Capitolo 4

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Capitolo 4
POLIEDRI REGOLARI
In questo capitolo ci occupiamo dei poliedri regolari, cioè di quei poliedri che
presentano la massima possibile simmetria: in modo analogo a quanto già abbiamo visto per i poligoni e per le tassellazioni, possiamo descriverli come i poliedri
in cui sia i vertici, sia gli spigoli, sia le facce sono indistinguibili rispetto all’azione
del gruppo di simmetria.
Innanzitutto ci soffermiamo su alcune possibili diverse definizioni di poliedro
regolare. Dimostriamo in seguito che i poliedri regolari sono solo un numero
finito (cinque, a meno di similitudine): si tratta di un risultato profondo, e per
certi versi sorprendente se si fa un parallelo con la situazione dei poligoni regolari. Daremo tre diverse dimostrazioni di questo fatto, una delle quali, usando
solo la caratteristica di Eulero, dimostra il risultato ancora più forte e ancora più
sorprendente che, anche indebolendo la nozione di regolarità fino a togliere tutte
le condizioni di tipo metrico e imporre condizioni solo di tipo combinatorio, si
ottengono sempre solo cinque casi (a meno, questa volta, di isomorfismo combinatorio).
Passeremo poi a discutere approfonditamente ciascuno di questi cinque casi,
dandone una costruzione esplicita, calcolando certe quantità che ci serviranno
poi nei capitoli successivi (in particolare, le misure degli angoli diedri), e mostrando alcune relazioni fra i cinque poliedri.
Infine, studieremo i gruppi di simmetria dei poliedri regolari, e porteremo
avanti questo studio da vari punti di vista distinti: sia dal punto di vista sintetico,
identificando esplicitamente le varie isometrie in ciascuno di questi gruppi, sia
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4. Poliedri regolari
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dal punto di vista analitico, determinando le matrici ortogonali corrispondenti,
sia dal punto di vista algebrico, dimostrando che il gruppo di simmetria del tetraedro regolare è isomorfo al gruppo S4 delle permutazioni su quattro elementi,
il gruppo di simmetria del cubo e dell’ottaedro regolare è isomorfo a S4 × 2 ,
e il gruppo di simmetria del dodecaedro e dell’icosaedro regolare è isomorfo ad
A5 × 2 , dove con A5 indichiamo il sottogruppo di S5 costituito dalle sole permutazioni pari.
Chiude il capitolo una breve appendice sui numeri di Fibonacci e sul rapporto
aureo, che in questo capitolo interviene ripetutamente nello studio di icosaedro e
dodecaedro.
4.1 Definizione. Un poliedro convesso P si dice regolare se:
(1)
(2)
(3)
(4)
tutte le facce sono poligoni regolari;
tutte le facce sono uguali fra loro;
tutte le figure al vertice sono uguali fra loro;
tutte le figure al vertice sono (il bordo di) poligoni regolari.
In realtà le condizioni che abbiamo dato in questa definizione sono ridondanti
e tre qualsiasi di esse sono sufficienti a garantire la quarta, e quindi a definire un
poliedro regolare. Due sole di queste condizioni, però, non sono sufficienti, con
l’unica eccezione della coppia (1), (4), come fra poco dimostreremo (vedi teorema 4.2). In figura 4.1 si possono vedere dei controesempi; tutti i poliedri in figura
non sono regolari; (a) è un prisma a base esagonale, con altezza tale che le figure
al vertice siano triangoli equilateri, quindi verifica le condizioni (3) e (4); (b) è
un dodecaedro rombico, cioè un poliedro in cui tutte le facce sono rombi, uguali
fra loro, e le figure al vertice sono triangoli equilateri o quadrati, quindi verifica
le condizioni (2) e (4); (c) è un tetraedro con gli spigoli di due lunghezze diverse,
due spigoli opposti hanno la stessa lunghezza 1 e gli altri quattro sono uguali
fra loro e lunghi 2 , quindi tutte le facce sono triangoli isosceli di base 1 e lato
obliquo 2 e in ogni vertice arriva uno spigolo lungo 1 e due spigoli lunghi 2 ,
per cui anche tutte le figure al vertice sono uguali fra loro e il poliedro verifica le
condizioni (2) e (3); (d) è un cubottaedro, cioè un poliedro in cui le facce sono
triangoli equilateri e quadrati e le figure al vertice sono rettangoli uguali fra loro,
per cui verifica le condizioni (1) e (3); (e) si ottiene unendo lungo una faccia due
tetraedri regolari uguali fra loro, per cui le facce sono tutte triangoli equilateri
uguali fra loro, e quindi il poliedro verifica le condizioni (1) e (2).
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(a )
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(b )
2
1
2
2
1
2
(c )
(d )
(e )
Figura 4.1.
Sottolineiamo in particolare questo ultimo esempio perché non è così infrequente trovare scritto che un poliedro è regolare se ha le facce tutte uguali fra loro e
tutte regolari. Queste due condizioni non sono sufficienti, e occorre aggiungerne
un’altra, che può essere formulata sulle figure al vertice, ovvero equivalentemente
sugli angoloidi (che è però un concetto più pesante di quello di figura al vertice). Volendo evitare sia angoloidi che figure al vertice, è sufficiente aggiungere la
condizione che tutti i vertici abbiano la stessa valenza (vedi 4.7 (b)).
4.2 Teorema. Sia P un poliedro convesso tale che tutte le facce di P siano regolari
e tutte le figure al vertice siano regolari. Allora P è un poliedro regolare.
Dimostrazione. Tutti gli spigoli di P hanno la stessa lunghezza: infatti tutti gli
spigoli di una faccia hanno la stessa lunghezza, perché le facce sono poligoni regolari, e due facce adiacenti hanno spigoli della stessa lunghezza, perché hanno
uno spigolo in comune. Sia 2
la lunghezza comune a tutti gli spigoli del poliedro; consideriamo una figura al vertice ed un suo lato: questo lato sarà contenuto
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4. Poliedri regolari
in una faccia del poliedro e, se questa faccia è un p-gono regolare, allora il lato
della figura al vertice ha lunghezza 2
cos(π/ p): vedi figura 4.2 (a).
v
π/ p
π/ p
s
v
(a )
(b )
Figura 4.2.
Da questo possiamo ricavare che tutte le facce sono uguali fra loro; infatti, se così non fosse, si troverebbero almeno due facce disuguali (un p-gono regolare e
un p -gono regolare, con p = p ) che hanno in comune un vertice v, e la figura al vertice relativa a v avrebbe un lato di lunghezza 2
cos(π/ p) e un altro di
lunghezza 2
cos(π/ p ), cioè non sarebbe un poligono equilatero. Resta da far
vedere che tutte le figure al vertice sono uguali fra loro: se per assurdo così non
fosse, esisterebbe uno spigolo s del poliedro i cui due vertici v e v hanno figure al
vertice diverse, diciamo un q-gono regolare per v e un q -gono regolare per v ; ma
l’angolo diedro del poliedro P relativo allo spigolo s si può vedere come l’angolo
diedro di uno spigolo nella piramide regolare di vertice v, spigolo e base la figura
al vertice relativa a v: vedi figura 4.2 (b). Quindi q deve essere uguale a q .
In 4.1 abbiamo dato la nozione di regolarità dal punto di vista metrico; dal
punto di vista combinatorio si può dire che una tassellazione topologica della sfera è topologicamente regolare se ogni faccia ha lo stesso numero di spigoli e ogni
vertice ha la stessa valenza. Apparentemente la regolarità metrica sembra una
condizione assai più rigida della sola regolarità topologica: arriveremo però al
sorprendente risultato che il numero dei casi possibili è lo stesso secondo le due
definizioni.
Come per le tassellazioni del piano, possiamo associare ad un poliedro regolare
(o anche ad una tassellazione topologicamente regolare della sfera) una coppia di
interi (≥ 3) p e q, dove p indica il numero dei lati di ogni faccia e q indica la
valenza di ogni vertice. Ad esempio, il cubo è un poliedro regolare di tipo (4, 3).
Come le tassellazioni regolari, anche i poliedri regolari sono “pochi”: diamo tre
dimostrazioni di questo fatto, due delle quali ricalcano le analoghe dimostrazioni
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4. Poliedri regolari
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date per le tassellazioni piane (vedi 2.9), mentre la terza non fa che richiamare
un risultato che abbiamo già dimostrato nel capitolo precedente, usando solo la
relazione di Eulero (vedi 3.8).
4.3 Teorema. I tipi di poliedri regolari convessi sono al più cinque.
Dimostrazione (I). Sia P un poliedro regolare di tipo ( p, q); prendiamo in considerazione gli angoli delle facce che arrivano in un vertice: ogni angolo è l’angolo
di un p-gono regolare, ce ne sono q, e la loro somma deve essere minore di 2π
(perché il poliedro è convesso). Quindi
q( p − 2)π
< 2π
p
da cui, dividendo per 2πq, si ottiene 1/2 − 1/ p < 1/q, ovvero
1
1
1
+ > .
p q
2
(∗)
Le soluzioni intere della (∗), soggette al vincolo p, q ≥ 3, sono cinque: infatti
almeno uno dei due deve essere uguale a 3 (perché 1/4 + 1/4 = 1/2) e l’altro
può assumere solo i valori 3, 4 o 5 (perché 1/3 + 1/6 = 1/2). Quindi i possibili
valori delle coppie ( p, q) sono
(3, 3),
(3, 4),
(3, 5),
(4, 3),
(5, 3)
cioè abbiamo ottenuto la tesi.
