Il circuito RC
Misure e Simulazione
Laboratorio di Fisica - Liceo Scientifico G.D. Cassini – Sanremo
8 ottobre 2008
E.Smerieri & L.Faè
Progetto Lauree Scientifiche
6-9 Ottobre - Sanremo
Che cosa verrà fatto in questa esperienza
Misure
1.
2.
3.
4.
5.
Rilievo dell’andamento in funzione del tempo della tensione ai
capi del condensatore nella fase di carica e di scarica
Misura della costante di tempo
Misura del tempo di salita
Calcolo dell’energia dissipata
Calcolo dell’energia accumulata
Simulazione
1.
2.
Simulazione della carica e scarica del condensatore
Simulazione della tensione ai capi del condensatore in risposta a
differenti tipologie di segnali elettrici applicati
2
1
MISURE
Un circuito semplice ma …
molto interessante ed istruttivo
Componenti e strumentazione necessari
•
•
•
•
•
Un generatore di tensione continua
Un condensatore di elevato valore (es. 330 μF)
Una resistenza di elevato valore (es. 220 kΩ)
Un cronometro
Un voltmetro
4
2
Le formule della carica e della scarica
Equazione della carica
t
⎛
−
⎜
RC
VC (t ) = E 1 − e
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
Equazione della scarica
VC (t ) = Ee
−
t
RC
τ = RC
Tensione VC(t)
in percentuale di E
Tempo in
multipli di
τ
Carica
Scarica
1
0.6321
0.3679
2
0.8647
0.1353
3
0.9502
0.0498
4
0.9817
0.0183
5
0.9933
0.0067
5
Misure sul diagramma temporale
Determinazione della costante di tempo: τ = RC
t
⎛
−
⎜
RC
VC (t ) = E 1 − e
⎜
⎝
dVC (t )
E
=
dt t =0 RC
Vtangente =
E
t
RC
⎞
⎟
⎟
⎠
Pendenza della tangente alla curva
calcolata nell’origine
Questa retta interseca la curva di
carica del condensatore esattamente
all’istante t = τ
6
3
Fase di CARICA - Misura della costante di tempo
10
9
8
T en sione
7
6
5
4
3
2
1
0
0,0
0,5
Tangente
1,0
VC
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
Te m po
Vin
7
Fase di SCARICA - Misura della costante di tempo
10
9
8
T en sio n e
7
6
5
4
3
2
1
0
0,0
Tangente
0,5
1,0
VC
1,5
VR
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
Te m po
8
4
Misure sul diagramma temporale
Tempo di salita: è l’intervallo di tempo che intercorre tra l’istante t1 e l’istante t2 in
corrispondenza dei quali la tensione ai capi del condensatore ha raggiunto
rispettivamente il 10% ed il 90% del valore di regime E
10
9
0.9 E
8
7
t RiseTime = t 2 − t1
Tensione
6
tr
5
4
t RiseTime ≅ 2.2 RC
3
2
0.1 E
1
0
0,0
VR
0,5
VC
1,0
1,5
Vin
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
Te m po
9
Esecuzione dell’esperienza
•
•
•
Applicare un segnale continuo di 10 V
Misurare la tensione ai capi del condensatore a intervalli di tempo
regolari di 10 secondi con il multimetro EXTEL fornito
La costante di tempo RC elevata deve far avere un tempo di
carica di qualche minuto in modo da poter misurare i tempi a
mano con un semplice cronometro
RC = 220 kΩ ⋅ 330 μF ≅ 73 s
•
•
Graficare l’andamento temporale della tensione ai capi del
condensatore utilizzando un foglio elettronico quale EXCEL
Per segnali impulsivi ripetitivi e di breve durata e valori di R e C
piccoli non è possibile utilizzare il metodo di misura con il
cronometro, ma è indispensabile usare un oscilloscopio
10
5
Andamento temporale misurato
CARICA e SCARICA del CONDENSATORE
10
9
8
7
Tensione [V]
6
5
4
3
2
1
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Te mpo [s]
11
Misura della costante di tempo
MISURA della COSTANTE DI TEMPO
10
9
Costante di tempo teorica con valori nominali = 72 s
8
Costante di tempo misurata = 55 s
Costante
di tempo
7
τ = RC
Tensione [V]
6
5
Tangente nell'origine
4
3
2
1
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Te mpo [s]
12
6
Misura del tempo di salita
MISURA del TEMPO DI SALITA
10
valore = 0,9 E = 7,2 V
9
Te m po di salita con v alori nom inali = 158 s
8
7
Tensione [V]
6
t RiseTim e≅ 2.2 RC
5
Te m po di salita = 120 s
4
3
2
valore = 0,1 E = 0,8 V
1
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Te mpo [s]
13
Osservazioni sui risultati delle misure
• La tensione E di alimentazione è di 10V
• La tensione ai capi del condensatore non arriva al valore di
regime di 10V
• La tensione di regime raggiunta dal condensatore è 8.20 V
• La costante di tempo misurata è di 55 secondi mentre quella
calcolata è di 73 secondi
• Il tempo di salita misurato è di 120 secondi ed è
notevolmente diverso dai 160 secondi previsti dal calcolo
• I valori misurati soddisfano la relazione
t RiseTime ≅ 2.2τ = 2.2 RC
Qual è la causa di queste differenze ?
