima di f , viene indicata con il simbolo f (n) , ed è definita per induzione,
qualora sia possibile, ponendo f (n) = D(f (n−1) ) per ogni n ≥ 2.
10 CALCOLO DIFFERENZIALE
10.2
77
Significato geometrico della derivata
Il calcolo differenziale si è sviluppato in parte sotto la spinta di alcuni problemi tipici della
cinematica, come la definizione e il calcolo della velocità di variazione di una grandezza
misurabile, ad esempio la posizione di un corpo in movimento; tuttavia, come si vedrà
tra breve, il concetto di derivata si lega ad un problema tipico della geometria: la ricerca
della retta tangente ad una curva in un assegnato punto.
y
Per comprendere questo aspetto, si consideri
t
una funzione f definita in un intorno aperto
U di x0 e indichiamo con γ il suo grafico nel
piano cartesiano. Sia ora x ∈ U − {x0 }; il
r
rapporto incrementale
x
f(x)
Qx
f (x) − f (x0 )
,
x − x0
f(x0)
P
y=f(x)
è evidentemente il coefficiente angolare delx
x
0
la retta rx passante per i punti P (x0 , f (x0 ))
x
e Qx (x, f (x)) della curva γ. Intuitivamente,
quando si fa tendere x a x0 , il punto Qx tende
al punto P , mentre la retta secante rx tende
alla retta tangente t a γ nel punto P .
Se la funzione f è derivabile in x0 , il coefficiente angolare della secante rx , ovvero il
rapporto incrementale di f in x0 , tende al valore finito f 0 (x0 ), che può essere assunto come
coefficiente angolare della retta tangente in P . Si giunge cosı̀ alla seguente definizione:
Definizione 39 Sia f una funzione derivabile in x0 , la retta di equazione
y = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ),
si dice retta tangente al grafico di f nel punto P (x0 , f (x0 )).
y
Qualora in x0 esistano distinte derivata destra e sinistra, come nel caso della funzione il cui grafico è riportato qui accanto, si
chiameranno semitangenti destra e sinistra
in P (x0 , f (x0 )), rispettivamente, le rette r+
e r− aventi equazioni
f(x )
0
r+ :
y = f+0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ),
r− :
y = f−0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ).
y=f(x)
r+
r−
P
f ’−(x0)=−1
f ’ (x )=+1
+ 0
x0
x
10 CALCOLO DIFFERENZIALE
78
Prima di dimostrare la derivabilità delle funzioni elementari, si osservi che la continuità
di una funzione è condizione necessaria alla sua derivabilità; vale cioè il seguente teorema:
Teorema 67 Se f è una funzione reale derivabile in x0 allora essa è continua in x0 .
Dim. Dalla definizione di derivata segue
lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
= `,
x − x0
con ` finito. La funzione α definita ponendo
α : x 7→
f (x) − f (x0 )
− `,
x − x0
è infinitesima al tendere di x a x0 . Per costruzione vale l’uguaglianza
f (x) = (α(x) + `)(x − x0 ) + f (x0 );
al tendere di x a x0 il secondo membro dell’uguaglianza è infinitesimo, poiché il suo primo
fattore tende a ` (che è finito), mentre il secondo fattore è chiaramente infinitesimo.
Pertanto segue che f (x) tende a f (x0 ), come volevasi dimostrare.
A questo punto ci si può chiedere se le funzioni continue siano tutte derivabili. La risposta
è negativa, come dimostra il seguente esempio.
Esempio 9 Si studi la derivabilità della funzione x 7→
√
3
x.
Come è noto, essendo composizione di funzioni continue, f risulta continua su tutto il suo dominio R. Si provi a calcolare
la sua derivata in x = 0:
√
√
√
3
3
x− 30
x
1
Df (0) = lim
= lim √
= lim √
= +∞,
3
x→0
x→0
x→0 3 x2
x−0
x3
pertanto la derivata è +∞ e la funzione f non è derivabile in x0 = 0, pur essendo continua.
Il significato geometrico della derivata come pendenza della retta tangente al grafico è
stato ben chiarito nella definizione 39. Ci si domanda ora cosa si può dire in merito al
comportamento di una funzione continua in un punto in cui essa non è derivabile, ma in
cui esistono comunque, finite o infinite, le sue derivate a destra e a sinistra. Si consideri
quindi f una siffatta funzione, continua in x0 e con derivate a destra e a sinistra in x0
indicate, rispettivamente, con D+ e D− . I casi possibili sono esemplificati nei grafici in
figura 24, e forniscono la seguente classificazione dei punti di non derivabilità:
• I limiti D+ e D− sono distinti e almeno uno è finito: in questo caso si dice che in
x0 vi è un punto angoloso.
• D+ = D− = +∞ oppure D+ = D− = −∞: in questo caso si dice che in x0 vi è un
punto di inflessione verticale.
• D+ e D− sono entrambi infiniti ma opposti di segno: in questo caso si dice che in
x0 vi è un punto cuspidale.
10 CALCOLO DIFFERENZIALE
y
79
y
y=g(x)
y=f(x)
+
r
f(x )
0
P
r+
r−
D−f(x0)=+∞
D f(x )=+∞
+ 0
g(x )
0
P
D−g(x0)=−1
D g(x )=+1
+
0
r−
x0
x0
x
x
y
y=h(x)
r+= r−
D−h(x0)=−∞
h(x )
0
P
D h(x )=+∞
+
0
x0
x
Figura 24: punto di inflessione verticale (f ), punto angoloso (g), punto cuspidale (h)
10.3
Operazioni e teoremi sulle derivate
Le funzioni costruite a partire da funzioni derivabili mediante le operazioni algebriche
risultano anch’esse derivabili. Vale infatti:
Teorema 68 Siano f e g due funzioni reale derivabili in x0 , k una costante reale, allora
le funzioni kf , f + g, f − g e f · g sono derivabili in x0 , se g(x0 ) 6= 0 allora lo è anche
f /g. Valgono inoltre le seguenti relazioni:
1.
(kf )0 (x0 ) = kf 0 (x0 ),
2.
(f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ),
3.
(f − g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) − g 0 (x0 ),
10 CALCOLO DIFFERENZIALE
80
4.
(f · g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 ),
5.
(f /g)0 (x0 ) =
f 0 (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g 0 (x0 )
.
g 2 (x0 )
Dim. Il rapporto incrementale di kf nel punto x0 soddisfa
(kf )(x0 + h) − (kf )(x0 )
f (x0 + h) + −f (x0 )
=k
,
h
h
pertanto, al tendere di h a 0 si ottiene (kf )0 (x0 ) = kf 0 (x0 ).
Il rapporto incrementale di f + g nel punto x0 soddisfa le seguenti uguaglianze
(f + g)(x0 + h) − (f + g)(x0 )
f (x0 + h) + g(x0 + h) − f (x0 ) − g(x0 )
=
=
h
h
f (x0 + h) − f (x0 ) g(x0 + h) − g(x0 )
+
.
h
h
Pertanto, ricordando che g è continua in x0 , in quanto derivabile, al tendere di h a 0 il
limite del rapporto incrementale considerato esiste e si ha (f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ).
Il rapporto incrementale di f − g nel punto x0 soddisfa le seguenti uguaglianze
=
f (x0 + h) − g(x0 + h) − f (x0 ) + g(x0 )
(f − g)(x0 + h) − (f − g)(x0 )
=
=
h
h
f (x0 + h) − f (x0 ) g(x0 + h) − g(x0 )
−
.
h
h
Pertanto, ricordando che g è continua in x0 , in quanto derivabile, al tendere di h a 0 il
limite del rapporto incrementale considerato esiste e si ha (f − g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) − g 0 (x0 ).
Il rapporto incrementale di f · g nel punto x0 soddisfa le seguenti uguaglianze
=
(f · g)(x0 + h) − (f · g)(x0 )
(f (x0 + h) − f (x0 ))g(x0 + h) + f (x0 )(g(x0 + h) − g(x0 ))
=
=
h
h
g(x0 + h) − g(x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
+ f (x0 )
.
h
h
Pertanto, ricordando che g è continua in x0 , in quanto derivabile, al tendere di h a 0
il limite del rapporto incrementale considerato esiste e si ha (f g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) +
f (x0 )g 0 (x0 ).
Si noti che essendo g continua e g(x0 ) 6= 0, esisterà un intorno aperto U di x0 in cui g
non si annulla mai. In U − {x0 } il rapporto incrementale di f /g nel punto x0 soddisfa le
seguenti uguaglianze:
= g(x0 + h)
(f /g)(x0 + h) − (f /g)(x0 )
(f (x0 + h)g(x0 ) − f (x0 )g(x0 + h))
=
=
h
g(x0 + h)g(x0 ) · h
10 CALCOLO DIFFERENZIALE
81
(f (x0 + h) − f (x0 ))g(x0 ) − f (x0 )(g(x0 + h) − g(x0 ))
=
g(x0 + h)g(x0 ) · h
1
f (x0 + h) − f (x0 )
g(x0 + h) − g(x0 )
=
g(x0 )
− f (x0 )
.
g(x0 + h)g(x0 )
h
h
=
Pertanto, ricordando che g è continua in x0 , in quanto derivabile, al tendere di h a 0 il
limite del rapporto incrementale considerato esiste e si ha
(f /g)0 (x0 ) =
f 0 (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g 0 (x0 )
.
g 2 (x0 )
Teorema 69 (Derivazione funzione composta) Sia f una funzione definita in un intorno aperto U di x0 e g una funzione definita in un intorno aperto V di y0 = f (x0 ) tale
che f (U ) ⊆ V , allora la funzione composta g ◦ f è derivabile in x0 e vale la relazione
(g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (y0 ) · f 0 (x0 ).
Dim. Poiché g è derivabile in y0 , esisterà8 un infinitesimo α al tendere di y a y0 tale che
g(y) − g(y0 ) = g 0 (y0 )(y − y0 ) + α(y)(y − y0 ). Pertanto il rapporto incrementale di g ◦ f
può anche scriversi come
g(f (x0 + h)) − g(f (x0 ))
(g ◦ f )(x0 + h) − (g ◦ f )(x0 )
=
=
h
h
(f (x0 + h) − f (x0 ))
,
h
Al tendere di h a 0 si ha α(f (x0 + h)) → 0, pertanto il limite del rapporto incrementale
esiste e si ha
(g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (y0 ) · f 0 (x0 ).
= (g 0 (f (x0 )) + α(f (x0 + h)))
Teorema 70 (Derivazione funzione inversa) Sia f una funzione definita su un intervallo aperto I continua e monotona in senso forte e x0 un punto di I in cui f 0 (x0 ) 6= 0.
La funzione f −1 risulta derivabile nel punto y0 = f (x0 ) e vale la relazione
(f −1 )0 (y0 ) =
8
Vedi la dimostrazione del teorema 67
1
f 0 (x
0)
.
10 CALCOLO DIFFERENZIALE
82
Dim. Poiché vale la relazione y = f (x) ↔ x = f −1 (y), il rapporto incrementale di f −1 in
y0 soddisfa
f −1 (y) − f −1 (y0 )
x − x0
1
=
= f (x)−f (x0 ) .
y − y0
f (x) − f (x0 )
x−x0
Per il teorema 60, la funzione f risulta un omeomeorfismo, pertanto, in virtù del teorema 39, vale la relazione di limite
lim
y→y0
1
f −1 (y) − f −1 (y0 )
= lim
.
x→0
f (x) − f (x0 )
y − y0
x − x0
Poiché f 0 (x0 ) 6= 0, il limite al secondo
membro esiste, dunque si ha
(f −1 )0 (y0 ) =
1
f 0 (x
0)
.
y=f(x)
y0
Una giustificazione di questo fatto può essere trovata dallo studio dei grafici di f e f −1 ,
e delle loro tangenti nei punti P (x0 , y0 ) e, rispettivamente, Q(y0 , x0 ). Infatti, come appare intuibile nella figura qui accanto, tali rette
tangenti risultano simmetriche rispetto alla
bisettrice y = x, pertanto i loro coefficienti
angolari devono essere reciproci.
10.4
y
P
x=f −1(y)
Q
x0
x0
y0
x
Derivate elementari
In questa sezione ci si occupa della derivazione delle più comuni funzioni reali. Note
le derivate delle funzioni elementari, mediante le regole di derivazione presentate nella
precedente sezione, si possono calcolare le derivate di funzioni molto complesse senza
dover ricorrere direttamente al limite del rapporto incrementale, che in molti casi può
risultare estremamente arduo da calcolare.
Si consideri la funzione costante k : x 7→ k. Evidentemente il rapporto incrementale in
qualunque punto x0 ∈ R soddisfa
k(x) − k(x0 )
k−k
=
= 0,
x − x0
x − x0
pertanto
Dk = 0.
10 CALCOLO DIFFERENZIALE
83
Si consideri ora la funzione identica id : x 7→ x. Il rapporto incrementale in qualunque
x0 ∈ R soddisfa
id(x) − id(x0 )
x − x0
=
= 1,
x − x0
x − x0
quindi passando al limite per x tendente a x0 si ha Did(x0 ) = 1. Si scriverà quindi
Dx = 1.
Si consideri ora la funzione potenza ad esponente reale r, potr : x 7→ xr . Il rapporto
incrementale in qualunque x ∈ R soddisfa
(x + h)r − xr
potr (x + h) − potr (x)
=
= xr
h
h
x+h r
x
h
−1
=x
r ln(1+ h
x)
re
h
−1
.
Poichè valgono le seguenti equivalenze d’infinitesimi
r
h
h
r ln(1+ h
)
x
e
− 1 ∼ r ln 1 +
∼ r = h,
x
x
x
passando al limite per h → 0 si ottiene
Dxr = rxr−1 .
Si deriverà ora la funzione esponenziale. Il limite che si considera è analogo al precedente.
Infatti rapporto incrementale in x soddisfa
eh − 1
ex+h − ex
= ex
.
h
h
come noto eh − 1 ∼ h, pertanto, passando al limite per h tendente a 0, segue
Dex = ex .
Si deriverà ora la funzione logaritmica. Il rapporto incrementale in x soddisfa
ln x+h
ln 1 + hx
ln (x + h) − ln x
x
=
=
.
h
h
h
Come noto ln 1 + hx ∼ hx , pertanto, passando al limite per h tendente a 0, segue
D ln x =
1
.
x
Tramite cambiamenti della variabile indipendente, in virtù del teorema di derivazione
delle funzioni composte, si ottengono:
10 CALCOLO DIFFERENZIALE
Dax = ax ln a
e
D loga x =
84
1
.
x ln a
Ci si occupa ora delle funzioni circolari. In virtù delle note formule di prostaferesi, il
rapporto incrementale in x soddisfa della funzione seno risulta
2x + h
h
sen(x + h) − sen(x) = 2 cos
sen
.
2
2
→ cos(x) al tendere di h, pertanto, passando
Come noto sen h2 ∼ h2 , mentre cos 2x+h
2
al limite, si ottiene
D senx = cos x.
In modo del tutto analogo si prova che
D cos x = − senx.
Dalle due precedenti derivate, mediante le regole di derivazione dei rapporti di funzioni si
ottengono:
D tg x =
1
cos2 x
e
D ctg x = −
1
.
sen 2 x
Mediante il teorema dei derivazione della funzione inversa si ottengono inoltre le seguenti
derivate delle funzioni inverse:
D arcsen x = √
1
1 − x2
e
D arccos x = − √
1
;
1 − x2
mentre, per le inverse di tangente e cotangente, valgono:
D arctg x =
1
1 + x2
e
D arcctg x = −
1
.
1 + x2
11 FUNZIONI DERIVABILI SU UN INTERVALLO
11
86
Funzioni derivabili su un intervallo
In questa sezione si vengono presentati i principali risultati sulle funzioni continue e derivabili su intervalli compatti (cioè chiusi e limitati) della retta reale. Tutti i teoremi
presentati si reggono sul teorema di Weierstrass, enunciato e dimostrato nella sezione
sulle funzioni continue definite sugli insiemi compatti.
Il primo risultato è il teorema di Fermat, che indica una condizione necessaria per l’esistenza di un minimo o massimo locali. Il significato geometrico di questo teorema è molto
evidente: nei punti si massimo e minimo locale del grafico di una funzione ci si aspetta
che la tangente, qualora esista, sia orizzontale.
Teorema 71 (Teorema di Fermat) Sia f : D → R che assume un massimo (o un
minimo) locale in un punto x0 interno a D. Se f è derivabile in x0 allora deve essere
necessariamente f 0 (x0 ) = 0.
Dim. Dato che x0 è punto interno a D, posso trovare un intervallo I aperto centrato in
x0 interamente contenuto in D. La funzione h definita su I ponendo per ogni x ∈ I:
f (x)−f (x0 )
se x 6= x0 ,
def
x−x0
h(x) =
0
f (x0 )
se x = x0 ,
risulta continua in x0 . Se si assume che x0 sia di massimo locale, eventualmente restringendo opportunamente il raggio dell’intorno I, si può supporre che
f (x0 ) ≥ f (x),
per ogni x ∈ I.
y
Da una semplice analisi del segno ne consegue che h(x) ≥ 0 per x < x0 , mentre
h(x) ≤ 0 per x > x0 . Pertanto, passando
ai limiti si ottiene
r
f(x0)
f(x)
y=f(x)
lim− h(x) ≤ 0 e
x→x0
lim− h(x) ≥ 0.
x→x0
Dato che h è continua in x0 tali limiti esistono
e coincidono con f 0 (x0 ); dalle disequazioni
scritte sopra si ottiene perciò 0 ≤ f 0 (x0 ) ≤ 0,
cioè f 0 (x0 ) = 0, come volevasi dimostrare.
U
a
x
x0
b
x
11 FUNZIONI DERIVABILI SU UN INTERVALLO
87
Teorema 72 (Teorema di Rolle) Sia f : [a, b] → R continua su [a, b] e derivabile
nell’aperto ]a, b[. Se f (a) = f (b) esisterà almeno un punto ξ ∈]a, b[ tale che f 0 (ξ) = 0.
Dim.
La dimostrazione è immediata perché f una
funzione contiunua definita su un compatto
di R, pertanto in virtù del teorema di Weierstrass essa ammette massimo M e minimo m
assoluti.
Se M = m ne discende che f è costante su
tutto l’intervallo e quindi la sua derivata è
ovunque nulla. Se m < M , dato che sugli
estremi dell’intervallo la funzione ha il medesimo valore, almeno uno dei due estremanti
è assunto in un qualche punto ξ interno all’intervallo. Per ipotesi, la funzione f risulta
derivabile nel punto ξ, pertanto dal teorema
di Fermat si deduce che f 0 (ξ) = 0.
y
t
y=f(x)
f(a)=f(b)
ξ
a
b
x
Teorema 73 (Teorema di Lagrange o del valor medio) Sia f : [a, b] → R continua su [a, b] e derivabile nell’aperto ]a, b[. Esisterà allora almeno un punto ξ ∈]a, b[ tale
che
f (b) − f (a)
.
f 0 (ξ) =
b−a
Dim.
y
Sia k una costante arbitraria e poniamo
g(x) = f (x) − kx per ogni x ∈ [a, b]. La
funzione g ha la medesima regolarità di f ,
inoltre valgono le equivalenze
t
y=f(x)
s
f(b)
g(a) = g(b) ↔ f (a)−ka = f (b)−kb ↔ k =
f (b) − f (a)
.
b − af(a)
Scelta k in modo da soddisfare la precedente
relazione, la funzione g soddisfa il teorema di
Rolle, dunque esisterà ξ ∈]a, b[ tale che
a
g 0 (ξ) = 0.