Dimostrazione (II). Consideriamo una bandiera (v, s, f ) di P, e il triangolo
ABC che ha per vertici A = v, il punto medio B dello spigolo s e il centro C
della faccia f . Proiettiamo ora questo triangolo sulla sfera circoscritta al poliedro: otteniamo un triangolo sferico, i cui lati sono archi di cerchio massimo sulla
sfera (vedi figura 4.3).
A
π/q
π/2
B
C
B
A
Figura 4.3.
π/ p
C
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4. Poliedri regolari
Gli angoli di questo triangolo sono: π/q in A (perché ci sono q facce uguali che
arrivano in A), π/2 in B e π/ p in C (perché le facce sono p-goni regolari); ma la
somma degli angoli di un triangolo sferico è maggiore di π, quindi
π
π
π
+ + >π
2
p
q
da cui
1
1
1
+ > .
p q
2
Si ritrova quindi la (∗), da cui si conclude come nel caso precedente.
Dimostrazione (III). La disuguaglianza 1/ p + 1/q > 1/2 è già stata dimostrata
in 3.8, a partire dalla formula di Eulero: in quel contesto p rappresentava il numero medio di spigoli per faccia e q la valenza media di un vertice (e quindi non
erano necessariamente numeri interi).
Osserviamo che la seconda dimostrazione contiene in realtà un buco logico,
perché presuppone l’esistenza di una sfera circoscritta al poliedro; questo fatto
(che noi ricaveremo in seguito da una costruzione diretta) andrebbe dimostrato,
usando solo le condizioni della definizione 4.1, se ci si vuole qui appoggiare alla
seconda dimostrazione. Lasciamo questo compito al lettore: a noi interessava qui
semplicemente evidenziare l’analogia con 2.9.
La terza dimostrazione che abbiamo dato richiamando 3.8 è qualitativamente
più fine delle altre due: infatti, dato che essa usa soltanto la relazione di Eulero che, come abbiamo osservato, è di natura topologica, dimostra il risultato ben
più forte che le tassellazioni topologicamente regolari sulla sfera sono solo cinque.
Naturalmente, questa affermazione è vera a meno di equivalenza combinatoria:
un parallelepipedo, ad esempio, rappresenta una tassellazione topologicamente
regolare della sfera, pur non essendo un poliedro regolare; però non dà nulla
di nuovo rispetto ai poliedri regolari perché è combinatoriamente equivalente
al cubo.
Ritornando all’ambito metrico, non è ovvio a priori né che esista, né che sia
unico (naturalmente a meno di similitudine) un poliedro regolare di un assegnato tipo ( p, q). Per quanto riguarda l’esistenza, daremo in 4.4 una effettiva
costruzione, per ciascuno dei cinque casi: la cosa sarà immediata in tre casi e un
po’ più riposta per gli altri due. Per quanto riguarda l’unicità, ricordiamo che
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4. Poliedri regolari
97
nella dimostrazione di 3.8 abbiamo ricavato la disuguaglianza 1/ p + 1/q > 1/2
a partire dall’uguaglianza
1
1 1
1
+ = +
p q
S 2
e da questa possiamo ricavare S in funzione di p e q:
1
2 p + 2q − pq
=
S
2 pq
S=
2 pq
2 p + 2q − pq
da cui, usando p F = 2S = q V , ricaviamo anche V e F in funzione di p e q:
V =
4p
2S
=
q
2 p + 2q − pq
F=
2S
4q
=
.
p
2 p + 2q − pq
A questo punto, il fatto che esista, a meno di similitudine, al più un poliedro regolare di tipo ( p, q) è conseguenza del teorema di Cauchy (3.6): infatti, se P e
P sono due poliedri regolari di tipo ( p, q), possiamo definire un isomorfismo
combinatorio fra di essi e inoltre, a meno di similitudine, possiamo supporre che
abbiano gli spigoli della stessa lunghezza, il che basta a garantire che le facce di P
e di P sono isometriche. Il teorema di Cauchy asserisce allora che P e P sono
isometrici.
La seguente tabella, anticipando l’effettiva esistenza che verrà giustificata in 4.4,
riassume, per ognuno dei cinque casi, i dati su V, S, F ricavabili da p e q (vedi
anche figura 4.4 dove, per ciascuno dei cinque poliedri regolari, viene mostrato
anche uno sviluppo e un diagramma di Schlegel):
p
q
S
F
V
nome
3
3
4
3
5
3
4
3
5
3
6
12
12
30
30
4
8
6
20
12
4
6
8
12
20
tetraedro
ottaedro
cubo
icosaedro
dodecaedro
98
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4. Poliedri regolari
Figura 4.4.
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4. Poliedri regolari
99
4.4 Costruzione dei poliedri regolari: coordinate. Diamo esplicitamente,
nei cinque casi, le coordinate dei vertici in 3 e le equazioni dei piani che contengono le facce: non daremo tutti i dettagli delle verifiche necessarie, lasciando al
lettore la cura di completarle.
Cubo
Gli otto punti di coordinate (±1, ±1, ±1) in 3 sono vertici di un cubo; i sei
piani delle sei facce sono i piani di equazione x = ±1, y = ±1, z = ±1; le figure
al vertice sono triangoli equilateri.
Con questa scelta delle coordinate:
lo spigolo del cubo è lungo 2;
la sfera di centro l’origine e raggio 1√è tangente a tutte le facce del cubo;
la sfera di centro l’origine e raggio 2 è tangente a tutti gli spigoli nel loro
punto medio;
la sfera di centro l’origine e raggio
√
3 contiene tutti i vertici.
Tetraedro
Scegliamo quattro vertici di un cubo in modo tale che due siano vertici di una
diagonale di una faccia del cubo e gli altri due siano vertici sulla faccia opposta
della diagonale non parallela alla precedente (vedi figura 4.5).
( 1 , −1 , 1 )
(1, 1, 1 )
(−1, −1, 1 )
(−1, 1, 1 )
( 1 , −1 , −1 )
(1, 1, −1 )
(−1, 1, −1 )
(−1, −1, −1 )
Figura 4.5.
È facile verificare che in questo modo si ottengono i vertici di un tetraedro regolare: ad esempio tutti gli spigoli sono uguali fra loro perché sono diagonali di una
faccia del cubo, quindi tutte le facce sono triangoli equilateri, ed uguali fra loro;
inoltre le figure al vertice sono triangoli equilateri.
100
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4. Poliedri regolari
Per dare esplicitamente le coordinate dei vertici, basta scegliere, fra gli otto
punti di coordinate (±1, ±1, ±1), i quattro che hanno un numero pari di segni
+, ovvero i quattro che hanno un numero pari di segni −: quindi una delle due
quaterne
(1, 1, 1),
(1, −1, −1),
(−1, 1, −1),
(−1, −1, 1)
oppure
(−1, −1, −1),
(−1, 1, 1),
(1, −1, 1),
(1, 1, −1).
I quattro piani delle quattro facce del tetraedro relativo alla prima quaterna sono
piani ortogonali ai vettori individuati dai punti della seconda quaterna e quindi
di equazione
−x − y − z = 1,
−x + y + z = 1,
Con questa scelta delle coordinate:
x − y + z = 1,
x + y − z = 1.
√
lo spigolo del tetraedro è lungo 2 2;
√
la sfera di centro l’origine e raggio 3/3 è tangente a tutte le facce del te-
traedro;
la sfera di centro l’origine e raggio 1 è tangente a tutti gli spigoli nel loro
punto medio;
√
la sfera di centro l’origine e raggio 3 contiene tutti i vertici.
Ottaedro
I sei punti di coordinate (±1, 0, 0), (0, ±1, 0), (0, 0, ±1) sono vertici di un ottaedro regolare; gli otto piani delle facce sono i piani di equazione
±x ± y ± z = 1.
È immediato verificare che tutti gli spigoli sono uguali, tutte le facce sono triangoli equilateri, uguali fra loro, e tutte le figure al vertice sono quadrati.
I piani delle facce del cubo (rispettivamente, dell’ottaedro) sono ortogonali ai
vettori individuati dai vertici dell’ottaedro (rispettivamente, del cubo).
Con questa scelta delle coordinate:
√
lo spigolo dell’ottaedro è lungo 2;
la sfera di centro l’origine e raggio 1 contiene tutti i vertici dell’ottaedro;
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4. Poliedri regolari
la sfera di centro l’origine e raggio
101
√
2/2 è tangente a tutti gli spigoli nel
loro punto medio;
√
la sfera di centro l’origine e raggio 3/3 è tangente a tutte le facce.
Ci sarà utile nella costruzione dell’icosaedro osservare che i due spigoli non consecutivi che escono da un vertice dell’ottaedro sono fra loro ortogonali.
