Le Derivate delle Funzioni Elementari

Capitolo 4
Le Derivate delle Funzioni
Elementari
In questo Capitolo impareremo a trovare la formula per la funzione derivata
di una funzione elementare, cioè di una funzione costruita con ingredienti
di tipo algebrico, esponenziale, logaritmico e trigonometrico. Impareremo che
anche una funzione apparentemente complicata come
µ
¶
sin (2x)
f (x) = ln
1 + 3x4
è semplice da derivare.
Prima, però, di arrivare a questo, bisogna imparare a derivare le funzioni
più semplici, come quelle che si ottengono usando semplicemente il logaritmo, le
funzioni trigonometriche, le potenze, e così via. Una volta note queste derivate,
impareremo le regole per la derivazione delle funzioni che si ottengono dalla
loro composizione.
Useremo normalmente la notazione f 0 per indicare la funzione derivata di
una funzione f . Questa notazione, oltre ad essere semplice, ci ricorda qual’è la
funzione che stiamo derivando.
Questa non è l’unica notazione possibile. Dipendentemente dal contesto
nel quale lavoriamo, le seguenti notazioni potranno essere a volte usate. Per
illustrarle, consideriamo la funzione y = f (x) = x2 . Le seguenti notazioni sono
equivalenti:
f 0 (x) = 2x ,
dy
= 2x ,
dx
d ¡ 2¢
x = 2x ,
dx
df
= 2x .
dx
la notazione dy/dx è nota come notazione di Liebnitz, dal matematico che
per primo la usò. La formulazione “frazionaria” della notazione di Liebnitz,
ricorda che la derivata è il limite del rapporto incrementale:
∆y
dy
= lim
.
dx ∆x→0 ∆x
Le notazioni usate si estendono al caso di derivate di ordine superiore. Nel caso
della derivata seconda esse si esprimono nella seguente forma:
179
180
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
f 00 (x) = 2 ,
4.1
d2 y
= 2,
dx2
d2 ¡ 2 ¢
x = 2,
dx2
d2 f
= 2.
dx2
Derivate delle Potenze e dei Polinomi
Ricordiamo che la derivata f 0 (a), di una funzione f nel punto,x = a è stata
definita come
f (a + h) − f (a)
.
h→0
h
f 0 (a) = lim
la definizione seguente è essenzialmente la stessa; usando il generico valore
dell’ingresso x si enfatizza il fatto che f 0 è una funzione.
Definizione 114 Sia f una funzione. La derivata di f, indicata con f 0 , è la
funzione definita, per un ingresso x, da
f (x + h) − f (x)
.
h→0
h
f 0 (x) = lim
Osserviamo quanto segue:
Dominio Il dominio di f 0 è l’insieme degli ingressi x di f per i quali il limite
esiste.
Ricerca del Limite Il limite nella definizione non si trova ponendo h = 0
nella formula. Alcune manipolazioni algebriche e trucchi di calcolo sono quasi
sempre necessari per poter risolvere il limite.
4.1.1
Derivata di una Potenza
Il primo problema che affrontiamo è quello di trovare la funzione derivata per
le potenze. Per funzioni, cioè, della forma f (x) = xk dove k è una costante.
Ognuna delle seguenti espressioni definisce una funzione potenza:
x , x2 ,
√
x,
1
√ , x5/2 , xπ .
x
Iniziamo il nostro studio con le potenze non negative.
Esempio 115 trovare le formule per le funzioni derivate di l (x) = x, q (x) =
x2 e c (x) = x3. . Interpretare il risultato graficamente.
Soluzione. La funzione l è lineare con coefficiente angolare 1. La sua
derivata deve quindi essere la funzione costante l0 (x) = 1. Vediamo se la
definizione di funzione derivata ci conforta nel risultato:
x+h−x
l (x + h) − l (x)
=
= 1.
h→0
h
h
l0 (x) = lim
4.1. DERIVATE DELLE POTENZE E DEI POLINOMI
181
Vediamo come operare per le altre due funzioni. Per q si ha:
q (x + h) − q (x)
h→0
h
2
(x + h) − x2
= lim
h→0
h
2
x + 2hx + h2 − x2
= lim
h→0
h
= lim (2x + h) = 2x .
q 0 (x) =
lim
h→0
Il calcolo della funzione derivata di c è quasi equivalente:
c (x + h) − c (x)
h→0
h
3
(x + h) − x3
= lim
h→0
h
3
x + 3x2 h + 3xh2 + h3 − x3
= lim
h→0
h
¡
¢
= lim 3x2 + 3xh + h2 = 3x2 .
c0 (x) =
lim
h→0
Graficamente abbiamo:
-2
-1
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
-1
1x
2
-1
0
1x
2
-2
-1
0
-1
-2
-2
-2
-3
-3
-3
-4
-4
Grafico di q (x) =
4
4
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
2
-2
-1
-1
x1
2
-2
-1
0
-1
-2
-2
-2
-3
-3
-3
-4
-4
-4
l0 (x)
=1
Grafico di
q 0 (x)
2
Grafico di c (x) = x3
3
x1
x1
-4
x2
4
-1
Grafico di
-1
-1
Grafico di l (x) = x
-2
-2
= 2x
x1
Grafico di c0 (x) = 3x2
La risposta non dovrebbe sorprendere, abbiamo già visto questi grafici in
precedenza. Il calcolo del limite ci assicura che le formule trovate per le derivate
sono quelle corrette.
¥
2
182
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
Cosa accade se l’esponente k non è un intero positivo?
√
Esempio 116 Trovare le formule delle funzioni derivate di s (x) = x1/2 = x e
di n (x) = 1/x = x−1 . Quali sono i domini delle funzioni derivate? Interpretare
il risultato graficamente.
Soluzione. Scriviamo come prima il limite del rapporto incrementale, ma
l’artificio algebrico che usiamo per eliminare il denominatore e risolverlo è più
delicato.
s0 (x) =
=
=
=
=
s (x + h) − s (x)
h→0
h
√
√
x+h− x
lim
h→0
h
√
√ √
√
x+h− x x+h+ x
√
lim
√
h→0
h
x+h+ x
1
lim √
√
h→0
x+h+ x
1
1
√ = x−1/2 .
2 x
2
lim
√
Il trucco algebrico usato è stato quello di moltiplicare e dividere per x + h +
√
x, usato poi per semplificare il numeratore. [Si ricorda che (a − b) (a + b) =
2
a − b2 .]
Vediamo cosa accade per la funzione n :
n0 (x) =
=
=
=
=
n (x + h) − n (x)
h
1
1
−
lim x+h x
h→0
h
x − (x + h)
lim
h→0 hx (x + h)
−1
lim
h→0 x (x + h)
1
− 2 = −x−2 .
x
lim
h→0
4.1. DERIVATE DELLE POTENZE E DEI POLINOMI
183
Ecco i grafici delle quattro funzioni
-4
-2
4
4
2
2
0
2x
-4
-2
0
-2
-2
-4
-4
Grafico di s (x) =
-4
4
√
x
4
2
2
2x
4
Grafico di n (x) = 1/x
4
-2
2x
4
-4
-2
2x
-2
-2
-4
-4
√
Grafico di s0 (x) = 1/ (2 x)
4
Grafico di n0 (x) = −1/x2
Osservare il dominio. la derivata s0 non è definita in x = 0 dove il grafico di
s ha tangente verticale. la derivata n0 ha lo stesso dominio della funzione n. ¥
La Regola Generale
Ognuno degli esempi precedenti è un caso particolare della seguente regola
generale.
Proposizione 117 (Derivazione delle Potenze) Sia k una costante reale.
Se f (x) = xk , allora si ha f 0 (x) = kxk−1 .
Abbiamo appena visto che la regola vale per i casi k = 1, k = 2, k = 3, k =
−1, k = 1/2. Non dimostreremo la proposizione, ma alla fine del Paragrafo
indicheremo come il Binomio di Newton possa essere usato per mostrarlo
per tutti i valori di k interi positivi.
4.1.2
Combinazione di Potenze: La Regola della Somma e della
Costante
Conoscendo la derivata delle potenze è facile calcolare la derivata della combinazione di potenze (quali sono i polinomi).
Esempio 118 Sia p (x) = 3x5 + 7x4 −
x2
+ 11. Trovare p0 (x) .
3
184
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
Soluzione. Dividiamo p nei singoli componenti, deriviamo ogni singolo
pezzo ed infine riassembliamo il risultato. Eco i conti, usando la notazione di
Liebnitz:
dy
dx
¶
µ
d
x2
5
4
=
+ 11
3x + 7x −
dx
3
d ¡ 5¢
d ¡ 4¢ 1 d ¡ 2¢
d
= 3
x +7
x −
x +
(11)
dx
dx
3 dx
dx
1
3 · 5x4 + 7 · 4x3 − · 2x + 0
3
2
15x4 + 28x3 − x .
3
Abbiamo appena compiuto due “atti di fede” rispetto alla presenza di moltiplicazioni per una costante e operazioni di somma, che giustificheremo immediatamente (ricordarsi le proprietà del limite!),. Vediamo prima il confronto dei
due grafici di p e di p0 .
40
20
-2
x -1
0
1
-20
Grafici di p e di p0
¥
Nell’esempio precedente abbiamo fatto due ipotesi ragionevoli. Le riportiamo qui in modo esplicito, sotto forma di Teorema.
Teorema 119 (Derivata della Somma) Siano f e g due funzioni differenziabili, e sia h = f + g. Si ha
h0 (x) = (f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x) .
4.1. DERIVATE DELLE POTENZE E DEI POLINOMI
185
Dimostrazione. La dimostrazione dell’affermazione precedente segue immediatamente dalla analoga proprietà dei limiti. Si ha infatti:
d
(f (x) + g (x)) =
dx
(f (x + h) + g (x + h)) − (f (x) + g (x))
h→0
h
·
¸
f (x + h) − f (x) g (x + h) − g (x)
+
= lim
h→0
h
h
f (x + h) − f (x)
g (x + h) − g (x)
+ lim
= lim
h→0
h→0
h
h
0
0
= f (x) + g (x)
lim
Teorema 120 (Derivata del Prodotto con una Costante) Sia k ∈ R
costante, f una funzione differenziabile, e g = k · f. Si ha
g 0 (x) = (k · f )0 (x) = k · f 0 (x) .
Invece di dimostrare questo secondo teorema, riflettiamo sul fatto che il
grafico di k · f è ottenuto dilatando verticalmente il grafico di f di un fattore
k. Come pensate che questo fatto incida sulla retta tangente al grafico di f
in un qualsiasi punto x = a ? La risposta del teorema è che una dilatazione
del grafico di f in direzione verticale, di un fattore k, moltiplica il coefficiente
angolare della retta tangente nel punto x = a dello stesso fattore.
Primitive
Abbiamo appena visto come trovare la funzione derivata f 0 di una funzione f
assegnata. Vogliamo anche considerare il problema opposto:
Data una funzione f , trovare una funzione F tale che F 0 = f.
La funzione F è detta primitiva di f.
Per i polinomi e le potenze trovare una primitiva non è più difficile che
trovare la derivata.
Esempio 121 Trovare le primitive Q e S per le funzioni q (x) = x2 e s (x) =
√
x.
¡ ¢0
Soluzione. Poiché x3 = 3x2 , la scelta di Q (x) = x3 /3 è quella naturale.
E’ facile vedere che la scelta è corretta, derivando
0
Q (x) =
µ
1 3
x
3
¶0
=
1 ¡ 3 ¢0 1
x = · 3x2 = x2 .
3
3
Per trovare una primitiva di s il ragionamento è lo stesso. Un minimo di attenzione in più va riservata al coefficiente moltiplicativo. La regola di derivazione
delle potenze suggerisce per S la forma S (x) = k · x3/2 , ma qual’è il valore della
costante k ? Deriviamo per ottenere la risposta:
186
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
³
´0
3
S 0 (x) = k · x3/2 = k · x1/2 = x1/2 .
2
Ne consegue che k = 2/3 e la funzione S è allora S (x) = 23 x3/2 .
Da notare che la risposta non è univoca. Per esempio, ognuna delle
seguenti funzioni
x3
+ 1,
3
x3
x3
− 3, e
− π + e2 − sin2 3
3
3
x3
+ C , con C costante, è
è una primitiva di q. Quindi ogni funzione del tipo
3
una primitiva di q.
¥
Le Primitive Non Sono Uniche
L’esempio precedente illustra un principio generale importante:
Se F è una primitiva di f , allora lo è anche F + C, per qualsiasi
valore della costante C.
La ragione di ciò è semplice: Due funzioni che differiscono per una costante
hanno la stessa derivata.
L’implicazione funziona anche nell’altra direzione:
Se F 0 (x) = G0 (x) per tutti gli x, allora F (x) = G (x) + C per
qualche costante C.
Nel caso particolare di q (x) = x2 , questi due fatti implicano esattamente
ciò che l’esempio aveva suggerito: (i) per ogni costante C, Q (x) = x3 /3 + C è
una primitiva; e (ii) ogni primitiva ha questa forma.
Ricerca delle Primitive
Abbiamo visto come si derivano le potenze e le loro combinazioni lineari. La
ricerca di primitive funziona nello stesso modo. La regola di derivazione delle
potenze, letta “al rovescio” afferma che
Teorema 122 (Regola delle Potenze per le Primitive) Per ogni costante
xk+1
+ C è una primitiva di xk .
C e per ogni k (k 6= −1) ,
k+1
Dimostrazione. Usando la regola per la derivata, la dimostrazione è un
semplice calcolo:
d xk+1
(k + 1) xk
+C =
+ 0 = xk
dx k + 1
k+1
come affermato.
L’eccezione: k = −1. Notare che il teorema precedente non vale quando
k = −1,poiché la divisione per zero non è permessa. Tuttavia, il caso f (x) =
1/x ha una primitiva ben definita, sebbene non sotto forma di potenza.
4.1. DERIVATE DELLE POTENZE E DEI POLINOMI
187
Proposizione 123 Sia x > 0, una primitiva della funzione 1/x è la funzione
logaritmo naturale, ln (x) .
Non possediamo ancora gli strumenti per dimostrare questa affermazione
(che proveremo più avanti), l’osservazione dei due grafici la rende plausibile.