Dato che per ogni x si ha g 0 (x) = f 0 (x) − k, si deduce che
f 0 (ξ) = k =
come volevasi dimostrare.
f (b) − f (a)
,
b−a
ξ
b
x
11 FUNZIONI DERIVABILI SU UN INTERVALLO
88
L’interpretazione geometrica del teorema di Lagrange è abbastanza chiara. Detta s la
secante passante per i punti estremi del grafico della funzione f , il teorema stabilisce
l’esistenza di almeno una tangente t a detto grafico parallela alla secante s.
Un’ulteriore generalizzazione del teorema di Rolle e di Lagrange è il teorema di Cauchy:
Teorema 74 (Teorema di Cauchy) Siano f, g : [a, b] → R continue su [a, b] e derivabili nell’aperto ]a, b[. Siano inoltre g 0 (x) 6= 0 per ogni x ∈]a, b[. Allora si ha che
g(a) 6= g(b), inoltre esiste almeno un punto ξ ∈]a, b[ tale che
f 0 (ξ) =
f (b) − f (a)
.
g(b) − g(a)
Dim. Se per assurdo si supponesse g(a) = g(b), per il teorema di Rolle dovrebbe esistere
un punto x̄ in ]a, b[ in cui g 0 (x̄) = 0, ma ciò è in contrasto con le ipotesi. Si ponga ora
def
h(x) = f (x) − kg(x) per ogni x ∈ [a, b]. La costante k ∈ R può essere definita in modo
che risulti h(a) = h(b), ponendo calcoli si ottiene che
def
k =
f (b) − f (a)
.
g(b) − g(a)
La funzione h cosı̀ costruita soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, pertanto esisterà
almeno un punto ξ ∈]a, b[ tale che h0 (ξ) = 0. Derivando h in ξ si ottiene h0 (ξ) =
f 0 (ξ) − kg 0 (ξ), da cui, dividendo ambo i membri per g 0 (ξ), che è un valore non nullo per
ipotesi, si ottiene
f (b) − f (a)
f 0 (ξ)
=k=
,
0
g (ξ)
g(b) − g(a)
come volevasi dimostrare.
Il teorema di Lagrange è fecondo di conseguenze; innanzitutto si si dimostra il seguente
criterio di costanza:
Teorema 75 Se f : ]a, b[→ R è una funzione continua con derivata ovunque nulla allora
essa è una costante.
Dim. Se si prendono infatti due arbitrari punti distinti x1 e x2 nell’intervallo aperto, per
il teorema di Lagrange esisterà un qualche ξ ∈]x1 , x2 [ tale che
f (x2 ) − f (x1 )
= f 0 (ξ) = 0,
x2 − x1
da cui f (x2 ) = f (x1 ), come volevasi dimostrare.
Il secondo risultato è un fondamentale criterio di monotonia:
Teorema 76 Se f : ]a, b[→ R è una funzione continua con derivata ovunque positiva
(risp. negativa) allora essa è crescente (risp. decrescente) .
11 FUNZIONI DERIVABILI SU UN INTERVALLO
89
Dim. Se si prendono due arbitrari punti distinti x1 e x2 , nell’intervallo aperto, con
x1 < x2 , per il teorema di Lagrange esisterà un qualche ξ ∈]x1 , x2 [ tale che
f (x2 ) − f (x1 )
= f 0 (ξ) > 0,
x2 − x1
da cui segue che f (x2 ) − f (x1 ) = f 0 (ξ)(x2 − x1 ) > 0, cioè f (x2 ) > f (x1 ), come volevasi
dimostrare.
Infine, seguono due risultati che garantiscono condizioni sufficienti per la derivabilità delle
funzioni continue:
Proposizione 77 Se f : ]a, x0 ] → R è una funzione continua e derivabile in ]a, x0 [ ed
esiste finito o infinito
def
L = lim− f 0 (x),
x→x0
allora la funzione ammette derivata sinistra in x0 e
D− f (x0 ) = L.
Dim. Sia x un punto arbitrario nell’intervallo con x < x0 , allora in [x, x0 ] vale il teorema
di Lagrange; esisterà pertanto un qualche ξx ∈]x, x0 [ tale per cui
f (x) − f (x0 )
= f 0 (ξx ).
x − x0
Se si fa tendere x a b− , anche ξx dovrà tendere a x0 , pertanto, tenuto conto delle ipotesi
del teorema, dalla uguaglianza precedente si ottiene
def
D− f (x0 ) = lim−
x→x0
f (x) − f (x0 )
= lim− f 0 (ξx ) = lim− f 0 (z) = L,
x − x0
x→x0
z→x0
come volevasi dimostrare.
Dal precedente risultato segue immediatamente il criterio di derivabilità:
Teorema 78 Sia f : ]a, b[→ R è una funzione continua e derivabile in tutti punti tranne
che in x0 ∈]a, b[. Se esiste finito
lim f 0 (x) = L,
x→x0
allora in x0 la funzione è derivabile e f 0 (x0 ) = L.
Dim. Per ipotesi si ha che
lim f 0 (x) = lim+ f 0 (x) = L,
x→x−
0
x→x0
11 FUNZIONI DERIVABILI SU UN INTERVALLO
90
pertanto, in virtù della proposizione 77, segue che
D− f (x0 ) = D+ f (x0 ) = L,
da cui si deduce che f è derivabile in x0 e f 0 (x0 ) = L, come volevasi dimostrare.
In genere una funzione derivabile non ammette necessariamente derivata continua, tuttavia le funzioni derivate hanno una proprietà comune a quella delle funzioni continue:
mandano intervalli in intervalli. Vale infatti:
Teorema 79 Se f : ]a, b[→ R è una funzione continua e derivabile allora la sua derivata
f 0 ha come immagine un intervallo.
Dim. Si supponga per assurdo che la derivata f 0 mandi un intervallo ]a, b[ in un insieme
non convesso. Esisterà allora un punto k ∈ R, tale che y10 < k < y20 ove y10 = f 0 (x1 ) e
y20 = f 0 (x2 ), per qualche coppia x1 , x2 ∈]a, b[. Si definisca la funzione h ponendo per ogni
x ∈ [x1 , x2 ]
def
h(x) = f (x) − kx.
Evidentemente h è continua e derivabile nell’intervallo [x1 , x2 ] e per costruzione h0 (x1 ) < 0
e h0 (x2 ) > 0. Per il teorema di Weierstrass, tale funzione ammetterà massimo e minimo
assoluti nell’intervallo [x1 , x2 ], indicati con m e M , rispettivamente. Si proverà ora che
almeno uno di questi due punti è assunto internamente all’intervallo [x1 , x2 ]. Si supponga
per assurdo che entrambi cadano sugli estremi. Vi sono qui due casi possibili. Nel primo
si ha m = f (x1 ) e M = f (x2 ), ma allora, per definizione di massimo e minimo assoluti,
per ogni x ∈]x1 , x2 [ varranno le disequazioni
h(x) − h(x1 )
≥ 0,
x − x1
h(x2 ) − h(x)
≥ 0.
x2 − x
−
Passando ai limiti nella prima disequazione per x → x+
1 nell’altra per x → x2 si ottengono
D+ f (x1 ) ≥ 0,
D− f (x2 ) ≥ 0,
ma h è derivabile in x2 pertanto D+ f (x1 ) = h0 (x1 ), in contraddizione col fatto che
h0 (x1 ) < 0.
Nel secondo caso si ha M = f (x1 ) e m = f (x2 ). Con un analogo ragionamento si
perviene alla contraddizione che D− f (x2 ) ≤ 0 in contrasto con h0 (x2 ) > 0. Il teorema
risulta cosı̀ provato.
Dal teorema di Cauchy derivano alcune risultati utili per il calcolo dei limiti delle forme
indeterminate, che prendono il nome di Regole di L’Hospital. Si incomincia con la regola
per il calcolo delle forme indeterminate del tipo 00 :
Teorema 80 (Regola di L’Hôspital per la forma 00 ) Siano f, g funzioni reali definite su un intervallo [x0 , b] su di esso continue e derivabili nell’intervallo aperto ]x0 , b[ in
11 FUNZIONI DERIVABILI SU UN INTERVALLO
91
cui si supponga sia g 0 6= 0. Sia inoltre f (x0 ) = g(x0 ) = 0. Se esiste finito o infinito il
limite
f 0 (x)
= L,
lim+ 0
x→x0 g (x)
allora esiste anche il limite limx→x+0
f (x)
g(x)
e coincide con L.
Dim. Si consideri innanzitutto il caso in cui L è finito. Sia ora x un arbitrario punto tale
che x0 < x < b. Nell’intervallo [x0 , x] le funzioni f e g soddisfano il teorema di Cauchy,
pertanto esisterà un ξx , dipendente dall’elemento x scelto precedentemente, tale per cui
f (x)
f (x) − f (x0 )
f 0 (ξx )
=
= 0
.
g(x)
g(x) − g(x0 )
g (ξx )
(8)
+
È evidente che se x → x+
0 allora ξx → x0 , quindi
lim+
x→x0
f 0 (x)
f 0 (ξx )
=
lim
= L.
g 0 (ξx ) x→x+0 g 0 (x)
Dunque, tenuto conto della catena di uguaglianze in eq. 8, dovrà essere
lim+
x→x0
f (x)
= L,
g(x)
come volevasi dimostrare.
Il caso in cui L è infinito richiede argomenti analoghi. La dimostrazione viene qui omessa
e lasciata al lettore volenteroso.
La seconda regola riguarda la forma indeterminata ∞
. Qui se ne presenta solo l’enunciato,
∞
essendo la dimostrazione simile a qualla della regola precedente.
∞
Teorema 81 (Regola di L’Hospital per la forma ∞
) Siano f, g funzioni reali definite su un intervallo ]x0 , b] su di esso continue e derivabili nell’intervallo aperto ]x0 , b[ in
cui si supponga sia g 0 6= 0. Si supponga inoltre che
lim f (x) = ±∞,
x→x+
0
lim g(x) = ±∞.
x→x+
0
Se esiste finito o infinito il limite
lim+
x→x0
allora esiste anche il limite lim+
x→x0
f 0 (x)
= L,
g 0 (x)
f (x)
e coincide con L.
g(x)
La regole di L’Hospital appena introdotte possono essere estese anche al caso in cui x
tende all’infinito. Per quanto riguarda la forma [ 00 ], vale:
11 FUNZIONI DERIVABILI SU UN INTERVALLO
92
Teorema 82 Siano f, g funzioni reali definite su un intervallo ]a, +∞] su di esso continue e derivabili in tutto l’intervallo in cui si supponga anche g 0 6= 0. Si supponga inoltre
che
lim f (x) = 0,
lim g(x) = 0.
x→+∞
x→+∞
Se esiste finito o infinito il limite
f 0 (x)
= L,
x→+∞ g 0 (x)
lim
f (x)
e coincide con L.
x→+∞ g(x)
allora esiste anche il limite lim
12 FUNZIONI CONCAVE E CONVESSE
12
94
Funzioni concave e convesse
Il concetto di convessità di una funzione si richiama a quello di sottoinsieme convesso del
piano:
Definizione 40 Sia A sottoinsieme non vuoto del piano. si dirà che A è convesso se per
ogni coppia di punti P1 , P2 dell’insieme A il segmento P1 P2 è incluso in A.
La definizione di convessità per le funzioni è la seguente:
Definizione 41 Sia f funzione reale definita su un intervallo I. si dirà epigrafico di
f l’insieme dei punti del piano appartenenti alla striscia verticale individuata da I e
soprastanti il grafico di f , ovvero
Ef = {(x, y) | x ∈ I, f (x) ≤ y}.
La funzione f si dice convessa se il suo epigrafico è convesso, ovvero se per ogni coppia
di punti A, B ∈ Ef il segmento [A, B] è interamente contenuto in Ef .
La funzione f si dice invece concava quando è convesso il suo ipografico
If = {(x, y) | x ∈ I, f (x) ≥ y}.
Nel caso in cui f è derivabile, si ottiene la seguente caratterizzazione della convessità:
Teorema 83 9 Sia f funzione reale derivabile su un intervallo aperto I. Si ha che f è
convessa se e solo se la derivata f 0 è una funzione debolmente crescente.
Dai teoremi sulle funzioni monotone derivabili su un intervallo e dalla precedente caratterizzazione (l’analoga valida per le funzioni concave) si ottiene immediatamente il seguente
risultato:
Teorema 84 Sia f funzione reale derivabile due volte su un intervallo aperto I. Si ha
che f è convessa se e solo se f 00 (x) ≥ 0 per ogni x ∈ I. Mentre f è concava se e solo se
f 00 (x) ≤ 0 per ogni x ∈ I.
Definizione 42 Sia f funzione reale derivabile su un intervallo aperto I. Un punto
x0 ∈ I si dice punto di flesso se divide I in due intervalli in uno dei quali f risulta
convessa, nell’altro concava.
Osservazione 1 Se f è derivabile due volte su I e x0 è un punto di flesso interno ad
I allora f 00 (x0 ) = 0. Infatti I viene diviso da x0 in due intervalli J1 e J2 , aventi come
estremo comune x0 , tali che f 0 è debolmente crescente J1 e debolmente decrescente in
J2 . Pertanto f 0 ammette in x0 un punto di massimo o minimo locale. Per il teorema di
Fermat si conclude quindi che Df 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = 0.
9
La dimostrazione del teorema è riportata in appendice B
12 FUNZIONI CONCAVE E CONVESSE
95
Per le funzioni convesse valgono alcuni risultati interessanti di seguito esposti per completezza, omettendone però la dimostrazione:
Teorema 85 Una funzione reale convessa definita in un intervallo è continua in tutti i
punti interni.
Teorema 86 Una funzione reale convessa definita in un intervallo è derivabile in tutti i
punti interni, eccetto che per un insieme di punti al più numerabile.
13 FORMULE DI TAYLOR
13
96
Formule di Taylor
Un’importante applicazione dei teoremi sulle funzioni derivabili in un intervallo riguarda
una tecnica per l’approssimazione di una data funzione mediante polinomi di grado opportuno. Per introdurre il problema, si può innanzitutto osservare che la retta tangente
al grafico di una funzione fornisce, attorno al punto di tangenza, un’approssimazione del
grafico stesso. Questo fatto può essere reso più preciso nel seguente modo. Si consideri
una funzione f derivabile nel punto x0 interno al suo dominio, e si costruisca il seguente
polinomio di primo grado:
p(x) = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ).
Il grafico di p è la retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa x0 . Dalla definizione
di derivata in x0 si deduce facilmente che al tendere di x a x0 si ha
def
α(x) =
f (x) − p(x)
→ 0,
x − x0
pertanto si può scrivere che
f (x) = p(x) + α(x)(x − x0 ).
Il termine α(x)(x − x0 ) costituisce lo scarto tra la funzione f e il polinomio approssimante
p; tale scarto tende a zero al tendere di x a x0 . In questo senso si può affermare che il
polinomio p costituisce un’approssimazione di f localmente a x0 .
Si osservi che il polinomio di primo grado p costruito sopra è individuato dalle due condizioni p(x0 ) = f (x0 ) e p0 (x0 ) = f 0 (x0 ). È facilmente intuibile che un polinomio di grado
maggiore potrà dare approssimazioni migliori di quella fornita dal polinomio di primo grado p. Supponendo di considerare a tale scopo un polinomio p di grado n, generalizzando
quanto osservato precedentemente, si potrebbero scegliere i suoi coefficienti in modo da
soddisfare le condizioni
p(x0 ) = f (x0 ), p0 (x0 ) = f 0 (x0 ), . . . , p(n) (x0 ) = f (n) (x0 ).
Si lascia al lettore volenteroso la facile dimostrazione che esiste un unico polinomio di
grado n soddisfacente le condizioni precedenti, e che tale polinomio può essere scritto
nella forma:
1
1
def
Tx0 ,n (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + f 00 (x0 )(x − x0 )2 + · · · + f (n) (x0 )(x − x0 )n .
2
n!
Il polinomio Tx0 ,n (x) prende il nome di polinomio di Taylor di ordine n della funzione f
sviluppato nel punto x0 .
Nella figura 25 sono riportati i grafici della funzione f : x 7→ ln(x + 1) e dei suoi polinomi
di Tayolor di ordine 1, . . . , 4, rispettivamente T1 , . . . , T4 , sviluppati nel punto x0 = 0.
Da un punto di vista meno qualitativo, in termini in cui il polinomio Tx0 ,n (x) approssima
la funzione f è precisato dal seguente teorema:
13 FORMULE DI TAYLOR
97
y
y=f(x)
y=T (x)
1
y=T2(x)
y=T (x)
3
y=T (x)
4
x =0
x
0
Figura 25: Polinomi di Taylor di y = ln(x + 1)
Teorema 87 [Formula di Taylor con resto di Peano] Sia f : I → R una funzione definita
su un intervallo aperto I in cui è derivabile fino all’ordine n−1 e avente derivata n−esima
nel punto x0 ∈ I. Allora vale la formula
f (x) = Tx0 ,n (x) + Rx0 ,n (x),
ove la funzione resto Rx0 ,n (x) è esprimibile nella forma
def
Rx0 ,n (x) = α(x)
(x − x0 )n
n!
in cui α(x) è una funzione infinitesima al tendere di x a x0 .
Dim. La dimostrazione è molto semplice e si basa sulla regola di L’Hospital per le forme
indeterminate 00 . La tesi sarà dimostrata se si prova che
α(x) = n!
f (x) − Tx0 ,n (x)
→ 0,
(x − x0 )n
al tendere di x a x0 . Si consideri quindi il limite
lim n!
x→x0
f (x) − Tx0 ,n (x)
.
(x − x0 )n
Le ipotesi per applicare il teorema 80 sono soddisfatte, pertanto sussiste
lim n!
x→x0
f 0 (x) − Tx0 0 ,n (x)
f (x) − Tx0 ,n (x)
=
lim
n!
.
x→x0
(x − x0 )n
n(x − x0 )n−1
13 FORMULE DI TAYLOR
98
purché il limite al secondo membro esista. Da semplici calcoli si ottiene che
Tx0 0 ,n (x)
f (n) (x0 )
= f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + · · · +
(x − x0 )n−1 .
(n − 1)!