Icosaedro
Scegliamo un punto su ciascuno dei dodici spigoli dell’ottaedro in modo
√ da dividere lo spigolo in rapporto aureo, cioè nel rapporto 1 : τ , dove τ = ( 5 + 1)/2
è la radice positiva dell’equazione di secondo grado x 2 = x + 1 (vedi appendice
a questo capitolo); per ogni spigolo sono possibili due scelte: scegliamo indifferentemente il primo punto e procediamo poi coerentemente in modo tale che,
su ogni faccia dell’ottaedro, i tre vertici scelti sui tre spigoli siano vertici di un
triangolo equilatero (ciò è possibile perché ogni vertice dell’ottaedro ha valenza
quattro); vedi figure 4.6 e 4.7; in figura 4.7 si fa riferimento ad un diagramma di
Schlegel.
Figura 4.6.
Partendo dall’ottaedro che ha vertici nei sei punti di coordinate
(±(1 + τ ), 0, 0),
(0, ±(1 + τ ), 0),
(0, 0, ±(1 + τ )),
i dodici punti che sono vertici di un icosaedro sono i punti di coordinate
(±τ, ±1, 0),
(±1, 0, ±τ ),
(0, ±τ, ±1).
102
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4. Poliedri regolari
(1 + τ, 0, 0 )
(τ, −1, 0 )
(τ, 1, 0 )
(1, 0, −τ)
(0, 0, −1 − τ)
(0, −τ, −1 )
(−1, 0, −τ )
(0, −1 − τ, 0 )
(−τ, −1, 0 )
(1, 0, τ)
(0, −τ, 1 )
(−1 − τ, 0, 0 )
(0, τ, −1 )
(−τ, 1, 0 )
(−1, 0, τ)
(0, 1 + τ, 0 )
(0, 0, 1 + τ )
(0, τ, 1 )
Figura 4.7.
Per verificare che si tratta effettivamente di un poliedro regolare, si può cominciare a verificare che tutti gli spigoli
√ hanno la stessa lunghezza; infatti lo spigolo
dell’ottaedro scelto ha lunghezza 2(1 + τ ) e gli spigoli dell’icosaedro sono a
priori di due tipi: alcuni (24 = 3 × 8, tre su ogni faccia dell’ottaedro) giacciono
su una faccia dell’ottaedro e sono
√ il terzo
√ lato di un triangolo in cui gli altri due
lati misurano rispettivamente 2 e τ 2 e l’angolo compreso è di π/3; quindi
hanno tutti la stessa lunghezza k, dove
√ √
1
π
k 2 = 2 + 2τ 2 − 2 2 τ 2 cos = 2 + 2 + 2τ − 4τ = 4.
3
2
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103
Quindi k = 2.
Gli altri sei spigoli (ciascuno in corrispondenza di un vertice dell’ottaedro)
hanno tutti la stessa lunghezza b perché sono tutti ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele con lo stesso cateto (vedi figura 4.8); inoltre questo cateto è lungo
√
2 e quindi anche b = 2. Ne segue che le facce sono tutte triangoli equilateri, e
sono uguali fra loro.
π/2
√
2τ
√
2
√
2
√
2τ
2
√
2
√
2
Figura 4.8.
Per concludere che il poliedro è regolare, osserviamo che tutti i vertici hanno
valenza 5: in effetti consideriamo un vertice A dell’icosaedro, che appartiene a
uno spigolo s dell’ottaedro; se v e v sono i vertici di s, sia v il vertice tale che
d(A, v) < d(A, v ); A appartiene a cinque spigoli dell’icosaedro, di cui quattro
sono spigoli delle due facce dell’icosaedro che sono contenute nelle facce f ed f dell’ottaedro adiacenti allo spigolo s, e il quinto è in corrispondenza del vertice v
dell’ottaedro (vedi figura 4.6 e figura 4.7); è poi un conto diretto verificare che i
punti medi di questi cinque spigoli sono vertici di un pentagono regolare.
Delle venti facce dell’icosaedro, otto giacciono sulle facce dell’ottaedro, e quindi i piani corrispondenti hanno equazione
±x ± y ± z = 1 + τ ;
i piani delle altre dodici facce hanno equazione
±τ x ± (τ − 1)z = 1 + τ,
±(τ − 1)y ± τ z = 1 + τ,
±(τ − 1)x ± τ y = 1 + τ.
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4. Poliedri regolari
Con questa scelta delle coordinate:
lo spigolo dell’icosaedro è lungo 2; √
la sfera di centro l’origine e raggio 2 + τ contiene tutti i vertici dell’icosaedro;
la sfera di centro l’origine e raggio τ è tangente a tutti gli spigoli nel loro
punto medio;
√
la sfera di centro l’origine e raggio 3(τ + 1)/3 è tangente a tutte le facce.
Dodecaedro
Invertiamo fra loro i ruoli di vertici e facce rispetto alla situazione che abbiamo
trovato per l’icosaedro: precisamente consideriamo i venti punti di coordinate
(±1, ±1, ±1),
(±τ, 0, ±(τ − 1)),
(0, ±(τ − 1), ±τ ),
(±(τ − 1), ±τ, 0)
fra i quali ci sono gli otto punti (±1, ±1, ±1) che sono vertici di un cubo, e i
dodici piani di equazione
±τ x ± y = 1 + τ,
x ± τ z = 1 + τ,
±τ y ± z = 1 + τ.
Questo corrisponde a considerare la polarità rispetto alla sfera S di centro l’origine e raggio τ , che è definita nel modo seguente: sia P un punto (P = O), e
sia P il punto appartenente alla semiretta O P e tale che d(O, P)d(O, P ) = τ 2 ;
associamo allora a P il piano ortogonale al vettore O P e passante per P . Analogamente, se α è un piano non passante per l’origine, e se H è il piede della perpendicolare da O ad α, associamo ad α il punto P appartenente alla semiretta O H e
tale che d(O, P)d(O, H ) = τ 2 . Analiticamente, questo significa che il punto di
coordinate (a, b, c) è associato al piano di equazione ax + by + cz = τ 2 = τ + 1
(e viceversa).
Controlliamo che su ogni piano si ottenga effettivamente un pentagono regolare: al piano τ x + y = 1 + τ appartengono i cinque vertici A, B, C, D, E di
coordinate
A = (1, 1, 1),
B = (1, 1, −1),
D = (τ, 0, τ − 1),
E = (τ, 0, −τ + 1).
C = (τ − 1, τ, 0),
Calcolando le lunghezze dei dieci segmenti di estremi questi cinque punti si trova:
B E 2 = BC 2 = AC 2 = AD 2 = (τ − 1)2 + 1 + (τ − 2)2
= 2(τ + 1) + 6 − 6τ = 8 − 4τ
D E 2 = (2τ − 2)2 = 4(τ + 1) + 4 − 8τ = 8 − 4τ
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4. Poliedri regolari
105
e, dato che 8 − 4τ = 4(2 − τ ) = 4(τ − 1)2 , ne segue AC = C B = B E = E D =
D A = 2(τ − 1).
Inoltre, AB = 2 e C D 2 = C E 2 = B D 2 = AE 2 = (τ − 1)2 + 1 + τ 2 =
2(τ + 1) + 2 − 2τ = 4 quindi AB = B D = DC = C E = E A = 2 = 2(τ − 1)τ .
Abbiamo così ottenuto che i cinque punti A, C, B, E, D (in questo ordine!)
sono vertici di un pentagono equilatero e con tutte le diagonali uguali fra loro (e
in rapporto τ con il lato): quindi AC B E D è un pentagono regolare.
Si potrebbero allora rifare questi conti altre undici volte, per ciascuno dei piani
delle facce del dodecaedro; ma non ce n’è bisogno: infatti ad esempio, i due piani
di equazione
τy + z = 1 + τ
e
τz + x = 1 + τ
si ottengono dal piano di equazione τ x + y = 1 + τ per permutazione delle coordinate (il che corrisponde ad una rotazione di ±2π/3 intorno alla retta individuata dal vettore (1, 1, 1)). Quindi anche i cinque vertici che stanno su questi piani
si trovano dai precedenti per permutazione delle coordinate:
(1, 1, 1),
(0, τ − 1, τ ),
(−1, 1, 1),
(−τ + 1, τ, 0),
(τ − 1, τ, 0)
(1, −1, 1),
(0, −τ + 1, τ ),
(0, τ − 1, τ )
sul piano τ y + z = 1 + τ , e
(1, 1, 1),
(τ, 0, τ − 1),
sul piano τ z + x = 1 + τ : non c’è allora nessun conto da fare per sapere che sono
(in questo ordine) i vertici di due pentagoni regolari.
Inoltre il piano di equazione
τx − y = 1 + τ
si ottiene dal piano di equazione τ x + y = 1 + τ per riflessione nel piano y = 0,
e quindi contiene i punti che differiscono da A, B, C, D, E per riflessione in questo piano e cioè
(1, −1, 1),
(τ − 1, −τ, 0),
(1, −1, −1),
(τ, 0, −τ + 1),
(τ, 0, τ − 1) :
di nuovo quindi non ci sono conti da fare per verificare che questi sono vertici
di un pentagono regolare, così come i punti ottenuti da questi per permutazione
delle coordinate, e quindi sui piani di equazione
τy − z = 1 + τ
e
τ z − x = 1 + τ.
