Cap. 4. PROCESSI CONTINUI GAUSSIANI
4.1. PROCESSI CONTINUI GAUSSIANI: IL RUMORE
Una categoria molto interessante è quella dei processi continui gaussiani, che gode
della importante proprietà di consentire la piena conoscenza statistica solo in base a
quella della funzione di densità di probabilità del secondo ordine. In particolare nel caso
di stazionarietà, che in seguito di quanto sopra menzionato è sempre in senso stretto, la
funzione di densità di probabilità del primo ordine di un processo continuo gaussiano
reale ha la espressione, indipendente dal tempo:
1
[4.1] pg(x) =ˆ
e
! 2"
(x- #) 2
2! 2
,
dove ! è il valore medio statistico, "2=R(0)-!2 è la varianza e R(#) è la funzione di
autocorrelazione del processo; la densità di probabilità del secondo ordine è anch’essa
una funzione esponenziale analoga alla [4.1], che risulta completamente determinata
quando si conosca R(#). Nel caso, assai frequente, di processo continuo gaussiano
stazionario a valore medio nullo (!=0) è dunque sufficiente la sola conoscenza della
funzione di autocorrelazione, oppure della densità spettrale di potenza (vedi [1.27]).
La somma di processi gaussiani indipendenti è ancora un processo gaussiano, con
valore medio somma dei valori medi e varianza somma delle varianze. Si può inoltre
dimostrare (teorema del limite centrale) che la somma di un numero n di segnali
aleatori appartenenti a processi arbitrari, ma indipendenti, tende di norma ad
approssimare un processo gaussiano al tendere di n all'infinito. Risulta allora ben
comprensibile la frequente caratterizzazione di un processo stocastico come gaussiano:
un tipico esempio nel campo delle telecomunicazioni è quello della schematizzazione
dell'insieme di numerosissimi segnali indesiderati aleatori additivi, non associabili al
segnale utile e dovuti a una miriade di cause indipendenti, tramite un processo continuo
gaussiano reale che viene denominato rumore gaussiano (GN=Gaussian Noise). Nel
seguito della sezione si fa particolare riferimento a quest’ultimo, ma si rammenti che
quanto ricavato è applicabile a qualsiasi processo dello stesso tipo, sia indesiderato che
utile.
Nelle telecomunicazioni un processo stazionario rappresentativo di un rumore gaussiano
e assunto a valore medio nullo, viene di norma caratterizzato tramite la sua densità
spettrale di potenza, N(f). Assegnata tale funzione, sono immediatamente calcolabili la
funzione di autocorrelazione:
[4.2] Rnn(#) = F-1{N(f)} ,
e la potenza Pn, che per l’annullarsi del valore medio risulta pari alla varianza ! 2n del
processo; servendosi della [1.30] si ha:
[4.3] Pn= ! 2n = ! N (f)df .
29
Si noti che in linea di massima tanto più è esteso l'intervallo di frequenza entro cui N(f)
è diverso da zero, tanto maggiore risulta la potenza, o varianza, del rumore.
Sovente si considera il caso in cui si ha N(f)=N0, ossia la densità spettrale di potenza è
invariante con la frequenza, e si adotta la denominazione di rumore gaussiano bianco
(WGN=White Gaussian Noise); altrimenti il rumore si dice genericamente colorato.
Dalla [4.2] con N(f) costante risulta la funzione di autocorrelazione del rumore
gaussiano bianco:
1
[4.4] Rnn0(#) = N0$(#) = N0$(#) ,
2
dove con
[4.5] N0= 2 N0
si usa indicare la potenza del rumore gaussiano bianco per unità di banda, ricavabile
dalla [4.3] con l’integrale limitato da -1 Hz a 1 Hz.