0
00
Dunque il secondo limite è ancora una forma indeterminata del tipo 00 . È facile provare
che sussistono le ipotesi per applicare ripetutamente la regola di L’Hospital fino a n − 1
volte, giungendo all’uguaglianza
lim n!
x→x0
f (n−1) (x) − f (n−1) (x0 ) − f (n) (x0 )(x − x0 )
f (x) − Tx0 ,n (x)
.
=
lim
n!
x→x0
(x − x0 )n
n!(x − x0 )
Portando fuori il termine costante, il limite al secondo membro può essere scritto
−f (n) (x0 ) + lim
x→x0
f (n−1) (x) − f (n−1) (x0 )
,
(x − x0 )
Il secondo addendo è il limite del rapporto incrementale della funzione f (n−1) nel punto
x0 , che per ipotesi esiste ed è la derivata n−esima di f in x0 , cioè f (n) (x0 ). Ciò prova che
la funzione α(x) è infinitesima al tendere di x a x0 , come volevasi dimostrare.
Il precedente teorema permette di stabilire che la funzione resto Rx0 ,n (x) è un infinitesimo di ordine superiore a n, tuttavia non consente di stimarne il valore, essendo la
funzione α non nota. Volendo quantificare l’errore di stima, è possibile ricorrere ad un’altra espressione del resto, detta di Lagrange, che viene presentata nel seguente teorema
la cui dimostrazione, qui omessa, si basa sostanzialmente sull’applicazione reiterata del
teorema di Cauchy:
Teorema 88 (Formula di Taylor con resto di Lagrange) Sia f : I → R una funzione definita su un intervallo aperto I in cui è derivabile fino all’ordine n + 1 e sia x0
in I. Allora vale la formula
f (x) = Tx0 ,n (x) + Rx0 ,n (x),
ove la funzione resto Rx0 ,n (x) è esprimibile nella forma
def
Rx0 ,n (x) = f (n+1) (ξ)
(x − x0 )n+1
(n + 1)!
per qualche ξ tale che x < ξ < x0 (o x0 < ξ < x).
L’importanza del resto di Lagrange risiede nel fatto che permette di fornire stime quantitative dell’errore di approssimazione. Per esempio, se si sviluppa la funzione ex in 0 fino
all’ordine 4 si ottiene il polinomio di Taylor
T4 (x) = 1 + x +
x2
x4
+ ··· + ,
2
4!
13 FORMULE DI TAYLOR
99
con resto di Lagrange
x5
.
5!
Indicata con ē = T4 (1) l’approssimazione del numero e1 = e fornita dal polinomio di
Taylor, l’errore di approssimazione risulta
R4 (x) = eξ
def
E = |e − ē| = |R4 (1)| = eξ
1
.
5!
Poiché ξ deve essere compreso in ]0, 1[ ed inoltre e < 3, si può sovrastimare l’errore di
approssimazione nel seguente modo:
E≤
3
= 0.025.
120
Dal teorema 87 discende un utile criterio che specifica condizioni sufficienti affinché tale
punto sia di massimo locale forte o minimo locale forte:
Teorema 89 Sia f : I → R una funzione definita su un intervallo aperto I in cui è
derivabile fino all’ordine n − 1 e avente derivata n−esima nel punto x0 ∈ I. Si supponga
inoltre che
f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = · · · = f (n−1) (x0 ) = 0
e
f (n) (x0 ) 6= 0.
Si hanno i seguenti tre casi:
• se n è dispari, allora x0 non è né di massimo né di minimo locale;
• se n è pari ed è f (n) (x0 ) > 0, allora x0 è di minimo locale forte;
• se n è pari ed è f (n) (x0 ) < 0, allora x0 è di massimo locale forte.
Dim. Per il teorema 87, tenuto conto delle n − 1 derivate nulle in x0 , vale la formula
f (x) = f (x0 ) + (f
(n)
(x − x0 )n
(x0 ) + α(x))
.
n!
Per il teorema della permanenza del segno posso determinare un intorno aperto U di x0
def
in cui g(x) = f (n) (x0 ) + α(x) abbia lo stesso segno di f (n) (x0 ). La formula può quindi
essere scritta
(x − x0 )n
f (x) − f (x0 ) = g(x)
.
n!
Il polinomio (x − x0 )n per n dispari ha segno positivo se x > x0 , negativo se x < x0
pertanto il segno di f (x) − f (x0 ) dovrà per forza mutare passando per x0 da positivo a
negativo o viceversa. Questo implica che per n dispari x0 non può essere né di massimo
né di minimo locale. Se invece n è pari, allora f (x) − f (x0 ) si annulla in x0 e il suo segno
per x ∈ U e x 6= x0 è quello di g, ovvero della derivata f (n) (x0 ). Pertanto se f (n) (x0 ) > 0,
13 FORMULE DI TAYLOR
100
per x ∈ U e x 6= x0 si avrà f (x) − f (x0 ) > 0, cioè x0 è di minimo locale forte. Se invece
f (n) (x0 ) < 0, per x ∈ U e x 6= x0 si avrà f (x) − f (x0 ) < 0, cioè x0 è di massimo locale
forte, come volevasi dimostrare.
I polinomi di Taylor sviluppati nel punto x0 = 0 si dicono anche polinomi di Mac Laurin.
Si riporta di seguito lo sviluppo in polinomi di Mac Laurin di alcune funzioni elementari:
x
x2
xn
+
+ ··· +
+ ...
1!
2!
n
xn
x2 x3
ln(x + 1) ≈ x −
+
+ · · · + (−1)n+1 + . . .
2
3
!n
2k
x2 x4
x
cos(x) ≈ 1 −
+
+ · · · + (−1)k
+ ...
2!
4!
(2k)!
2k+1
x3 x5
k x
sen(x) ≈ − +
+ · · · + (−1)
+ ...
3!
5!
(2k + 1)!
ex ≈ 1 +
(9)
(10)
(11)
(12)
14 TEORIA ELEMENTARE DELL’INTEGRAZIONE
14
102
Teoria elementare dell’integrazione
In questo capitolo s’introduce la teoria elementare dell’integrazione secondo Riemann.
Verrà presentata la definizione di integrale esteso ad un intervallo chiuso, o integrale
definito, evidenziandone l’importante significato geometrico che rimanda al problema più
generale della misura dell’estensione di figure piane.
14.1
L’area del cerchio
Prima d’introdurre il problema generale della misura dell’estensione delle figure piane,
che ci condurrà in seguito alla definizione dell’integrale definito, in questa sezione si delineerà un metodo per dedurre formalmente la ben nota formula dell’area del cerchio dalla
definizione dell’area del rettangolo, e quindi dei poligoni10 .
Se si considera un cerchio qualunque, ad esempio quello in figura 26, appare chiaro che
esistono infiniti poligoni come P ∗ che lo includono ed infiniti poligoni come P∗ che sono
invece inclusi in esso. Assumendo che l’area del cerchio sia il numero reale A(C), dovrà
essere per ciascuna coppia di tali poligoni
A(P ∗ ) ≥ A(C) ≥ A(P∗ ).
P*
C
P*
Figura 26: poligoni inclusi e includenti il cerchio
Quindi, se si considerano l’insieme Σ∗ delle aree dei poligoni che contengono il cerchio e
l’insieme Σ∗ delle aree dei poligoni che invece sono contenuti nel cerchio, dovrà essere
Σ∗ ≥ A(C) ≥ Σ∗ .
Si ha quindi che gli insiemi Σ∗ e Σ∗ formano una coppia di classi separate e l’area del
cerchio A(C) deve essere quindi uno degli elementi separatori. Pertanto, se le due classi
sono contigue, A(C) viene ad essere necessariamente l’unico elemento separatore. E
questo, come si vedrà tra breve, è esattamente ciò che accade nel caso considerato.
10
Infatti i poligoni risultano somma di triangoli, e l’area di ogni triangolo è riconducibile a quella di un
opportuno rettangolo
14 TEORIA ELEMENTARE DELL’INTEGRAZIONE
103
Tra tutti i poligoni contenenti il cerchio e tra quelli in esso contenuti si considerino solo
quelli regolari circoscritti ed inscritti al cerchio. Nella figura 27 è riportato il caso in cui
tali poligoni hanno 8 lati, da cui si trarrà la generalizzazione al caso di n lati.
O
α
B
A
K
H
α
Figura 27: poligoni inscritti e circoscritti al cerchio
Si indichino con An e Bn l’area dei poligono regolare di n lati circoscritto e, rispettivamente, inscritto nel cerchio. Osservato che
α = π/n,
con semplici considerazioni trigonometriche sui triangoli rettangoli (AOH) e (BOK), si
deduce che
An = n(OH · AH) = nr2 tg ( πn )
Bn = n(OK · BH) = nr2 sen( πn ) cos( πn )
All’aumentare del numero n di lati, si intuisce che i poligoni tendono sempre di più
al cerchio, nel senso che gli spazi tra cerchi e poligoni tendono a diventare sempre più
esigui. Ora si proverà a studiare il limite per n → ∞ delle aree An e Bn . Tenuto conto
dell’equivalenza d’infinitesimi tg z ∼ z e senz ∼ z, si ottiene facilmente che
lim An = lim Bn = πr2 ,
n→∞
n→∞
pertanto si deduce che Σ∗ e Σ∗ formano una coppia di classi contigue il cui elemento
separatore è A(C) = πr2 . Con questo procedimento si è quindi ottenuta la ben nota
formula dell’area del cerchio.
Astraendo il procedimento, è possibile introdurre una definizione precisa e coerente del
concetto di misura dell’estensione spaziale di una figura piana. Il vantaggio nel aver
tradotto un problema di misura di regioni in un problema topologico (cioè la ricerca
dell’elemento separatore di opportune classi contigue) risiede nel fatto che a quest’ultimo
possono essere applicati con successo i potenti strumenti dell’analisi matematica sinora
sviluppati.
14.2
Il trapezoide e i plurirettangoli
L’integrale definito, che tra breve verrà introdotto, è strettamente legato al problema
geometrico del calcolo dell’area della regione di piano racchiusa tra l’asse x e il grafico
14 TEORIA ELEMENTARE DELL’INTEGRAZIONE
104
di una funzione f positiva, definita su un intervallo I = [a, b]. Tale regione viene detta
trapezoide sotteso dal grafico di f e insiemisticamente corrieponde a
T = {(x, y) | x ∈ I, 0 ≤ y ≤ f (x)}.
In figura 28 sono rappresentati il grafico di una siffatta funzione e del trapezoide che essa
individua.
y
y=f(x)
T
a
b
x
Figura 28: il trapezoide T
Se per determinare l’area del cerchio si sono utilizzati poligoni, nel caso del trapezoide è
conveniente utilizzare plurirettangoli, ovvero figure formate dall’unione di rettangoli aventi
un lato sull’asse x come quelli in figura 29.
y
R*
R*
a
b
x
Figura 29: plurirettangoli inclusi ed includenti il trapezoide T
In analogia a quanto fatto nel caso del cerchio, si considera l’insieme Σ∗ delle aree dei
plurirettangoli R∗ che contengono il trapezoide e l’insieme Σ∗ delle aree dei plurirettangoli
R∗ inclusi nel trapezoide. Se le classi Σ∗ e Σ∗ formano una coppia di classi contigue,
l’elemento separatore potrà definire in modo univoco l’area del trapezoide. Di seguito
questo procedimento verrà precisato ed esteso anche al caso di funzioni di segno qualunque.
14 TEORIA ELEMENTARE DELL’INTEGRAZIONE
14.3
105
Le funzioni a scalino
I plurirettangoli, rispetto ad altri poligoni, hanno il vantaggio di poter essere pensati a
loro volta come trapezoidi di funzioni costanti a tratti, dette anche a scalino. Ad esempio,
il più elementare plurirettangolo, cioè quello costituito da un solo rettangolo, può essere
descritto mediante una funzione caratteristica:
Definizione 43 Dato un insieme A, si dice funzione caratteristica dell’insieme A la
funzione reale χA definita ponendo per ogni x ∈ R
(
1 x ∈ A,
χA (x) =
0 altrimenti.
È facile intuire che combinando opportunamente funzioni caratteristiche di intervalli,
si potrà ottenere una funzione costante a tratti che sottende all’asse x un qualunque
plurirettangolo. In generale, si può dare la seguente definizione:
Definizione 44 Dato un intervallo chiuso e limitato I, si dice funzione a scalino a
supporto in I ogni funzione che può essere scritta nella forma
s=
n
X
an χIi ,
i=1
ove {I1 , . . . , In} è un insieme finito di sottointervalli dell’intervallo I, due a due disgiunti,
a1 , . . . , an una n−upla di numeri reali e, per ogni i = 1, . . . , n, χIi è la funzione caratteristica dell’intervallo Ii . Per esemplificare, un grafico di funzione a scalino è riportato in
figura 30.
Si indichi con SI l’insieme delle funzioni a scalino con supporto in I. Inoltre, si associ
alla funzione a scalino s un numero reale σ(s), detto somma della funzione a scalino,
ponendo
n
X
σ(s) =
ai d i ,
i=1
ove il numero reale di è il diametro, eventualmente nullo, dell’intervallo Ii , per i =
1, . . . , n.
Alcune importanti osservazioni sulle funzioni a scalino sono le seguenti:
• se la funzione a scalino s è positiva, la sua somma σ(s) è l’area del trapezoide che
essa sottende all’asse x;
• se la funzione a scalino s assume valori di segno opposto, la sua somma σ(s) è
la differenza algebrica tra l’area del plurirettangolo giacente nel semipiano delle
ordinate positive e l’area del plurirettangolo giacente nel semipiano delle ordinate
negative;
14 TEORIA ELEMENTARE DELL’INTEGRAZIONE
106
y
a3
s=Σ ak χI
a2
k
a4
a1
I1
I2
I3
I4
I5
I6
I7
x
a7
a5
a6
Figura 30: grafico di una funzione a scalino
• nella definizione di funzione a scalino gli intervalli Ii possono avere indifferente estremi chiusi o aperti o essere addirittura degeneri, questo cambia di fatto il
plurirettangolo, ma non la sua area;
• tanto combinazioni lineari, quanto i prodotti di funzioni a scalino di SI , risultano
ancora funzioni a scalino di SI .
14.4
Definizione dell’integrale definito
Definizione 45 Dato un intervallo chiuso e limitato I = [a, b] e una qualunque funzione
reale limitata f : I → R si indichino con S ∗ e S∗ , rispettivamente, gli insiemi (non vuoti)
delle funzioni a scalino a supporto in I che maggiorano e minorano f , ovvero
S ∗ = {s ∈ SI |∀x ∈ I : s(x) ≥ f (x)},
S∗ = {s ∈ SI |∀x ∈ I : s(x) ≤ f (x)}.
Per brevità, S ∗ e S∗ verranno detti, rispettivamente, insieme delle funzioni a scalino
superiori e inferiori.
Data una funzione a scalino inferiore s∗ ∈ S ∗ il trapezoide ad essa associato viene detto
un prulirettangolo superiore e indicato con R(s∗ ), mentre per una funzione ad funzione
a scalino superiore s∗ ∈ S∗ il trapezoide ad essa associato viene detto un plurirettangolo
inferiore e indicato con R(s∗ ).
Infine, si indichi con Σ∗ e Σ∗ , rispettivamente, gli insiemi delle aree dei plurirettangoli superiori ed inferiori, che si diranno, per brevità, insiemi delle somme superiori ed inferiori.
Formalmente valgon ole seguenti uguaglianze
Σ∗ = {σ(s)|s ∈ S ∗ },
Σ∗ = {σ(s)|s ∈ S∗ }.
Si dice integrale superiore della funzione f il numero reale
Z ∗
f = inf Σ∗
14 TEORIA ELEMENTARE DELL’INTEGRAZIONE
107
e integrale inferiore della funzione f il numero reale
Z
f = sup Σ∗ .
∗
Quando le classi Σ∗ e Σ∗ sono contigue, l’integrale inferiore e superiore coincidono in un
valore che viene detto integrale della funzione f esteso ad I e indicato con uno qualunque
dei seguenti simboli
Z
Z
Z
b
b
f (x) dx,
f,
a
a
f.
[a, b]
Le funzioni per cui vale questa proprietà si dicono integrabili (alla Riemann) nell’intervallo
I.
Tenuto conto della definizione di classi contigue, l’integrabilità di una funzione si può
quindi immediatamente esprimere anche nel seguente modo:
Proposizione 90 Una funzione f è integrabile su un intervallo I se e solo se in corrispondenza ad ogni ε > 0 è possibile di determinare due funzioni a scalino s∗ e s∗ con
supporto in I tali che s∗ ≤ f ≤ s∗ e σ(s∗ ) − σ(s∗ ) < ε.
Esempio 10 Non tutte le funzioni sono integrabili alla Riemann. Si prenda ad esempio la funzione di Dirichlet, ovvero la
funzione χQ che vale 1 sui reali razionali e 0 sui reali irrazionali. Considerata la densità di Q in R, in ogni intervallo, anche
di dimensioni piccolissime, esisteranno infiniti punti in cui χQ vale 1 ed infiniti punti in cui vale 0. Pertanto, nell’intervallo
[0, 1], le funzioni a scalino inferiori s∗ ≤ χQ avranno tutte somma 0, mentre quelle superiori s∗ ≥ χQ avranno tutte somma
1. Avendo integrale superiore pari a 1 e integrale inferiore pari a 0, la funzione χQ non è integrabile.
Esempio 11 Una fatto ormai chiaro è che ogni funzione a scalino s definita in [a, b] risulta sempre integrabile in tale
intervallo e la sua somma coincide con il suo integrale, cioè si ha
Z
b
s(x) dx = σ(s).
a
Infatti, dato che s è a scalino essa è funzione a scalino superiore ed inferiore di se stessa, ovvero s ∈ §∗ (s) ∩ S∗ (s), pertanto
la sua somma σ(s) risulta l’unico elemento che separa le classi Σ∗ (s) e Σ∗ (s) delle somme superiori ed inferiori di s.
14.5
Significato geometrico dell’integrale definito per le funzioni
positive
Nel caso in cui la funzione f , definita sull’intervallo I = [a, b], risulta positiva e limitata,
ogni funzione a scalino superiore s∗ ed ogni funzione a scalino inferiore (positiva) s∗
soddisfano
R(s∗ ) ⊆ T ⊆ R(s∗ ),
14 TEORIA ELEMENTARE DELL’INTEGRAZIONE
108
inoltre è immediato costatare che
σ(s∗ ) = Area(R(s∗ ))
e
σ(s∗ ) = Area(R(s∗ )).
Pertanto, se la funzione f è integrabile, il suo integrale esteso ad I risulta l’unico elemento
separatore tra l’insieme Σ∗ delle aree inferiori e l’insieme Σ∗ delle aree superiori. In altre
parole:
per un arbitrario ε > 0 è possibile trovare due plurirettangoloidi R∗ e R∗ , il
primo contenente T , l’altro contenuto in T , le cui aree differiscono a meno di
ε, ovvero
Area(R∗ ) − Area(R∗ ) < ε.