106
c 88–08–09615–7
4. Poliedri regolari
(1, 1, −1 )
(τ − 1, τ, 0 )
(1, 1, 1 )
(−τ + 1, τ, 0 )
(τ, 0, −τ + 1 )
(0, τ − 1, −τ )
(0, τ − 1, τ)
(τ, 0, τ − 1 )
(−1, 1, 1 )
(0, −τ + 1, τ )
(−1, 1, −1 )
(−τ, 0, τ − 1 )
(−τ, 0, −τ + 1 )
( 1 , −1 , 1 )
(−1, −1, 1 )
(−τ + 1, −τ, 0 )
(τ − 1, −τ, 0 )
(−1, −1, −1 )
(0, −τ + 1, −τ)
( 1 , −1 , −1 )
τx − z
τx + y
τy − z
τy + z
−τ x + y
τz + x
τz − x
τx − y
−τ z − x
−τ y + z
−τ x − y
−τ y − z
Figura 4.9.
Restano sei piani, ma questi si ottengono dai sei già esaminati mediante l’applicazione antipodale (x, y, z) → (−x, −y, −z); e quindi, nuovamente, già sappiamo che ciascuno di questi contiene cinque punti, dei venti assegnati, e che questi
cinque sono vertici di un pentagono regolare: vedi figura 4.9, dove abbiamo rappresentato la situazione su un diagramma di Schlegel del dodecaedro.
Quindi le dodici facce del poliedro che abbiamo ottenuto sono dodici pentagoni regolari, e uguali fra loro; per concludere che si tratta in effetti di un
c 88–08–09615–7
4. Poliedri regolari
107
dodecaedro dobbiamo solo verificare che le figure al vertice sono triangoli equilateri. Possiamo a questo punto ricordare come abbiamo ottenuto questi vertici, e i piani delle facce, a partire dai piani delle facce e dai vertici dell’icosaedro: infatti il punto di coordinate (d, e, f ) appartiene al piano di equazione
ax + by + cz = 1 + τ se e solo se il punto di coordinate (a, b, c) appartiene
al piano di equazione d x + ey + f z = 1 + τ ; quindi dal fatto che ogni piano delle facce dell’icosaedro contiene esattamente tre vertici possiamo dedurre che ogni
vertice del dodecaedro appartiene ad esattamente tre facce, e quindi a tre spigoli;
con un conto diretto si può poi verificare che i punti medi di questi tre spigoli
sono vertici di un triangolo equilatero.
Con questa scelta delle coordinate:
lo spigolo del dodecaedro è lungo 2(τ
√ − 1);
la sfera di centro l’origine e raggio 3 contiene tutti i vertici del dodecae-
dro;
la sfera di centro l’origine e raggio τ è tangente a tutti gli spigoli nel loro
punto medio;
√
la sfera di centro l’origine e raggio (4τ + 3)/5 è tangente a tutte le facce.
4.5 Relazioni fra i poliedri regolari. In 4.4, nella costruzione del tetraedro,
abbiamo messo in evidenza il fatto che c’è un tetraedro dentro un cubo (intendendo con questo che i vertici del tetraedro sono un sottoinsieme dei vertici del
cubo); anzi, in realtà possiamo trovare due distinti tetraedri dentro un cubo: vedi figura 4.5. Abbiamo anche visto che fra i venti vertici del dodecaedro sono
compresi gli otto punti di coordinate (±1, ±1, ±1), quindi esiste un cubo dentro il dodecaedro; in realtà esistono cinque diversi cubi dentro il dodecaedro, e lo
spigolo di ognuno di questi cubi risulta essere una diagonale della faccia del dodecaedro, sicché su ogni faccia del dodecaedro arrivano cinque spigoli, uno per
ognuno dei cinque cubi (e formano su questa faccia la stella a cinque punte costituita dalle diagonali del pentagono regolare) e in ogni vertice del dodecaedro
arrivano due cubi: vedi figura 4.10. Ci sono quindi anche dieci tetraedri dentro
un dodecaedro.
In 4.4 abbiamo anche visto che esiste un ottaedro intorno all’icosaedro, intendendo con questa terminologia che i piani delle facce dell’ottaedro costituiscono
un sottoinsieme dei piani delle facce dell’icosaedro. In realtà esistono cinque distinti ottaedri intorno all’icosaedro (vedi figure 4.11 e 4.6) e allo stesso modo
esistono due distinti tetraedri intorno all’ottaedro (vedi figura 4.12): ci saranno
quindi anche dieci tetraedri intorno ad un icosaedro.
108
c 88–08–09615–7
4. Poliedri regolari
Figura 4.10.
Figura 4.11.
c 88–08–09615–7
4. Poliedri regolari
109
Figura 4.12.
I modelli che illustrano queste relazioni fra i poliedri regolari sono un po’ complicati da costruire, ma sono molto suggestivi (e molto più significativi di una
figura).
Un’altra relazione fra i poliedri regolari che emerge dalle costruzioni che abbiamo dato in 4.4 è la dualità: i centri delle facce di un cubo sono vertici di un
ottaedro (e viceversa i centri delle facce di un ottaedro sono vertici di un cubo);
analogamente i centri delle facce di un icosaedro sono vertici di un dodecaedro
(e viceversa i centri delle facce di un dodecaedro sono vertici di un icosaedro);
per quel che riguarda il tetraedro, i centri delle sue facce sono vertici di un altro
tetraedro: vedi figura 4.13.
Formalizzare questa sorta di dualità è delicato; dal punto di vista combinatorio,
la situazione è semplice e si può definire la dualità fra due poliedri P e P (anzi,
fra due tassellazioni topologiche della sfera) in modo analogo a come abbiamo
definito un isomorfismo combinatorio. Diciamo cioè che una dualità combinatoria fra P e P è una corrispondenza biunivoca T tra gli insiemi A e A di vertici,
spigoli e facce dei due poliedri tale che
x < y in A
⇐⇒
T (y) < T (x) in A
e diciamo che P e P sono combinatoriamente duali se esiste una dualità combinatoria fra di essi.
Anziché richiedere che T rispetti le relazioni di incidenza, quindi, richiediamo
ora che le inverta: in particolare, il numero dei vertici di P è uguale al numero
delle facce di P , gli spigoli di P e di P sono in ugual numero, e il numero delle
facce di P è uguale al numero dei vertici di P .
110
c 88–08–09615–7
4. Poliedri regolari
Figura 4.13.
c 88–08–09615–7
4. Poliedri regolari
111
Se restiamo nell’ambito delle tassellazioni topologiche della sfera, e non ci preoccupiamo del fatto che queste rappresentino effettivi poliedri, un modo semplice
per costruire il duale di una data tassellazione P è il seguente (analogo a quello descritto in 2.15 per le tassellazioni del piano): fissiamo un vertice nella parte
interna di ogni faccia di P e uniamo due di questi vertici con uno spigolo se e
solo se le corrispondenti facce sono adiacenti; scegliendo opportunamente questi
spigoli (in particolare, occorrerà che non si intersechino fra di loro) otteniamo
una tassellazione topologica P della sfera, che è duale di P.
Dal punto di vista metrico, se P e P sono due poliedri combinatoriamente
duali, diciamo che sono reciproci rispetto ad una sfera S se, per ogni vertice v di
P, la polarità rispetto a S (vedi costruzione del dodecaedro in 4.4) manda v nel
piano che contiene la faccia T (v) di P (e viceversa).
La relazione di dualità (e/o di reciprocità) fra poliedri è delicata e non è raro
che affermazioni che a prima vista paiono ovvie, siano invece ambigue, o mal formulate, o addirittura false. In particolare, una difficoltà è dovuta al fatto che non
c’è in generale un modo canonico, dato P, per caratterizzare univocamente un
particolare poliedro come il duale di P: per una discussione sul tema, vedi [SeF,
capitolo 13].
Noi useremo la dualità o dal punto di vista combinatorio (dove questo problema non sussiste, a meno di equivalenza combinatoria) oppure, dal punto di
vista metrico, solo in contesti molto particolari dove non ci sono ambiguità, e
cioè per poliedri (come i poliedri regolari, o i poliedri uniformi che studieremo
nel prossimo capitolo) per i quali è ben definito un centro O, e quindi, parlando
dei poliedri duali, si intenderanno i reciproci rispetto ad una sfera di centro O.
Nel caso dei poliedri regolari, abbiamo visto per costruzione diretta in 4.4 che
esiste una sfera che contiene tutti i vertici (e che chiameremo sfera circoscritta),
una sfera che è tangente a tutti gli spigoli nel loro punto medio (sfera medioinscritta), una sfera che è tangente a tutte le facce nel loro centro (sfera inscritta) e
che queste tre sfere sono concentriche: il loro centro comune O sarà il centro del
poliedro regolare.
È allora facile, usando ciò che abbiamo già visto in 4.4, verificare che il duale di
un poliedro regolare di tipo ( p, q) è un altro poliedro regolare, di tipo (q, p) ed è
quindi univocamente definito a meno di similitudine; scegliendo diverse sfere di
centro O si otterranno come duali poliedri di tipo (q, p) di dimensioni diverse; in
particolare, il reciproco di P rispetto alla sfera inscritta ha i vertici nei centri delle
facce di P (vedi figura 4.13), il reciproco di P rispetto alla sfera circoscritta ha i
centri delle facce nei vertici di P, il reciproco di P rispetto alla sfera medioinscritta ha gli spigoli ortogonali agli spigoli di P nel loro punto medio (figura 4.14).