14
7
Inserimento del voltmetro:
in questi due circuiti il valore misurato
sembra uguale: 5V però……
Circuito a)
Circuito b)
Esiste la resistenza interna dello strumento …….
15
Considerando la resistenza interna del
voltmetro il circuito RC appare essere……
16
8
La massima tensione raggiungibile è…..
La tensione misurata massima è stata
di 8.20 V con il voltmetro EXTEL
WEMR83002
Con un altro voltmetro, modello ISOTECH IDM912, avente resistenza
interna di 10 MΩ la tensione misurata
massima è stata di 9.81 V
Il valore della tensione di regime del condensatore nel circuito RC
dipende dalla resistenza interna del voltmetro
17
Costante di tempo e tempo di salita
• La costante di tempo
– teorica è 73 s
– calcolata tenendo conto della resistenza interna [1MΩ] del voltmetro è 60 s
– misurata è 55 s
• Il tempo di salita
– teorico è 160 s
– calcolato tenendo conto della resistenza interna del voltmetro [1MΩ] è 131 s
– misurato è 120 s
t RiseTime ≅ 2.2τ = 2.2 RC
nel caso ideale
t RiseTime ≅ 2.2 Requvalente C = 2.2 R // Rint C
considerando il voltmetro
18
9
Verso il circuito RC ideale
Per rendere la carica del condensatore indipendente dalla
resistenza interna del voltmetro si può ricorrere a strumenti
molto più precisi ma anche molto più costosi oppure si può
fare una semplice modifica al circuito di misura.
19
Circuito di misura migliorato
20
10
I componenti del circuito modificato
•
LF351: amplificatore operazionale usato come “inseguitore di tensione” serve per
disaccoppiare il circuito RC dal voltmetro e renderlo quindi indipendente dal suo
inserimento; grazie all’ingresso a JFET l’integrato ha una resistenza d’ingresso di 1012 Ω
•
AD580: riferimento di tensione fornisce in uscita una tensione continua costante di valore
nominale 2.500 V indipendente dal valore della tensione di alimentazione
•
DEV: deviatore che serve per effettuare la scelta tra l’operazione di carica o di scarica del
condensatore
•
SW: interruttore che serve per scaricare il condensatore ripristinando la condizione di
condensatore inizialmente scarico
•
Alimentazione duale: serve per alimentare l’integrato LF351 tra +15 V e – 15V
•
Voltmetro: non è più necessario avere uno strumento con elevatissima resistenza
interna in quanto esso risulta disaccoppiato dal circuito RC tramite l’inseguitore
21
Alcuni componenti del circuito
out
in
IN
GND
AD580
riferimento di tensione a 2.5V
Bottom View
GND
LF351
Amplificatore operazionale
Top View
22
11
Alimentazione duale
23
Carica - Circuito modificato - Misure
2,5
2,0
Tensione [V]
1,5
1,0
0,5
0,0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Te mpo [s]
24
12
Costante di tempo
Circuito modificato - Misure
2,5
2,0
Costante
di tempo
1,5
Tensione [V]
Costante di tempo misurata = 78 s