Questa situazione è rappresentata nella figura 29, in cui si può notare che la superficie
più scura è la differenza tra i due plurirettangoli. Ammesso che si sappia calcolare l’area
del trapezoide T , le aree dei plurirettangoli R∗ e R∗ ne costituiscono un’approssimazione
superiore e, rispettivamente, inferiore, con un errore di approssimazione inferiore a ε.
Pertanto, in accordo all’intuizione geometrica e coerentemente con la misura delle aree
dei poligoni, si può definire univocamente l’area del trapezoide T come l’integrale di f
esteso ad I. Più precisamente:
Definizione 46 Data una funzione f definita su I, positiva e integrabile, si dice area del
trapezoide sotteso da f il numero reale
Z b
def
Area(T ) =
f (x) dx.
a
14.6
Proprietà fondamentali dell’integrale definito
Si presenteranno ora alcune fondamentali proprietà dell’integrale definito. Un primo risultato è che combinando linearmente funzioni integrabili si ottiene una funzione integrabile
il cui integrale è combinazione lineare degli integrali delle funzioni di partenza. Questa
proprietà può essere espressa con un linguaggio più tecnico dicendo che l’integale definito
è un operatore lineare sullo spazio vettoriale delle funzioni integrabili. Più precisamente
vale il seguente teorema:
Proposizione 91 (Linearità dell’integrale definito) 11 Siano f e g integrabile su [a, b],
α, β ∈ R due numeri reali arbitrari, allora la funzione αf + βg è integrabile su I e
Z b
Z b
Z b
(αf + βg) = α
f +β
g.
a
a
a
L’operatore integrale gode inoltre della proprietà di monotona crescenza espressa nel
seguente teorema:
11
Dimostrazione in appendice C.
14 TEORIA ELEMENTARE DELL’INTEGRAZIONE
Proposizione 92 (Monotonicità dell’integrale definito)
su [a, b], se f ≤ g allora
Z b
Z b
f≤
g.
a
12
109
Siano f e g integrabile
a
Se si seziona verticalmente un trapezoide si ottengono due trapezoidi la cui somma è equivalente al trapezoide iniziale. A partire da questa considerazione geometrica è possibile
dimostrare il seguente risultato che riveste grande importanza:
Teorema 93 (Addittività nei sottointervalli) 13 Sia f integrabile su [a, b], e sia c un
punto interno all’intervallo. Allora f risulta integrabile sui sottointervalli [a, c] e [c, b] e
vale la seguente relazione
Z b
Z c
Z b
f.
f+
f=
a
a
c
L’ultimo risultato che viene presentato in questa sezione si basa sulla seguente osservazione. La somma definito per le funzione a scalino non dipende dai valori che queste
assumono negli eventuali intervalli degeneri, cioè di lunghezza nulla, e tanto meno dal
valore che queste assumono agli estremi degli intervalli non degeneri. Ci si aspetta quindi
che una qualunque modifica effettuata ad un numero finito di valori di una funzione integrabile la mantenga integrabile e non ne alteri l’integrale. Ciò è stabilito formalmente
dal seguente teorema:
Teorema 94 14 Se una funzione integrabile su un intervallo I viene arbitrariamente ridefinita in uno numero finito di punti del suo dominio, allora rimane integrabile in I, con
integrale immutato.
14.7
Significato geometrico dell’integrale definito per le funzioni
di segno alterno
Quanto stabilito sul significato geometrico dell’integrale definito per le funzioni positive,
può essere in qualche modo esteso al caso di funzioni di segno alterno.
Si consideri innanzitutto il caso di una funzione f integrabile su I = [a, b], tale che f ≥ 0
su [a, c] e f ≤ 0 su [c, b], per un punto c interno ad I. Dal teorema 93 segue che
Z
b
Z
f (x) dx =
a
12
c
Z
f (x) dx +
a
b
f (x) dx,
c
Dimostrazione in appendice C.
Si può dimostrare anche un teorema inverso, ovvero che se f è integrabile nei due sottointervalli
allora risulta integrabile in quello iniziale. In appendice C viene riportato un teorema che si estende in
tal senso e inoltre è applicabile al caso in cui l’intervallo si ripartisce in più due sottointervalli.
14
Dimostrazione in appendice C.
13
14 TEORIA ELEMENTARE DELL’INTEGRAZIONE
che può scriversi anche
Z c
Z b
Z b
f (x) dx =
f (x) dx −
(−f (x)) dx.
a
a
110
y
y=f(x)
c
È immediato riconoscere nei due integrali al secondo membro, in accordo alla
definizione 46, l’area dei trapezoidi
T+
a
b
c
x
T−
T+ = {(x, y) | x ∈ [a, c], 0 ≤ y ≤ f (x)},
T− = {(x, y) | x ∈ [c, b], f (x) ≤ y ≤ 0},
che f individua con l’asse x nei semipiani y ≥
0 e, rispettivamente, y ≤ 0. Pertanto si può
scrivere
Z b
f (x) dx = Area(T+ ) − Area(T− ).
a
La generalizzazione della precedente formula è ovvia: l’integrale di f esteso ad I risulta
la somma algebrica delle aree dei trapezoidi che f sottende con l’asse delle x prendendole
con segno positivo se questi trapezoidi giacciono nel semipiano delle ordinate positivo,
con segno negativo altrimenti.
14.8
Integrale in un intervallo orientato: teoremi di additività
e della media
Data una funzione f integrabile su un intervallo J, per ogni coppia (a, b) ∈ J × J, avente
a < b, in virtù del corollario 121, è ben definito l’integrale
Z b
f (x) dx,
a
che pertanto può essere pensato come funzione dei due estremi a, b prescelti. Per tutte le
altre coppie (a, b) ∈ J × J, poniamo invece
Z
b
def
Z
a
f (x) dx = −
a
f (x) dx
nel caso in cui a > b,
b
e
Z
b
def
f (x) dx = 0
nel caso in cui a = b.
a
Questa estensione della definizione di integrale prende il nome di integrale di f esteso
all’intervallo orientato (a, b). Vale la seguente estensione del teorema 93 al caso degli
integrali estesi su intervalli orientati:
14 TEORIA ELEMENTARE DELL’INTEGRAZIONE
111
Teorema 95 [Teorema di additività nei sottointervalli orientati] Data una funzione f
integrabile su un intervallo J e presa una qualunque terna di punti a, b, c ∈ J si ha che
Z c
Z b
Z b
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx.
a
a
c
Dim. Se a = b la tesi risulta banale conseguenza della definizione di integrale esteso
ad un intervallo orientato. Senza perdita di generalità si può assumere a < b, infatti, in
caso contrario, si può comunque scambiarne tutti gli estremi nell’uguaglianza integrale
ottenendone una del tutto equivalente. Se c è interno ad [a, b] la tesi discende dal teorema 93. Se c = a oppure c = b, uno dei due integrali nel secondo membro dell’uguaglianza
integrale è nullo e la tesi risulta banale conseguenza. Rimangono da considerare due casi:
c < a e c > b. Si dimostra qui il primo caso, lasciando il secondo al lettore volenteroso.
Si assuma quindi c < a < b. Per il teorema 93 segue
Z b
Z a
Z b
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx,
c
cioè
c
b
Z
a
b
Z
a
Z
f (x) dx −
f (x) dx =
a
c
f (x) dx,
c
che, per definizione d’integrale su intervallo orientato, può scriversi
Z b
Z b
Z c
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx,
a
c
a
come volevasi dimostrare.
Teorema 96 (Teorema della media) Sia f funzione integrabile in I allora il suo valor
medio integrale è compreso tra gli estremi inferiore e superiore di f su I, ovvero
Z b
1
inf f (x) ≤
f (x) dx ≤ sup f (x).
x∈I
b−a a
x∈I
Dim. La tesi equivale a
Z
(b − a) inf f (x) ≤
x∈I
b
f (x) dx ≤ (b − a) sup f (x),
a
x∈I
14 TEORIA ELEMENTARE DELL’INTEGRAZIONE
che può essere scritta in termini di somme
superiori ed inferiori nella forma equivalente
Z b
f (x) dx ≤ σ(s∗ ),
σ(s∗ ) ≤
112
y
y=s*(x)
sup(f)
a
ove si è posto s∗ e s∗ sono, rispettivamente,
la funzione costante su I di valore inf x∈I e
la funzione costante di valore supx∈I ; ovviamente s∗ e s∗ sono, rispettivamente, funzione a scalino inferiore
e superiore. Dal fatto
Rb
che l’integrale a f (x) è (l’unico) elemento separatore delle classi delle somme superiori e
di quelle inferiori, segue immediatamente la
tesi.
y=f(x)
y=s (x)
*
inf(f)
a
b
Osservazione 2 Se la funzione f è continua, nell’intervallo I sono soddisfatte le ipotesi
del teorema dei valori intermedi; sotto queste ipotesi il il teorema della media implica
l’esistenza di un valore x0 ∈ I tale per cui
Z b
1
f (x) dx.
f (x0 ) =
b−a a
14.9
Integrazione di funzioni continue
In questa sezione ci si occuperà dell’integrazione delle funzioni continue. Il primo risultato
che verrà presentato è l’integrabilità di tutte le funzioni continue. Si mostrerà in seguito
il profondo legame tra l’integrazione e il problema della ricerca di primitive di una data
funzione, pervenendo al teorema fondamentale del calcolo integrale e alla utile formula di
Newton-Leibniz.
Teorema 97 Ogni funzione continua definita su un intervallo I = [a, b] è integrabile.
Dim. La funzione f è continua su un intervallo chiuso limitato di R pertanto risulta
limitata e uniformemente continua su I (vedi teorema 66). Dunque, dato un qualunque
ε > 0 esisterà un qualche δ > 0 tale che per ogni x1 , x2 ∈ I
|x1 − x2 | < δ → |f (x1 ) − f (x2 )| <
ε
.
b−a
(13)
È possibile scegliere una suddivisione di I costituita da n intervalli I1 , . . . , In di uguale
diametro d = (b − a)/n < δ. Per il teorema di Weierstrass, la funzione f assume su
ciascun sottointervallo Ik un massimo valore Mk = f (xk ) e minimo valore mk = f (wk ),
per qualche xk , wk ∈ Ik , per ciascun indice k = 1, . . . , n.
x
14 TEORIA ELEMENTARE DELL’INTEGRAZIONE
113
y
Dato che tutti gli intervalli della suddivisione
hanno diametro inferiore a δ, dalla relazione
ε
, per
eq. 13 si deduce che |Mk − mk | < b−a
ogni k = 1, . . . , n.
Si considerino ora le seguenti funzioni a
scalino
n
X
s∗ =
Mk · χIk ,
y=f(x)
M
4
< ε/(b−a)
m4
k=1
s∗ =
n
X
d
mk · χIk .
a
k=1
I4
b
∗
Per costruzione si avrà che s e s∗ sono, rispettivamente, due funzioni a scalino superiore
ed inferiore, inoltre vale la seguente catena di disuguaglianze
n
X
(Mk − mk ) <
σ(s ) − σ(s∗ ) = (M1 − m1 )d + · · · + (Mn − mn )d = d
∗
k=1
<d
n
X
k=1
ε
ε
= dn
= ε.
b−a
b−a
Pertanto, in virtù del teorema 90, la funzione f risulta integrabile in I.
La presenza di discontinuità in una funzione non comporta necessariamente la sua non
integrabilità. Ad esempio, si può stabilire il seguente teorema:
Teorema 98 15 Se f è una funzione definita su un intervallo chiuso I, continua ovunque
tranne che in un insieme finito di punti in cui ammette discontinuità di tipo salto, cioè
nei quali esistono finiti i limiti destro e sinistro, allora f risulta integrabile su I.
Il risultato cruciale della sezione, noto come teorema fondamentale del calcolo integrale,
mostra come l’integrale di Riemann sia strettamente connesso al problema della ricerca
di primitive di una funzione f , cioè di quelle funzioni la cui derivata è la funzione f :
Teorema 99 (Teorema fondamentale del calcolo integrale) 16 Sia f una funzione
continua su un intervallo aperto I e c un qualunque punto di I. La funzione integrale F
definita ponendo per ogni x ∈ I
Z x
def
F (x) =
f (t) dt.
c
15
Dimostrazione in appendice C.
Nel teorema si fa l’ipotesi che f sia definita in un intervallo aperto, tuttavia in molte circostanze si vogliono considerare anche funzioni definite su intervalli chiusi. Con minimi cambiamenti alla dimostrazione
presentata per intervalli aperti, si può dedurre la seguente generalizzazione:
Supposto che f sia continua su un intervallo chiuso [a, b], la funzione integrale F (x) risulta continua
su [a, b], derivabile nei punti interni dell’intervallo con DF (x) = f (x) e, negli estremi a, b, esistono le
derivate destra e sinistra di F che soddisfano le relazioni D+ F (a) = f (a) e D− F (b) = f (b).
16
x
14 TEORIA ELEMENTARE DELL’INTEGRAZIONE
114
è derivabile su I e si ha F 0 (x) = f (x) per ogni x ∈ I.
Dim. Sia c = x0 scelto arbitrariamente in I. Per ogni x ∈ I r {x0 }, il rapporto
incrementale di F in x0 soddisfa l’uguaglianza
Rx
Rc
Rx
R x0
f
(t)
dt
+
f (t) dt
f
(t)
dt
−
f
(t)
dt
F (x) − F (x0 )
c
x
c
= c
= 0
,
x − x0
x − x0
x − x0
che, mediante il teorema 95, può scriversi equivalentemente
Rx
f (t) dt
x0
.
x − x0
Si studia innanzitutto il caso in cui x0 < x.
Per il teorema della media integrale (si veda
in particolare l’osservazione 2), esisterà un
valore x0 ≤ zx ≤ x, tale che
y
y
z
y=f(x)
F (x) − F (x0 )
= f (zx ).
x − x0
Quanto x viene fatta tendere a x0 anche il
punto zx necessariamente tenderà a x0 e,
in virtù della continuità di f in x0 , si avrà
quindi
lim+ f (zx ) = f (x0 ).
a
x0
zx
x
b
x→x0
Tale limite implica
D+ F (x0 ) = lim+
x→x0
F (x) − F (x0 )
= f (x0 ).
x − x0
Procedendo in modo analogo nel caso in cui x < x0 , si perviene all’uguaglianza D− F (x0 ) =
f (x0 ), da cui si conclude che DF (x0 ) = f (x0 ), come volevasi dimostrare.
Esempio 12 Se si considera la funzione costante f (x) = k, e si fissa un punto c qualunque della retta reale, tenuto conto del
significato geometrico dell’integrale definito, è facile costatare che per ogni x in R, la funzione integrale definita nel teorema
precedente risulta
Z
x
k dt = k(x − c).
F (x) =
c
Si ha ovviamente DF (x) = D[k(x − c)] = k = f (x), per ogni x ∈ R.
Si vedrà ora come la primitiva determinata nel teorema precedente permette di generare
tutte le altre primitive della funzione f :
x
14 TEORIA ELEMENTARE DELL’INTEGRAZIONE
115
Teorema 100 Sia f una funzione continua su un intervallo aperto I. L’insieme di tutte
le primitive di f su I è dato dalla famiglia di funzioni
Z x
def
F (x) =
f (t) dt + k,
c
al variare di k ∈ R, con c un qualunque punto fissato in I.
Dim. Sia F la primitiva definita nel teorema 99 e G una qualunque altra primitiva di
f su I. Per definizione si avrà D(G − F )(x) = DG(x) − DF (x) = f (x) − f (x) = 0 per
ogni x ∈ I. Ma una funzione la cui derivata è nulla in tutti i punti di un intervallo è
necessariamente costante (vedi il teorema 75). Pertanto esisterà k ∈ R tale che per ogni
x ∈ I si ha
(G − F )(x) = k,
cioè
Z
x
G(x) = F (x) + k =
f (t) dt + k,
c
come volevasi dimostrare.
Se è nota una primitiva di una funzione continua f su un intervallo I allora si può calcolarci
immediatamente l’integrale di f esteso ad I grazie al seguente risultato:
Corollario 101 (Formula di Newton-Leibniz) Sia f una funzione continua su [a, b]
e F una sua qualunque primitiva, allora
Z b
f (x) dx = F (b) − F (a).
a
Dim. Se F è una primitiva di f allora per il teorema 100 esisterà k ∈ R tale che
Z x
F (x) =
f (t) dt + k,
a
pertanto
Z
F (b) − F (a) =
b
Z
f (t) dt + k −
a
a
f (t) dt + k
a
Z
=
b
f (t) dt,
a
come volevasi dimostrare.
Infine, viene presentata una generalizzazione del teorema fondamentale del calcolo integrale:
14 TEORIA ELEMENTARE DELL’INTEGRAZIONE
116
Corollario 102 Sia f una funzione continua su I =]a, b] e α, β due funzioni reali definite
su un intervallo J =]c, d[ a valori in I continue e derivabili, la funzione G definita ponendo
per ogni x ∈ J
Z β(x)
f (t) dt,
G(x) =
α(x)
è continua e derivabile su J, con derivata soddisfacente
G0 (x) = f (β(x))β 0 (x) − f (α(x))α0 (x).
Dim. Per il teorema fondamentale del calcolo integrale, la funzione f ammette una
primitiva F in I, che per ogni z ∈ I può scriversi nella forma
Z z
F (z) =
f (t) dt.
c
Ora, per le proprietà dell’integrale definito, è evidente che
G(x) = F (β(x)) − F (α(x)),
pertanto, in virtù del teorema di derivazione delle funzioni composte, G risulta derivabile
in I con derivata G0 soddisfacente
G0 (x) = f (β(x))β 0 (x) − f (α(x))α0 (x),
per ogni x ∈ J, come volevasi dimostrare.
14.10
Volume dei solidi di rotazione
Sia f una funzione positiva e continua sull’intervallo [a, b]. Detto T il trapezoide che essa
individua con l’asse x, si vuole determinare il volume del solido ottenuto da una rotazione
del trapezoide T attorno all’asse x. In figura 31 è rappresentato il solido ottenuto tramite
una rotazione di un angolo α = 15
π.
8
Per semplificare le cose, si supponga che la figura solida F sia ottenuta tramite una
rotazione completa del trapezoide. Se si considera una funzione a scalino (positiva) s del
tipo
s(x) = Σni=1 ai χIi ,
tramite una rotazione attorno all’asse x essa genera un pluricilindro il cui volume è
µ(s) = Σni=1 πa2i di .