Si noti dalla [4.3] che se la densità spettrale del rumore fosse rigorosamente costante su
tutto l’asse delle frequenze, si avrebbe l’assurdo fisico di una potenza infinita; nella
pratica la qualifica di rumore bianco viene in effetti adoperata intendendo che la
uniformità della densità spettrale si verifichi solo entro una banda limitata, ma di
estensione tale da comprendere largamente quella occupata realmente dallo spettro utile
a cui di norma si aggiunge quello del rumore. Con riferimento a un processo continuo
gaussiano utile, l’attributo bianco comporta invece che la densità spettrale di potenza sia
costante nella sua banda limitata e nulla altrove (vedi par. 3.2).
Con riferimento al dominio del tempo, una generica realizzazione n(t) del rumore è un
segnale simmetrico teoricamente non limitato (vedi [4.1]); in pratica, è tuttavia possibile
definire un valore di picco del rumore, np, come quel valore che ha una assai piccola
probabilità, Pp, di essere superato dal valore assoluto di n(t):
[4.6] Pp =ˆ 2
"
!
np
pg (n)dn .
Servendosi della [4.1], la espressione precedente può essere ricondotta alla forma:
" n %
[4.7] Pp= erfc(x) = erfc $ p ' ,
# 2! n &
dove si è fatto ricorso alla funzione complementare di errore:
2 " -y2
[4.8] erfc(x) =ˆ
# e dy ,
! x
e si è posto:
[4.9] np= x 2 "n .
30
Se allora si assume ad esempio Pp=10-5, risultando dalla [4.7] x=3,12, dalla [4.9] si
calcola np=4,46"n, da cui si ottiene il fattore di picco a 10-5 del rumore gaussiano:
np
[4.10] Fpn=
= 4,46 , ossia Fpn(dB) = 20 log Fpn= 13 dB .
!n
4.2 RUMORE GAUSSIANO STAZIONARIO NON IN BANDA BASE
Si abbia un rumore gaussiano stazionario, N(t), con densità spettrale di potenza, N(f),
diversa da zero solo per 0<fm<|f|<fM (spesso fm è apprezzabilmente maggiore di zero e il
processo è del tipo in banda traslata). Scelta arbitrariamente una frequenza fc entro la
banda del processo, si può adottare per la generica realizzazione la rappresentazione
(vedi [2.7]):
[4.11] n(t) = nc(t)cos(%ct) - ns(t)sin(%ct) .
A partire dalla [4.11], si possono ottenere (vedi [2.27]) le seguenti espressioni,
identiche, delle funzioni di autocorrelazione dei processi in banda base, Nc(t) e Ns(t),
che hanno le realizzazioni nc(t) e ns(t):
[4.12] Rncc(#) = Rnss(#) = Rnn(#)cos(%ct)+ R n̂n (#) sin(%ct) ,
dove Rnn(#) e Rn̂n (#) sono rispettivamente la funzione di autocorrelazione del rumore e
la funzione di intercorrelazione tra il processo che si ottiene dalla trasformazione di
Hilbert del rumore e il rumore stesso. I processi Nc(t) e Ns(t) risultano gaussiani
stazionari; ponendo #=0 nella [4.12] si ricavano poi le seguenti relazioni tra le potenze:
[4.13] ! 2nc = ! 2n s = ! 2n ;
si noti che, al contrario di quanto l’intuito potrebbe suggerire, la potenza del rumore non
in banda base non si divide sui processi in banda base, ma si ritrova identica su ciascuno
di essi. La giustificazione deriva, al solito, dal particolare legame tra il segnale e il suo
inviluppo complesso rappresentativo.
Le identiche densità spettrali di potenza dei processi di rumore in banda base hanno la
forma (vedi [2.30]):
[4.14] Nc(f)=Ns(f)=N+(f+fc)+N-(f-fc).
Si noti che l’andamento di tali funzioni dipende non solo da quello di N(f), ma anche
dalla scelta di fc, come mostrato in figura 4.1; tra l’altro, se fc coincide con uno degli
estremi della banda i rumori in banda base hanno la massima estensione, da –B a B
(vedi fig. .1.b,c), mentre la estensione è minima, da -B/2 a B/2, nel caso in cui fc sia
scelto al centro della banda (vedi fig. 4.1.d).