Costante di tempo con valori nominali = 73 s
1,0
Tangente nell'origine
τ = RC
0,5
0,0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Te mpo [s]
25
Tempo di salita
Circuito modificato - Misure
2,5
v alore = 0,9 E = 2,25 V
2,0
Costante di tempo misurata = 78 s
Tensione [V]
1,5
Tempo di salita = 172 s
Costante di tempo con v alori nominali = 73 s
1,0
t RiseTim e≅ 2.2 RC
0,5
v alore = 0,1 E = 0,25 V
0,0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Te mpo [s]
26
13
Circuito modificato
Costante di tempo e tempo di salita
• La costante di tempo
– teorica, con i valori di R e C nominali, è 73 s
– misurata sul grafico dei dati sperimentali è 78 s
• Il tempo di salita
– teorico, con i valori di R e C nominali, è 160 s
– misurato sul grafico dei dati sperimentali è 172 s
27
Energia e Potenza
• È possibile elaborare i dati sperimentali al fine di studiare
l’energia e la potenza in gioco :
– dissipata sulla resistenza
– immagazzinata nel condensatore
– erogata dal generatore
• È possibile confrontare i dati sperimentali con le curve
teoriche dell’energia e della potenza
28
14
Calcolo dell’energia con il foglio di lavoro EXCEL
A partire dalla tabella dei valori misurati del tempo e della
tensione sul condensatore impostare il foglio di lavoro EXCEL
in modo che nell’ordine siano fatti i seguenti calcoli:
• Tensione VR sulla resistenza
• Energia ΔεR dissipata per effetto Joule sulla resistenza nell’intervallo di
tempo Δt = 10s
• Energia totale εR dissipata per effetto Joule sulla resistenza nel tempo
complessivo di carica
• Energia ΔεR erogata dal generatore nell’intervallo di tempo Δt = 10s
• Energia totale εG erogata dal generatore nel tempo complessivo di
carica
• Lavoro ΔεC fatto per caricare il condensatore, nell’intervallo Δt = 10 s,
quando la tensione varia di ΔVC
• Lavoro totale εC fatto per caricare completamente il condensatore
29
Bilancio dell’energia – Dati sperimentali
2,5E-03
Generatore
2,0E-03
Energia [J]
1,5E-03
Resistenza
1,0E-03
Condensatore
5,0E-04
0,0E+00
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Tempo [s]
30
15
Energia alla fine della carica
Con i valori nominali C = 330μF, R = 220 kΩ, E = 2.5V si ha
• Energia complessiva teorica dissipata sulla resistenza
ed immagazzinata nel condensatore
ER (∞) = EC (∞) = 1 CE 2 = 1.03 ⋅10 −3 J
2
• Energia totale fornita dal generatore
EG (∞) = CE 2 = 2.06 ⋅10 −3 J
I valori misurati sono
WR = 1.074 ⋅10 −3 J
WC = 1.01⋅10 −3 J
WG = 2.21⋅10 −3 J
31
Aspetti matematici del bilancio energetico
Energia immagazzinata nel condensatore
⎡
EC (t ) = 1 CE 2 ⎢1 + e
2
⎢⎣
−
2t
RC
− 2e
−
t
RC
⎤
⎥
⎥⎦
+ Energia dissipata nella resistenza
2t ⎤
⎡
−
1
2
RC
⎢
ER (t ) = CE 1 − e ⎥
2
⎢⎣
⎥⎦
=
Energia fornita dal generatore
t ⎤
⎡
−
RC
⎢
EG (t ) = CE 1 − e ⎥
⎢⎣
⎥⎦
2
32
16