112
c 88–08–09615–7
4. Poliedri regolari
(b )
(a )
(c )
Figura 4.14.
Sia P un tetraedro regolare e P il suo reciproco rispetto alla sfera medioinscritta;
l’inviluppo convesso A dei vertici di P e di P è un cubo; l’intersezione B di P
e di P è un ottaedro regolare che ha per vertici i punti medi degli spigoli di P e
di P ; l’unione di P e di P è un poliedro non convesso che viene chiamato stella
octangula (vedi figura 4.12, e anche (a) in figura 4.14) e che è formato dall’ottaedro B e da otto tetraedri regolari appoggiati sulle facce di B, di spigolo la metà
dello spigolo del tetraedro di partenza. Un modello della stella octangula mostra
varie cose: oltre alla dualità, lo stesso modello mostra i due tetraedri intorno a
un ottaedro, e i due tetraedri dentro un cubo; sempre nello stesso modello si può
notare che, come mostreremo tra breve, tetraedro e ottaedro hanno angoli diedri
supplementari.
Rifacendo questa stessa costruzione a partire da un cubo P e un ottaedro P (caso (b) in figura 4.14), si trova come inviluppo convesso A il dodecaedro rombico che abbiamo già incontrato (vedi caso (b) in figura 4.1) come un esempio di
c 88–08–09615–7
4. Poliedri regolari
113
poliedro in cui le facce sono tutte uguali fra loro e le figure al vertice sono tutte
regolari (triangoli equilateri e quadrati); l’intersezione B è invece un cubottaedro,
che pure abbiamo già incontrato (vedi caso (d) in figura 4.1) come un esempio
di poliedro in cui tutte le facce sono poligoni regolari (triangoli equilateri e quadrati) e tutte le figure al vertice sono uguali fra loro (e sono dei rettangoli). Un
modello del dodecaedro rombico è particolarmente suggestivo perché mostra che
il volume di tale poliedro è il doppio del volume del cubo P da cui si parte per la
costruzione: è sufficiente costruire un cubo e le sei piramidi che hanno per base
una faccia di questo cubo e per vertice il centro del cubo: se si costruiscono queste sei piramidi connesse fra loro appoggiandosi su uno sviluppo del cubo (vedi
figura 4.15), ripiegandole in un verso si ottiene il cubo di partenza, mentre ripiegandole nell’altro verso e appoggiandole su un cubo di uguale spigolo si ottiene il
dodecaedro rombico.
Figura 4.15.
Rifacendo poi la stessa costruzione a partire da un icosaedro P e un dodecaedro
P (caso (c) in figura 4.14), si trova come inviluppo convesso A un triacontaedro
rombico, cioè il poliedro a sinistra in figura 4.16 che costituisce un altro esempio
di poliedro in cui le facce sono rombi, tutti uguali fra loro, e le figure al vertice
sono tutte regolari (triangoli equilateri e pentagoni regolari); l’intersezione B è
invece un icosidodecaedro, cioè il poliedro a destra in figura 4.16, le cui facce sono
triangoli equilateri e pentagoni regolari e le cui figure al vertice, tutte uguali fra
loro, sono rettangoli.
114
c 88–08–09615–7
4. Poliedri regolari
Figura 4.16.
4.6 Raggi delle sfere e angoli diedri nei poliedri regolari. In 4.4, avendo esplicitamente le coordinate dei vertici dei poliedri regolari, abbiamo anche
determinato i raggi delle tre sfere inscritta, circoscritta e medioinscritta. Si può
arrivare allo stesso risultato per un’altra via, trattando insieme i cinque possibili
casi: consideriamo una bandiera (v, s, f ) del poliedro regolare P di tipo ( p, q)
e la piramide che ha per vertici A = v, il punto medio B dello spigolo s, il centro C della faccia f e il centro O del poliedro (che è centro delle tre sfere): vedi
figura 4.17.
O
r1
r2
r0
C
f
s
B
A
Figura 4.17.
Gli spigoli di questa piramide rappresentano:
O A = raggio r0 della sfera circoscritta;
O B = raggio r1 della sfera medioinscritta;
c 88–08–09615–7
4. Poliedri regolari
115
OC = raggio r2 della sfera inscritta;
AB = metà dello spigolo del poliedro;
BC = raggio della circonferenza inscritta in una faccia, cioè in un p-gono
regolare;
AC = raggio della circonferenza circoscritta ad una faccia, cioè ad un p-
gono regolare.
Se 2
è la lunghezza dello spigolo del poliedro, si ottiene subito
AB = ,
BC =
π ,
tan
p
AC =
sin
π
p
e con qualche conto si ricava anche (vedi [C1] e [C2]):
r0 =
π
sin
k
q
r1 =
π
cos
k
p
r2 =
π
π
cotan cos
k
p
q
dove k è dato da
k 2 = sin2
π
π
− cos2 .
q
p
Anche l’angolo diedro pq del poliedro regolare P si può ritrovare nella piramide
di vertici O, A, B, C perché è il doppio dell’angolo O BC. Dato che il triangolo
O BC è rettangolo in C, sarà
pq
OC
r2
sin
=
=
=
2
OB
r1
π
π
π
cos
cos
p
q
q
=
π
π
cos
sin
p
p
cotan
e quindi
π
q
= 2 arcsin
π .
sin
p
cos
(∗)
pq
116
c 88–08–09615–7
4. Poliedri regolari
Abbiamo esplicitato questo conto sugli angoli diedri, perché ci tornerà utile nel
capitolo 6; dalla formula esplicita (∗) che abbiamo ricavato, con qualche conto si
ottengono le stime:
π
2π
< 33 <
3
5
π
43 =
2
2π
π
< 34 <
2
3
π
2π
< 53 <
2
3
2π
< 35
3
stime peraltro già chiare, senza dover fare dei conti, a chi abbia costruito qualche
modello.
Ricaviamo anche da (∗) il fatto che tetraedro e ottaedro hanno angoli diedri
supplementari. Infatti
33
34
π
1
3
= 2 arcsin
π = 2 arcsin √3
sin
3
π
√
cos
2
4
= 2 arcsin
π = 2 arcsin √3
sin
3
cos
e gli angoli α = 33 /2 e β = 34 /2 sono tali che sin2 α + sin2 β = 1/3 + 2/3 =
1, quindi sono complementari.
4.7 Esercizi.
(a) Quanti e quali sono i possibili poliedri convessi non regolari che verificano
le condizioni (1) e (2)? (Suggerimento: usare la relazione di Eulero.)
(b) Se un poliedro P ha tutte le facce uguali fra loro e regolari, e se inoltre ogni
vertice ha la stessa valenza, allora P è regolare.
(c) La seguente dimostrazione dell’affermazione fatta in (b) è sbagliata. In cosa
consiste l’errore? Dimostrazione: il fatto che le facce siano regolari e tutte
c 88–08–09615–7
4. Poliedri regolari
117
uguali fra loro garantisce che tutti gli spigoli del poliedro sono uguali fra
loro, e quindi che le figure al vertice sono poligoni equilateri; inoltre questi
poligoni sono inscrittibili in una circonferenza (perché appartengono alla
sfera di centro il vertice e raggio metà dello spigolo del poliedro), e poligoni
equilateri e inscrittibili sono regolari.
(d) Dimostrare che dalle tre condizioni (1), (2), (3) in 4.1 segue la (4) e analogamente che da (2), (3), e (4) segue la (1).
(e) È vero o è falso che un poliedro con tutte le facce uguali fra loro e tutti gli
angoli diedri uguali fra loro è regolare? Se è vero, dimostrarlo; se è falso,
dare un controesempio.
(f) Supponiamo di costruire dei modelli dei cinque poliedri regolari, e di usare
per tutti la stessa misura come lunghezza dello spigolo: i modelli risulteranno sproporzionati (il tetraedro molto piccolo, il dodecaedro molto grande).
Quali rapporti converrà usare per disporre invece di cinque modelli “di analoghe dimensioni”? Questa domanda è naturalmente mal formulata, e i calcoli fatti in 4.6 possono essere utili per precisarla: si possono cioè calcolare i
rapporti fra gli spigoli dei cinque poliedri regolari aventi tutti la stessa sfera
circoscritta, ovvero la stessa sfera medioinscritta, ovvero la stessa sfera inscritta. Quale fra queste tre sfere precisa la domanda nel modo più consono
al problema da cui si è partiti? Di fatto, se si ha effettivamente bisogno di una
stima al fine della costruzione di modelli non troppo sproporzionati, sono
sufficienti delle stime molto più grossolane: si può usare qualcuna delle altre
osservazioni che già abbiamo fatto in 4.5 per dare una risposta approssimata
a questo problema, senza fare particolari calcoli?
(g) I dodici vertici dell’icosaedro sono vertici di tre rettangoli aurei (cioè con i
lati in rapporto 1 : τ ) disposti su tre piani a due a due ortogonali fra loro.
(h) Determinare un piano che interseca un tetraedro secondo un quadrato; un
piano che interseca un cubo secondo un esagono regolare; un piano che interseca un ottaedro secondo un esagono regolare; un piano che interseca un
icosaedro secondo un decagono regolare; un piano che interseca un dodecaedro secondo un decagono regolare.
(i)
Quali tipi di poligoni piani (fra triangoli, quadrilateri, pentagoni ed esagoni)
si possono ritrovare come sezioni di un cubo?