4
4
2
2
0
1
2
3x
4
5
0
6
-2
-2
-4
-4
1
2
3x
4
5
6
Grafico di y = ln x
Grafico di y = 1/x
Primitive delle Combinazioni Lineari La regola della derivata della somma e del prodotto per costanti vale anche quando viene applicata alla ricerca
delle primitive.
x2
+ 11.
3
Soluzione. Come nel caso della derivazione, consideriamo i singoli elementi
che compongono p, troviamo le primitive e riassembliamo.
La primitiva di 3x5 è x6 /2, quella di 7x4 è 7x5 /5, quella di x2 /3 è x3 /9 ed infine
una primitiva di 11 è 11x. Quindi, una primitiva di p (x) è la funzione
Esempio 124 Trovare la primitiva di p (x) = 3x5 + 7x4 −
1 6 7 5 1 3
x + x − x + 11x + C
2
5
9
qualsiasi sia il valore della costante C. E’ facile verificare la correttezza del
risultato, basta derivare per ottenere p.
¥
Esempio 125 Consideriamo la funzione f (x) = x3 − x2 − 2x, il cui grafico è
disegnato sotto. Quattro primitive di f , indicate con F, G, H e K (dal basso
verso l’alto) sono disegnate nel grafico accanto. Trovare la formula delle quattro
primitive.
4
4
2
2
0
0
-2
-2
-4
-4
-2
-1
0
Grafico di f (x) =
x
1
x3
2
− x2
3
− 2x
4
-2
-1
0
x
1
2
Grafico di F, G, H, K
3
4
188
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
Soluzione. Notare che i quattro grafici di F, G, H e K, sono la traslazione
verticale uno dell’altro; questo implica che le quattro funzioni differiscono tra
di loro per una costante, come deve essere poiché F 0 = G0 = H 0 = K 0 = f.
Usando il teorema per la ricerca delle primitive si ha che una primitiva di f ha
la forma
x4 x3
−
− x2 + C
4
3
per qualche valore della costante C. In particolare, F, G, H e K hanno questa
forma e differiscono tra loro per il valore della costante. Per esempio, il grafico
mostra che F (0) = −1, quindi
−1 = F (0) = C =⇒ F (x) =
x4 x3
−
− x2 − 1 .
4
3
In modo analogo si mostra che per G, H e K i valori delle costanti sono:
C = 0, C = 1, C = 2 rispettivamente.
¥
4.1.3
Il Binomio di Newton
Con questa dizione, intendiamo un modo compatto di scrivere la formula esplicita della potenza n-esima (n naturale) di un binomio: (a + b)n . La formula
ci dice che
n µ ¶
X
n n−k k
n
(a + b) =
b
a
k
k=0
n (n − 1) n−2 2
a b + · · · + n abn−1 + bn
2
¡ ¢
dove il coefficiente indicato simbolicamente con nk indica, al variare di k il
numero
µ ¶
n
n!
.
=
k
k! (n − k)!
= an + n an−1 b +
Mostriamo come usare questa formula per trovare la derivata di xn .
Esempio 126 Sia y = xn , dove n è un numero naturale. Mostrare che dy/dx =
nxn−1 .
Soluzione. Per definizione
dy
(x + h)n − xn
= lim
.
dx h→0
h
Poiché si ha
(x + h)n =
n µ ¶
X
n
k=0
k
xn−k hk ,
4.1. DERIVATE DELLE POTENZE E DEI POLINOMI
189
si ottiene
dy
dx
Pn
¡ ¢
n
k=0 k
xn−k hk − xn
h→0
h
n
n−1
x + n x h + n(n−1)
xn−2 h2 + · · · + n xhn−1 + hn − xn
2
= lim
h→0
h
n (n − 1) n−2
x h + · · · + n xhn−2 + hn−1 = n xn−1 .
= lim n xn−1 +
h→0
2
=
lim
Il fatto che ci permette di ottenere il risultato è che nello sviluppo del binomio,
tutti i termini dopo i primi due coinvolgono potenze di h superiori ad uno e
quindi questi termini scompaiono, quando si passa al limite anche se divisi per
h.
¥
190
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
4.1.4
Esercizi di Derivazione
1. Per ognuna delle funzioni f elencate sotto, calcolare l’espressione algebrica
della funzione derivata f 0 , quindi disegnare il grafici di f e di f 0 sullo stesso
sistema di assi per controllare intuitivamente le risposte.
(a) f (x) = 3x2 ;
(b) f (x) = 5x−4 ;
(c) f (x) = 4x5 + 3x2 − x ;
√
1
(d) f (x) = 4 x + 2 ;
x
(e) f (x) = 3x−1/2 + 4x3/2 ;
(f) f (x) = −7x1/4 ;
√
(g) f (x) = x3 + 3 x ;
√
(h) f (x) = 4 x3 − 5x−3/2 ;
1
+5;
(i) √
3
x2
√
5
5
.
(j) f (x) = 4 x3 + √
3
x4
2. Trovare la derivata seconda di ognuna delle funzioni dell’Esercizio 1.Disegnare il grafici di f e di f 00 sullo stesso sistema di assi per controllare
intuitivamente le risposte.
3. Trovare una primitiva per ognuna delle funzioni dell’Esercizio 1.
4. Vuotando un serbatoio di benzina si sa che il volume di benzina rimasto nel
serbatoio dopo t minuti dall’apertura della valvola, è dato dalla funzione
V (t) = 100, 000 − 4000t + 40t2 , espresso in litri.
(a) Con quale velocità media fuoriesce la benzina nei primi 200 ?
(b) Con quale velocità media fuoriesce la benzina al tempo t = 200 ?
(c) Spiegare cosa dice V 00 (t) sulla velocità di fuoriuscita della benzina
dal serbatoio.
5. Sia f (x) = ex . Spiegare, attraverso l’uso dei grafici perché f 0 (x) 6= xex−1 .
6. Usare la definizione di derivata per calcolare la funzione derivata f 0 delle
funzioni f indicate di seguito.
(a) f (x) = (x + 1)2 ;
4.1. DERIVATE DELLE POTENZE E DEI POLINOMI
191
(b) f (x) = 3x4 ;
√
(c) f (x) = x + 3 ;
(d) f (x) =
1
.
x+5
7. Trovare le derivate delle seguenti funzioni.
(a) f (x) = (x + 2)3 ;
(b) f (x) = 4 (x − 1)4 ;
(c) f (x) = (x − 3)−1 ;
(d) f (x) = 3 (x + 2)−2 ;
√
(e) f (x) = x + 1 ;
√
(f) f (x) = 3 x + 5 ;
1
;
(g) f (x) = √
x+4
(h) f (x) = 7 (x − 3)5/3 .
8. Calcolare le derivate seconde delle funzioni dell’Esercizio 7.
9. Trovare una primitiva per ognuna delle funzioni dell’Esercizio 7.
10. Mostrare che (1 + x)r ≥ 1 + rx quando x ≥ 0 e r ≥ 1. [Sugg.: usare il
Principio delle corse]
11. Consideriamo la funzione f (x) = (1000 − x)2 + x2 .
(a) Dire su quali intervalli la funzione è crescente e su quali è decrescente.
(b) Usando (a) decidere se 10002 è maggiore o minore di 9982 + 22 .
Controllare la risposta usando un calcolatore.
(c) Generalizzare il risultato di (a) per la funzione f (x) = (c − x)n + xn
, dove c è un numero positivo ed n un numero positivo pari. Usare
il risultato per decidere qual’è più grosso tra i numeri 10, 000100 e
9000100 + 1000100 .
12. Trovare l’equazione della retta tangente alla curva y = x3 − 6x2 nel suo
punto di flesso.
13. Quanti punti di flesso ha il grafico della funzione f (x) = 2x6 + 9x5 +
10x4 − x + 2 ? Quali sono questi punti?
14. Sia f (x) = 3x2 − 8x−2 . Calcolare limh→0
f (2 + h) − f (2)
.
h
192
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
15. trovare l’espressione simbolica per la derivata n-esima delle funzioni
(a) f (x) = 1/x ;
√
(b) f (x) = x .
16. Sia p (x) = xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an−1 x + an .
(a) Calcolare
dn
p (x) ;
dxn
(b) Mostrare che
dn+1
p (x) = 0
dxn+1
(c) Mostrare che se k è un intero, k ≤ n, p(k) (0) = k!ak .
17. Sia f (x) = xn con n ≥ 2.
(a) Mostrare che f è convessa nell’intervallo (0, +∞) ;
(b) Cosa si può dire della concavità nell’intervallo (−∞, 0) ? [Sugg.:
Ricordarsi parità e disparità].
18. Trovare i valori di a e di b in modo tale che la retta 2x + 3y = a sia
tangente al grafico di f (x) = bx2 in x = 3.
19. Trovare il valore di k per il quale il grafico della funzione f (x) = 2x2 +k/x
ha un flesso in x = −1.
20. Sia f (x) = Ax2 + Bx + C con le seguenti proprietà: (i) f (0) = 2; (ii)
f 0 (2) = 10; (iii) f 00 (10) = 4. Trovare il valore di A + B + C.
21. Trovare il valore di b per il quale la funzione f (x) = x4 + bx2 + 8x + 1 ha
flesso orizzontale per qualche valore di x.
22. trovare c in modo che la retta y = 4x+3 sia tangente alla curva y = x2 +c.
23. Siano dati n numeri positivi 0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an . La loro media aritmetica An è definita dalla formula An = (a1 + a2 + · · · + an ) /n, mentre
la media geometrica è data da Gn = (a1 · a2 · · · · · an )1/n .
(a) Usare un po’ di algebra per mostrare che G2 ≤ A2 ;[Sugg: a1 · a2 =
2
2
1
4 [(a1 + a2 ) − (a1 − a2 ) ] ]
(b) Usare il principio delle corse per mostrare che G2 ≤ A2 ; [Sugg:Sia
√
f (a2 ) = (a1 + a2 ) /2 − a1 · a2 , mostrare che f (a2 ) ≥ 0]
(c) Mostrare che Gn ≤ An , n ≥ 2 [Sugg.: Mostrare che f (an ) =
An − Gn ≥ 0] .
24. Siano n ed m interi positivi, a e b numeri reali positivi.
4.1. DERIVATE DELLE POTENZE E DEI POLINOMI
193
(a) Verificare che:
¡
¢
(an − bn ) = (a − b) an−1 + an−2 b + an−3 b2 + · · · + abn−2 + bn−1 ;
(b) Sia f (x) = xn . Usare il risultato in (a9 per mostrare che f 0 (a) =
nan−1 ;
(c) Sia g (x) = x−n . Usare (b) per mostrare che g 0 (a) = −na−n−1 ;
(d) Sia h (x) = xm/n . Usare (a) per mostrare che h0 (a) =
¡ 1/n ¢m ¡ 1/n ¢m
x
− a
xm/n − am/n
= ¡ 1/n ¢n ¡ 1/n ¢n ].
[Sugg.:
x−a
x
− a
m (m−n)/n
na
−(m+n)/n
(e) Sia k (x) = x−m/n . Mostrare che k0 (a) = − m
na
25. Nell’esercizio precedente si è mostrato che se r è razionale, allora si ha
d r
r−1 . In questo esercizio estendiamo il risultato al caso in cui r
dx x = rx
è un reale qualsiasi. Siano p e q razionali tali che p < r < q.
(a) Assumiamo che x > 0. Spiegare perché si ha che
xr − 1
xq − 1
xp − 1
<
<
x−1
x−1
x−1
[Sugg: Considerare separatamente i casi 0 < x < 1 e x > 1];
xr −1
x−1
xr −1
limx→1 x−1
(b) Usare il risultato in (a) per mostrare che p ≤ limx→1
≤ q;
(c) Spiegare perché il risultato in (b) implica che
= r;
(d) Supponiamo che c sia un reale qualsiasi e a 6= 0. Mostrare che
µ c
µ −c
¶
¶
w −1
xc − ac
−1
c−1
c w
=
= −w
a
ac−1 ;
x−a
w−1
w−1
(e) Usare (c) e (d) per mostrare che (xc )0 = cxc−1 per ogni numero reale
c.
194
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
4.1.5
Esercizi su Massimi e Minimi
1. Dire su quali intervalli sono crescenti, e su quali decrescenti, le seguenti
funzioni. Trovare tutti i massimi e minimi locali.
(a) f (x) = x3 − 3x2 + 5 ;
(b) f (x) = −8x9 + 9x8 − 5 ;
(c) f (x) = 7x9 − 18x7 + 65
(d) f (x) = 5x6 + 6x5 − 15x4 .
2. Trovare il valore massimo ed il valore minimo delle seguenti funzioni, negli
intervalli assegnati.
(a) f (x) = x3 − 3x + 5 ; [0, 2]
(b) f (x) = 1 + 2x3 − x4 ; [−1, 2]
√
(c) f (x) = x − 3/x ; [1/4, 1]
(d) f (x) = x3 − x2 ; [−2, 0]
3. Trovare il valore massimo ed il valore minimo della funzione f (x) = x4 −
3x2 + 6 su ognuno dei seguenti intervalli:
(a) [−2, 2] ;
(b) [−4, −2] ;
(c) [−1, 2] ;
(d) [−1, 1] .
4. Una particella si muove lungo l’asse delle x con equazione oraria x (t) =
3t5 − 25t3 + 60t , t > 0. Per quali valori di t la particella si muove verso
sinistra?
5. Una particella si muove lungo l’asse delle x con velocità data da v (t) = t2 .
Che spazio percorre la particella nell’intervallo di tempo 1 ≤ t ≤ 3 ?
6. Supponiamo di azionare i freni su di un’ auto viaggi a 50 km/h e che
questa azione dia all’auto una accelerazione negativa di 5 m/ sec2 . Quanto
tempo occorre perché l’auto si fermi? Che distanza percorre l’auto prima
di fermarsi?
7. Un’auto che viaggia a 80 km/h non si ferma al segnale di stop. Tre secondi
più tardi un auto della polizia parte, dall’altezza del segnale con un’accelerazione costante di 8 m/ sec2 Con quale velocità la macchina della polizia
supera l’automobile pirata?
8. Supponiamo che un rettangolo abbia
¢ base sull’asse delle x e i due
¡ la sua
angoli superiori sulla curva y = 2 1 − x2 . Qual’è il massimo perimetro
del rettangolo?
9. Trovare il punto di minima distanza dalla curva xy = 4 all’origine.
4.1. DERIVATE DELLE POTENZE E DEI POLINOMI
195
10. Quanto vale l’area del più grande rettangolo che ha la sua base sull’asse
x e gli angoli superiori sulla curva y = 12 − x2 ?