Se s è funzione a scalino superiore, allora il pluricilindro includerà il solido F, altrimenti,
se è funzione a scalino inferiore, il pluricilindro sarà contenuto nel solido F. Pertanto, se
gli insiemi dei volumi dei pluricilindri superiori ed inferiori formano una coppia di classi
contigue, non resta che concludere che l’elemento separatore deve essere necessariamente
14 TEORIA ELEMENTARE DELL’INTEGRAZIONE
117
y
y=f(x)
T
x
z
Figura 31: figura solida generata dalla rotazione del trapezoide T attorno all’asse x
y=f(x)
y
y=s*(x)
x
z
Figura 32: pluricilindro generato dalla funzione a scalino s∗
il volume del solido F. In figura 32 sono rappresentati i primi tre cilindri del pluricilindro
individuato dalla funzione a scalino inferiore s∗ .
Si osservi ora che il volume µ(s) del pluricilindro individato da s soddisfa
µ(s) = Σni=1 πa2i di = πΣni=1 a2i di = σ(πs2 ).
Si osservi inoltre che, formalmente, il volume del pluricilindro individuato da s corrisponde
all’area del plurirettangolo individuato dalla funzione a scalino πs2 .
Se s è funzione a scalino positiva superiore (risp. inferiore) di f allora πs2 è funzione a
scalino superiore (risp. inferiore) della funzione πf 2 , viceversap
se s è funzione a scalino
s
2
positiva superiore (risp. inferiore) della funzione πf allora
è funzione a scalino
π
superiore (risp. inferiore) di f . Tenuto conto della continuità di f , da cui segue quella
di πf 2 , si può quindi dedurre che il volume di F corrisponde formalmente all’area del
trapezoide individuato da funzione πf 2 , ovvero sussiste la relazione
Z b
vol(F) =
πf 2 (x) dx.
a
14 TEORIA ELEMENTARE DELL’INTEGRAZIONE
118
Riprendendo il ragionamento nel caso di una generica rotazione α, si perviene facilmente
ad una generalizzazione della formula precedente17 :
Z
α b 2
vol(F) =
f (x) dx.
2 a
14.11
Lunghezza di un arco di curva
Si considera in questa sezione il problema della misura della lunghezza di un generico arco
di curva γ, grafico di una funzione reale continua f : [a, b] → R.
Il problema della misura della lunghezza di γ può essere affrontato in modo analogo a quello della misura dell’area del trapezoide, ovvero ricorrendo a curve particolari di lunghezza
nota che approssimano l’arco γ. Se per il trapezoide si è fatto ricorso ai plurirettangoli, per l’arco di curva si ricorrerà a poligonali, ovvero curve ottenute giustapponendo un
numero finito di segmenti.
Si premette innanzitutto la seguente definizione: un qualunque sottoinsieme finito
D = {x0 , x1 , . . . , xn },
costituito da punti consecutivi dell’intervallo [a, b], tali che x0 = a e xn = b, prende il
nome di suddivisione dell’intervallo [a, b].
y
y=f(x)
Pk
P2
P0
P1
Pn
x0 x1
x2
xk
xn
x
Figura 33: arco di curva e poligonale approssimante
Come esemplificato in figura 33, fissata una qualunque suddivisione D, si indicano con P0 ,
P1 , . . . , Pn i relativi punti sul grafico γ e con `D la lunghezza della poligonale individuata
da tali punti, ovvero
`D = Σnk=0 Pk P k+1 .
17
Tale generalizzazione può ovviamente essere dedotta anche per mezzo dal Principio di Cavalieri,
tenuto conto del rapporto di proporzionalità esistente tra area di uno spicchio di cerchio e ampiezza del
suo angolo al centro.
14 TEORIA ELEMENTARE DELL’INTEGRAZIONE
119
In virtù della disuguaglianza triangolare, è facile provare che se in una data suddivisione
D intercaliamo un nuovo punto, la poligonale che cosı̀ andiamo ad ottenere avrà lunghezza
maggiore della precedente. Infatti, un segmento di estremi A e B di quest’ultima, viene
sostituito nella nuova poligonale da due segmenti contigui AC e CB, e ovviamente AB <
AC + CB. In questo senso, commettendo un piccolo abuso di linguaggio, si può dire che
le poligonali crescono in lunghezza all’aumentare del numero di punti della suddivisione,
tendendo ad approssimarsi sempre più all’arco γ.
Per quanto sopra detto, si dirà lunghezza `(γ) dell’arco continuo γ, l’estremo superiore delle lunghezze `D delle poligonali al variare di tutte le possibili suddivisioni D dell’intervallo
[a, b], ovvero:
def
`(γ) = sup `D ;
D
si dirà inoltre che l’arco γ è rettificabile quando `(γ) < ∞.
Si consideri ora la figura 34, in cui è rappresentato un segmento di poligonale P P 0 relativo
ai due punti x e x + dx dell’intervallo [a, b] di definizione della funzione f .
y
y=f(x)
P’
y+dy
P
y
x
x+dx
x
Figura 34: arco di curva e poligonale approssimante
Si osservi che la lunghezza d` del segmento P P 0 soddisfa:
s
2
p
dy
2
2
d` = dx + dy = 1 +
dx.
dx
Se la funzione f è derivabile, quando l’incremento dx tende a zero, la lunghezza d` del
segmento di poligonale anch’essa tende a zero, e vale la seguente relazione di equivalenza
p
d` ∼ 1 + (f 0 (x))2 dx.
Pensando all’arco γ come alla somma di infiniti segmenti di poligonale di lunghezza
infinitesima, si giunge a al seguente teorema, di cui si omette la dimostrazione18 .
18
Una dimostrazione del teorema può essere trovata in G. Prodi, Analisi matematica, collezione
Programma di Matematica, Fisica, Elettronica, ed. Bollati Boringhieri.
14 TEORIA ELEMENTARE DELL’INTEGRAZIONE
120
Teorema 103 Data una funzione continua f : [a, b] → R continua, derivabile nei punti
interni, con derivata continua in ]a, b[ ed estendibile per continuità anche sugli estremi,
l’arco si curva γ, grafico di f , è rettificabile e la sua lunghezza ` soddisfa:
Z bp
`=
1 + (f 0 (x))2 dx.
a
14.12
Integrali impropri
Si considera in questa sezione una funzione f continua definita su un intervallo [a, b[ aperto
ad un estremo, che eventualmente può essere infinito. Per il teorema d’integrabilità delle
funzioni continue, f risulta integrabile in ogni intervallo chiuso limitato del tipo [a, c]
contenuto in [a, b[. Se esiste finito od infinito il limite
Z c
lim
f (x) dx,
c→b−
a
allora tale limite viene detto integrale improprio della funzione f nell’intervallo [a, b[. In
simboli, si scriverà
Z c
Z b
def
f (x) dx.
f (x) dx = lim
c→b−
a
a
La definizione di integrale improprio è coerente con quella di integrale definito, infatti si
ha:
Proposizione 104 Sia f funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b], allora
Z b
Z x
f (t) dt = lim
f (t) dt.
x→b
a
a
Dim. La dimostrazione è banale conseguenza Rdel teorema fondamentale del calcolo inx
tegrale. Infatti, la funzione integrale F (x) = a f (t) dt è continua a sinistra in x = b,
pertanto F (x) → F (b) quando x → b− .
Si presentano di seguito alcuni esempi di un integrale improprio e del suo significativo
geometrico:
Esempio 13 Si calcoli l’integrale improprio della funzione x 7→ e−x nell’intervallo [0, +∞[.
Si osservi che
Z
b
e−x dx = [−e−x ]b0 = 1 − e−b ,
0
pertanto, passando al limite per b → +∞,
+∞
Z
0
def
e−x dx =
lim (1 − e−b ) = 1.
b→+∞
L’interpretazione geometrica di questo fatto è che l’area della regione illimitata del primo quadrante racchiusa tra l’asse x
la retta x = 0 e la curva y = e−x ha area finita unitaria. Nella figura 35 è rappresentato il grafico di tale regione.
14 TEORIA ELEMENTARE DELL’INTEGRAZIONE
121
y
y=e−x
0
b
x
Figura 35: trapezoide illimitato e integrale improprio
Esempio 14 Si calcoli l’integrale improprio della funzione x 7→
Si osservi che
1
Z
a
√1
x
nell’intervallo ]0, 1].
√
√
1
√ dx = [2 x]a
1 = 2 − a,
x
pertanto, passando al limite per a → 0+ ,
1
Z
1
def
√ dx =
x
0
lim (2 −
a→=+
√
a) = 2.
È possibile estendere gli integrali impropri anche a funzioni definite su intervalli aperti
del tipo ]a, b[. Per fare questo, fissato un qualunque punto a < c < b, si definisce
Z x
Z b
Z c
def
f (t) dt,
f (t) dt = lim
f (t) dt + lim−
x→a+
a
x
x→b
c
intendendo con tale relazione che l’integrale improprio su ]a, b[ è definito quando esistono
entrambi i limiti e nel caso in cui siano entrambi infiniti si richiede che abbiano lo stesso
segno. A questo proposito si consideri attentamente il seguente esempio:
Esempio 15 L’integrale improprio di senx esteso a R non esiste.
Fissato c = 0, integrando cos t nell’intervallo [0, x] si ottiene
x
Z
sent dt = [− cos t]x
0 = 1 − cos x,
0
pertanto, tenuto conto del comportamento oscillante di 1 − cos x al tendere di x → +∞, l’integrale improprio esteso a
[0, +∞[ non esiste, e quindi nemmeno quello esteso a ] − ∞, +∞[.
Tuttavia, se si considera l’integrale definito nell’intervallo ] − x, x[, si ha
Z
x
−x
sent dt = [− cos t]x
−x = 0.
Questo fatto è abbastanza ovvio, se teniamo conto che sent è una funzione dispari, e potrebbe erroneamente indurre ad
affermare che esiste l’integrale ] − ∞, +∞[ ed è nullo; infatti questo approccio è in contrasto con quanto previsto dalla
definizione di questa tipologia di integrali impropri.
15 INTEGRAZIONE NUMERICA
15
122
Integrazione numerica
Vengono presentati in questa sezione i metodi d’integrazione numerica dei trapezi e dei
rettangoli per il calcolo approssimato dell’integrale definito di una funzione, e la relativa
stima dell’errore di approssimazione.
15.1
Metodo dei rettangoli
Data una funzione f a integrabile nell’intervallo chiuso I = [a, b] e fissato un naturale n > 1, si consideri la suddivisione dell’intervallo I in n intervallini contigui I1 =
. Posto yk = f (xk ); si
[x0 , x1 ], . . . , In =]xn−1 , xn ], ciascuno dei quali di ampiezza d = b−a
n
consideri quindi la funzione a scalino
sn =
n
X
yk · χIk ,
k=1
il cui integrale è
Z
In =
a
b
n
b−aX
sn = σ(sn ) =
yk .
n k=1
Si ponga ora
Z
I=
b
f (x) dx,
a
al crescere del numero n di intervalli della suddivisione ci si aspetta che la funzione a
scalino approssimi sempre più accuratamente l’andamento della funzione f e quindi che
In converga verso I. Tale fatto risulta senz’altro vero per le funzioni continue. Un grafico
che rappresenta il procedimento sopra descritto è riportato in figura 36.
y
y=f(x)
f(x4)
f(x )
3
d
a
I4
b
x
Figura 36: grafico di f e della funzione a scalino sn
15 INTEGRAZIONE NUMERICA
123
Per valutare la bontà dell’approssimazione si introduce l’errore di approssimazione E
definito ponendo:
def
E = |I − In |.
Per le funzioni continue e derivabili con derivata limitata, cioè le funzioni per le quali
esiste una costante L1 tale che |f 0 (x)| ≤ L1 per ogni x ∈]a, b[, si può fornire la seguente
stima dell’errore di approssimazione
L1 (b − a)2
E≤
,
2
n
ove
def
L1 = sup f 0 (x),
x∈]a, b[
pertanto, al tendere di n all’infinito, l’errore di approssimazione, come previsto, tende
a zero con l’ordine di infinitesimo di 1/n. Come era prevedibile l’errore dipende dalla
costante L1 , che è tanto maggiore quanto più accentuato è il carattere oscillante della
funzione integranda, cosa che rende via via meno accurata l’approssimazione di f con la
funzione a scalino sn a parità del numero n di scalini.
La dimostrazione della validità della stima dell’errore è abbastanza semplice. Innanzitutto
occorre ricavare una stima dell’oscillazione della funzione f . Per il teorema di Lagrange,
per ogni coppia u1 , u2 ∈ I, esiste un qualche ξ ∈]a, b[ tale che
f (u2 ) − f (u1 )
= f 0 (ξ),
u2 − u1
da cui discende
|f (u2 ) − f (u1 )|
= |f 0 (ξ)|,
|u2 − u1 |
che equivale a
|f (u2 ) − f (u1 )| = |f 0 (ξ)||u2 − u1 |.
Se |f 0 (x)| ≤ L1 , l’oscillazione dei valori della funzione f può essere stimata da
|f (u2 ) − f (u1 )| ≤ L1 |u2 − u1 |.
(14)
Si osservi ora che applicando (14) nel k−esimo intervallino si può scrivere |yk − f (x)| ≤
L1 (xk − x), cioè
−L1 (xk − x) ≤ f (x) − yk ≤ L1 (xk − x).
Si osservi che la precedente relazione si può esprimere dicendo che, relativamente alla
striscia individuata dall’intervallino k−esimo, il grafico y = f (x) è compreso tra le due
rette passanti per il punto (xk , yk ) aventi coefficienti angolari L1 e −L1 , come illustrato
nella figura 37.
Integrando i tre membri nell’intervallino Ik , si ottiene quindi
Z xk
1
1
2
− L1 d ≤
f (x) dx − yk d ≤ L1 d2 .
2
2
xk−1
15 INTEGRAZIONE NUMERICA
124
y
yk+L1d
y=f(x)
yk
yk−L1d
Ik
a
b
x
Figura 37: stima nel k-esimo intervallino
Considerando la precedente catena di disuguaglianze per ciascuno degli n intervallini e
sommando i corrispondenti membri si ottiene
1
1
−n L1 d2 ≤ I − In ≤ n L1 d2 ,
2
2
da cui segue la seguente stima dell’errore di approssimazione
|I − In | ≤ n
15.2
L1 (b − a)2
L1 (b − a)2
=
.
2
n2
2
n
Metodo dei trapezi
Data una funzione f a integrabile nell’intervallo chiuso I = [a, b] e fissato un naturale n > 1 si consideri la suddivisione dell’intervallo I in n intervallini contigui I1 =
. Al posto della fun[x0 , x1 ], . . . , In =]xn−1 , xn ], ciascuno dei quali di ampiezza d = b−a
n
zione a scalino adottata nel metodo dei rettangoli, ora si cercherà un’approssimazione del
grafico di f mediante la spezzata che ne congiunge i punti di ascissa x0 , . . . , xn . Posto
yk = f (xk ), la funzione approssimante può essere scritta come segue

y1 ) − y0


y
+
(x − x0 )
se x ∈ I1 ,

0

d
def
tn (x) = . . .



yn−1 + yn − yn−1 (x − xn−1 ) se x ∈ In .
d
L’integrale di tn fornisce un’approssimazione dell’integrale di f e da semplici calcoli risulta
Z
In =
a
b
n
b − a X yk−1 ) − yk
tn =
,
n k=1
2
15 INTEGRAZIONE NUMERICA
125
che può scriversi anche
n−1
b−a
In =
n
y0 + yn X
+
yk
2
k=1
!
.
Un grafico che rappresenta il procedimento sopra descritto è riportato in figura 38.
y
y=f(x)
f(x2)
f(x )
1
d
a
x1
I2
x2
x3
x4
b
x
Figura 38: grafico di f e della funzione a trapezi tn
La convergenza a zero dell’errore di approssimazione fornita dal metodo dei trapezi è
in genere migliore di quella del metodo dei rettangoli all’aumentare del numero n dei
sottointervalli della suddivisione. In particolare, per le funzioni continue e derivabili
due volte con derivata seconda limitata in ]a, b[, vale la seguente stima dell’errore di
approssimazione
K (b − a)3
,
E = |I − In | ≤
12 n2
ove
def
K = sup |f 00 (x)|,
x∈]a, b[
di però non viene qui presentata la laboriosa dimostrazione.
16 INTEGRALE INDEFINITO
16
126
Integrale indefinito
Si introduce in questa sezione il concetto d’integrale definito, che si richiama a quello di
primitiva di una funzione, e quindi al calcolo dell’integrale definito.
Definizione 47 Data una funzione f definita su un intervallo aperto I si dice integrale
indefinito di f l’insieme di tutte le primitive della funzione f e lo si indica in simboli con
Z
f (x) dx.
Una prima immediata considerazione discende dal teorema fondamentale del calcolo integrale. Infatti, se f è continua sull’intervallo I e x0 un arbitrario punto di I, allora
l’integrale indefinito di f su I è dato dalla famiglia di funzioni integrali:
Z x
Fk (x) =
f (x) dx + k, al variare di k ∈ R.
x0
16.1
Integrazione di funzioni elementari
Dalle derivate delle funzioni elementari si deducono immediatamente i seguenti integrali
indefiniti
Z
Z
xr+1
1
r
+ k, (r 6= 1)
dx = ln |x| + k,
x dx =
r+1
x
Z
Z
x
x
e dx = e + k,
senx dx = − cos x + k,
Z
Z
1
dx = tg x + k,
cos2 x
Z
1
√
dx = arcsen x + k.
1 − x2
cos x dx = senx + k,
Z
Z
1
dx = arctg x + k,
1 + x2
√
−1
dx = arccos x + k.
1 − x2
Le funzioni sotto il segno d’integrale possono avere come dominio di esistenza insiemi che
non sono intervalli. Ad esempio, la funzione x1 che è definita in R0 . Occorre però qui
osservare che, in accordo con la definizione di integrale indefinito, l’uguaglianza
Z
1
dx = ln |x| + k,
x
individua l’insieme di tutte le primitive di x1 definite nell’intervallo ] − ∞, 0[, oppure l’insieme di tutte le primitive definite nell’intervallo ]0, +∞[, ma non l’insieme delle funzioni
derivabili su R0 con derivata 1/x.
16 INTEGRALE INDEFINITO
127
Se si volesse estendere la nozione di integrale indefinito considerando tutte le primitive di
1
sul dominio R0 , dovremmo scrivere allora
x
(
Z
ln(x) + k
se x > 0,
1
dx =
x
ln(−x) + k 0 se x < 0,
ove k, k 0 sono due costanti arbitrarie in R.
16.2
Integrazione per sostituzione
Analogamente al caso dei limiti, vi sono anche per il calcolo degli integrali due tecniche di cambiamento di variabile, una per la variabile dipendente e una per la variabile
indipendente. Per il cambiamento della variabile dipendente vale:
Teorema 105 (Integrazione con cambiamento della variabile dipendente) Sia F
una primitiva della funzione f definita su un intervallo aperto I e g una funzione derivabile
su un intervallo aperto J a valori in I, allora nell’intervallo J si può scrivere:
Z
f (g(x))g 0 (x) dx = F (g(x)) + k.