Energia - Curve sperimentali e teoriche
2,50E-03
Generatore
2,00E-03
L'andamento teorico è disegnato con la
curva a tratto continuo dello stesso colore
Energia [J]
1,50E-03
Resistenz a
1,00E-03
Condensatore
5,00E-04
0,00E+00
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Te mpo [s]
33
Calcolo della potenza con il foglio di lavoro EXCEL
A partire dalla tabella dei valori misurati impostare il foglio di
lavoro EXCEL in modo che in ognuno degli istanti di tempo
considerati, nell’ordine, siano eseguiti i seguenti calcoli:
•
•
•
•
•
Tensione VR sulla resistenza
Corrente IR
Potenza VR ⋅ IR dissipata per effetto Joule sulla resistenza
Potenza erogata dal generatore E ⋅ IR
Potenza VC ⋅ IR impiegata per caricare il condensatore
34
17
Bilancio della potenza – Dati sperimentali
3,0E-05
2,5E-05
Potenza [W]
2,0E-05
1,5E-05
Generatore
1,0E-05
Resistenz a
5,0E-06
Condensatore
0,0E+00
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Te mpo [s]
35
Aspetti matematici della potenza
Potenza per caricare il condensatore
PR (t ) =
t
t ⎤
−
E 2 − RC ⎡
⎢1 − e RC ⎥
e
R
⎢⎣
⎥⎦
+ Potenza dissipata nella resistenza
2t
PR (t ) =
=
E 2 − RC
e
R
Potenza fornita dal generatore
t
PG (t ) =
E 2 − RC
e
R
36
18
Potenza - Curve sperimentali e teoriche
3,0E-05
2,5E-05
2,0E-05
Potenza [W]
L'andamento teorico è disegnato con la
curva a tratto continuo dello stesso colore
1,5E-05
Generatore
1,0E-05
Resistenz a
5,0E-06
Condensatore
0,0E+00
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Te mpo [s]
37
Potenza ed Energia nel condensatore
Dati sperimentali
0
0
Potenza ed Energia - CONDENSATORE
Energia
0
P=
dL
dt
0
0
Potenza
0
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Te mpo
38
19
SIMULAZIONE
Un esempio molto semplice
Lo studio può essere effettuato in base alle risorse a
disposizione con
– carta, penna, calcolatrice e carta millimetrata
– il calcolatore utilizzando un foglio elettronico quale EXCEL
– un programma specifico di simulazione circuitale quale MicroCap o
PSpice
40
20
Il circuito RC con EXCEL
Vin (t ) = RI R (t ) + VC (t )
I R (t ) = I C (t ) =
Vin (t ) = RC
ΔV (t )
ΔQ(t )
=C C
Δt
Δt
ΔVC (t )
+ VC (t )
Δt
ΔVC (t ) = VC (t + Δt ) − VC (t )
⎡V (t ) − VC (t ) ⎤
VC (t + Δt ) = VC (t ) + ⎢ in
⎥ Δt
RC
⎣
⎦
41
Il tempo discreto nella simulazione
⎛ 2π ⎞
Vin (t ) = Vmax sin⎜ t ⎟
⎝T ⎠
• Δt passo della simulazione
t n = nΔt
• durata della simulazione
• numero dei punti calcolati
⎞
⎛ 2π
Vin (t n ) = Vmax sin⎜ nΔt ⎟
⎠
⎝T
15
15
10
10
5
0
0
5
10
15
Tensione
Tensione
5
0
0
-5
-5
-10
-10
-15
5
10
15
-15
Tempo
Tempo
42
21
Segnali per la simulazione
Vin
E
10 V
Gradino
tempo
Vin
10 V
E
Impulso
tempo
2
43
RC - Risposta al gradino - Tabella
t
VC (t + Δt ) = VC (t ) + [E − VC (t )]
Δt
RC
Vin = costante = E = 10
Δt/RC = 0.1
Il tempo da continuo è diventato discreto