11. Il costo del combustibile in una nave di lusso è proporzionale al quadrato
della velocità. Alla velocità di 10 km/h il combustibile costa 1.500 Euro/h.
Assumendo che la nave debba percorrere una distanza totale di D chilometri,
trovare la velocità che minimizza il costo del viaggio. La velocità dipende
da D?
12. Una scatola aperta si ottiene tagliando un quadrato di lato w dai quattro
angoli di un rettangolo di misura 24 e 32 centimetri e piegando quindi i
lati.
13. Quanto deve valere w per ottenere il massimo volume?
14. Una scatola aperta della capacità di 10 m3 ha una lunghezza doppia della
larghezza.. Il materiale di cui è fatta la scatola costa 100 Lire/m2 . Quale
sono le dimensioni della scatola che ne minimizzano il costo? Quanto
costa?
15. Un bicchiere può essere prodotto al costo di 600 Lire l’uno. Al prezzo
di 2000 Lire al pezzo, se ne possono vendere 1000. Per ogni 100 lire di
sconto si possono vendere 50 bicchieri in più. Quale prezzo massimizza il
profitto? Quanti bicchieri vengono venduti a tale prezzo?
196
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
4.2
Derivata dell’Esponenziale e del Logaritmo
Usare la definizione di limite del rapporto incrementale per trovare la derivata
di una funzione algebrica può essere complicato, ma di solito è routine
Esempio 127 Se f (x) =
√
x + 1 trovare f 0 (x) .
Soluzione. Ecco come si calcola il limite
f 0 (x) =
=
=
=
=
=
f (x + h) − f (x)
h→0
h
√
√
x+h+1− x+1
lim
h→0
h
√
√
√
√
x+h+1− x+1 x+h+1+ x+1
√
√
lim
h→0
h
x+h+1+ x+1
(x + h + 1) − (x + 1)
¡√
¢
lim
√
h→0 h ·
x+h+1+ x+1
1
√
lim √
h→0 x + h + 1 + x + 1
1
√
.
2 x+1
lim
Abbiamo usato un trucco algebrico nella terza riga, ma a parte questo il calcolo
non presenta difficoltà.
¥
Le funzioni non algebriche, - quelle senza una formula algebrica - sono
chiamate trascendenti. Le funzioni esponenziali, i logaritmi e le funzioni
trigonometriche sono tutte funzioni trascendenti.
Trovare le derivate delle funzioni trascendenti è molto più complicato. Senza
formule algebriche, i limiti che definiscono le derivate, normalmente non possono
essere risolti con gli usuali trucchi algebrici. Avremmo bisogno di altri metodi.
Non volendo entrare nella complicazione della teoria daremo, senza dimostrazione il valore della derivata della funzione f (x) = ex .
4.2.1
Derivata delle funzioni Esponenziali
Teorema 128 La derivata della funzione f (x) = ex è la funzione f 0 (x) = ex .
Teorema 129 Se g (x) = bx , allora g 0 (x) = bx ln b.
Dimostrazione. Iniziamo scrivendo la derivata come limite del rapporto
incrementale
g (x + h) − g (x)
h→0
h
bx+h − bx
bh − 1
= lim bx ·
= lim
h→0
h→0
h
h
h−1
b
= bx lim
h→0
h
g 0 (x) =
lim
4.2. DERIVATA DELL’ESPONENZIALE E DEL LOGARITMO
197
Se esiste il
bh − 1
=k
h→0
h
lim
abbiamo mostrato che (bx )0 = kbx .
Si tratta di mostrare che il limite esiste ed il valore di k.
L’idea chiave per mostrare l’esistenza del limite ed il suo valore è notare che
possiamo scrivere
bh − 1
bh − b0
g (h) − g (0)
= lim
= lim
h→0
h→0
h→0
h
h
h
k = lim
cioè che k non è altro che il valore della derivata della funzione g nel punto
x = 0, o dal punto di vista grafico, il valore del coefficiente angolare della retta
tangente al grafico di g nel punto (0, 1) .
Per conoscerne il valore ricordiamo che se f (x) = ex , allora
g (x) = bx = ex ln b = f (x · ln b) .
Usando il linguaggio geometrico, possiamo dire che g è ottenuta da f per compressione orizzontale del fattore ln b. Sappiamo che il valore della derivata di ex
nel punto x = 0,cioè il coefficiente angolare della retta tangente ad f (x) = ex
nel punto (0, 1) vale 1. Il grafico di g ha allora retta tangente con coefficiente
angolare ln b nel punto x = 0.
4.2.2
Derivata delle funzioni Logaritmo
Per trovare la derivata delle funzioni logaritmo f (x) = logb x useremo la conoscenza della derivata sua funzione inversa f −1 (x) = bx .
Riportiamo subito le conclusioni, che verificheremo più avanti.
Teorema 130 Per ogni valore positivo di b 6= 1 si ha
(logb x)0 =
1 1
.
·
x ln b
Se b = e, si ha
(ln x)0 =
1
.
x
L’idea chiave è che, per ogni b 6= 1 la funzione bx e logb x sono una l’inversa dell’altra. Geometricamente, questa relazione significa che ognuno dei due
grafici può essere ottenuto dall’altro per riflessione rispetto alla retta y = x. La
seguente figura, che mostra il caso b = e, illustra un dato cruciale: come questa
riflessione si ripercuote sulla retta tangente.
198
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
10
6
4
2
-2
0
2
4 x 6
8
10
-2
Funzioni inverse e loro derivate
Notiamo i seguenti fatti relativi al grafico disegnato:
• Punti Simmetrici Un punto P = (x, y) appartiene ad un grafico se e
solo se il punto P 0 = (y, x) appartiene all’altro.
• Rette Tangenti Simmetriche Consideriamo le rette tangenti ai due
grafici nei punti P e P 0 rispettivamente (una coppia di questa forma è
disegnata).: Così come i grafici delle funzioni, queste rette tangenti sono
simmetriche rispetto alla retta y = x. Ne segue che i coefficienti angolari
delle rette tangenti nei punti P e P 0 sono reciproci.
• Coefficienti Angolari Reciproci Il coefficiente angolare della retta tangente nel punto P 0 = (ln a, a) è la derivata della funzione y = ex nel
punto x = ln a. Abbiamo detto che (ex )0 = ex , quindi la retta tangente
in P 0 ha coefficiente angolare eln a = a. Ne segue che la retta tangente in
P = (a, ln a) ha coefficiente angolare 1/a, così come afferma il teorema.
Ricordiamo infine che, per ogni base b si ha che logb x = ln x/ ln b. Applicando la regola di derivazione per la moltiplicazione di una funzione per una
costante, si ottiene la regola generale.
Primitive delle Funzioni Esponenziali e Logaritmiche
Le formula per le derivate delle funzioni esponenziali sono facilmente reversibili,
possiamo quindi senza troppi problemi affermare il seguente teorema.
Teorema 131 Sia C una costante positiva e b una base positiva. Se f (x) =
ex ,allora F (x) = ex + C è una primitiva di f . Se g (x) = bx , allora G (x) =
bx
+ C è una primitiva di g .
ln b
4.2. DERIVATA DELL’ESPONENZIALE E DEL LOGARITMO
199
La ricerca della primitiva per la funzione logaritmo è meno semplice, e
non possediamo in questo momento gli strumenti per ricavarla (lo vedremo
più avanti), ci limitiamo quindi ad asserirla.
Affermazione 132 Sia C una costante.
x ln x − x ∗ c è una primitiva di f .
Se f (x) = ln x, allora F (x) =
Sebbene l’affermazione sembri uscita dal cilindro di un prestigiatore, sarà
facile verificarne la validità appena avremo sviluppato i metodi per la derivazione.
Per mostrare come si arriva a questa formula dovremo aspettare di aver introdotto l’operazione di integrazione e le sue proprietà.
Esempio 133 Trovare una primitiva della funzione f (x) = 3ex − 2 ln x.
Soluzione. Usando il Teorema e l’affermazione Precedenti possiamo dire
che F (x) = 3ex − 2 (x ln x − x) + C è una primitiva della funzione f , qualunque
sia il valore della costante C.
Esempio 134 Sia f (x) = ex = exp (x) . Trovare una funzione lineare L ed una
quadratica Q che approssimino f nell’intorno di x = 0, seguendo la seguente
procedura:
(a) Trovare il valore delle costanti a e b tali che la funzione lineare L (x) = a+bx
abbia lo stesso valore di f e di f 0 in x = 0, cioè tali che L (0) = f (0) e
L0 (0) = f 0 (0) ;
(b) Trovare il valore della costanti a, b, e c, tali che la funzione quadratica
Q (x) = a + bx + cx2 abbia lo stesso valore e le stesse due prime derivate di f
in x = 0, cioè tali che Q (0) = f (0) , Q0 (0) = f 0 (0) e Q00 (0) = f 00 (0) ;
(c) Disegnare i grafici di f , L e Q sullo stesso sistema d’assi. Qual’è l’approssimazione di L e di Q rispetto ad f nell’intervallo [−0.5, 0.5] ?
Soluzione. Osserviamo immediatamente che f (x) = f 0 (x) = f 00 (x); in
particolare f (0) = f 0 (0) = f 00 (0) = 1.
(a) Sia L (x) = a + bx. Cerchiamo i valori di a e di b. Notiamo subito che
L (0) = a e quindi , poiché deve essere L (0) = f (0) = 1 si ha che a = 1. Inoltre,
la derivata di L è L0 (x) = b. Ne segue che L0 (0) = f 0 (0) = 1 implica b = 1.
Quindi L (x) = 1 + x.
(b) Sia Q (x) = a+ bx + cx2 . Dobbiamo, anche in questo caso trovare i valori
di a, b e c. Operando come in (a) si ha che
Q (0) = f (0) = 1 =⇒ a = 1 ;
Q0 (0) = f 0 (0) = 1 =⇒ b = 1 .
Si ha quindi, Q (x) = 1+x+cx2 e dobbiamo ancora trovare c. Poiché è Q00 (x) =
2c si ha
Q00 (x) = 2c = f 00 (0) = 1 =⇒ c = 1/2 .
Ne segue che si ha Q (x) = 1 + x + 12 x2 .
(c) Ecco di seguito i grafici delle tre funzioni (l’esponenziale è il più scuro)
200
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0x
0.5
Due approssimazioni di y =
1
1.5
ex
La figura mostra che vicino a x = 0 sia L che Q approssimano bene f ; Q
ancora meglio di L. Una osservazione più ravvicinata dei valori di delle funzioni
per x nell’intervallo [−0.5, 0.5] mostra che
| f (x) − L (x)| ≤ f (0.5) − L (0.5) ≈ 0.15
| f (x) − Q (x)| ≤ f (0.5) − Q (0.5) ≈ 0.025
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
-0.4
-0.2
0x
0.2
Due approssimazioni di y =
0.4
ex
¥
4.2.3
Esercizi
1. Per ognuna delle funzioni seguenti, calcolare la funzione derivata
(a) f (x) = 2ex + π ;
(b) f (x) = e3 − 5ex ;
(c) f (x) = 2ex+1 ;
(d) f (x) = 2x + x + 1 ;
(e) f (x) = 2 · 3x−1 ;
(f) f (x) = eπ − π x + xπ ;
(g) f (x) = xln 5 ;
4.2. DERIVATA DELL’ESPONENZIALE E DEL LOGARITMO
201
(h) f (x) = −3 ln x ;
(i) f (x) = 2 log3 x ;
(j) f (x) = (ln 7)x .
2. Calcolare le derivate seconde delle funzioni dell’Esercizio 1.
3. Trovare la primitive delle funzioni dell’Esercizio 1.
4. Qual’è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva y = 3x nel
punto x = 0 ?
5. Qual’è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva y = log3 x
nel punto x = 1 ?
6. la posizione di una particella sull’asse x al tempo t > 0 (espresso in
secondi) è data da x)t = ln t metri.
(a) Trovare la velocità media della particella nell’intervallo 1 ≤ t ≤ e ;
(b) Trovare la velocità istantanea della particella al tempo t = e.
7. Trovare l’equazione della retta tangente al grafico di y = ex nel punto
x = 0.
√
8. Sia f (x) = x − ln x.
(a) Mostrare che f raggiunge il suo minimo valore per x = 4 ;
(b) Mostrare che f ha un flesso per x = 16.
9. Sia f (x) = ln x − ex−1 .
(a) Mostrare che f raggiunge il suo massimo (globale) per x = 1 ;
(b) Mostrare che f è concava in tutto il dominio.
10. Siano f, L, Q come nell’Esempio (134)
(a) Trovare il valore della costante d per il quale la funzione cubica
C (x) = Q (x) + dx3 ha le proprietà C (0) = f (0) , C 0 (0) = f 0 (0) ,
C 00 (0) = f 00 (0) , e C 000 (0) = f 000 (0) ;
(b) Disegnare (con l’aiuto di un calcolatore) f, L, Q e C sullo stesso
sistema d’assi, nell’intervallo [−3, 3] ;
(c) Trovare un intervallo sul quale | f (x) − L (x)| ≤ 0.1 ;
(d) Trovare un intervallo sul quale | f (x) − Q (x)| ≤ 0.1 ;
(e) Trovare un intervallo sul quale | f (x) − C (x)| ≤ 0.1 .
11. Sia f (x) = ln x.
(a) Trovare il valore delle costanti a e b tali che la funzione lineare L (x) =
a + b (x − 1) ha le proprietà L (1) = f (1) e L0 (1) = f 0 (1) ;
202
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
(b) Trovare il valore della costante c tale che la funzione quadratica
Q (x) = L (x)+c (x − 1)2 ha le proprietà Q (1) = f (1), Q0 (1) = f 0 (1)
e Q00 (1) = f 00 (1) ;
(c) Trovare il valore della costante d tale che la funzione cubica C (x) =
Q (x) + d (x − 1)3 ha le proprietà C (1) = f (1), C 0 (1) = f 0 (1),
C 00 (1) = f 00 (1) e C 000 (1) = f 000 (1) ;
(d) Disegnare (con l’aiuto di un calcolatore) f, L, Q e C sullo stesso
sistema d’assi, nell’intervallo [0.1, 3] ;
(e) Trovare un intervallo sul quale | f (x) − L (x)| ≤ 0.1 ;
(f) Trovare un intervallo sul quale | f (x) − Q (x)| ≤ 0.1 ;
(g) Trovare un intervallo sul quale | f (x) − C (x)| ≤ 0.1 .