(j)
Nell’ottaedro possiamo colorare le facce a scacchiera, cioè usando due soli
colori e facendo in modo che facce adiacenti abbiano colori diversi; si tratta
118
4. Poliedri regolari
c 88–08–09615–7
dell’unico, fra i poliedri regolari, ad avere questa proprietà. Un’altra proprietà verificata dall’ottaedro (e, fra i poliedri regolari, solo dall’ottaedro) è
il fatto che è possibile orientare gli spigoli dell’ottaedro in modo coerente,
cioè tale che, percorrendo il bordo di una faccia, si vada sempre nello stesso
verso. Dimostrarlo, e mostrare la relazione fra questa proprietà e ciò che
abbiamo usato in 4.4 per costruire l’icosaedro.
Passiamo ora a dare una descrizione delle caratteristiche di simmetria dei poliedri regolari; naturalmente lo strumento principale per questo studio è il gruppo
di simmetria (P) di un poliedro P, che si definisce come nel caso dei poligoni,
cioè (P) = {g ∈ Iso(3 ) : g(P) = P}; anche in questo caso indicheremo con
+ (P) il sottogruppo di (P) che consiste delle sole isometrie dirette che fissano
P; e questo o coincide con (P) oppure è un sottogruppo di indice due in (P).
Prima di analizzare esplicitamente i gruppi di simmetria dei poliedri regolari, osserviamo che, se P è uno dei poliedri regolari e P è il suo reciproco, ogni
isometria che fissi P fissa anche P ; quindi i gruppi di simmetria di P e P coincidono.
4.8 I gruppi di simmetria dei poliedri regolari (punto di vista sintetico). Cominciamo ad analizzare esplicitamente il gruppo di simmetria del cubo,
e vedremo poi quali cambiamenti occorra fare per ottenere i gruppi di simmetria
degli altri poliedri regolari.
Sia P un cubo, G = (P) il suo gruppo di simmetria e H = + (P) il sottogruppo di indice due in G costituito dalle sole isometrie dirette (per essere certi
che H non coincide con G basta osservare che esiste in G almeno una riflessione).
Tutti gli elementi di G fissano il centro O del cubo, e quindi le isometrie dirette
in G non possono che essere rotazioni di asse una retta passante per il centro del
cubo. Ci riferiamo quindi ad H come al gruppo delle rotazioni del cubo.
Sia g una rotazione in H , di asse r , e siano A e B i due punti in cui r interseca il cubo; con un ragionamento che già abbiamo usato in 2.2 a proposito delle
tassellazioni, dal fatto che g(P) = P possiamo dedurre che i punti A e B sono o
due vertici opposti, oppure i punti medi di due spigoli opposti, oppure i centri di
due facce opposte.
Abbiamo quindi solo da esaminare questi casi e ci si accorge facilmente che:
le rette passanti per due vertici opposti sono assi di una rotazione di perio-
do tre che fissa il cubo: ci sono quattro rette di questo tipo, e per ognuna
di esse abbiamo 3 − 1 = 2 rotazioni diverse dall’identità: in totale otto
rotazioni di angoli ±2π/3 (vedi figura 4.18 (a));
c 88–08–09615–7
4. Poliedri regolari
(b )
(a )
119
(c )
Figura 4.18.
le rette passanti per i punti medi di due spigoli opposti sono assi di una
rotazione di periodo due che fissa il cubo: ci sono sei rette di questo tipo,
e per ognuna di esse una sola rotazione diversa dall’identità: in totale sei
rotazioni di angolo π (vedi figura 4.18 (b));
le rette passanti per i centri di due facce opposte sono assi di una rotazione
di periodo quattro che fissa il cubo: ci sono tre rette di questo tipo, e per
ognuna di esse abbiamo tre rotazioni diverse dall’identità: in totale nove
rotazioni di angoli π o ±π/2 (vedi figura 4.18 (c)).
Quindi le rotazioni in H sono 1 + 8 + 6 + 9 = 24.
Passando alle isometrie inverse, sappiamo intanto a priori che dobbiamo trovarne 24; un’isometria inversa può essere o una riflessione oppure la composizione di una riflessione in un piano passante per O con una rotazione di asse
ortogonale a questo piano nel punto O (vedi appendice del capitolo 3).
Per individuare le riflessioni, basta trovare i piani di simmetria del cubo, che
sono nove: tre piani paralleli a due facce opposte (vedi figura 4.19 (a)) e sei piani
contenenti due spigoli opposti (vedi figura 4.19 (b)).
(b )
(a )
Figura 4.19.
Fra le isometrie inverse che non sono riflessioni c’è l’applicazione antipodale, che
si può vedere come composizione di una riflessione in un piano per O (arbitrario)
120
c 88–08–09615–7
4. Poliedri regolari
e di una rotazione di angolo π e asse ortogonale al piano in O. Escludendo questo caso, per le altre l’asse di rotazione dovrà sempre intersecare il cubo o in due
vertici opposti, oppure nei punti medi di due spigoli opposti, oppure nei centri
di due facce opposte.
Possiamo anzi escludere il secondo caso perché l’unica rotazione possibile sarebbe la rotazione di angolo π e ritroveremmo quindi l’applicazione antipodale
che abbiamo già contato. Restano quindi da esaminare due casi:
consideriamo un asse di rotazione che congiunge i centri di due facce opposte; il piano di riflessione è parallelo a queste due facce e le rotazioni
possibili sono quelle di angoli ±π/2 (nuovamente dobbiamo escludere la
rotazione di angolo π perché ci ridarebbe l’applicazione antipodale); abbiamo quindi due possibilità per ognuno dei tre assi, cioè in totale sei isometrie di questo tipo (vedi figura 4.20 (a));
v
v
(a )
(b )
Figura 4.20.
consideriamo un asse di rotazione che congiunge due vertici opposti v e v ;
il piano di riflessione è un piano α (che non è un piano di simmetria del
cubo e) che taglia il cubo secondo un esagono regolare che ha vertici nei
punti medi dei sei spigoli che non sono adiacenti né a v né a v ; le rotazioni
possibili sono quelle di angoli ±π/3: infatti i multipli pari della rotazione di π/3, composti con la riflessione nel piano α, non fissano il cubo,
mentre la composizione di questa riflessione con la rotazione di 3π/3 = π
va esclusa perché ridarebbe l’applicazione antipodale: abbiamo quindi due
possibilità per ognuno dei quattro assi, cioè otto possibili isometrie (vedi
figura 4.20 (b)).
Concludendo, le isometrie inverse che abbiamo trovato sono 9 + 1 + 6 + 8 = 24 e
abbiamo quindi esaurito tutti gli elementi di G. Per l’ottaedro ritroviamo lo stesso gruppo G, con la sola differenza che, ad esempio, gli assi di rotazione di ordine
tre non saranno più gli assi per due vertici opposti, bensì gli assi per i centri di
c 88–08–09615–7
4. Poliedri regolari
121
due facce opposte, e analogamente gli assi di rotazione di ordine quattro sono ora
gli assi per due vertici opposti.
Per dodecaedro e icosaedro abbiamo una situazione del tutto analoga; gli assi
di rotazione per l’icosaedro sono:
le rette passanti per due vertici opposti, che sono assi di una rotazione di
periodo cinque che fissa l’icosaedro: ci sono dodici vertici e quindi sei rette
di questo tipo, e per ognuna di esse abbiamo 5 − 1 = 4 rotazioni diverse
dall’identità: in totale 24 rotazioni di angoli 2kπ/5, con k = 1, 2, 3, 4 (vedi
figura 4.21 (a));
(a )
(b )
(c )
Figura 4.21.
le rette passanti per i punti medi di due spigoli opposti, che sono assi di
una rotazione di periodo due che fissa l’icosaedro: ci sono trenta spigoli,
e quindi quindici rette di questo tipo, e per ognuna di esse una sola rotazione diversa dall’identità: in totale quindici rotazioni di angolo π (vedi
figura 4.21 (b));
le rette passanti per i centri di due facce opposte, che sono assi di una rotazione di periodo tre che fissa l’icosaedro: ci sono dieci rette di questo tipo,
e per ognuna di esse abbiamo due rotazioni diverse dall’identità: in totale
venti rotazioni di angoli ±2π/3 (vedi figura 4.21 (c)).
Abbiamo quindi 20 + 15 + 24 + 1 = 60 rotazioni e lasciamo al lettore il compito
di individuare le 60 isometrie inverse.
La situazione è lievemente diversa nel caso del tetraedro, il cui gruppo di simmetria non contiene l’applicazione antipodale (non esistono vertici opposti, o
facce opposte: esistono però sempre spigoli opposti); i possibili assi di rotazione
sono quindi di soli due tipi: o passano per i punti medi di due spigoli opposti (e
sono assi di rotazioni di periodo due: vedi figura 4.22 (a)) oppure passano per un
122
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4. Poliedri regolari
vertice e il centro della faccia opposta (e sono assi di rotazioni di periodo tre: vedi
figura 4.22 (b)).
(b )
(a )
Figura 4.22.
Ci sono tre assi del primo tipo, ciascuno dei quali contribuisce per una sola rotazione (diversa dall’identità) e quattro assi del secondo tipo, ciascuno dei quali
contribuisce con due rotazioni diverse dall’identità. In totale abbiamo quindi
8 + 3 + 1 = 12 rotazioni.
Le dodici isometrie inverse sono sei riflessioni (nei sei piani individuati da uno
spigolo e dal punto medio dello spigolo opposto: vedi figura 4.23 (a)) e sei composizioni di una rotazione di angolo ±π/2 con la riflessione nel piano ortogonale all’asse di rotazione e passante per il centro del poliedro (vedi figura 4.23 (b)):
qui l’asse di rotazione è la retta per i punti medi di due spigoli opposti, e quindi
ci sono tre assi di questo tipo, ciascuno dei quali contribuisce con due isometrie
inverse.
(b )
(a )
Figura 4.23.
Riassumendo, abbiamo trovato che il gruppo H delle rotazioni contiene 12 elementi nel caso del tetraedro, 24 nel caso di cubo e ottaedro, 60 nel caso di dode-
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4. Poliedri regolari
123
caedro e icosaedro; sempre, quindi, il numero degli elementi di H è il doppio del
numero degli spigoli del poliedro in questione.
Ciò non è certo casuale; infatti possiamo riassumere il procedimento con cui
abbiamo organizzato la determinazione degli assi nel poliedro regolare di tipo
( p, q) nel modo seguente:
V /2 assi di rotazioni di ordine q: ognuno contribuisce con q − 1 rotazioni
(diverse dall’identità);
S/2 assi di rotazioni di ordine due: ognuno contribuisce con una rotazione
(diversa dall’identità);
F/2 assi di rotazioni di ordine p: ognuno contribuisce con p − 1 rotazioni
(diverse dall’identità).
Per il tetraedro non c’è distinzione fra gli assi del primo e del terzo tipo, ma contandoli insieme si ottiene lo stesso risultato. In totale quindi le rotazioni sono
1+
F
V
S
+ ( p − 1) + (q − 1)
2
2
2
e ricordando che p F = 2S = q V , e la relazione di Eulero, questo dà
1+
S
F
V
+S− +S−
= 1 + 2S − 1 = 2S.
2
2
2
4.9 I gruppi di simmetria dei poliedri regolari (punto di vista analitico). Partiamo, come in 4.8, dal gruppo di simmetria del cubo e proponiamoci
di identificare i suoi elementi in modo analitico; fissiamo quindi il cubo P con
vertici nei punti di coordinate (±1, ±1, ±1); ogni isometria di G fissa il centro O
del cubo che è l’origine del sistema di riferimento, quindi tutte le applicazioni di
G sono lineari, e rappresentabili da matrici ortogonali. Indichiamo con e1 , e2 , e3 i
vettori della base canonica di 3 , cioè e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1).
Sia A la matrice corrispondente ad un’applicazione di G; A manda il cubo in
sé e quindi fissa l’insieme dei sei vettori {±e1 , ±e2 , ±e3 } (dato che questi sono i
centri delle facce del cubo). Siccome le colonne della matrice A rappresentano
le immagini dei vettori della base canonica, ciascuna di queste colonne può essere soltanto uno di questi sei vettori; naturalmente questi andranno combinati in
modo tale da formare una matrice con determinante non nullo, il che significa
che ci sono sei possibilità (corrispondenti alle sei possibili permutazioni dell’insieme di tre elementi {e1 , e2 , e3 }), ciascuna delle quali dà luogo ad otto matrici
(una per ogni possibile scelta del segno + o − per ciascuna delle tre colonne).
124
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4. Poliedri regolari
Abbiamo quindi trovato le 48 matrici:




±1
0
0
0
0 ±1
 0 ±1
±1
0
0
0
0
0 ±1
0 ±1
0




±1
0
0
0 ±1
0
 0
±1
0 ±1
0
0
0 ±1
0
0
0 ±1


0 ±1
0
 0
0 ±1
±1
0
0


0
0 ±1
 0 ±1
0
±1
0
0
Per ciascuna di queste matrici, possiamo facilmente distinguere di quale isometria
si tratti studiandone autovalori e autovettori; gli autovalori reali possono essere
solo +1 o −1 e le possibilità saranno quindi le seguenti:
Autovalori
+1, +1, +1
−1, −1, −1
+1, −1, −1
+1, +1, −1
+1 (e due ∈ )
−1 (e due ∈ )
applicazione identica;
applicazione antipodale;
rotazione di π (intorno ad un asse che è l’autospazio
relativo a +1);
riflessione in un piano (che è l’autospazio relativo a
+1);
rotazione di angolo α = π (intorno ad un asse che è
l’autospazio relativo a +1);
composizione di una riflessione in un piano con una rotazione di un angolo α = π intorno ad un asse ortogonale (che è l’autospazio relativo a −1).
Abbiamo ritrovato quindi tutti i casi già visti dal punto di vista sintetico in 4.8.
Per fare un esempio, consideriamo la matrice


0 1 0
−1 0 0
0 0 1
il polinomio caratteristico di questa matrice è (1 − λ)(λ2 + 1); quindi la matrice
ha un autovalore 1 e due autovalori complessi, e si tratta di una rotazione. L’autovettore relativo all’autovalore 1 è il terzo vettore e3 della base canonica: quindi si
tratta di una rotazione il cui asse è ortogonale a due facce parallele del cubo. Lasciamo al lettore la cura di completare questa analisi e di esplicitare quali matrici
corrispondono ai vari casi già trovati dal punto di vista sintetico.
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4. Poliedri regolari
125
Non è difficile individuare anche il gruppo di simmetria del tetraedro regolare: infatti, scegliendo il tetraedro regolare di vertici (1, 1, 1), (1, −1, −1),
(−1, 1, −1), (−1, −1, 1), si tratta di individuare, fra le 48 matrici che rappresentano il gruppo di simmetria del cubo, quelle che fissano questa quaterna; sono
quindi le 24 matrici che contengono fra i loro coefficienti un numero pari di
segni −.
Vediamo ora come si può organizzare il conto per ritrovare le 120 matrici ortogonali che costituiscono il gruppo di simmetria G di dodecaedro e icosaedro,
lasciando al lettore il compito di completare i dettagli; le 60 matrici a determinante −1 si ottengono dalle altre 60 per composizione con l’applicazione antipodale,
cioè cambiando tutti i segni: sarà sufficiente quindi determinare il gruppo G +
comprendente le matrici delle rotazioni. Alcune di queste matrici le abbiamo già,
e sono le dodici matrici che costituiscono il sottogruppo H delle rotazioni del
tetraedro, ossia le quattro matrici








1 0 0
1
0
0
−1 0
0
−1
0 0
0 1 0 , 0 −1
0 ,  0 1
0 ,  0 −1 0
0 0 1
0
0 −1
0 0 −1
0
0 1
e le altre otto che si ottengono da queste permutando le coordinate.
Il fatto che H sia un sottogruppo di G + si può verificare direttamente a partire dalle coordinate che abbiamo dato in 4.4 per i vertici del dodecaedro: infatti
sia le permutazioni cicliche di coordinate sia le applicazioni corrispondenti ad un
cambio di segno mandano in sé l’insieme dei venti vertici.
Si tratta a questo punto di trovare cinque matrici in cinque classi laterali diverse rispetto ad H , e le 60 matrici di G + si otterranno poi per composizione di
queste cinque matrici con le dodici in H . Un candidato naturale per risolvere
questo problema è la matrice A corrispondente ad una rotazione di 2π/5 intorno
all’asse ortogonale a due facce opposte: per determinare A facciamo riferimento
alla figura 4.9, e consideriamo (ad esempio) le facce opposte
τx + y = 1 + τ
e
−τ x − y = 1 + τ ;
si legge dalla figura che A manda il vettore (1, 1, 1) nel vettore (τ − 1, τ, 0), il
vettore (1, 1, −1) nel vettore (τ, 0, −τ + 1), e, ad esempio, il vettore (1, −1, 1)
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4. Poliedri regolari
nel vettore (0, τ − 1, τ ); da questo si ottiene
τ τ −1 1
,
,
,
Ae1 =
2
2
2
τ
τ −1 1
, ,−
,
Ae2 =
2
2
2
1 τ τ −1
Ae3 = − , ,
2 2
2
cioè
Si verifica subito che


τ
τ − 1 −1
1
1
τ .
A = τ − 1
2
1
−τ
τ −1


1
τ
−τ + 1
1
−τ + 1
1 ,
A2 =  τ
2
τ −1
−1
−τ


1
τ
τ −1
1
−τ + 1 −1  ,
A3 =  τ
2
−τ + 1
1
−τ


τ
τ −1
1
1
1
−τ  .
A4 = τ − 1
2
−1
τ
τ −1
Le cinque matrici A, A2 , A3 , A4 e A5 = Id sono in classi laterali distinte rispetto
al sottogruppo H , quindi componendole con le dodici matrici di H (il che non
richiede particolari conti, perché equivale ad operare opportune permutazioni e
cambi di segni) otteniamo le sessanta matrici delle rotazioni in G + ; componendo
ulteriormente con l’applicazione antipodale si trovano le 120 matrici di G.
4.10 I gruppi di simmetria dei poliedri regolari (punto di vista algebrico). Partiamo sempre dal gruppo di simmetria G del cubo: vogliamo dimostrare
che G è isomorfo a S4 × 2 . Indichiamo con H il sottogruppo costituito dalle
sole isometrie dirette in G.
