Facciamo presente che i numeri a cui si ricorre quando si procede a delle
approssimazioni sono generalmente numeri a parte decimale limitata, ovvero sono
numeri razionali.
Le proprietà delle operazioni tra numeri reali deriveranno, quindi, dalle analoghe
proprietà delle operazioni nell’insieme dei numeri razionali; per comodità
richiamiamo quelle per noi più interessanti qui di seguito.
PROPRIETÀ delle OPERAZIONI nell’INSIEME R
Siano a, b, c tre numeri reali qualsiasi; valgono allora le seguenti proprietà:
proprietà dell’operazione di addizione:
• a +b=b +a
(prop. commutativa dell’addizione)
• a + (b + c) = (a + b) + c (prop. associativa dell’addizione)
(prop. dell’esistenza dell’elemento neutro per
• ∃ n∈R : a + n = a
l’addizione: il numero n considerato è lo 0)
• ∃ o∈R : a +o = 0
(prop. dell’esistenza dell’elemento inverso per
l’addizione: tale numero si dice opposto e si
indica con –a; questo comporta che in R
l’equazione x + a = 0 ammette sempre soluzione)
proprietà dell’operazione di moltiplicazione:
(prop. commutativa della moltiplicazione)
• a⋅b=b⋅a
• a⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c
(prop. associativa della moltiplicazione)
(prop. dell’esistenza dell’elemento neutro per la
• ∃ u∈R : a ⋅ u = a
moltiplicazione: il numero u considerato è l’1)
• ∃ r∈R : a ⋅ r = 1, per a ≠ 0
(prop. dell’esistenza dell’elemento inverso per la
moltiplicazione: tale numero si dice reciproco e
si indica con a –1 ; questo comporta che in R
l’equazione x ⋅ a = 0 ammette sempre soluzione)
• a ⋅ b = 0 ⇔ (a = 0) ∨ (b = 0)
(legge di annullamento del prodotto)
• a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c
(prop. distributiva della moltiplicazione rispetto
all’addizione)
R è un insieme totalmente ordinato; per la relazione d’ordine valgono le seguenti
proprietà:
• vale 1! delle seguenti relazioni:
a > b opp. a = b opp. a < b
(prop. della tricotomia)
• a>b ⇒ b<a
(prop. antisimmetrica della relazione d’ordine)
• a > b, b > c ⇒ a > c
(prop. transitiva della relazione d’ordine)
• ∀x∈R, a>b⇒ a +x>b+x
(la relazione d’ordine è compatibile con l’addizione)
• ∀ x ∈ R+ , a > b ⇔ a ⋅ x > b⋅ x
• ∀ x ∈ R– , a > b ⇔ a ⋅ x < b⋅ x
• ∃n∈N:
|a| < n
(prop. archimedea)
Le proprietà fin qui elencate valgono anche nell’insieme Q dei numeri razionali; la
fondamentale proprietà che contraddistingue i due insiemi è la seguente:
• l’insieme R dei numeri reali gode della potenza del continuo; infatti, è sempre
possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra R e l’insieme dei punti di una
retta
Una delle conseguenze di questa proprietà è la seguente:
• ∀ a ∈ R+, ∀ n ∈ N, ∃ b ∈ R+ :
bn = a ,
dove b, come già detto in precedenza, prende il nome di radice (aritmetica) nesima di a.
Esercizi
1) La legge che associa ad ogni coppia di numeri la loro media aritmetica è una legge di
composizione interna in N? e in Z? e in Q? Giustifica le risposte.
2) L’insieme {0, 1, 2, 3}è chiuso rispetto all’addizione? E rispetto alla moltiplicazione?
Giustifica le risposte.
3) Considera l’insieme formato dai numeri decimali con due cifre dopo la virgola (N.B.: ad
esso apparterranno anche numeri come 1,00 oppure 1,10 ed i loro opposti):
a) tale insieme è denso o discreto?
b) tale insieme è chiuso rispetto all’operazione di addizione e alla sottrazione?
c) tale insieme è chiuso rispetto all’operazione di moltiplicazione?
4) Scrivere, sia in forma decimale sia sotto forma di frazione, i seguenti numeri:
a) quattro decimi e tre millesimi
d) un milione mille dieci
b) cinquecento e cinque centesimi
e) cento e un millesimo
c) sette e sette decimillesimi
f) trecentotrentatre e trentatre millesimi
m
ridotta ai minimi termini ammette
n
una rappresentazione decimale limitata se, e solo se, gli unici fattori di n sono 2 e 5.
Tenendo presente questa proprietà, rispondi ai seguenti quesiti:
5.1) Riconoscere quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali sono false.
m
La frazione ridotta ai minimi termini ammette una rappresentazione decimale limitata:
n
a) se n non è divisibile per alcun numero primo diverso da 2
b) solo se n non è divisibile per alcun numero primo diverso da 2;
c) se, e solo se, n non è divisibile per alcun numero primo all’infuori di 2;
d) se n non è divisibile per 3;
e) solo se n non è divisibile per 3;
f) se, se solo se, n non è divisibile per 3.
g) se nella fattorizzazione di n non compaiono numeri primi diversi da 2 e da 5;
h) solo se nella fattorizzazione di n non compaiono numeri primi diversi da 2 e da
5;
i) se, e solo se, nella fattorizzazione di n non compaiono numeri primi diversi da 2
e da 5.