12. Sia n un intero positivo.
dn x
e ;
dxn
dn
ln x .
(b) Trovare un espressione per
dxn
(a) Trovare un espressione per
13. Sia b > 0. Trovare una primitiva di logb x.
14. Sia f (x) = ln kx dove k è una costante positiva.
(a) Mostrare che f 0 (x) = 1/x ;
(b) Trovare una primitiva di f .
µ ¶
1
15. Trovare la derivata di f (x) = ln
.
x
16. Sia f (x) = x − e ln x.
(a) Provare che f (π) > 0 ;
(b) Usare (a) per mostrare che eπ > π e .
4.3. DERIVATE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE
4.3
203
Derivate delle Funzioni Trigonometriche
4.3.1
Derivazione della Funzione Seno
Vogliamo iniziare dimostrando, in modo rigoroso, che (sin x)0 = cos x. Per fare
ciò dobbiamo calcolare il limite
dy
sin (x + h) − sin x
(x) = lim
.
h→0
dx
h
Per poter calcolare questo limite è necessario ricordarsi la formula di addizione
per il seno
sin (x + h) = sin (x) cos (h) + cos x sin (h)
Si ottiene quindi:
dy
(x) =
dx
=
=
=
=
sin (x + h) − sin x
h→0
h
sin x cos (h) + cos x sin (h) cos x − sin x
lim
h→0
h
µ
¶
sin (h)
cos (h) − 1
+ cos x
lim sin x
h→0
h
h
cos (h) − 1
sin (h)
sin x lim
+ cos x lim
h→0
h→0
h
h
sin x · 0 + cos x · 1 = cos x
lim
Due limiti notevoli. Ognuno dei due limiti del calcolo precedente può
essere interpretato come derivata.
• Il limite
sin (h)
sin (h) − sin 0
= lim
.
h→0
h→0
h
h−0
lim
definisce la derivata della funzione seno in x = 0. Nell’Esercizio (82),
Capitolo 3, pagina 151, abbiamo dimostrato che questa derivata vale 1.
• Un ragionamento simile si può applicare al
cos (h) − 1
cos (h) − cos 0
= lim
.
h→0
h→0
h
h
lim
Come si vede, esso definisce la derivata del coseno in x = 0. Come sappiamo il grafico del coseno ha tangente orizzontale in quel punto e quindi
la derivata è zero.
Una dimostrazione rigorosa del risultato la si ottiene con l’uso della formula
204
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
di duplicazione per il coseno:
lim
h→0
4.3.2
cos (h) − 1
h
cos (h/2 + h/2) − 1
h
¡
¢
2
cos h/2 − sin2 h/2 − cos2 h/2 + sin2 h/2
= lim .
h→0
h
sin h/2
sin2 h/2
= −2 lim
sin h/2
= lim −2
h→0
h→0 h/2
h/2
sin h/2
lim sin h/2 = −2 · 1 · 0 = 0 .
= −2 lim
h→0 h/2 h→0
=
lim
h→0
Derivazione della Funzione Coseno
Per dimostrare che (cos x)0 = − sin x, potremmo ripetere gli argomenti usati
per la dimostrazione della derivata della funzione sin x. Deriveremo, invece, la
derivata da ciò che sappiamo sulla funzione seno.
Come sappiamo
cos x = sin (x + π/2) , e cos (x + π/2) = − sin x .
Da questi fatti ne segue che il grafico della funzione cos x ha nel punto x lo
stesso coefficiente angolare del grafico della funzione seno nel punto x + π/2.
Usando questo fatto e le precedenti identità si ha:
d
d
cos x =
sin (x + π/2) = cos (x + π/2) = − sin x .
dx
dx
Primitive delle funzioni Seno e Coseno
Facendo attenzione alla questione dei segni, non è difficile trovare le primitive
delle funzioni sin x e cos x.
Teorema 135 Sia C una costante qualsiasi. Se f (x) = sin x, allora F (x) =
− cos x + C è una primitiva di F. Se g (x) 0 cos x, allora G (x) = sin x + C è una
primitiva di g.
Esempio 136 Trovare una primitiva della funzione f (x) = 3 sin x − 4 cos x.
Soluzione. Il Teorema precedente ci da le primitiva di sin x e cos x. CombiUsiamo le regole nandole in modo appropriato I si ha che una qualunque primitiva è data dalla
della somma e funzione
del prodotto per
una costante.
F (x) = −3 cos x − 4 sin x + C
dove C è una costante qualsiasi.
¥
Esempio 137 Qui di seguito è riportato il grafico di f (x) = x + cos x. Due
punti interessanti sono segnati
4.3. DERIVATE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE
205
10
5
0
-5
-10
-5
0x
5
10
Grafico di y = x + cos x
Ci sono massimi e minimi? Ci sono punti di flesso?
Soluzione. Il grafico sembra avere massimi e minimi, ma è proprio così?
Il disegno non è in grado di darci una risposta. Per risolvere il problema,
calcoliamo le derivate. Poiché f (x) = x + cos x si ha che f 0 (x) = 1 − sin x e
f 00 (x) = − cos x. Ne segue che
π
+ 2kπ ;
2
π
f 00 (x) = 0 ⇐⇒ cos x = 0 ⇐⇒ x = + kπ .
2
f 0 (x) = 0 ⇐⇒ sin x = 1 ⇐⇒ x =
In particolare, il primo punto disegnato sul grafico è sia un punto stazionario.
Inoltre, f ha una infinità di punti stazionari che distano tra loro 2π ed una
infinità di punti di flesso ad intervalli di π (il secondo punto indicato è un
flesso).
Notiamo infine che f 0 (x) = 1 − sin x ≥ 0 per tutti gli x. La derivata prima
non cambia mai segno per cui i punti che l’annullano non sono né di massimo
né di minimo e poiché annullano anche la derivata seconda sono quindi flessi
orizzontali.
Derivate delle Altre Funzioni Trigonometriche
Tutte le altre funzioni trigonometriche - tangente, cotangente, secante e
cosecante - sono combinazioni algebriche delle funzioni seno e coseno. Per calcolare le loro derivate aspetteremo fino a quando non avremo sviluppato in
modo esplicito le regole per la derivazione del prodotto e quoziente di funzioni.
206
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
4.3.3
Esercizi
1. Trovare le derivate delle seguenti funzioni:
(a) f (x) = 2 sin x ;
(b) f (x) = 3 cos x ;
(c) f (x) = 3 sin x − 4 cos x ;
(d) f (x) = 5 cos x + 6 sin x .
2. Trovare le derivate seconde delle funzioni dell’Esercizio 1.
3. Trovare le primitive delle funzioni dell’Esercizio 1.
4. Sia f (x) = x − cos x .
(a) Ci sono punti stazionari di f nell’intervallo [0, 2π] ?
(b) In quali punti dell’intervallo [0, 2π], f è crescente ?
(c) Trovare il valore massimo e quello minimo di f nell’intervallo [0, 2π]
(d) In quale intervallo f è convessa ?
(e) In quale punto f cresce più rapidamente ? Calcolare il valore di f 0
in quel punto.
5. Ripetere l’esercizio precedente con f (x) = x + cos x.
6. Tracciare il grafico delle seguenti funzioni nell’intervallo [0, 2π] . Individuare entrambe le coordinate dei punti di estremo locale, i punti di estremo
globale e i punti di flesso.
(a) f (x) = 12 x + sin x ;
(b) f (x) = x + sin x ;
(c) f (x) = 32 x + sin x ;
(d) f (x) = sin x + cos x ;
√
(e) f (x) = 2 sin x − 3x ;
√
(f) f (x) = 3 sin x + 3 cos x .
7. Sia a (x) = sin x. Trovare il valore delle costanti a e b tali che la funzione
lineare L (x) = a + bx ha le proprietà L (0) = f (0) e L0 (0) = f 0 (0) ;
(a) Trovare il valore della costante c tale che la funzione quadratica
Q (x) = L (x) + cx2 ha le proprietà Q (0) = f (0), Q0 (0) = f 0 (0)
e Q00 (0) = f 00 (0) ;
(b) Trovare il valore della costante d tale che la funzione cubica C (x) =
Q (x) + dx3 ha le proprietà C (0) = f (0), C 0 (0) = f 0 (0), C 00 (0) =
f 00 (0) e C 000 (0) = f 000 (0) ;
4.3. DERIVATE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE
207
(c) Disegnare (con l’aiuto di un calcolatore) f, L, Q e C sullo stesso
sistema d’assi, nell’intervallo [−4, 4] ;
(d) Trovare un intervallo sul quale | f (x) − L (x)| ≤ 0.1 ;
(e) Trovare un intervallo sul quale | f (x) − Q (x)| ≤ 0.1 ;
(f) Trovare un intervallo sul quale | f (x) − C (x)| ≤ 0.1 .
8. Ripetere l’esercizio precedente con f (x) = cos x.
9. La gittata G di un cannone che spara un proiettile con velocità di v m/ sec
e con un angolo di x radianti è data da:
¢
¡
G (x) = v2 /g sin 2x
dove g è l’accelerazione di gravità (espressa in m/ sec2 ).
(a) Per quale valore dell’angolo si ha la gittata massima?
(b) Quanto è il valore della gittata massima?
10. Sia f (x) = cos x + 12 cos 2x.
(a) Determinare dove f ha massimi e minimi locali, nell’intervallo [0, 5] ;
(b) Trovare i punti di flesso nello stesso intervallo.
11. Ripetere l’esercizio precedente con la funzione f (x) = sin x − 12 cos 2x.
12. Per ognuna delle seguenti condizioni, trovare una funzione che le soddisfa
:
(a) f 0 (z) = cos 2z , f (π/2) = 1 ;
(b) f 0 (x) = 2x3 + sin 4x , f (0) = 1 ;
(c) g 0 (w) = sin (w + 2) , g (0) = 3 .
13. Sia f (x) = A sin x + B cos x, dove A e B sono costanti.
(a) Mostrare che f 00 (x) = −f (x) ;
(b) Mostrare che f (4) (x) = f (x) ;
00
0
(c) Trovare una
√ funzione f tale che f (x) = −f (x), f (π/3) = −1 e
f (π/3) = 3 .
14. Sia f (x) = 2 − sin x e g (x) = 1 + cos x.
(a) Trovare la massima distanza verticale tra le curve y = f (x) e y =
g (x) nell’intervallo [0, 2π] ;
(b) Trovare il coefficiente angolare delle rette tangenti ai grafici delle due
curve nel punto di massima distanza verticale.
√
15. Sia f (x) = cos x e g (x) = 3 sin x..
208
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
(a) Trovare la massima distanza verticale tra le curve y = f (x) e y =
g (x) nell’intervallo [0, π] ;
(b) Trovare il coefficiente angolare delle rette tangenti ai grafici delle due
curve nel punto di massima distanza verticale.
16. Supponiamo che due lati di un rettangolo giacciano sugli assi coordinati
e che un angolo appartenga alla curva y = 2 cos x, 0 ≤ x ≤ π/2. Il
perimetro del rettangolo può valere 3π/2 ? Se si, trovare le coordinate
dell’angolo del rettangolo con tale proprietà. Se no, trovare le coordinate
dell’angolo che da il perimetro massimo.
17. Supponiamo che due lati di un rettangolo giacciano sugli assi coordinati
e che un angolo appartenga alla curva y = k cos x, con π/3 ≤ k ≤ π/2.
(a) Mostrare che k può essere scelto in modo tale che il rettangolo di
massimo periodo sia un quadrato.
(b) Stimare il valore di k in (a).
18. Sia f (x) = cos x e g (x) = sin x .
(a) Valutare la derivata 50-esima di f ;
(b) Valutare la derivata 51-esima di g ;
(c) Valutare la derivata 52-esima di g .
19. Mostrare che sin x + cos x ≤ 1 + x per tutti gli x ≥ 0 .
20. Mostrare che 2 + sin x − cos x ≤ ex per tutti gli x ≥ 0 [Sugg.: Usare il
risultato dell’Esercizio precedente e il fatto che 1 + x ≤ ex per tutti gli
x ≥ 0 ].
21. Calcolare i seguenti limiti riconoscendo, in ognuno di essi, la definizione
di derivata:
(a) limx→π/2
(b) limx→π
(c) limh→0
(d) limh→0
cos x
;
x − π/2
sin x
;
x−π
sin (3π/2 + h) − 1
;
h
√
2 cos (5π/4 + h) + 2
.
h
22. Calcolare limh→0
cos (x − h) − cos (x + h)
.
h
23. Sia f (x) = sin kx . Dare una giustificazione ad ognuno dei seguenti passaggi che dimostrano che f 0 (x) = k cos kx.
4.3. DERIVATE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE
(a)
i.
209
sin (k (x + h)) − sin kx
d
sin kx = limh→0
dx
h
ii. = limh→0
sin (kx + kh) − sin kx
h
iii. = limh→0 k
sin (kx + w) − sin kx
w
iv. = limw→0 k
sin (kx + w) − sin kx
w
v. = k limw→0
sin (kx + w) − sin kx
w
vi. = k cos kx .
24. Usare il risultato precedente per calcolare la derivata di g (x) = 3 sin 2x .
25. Sia f (x) = cos kx .
(a) Usare la definizione di derivata per mostrare che f 0 (x) = −k sin kx ;
(b) Usare il risultato precedente per calcolare la derivata di f (x) =
2 cos 3x .
210
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
4.4
La Derivazione del Prodotto e del Quoziente
Il tema della costruzione di nuove funzioni, partendo da quelle note, è un tema
ricorrente in questo corso. Nello studio delle proprietà delle funzioni abbiamo
introdotto e discusso le varie operazioni - algebriche, composizione, inversione,
e così via - che ci hanno permesso di costruire nuove funzioni dalle note. In
questo paragrafo e nel prossimo, vedremo come calcolare le derivate di queste
“nuove” funzioni a partire dalla conoscenza delle derivate di quelle note.
Non tutte le situazioni sono semplici come nel caso della derivata combinazione lineare di funzioni, nel qual caso la derivata è la combinazione lineare
delle funzioni componenti, cioè:
h (x) = af (x) + bg (x) , a, b costanti =⇒ h0 (x) = af 0 (x) + bg 0 (x) .