Consideriamo l’insieme X costituito dalle quattro diagonali del cubo e l’applicazione T : H → S4 che associa ad una rotazione in H la permutazione che
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4. Poliedri regolari
127
essa induce sulle diagonali del cubo. T è ovviamente un omomorfismo di gruppi;
inoltre è iniettiva perché se un’isometria g fissa tutte le diagonali, può essere solo
l’identità o l’applicazione antipodale (che non sta in H ); per vedere che T è anche
surgettiva, basta osservare che gli scambi (che generano S4 ) appartengono all’immagine di T ; in effetti, le rotazioni di π intorno agli assi che congiungono i punti
medi di due spigoli opposti scambiano fra loro le due diagonali che si appoggiano
ai quattro estremi di questi due spigoli e fissano le altre due (vedi figura 4.18 (b)).
Quindi H è isomorfo a S4 . Per concludere, basta allora considerare il sottogruppo K = {id, } di G, dove con abbiamo indicato l’applicazione antipodale;
commuta con tutti gli elementi di G, quindi i sottogruppi H e K sono permutabili, e la loro intersezione è costituita dalla sola identità: ciò basta a concludere
che G è isomorfo a H × K ∼
= S4 × 2 .
In modo analogo si può verificare che il gruppo delle rotazioni del tetraedro è
isomorfo al gruppo alterno A4 (cioè al gruppo delle permutazioni pari su quattro
elementi) e il gruppo di simmetria del tetraedro è isomorfo a S4 ; a questo scopo
conviene in questo caso partire dall’intero gruppo G e associare ad ogni isometria
g in G la permutazione che induce sui vertici del tetraedro: si ottiene un omomorfismo di gruppi che è iniettivo perché se g fissa i quattro vertici del tetraedro
allora g è l’identità ed è surgettivo perché le riflessioni nel piano che contiene lo
spigolo s e il punto medio dello spigolo s fissano i due vertici di s e scambiano
fra loro i due vertici di s : vedi figura 4.23 (a).
Il gruppo di simmetria di dodecaedro e icosaedro è invece isomorfo ad
A5 × 2 , dove A5 è il gruppo alterno su cinque elementi; per dimostrare questo,
basta verificare che il gruppo H delle rotazioni del dodecaedro è isomorfo ad A5 , e
si conclude poi esattamente come nel caso del cubo. La comprensione delle argomentazioni che seguono a giustificazione di questo fatto è molto facilitata se si dispone di un modello dei cinque cubi nel dodecaedro (vedi figura 4.10): l’idea è infatti di associare ad una rotazione del dodecaedro la permutazione che essa induce
sui cinque cubi. Disponendo di un modello è facile verificare direttamente che:
se una rotazione induce la permutazione identica, cioè fissa i cinque cubi,
allora la rotazione fissa le diagonali (perché ogni vertice appartiene a due
dei cinque cubi, e ogni coppia di vertici opposti è caratterizzata dal fatto che
i due vertici appartengono agli stessi due cubi) e, di conseguenza, è l’identità: quindi l’omomorfismo T che associa ad ogni rotazione del dodecaedro
la permutazione che questa induce sui cubi è iniettivo;
le rotazioni il cui asse passa per due vertici opposti fissano i due cubi a cui
questi vertici appartengono e permutano ciclicamente gli altri tre;
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4. Poliedri regolari
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le rotazioni il cui asse passa per i centri di due facce opposte permutano
ciclicamente i cinque cubi;
le rotazioni il cui asse passa per i punti medi di due spigoli opposti fissano
un cubo e agiscono sugli altri quattro come il prodotto di due scambi.
L’immagine di T è quindi contenuta in A5 , cioè nel sottogruppo delle permutazioni pari su cinque elementi; non è difficile dimostrare che l’immagine di T
coincide effettivamente con tutto A5 , tenendo conto del fatto che gli elementi di
A5 sono soltanto o cicli di lunghezza cinque oppure cicli di lunghezza tre, oppure
composizioni di due scambi: quindi il gruppo delle rotazioni del dodecaedro è
isomorfo ad A5 .
Il fatto che si ritrovi un fattore ×2 nel gruppo di simmetria del cubo e in
quello del dodecaedro, ma non in quello del tetraedro corrisponde, dal punto di
vista sintetico, al fatto che il gruppo di simmetria del cubo e quello del dodecaedro contengono l’applicazione antipodale, che invece non appartiene al gruppo
di simmetria del tetraedro. Torneremo su questi argomenti nel capitolo 8.
4.11 Esercizi.
(a) Sia (v, s, f ) una bandiera in un cubo P; consideriamo il triangolo ABC,
dove A = v, B è il punto medio di s, C il centro della faccia f (vedi figura 4.3); questo triangolo è un dominio fondamentale per l’azione di (P)
sul cubo P; qual è un dominio fondamentale per l’azione di (P) su 3 ?
E un dominio fondamentale per l’azione di + (P)? Generalizzare agli altri
poliedri regolari (vedi figura 4.24).
(b) Sia G il gruppo di simmetria del cubo: dimostrare che G è generato da tre
riflessioni, precisamente, usando le stesse notazioni dell’esercizio precedente, dalle riflessioni nei tre piani che passano per il centro O del cubo e per
uno dei tre lati del triangolo ABC. Generalizzare agli altri poliedri regolari.
(c) Sia P un cubo e T un tetraedro regolare con vertici in quattro vertici di P;
consideriamo i seguenti gruppi: A = (P), i cui 48 elementi abbiamo elencato in 4.8 e in 4.9; B = + (P), di 24 elementi; C = (T ), di 24 elementi;
D = + (T ), di 12 elementi; E = + (T ) × 2 , di 24 elementi, ottenuto
come prodotto diretto di D con il sottogruppo generato dall’applicazione
antipodale. B, C, D, E sono tutti sottogruppi di A. Identificare i loro elementi, in modo sintetico (come in 4.8) e in modo analitico (come in 4.9).
Determinare dei domini fondamentali per ciascuno di questi gruppi.
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4. Poliedri regolari
129
Figura 4.24.
(d) Sia D un dodecaedro e P un cubo con vertici in otto dei vertici del dodecaedro; il gruppo di simmetria del cubo non può essere un sottogruppo del
gruppo di simmetria del dodecaedro (perché 48 non è un divisore di 120);
quali elementi del gruppo di simmetria del cubo non si estendono a simmetrie del dodecaedro? Il gruppo delle rotazioni del cubo è un sottogruppo
(di indice cinque) nel gruppo di simmetria del dodecaedro? Il gruppo delle
simmetrie del tetraedro è un sottogruppo (di indice cinque) nel gruppo di
simmetria del dodecaedro?
(e) Identificare, fra i 48 elementi del gruppo di simmetria del cubo: il sottogruppo di tutti gli elementi che fissano un dato vertice del cubo, per esempio (1, 1, 1); il sottogruppo di quelli che fissano un dato spigolo del cubo,
per esempio quello contenuto nella retta x = y = 1; il sottogruppo di quelli
che fissano una data faccia del cubo, per esempio quella contenuta nel piano
x = 1. È opportuno cercare di risolvere questo esercizio sia dal punto di
vista sintetico (vedi 4.8) sia dal punto di vista analitico (vedi 4.9).
(f) Identificare, fra i 120 elementi del gruppo di simmetria del dodecaedro: il
sottogruppo di tutti gli elementi che fissano un dato vertice del dodecaedro;
130
4. Poliedri regolari
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il sottogruppo di quelli che fissano un dato spigolo; il sottogruppo di quelli
che fissano una data faccia. Come nel caso precedente, si chiede di risolvere
questo esercizio sia dal punto di vista sintetico (vedi 4.8) sia dal punto di
vista analitico (vedi 4.9).
(g) Se P è un poliedro regolare, il gruppo di simmetria (P) è transitivo sulle
bandiere di P. Dimostrarlo; e dimostrare, viceversa, che se P è un poliedro
che gode di questa proprietà, allora P è regolare; di modo che anche questa
può essere assunta come definizione di poliedro regolare.
(h) Se P è un poliedro regolare, esistono 3 sfere concentriche S, S , S tali che S
contiene tutti i vertici di P (sfera circoscritta), S è tangente a tutte le facce
di P nel loro centro (sfera inscritta) ed S è tangente a tutti gli spigoli di
P nel loro punto medio (sfera medioinscritta). Dimostrarlo; e dimostrare,
viceversa, che se P è un poliedro che gode di questa proprietà, allora P è
regolare; di modo che anche questa può essere assunta come definizione di
poliedro regolare.
(i)
Se P è un poliedro con S spigoli, il numero delle bandiere in P è 4S; dimostrarlo, e ritrovare quindi per questa via il fatto che il gruppo delle rotazioni
di un poliedro regolare ha 2S elementi.
(j)
Abbiamo visto in 4.10 che il gruppo di simmetria del cubo è isomorfo a
S4 × 2 ; d’altra parte, dalla descrizione analitica che abbiamo dato di questo gruppo in 4.9, segue immediatamente che il gruppo è anche isomorfo a
S3 × (2 )3 ; determinare un isomorfismo esplicito tra S4 × 2 e S3 × (2 )3 .