5.2) Stabilisci quali delle seguenti frazioni ammettono una rappresentazione decimale
limitata e quali una rappresentazione decimale illimitata periodica, senza eseguire le
divisioni!
3
4
3
4
22
23
7
–
; + ; –
; +
; +
; +
; –
.
100
5
75
75
55
55
1250
5) È possibile dimostrare che una frazione razionale
6) Determina, anche ricorrendo ad un CT, le rappresentazioni decimali delle frazioni
considerate nel precedente esercizio 8.2.
7) Determina la frazione generatrice dei numeri elencati di seguito; ricalcola poi con il
CT, a partire dalla frazione ottenuta, il numero decimale che le corrisponde, controllando
così la correttezza del procedimento adottato per la trasformazione:
––
–
––
–
––
4,5; –14, 51 ; 6,25 ; 0,12; 0,12 ; 0, 12 ;
1,3743 ; –7,22.
8) Qual è la parte intera di ciascuno dei numeri considerati nel precedente esercizio 10?
9) Trasforma i seguenti numeri aventi periodo 9 in modo che la loro rappresentazione
decimale sia limitata:
–
–
–
–
–
–
0,9 ;
3,9 ;
4,39 ;
–12,29 ;
4,789 ;
–12,45879 .
10) Riscrivi i seguenti gruppi di numeri in ordine crescente:
–
a)
3,5 ;
3,15 ;
3,105 ;
3,15 ;
3,20 .
–
b)
–3,5 ;
–3,15 ; –3,105 ;
–3,15 ;
–3,20 .
–
–
c)
7,49 ;
8,15 ;
7,5 ;
7,45 ;
8,3 ;
7,407
–
––
d)
0,01 ;
0,002;
0,0012 ;
0,0012 ;
0,02
11) Supponendo che i numeri elencati siano illimitati e che le cifre decimali si succedano
nell’ordine suggerito
- decidere per ciascuno di essi se si tratta di un numero razionale o irrazionale
- scrivere per ciascun numero le prime sette cifre decimali che seguono quelle già scritte
a) 2,16161616…….
d) 5,412041204120….
b) 2,161161116……
e) 6,16611666111……
c) 4,3222222222……
f) 0,12123123412345……
12) Con un metodo analogo a quello utilizzato in classe per determinare le prime cifre
decimali esatte del numero che elevato al quadrato dà 2, determina:
a) le prime quattro cifre esatte del numero che elevato al quadrato dà 3;
b) le prime quattro cifre esatte del numero che elevato al quadrato dà il tuo numero di
registro aumentato di 150;
c) le prime cinque cifre esatte del numero che elevato al quadrato dà 17,65;
d) le prime tre cifre esatte del numero che elevato al cubo dà 2;
e) le prime quattro cifre esatte del numero che elevato al cubo dà 3.
––
13) Considera il numero numero α = 4,67817 .
a) Che tipo di rappresentazione decimale ha il numero α?
b) Quante cifre decimale esatte conosci del numero α?
c) Qual è la settima cifra decimale esatta di α?
d) Scrivi i numeri che approssimano α:
– per troncamento a meno di un millesimo;
– per troncamento a meno di 10–6;
– per troncamento a meno di 10–9;
– per arrotondamento a meno di un millesimo;
– per arrotondamento a meno di 10–6;
– per arrotondamento a meno di 10–9.
e) Scrivi i numeri che approssimano α:
– per difetto a meno di un centesimo;
– per eccesso a meno di un centesimo;
– per difetto a meno di 10–2;
– per eccesso a meno di 10–2;
– per difetto a meno di 10–8;
– per eccesso a meno di 10–8.
14) Esegui l’esercizio 16 per il numero α che abbia parte intera uguale a 0 e la cui parte
decimale sia ottenuta riportando in sequenza il risultato di dieci lanci consecutivi di un dado.
15) Sapendo che 2 = 1,41421356...., 3 = 1,73205080...., 5 = 2,23606797....., determina il
maggior numero di cifre esatte possibili del risultato delle seguenti operazioni:
––
–
a)
2+ 3;
5 + 8,17 ;
5+ 3;
5 + 3,5 ;
–
––
b)
5– 2 ;
2– 3;
3 – 0,14 ;
5 – 4,42
–
c)
2· 5 ;
3· 2 ;
5· 2 ;
2,3 · 2
d)
2· 5 + 2 ;
2· 5 – 2 ;
3 + 3,1· 2 ;
3 –2· 2 ;
16) L’insieme dei numeri irrazionali risulta chiuso rispetto alle operazioni di addizione, moltiplicazione, sottrazione e divisione?