Qui di seguito riportiamo i Teoremi che ci dicono quali sono le regole di
derivazione del prodotto di due funzioni e del reciproco di una funzione. Prima
di dimostrarli, illustreremo come si usano.
Siano ue v funzioni differenziabili, si ha:
Teorema 138 (La regola Del Prodotto) Se p (x) = u (x) · v (x) , si ha
p0 (x) = u0 (x) · v (x) + u (x) · v0 (x) .
Equivalentemente, (uv)0 = u0 v + uv 0 .
Teorema 139 (La regola della Funzione Reciproca) Se q (x) = 1/u (x) ,
la derivata di q è data da
q 0 (x) = −
u0 (x)
.
u2 (x)
Equivalentemente scriviamo, q 0 = −u0 /u2 .
Esempio 140 (Primitiva di ln x). Abbiamo, in precedenza, affermato che
una qualsiasi primitiva della funzione ln x è data da una funzione della forma
f (x) = x ln x − x + C. Proviamolo adesso.
Soluzione. Usiamo la regola del prodotto appena enunciata, si ha
(x ln x − x + C)0
= (x ln x)0 − 1
1
= ln x + x · − 1 = ln x .
x
come affermato.
Esempio 141 Sia f (x) = 1/ sin x. Trovare la sua derivata.
¥
4.4. LA DERIVAZIONE DEL PRODOTTO E DEL QUOZIENTE
211
Soluzione. Usando la formula per la derivata del reciproco si ha che:
f 0 (x) = −
cos x
.
sen2 x
¥
Esempio 142 Trovare la derivata della funzione g (x) = e−x .
Soluzione. Osserviamo dapprima che la funzione g (x) può essere scritta
come:
g (x) = e−x = (ex )−1 =
1
.
ex
Possiamo allora usare la regola di derivazione della funzione reciproca. Si ha
¢0
¡
ex
1
= − x = −e−x .
g 0 (x) = e−x = −
2
e
(ex )
¥
Conoscendo la derivata del prodotto di due funzioni e la derivata della reciproca possiamo sapere qual’è la derivata del quoziente di due funzioni. Si ha
infatti:
Teorema 143 (Derivata del Quoziente) Siano ue v funzioni differenziabili,
si ha
µ
¶
u (x) 0 u0 (x) v (x) − u (x) v0 (x)
.
=
v (x)
v 2 (x)
u (x)
1
può essere scritto come u (x) ·
.
v (x)
v (x)
Lo possiamo allora considerare come il prodotto delle funzioni u ed 1/v. Si ha
così
µ
µ
¶
¶0
1
u (x) 0
=
u (x) ·
v (x)
v (x)
µ
¶0
1
1
0
+ u (x)
= u (x)
v (x)
v (x)
µ 0
¶
v (x)
1
0
+ u (x) − 2
= u (x)
v (x)
v (x)
0
0
u (x) v (x) − u (x) v (x)
.
=
v 2 (x)
Dimostrazione. Il quoziente
Possiamo adesso calcolare, per esempio la derivata delle “altre” funzioni
trigonometriche, che non avevamo potuto calcolare nel paragrafo precedente.
Calcoliamo subito la derivata della funzione tan x e lasciamo le altre per esercizio.
212
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
Esempio 144 Trovare la derivata di tan x.
Soluzione. Usiamo la regola del quoziente, si ha:
¶
µ
sin x 0 sin2 x + cos2 x
1
0
tan x =
= 1 + tan2 x =
.
=
2
cos x
cos x
cos2 x
¥
Riportiamo qui di seguito la tabella delle derivate delle funzioni trigonometriche.
Derivate delle Funzioni Trigonometriche
Funzione
sin x
cos x
tan x
cot x
sec x
csc x
Derivata
cos x
− sin x
sec2 x
− csc2 x
sec x tan x
− csc x cot x
Esempio 145 Trovare la derivata di q (x) = x2 / sin x .
Soluzione. Indichiamo con u (x) = x2 e v (x) = sin x. Si ha allora
q 0 (x) =
³ u ´0
v
=
u0 v − uv 0
2x sin x − x2 cos x
=
.
v2
sin2 x
Alcune semplificazioni algebriche della soluzione sono possibili, ma poiché il
nostro obbiettivo riguarda le derivate, lasciamo il risultato nella forma trovata.¥
Dimostrazione. (Dimostrazione della Regola del Prodotto). Scriviamo la definizione di derivata della funzione prodotto. Si ha
(u (x) v (x))0 = lim
h→0
u (x + h) v (x + h) − u (x) v (x)
h
Adoperiamo adesso un trucco algebrico aggiungendo e sottraendo il termine
u (x) v (x + h) , si ottiene
(u (x) v (x))0 =
=
=
=
=
=
u (x + h) v (x + h) − u (x) v (x)
h→0
h
u (x + h) v (x + h) ± u (x) v (x + h) − u (x) v (x)
lim
h→0
h
(u (x + h) − u (x)) v (x + h) u (x) (v (x + h) − v (x))
+
lim
h→0
h
h
(u (x + h) − u (x)) v (x + h)
u (x) (v (x + h) − v (x))
+ lim
lim
h→0
h→0
h
h
(u (x + h) − u (x)) v (x + h)
lim v (x + h)
lim
h→0
h→0
h
(v (x + h) − v (x))
+u (x) lim
h→0
h
u0 (x) v (x) + u (x) v 0 (x) .
lim
4.4. LA DERIVAZIONE DEL PRODOTTO E DEL QUOZIENTE
213
Il risultato si ottiene dal fatto che due dei limiti presenti altro non sono che il
rapporto incrementale delle funzioni u e v.
L’altro limite presente è limh→0 v (x + h) . Poiché sappiamo che se una funzione
è derivabile è anche continua si ha che limh→0 v (x + h) = v (x) .
Prima di concludere notiamo che il risultato non sarebbe cambiato se avessimo aggiunto e tolto il termine u (x + h) v (x) .
Vediamo anche la dimostrazione della derivata della funzione reciproca
Dimostrazione. (Dimostrazione della Derivata della Funzione Reciproca).
Anche in questo caso, iniziamo scrivendo il rapporto incrementale. Si ha:
µ
1
u (x)
¶0
=
=
=
=
=
1
1
−
u (x + h) u (x)
lim
h→0
h
u (x) − u (x + h)
1
lim
h→0
h
u (x + h) u (x)
u (x) − u (x + h)
1
lim
lim
h→0
h→0 u (x + h) u (x)
h
u (x + h) − u (x)
1
lim
− lim
h→0
h→0 u (x + h) u (x)
h
0
u (x)
1
=− 2
.
−u0 (x) 2
u (x)
u (x)
Il risultato si ottiene perché si ha che
1
1
1
=
=
h→0 u (x + h) u (x)
u (x) limh→0 u (x + h)
u (x)2
lim
Torniamo a considerare altri esempi.
Esempio 146 Siano u, v e w funzioni differenziabili. Trovare una formula
per (uvw)0
Soluzione.
prodotto.
Basta usare, con accortezza, la formula di derivazione del
(uvw)0 = ((uv) · w)0
= (uv)0 · w + (uv) · w0
¢
¡
= u0 v + uv0 · w + uv · w0
= u0 vw + uv 0 w + uvw0 .
Notate la simmetria del risultato: ogni termine contiene una derivata.
Esempio 147 Differenziare xex sin x e x/ (ex sin x) .
¥
214
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
Soluzione. Usando la formula che abbiamo appena ricavato, si ha:
(xex sin x)0 = ex sin x + xex sin x + xex cos x .
La seconda funzione richiede l’uso della formula del prodotto e del quoziente:
µ
¶0
x
(x)0 (ex sin x) − x (ex sin x)0
=
(ex sin x)
(ex sin x)2
ex sin x − x (ex sin x + ex cos x)
=
(ex sin x)2
sin x − x sin x − x cos x
=
e2x sin2 x
sin x (1 − x) − x cos x
e2x sin2 x
¥
Ricerca delle Primitive: Provare e Verificare.
Calcolare le derivate è più semplice che cercare le primitive di funzioni che
si presentino come prodotto. Quella di provare e verificare è spesso una tecnica
che da risultati.
Esempio 148 Trovare una primitiva delle funzioni f (x) = x2 cos x + 2x sin x
x cos x − sin x
.
e g (x) =
x2
Soluzione. La forma di f e di g ci suggeriscono di applicare la regola del
prodotto e del quoziente, rispettivamente. Con questa idea in testa è naturale
supporre che
F (x) = x2 sin x + C e G (x) =
sin x
+C
x
siano delle possibili primitive. Per convincersi del risultato basta derivare le
funzioni F e G.
¡
¢
F 0 (x) = x2 sin x + C = 2x sin x + x2 cos x ;
¶0
µ
x cos x − sin x
sin x
+C =
.
G (x) =
x
x2
¥
4.4. LA DERIVAZIONE DEL PRODOTTO E DEL QUOZIENTE
4.4.1
215
Esercizi
1. Trovare la derivata delle seguenti funzioni, (i) sia usando la regola di
derivazione del prodotto che, (ii) esplicitando il prodotto.
¡
¢
(a) f (x) = x2 x3 − 4 ;
(b) f (x) = (x − 3)3 ;
(c) f (x) = ex · e2x ;
(d) f (x) = tan x · csc x .
2. Trovare la derivata delle seguenti funzioni, (i) sia usando la regola di
derivazione del quoziente, che, (ii) semplificando prima di derivare.
(a) g (x) =
x2
;
x3
(b) g (x) =
1 − x2
,
1+x
(c) g (x) =
1
;
ex
(d) g (x) =
cot x
.
csc x
3. Trovare le derivate delle seguenti funzioni.
(a) f (x) = x sin x ;
(b) f (x) = x2 cos x ;
√
(c) f (x) = 3 x ln x ;
(d) f (x) = sin x cos x ;
¢
¡
(e) f (x) = x2 − x ln x ;
(f) f (x) = e−x ln x ;
sin x
;
x2
cos x
;
(h) g (x) = 2
x + ex
(g) g (x) =
(i) g (x) =
(x + 1)2
;
x2 + 1
sin x
;
cos2 x
cos x
;
(k) g (x) =
ln x
(j) g (x) =
216
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
(l) g (x) = cot x ;
(m) g (x) = sec (x + 3) ;
(n) g (x) = 3 csc x ;
(o) g (x) = 4 tan (x + 3) ;
4. Trovare le primitive delle seguenti funzioni
(a) g (x) = sec2 x ;
(b) g (x) = 3 sec x tan x ;
(c) g (x) = sec2 (x + 1) ;
(d) g (x) = csc2 x ;
(e) g (x) = 2x sin x + x2 cos x ;
(f) g (x) = 3x2 cos x − x3 sin x ;
(g) g (x) =
xex − ex
;
x2
(h) g (x) = 2xe−x − x2 ex ;
(i) g (x) = ex sin x + ex cos x
(j) g (x) = ex cos x − ex sin x .
5. Supponiamo che f e g siano funzioni differenziabili e h (x) = f (x) g (x) .
Trovare l’espressione simbolica in termini di f e g per le espressioni di
h00 (x) e h000 (x) .
6. Sia f (x) = xex .
(a) Trovare il valore delle costanti a e b in modo tale che la funzione
lineare L (x) = a + bx abbia le proprietà che L (0) = f (0) , L0 (0) =
f 0 (0) ;
(b) Trovare il valore della costante c in modo tale che la funzione quadratica Q (x) = L (x) + cx2 abbia le proprietà che Q (0) = f (0), Q0 (0) =
f 0 (0), Q00 (0) = f 00 (0) ;
(c) Disegnare f, L, Q sullo stesso sistema d’assi, nell’intervallo [−3, 3] ;
(d) Trovare un intervallo sul quale |f (x) − L (x)| < 0.1 ;
(e) Trovare un intervallo sul quale |f (x) − Q (x)| < 0.1 .
7. Sia f (x) =
x
.
3 + x2
4.4. LA DERIVAZIONE DEL PRODOTTO E DEL QUOZIENTE
217
(a) Trovare il valore delle costanti a e b in modo tale che la funzione lineare L (x) = a+b (x − 1) abbia le proprietà che L (1) = f (1) , L0 (1) =
f 0 (1) ;
(b) Trovare il valore della costante c in modo tale che la funzione quadratica Q (x) = L (x) + cx2 abbia le proprietà che Q (1) = f (1), Q0 (1) =
f 0 (1), Q00 (1) = f 00 (1) ;
(c) Disegnare f, L, Q sullo stesso sistema d’assi, nell’intervallo [−3, 3] ;
(d) Trovare un intervallo sul quale |f (x) − L (x)| < 0.1 ;
(e) Trovare un intervallo sul quale |f (x) − Q (x)| < 0.1 .
8. Supponiamo che f sia la funzione mostrata sotto (x − 2)2 − 4
5
4
3
2
-1
0
1
-1
2 x 3
4
5
-2
-3
-4
Grafico di f
(a) Sia h (x) = x2 f (x) . Valutare h0 (2) e h0 (4) ;
¢
¡
(b) Sia m (x) = f (x) / x2 + 1 . Valutare m0 (0) .
9. Sia f (x) = xex . Trovare i valori dei parametri A e B in modo tale che
F (x) = (Ax + B) ex sia una primitiva di f.
dei parametri A, B e C in modo tale
10. Sia g (x) = x¡2 ex . Trovare i valori
¢
che H (x) = Ax2 + Bx + C ex sia una primitiva di g.
11. Sia h (x) = e2x sin x. Trovare i valori dei parametri A e B in modo tale
che H (x) = (A sin x + B cos x) e2x sia una primitiva di h.
12. Consideriamo la funzione g (x) =
ln x
nell’intervallo [1, +∞)
x
(a) In quale punto g raggiunge il suo valore massimo? Qual’è il valore
del massimo?
(b) Trovare i flessi del grafico di g.
13. Sia f (x) =
x + sin x
.
cos x
(a) Trovare f 0 (x) ;
218
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
(b) Trovare l’equazione della retta tangente al grafico di f in x = 0.
14. Sia f (x) = ex cos x .
(a) Per quale valore di x nell’intervallo [0, π] , la funzione f raggiunge il
suo massimo? Ed il suo minimo?
(b) Trovare i flessi del grafico di g nell’intervallo [0, π] .