31
N (f)
a)
-f
M
-f
0
m
f
N (f)= N (f)
c
b)
-B
0
B
N (f)= N (f)
f =f
c
s
f =f
c
N (f)= N (f)
c
-B/2 0
f
f
m
0
d)
M
s
c
c)
f
m
M
f
s
B/2
f =f
c
a
f
Fig. 4.1 - Densità spettrale di potenza di un rumore gaussiano non in banda base (a) e
dei relativi processi in banda base, con fc agli estremi di banda (b,c) e al centro (d).
Un caso particolare, ma assai frequente, è quello in cui il rumore gaussiano è bianco,
con densità spettrale di potenza costante in banda, N0, e nulla altrove. Se si sceglie fc al
centro della banda, la [4.14] diviene:
[4.15] Nc(f) = Ns(f) = 2N0rect(f/B) = N0 rect(f/B) ;
la relazione [4.13] tra le potenze dei processi assume inoltre la forma particolare:
[4.16] ! 2nc = ! 2n s = 2 N0B = N0B .
Poiché risulta soddisfatta la condizione di simmetria del semispettro N+(f) rispetto a fc
(vedi [2.34]), i due rumori in banda base risultano incoerenti e, in quanto gaussiani,
statisticamente indipendenti.
4.3. RUMORE GAUSSIANO BIANCO NELLO SPAZIO DEI SEGNALI
Si consideri un processo stazionario fisico, X(t), le cui realizzazioni reali, x(t), possano
essere ritenute simultaneamente limitate in durata T e in banda B.
Adottando per la generica realizzazione del processo una rappresentazione tramite una
base, con buona approssimazione si ha lo sviluppo:
N
[4.17] x(t) = " x k ! k (t) ,
k=1
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tramite il quale le realizzazioni del processo continuo X(t) vengono poste in
corrispondenza con quelle del processo stazionario discreto, X(n), costituito da una
sequenza numerabile di N&2BT v.a. Xk. Nello spazio dei segnali individuato
dall'insieme dei versori {'
' k} associati all’insieme {'k(t)} di N funzioni ortonormali,
ciascuna realizzazione x(t) del processo è dunque rappresentabile con un vettore x
avente per coordinate i particolari valori x1, x2, .., xN estratti per le variabili Xk. Inoltre,
risulta possibile una scelta delle 'k(t) che conduce a uno sviluppo del tipo [4.17] in cui
le v.a. sono incorrelate (sviluppo di Karhunen-Loeve).
Nel caso della realizzazione di un rumore gaussiano bianco, N(t), a valor medio nullo e
con potenza per unità di banda, N0, pari al doppio della densità spettrale di potenza, N0,
uniforme su tutto l’asse delle frequenze, limitatamente all’intervallo temporale di
definizione della base {'k(t)} vale la:
[4.18] n(t) = lim
N
" n k ! k (t) ,
N !" k=1
in cui, qualsiasi sia la base {'k(t)}, le v.a. Nk, che hanno determinazioni nk, hanno tutte
(vedi appendice B3) valor medio nullo:
[4.19] E{nk} = 0 ,
e identica varianza:
[4.20] E{ n 2k } = N0 =
1
N0 .
2
Le v.a. considerate, inoltre, sono tutte gaussiane e tra loro statisticamente indipendenti.
Nello spazio dei segnali con dimensione N tendente all’infinito, una realizzazione del
rumore considerato è dunque rappresentabile con un vettore, n, avente componenti nk
ciascuna con funzione di densità di probabilità del primo ordine (vedi [4.1]):
n 2k
1
e No .
[4.21] p(nk) =
!N o
Grazie alla indipendenza statistica, il vettore risultante n ha dunque la funzione di
densità di probabilità di ordine N tendente all’infinito:
2
[4.22] pN !(n) =
(
N
! p(n k ) = ()No)-N/2 e
k=1
-
n
No
.