Dim. La dimostrazione discende immediatamente dalla regola di derivazione delle funzioni composte, infatti si ha che
D[F ◦ g(x))] = D[F ◦ g(x))] = DF (g(x))g 0 (x) = f (g(x))g 0 (x),
pertanto F ◦ g(x) è una primitiva della funzione integranda, come volevasi dimostrare.
Per effettuare un cambiamento di variabile, nella pratica risulta particolarmente comoda
la notazione dei differenziali qui di seguito presentata.
Se y = g(x) è una funzione reale derivabile in x, si dicono differenziale di g calcolato in
x, le due equivalenti espressioni
dy = g 0 (x) dx,
dg = g 0 (x) dx.
Tenuto conto di tale definizione, se nell’integrale
Z
f (g(x))g 0 (x) dx,
si effettuano le seguenti sostituzioni formali di variabile dipendente e differenziale
y = g(x),
dy = g’(x) dx ,
si trova la seguente uguaglianza formale
Z
Z
0
f (g(x))g (x) dx = f (y) dy,
16 INTEGRALE INDEFINITO
128
che può scriversi anche
Z
Z
0
f (g(x))g (x) dx = f (y) dy = F (y) + k = F (g(x)) + k,
ove F è una qualunque primitiva di f . In altre parole, senza scendere nei complessi dettagli del significato matematico del differenziale, le sostituzioni effettuate sono equivalenti
all’applicazione del teorema del cambiamento della variabile dipendente sopra presentato,
la cui regola può quindi essere scritta nella forma:
Z
Z
0
f (g(x))g (x) dx =
f (y) dy .
y=g(x)
Di seguito si presenta un esempio d’applicazione della regola d’integrazione per sostituzione:
Esempio 16 Si risolva seguente integrale indefinito
Z
1
dx.
ex + 1
Si consideri la sostituzione y = ex , il differenziale di g è quindi dy = D[ex ] dx = ex dx, pertanto, nella nuova variabile, il
precedente integrale può essere scritto come
Z
1
ex dx =
(ex + 1)ex
Z
1
dy .
(y + 1)y
y=ex
Si osservi che quest’ultimo integrale si calcola per scomposizione
Z
1
dy =
(y + 1)y
Z
1
2
1
1
−
y+1
y
dy =
1
[ln |y + 1| − ln |y|] + k,
2
Pertanto, ricordando che y = ex , si ha infine
Z
1
1
1
dx = (ln |ex + 1| − ln |ex |) + k = [ln(ex + 1) − x] + k.
ex + 1
2
2
Per quanto concerne la sostituzione della variabile indipendente vale:
Teorema 106 (Integrazione con cambiamento della variabile indipendente) Sia
F una primitiva della funzione f definita su un intervallo aperto I e g : J → I una funzione biettiva e derivabile su un intervallo aperto J, allora vale la seguente relazione
integrale
Z
Z
0
f (x) dx =
f (g(y))g (y) dy .
−1
y=g
(x)
16 INTEGRALE INDEFINITO
129
Dim. Dal teorema di cambiamento della variabile dipendente, si sa che che
Z
f (g(y))g 0 (y) dy = F (g(y)) + k,
ove F è una primitiva di f nell’intervallo I. Sostituendo y = g −1 (x) si trova quindi
Z
f (g(y))g 0 (y) dy = F (x) + k,
y=g −1 (x)
e quindi
Z
f (g(y))g (y) dy Z
0
=
f (x) dx,
y=g −1 (x)
come volevasi dimostrare.
Un esempio di applicazione della regola è il seguente:
Esempio 17 Si risolva seguente integrale indefinito
Z
1
√ dx.
1+ x
Si consideri la sostituzione x = g(t) = t2 , con t ∈ R. Differenziando g si ottiene dx = D[t2 ] dt = 2t dt, pertanto, nella nuova
variabile, il precedente integrale può essere scritto come
Z
Z
1
2t
dt √ .
√ dx =
1+ x
1+t
t= x
Si osservi che quest’ultimo integrale si calcola per scomposizione
Z
Z 2t
1
dt =
2 1−
dt = 2t − 2 ln |1 + t| + k,
1+t
1+t
Pertanto, ricordando che t =
√
x, si ha infine
Z
√
√
1
√ dx = 2 x − 2 ln(1 + x) + k.
1+ x
Dalla formula di Newton-Leibniz e dalla regola di sostituzione della variabile dipendente
si ottiene la seguente uguaglianza per gli integrali definiti
Z g(d)
Z d
f (x) dx =
f (g(t))g 0 (t) dt.
g(c)
c
In particolare, se a, b ∈ I sono immagini di qualche elemento di J tramite la funzione g
(questo accade, ad esempio, se g è biettiva, ma non è necessario), ovvero esistono α, β ∈ J
tali che a = g(α) e b = g(β), allora si può scrivere
Z b
Z d
f (x) dx =
f (g(t))g 0 (t) dt.
a
c
16 INTEGRALE INDEFINITO
16.3
130
Integrazione per parti
Siano u e v due funzioni derivabili su I. Allora dalla regola di derivazione del prodotto
uv si ottiene l’uguaglianza
D[u]v = D[uv] − uD[v].
da cui, integrando ambo i membri, si ottiene la relazione integrale
Z
Z
D[u]v dx = uv(x) − uD[v] dx.
che, nella compatta notazione differenziale, può anche essere scritta
Z
Z
v du = uv − u dv.
L’utilità della precedente relazione deriva dal fatto che in alcune circostanze l’integrale
a secondo membro è più semplice da calcolare rispetto a quello del primo membro. Si
consideri ad esempio il seguente integrale:
Z
xex dx,
che può evidentemente scriversi anche
Z
xD[ex ] dx.
Utilizzando la regola d’integrazione per parti, si ottiene
Z
Z
Z
x
x
x
x
xD[e ] dx = xe − e D[x]dx = xe − ex dx = xex − ex + k.
17 METODI NUMERICI PER EQUAZIONI
17
132
Metodi numerici per equazioni
In questa sezione vengono presentati alcuni metodi per il calcolo approssimato delle radici
di un’equazione del tipo
f (x) = 0,
(15)
con l’incognita x vincolata in un intervallo limitato [a, b]; si ricorda che tali radici vengono
anche chiamate zeri della funzione f .
Se la funzione f : [a, b] → R è continua e assume valori di segno opposto sugli estremi, ovvero f (a)f (b) < 0, in virtù del teorema degli zeri (58) esiste almeno una radice
dell’equazione, ovvero un punto x0 ∈]a, b[ tale che
f (x0 ) = 0.
Quando un metodo numerico fornisce una stima di una radice è necessario valutare l’entità
dell’errore di stima. Più precisamente, dato un arbitrario ε > 0, si dirà che x̄ ∈]a, b[ è
un’approssimazione di una radice ξ di 15 con errore di stima inferiore a ε se è soddisfatta
la disequazione
|x̄ − ξ| ≤ ε.
(16)
ovvero
ξ − εx̄ < ξ + ε.
Verranno proposti tre metodi numerici iterativi per la ricerca degli zeri: il metodo di
bisezione, il metodo delle secanti e il metodo delle tangenti, o di Newton. Il primo richiede
la sola continuità della funzione f , mentre gli altri due necessitano di condizioni più forti
sulla regolarità della funzione f , permettendo però, a parità di errore di stima, una più
rapida convergenza.
17.1
Metodo di bisezione
Il metodo di bisezione si basa su una reiterata applicazione del teorema degli zeri in
intervalli via via più piccoli (più precisamente ciascuno con diametro metà del precedente,
di qui il nome bisezione) i cui estremi forniscano stime per eccesso e per difetto sempre
più accurate di uno zero, fino al raggiungimento della precisione desiderata.
Il metodo richiede la semplice continuità di f , ipotesi che come si è già detto garantisce
l’esistenza di almeno una radice dell’equazione 15. Più precisamente, affinché sia garantita
la convergenza dell’algoritmo, si richiede:
[IB] f : [a, b] → R
una funzione reale continua tale per cui f (a)f (b) < 0.
Si supponga che ε > 0 sia l’errore di approssimazione con cui si vuole calcolare una19
radice dell’equazione.
19
Si noti bene che le ipotesi non garantiscono l’unicità dello zero.
17 METODI NUMERICI PER EQUAZIONI
133
Per comodità si pone
def
a0 = a,
def
b0 = b,
def a0 + b0
x0 =
,
2
I0 = [a0 , b0 ].
• Se (b0 − a0 ) < 2ε un’approssimazione che soddisfa le richieste è il punto medio x0
dell’intervallo iniziale, e in questo caso fortunato l’algoritmo termina al passo k = 0.
• Se b0 − a0 ≥ 2ε si itera il seguente algoritmo fino all’ottenimento dell’errore di
approssimazione voluto:
– se f (xk−1 ) = 0: il punto xk−1 è una radice esatta e l’algoritmo termina
def
restituendo l’approssimazione x̄ = xk−1 ;
– se f (xk−1 )f (ak−1 ) < 0: si pone
def
ak = ak−1 ,
def
bk = xk−1 ,
def ak + bk
xk =
,
2
Ik = [ak , bk ];
– se f (xk−1 )f (ak−1 ) > 0: si pone
def
ak = xk−1 ,
def
bk = bk−1 ,
def ak + bk
xk =
,
2
Ik = [ak , bk ].
In figura 39 è riportato uno schema che esemplifica alcune iterazioni successive dell’algoritmo. Si noti che in ciascuno degli intervalli Ik sono soddisfatte le ipotesi del teorema
degli zeri, pertanto in ciascuno di essi esisterà una radice ξ tale che ∀k : ξ ∈ Ik .
17 METODI NUMERICI PER EQUAZIONI
134
y
y=f(x)
y(b)>0
ε
a
b
x
y(a)<0
x0
x1
x2
I0
I1
I2
Figura 39: metodo di bisezione
È evidente che da un’iterazione alla successiva l’intervallo Ik in cui cade lo zero viene
diviso a metà, pertanto alla k-esima iterazione dell’algoritmo il diametro di Ik sarà
def
dk = bk − ak =
b−a
,
2k
quindi la radice ξ soddisferà
|ξ − xk | <
b−a
dk
= k+1 .
2
2
(17)
Pertanto il valore d2k rappresenta la stima dell’errore di approssimazione della radice ξ
data da xk all’iterazione k = 0, 1, . . . , N . A questo punto, fissato N pari al più piccolo
naturale tale che
b−a
< ε,
2N +1
tenuto conto della disequazione 17, sempre che non ci s’imbatta prima in una radice
def
esatta, alla N −esima iterazione si ottiene l’approssimazione x̄ = xN avente l’accuratezza
richiesta.
17 METODI NUMERICI PER EQUAZIONI
17.2
135
Metodo delle secanti
Il metodo delle secanti richiede ipotesi più forti della sola continuità di f , in particolare pretende che la funzione sia convessa20 . Affinché sia garantita la convergenza
dell’algoritmo, si richiede:
[IS] f : [a, b] → R una funzione reale convessa, continua con derivata seconda
continua in ]a, b[ e tale per cui f (a) < 0 e f (b) > 0.
Innanzitutto, si dimostra che nelle ipotesi qui specificate l’equazione f (x) = 0 ammette
un’unica radice, cioè che vale:
Teorema 107 Sia f una funzione soddisfacente le ipotesi [IS], allora esiste un unico
valore ξ ∈]a, b[ tale che f (ξ) = 0. Inoltre si ha f 0 (x) > 0 per ogni xi ≤ x < b.
Dim. Dato che f è continua, per il teorema degli zeri, l’equazione f (x) = 0 ammetterà
almeno una radice. Dal teorema 84 sulle funzioni convesse segue necessariamente che
f 00 (x) ≥ 0 per ogni x ∈]a, b[, pertanto f 0 dovrà essere debolmente crescente in ]a, b[. Ne
discende che esisterà un punto c ∈]a, b[ tale che
x ∈]a, c[ → f 0 (x) ≤ 0,
x ∈]c, b[ → f 0 (x) > 0, .
La funzione f risulta quindi debolmente crescente in [a, c], pertanto f (x) ≤ f (a) < 0 per
ogni a ≤ x ≤ c. Le radici di f (x) = 0 devono pertanto appartenere tutte nell’intervallo
]c, b[. Ma in ]c, b[, dato che f 0 > 0, la funzione f risulta crescente e quindi assumerà il
valore zero esattamente una e una sola volta in un punto che indichiamo con ξ. Infine,
dato che ξ > c, la disequazione f 0 (x) > 0 è soddisfatta per ogni x ≥ ξ.
Sia ora x0 una qualunque approssimazione per difetto di ξ, ovvero tale che f (x0 ) < 0,
e si consideri la corda che congiunge i punti (x0 , f (x0 )) e (b, f (b)) del grafico di f . Per
convessità di f , questa corda sta sopra il grafico di f e taglia l’asse delle x in un punto di
ascissa x1 tale che ξ > x1 > x0 . Inoltre, dato che l’equazione della corda è
y=
f (x0 ) − f (b)
(b − x0 )f (x0 ) + f (x0 ),
x0 − b
si può quindi scrivere
x1 = x0 −
b − x0
f (x0 ).
f (b) − f (x0 )
Il punto x1 cosı̀ costruito è ancora un’approssimazione per difetto di ξ, e il procedimento
appena descritto può essere reiterato ottenendo stime sempre più accurate dello zero.
Nella figura 40 è riportata un’esemplificazione del procedimento.
20
Per semplicità qui si considera solo il caso di funzione convessa, ma è evidente che se f fosse concava
si potrebbe applicare ugualmente il metodo alla funzione −f
17 METODI NUMERICI PER EQUAZIONI
136
y
y=f(x)
y(b)>0
a
x0
x1 x2
b
x
y(a)<0
Figura 40: metodo delle secanti
Mediante le seguenti equazioni
x0 un qualunque punto in cui f (x0 ) < 0,
b − xn
xn+1 = xn −
f (xn ) per n ≥ 1.
f (b) − f (xn )
(18)
(19)
si può quindi definire per ricorsione una successione di punti (xn )n . Questa per costruzione è monotona crescente e limitata superiormente da ξ, pertanto ammette limite che
indichiamo con x̄.
Passando al limite nell’equazione 21, tenuto conto che per ipotesi f è continua, si ottiene
x̄ = x̄ −
b − x̄
f (x̄),
f (b) − f (x̄)
da cui si deduce che f (x̄) = 0, e quindi x̄ = ξ. Dunque
lim xn = ξ.
n→+∞
Per la stima dell’errore del metodo delle secanti si rimanda alle considerazioni conclusive
della sezione successiva che è dedicata al metodo delle tangenti.
17 METODI NUMERICI PER EQUAZIONI
17.3
137
Metodo delle tangenti
Il metodo delle tangenti si applica nelle stesse condizioni del metodo delle secanti, ovvero
nell’ipotesi che:
[IT] f : [a, b] → R una funzione reale convessa, continua con derivata seconda
continua in ]a, b[ e tale per cui f (a) < 0 e f (b) > 0.
Si descrive ora l’algoritmo per la costruzione di un’approssimazione per eccesso dell’unica21
soluzione ξ dell’equazione f (x) = 0.
Sia x0 una qualunque approssimazione per eccesso di ξ, ovvero tale che f (x0 ) > 0, e si
consideri la tangente al grafico di f nel punto (x0 , f (x0 )). Per convessità di f , questa
retta tangente deve stare sotto il grafico Γf e tagliare l’asse delle x in un punto di ascissa
x1 tale che ξ < x1 < x0 . Inoltre, dato che l’equazione della tangente è
y = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ),
si può scrivere
f (x0 )
.
f 0 (x0 )
Il punto x1 cosı̀ costruito è ancora un’approssimazione per eccesso di ξ, e il procedimento
appena descritto può essere reiterato per ottenere approssimazioni più accurate. Nella
figura 41 è riportata un’esemplificazione del procedimento.
Mediante le seguenti equazioni
x1 = x0 −
x0 un qualunque punto in cui f (x0 ) > 0,
f (xn )
xn+1 = xn − 0
per n ≥ 1.
f (xn )
(20)
(21)
si può quindi definire per ricorsione una successione di punti (xn )n . Questa successione è
monotona decrescente e limitata inferiormente da ξ, pertanto ammette limite x̄. Passando
al limite nell’equazione 21, tenuto conto che per ipotesi f e f 0 sono continue, si ottiene
x̄ = x̄ −
f (x̄)
,
f 0 (x̄)
da cui si deduce che f (x̄) = 0, e quindi x̄ = ξ. Dunque
lim xn = ξ.
n→+∞
In genere la convergenza del metodo delle tangenti è più rapida rispetto a quella del metodo di bisezione, ma non si dispone in questo caso di espressioni semplici per stimare
l’errore in funzione del numero di iterazioni dell’algoritmo. Nella pratica, per stimare
l’errore di approssimazione si usare la seguente regola: indicato con ε l’errore di approssimazione desiderato, se per un qualche n si ha f (xn + 2ε) < 0, allora il teorema degli
zeri garantisce che la radice x̄ sarà compresa nell’intervallo ]xn , xn + 2ε[, pertanto alla
successiva iterazione si avrà che |xn+1 − x̄| < ε.
21
La dimostrazione dell’esistenza ed unicità della radice è svolta nella sezione sul metodo delle secanti.
y
y(b)>0
y=f(x)
a
y(a)<0
b
x2 x1
x0
Figura 41: metodo delle tangenti
x
A TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE
A
139
Teoremi sulle funzioni continue
Vengono riportate in questa appendice le dimostrazioni dei principali risultati sulle funzioni continue definite su intervalli e su insiemi compatti.
A.1
Teorema sulle funzioni continue definite in intervalli
Teorema 108 Una funzione continua di variabile reale a valori reali manda intervalli in
intervalli.
Dim. Sia f : I → R una funzione continua su I intervallo della retta reale. Occorre
provare che l’insieme f (I) = {f (x) ∈ R | x ∈ I } è un intervallo. Si procede per assurdo
nel seguente modo. Si supponga che f (I) non sia un intervallo.
y
Esisteranno
pertanto
due
immagini
f (x1 ), f (x2 ) ∈ f (I) e un terzo punto ξ non
appartenente all’immagine di f che vi cade
y=f(x)
in mezzo, cioè tale che f (x1 ) < ξ < f (x2 );
f(x )
2
la situazione è rappresentata nella figura acξ
canto. Inoltre, si può supporre senza perdita
f(x1)
di generalità che sia x1 < x2 . Definiamo ora
i seguenti insiemi
def
A = {x ∈ [x1 , x2 ] | f (x) ≤ ξ},
I
x1
def
B = {x ∈ [x1 , x2 ] | f (x) ≥ ξ}.
x2
x
È immediato costatare che A e B sono non vuoti, disgiunti (dato che ξ non è elemento
dell’immagine f (I)) e A ∪ B = {x ∈ [x1 , x2 ] | f (x) ≤ ξ o f (x) ≥ ξ} = [x1 , x2 ]. Sia ora
def
w = sup A.