15. Trovare il massimo ed il minimo di f (x) = e−x sin x nell’intervallo [0, +∞) .
16. Sia f (x) = 2x + x cos x + sin x .
(a) Mostrare che f ha un minimo locale per x = (2k + 1) π , k =
0, 1, 2, . . .
(b) Mostrare che f ha un massimo locale per x = − (2k + 1) π , k =
0, 1, 2, . . .
17. Supponiamo che N (t), il numero di batteri in una cultura al tempo t, è
proporzionale a 25 + te−t/20 .
(a) Per quale valore di t nell’intervallo [0, 100] il numero dei batteri è
minimo?
(b) Per quale valore di t nell’intervallo [0, 100] il numero dei batteri è
massimo?
(c) Per quale valore di t nell’intervallo [0, 100] la variazione del numero
dei batteri è minimo?
18. Qual’è l’area del triangolo più grande formato, nel primo quadrante,
dall’asse x, dall’asse y e la retta tangente al grafico di y = e−x ?
19. Mostrare che x + x−2 ≥ 2 per 0 < x ≤ 1 [Sugg.: Usare il principio delle
corse.]
20. Mostrare che sin x + tan x ≥ 2x per 0 ≤ x ≤ π/2 [Sugg.: Usare il
risultato dell’Esercizio precedente per mostrare che cos x + sec2 x ≥ 2 se
0 ≤ x ≤ π/2 ].
x
≤ ln (1 + x) ≤ x per tutti gli x ≥ 0 [Sugg.: Usare il
1+x
principio delle corse].
21. Mostrare che
22. Sia f una funzione differenziabile.
g (x) = f 2 (x) e h (x) = f 3 (x) .
Trovare la derivata delle funzioni
23. Sia f una funzione differenziabile e sia g (x) = f 2 (x) .
(a) Mostrare che ogni punto stazionario di f è un punto stazionario di
g;
(b) Se x0 è un massimo locale di f , lo è anche per g ? Spiegare.
4.4. LA DERIVAZIONE DEL PRODOTTO E DEL QUOZIENTE
24. Sia f (x) =
219
kx
ln x
−
, dove k è una costante.
k
x+1
(a) Mostrare che f non ha estremi locali se 0 ≤ k ≤ 2 ;
(b) Mostrare che f ha estremi locali se k > 2. Determinare quanti sono
e quali sono .
25. Supponiamo che f, g e h siano differenziabili
e che´ h (x) = f (x) g (x).
³
2
0
Mostrare che se h (1) 6= 0 allora f (1) (1) + g 2 (1) > 0.
26. Supponiamo che la funzione f abbia come dominio R e le seguenti proprietà:
(a)
i. f (x + y) = f (x) f (y) ;
ii. f (0) 6= 0 ;
iii. f 0 (0) = 1
(b) Mostrare che f (0) = 1 ;
(c) Mostrare che f (x) 6= 0 per tutti gli x .
27. (Una dimostrazione alternativa della regola di derivazione del prodotto).
Siano f, g funzioni differenziabili e h = f · g.
¢0
¡
(a) Usare la definizione per mostrare che f 2 (x) = 2f (x) f 0 (x) [Sugg.:
Usare l’identità algebrica a2 − b2 = (a − b) (a + b)].
³
´
(b) Mostrare che h (x) = 12 (f (x) + g (x))2 − (f (x) − g (x))2 ;
(c) Usare (a) e (b) per mostrare che h0 (x) = f 0 (x) g (x) + f (x) g 0 (x) .
220
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
4.5
La Derivazione delle Funzioni Composte
Tutto ciò che rimane da fare prima di essere capaci di derivare tutte le funzioni
elementari, è la capacità di trattare funzioni del tipo
sin x2 , (sin x)2 , e sin3 x2
che si ottengono componendo funzioni più semplici.
le funzioni più semplici coinvolte sopra sono:
f (u) = sin u , g (u) = u2 , e h (u) = u3 .
Trovare le derivate di f, g e di h non è un problema; la questione che si
pone è quella di riuscire a combinare queste derivate per riuscire ad esprimere
la derivata delle funzioni composte. In altre parole il problema è:
Come si combinano f, g, f 0 e g 0 per ottenere (f ◦ g)0 ?
Nel risolvere il problema assumiamo che f e g siano “sufficientemente buone”
per i nostri scopi, cioè che f, g, f 0 e g 0 abbiano domini sufficientemente ampi
da permettere le operazioni che desideriamo.
Non dimostreremo il teorema che enuncia la formula per la derivazione delle
funzioni composte, ma cercheremo di illustrarlo con un ampio numero di esempi.
Teorema 149 (Derivazione delle Funzioni Composte) Siano f e g funzioni differenziabili per le quali è ben definita la composizione f ◦ g. Sia a un
punto interno al dominio della funzione composta, si ha
(f ◦ g)0 (a) = f 0 (g (a)) · g 0 (a) .
Osserviamo i seguenti fatti:
• Esistenza della Derivata. Il teorema garantisce l’esistenza di (f ◦ g)0 (a),
se esistono le derivate f 0 (g (a)) e g 0 (a);
• Perché un Prodotto. Il teorema afferma che la derivata della composizione f ◦ g è il prodotto delle derivate f 0 e g 0 . Come mai il prodotto
è appropriato? L’interpretazione delle derivate come velocità di cambiamento ci aiuta a capire. Supponiamo, per esempio, che y = f (u) e
u = g (x) , f 0 (u) = 3 e g 0 (x) = 2. Questo significa, nel linguaggio della variazione, che y varia tre volte più velocemente di u, e u varia due
volte più velocemente di x. E’ ragionevole dedurne che y vari sei volte più
rapidamente di x.
• Quale prodotto ?. La derivazione della composizione di due funzioni
coinvolge il prodotto delle derivate di f e di g. Bisogna però fare attenzione. I fattori f 0 (g (a)) e g 0 (a) mostrano che le derivate sono valutate su
ingressi differenti.
4.5. LA DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE
221
• Altre Notazioni Nell’enunciato del teorema abbiamo specificato il valore dell’ingresso x = a per enfatizzare l’osservazione precedente. Poiché
il teorema vale per tutti gli ingressi ammissibili, possiamo pensare all’esistenza della funzione derivata. Da questo punto di vista la regola di
derivazione della composizione si scrive nella forma
(f ◦ g)0 (x) = f 0 (g (x)) · g 0 (x)
o equivalentemente nella forma
¡
¢
(f ◦ g)0 = f 0 ◦ g · g 0 .
Una dimostrazione rigorosa del teorema richiede la soluzione di alcune questioni delicate riguardanti i limiti. Preferiamo, come detto, cominciare a mostrare
subito come funziona.
Esempio 150 Differenziare sin x2 e sin2 x.
Soluzione. Poniamo f (u) = sin u e g (u) = u2 . Si ha che
sin x2 = (f ◦ g) (x) e sin2 x = (g ◦ f ) (x) .
Dalla regola di derivazione della composizione e dalle derivate di f e di g si ha:
¡
¢0
sin x2 = (f ◦ g)0 (x) = f 0 (g (x)) · g 0 (x) = cos x2 · 2x .
In modo analogo:
¡
¢0
sin2 x = (g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x)) · f 0 (x) = 2 sin x · cos x
Le due risposte sono ovviamente diverse, come devono essere, visto che la
composizione non è un’operazione commutativa!
¥
Esempio 151 Trovare le funzioni derivate di sin 3x e sin (x + 3) usando la
derivazione della composizione.
Soluzione. Siano f (u) = sin u , g (x) = 3x , e h (x) = x + 3. Si ha
(sin 3x)0 = (f ◦ g)0 (x) = f 0 (g (x)) · g 0 (x) = 3 · cos 3x .
Analogamente,
(sin (x + 3))0 = (f ◦ h)0 (x) = f 0 (h (x)) · h0 (x) = 1 · cos (x + 3)
¥
Esempio 152 Differenziare sin3 x2 .
222
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
Soluzione. In questo caso dobbiamo fare un po’ più di attenzione. Sia
f (u) = sin u , g (u) = u2 e h (u) = u3 ; allora
¡
¢3
(h ◦ g ◦ f ) (x) = sin x2 = sin3 x2 .
Dobbiamo perciò derivare la composizione di tre funzioni. Per farlo raggruppiamo h ◦ f ◦ g = h ◦ (f ◦ g) ed usiamo la regola di derivazione due volte:
¡
¡
¢
¢ ¡
¢
(h ◦ (f ◦ g))0 = h0 ◦ (f ◦ g) · (f ◦ g)0 = h0 ◦ (f ◦ g) · f 0 ◦ g · g 0 .
Nel caso particolare in esame, si ha così:
¡ 3 2 ¢0
¢0
¡
sin x
= 3 sin2 x2 · sin x2
= 3 sin2 x2 · cos x2 · 2x
= 6x · sin2 x2 · cos x2
¥
Ciò che abbiamo osservato nei precedenti esempi ci dice che:
Per differenziare la composizione f (g (x)), si differenzia prima la funzione più
esterna, lasciando inalterata quella interna, poi si moltiplica per la derivata
della funzione interna.
Questa regola funziona correttamente qualunque sia il numero delle funzioni
composte, come mostra il seguente esempio.
Esempio 153 Differenziare sin (sin (sin x)) .
Soluzione. Operiamo con attenzione, seguendo la regola scritta sopra:
(sin (sin (sin x)))0 = cos (sin (sin x)) · (sin (sin x))0
= cos (sin (sin x)) · cos (sin x) · (sin x)0
= cos (sin (sin x)) · cos (sin x) · cos x .
¥
Esempio 154 Sia n un numero reale. Derivare sinn x ; differenziare quindi
f n (x) dove f è una qualsiasi funzione differenziabile.
Soluzione. La derivazione della composizione fornisce la risposta in entrambi i casi.
(sinn x)0 = n sinn−1 x · cos x ;
(f n (x))0 = n f n−1 (x) · f 0 (x) .
¥
4.5. LA DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE
223
La Derivazione della Composizione nella Notazione di Liebnitz
La derivazione della composizione è facile da ricordare, e talvolta anche conveniente da scrivere, usando la notazione di Liebnitz. Ecco come la possiamo esprimere, in modo informale, assumendo che y ed u siano funzioni
differenziabili.
Sia y una funzione della variabile u ed u una funzione della variabile x. Ne segue che y è una funzione composta di x; la derivata
di y rispetto ad x è data da
dy du
dy
=
.
·
dx
du dx
Esempio 155 Differenziare la funzione y = sin x2 .
Soluzione. Si ha y = sin u e u = x2 , così
dy
dy du
=
= cos u · 2x = 2x · cos x2
·
dx
du dx
Nell’ultimo passaggio abbiamo sostituito u con x2 .
4.5.1
¥
Derivata delle Funzioni Inverse e Derivazione della Composizione
La regola di derivazione della composizione di funzioni può essere usata per
trovare la derivata della funzione inversa (incognita) una volta che sia nota la
derivata della funzione.
Infatti, se f e g sono funzioni inverse, la relazione
(f ◦ g) (x) = x
vale per tutti gli x nel dominio di g. Differenziando entrambi i lati dell’uguaglianza si ottiene
(f ◦ g)0 (x) = f 0 (g (x)) · g 0 (x) = 1 .
Si ricava allora il seguente fatto
Affermazione 156 Siano f e g funzioni inverse. Allora
1
g 0 (x) = 0
f (g (x))
per tutti i valori di x per i quali il lato destro dell’uguaglianza è definito.
Cominciamo col vedere un esempio semplice
Esempio 157 Usare il fatto che ex e ln x sono funzioni inverse e il fatto che
(e)0 = ex per trovare la derivata di ln x.
Soluzione. Sia f (x) = ex e g (x) = ln x. Usando la formula precedente si
ha
g 0 (x) = (ln x)0 =
1
1
1
= ln x = .
f 0 (g (x))
e
x
224
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
4.5.2
Funzioni Trigonometriche Inverse e Loro Derivate
Per indicare le funzioni trigonometriche inverse sono usate due diverse notazioni:
arcsin x , arccos x , arctan x , e sin−1 x , cos−1 x , tan−1 x .
Ogni forma ha i suoi vantaggi. La prima rende esplicita la connessione con
gli archi sulla circonferenza unitaria; la seconda ci ricorda l’inversione delle
funzioni. Useremo indifferentemente entrambe le notazioni poiché entrambe
possono essere trovate nella letteratura scientifica.
Un Problema e la Sua Soluzione: Restringere il Dominio
Per essere invertibile una funzione deve essere biunivoca, adottando il punto
di vista grafico, questo significa che deve soddisfare il “test della retta orizzontale”. Sfortunatamente, nessuna delle funzioni trigonometriche soddisfa questo
test. Infatti poiché esse sono periodiche, ripetono se stesse su intervalli lunghi
2π,quindi assumono lo stesso valore di uscita una infinità di volte. Il prossimo
esempio illustra il problema.
Esempio 158 Per definizione, arcsin 0.5 dovrebbe essere un numero il cui seno
vale 0.5 . Trovare questo numero, è unico?
Soluzione. Usiamo l’evidenza grafica per mostrare che ci sono più ingressi
x tali che sin x = 0.5
sin x
1
0.5
-6
-4
-2
0
2
x
4
6
-0.5
-1
Valori di x tali che sin x = 0.5
Ciò che dobbiamo risolvere è l’equazione
sin x = 0.5 .
Sappiamo che sin π/6 = 0.5, ma anche sin 5π/6 = 0.5 e rispetto alla figura
disegnata che
0.5 = sin (−11π/6) = sin (−7π/6) = sin π/6 = sin 5π/6 .
4.5. LA DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE
225
In generale poiché sin x è una funzione di periodo 2π si ha che tutti i numeri
del tipo π/6 + 2kπ e 5π/6 + 2kπ con k intero qualsiasi, soddisfano l’equazione
data.
¥
Nell’esempio appena visto, si ha più di una soluzione del problema posto
(in realtà, infinite soluzioni) perché la funzione non è biunivoca. Per poterla invertire (così come per le altre funzioni trigonometriche) abbiamo un’unica soluzione: restringere il dominio ad un intervallo nel quale la funzione è
biiettiva.
Inversione della Funzione Seno
La funzione seno è crescente, e quindi invertibile nell’intervallo [−π/2, π/2] . (E’
ovvio che esiste una infinità di intervalli su cui la funzione seno è monotona,
quindi biiettiva e perciò invertibile, tra tutti questi quello centrato nello zero
sembra essere il più naturale da scegliere).