t n = nΔt
VC(t)
VC(t+Δt)
0,00
0,000
1,000
0,10
1,000
1,900
0,20
1,900
2,710
0,30
2,710
3,439
0,40
3,439
4,095
0,50
4,095
4,686
44
22
Circuito RC - Risposta al gradino
12
10
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
Tempo
45
Circuito RC - Risposta all’impulso
10
9
8
7
6
VC
VC
8
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
Tempo
46
23
Circuito RC in regime sinusoidale
Vin (t ) = Vmax sin ωt
RC
dVC (t )
+ VC (t ) = Vmax sin ωt
dt
Risposta Analitica
VC (0) = 0
VC (t ) =
ωRCVmax
1+ ω R C
2
2
−
2
e
t
RC
+
Vmax
1 + ω2 R 2 C 2
sin(ωt + ϕ)
ϕ = − arctan ωRC
47
RC - Risposta numerica
Vin (t ) = Vmax sin ωt
⎛ 2π
⎞
Vin (t n ) = Vmax sin ⎜ nΔt ⎟
⎝T
⎠
Il tempo diventa discreto
⎡V (t ) − VC (t ) ⎤
VC (t + Δt ) = VC (t ) + ⎢ in
⎥ Δt
RC
⎣
⎦
VC (t + Δt ) = VC (t ) +
Vmax sin ωt − VC (t )
Δt
RC
⎡
⎤ Δt
⎞
⎛ 2π
VC (t + Δt ) = VC (t ) + ⎢Vmax sin⎜ nΔt ⎟ − VC (t )⎥
⎠
⎝T
⎣
⎦ RC
48
24
Circuito RC in regime sinusoidale
n
tempo
Vin(t)
V(t)
default
0
0
0,000
0,000
0,000
0,2
1
1,2
9,511
0,000
11,413
delta t = 1,2
periodo = 4
4
RC = 1
1
Ampiezza= 10 valore fisso
parametri non corretti
parametri non corretti
parametri corretti
avanti
2
2,4
-5,877
11,413
-9,335
3
3,6
-5,879
-9,335
-5,188
12,449
4
4,8
9,510
-5,188
5
6
0,003
12,449
-2,487
6
7,2
-9,512
-2,487
-10,917
7
8,4
5,875
-10,917
9,233
8
9,6
5,881
9,233
5,211
9
10,8
-9,509
5,211
-12,453
49
Circuito RC - Segnale sinusoidale
Caso di non corretta scelta dei parametri
15,000
10,000
5,000
Tensione
1.
2.
3.
4.
V(t+dt)
0,000
0
5
10
15
-5,000
-10,000
-15,000
VC
Vin
Tempo
50
25
Circuito RC - Segnale sinusoidale
Caso di non corretta scelta dei parametri
15
10
Tensione
5
0
0
5
10
15
-5
-10
-15
VC
Vin
Tempo
51
Circuito RC - Segnale sinusoidale
Caso di corretta scelta dei parametri
15
Tensione
10
5
0
-5
0
5
10
15
20
25
30
-10
-15
VC
Vin
Tempo
52
26
Semplice formula per la simulazione
df (t )
= g[ f (t ), t ]
dt
Δf (t )
=g
Δt
f (t + Δt ) = f (t ) + g[ f (t ), t ] ⋅ Δt
f n +1 = f n + g[t n , f n ] ⋅ Δt
53
V (t ) = R I (t )
I (t ) = C
ΔV (t )
Δt
V (t ) = L
ΔI (t )
Δt
Equazioni dei dispositivi
Componenti lineari
54
27
Componenti non lineari
⎡ Vd
⎤
η
V
I d = I 0 ⎢e T − 1⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
IC = Id −
VC
R
Vd = Vin − VC
C
V (t )
ΔVC (t )
= Id − C
R
Δt
⎤
⎡ Vin −VC
η
V
I d = I 0 ⎢e T − 1⎥
⎥
⎢
⎦
⎣
55
Componenti non lineari
⎡ Vin −VC
⎤
ΔVC (t ) I 0 ⎢ ηVT
V (t )
e
=
− 1⎥ − C
⎥ RC
C ⎢
Δt
⎣
⎦
ΔVC (t )
= g [VC (t ), t ]
Δt
⎧
⎪I
VC (t + Δt ) = VC (t ) + ⎨ 0
⎪⎩ C
⎫
⎡ Vin −VC
⎤
(
)
V
t
η
V
⎢e T − 1⎥ − C ⎪⎬Δt
⎢
⎥ RC ⎪
⎣
⎦
⎭
56
28
Tensione
Circuito RC con diodo - Segnale sinusoidale
10
8
6
4
2
0
-2 0
-4
-6
-8
-10
2
4
Vin
Vc
6
8
10
12
Tempo
57
Circuito RC con diodo - Segnale sinusoidale
1,0
Tensione
0,5
0,0
0
2
4
6
8
10
12
-0,5
-1,0
Vin
Vc
Tempo
58
29