Tale punto w appartiene necessariamente all’intervallo chiuso [x1 , x2 ] pertanto sarà elemento di A o elemento di B. Se si supponga che w ∈ A, e quindi sia il massimo elemento
di A, ne consegue che nell’intervallo considerato ogni x maggiore di w dovrà appartenere
a B, pertanto B conterrà l’intervallo ]w , x2 ]. Infatti, se cosı̀ non fosse dovrebbe esistere
a ∈ A con a > w, in contraddizione col fatto che w è una limitazione superiore di A.
Ricordando la definizione di B, per x ∈]w , x2 ] si ha f (x) ≥ ξ, quindi, passando al limite
di f (x) per x → w+ , che esiste e coincide con f (w) essendo f continua, si ottiene
f (w) = lim+ f (x) ≥ ξ.
x→w
Da ciò segue però che w è elemento di B, in contrasto con il fatto che A e B sono
disgiunti. Viceversa, se si suppone che w sia elemento di B, con un analogo ragionamento
si prova che se x ∈ [x1 , w[ segue f (x) ≤ ξ. Considerando questa volta il limite di f (x) per
A TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE
140
x → w− si ottiene la disequazione f (w) ≤ ξ, che porta alla contraddizione che w risulta
simultaneamente elemento di A e B. Il teorema è quindi dimostrato.
Teorema 109 Se una funzione suriettiva f : I → J definita su un intervallo I a valori
in un intervallo J è monotona in senso debole o forte allora essa è anche continua.
Dim. Per semplicità si dimostrerà il teorema solo nel caso in cui f è debolmente crescente.
Si consideri innanzitutto il caso in cui x̄ è interno all’intervallo. Si definisca ora
def
def
A = {f (x) | x < x̄} e B = {f (x) | x > x̄}.
Gli insiemi A e B sono non vuoti e disgiunti. Si ponga ora
def
a∗ = sup A,
def
b∗ = inf B.
Poiché f è crescente dovrà essere A ≤ f (x̄) ≤ B, pertanto a∗ ≤ f (x̄) ≤ b∗ . Se si
assumesse per assurdo che a∗ 6= b∗ allora nell’intervallo ]a∗ , b∗ [, sottoinsieme dell’intervallo
J, l’unico valore eventualmente assunto dalla funzione sarebbe f (x̄), in contrasto l’ipotesi
di suriettività. Dunque deve essere a∗ = b∗ = f (x̄). Per un noto risultato sui limiti delle
funzioni monotone vale:
lim− f (x) = a∗ , lim+ f (x) = b∗ ,
x→x̄
x→x̄
pertanto limite destro e sinistro in x̄ coincidono con f (x̄), la qual cosa prova la continuità
di f in x̄.
Nel caso in cui x̄ è l’estremo sinistro (risp. destro) di I si procede in modo simile, però
definendo a∗ (risp. b∗ ) con il valore assunto dalla funzione in x̄. Con i medesimi argomenti
usati sopra si deduce che se x → x̄+ (risp. x → x̄− ) allora f (x) → f (x̄). Ciò conclude la
dimostrazione.
A.2
Teorema di Weierstrass e continuità uniforme sui compatti
L’impalcatura della dimostrazione del teorema di Weierstrass si regge su un noto risultato
topologico dei numeri reali:
Teorema 110 (Teorema di Bolzano) Ogni sottoinsieme infinito e limitato della retta
reale ammette un punto di accumulazione.
Dim. Sia X un sottoinsieme infinito e limitato di R. Detto I0 un qualunque intervallo
limitato contenente X, si ripartisca tale intervallo come unione disgiunta di due intervalli
di uguale diametro. Almeno uno di questi due sottointervalli di I0 conterrà infiniti punti di
X, e indichiamo tale intervallo con I1 . Il medesimo ragionamento può essere ripetuto su I1
e cosı̀ via fino a costruire una successione di intervalli incapsulati I0 ⊆ I1 ⊆ · · · ⊆ In ⊆ . . .
aventi la proprietà che ciascuno ha diametro la metà del precedente e contiene infiniti
A TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE
141
punti di X. Si indichino con A e B l’insieme degli estremi inferiori e rispettivamente
degli estremi superiori degli intervalli I0 , I1 , . . . , In , . . . ; questi insiemi sono chiaramente
non vuoti e separati (A ≤ B), pertanto, per l’assioma di completezza dei numeri reali,
esisterà un reale x̄ che li separa, cioè tale che A ≤ x̄ ≤ B. Viene provato ora che x̄ è di
accumulazione per X. Sia ε un arbitrario reale positivo, occorre provare che esiste almeno
un punto x ∈ X diverso da x̄ soddisfacente la disequazione
|x − x̄| < ε.
(22)
I diametri dn della sequenza di intervalli sono una successione geometrica di ragione 21
convergente a zero, pertanto è possibile trovare un intervallo In con diametro dn < 2ε .
Chiaramente x̄ è elemento di ciascun intervallo della sequenza, compreso In , pertanto se
x è un elemento qualunque di In dovrà essere
ε
|x − x̄| < dn = 2 = ε,
2
ma tra gli elementi di In ve ne sono infiniti che appartengono a X, pertanto ve n’è almeno
uno diverso da x̄ che soddisfa la disequazione 22, come volevasi dimostrare.
Per rendere più comprensibile la dimostrazione del teorema di Weierstrass è conveniente
introdurre il concetto di sottosuccessione di una data successione, quindi un piccolo e utile
lemma.
Definizione 48 Data una successione {xn }n e una funzione crescente k 7→ nk da N in
N, si dice sottosuccessione di (o successione estratta da) {xn }n la successione k 7→ xnk ,
che viene indicata in simboli con {xnk }k .
Lemma 111 Se una successione (xn )n ammette un punto di accumulazione x̄ allora da
essa può essere estratta una sottosuccessione {xnk }k convergente a x̄.
Dim. Si definisca per ogni k ∈ N
nk = min n ∈ N |xn − x̄| <
1
k+1
e n > nk−1 .
Viene lasciata al lettore volenteroso la facile dimostrazione che, essendo x̄ di accumulazione, la successione k 7→ nk è crescente, con la proprietà che xnk converge a x̄ come richiesto
dall’enunciato.
A TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE
142
Segue la dimostrazione del Teorema di Weierstrass:
Teorema 112 (Teorema di Weierstrass) Ogni funzione continua definita su un sottoinsieme compatto della retta reale ammette massimo e minimo.
Dim. Sia f : X → R una funzione continua su un sottoinsieme X chiuso e limitato di
R. Verrà dimostrata solo la parte del teorema che riguarda l’esistenza di una massimo
per la funzione f , essendo l’altra parte del tutto analoga. Si supponga per assurdo che
l’insieme immagine f (X) non abbia un massimo e si indichi con s l’estremo superiore dei
valori di f (X). L’estremo superiore potrà essere finito o infinito. Nel caso in cui s è finito,
tale punto esso dovrà essere necessariamente di accumulazione per f (X), pertanto potrà
essere costruita una successione (xn )n in X tale per cui
1
, per ogni n ∈ N.
f (xn ) ≥ s −
n+1
L’insieme dei valori della successione {xn ∈ X | n ∈ N} è necessariamente infinito e
limitato, pertanto per il teorema di Bolzano esso ammetterà un punto di accumulazione x̄
che dovrà appartenere necessariamente ad X, essendo questo un insieme chiuso. In virtù
del lemma 111 si può costruire una sottosuccessione xnk convergente a x̄ soddisfacente
1
f (xnk ) ≥ s −
, per ogni k ∈ N.
nk + 1
Facendo tendere k all’infinito, in virtù della continuità di f e della crescenza di k 7→ nk ,
dalla precedente disequazione si ottiene
f (x̄) ≥ s,
in contraddizione con l’ipotesi di aver assunto che s fosse estremo superiore, ma non
massimo dell’insieme immagine f (X).
Se invece si assume che l’immagine sia superiormente illimitata, procedendo in modo
simile al precedente caso, si potrà costruire una successione (xk ) convergente ad un punto
x̄ di X tale per cui f (xk ) ≥ k per ogni k ∈ N. Dato che f è continua, passando al limite
per k → ∞ si ottiene una contraddizione dal fatto che f (x̄) dovrebbe essere maggiore di
qualunque numero reale. Ciò conclude la dimostrazione del teorema.
Dal teorema di Weierstrass si ottiene il seguente teorema che rappresenta la chiave di
volta nella dimostrazione dell’integrabilità delle funzioni continue:
Teorema 113 Sia f funzione reale continua sul dominio D. Se D è compatto allora f è
uniformemente continua.
Dim. Si procede per assurdo supponendo che esista un reale ε > 0 tale per cui qualunque
sia22 δ = n1 con n ∈ N0 esistano due punti xn e yn in D tali che
|xn − yn | ≤
22
1
n
e
|f (xn ) − f (yn )| > ε.
(23)
È evidente che negando l’uniforme continuità di f si può scegliere δ a piacimento tra i reali positivi,
in particolare anche nella forma n1 , che risulta particolarmente utile per estrarre delle successioni di punti
in D a cui applicare il teorema di Bolzano-Weierstrass.
A TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE
143
In virtù della compattezza di D dalla due successioni possono essere estratte due sottosuccessioni convergenti in D che indichiamo con: xnk e ynk . Queste dovranno necessariamente
convergere ad un medesimo valore limite x0 ∈ D, poiché |xnk − ynk | ≤ n1k . Per continuità
di f in x0 , si può determinare un k̄ sufficientemente grande affinché per ogni k > k̄ si
abbia
|f (xnk ) − f (x̄)| < ε/2 e |f (ynk ) − f (x̄)| < ε/2,
da cui segue
|f (xnk ) − f (ynk )| = |f (xnk ) − f (x̄) − f (ynk ) + f (x̄)| ≤
≤ |f (xnk ) − f (x̄)| + |f (ynk ) − f (x̄)| < ε/2 + ε/2 = ε,
in contraddizione con l’eq. 23. Ciò prova l’uniforme continuità di f .
B TEOREMI SULLE FUNZIONI CONVESSE
B
145
Teoremi sulle funzioni convesse
Una caratterizzazione operativa della convessità è data da:
Proposizione 114 Sia f funzione reale definita su un intervallo I. La funzione f è
convessa se e solo se per ogni coppia x1 , x2 e ogni λ, µ ≥ 0 tali che λ + µ = 1 si ha
f (λx1 + µx2 ) ≤ λf (x1 ) + µf (x2 ).
Dim. È intuitivo comprendere che l’epigrafico Ef risulta convesso se e solo se per ogni
coppia P1 , P2 di punti del grafico di f si ha [P1 , P2 ] ⊆ Ef . In sostanza, la convessità
dell’epigrafico può essere studiata guardando ai soli punti che delimitano l’epigrafico dal
basso, ovvero con i punti del grafico di f . La dimostrazione formale id questa fatto viene
lasciata al lettore volenteroso.
Siano ora x1 < x2 due punti qualunque di I e λ, µ ≥ 0 due reali tali che λ + µ = 1. Si
def
osservi che il reale x = λx1 + µx2 appartiene necessariamente all’intervallo [x1 , x2 ]. Si
indichino con P1 e P2 i punti del grafico di f di ascissa x1 e x2 , rispettivamente. Il punto
Q(x, λf (x1 ) + µf (x2 )) risulta invece il punto di ascissa x del segmento [P1 , P2 ].
y
Pertanto la disequazione
f (λx1 + µx2 ) ≤ λf (x1 ) + µf (x2 ),
f(x1)
può scriversi anche f (xQ ) ≤ yQ , ciò equivale
ad affermare che Q appartiene all’epigrafico
di f . Dato che al variare di λ e µ il punto x
assume tutti i valori dell’intervallo [x1 , x2 ], e
quindi anche Q assume tutti i punti del segmento [P1 , P2 ], la relazione equivale all’inclusione [P1 , P2 ] ⊆ Ef . Tenuto conto che in base
all’osservazione iniziale è sufficiente verificare
la convessità per quella tipologia di segmenti,
il teorema è dimostrato.
P1
y=f(x)
Q
λ f(x1)+µ f(x2)
P
2
f(x2)
f(λ x +µ x )
1
2
x2
λ x1+µ x2
x
1
x
La convessità di una funzione può essere ricondotta alla monotonia del suo rapporto
incrementale. Vale infatti:
Teorema 115 Sia f funzione reale su un intervallo I. Si ha che f è convessa se e solo
se il rapporto incrementale a partire da un qualunque punto x0 ∈ I, negli intervalli in cui
I viene diviso da x0 risulta una funzione debolmente crescente.
Dim. Sia x0 ∈ I e si indichi con J uno dei due intervalli in cui I viene diviso da x0 .
Senza perdita di generalità si può supporre che J sia l’intervallo dei due avente x0 come
estremo inferiore; infatti la funzione x 7→ f (−x) ha epigrafico simmetrico rispetto all’asse
B TEOREMI SULLE FUNZIONI CONVESSE
146
y rispetto a quello di f , per cui l’uno è convesso se e solo se è convesso l’altro. La funzione
rapporto incrementale R è definita ponendo per ogni x ∈ J
def
R(x) =
f (x) − f (x0 )
.
x − x0
Si supponga per assurdo che R(x) non sia debolmente crescente, cioè è vero se e solo se
esistono due punti x1 < x2 ∈ I tali che R(x1 ) > R(x2 ), disequazione che può scriversi
anche
f (x1 ) − f (x0 )
f (x2 ) − f (x0 )
>
.
x 1 − x0
x2 − x0
Sia ora
x1 − x0
λ=
,
x2 − x0
con tale posizione, dalla precedente disequazione, moltiplicando per (x2 − x0 ) > 0 i suoi
membri, si ottiene equivalentemente
f (x1 ) − f (x0 ) > (f (x2 ) − f (x0 ))λ,
cui corrisponde
λf (x2 ) + (1 − λ)f (x0 ) < f (x1 ).
Posto µ = 1 − λ, e osservato che x1 = µx0 + λx2 , la precedente equivale a
λf (x2 ) + µf (x0 ) < f (µx0 + λx2 ),
in contraddizione con la caratterizzazione di convessità trovata nella proposizione 114.
Evidentemente tutte le implicazioni del ragionamento valgono anche in senso inverso,
pertanto si è cosı̀ dimostrato il teorema.
Dal precedente teorema, nel caso in cui f è derivabile, si ottiene la seguente utilissima
caratterizzazione della convessità:
Teorema 116 Sia f funzione reale derivabile su un intervallo aperto I. Si ha che f è
convessa se e solo se la derivata f 0 è una funzione debolmente crescente.
Dim. Sia I =]a, b[ intervallo aperto eventualmente illimitato. Per ogni punto x0 ∈ I si
indichi con Rx0 il rapporto incrementale a partire da x0 . Dato che f è derivabile, ogni
rapporto incrementale Rx0 può essere esteso per continuità in x0 assegnandogli il valore
f 0 (x0 ). In tal caso, dal teorema precedente si deduce che f è convessa se e solo se, per
ogni fissato x0 ∈ I, il rapporto incrementale (esteso per continuità in x0 ) Rx0 è continuo
e debolmente crescente su tutto I.
Si supponga ora che f sia convessa. Se x1 , x2 sono due punti qualunque di I tali che
x1 < x2 , occorre dimostrare che f 0 (x1 ) ≤ f 0 (x2 ). Siano ora z, w tali che x1 < z < w < x2 .
B TEOREMI SULLE FUNZIONI CONVESSE
147
Dalla monotonia dei rapporti incrementali, e dal fatto che se x 6= y si ha Rx (y) = Ry (x),
si ottengono le le relazioni
Rx1 (z) = Rz (x1 ) ≤ Rz (z) ≤ Rw (z) = Rz (w) ≤ Rz (x2 ) = Rx2 (w),
dalle quali si ha
Rx1 (z) ≤ Rx2 (w).
−
Passando al limite nella precedente per z → x+
1 e w → x1 , tenuto conto che in ogni punto
derivata destra e sinistra sono uguali, si ottiene f 0 (x1 ) ≤ f 0 (x2 ).
Si supponga ora f 0 sia debolmente crescente su I. Preso un qualunque x0 in I si proverà
ora che Rx0 è debolmente crescente. A tale scopo si scelga una qualunque coppia di punti
x1 , x2 in I tali che x1 < x2 . Il punto x0 potrà essere interno all’intervallo individuato da
x1 e x2 , oppure esterno. Dato che i tre casi vanno trattati in modo simile, qui ci si occupa
della dimostrazione nel caso in cui x1 < x0 < x2 . Applicando il teorema di Lagrange agli
intervalli [x1 , x0 ] e [x0 , x2 ], si deduce l’esistenza di due punti ξ ∈]x1 , x0 [ e η ∈]x0 , x2 [ tali
che
Rx0 (x1 ) =
f (x1 ) − f (x0 )
= f 0 (ξ)
x1 − x0
e
Rx0 (x2 ) = Rx2 (x0 ) =
f (x2 ) − f (x0 )
= f 0 (η).
x2 − x0
La derivata f 0 è debolmente crescente, dunque f 0 (ξ) ≤ f 0 (η). Il rapporto incrementale
Rx0 dovrà quindi soddisfare la relazione
Rx0 (x1 ) ≤ Rx0 (x2 ).
Ciò conclude la seconda parte della dimostrazione.
C TEOREMI DELL’INTEGRAZIONE ELEMENTARE
C
149
Teoremi dell’integrazione elementare
Proposizione 117 (Linearità dell’integrale definito) Siano f e g integrabile su [a, b],
α, β ∈ R due numeri reali arbitrari, allora la funzione αf + βg è integrabile su I e
Z b
Z b
Z b
(αf + βg) = α
f +β
g.
a
a
a
Dim. Si lascia al volenteroso lettore la semplice prova che la proprietà di linearità vale
per le funzioni a scalino, ovvero che
σ(αu + βw) = ασ(u) + βσ(w),
per ogni coppia di funzioni a scalino u e w a supporto in [a, b].
R
Verrà dimostrato innanzitutto che se f è integrabile allora anche αf è integrabile e αf =
R
α f . Senza perdita di generalità ci si può limitare al caso in cui α > 0. È facile
comprendere che s ∈ S ∗ (f ) se e solo se αs ∈ S ∗ (αf ), e, analogamente, s ∈ S∗ (f ) se
e solo se αs ∈ S∗ (αf ). Tenuto conto di queste equivalenze e del fatto che per una
qualunque funzione a scalino s e ogni reale α, come si è sottolineato inizialmente, deve
essere σ(αs) = σ(s), si deduce che
αΣ∗ (f ) = Σ∗ (αf ) e αΣ∗ (f ) = Σ∗ (αf ).
Pertanto se Σ∗ (f ) e Σ∗ (f ) formano una coppia di classi contigue allora lo formano anche
Σ∗ (αf ) e Σ∗ (αf ) e l’elemento separatore di quest’ultima coppia, cioè l’integrale di αf in
I, soddisferà l’uguaglianza
Z
Z
αf = α
f.
Per dimostrareR la tesi saràR quindi
R sufficiente provare che se f e g sono integrabili lo è
anche f + g e (f + g) = f + g. A tale scopo si prenda un qualunque reale ε > 0, e
si scelgano due funzioni a scalino u∗ ∈ S ∗ (f ) e u∗ ∈ S∗ (f ) tali per cui σ(u∗ ) − σ(u∗ ) < 2ε
e altre due funzioni a scalino w∗ ∈ S ∗ (g) e w∗ ∈ S∗ (g) tali per cui σ(w∗ ) − σ(w∗ ) < 2ε .
Posto s∗ = u∗ + w∗ e s∗ = u∗ + w∗ , si ha
s∗ = u∗ + w∗ ≤ f + g
e f + g ≥ u∗ + w∗ = s∗ ,
dunque s∗ ∈ S ∗ (f + g) e s∗ ∈ S∗ (f + g). Per la linearità dell’integrale sulle funzioni a
scalino, segue la relazione
σ(s∗ ) − σ(s∗ ) = σ(u∗ ) + σ(w∗ ) − σ(u∗ ) + σ(w∗ ) < ε,
da cui si deduce il fatto che S ∗ (f + g) e S∗ (f + g) formano una coppia di classi contigue.
Dato che
Z
σ(u∗ ) ≤ f ≤ σ(u∗ )
C TEOREMI DELL’INTEGRAZIONE ELEMENTARE
e
Z
150
g ≤ σ(w∗ ),
σ(w∗ ) ≤
sommando membro a memebro i termini delle due catene di disequazioni si avrà
Z
Z
σ(s∗ ) ≤ f + g ≤ σ(s∗ ),
da cui si deduce che l’elemento separatore di S ∗ (f + g) e S∗ (f + g), cioè l’integrale di
f + g, soddisfa
Z
Z
Z
(f + g) = f + g,
come volevasi dimostrare.
Proposizione 118 (Monotonicità dell’integrale definito) Siano f e g integrabile su
[a, b], se f ≤ g allora
Z b
Z b
g.
f≤
a
a
Dim. Siano f e g integrabile su I = [a, b]. In virtù del teorema sulla linearità dell’integrale
definito, la funzione h definita ponendo h = f − g risulta integrabile su I. Poiché f ≥ g,
segue h ≥ 0, dunque la funzione reale costantementeR nulla, 0 : x 7→ 0, risulta elemento
b
di S∗ (f ). Ne consegue che 0 = σ(0) ≤ sup Σ∗ (f ) ≤ a h. Pertanto, ricordando ancora il
teorema di linearità summenzionato, segue
Z b
Z b
Z b
(f − g) =
f−
g ≥ 0,
a
a
a
che equivale a
Z
b
b
Z
f≥
a
g,
a
come volevasi dimostrare.
Proposizione 119 Sia f integrabile su [a, b], allora |f | risulta anch’essa integrabile e
sussiste la relazione
Z b Z b
f ≤
|f |.
a
a
Dim. La dimostrazione del fatto che |f | sia integrabile è piuttosto macchinosa e qui, per
semplicità, se ne omettono i dettagli. L’idea generale è la seguente. Date due funzioni
definite in I con g ∨ h e g ∧ h si considerino le funzione definite ponendo
def
g ∨ h(x) = max{g(x), h(x)},
per ogni x ∈ I.
def
e g ∨ h(x) = max{g(x), h(x)},
C TEOREMI DELL’INTEGRAZIONE ELEMENTARE
151
Una proprietà delle operazioni ∨ e ∧ è che se si prendono due qualunque funzioni a
scalino u∗ , w∗ ∈ S ∗ (f ) allora u∗ ∧ w∗ ∈ S ∗ (f ) e, analogamente, se u∗ , w∗ ∈ S∗ (f ) allora
u∗ ∨ w∗ ∈ S ∗ (f ). Con un po’ di calcoli, da queste considerazioni si può dedurre che se f
e g sono due funzioni integrabili allora lo sono anche le funzioni f ∨ g e f ∧ g.
Ora, se f è integrabile lo è anche −f , in virtù del teorema di linearità dell’integrazione
definita, e quindi è integrabile anche la funzione f ∨ −f , che coincide proprio con |f |.
La reazione integrale dell’enunciato è invece diretta conseguenza della disequazione −|f | ≤
f ≤ |f |, da cui, per il teorema di monotonia dell’integrale definito, segue
Z
b
Z
b
|f |,
a
a
a
cioè
Z
f≤
|f | ≤
−
b
Z b Z b
≤
f
|f |,
a
a
come volevasi dimostrare.
Teorema 120 Se una funzione integrabile su un intervallo I viene arbitrariamente ridefinita in uno numero finito di punti del suo dominio, allora rimane integrabile in I, con
integrale immutato.
Dim. Sia f una funzione integrabile su I e f¯ la funzione ottenuta da f ridefinendone i
valori y1 = f (x1 ), . . . , yn = f (xn ) assunti nei punti x1 , . . . , xn con i nuovi valori ȳ1 , . . . , ȳn .
Se s∗ e s∗ sono due funzioni a scalino tali che s∗ ≤ f ≤ s∗ , allora le funzioni definite
ponendo
(
(
f¯( x) x ∈ {x1 , . . . , xn },
f¯( x) x ∈ {x1 , . . . , xn },
,
e s̄∗ (x) =
s̄∗ (x) =
s∗ (x) altrimenti.
s∗ (x) altrimenti.
sono anch’esse a scalino, ed essendo ottenute modificando un numero finito di punti,
dovranno valere la seguente uguaglianze per le loro somme
σ(s̄∗ ) = σ(s∗ ) e σ(s̄∗ ) = σ(s∗ ).
Inoltre, per costruzione, vale la relazione
s̄∗ ≤ f¯ ≤ s̄∗ ,
ne consegue in particolare che
Σ∗ (f ) = Σ∗ (f¯) e Σ∗ (f ) = Σ∗ (f¯).
Poiché le classi delle somme superiori ed inferiori di f¯ coincidono con quelle di f , la tesi
è provata.
C TEOREMI DELL’INTEGRAZIONE ELEMENTARE
152
Teorema 121 Se f è integrabile sull’intervallo chiuso I = [a, b] allora risulta integrabile
in un qualunque sottointervallo chiuso di I. Inoltre, se (c, d) è un qualunque sottointervallo di I (con estremi indifferentemente chiusi od aperti), la funzione χ(c, d) f risulta
integrabile in I e sussiste l’uguaglianza
Z d
Z b
χ(c, d) f =
f.
a
c
Dim. Si dimostrerà innanzitutto che χ(c, d) f è integrabile su [a, b]. Sia ε un arbitrario
reale positivo, per l’integrabilità di f esisteranno due funzioni a scalino σ ∗ e sigma∗ tali
che σ∗ ≤ f ≤ σ ∗ e |µ(σ ∗ ) − µ(σ∗ )| < . Si osservi che le restrizioni di funzioni a scalino
sono ancora funzioni a scalino, pertanto σ̄∗ = χ(c, d) σ∗ , σ̄ ∗ = χ(c, d) σ ∗ risultano funzioni
a scalino con supporto in (c, d) tali che σ̄∗ ≤ χ(c, d) f ≤ σ̄ ∗ , inoltre sussistono le seguenti
disuguaglianze
|µ(σ̄ ∗ ) − µ(σ̄∗ )| ≤ |µ(σ ∗ ) − µ(σ∗ )| < ,
che provano l’integrabilità di χ(c, d) f . La seconda parte della tesi è semplice e viene lasciata
al lettore volenteroso.
Teorema 122 (Addittività dell’integrale definito) Sia f integrabile su [a, b], e sia
c un punto interno all’intervallo. Allora f risulta integrabile sui sottointervalli [a, c] e
[c, b] e vale la seguente relazione
Z
b
Z
Z
a
b
f.
f+
f=
a
c
c
Dim. La funzione f può essere scomposta come segue
f = χ[a,c] f + χ]c,b] f.
Per il teorema 121 le funzioni χ[a,c] f e χ]c,b] f risultano integrabili in I, inoltre, applicando
la linearità dell’integrale definito, si ottiene
Z b
Z b
Z b
f (x) dx =
χ[a,c] (x)f (x) dx +
χ]a,c] (x)f (x) dx,
a
a
a
e infine, sempre per il teorema 121, segue
Z b
Z c
Z b
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx,
a
a
c
come volevasi dimostrare.
Vale un risultato più generale del precedente teorema a cui premettiamo la seguente
definizione.
C TEOREMI DELL’INTEGRAZIONE ELEMENTARE
153
Definizione 49 Dato un intervallo I = [a, b], una qualunque sequenza di intervalli non
vuoti I1 , . . . , In , eventualmente degeneri, a due a due disgiunti e tali che
n
[
Ik = I,
k=1
formano quella che si dice suddivisione dell’intervallo I.
Proposizione 123 Data una una funzione f limitata definita sull’intervallo chiuso I =
[a, b] e una suddivisione di I negli intervalli non degeneri I1 , . . . , In , si ha che f risulta
integrabile in I se e solo se risulta integrabile nella chiusura I¯k di ciascuno degli intervallini
Ik , e inoltre sussiste l’uguaglianza
Z
n Z
X
f.
f=
I
k=1
I¯k
Teorema 124 Se f è una funzione continua su un intervallo chiuso I eccetto un insieme
finito di punti in cui ammette discontinuità di tipo salto, cioè nei quali esistono finiti i
limiti destro e sinistro, allora f risulta integrabile su I.
Dim. La tesi può essere derivata dal teorema 123, ma qui se ne vuole fornire una dimostrazione diretta nel caso di un unico punto di discontinuità. La generalizzazione a un
numero finito di discontinuità è del tutto ovvia. Innanzitutto, essendo la discontinuità in c
di tipo salto, è possibile definire su [a, c] e [c, b] due funzioni, qui indicate rispettivamente
con f1 e f2 che coincidono con f nei punti interni dei relativi intervalli di definizione e
siano continue anche negli estremi di tali intervalli. Tali funzioni risultano integrabili,
pertanto, fissato un arbitrario ε > 0, si può trovare due funzioni a scalino u∗ e u∗ con
supporto in [a, c] tali che u∗ ≥ f1 ≥ u∗ e σ(u∗ ) − σ(u∗ ) < ε/2 e due funzioni a scalino
w∗ e w∗ con supporto in [c, b] tali che w∗ ≥ f2 ≥ w∗ e σ(w∗ ) − σ(w∗ ) < ε/2. Si consideri
quindi le funzioni a scalino s∗ e s∗ ottenute ponendo s∗ = u∗ + w∗ e s∗ = u∗ + w∗ ; eventualmente ridefinendole nel solo punto c di modo che s∗ (c) ≥ f (c) e s∗ (c) ≤ f (c), si avrà
che s∗ ≥ f ≥ s∗ e
σ(s∗ ) − σ(s∗ ) = [σ(u∗ ) + σ(w∗ )] − [σ(u∗ ) − σ(w∗ )] = [σ(u∗ ) − σ(u∗ )] + [σ(w∗ ) − σ(w∗ )] < ε.
ciò prova che Σ∗ (f ) e Σ∗ (f ) sono classi contigue il cui unico elemento separatore è
l’integrale di f esteso ad [a, b] e si ha inoltre
Z b
Z c
Z b
f=
f1 +
f2 ,
a
a
c
che, in virtù della proposizione 121, può scriversi anche
Z b
Z c
Z b
f=
f+
f.
a
a
c
D FORMULARIO
D
D.1
155
Formulario
Proprietà di esponenziali e logaritmi
Per ogni coppia di basi a, b > 0, e di esponenti x, y ∈ R valgono le seguenti proprietà
1.
a0 = 1,
2.
ax ay = ax+y ,
3.
(ax )y = axy ,
4.
ax bx = (ab)x ,
5.
a−x = 1/ax = (1/a)x ,
6.
(a/b)x = ax /bx .
+
Per ogni coppia di basi a, b ∈ R+
0 r {1}, e di argomenti x, y ∈ R∗ valgono le seguenti
proprietà
1.
loga 1 = 0,
2.
loga x + loga y = loga xy,
3.
x
loga x − loga y = loga ,
y
4.
k loga x = loga xk
5.
loga x =
D.2
per ogni k ∈ R,
loga x
.
loga b
Formule trigonometriche
Teoremi fondamentali
sen 2 x + cos2 x = 1,
tg x =
senx
,
cos x
ctg x =
cos x
.
senx
Archi associati
Angoli opposti
Angoli supplementari
Angoli antisupplementari
sen(−α) = − senα
cos(−α) = cos α
tg (−α) = − tg α
sen(π − α) = senα
cos(π − α) = − cos α
tg (π − α) = − tg α
sen(α + π) = − sen(α)
cos(α + π) = − cos(α)
tg (α + π) = tg (α)
D FORMULARIO
Formule di addizione e sottrazione
sen(α + β) = senα cos β + senβ cos α
sen(α − β) = senα cos β − senβ cos α
cos(α + β) = cos α cos β − senα senβ
tg (α + β) =
156
cos(α − β) = cos α cos β + senα senβ
tg α + tg β
1 − tg α tg β
tg (α − β) =
tg α − tg β
1 + tg α tg β
Formule di duplicazione e bisezione
2
sen(2α) = 2 senα cos α
sen
cos(2α) = cos2 α − sen 2 α
cos2
tg (2α) =
2 tg α+
1 − tg 2 α
tg
α
2
α
2
α
2
=
1 − cos α
2
=
1 + cos α
2
=
senα
1 − cos α
=
1 + cos α
senα
Formule di prostaferesi
α+β
α−β
cos
2
2
α+β
α−β
senα − senβ = 2 cos
sen
2
2
α+β
α−β
cos α + cos β = 2 cos
cos
2
2
α−β
α+β
sen
cos α − cos β = −2 sen
2
2
senα + senβ = 2 sen
Formule parametriche
α
, per ogni α 6= kπ si ha
Posto t = tg
2
2t
1 − t2
senα =
,
cos
α
=
,
1 + t2
1 + t2
D.3
tg α =
2t
.
1 − t2
Relazioni nei triangoli
Teorema dei seni
γ
a
b
c
=
=
= 2Rc ,
senα
senβ
senγ
ove Rc è il raggio della circonferenza
circoscritta al triangolo.
b
a
α
β
c
D FORMULARIO
157
Teorema delle proiezioni
a = b cos γ + c cos β,
b = a cos γ + c cos α,
c = a cos β + b cos α.
Teorema del coseno
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α,
b2 = a2 + c2 − 2ac cos β,
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ.
Area del triangolo
ab senγ
bc senα
ac senβ
=
=
,
2
2
2
p
A = p(p − a)(p − b)(p − c)
(Formula di Erone),
A = pRI ,
abc
A=
,
4RC
A=
ove p è il semiperimetro e RI e RC sono, rispettivamente, i raggi delle circonferenze
inscritta e circoscritta al triangolo.
D FORMULARIO
D.4
Limiti fondamentali
lim
x→0
senx
=1
x
1 − cos x
=0
x→0
x
lim
lim
x→0
arcsen x
=1
x
x
1
lim 1 +
= e,
x→±∞
x
ln(x + 1)
= 1,
x→0
x
x
a
lim 1 +
= ax ,
x→±∞
x
lim
lim
x→0
tg x
=1
x
1 − cos x
1
=
2
x→0
x
2
lim
lim
x→0
arctg x
=1
x
x1
lim 1 + x
= e,
x→0
ex − 1
= 1,
x→0
x
lim
ax − 1
= ln a,
x→0
x
lim
x→0
ln x
= 0 (c > 0),
x→+∞ xc
ex
= +∞ (∀c),
x→+∞ xc
x→−∞
lim xc ln x = 0 (c > 0),
lim
lim
lim xc ex = 0 (∀c).
158
D FORMULARIO
D.5
159
Calcolo differenziale
Derivate elementari
Regole di derivazione
Dk = 0,
Dkf (x) = kDf (x)
Dxa = axa−1 ,
D[f (x) + g(x)] = f 0 (x) + g 0 (x),
D senx = cos x,
D[f (x)g(x)] = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x),
D cos x = − senx,
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
f (x)
=
,
D
g(x)
g 2 (x)
D tg x =
1
= 1 + tg 2 x,
cos2 x
D ctg x = −
D loga x =
1
= −1 − ctg 2 x,
2
sen x
1
,
x ln a
D arcsen x = √
1
,
1 − x2
D arccos x = − √
1
,
1 − x2
1
,
1 + x2
D arcctg x = −
D[f n (x)] = f 0 (x)f n−1 (x),
D ln |f (x)| =
f 0 (x)
,
f (x)
Def (x) = f 0 (x)ef (x) ,
Dax = ax ln a,
D arctg x =
D[f (g(x))] = f 0 (g(x))g 0 (x),
1
,
1 + x2
D FORMULARIO
D.6
160
Calcolo integrale
Integrali elementari
Z
xc+1
+k
x dx =
c+1
c
Z
(c 6= −1),
Z
Z
senx dx = − cos x + k,
Z
1
dx = tg x + k,
cos2 x
Z
cos x dx = senx + k,
Z
x
x
ctg x dx = ln | senx| + k,
Z
e dx = e + k,
Z
1
dx = − ctg x + k,
sen 2 x
Z
tg x dx = − ln | cos x| + k,
Z
1
dx = ln |x| + k,
x
1
√
dx = arcsen x + k,
1 − x2
Z √
√
1
x
2
a2 − x2 dx =
a arcsen
+ x a2 − x2 + k,
2
|a|
Z
1
1
x
√
dx = arctg + k,
2
2
a
a
a +x
Z
x 1
dx
=
ln
tg
+ k,
sen 2 x
2
Z
1
sen 2 x dx = (x − senx cos x) + k,
2
Z
Z
Z
ax dx =
√
a2
ax
+ k,
ln a
x
1
dx = arcsen
+k
2
|a|
−x
√
1
dx = arctg x + k,
1 + x2
√
√
1
dx = ln |x + x2 ± a2 | + k
x 2 ± a2
Z
x π 1
dx
=
ln
+
tg
+k
cos2 x
2 4
Z
1
cos2 x dx = (x + senx cos x) + k.
2
D FORMULARIO
161
Regole d’integrazione
Z
Z
kf (x) dx = k
f (x) dx,
Z
Z
(f (x) + g(x)) dx =
Z
f α (x)f 0 (x) dx =
Z
f (x) dx +
f α+1 (x)
+k
α+1
Z
f 0 (x)
dx = ln |f (x)| + k,
f (x)
Z
ef (x) f 0 (x) dx = ef (x) + k,
Z
con α 6= −1,
Z
u(x) dv(x) = u(x)v(x) −
Z
g(x) dx,
v(x) du(x),
f (u(x))u0 (x) dx = F (u(x)) + k
ove
R
f (x) dx = F (x) + k