1
0
-1
Restrizione della funzione Seno
La restrizione della funzione seno all’intervallo [−π/2, π/2] ammette quindi
funzione inversa, definita come segue:
Definizione 159 Per x ∈ [−1, 1], la funzione inversa della funzione seno, y =
arcsin x (o sin−1 x) è definita dalle condizioni
x = sin y
e
−
π
π
≤y≤ .
2
2
π π
A parole: arcsin x è l’angolo (unico) compreso tra − e il cui valore del seno
2 2
è x.
Da notare le proprietà seguenti.
Simmetria Grafica. Il grafico di sin x nell’intervallo [−π/2, π/2] ed il
grafico di sin−1 x mostrano la simmetria che ci si aspettava
226
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
1.5
1
0.5
-1.5
-1
0
-0.5
-0.5
0.5 x 1
1.5
-1
-1.5
Seno ed Arcoseno
Dominio e Codominio. La funzione seno (così come l’abbiamo ristretta)
ha dominio [−π/2, π/2] e codominio [−1, 1] . La sua inversa, arcsin x li scambia
tra di loro: il dominio è [−1, 1] e il codominio è [−π/2, π/2] .
Composizione delle Inverse. Per la definizione di funzione inversa si ha
che
sin (arcsin x) = x per
arcsin (sin x) = x per
− 1 ≤ x ≤ 1;
− π/2 ≤ x ≤ π/2 .
Inversione della Funzione Coseno
La funzione coseno diventa biiettiva e quindi invertibile, se ristretta all’intervallo
[0, π] . Compreso questo fatto i grafici del coseno e dell’inversa, così come la
definizione formale, seguono facilmente
1
0
0
-1
Restrizione del Coseno
Grafici di Coseno e Arcoseno
Definizione 160 Per x ∈ [−1, 1], la funzione inversa della funzione coseno,
y = ar cos x ( o cos−1 x) è definita dalle condizioni
x = cos y e 0 ≤ y ≤ π .
A parole: ar cos x è l’unico angolo tra 0 e π il cui coseno vale x.
4.5. LA DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE
227
Così come per la funzione seno, si hanno le tre proprietà:
Simmetria Grafica. La restrizione del grafico di cos x all’intervallo [0, π/]
ed il grafico di cos−1 x mostrano la simmetria che ci si aspettava per le funzioni
inverse, essi sono simmetrici rispetto alla retta y = x .
Dominio e Codominio. La funzione coseno (così come l’abbiamo ristretta) ha dominio [0, π] e codominio [−1, 1] . La sua inversa, arccos x ha quindi
dominio [−1, 1] e codominio [0, π] .
Composizione delle Inverse. Come per l’arcoseno, due equazioni esprimono la relazione tra le due funzioni inverse:
¡
¢
cos cos−1 x = x per
−1
cos
− 1 ≤ x ≤ 1;
(cos x) = x per 0 ≤ x ≤ π .
Inversione della Funzione Tangente
La funzione tan x è biiettiva se ristretta di uno qualsiasi dei suoi rami. Usualmente viene usato quello a cavallo dell’origine:
4
2
0
-2
-4
Grafico di tre rami di tan x
Differentemente dalle funzioni seno e coseno, il codominio della funzione
tan x è tutto R. Ne segue che il dominio dell’inversa arctan x è tutto R.
Definizione 161 Sia x ∈ R. Allora, y = ar tan x (o y = tan−1 x) significa che
x = tan y e
−
π
π
<y< .
2
2
Ricordiamo, ancora le seguenti proprietà
Simmetria. Il dominio dell’arctan x (cioè il rango di tan x) è infinito, così
che ogni disegno del grafico è incompleto. Notare comunque l’usuale simmetria
228
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
tra i grafici
La Funzione Tangente e la sua Inversa
Dominio e Codominio. La funzione tangente (così come l’abbiamo ristretta) ha dominio (−π/2, π/2) e codominio (−∞, +∞) . La sua inversa, arctan x
ha quindi dominio (−∞, +∞) e codominio (−π/2, π/2) .
Composizione delle Inverse. In modo analogo alle altre funzioni inverse,
valgono le relazioni:
¢
¡
tan tan−1 x = x per
−1
tan
(tan x) = x per
− ∞ < x < +∞;
− π/2 < x < π/2 .
Altre Funzioni Trigonometriche Inverse
Tutte e sei le funzioni trigonometriche ammettono inversa. Insieme a arcsin x,
arccos x e arctan x si possono definire arcsec x, arccsc x e arccot x. Anche in
questi ultimi tre casi occorre fare attenzione alla restrizione del dominio per ottenere l’invertibilità. Di queste ultime, inoltre la più utile può essere considerata
l’arcosecante che appare a volte nella ricerca delle primitive.
Per ogni possibile ingresso t, sec t = 1/ cos t. la definizione più semplice di
arcsec x, basata sul quella di arccos x riflette questo dato:
Definizione 162 Per ogni x, tale che |x| ≥ 1,
arcsec x = sec−1 x = cos−1 (1/x) = arccos
1
.
x
In particolare,
y = arcsec x = arccos
come ci si aspettava.
1
1
=⇒ cos y =
=⇒ sec y = x ,
x
x
4.5. LA DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE
229
In pratica, le funzioni trigonometriche inverse sono spesso combinate con le
ordinarie funzioni trigonometriche
La prima figura (tra le altre cose) mostra che
¡
¢ p
cos sin−1 x = 1 − x2 .
Dalla seconda ricaviamo che:
¡
¢
x
sin tan−1 x = √
:
1 − x2
Derivate delle Funzioni Trigonometriche Inverse
Conosciamo le derivate delle funzioni trigonometriche, possiamo allora, usando
il metodo di derivazione delle funzioni composte, trovare le derivate delle loro
inverse. Scriviamo subito la tabella della derivate delle funzioni trigonometriche
inverse, subito dopo le calcoleremo.
Derivate delle Funzioni Trigonometriche Inverse
Funzione
arcsin x
arccos x
arctan x
arcsec x
Derivata
1
√
1 − x2
1
−√
1 − x2
1
1 + x2
1
√
|x| 1 − x2
Osserviamo subito i seguenti fatti:
Restrizione del Dominio. Le Funzioni arcsin x, arccos x, arctan x e
arcsec x hanno delle restrizioni sul loro dominio. Altrettanto avviene per le loro
derivate.
Derivate di arcsin x e arccos x. Le derivate delle funzioni arcsin x e arccos x
differiscono solo per il segno. Ne segue allora che (arcsin x+ arccos x)0 = 0 per
tutti i valori degli ingressi ammissibili. Questo non è casuale perché si ha che,
per tutti gli x ∈ [−1, 1]
arcsin x+ arccos x =
Esempio 163 Mostrare che (arctan x)0 =
π
.
2
1
.
1 + x2
230
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
Soluzione. Se f (x) = tan x e g (x) = arctan x, allora f e g sono inverse l’u1
= 1+tan2 x. Usando la formula per la derivazione
na dell’altra e f 0 (x) =
cos2 x
delle funzioni inverse si ha:
(arctan x)0 =
1
f 0 (g (x))
=
1
1 + tan2 (arctan x)
=
1
.
1 + x2
¥
1
Esempio 164 Spiegare perché (arcsin x)0 = √
.
1 − x2
Soluzione. Operiamo esattamente come prima ponendo f (x) = sin x ,
g (x) = arcsin x e ricordando che f 0 (x) = cos x. Si ha perciò:
1
cos (arcsin x)
1
1
√
=
= (∗) p
1 − x2
1 − sin2 (arcsin x)
(arcsin x)0 =
1
f 0 (g (x))
=
Ricordiamo che l’uguaglianza (∗) vale perché nell’intervallo [−π/2, π/2] la
funzione coseno è positiva.
¥
Le altre derivate si possono trovare in modo simile.
4.5. LA DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE
4.5.3
231
Esercizi
1. Assumiamo che sia g che g 0 siano definite per tutti i valori di x. Trovare
le derivate delle funzioni elencate di seguito.
(a) f (x) = g n (x) ;
(b) f (x) = eg(x) ;
(c) f (x) = ln (g (x)) ;
(d) f (x) = tan (g (x)) ;
(e) f (x) = g (xn ) ;
(f) f (x) = g (ex ) ;
(g) f (x) = g (ln x) ;
(h) f (x) = g (sin x) ;
(i) f (x) = g (tan x) .
2. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni.
¢4
¡
(a) f (x) = x2 + 3 ;
(b) f (x) = (1 + ex )7 ;
√
(c) f (x) = 2 + sin x ;
(d) f (x) = sin e3x ;
(e) f (x) = cos x5 ;
√
(f) f (x) = x2 + sin 2x ;
√
(g) f (x) = x4 + e2x ;
√
(h) f (x) = cos ( x + e−x ) ;
¢39
¡
;
(i) f (x) = x5/4 − 2x−4/5
√
(j) f (x) = x2 + x cos x ;
2 +x
(k) f (x) = ex
cos (2x + 3) ;
¢
¡
(l) f (x) = ln e2x + sin2 x ;
µ
¶
g (x)
3. Sia h (x) = f
. Se f (1) = 3, f (2) = 5, f 0 (1) = 7, f 0 (2) = 11,
x2 + 1
g (1) = 2 e g 0 (1) = 4, quanto vale h0 (1) ?
4. Sia f (x) = ln (2 + cos x) .
(a) Qual’è il dominio di f ?
232
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
(b) Per quali valori di x, f ammette massimi e minimi ?
(c) Per quali valori di x, f ammette punti di flesso ?
5. Supponiamo che f sia una funzione differenziabile. Se f è periodica, lo è
anche f 0 ? Spiegare.
6. Trovare una primitiva per le seguenti funzioni
2
(a) f (x) = xex ;
(b) f (x) = 2x cos x2 ;
(c) f (x) = x2 sin x3 ;
¢
¡
(d) f (x) = x x2 + 3 ;
¡
¢6
(e) f (x) = x3 x4 + 5 ;
3x
;
x2 + 4
x
(g) f (x) = √
;
x2 + 1
¢
¡
(h) f (x) = x sin 1 − x2 ;
(f) f (x) =
√
e x
(i) f (x) = √ ;
x
(j) f (x) = e2x sin e2x ;
(k) f (x) = ecos x sin x .
7. Trovare una primitiva per le funzioni: [Sugg.:(ln f (x))0 = f 0 (x) /f (x) .]
(a) f (x) =
(b) f (x) =
3x2 − 5
;
x3 − 5x
x2
2x + 3
;
+ 3x + 5
ex
;
1 + ex
cos x
.
(d) f (x) =
1 + sin x
(c) f (x) =
8. Sia f una funzione pari e g una funzione dispari.
(a) Mostrare che f 0 è dispari;
(b) Mostrare che g 0 è pari;
(c) Mostrare che f 00 è pari.
4.5. LA DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE
233
9. Supponiamo che f sia una funzione tale che f 0 (x) = x cos x.
(a) Sia g (x) = f (x + π) , calcolare g 0 (0) ;
(b) Sia h (x) = f (2x) . Calcolare h’(π/2) ;
(c) Sia j (x) = 2f (x) + 3. Calcolare una espressione per j 0 (x) .
10. Supponiamo che F sia una primitiva di f .
(a) Trovare una primitiva di g (x) = f (x) + 3 ;
(b) Trovare una primitiva di h (x) = f (x + 3) ;
(c) Trovare una primitiva di j (x) = 3f (x) ;
(d) Trovare una primitiva di k (x) = f (3x) .
11. Sia k una costante ed f una funzione differenziabile. Usando la definizione
di derivata giustificare il fatto che se g (x) = f (x + k), allora g 0 (x) =
f 0 (x + k) .
12. Sia k una costante ed f una funzione differenziabile. Usando la definizione
di derivata giustificare il fatto che se g (x) = f (kx), allora g 0 (x) =
kf 0 (kx) .
13. Sia f una funzione differenziabile.
(a) Supponiamo che f 0 (x) > 0. Sia g (x) = f (f (x)) . Dire se g è sempre
crescente. Giustificare la risposta.
(b) Supponiamo che f 0 (x) < 0. Sia g (x) = f (f (x)) . Dire se g è sempre
decrescente. Giustificare la risposta.
f (x)
= f (x)·(g (x))−1 insieme con le regole di derivazione
g (x)
del prodotto e della composizione, per trovare la derivata del quoziente.
14. Usare l’identità
15. Sia h = f ◦ g. Provare che h00 (a) = f 00 (g (a)) · (g 0 (a))2 + f 0 (g (a)) · g 00 (a) .
16. Sia f (x) = (1 + ex )−1 .
(a) Calcolare limx→+∞ f (x) ;
(b) Calcolare limx→−∞ f (x) ;
(c) Spiegare perché f è invertibile ;
(d) Trovare dominio e codominio di f −1 .
17. Sia f (x) = sin |x|
(a) Quali sono i domini di f e di f 0 ?
(b) Trovare una espressione per f 0 (x) .
18. Supponiamo che sia f 0 (x) = g (x) e che h (x) = x2 . Esprimere (f (h (x)))0
in termini di g e di x .
234
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
19. Supponiamo che f e g siano funzioni tali che
(a)
i.
ii.
iii.
iv.
f (0) = 0 ;
g (0) = 1 ;
f 0 (x) = g (x) per tutti gli x ;
g 0 (x) = −f (x) per tutti gli x .
¢
¡
(b) Mostrare che h (x) = f 2 (x) + g 2 (x) = 1 per tutti gli x [Sugg.:
Mostrare che h (0) = 1 e h0 (x) = 0 ].
(c) Sia k (x) = (F (x) − f (x))2 + (G (x) − g (x))2 dove F e G sono un’
altra coppia di funzioni che soddisfano (i)-(iv). Mostrare che k 0 (x) =
0 per tutti gli x.
20. Sia f (x) = sin x + cos x nell’intervallo [−3π/4, π/4] .
(a) Mostrare che f è invertibile;
¢0
¡
(b) Trovare una espressione per f −1 (x) [Sugg.:(cos x − sin x)2 = 2 −
(sin x + cos x)2 ]
¡ ¢
21. Sia g (x) = f x2 , dove f è una funzione con le seguenti proprietà:
(a)
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
f, f 0 , f 00 hanno dominio in tutto R ;
f (0) = 1 ;
f 0 (x) > 0 per tutti gli x > 0 ;
f 0 (x) < 0 per tutti gli x < 0 ;
f è concava in (−∞, 0) ;
f è convessa in (0, +∞) .
(b) Dire dove g ha un minimo locale
(c) Dire se g è convessa o meno.
22. Calcolare limx→π
5sin x − 1
.
x−π
23. Trovare i valori delle seguenti funzioni (in radianti), nei punti dati.
(a) arcsin 1 ;
¡√ ¢
(b) arcsin 3/2 ;
(c) arccos (−1) ;
¡ √ ¢
(d) arccos − 2/2 ;
(e) arctan (1) ;
√
(f) arctan 3 .
24. Consideriamo la funzione arcsec x .
(a) Qual’è il suo dominio ?
4.5. LA DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE
235
(b) Quale il codominio ?
25. Esprimer ciascuna delle seguenti espressioni tramite una formula algebrica.
(a) sin (arccos x) ;
(b) tan (arcsin x) ;
(c) sin (arctan x) ;
(d) cos (arctan x) .
26. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni.
(a) f (x) = arctan 3x ,
(b) f (x) = arctan x2 ;
√
(c) f (x) = arcsin x ;
√
(d) f (x) = arcsin x ;
(e) f (x) = earctan x ;
(f) f (x) = arctan (ln x) ;
(g) f (x) = x3 arctan x2 ;
¢
¡
(h) f (x) = arccos x2 + 3x ;
(i) f (x) = arcsin ex ;
(j) f (x) = arcsin x/ arccos x ;
(k) f (x) = ln (2 + arcsin x) .
27. Trovare le primitive delle seguenti funzioni.
¢
¡
(a) f (x) = 1/ 1 + x2 ;
√
(b) f (x) = 1/ 1 − x2 ;
¢
¡
(c) f (x) = 2/ 1 + 4x2 ;
¢
¡
(d) f (x) = 3/ 9 + x2 ;
√
(e) f (x) = 1/ 9 − x2 ;
√
(f) f (x) = 1/ 1 − 4x2 ;
¡
¢
(g) f (x) = ex / 1 + e2x ;
√
(h) f (x) = x/ 1 − x4 ;
¢
¡
(i) f (x) = arctan x/ 1 + x2 ;
√
(j) f (x) = earcsin x / 1 − x2 ;
236
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
¢
¢
¡¡
1 + x2 · arctan x .
¢¢
¡ ¡
(l) f (x) = 1/ x 1 + ln2 x .
(k) f (x) = 1/
28. L’equazione arcsin (sin x) = x , suggerisce che il grafico di y = arcsin (sin x)
possa essere una retta. Se proviamo a far disegnare da un calcolatore tale
grafico, si ottiene:
1.5
1
0.5
-6
-4
-2
2
x4
6
-0.5
-1
-1.5
Grafico di y = arcsin (sin x)
(a) Spiegare perché arcsin (sin 5) 6= 5 ;
(b) Per quali valori di x vale la relazione arcsin (sin x) = x ?
(c) Sia f (x) = arcsin (sin x) . Mostrare che f 0 (x) = cos x/ |cos x| .
(d) Che relazione c’è tra il risultato di (c) ed il grafico disegnato sopra?
(e) Qual’è il dominio della derivata della funzione arcsin x ?
29. Sia f (x) = arctan x.
(a) Disegnare f (x) e f 0 (x) sullo stesso sistema d’assi ;
(b) Valutare limx→+∞ f (x), limx→−∞ f (x), limx→+∞ f 0 (x), limx→−∞ f 0 (x) .
Cosa implicano questi risultati rispetto al grafico della funzione?
(c) Dire se f è pari, dispari o niente ;
(d) Mostrare che f è crescente in (−∞, +∞) ;
(e) Dire dove f è convessa o concava. Trovare i punti di flesso .
30. Sia f (x) = arcsin x.
(a) Disegnare f (x) e f 0 (x) sullo stesso sistema d’assi ;
(b) Valutare limx→1− f (x), limx→−1+ f (x), limx→1− f 0 (x), limx→−1+ f 0 (x) .
Cosa implicano questi risultati rispetto al grafico della funzione?
(c) Dire se f è pari, dispari o niente ;
(d) Mostrare che f è crescente in (−1, 1) ;
(e) Dire dove f è convessa o concava. Trovare i punti di flesso .
31. Sia f (x) = arccos x.
4.5. LA DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE
237
(a) Disegnare f (x) e f 0 (x) sullo stesso sistema d’assi ;
(b) Valutare limx→1− f (x), limx→−1+ f (x), limx→1− f 0 (x), limx→−1+ f 0 (x) .
Cosa implicano questi risultati rispetto al grafico della funzione?
(c) Dire se f è pari, dispari o niente ;
(d) Mostrare che f è crescente in (−1, 1) ;
(e) Dire dove f è convessa o concava. Trovare i punti di flesso .
32. Mostrare che
x
≤ arctan x ≤ x per tutti gli x ≥ 0 .
1 + x2
33. Mostrare che arctan x + arctan (1/x) = π/2 per tutti gli x > 0 .
34. Trovare una relazione simile alla precedente per x < 0 .
238
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
4.6
4.6.1
Differenziazione Implicita
Funzioni Definite Implicitamente
L’equazione y = −3x + 5 definisce y esplicitamente come funzione (che indicheremo con f ) dell’ingresso x; per un valore dell’ingresso x l’uscita è data
esplicitamente dalla regola f (x) = −3x + 5. Per contro, consideriamo l’equazione equivalente 2y + 6x = 10. Sebbene non mostri y esplicitamente come
funzione di x, la nuova equazione definisce y implicitamente come funzione di
x. Risolvendo in y otteniamo la stessa formula esplicita di prima
2y + 6x = 10 ⇐⇒ 2y = −6x + 10 ⇐⇒ y = −3x + 5 .
Per l’equazione lineare 2y + 6x = 10 è stato facile trovare una formula esplicita per y. Le cose non sono sempre così semplici. Equazioni più complicate
rendono più difficile - a volte impossibile - risolvere esplicitamente in y. Anche
equazioni semplici, tuttavia, possono non definire y univocamente come funzione di x, perché il grafico di una equazione non è necessariamente il grafico
di una funzione.
Esempio 165 L’equazione x − y2 = 0 definisce y come funzione di x ?
Soluzione. No. Se risolviamo in y si ottiene
√
√
x e y = − x.
√
√
In effetti, l’equazione definisce due funzioni di x : f1 (x) = x e f2 (x) = − x ,
ognuna delle quali è definita per valori non negativi della variabile x. Il grafico
ci da conto della situazione:
x − y2 = 0 =⇒ y2 = x =⇒ y =
Grafico di x − y 2 = 0
La parabola non è il grafico di una funzione, perché ad ogni valore di x corrispondono due valori di y. La metà superiore e la metà inferiore del grafico
definiscono due funzioni di x , le due funzioni f1 (x) e f2 (x) definite sopra. ¥
Esempio 166 L’espressione 5x2 − 6xy + 5y 2 = 16 definisce implicitamente y
come funzione di x ? Oppure più funzioni di x ?
4.6. DIFFERENZIAZIONE IMPLICITA
239
Soluzione. Il grafico dell’equazione è una ellisse
2
y
1
-2
-1
0
1x
2
-1
-2
Grafico di 5x2 − 6xy + 5y 2 = 16
Così come per il grafico precedente, essa definisce due differenti funzioni y
di x, corrispondenti alla metà superiore ed alla metà
√ ¤ dell’ellisse. Il
£ √inferiore
dominio di ognuna di queste funzioni è l’intervallo − 5, 5 . Trovare le due
funzioni esplicitamente è, in questo caso complicato e non ce ne occuperemo.
4.6.2
Funzioni Implicite, Derivate Implicite
Tutte e tre le equazioni scritte, 6x + 2y = 10, x − y 2 = 0, 5x2 − 6xy +
5y 2 = 16 definiscono implicitamente una o più funzioni di x. Come è possibile
differenziare queste funzioni?
Se possiamo risolvere esplicitamente per y non c’è problema. Nel caso di
2
y = x, per esempio
√
1
x =⇒ f10 (x) = √ ;
2 x
√
1
f2 (x) = − x =⇒ f20 (x) = − √ .
2 x
f1 (x) =
Cosa fare se non possiamo, o non vogliamo, risolvere esplicitamente per
y ? In questo caso usiamo la differenziazione implicita, una tecnica per
differenziare una equazione senza prima risolverla per una delle due variabili.
Questa è l’idea per una equazione in x ed in y.
Differenziazione Implicita Differenziare entrambi i lati dell’equazione, trattando y come una funzione (definita implicitamente)
della variabile x, usando la regola della differenziazione delle funzioni composte. L’equazione risultante coinvolge x, y e dy/dx; può
essere, infine, risolta, se necessario, per dy/dx.
Illustriamo il problema con alcuni esempi.
Esempio 167 Sia x = y 2 . Trovare dy/dx per differenziazione implicita.
240
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
Soluzione. Differenziamo entrambi i lati dell’equazione, trattando y come
una funzione di x:
x = y2 =⇒
d
d 2
dy
x=
y =⇒ 1 = 2y .
dx
dx
dx
Notare l’uso
derivazione delle funzioni composte: poiché y è una
¢0
¡ della
funzione di x, y 2 = 2y y 0 . Risolvendo per dy/dx si ottiene
1 = 2y
dy
dy
1
=⇒
=
.
dx
dx
2y
il risultato trovato è in accordo con quanto abbiamo trovato, quando abbiamo
esplicitato:
√
1
1
x =⇒ f10 (x) = √ =
2y
2 x
√
1
1
.
f21 (x) = − x =⇒ f20 (x) = − √ =
2y
2 x
f1 (x) =
¥
Esempio 168 Come il grafico dell’Esempio 166 mostra, l’equazione 5x2 −6xy+
5y 2 = 16 definisce y implicitamente come funzione di x nell’intorno del punto
(2, 2) che soddisfa l’equazione. Trovare il valore di dy/dx in funzione di y e di
x. Qual’è il suo valore in (2, 2) ? In (1, −1) ? Cosa significano questi valori ?
Soluzione. Differenziamo l’espressione rispetto ad x:
5x2 − 6xy + 5y 2 = 16 =⇒ 10x − 6y − 6x y 0 + 10y
dy
= 0.
dx
(IL termine 6xy è un prodotto ed abbiamo quindi usato la regola del prodotto.)
Risolviamo per dy/dx :
10x − 6y − 6x
dy
dy
+ 10y
dx
dx
=
=⇒
=⇒
0
dy
(−6x + 10y) = 6y − 10x
dx
dy
6y − 10x
=
.
dx
10y − 6x
Quindi, nel punto (2, 2) si ha dy/dx = −1, mentre in (1, −1) si ha dy/dx = 1.
Geometricamente, questi risultati significano che le curve mostrate hanno,
nei punti assegnati, coefficiente angolare delle rette tangenti −1 e 1 rispettivamente.
¥
Ecco, infine, un esempio che applica le idee descritte in questo paragrafo.
Esempio 169 Usare la differenziazione implicita per trovare i punti della circonferenza unitaria che hanno retta tangente di coefficiente angolare 1.
4.6. DIFFERENZIAZIONE IMPLICITA
241
Soluzione. L’equazione della circonferenza unitaria è x2 + y 2 = 1. La
differenziazione implicita rispetto ad x da:
x2 + y 2 = 1 =⇒ 2x + 2y
dy
x
dy
= 0 =⇒
=− .
dx
dx
y
Ne segue che dy/dx = 1 se e solo se y = −x, cioè nei punti
in cui √
la retta
¡ √
¢
y = −x interseca la circonferenza. Si ricavano quindi i punti − 2/2, 2/2 e
√ ¢
¡√
2/2, − 2/2 I
¥ Provate a fare i
conti.
242
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
Esercizi
1. Sia data l’equazione 5x2 − 6xy + 5y 2 = 16.
(a) Trovare i due punti (x, y) sull’ellisse che hanno tangente orizzontale;
(b) Trovare i due punti (x, y) sull’ellisse che hanno tangente verticale
(Nota: In questi punti la derivata dy/dx non esiste);
(c) Mostrare che il grafico dell’equazione è simmetrico rispetto all’origine;
(d) Mostrare che i punti le rette tangenti nei punti (x0 , y0 ) e (−x0 , −y0 )
hanno le stesse rette tangenti.
2. Consideriamo l’equazione dell’iperbole y 2 − x2 = 1.
(a) Trovare le due funzioni definite implicitamente dall’equazione dell’iperbole;
(b) Usare la derivazione implicita per trovare dy/dx ;
(c) Trovare i due punti (x, y) sull’iperbole che hanno tangente orizzontale;
(d) Per ogni costante a > 0, la retta x = a interseca l’iperbole in due
punti. Trovare i punti e il coefficiente angolare delle rette tangenti
in questi due punti
3. Ripetere l’esercizio precedente con l’iperbole y 2 − 2x2 = 1
4. Consideriamo le due curve di equazioni x2 +xy +y 2 = 1 e x2 −xy +y2 = 1.
(a) Tracciare le due curve sullo stesso sistema d’assi ;
(b) Trovare dy/dx per ognuna delle due curve ;
(c) Scrivere le equazioni delle rette tangenti nei quattro punti di intersezione delle due curve ;
(d) Trovare i punti nei quali le due curve hanno tangente orizzontale ;
(e) Trovare i punti nei quali le due curve hanno tangente verticale ;
(f) Mostrare che le retta y = x interseca le due curve perpendicolarmente alle loro tangenti.
5. L’equazione 4x2 y − 3y = x2 definisce implicitamente y come funzione di
x.
(a) Usare la differenziazione implicita per trovare dy/dx ;
(b) Scrivere y come funzione esplicita di x e calcolare dy/dx direttamente .
6. Ognuna delle curve descritte sotto, definisce una curva nel piano x y.
Disegnare le curve e usare la differenziazione implicita per trovare un
espressione per dy/dx.
4.6. DIFFERENZIAZIONE IMPLICITA
(a) x2 + 2y 2 = 4 ;
(b) 4x2 − 9y 2 = 36 ;
(c) y2 − x2 = x2 y 2 ;
(d) y2 (2 − x) = x2 ;
(e) x3 + y3 = 3xy ,
2
(f) y4 = y2−x − x2 .
243
244
CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI