Appunti di Fisica Nucleare e Subnucleare I

Università di Pisa – Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche,
Naturali
Appunti di Fisica Nucleare
e Subnucleare I
Guido Cioni
A.A.
2009/2010
Sommario
Proprietà generali dei nuclei Atomici ............................................................................................................... 4
Modello e-p del nucleo (Thomson) ............................................................................................................... 4
Reazioni Nucleari ........................................................................................................................................... 5
Sezione d’urto............................................................................................................................................ 5
Bersaglio Sottile (Target Thickness)........................................................................................................... 6
Sezione d’urto Rutherford ......................................................................................................................... 7
Sezione d’urto Mott................................................................................................................................. 10
Fattore di Forma , Distribuzione di carica nei nuclei ............................................................................... 10
Atomo idrogenoide...................................................................................................................................... 13
Atomo idrogeno con nucleo finito (non puntiforme).............................................................................. 13
Spostamento (shift) isotopico delle righe K dei raggi X ............................................................................... 15
Atomo Muonico ....................................................................................................................................... 16
Nuclei Speculari ........................................................................................................................................... 17
Decadimento radioattivo dei nuclei ............................................................................................................ 18
Legge del decadimento radioattivo - Attività .......................................................................................... 18
Tipi di decadimento ................................................................................................................................. 20
Datazione con il radiocarbonio ................................................................................................................ 21
Energia di legame del nucleo....................................................................................................................... 22
Modello a goccia del nucleo e formula semiempirica di massa .................................................................. 24
Interazione Nucleare ...................................................................................................................................... 26
Cenni di Meccanica Quantistica .................................................................................................................. 26
Momento angolare .................................................................................................................................. 26
Operatori di salita e discesa .................................................................................................................... 28
Sistema di due fermioni identici .............................................................................................................. 29
Operatore di Parità .................................................................................................................................. 30
Deutone ....................................................................................................................................................... 30
Proprietà sperimentali ............................................................................................................................. 30
Autostati del potenziale nucleare ........................................................................................................... 30
Spin .......................................................................................................................................................... 33
Momento di quadrupolo nucleare (asimmetricità del nucleo) ................................................................... 34
Momento di quadrupolo nucleare del Deutone ..................................................................................... 34
Momento magnetico di dipolo ................................................................................................................ 35
Forze nucleari non centrali (correzione tensoriale) .................................................................................... 36
Vettori e scalari........................................................................................................................................ 36
2
Operatore tensoriale 𝑺𝟏𝟐 ....................................................................................................................... 37
Momento magnetico dei nucleoni .............................................................................................................. 38
Scattering Nucleone-Nucleone.................................................................................................................... 39
Sviluppo ad onde parziali......................................................................................................................... 41
Approssimazione semiclassica................................................................................................................. 42
Caso di potenziale centrale a corto raggio .............................................................................................. 44
Lunghezza di scattering ........................................................................................................................... 45
Principali proprietà degli scattering p-p , n-n .............................................................................................. 46
Scattering p-p .............................................................................................................................................. 46
Sezione d’urto.......................................................................................................................................... 47
Scattering Coulombiano .......................................................................................................................... 47
Simmetria di carica .................................................................................................................................. 48
Spin isotopico ( o isospin) ............................................................................................................................ 49
Funzione d’onda di due Nucleoni ............................................................................................................ 50
Struttura dei nuclei ......................................................................................................................................... 51
Modello del nucleo a Gas di Fermi .............................................................................................................. 51
Energia totale e pressione ....................................................................................................................... 53
Miscela di due gas di fermi ideali ................................................................................................................ 54
Modello a Shell del nucleo .......................................................................................................................... 55
Numeri Magici ......................................................................................................................................... 56
Autostati del potenziale nucleare ............................................................................................................... 56
Potenziale a Buca infinita ........................................................................................................................ 57
Potenziale armonico ................................................................................................................................ 58
Potenziale di Saxon-Woods ..................................................................................................................... 58
Potenziale con interazione spin-orbita .................................................................................................... 58
Momenti magnetici nel modello a shell ...................................................................................................... 60
3
Proprietà generali dei nuclei Atomici
Modello e-p del nucleo (Thomson)
Nell’atomo alla Thomson il nucleo è composto da A protoni e 𝐴 − 𝑍 elettroni ( non erano stati ancora
scoperti i neutroni). La massa del nucleo si può calcolare come 𝑀 = 𝐴𝑚𝑝 + 𝐴 − 𝑍 𝑚𝑒 ~𝐴𝑚𝑝 mentre la
carica come 𝑄 = 𝐴𝑒 − 𝐴 − 𝑍 𝑒 = +𝑍𝑒. Questo modello risultò non soddisfacente in quanto vennero
evidenziate le seguenti problematiche.
1. Energia di legame degli elettroni nucleari.
Nell’atomo di Thomson il raggio è dell’ordine dei femtometri (fm) : 𝑅~5 𝑓𝑚 . Le distanze
caratteristiche in questo sistema sono Δ𝑥~𝑅 quindi la relazione di indeterminazione Δ𝑥 ⋅ Δ𝑝𝑥 ≥
ℏ/2 da 𝑝𝑥 ~ℏ/2𝑅 . Con questa approssimazione si può stimare l’energia cinetica dell’atomo , data
da
𝑝𝑐 = 𝑐 𝑝𝑥2 + 𝑝𝑦2 + 𝑝𝑧2 =
3 ℏ𝑐
∼ 34,6 MeV
2 𝑅
La quantità ℏ𝑐 è conosciuta e vale circa 200 𝑀𝑒𝑉 ⋅ 𝑓𝑚 . L’energia totale dell’elettrone è quindi
data da 𝐸𝑒 = 𝑝𝑒 𝑐 2 + 𝑚𝑒 𝑐 2 2 1/2 , quindi l’energia cinetica si può trovare togliendo l’energia
a riposo : 𝑇𝑒 = 𝐸𝑒 − 𝑚𝑒 𝑐 2 ~34 𝑀𝑒𝑉 , in accordo con quanto osservato prima. Ora dobbiamo
determinare la relazione tra questa energia e la potenziale di tipo Coloumbiano. Per una
distribuzione a simmetria sferica si ha
𝑈𝑐𝑜𝑙𝑜𝑢𝑚𝑏 = −
1 𝐴𝑒 2
𝑒2
𝐴
=−
ℏ𝑐
4𝜋𝜀0 𝑅
4𝜋𝜀0
𝑅
Possiamo definire, per semplicità, la quantità adimensionale
𝛼≡
𝑒2
1
=
∶ Costante di sruttura fine
4𝜋𝜀0 ℏ𝑐 137
In questo caso 𝑈𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 ~ − 12 𝑀𝑒𝑉 , quindi l’elettrone non viene mantenuto in orbita poiché
l’energia cinetica è maggiore dell’attrazione Coulombiana. Secondo questo modello, dunque,
l’atomo dovrebbe collassare in un tempo molto piccolo.
2. Spin del nucleo
Il momento angolare del nucleo sarà dato dalla somma di tutti i momenti angolari delle
particelle che lo compongono : 𝐽 = 𝑆 + 𝐿 , dove S rappresenta i momenti di spin e L i momenti
angolari orbitali. Si prenda ad esempio il caso del nucleo di Azoto 14 : in questo caso vi saranno
14 protoni e 7 elettroni. Seguendo la teoria, il momento angolare dovrebbe risultare semiintero
mentre sperimentalmente si verifica che 𝐽𝑠 14 𝑁 = 1.
3. Momento di dipolo magnetico del nucleo
L’elettrone ruota attorno al nucleo , quindi è equivalente ad una spira di momento magnetico
𝑒ℏ
2𝑚
𝜇𝑙 = 𝑔𝑙
𝜇 = 𝑖𝑆 =
𝑒
𝑙⟹
2𝑚
𝑚𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑜𝑛𝑒
𝜇𝑠 = 𝑔𝑠
4
𝑒ℏ 𝑠
2𝑚 ℏ
𝑙
ℏ
𝑒ℏ
Nel caso in cui 𝑚 = 𝑚𝑒 ⟹ 𝜇𝐵 = 2𝑚 ≡ magnetone di Bohr , altrimenti se 𝑚 = 𝑚𝑝 ⟹ 𝜇𝑁 =
𝑒
𝑒ℏ/2𝑚𝑝 . Ci si aspettava che nuclei contenenti elettroni non appaiati avessero un momento
magnetico molto grande di quello osservato : in un atomo di deuterio , ad esempio , ci si
aspetterebbe che il nucleo avesse un momento magnetico circa uguale a quello dell’elettrone
mentre quello osservato sperimentalmente è circa la due millesima parte dello stesso.
Reazioni Nucleari
Si definiscono reazioni nucleari1 i processi in cui vengono inviate particelle su un target (materiale) e
vengono raccolti i prodotti della reazione (tipicamente su uno schermo sensibile). Il processo di diffusione
delle particelle prodotte dalla reazione è detto scattering. Vi sono diversi tipi di reazioni : negli scattering
elastici 𝑌 , 𝑏 si trovano nel loro stato fondamentale , viceversa negli scattering anelastici le particelle
prodotte sono nel loro stato eccitato.


𝑎 + 𝑋 → 𝑋 + 𝑎 : scattering elastico
𝑎 + 𝑋 → 𝑋 ∗ + 𝑎 → 𝑋 + 𝛾 + 𝑎 : scattering anelastico
𝑠𝑡𝑎𝑡𝑜
𝑒𝑐𝑐𝑖𝑡𝑎𝑡𝑜
Altri esempi di scattering anelastico sono dati da
𝑎+𝑋 →
𝑌+𝑏
𝑊+𝑐
𝑍+𝑑+𝑓
Con le lettere maiuscole abbiamo indicato il materiale del target. Queste reazioni permettono di ricavare
informazioni sulla struttura interna del bersaglio ed è per questo che sono importanti. Le osservabili
misurate in una reazione nucleare sono date da



Energia delle particelle prodotte
Direzione di emissione delle particelle prodotte
Distribuzione angolare delle particelle prodotte
In particolare combinando queste tre osservabili si ottiene una variabile che rappresenta, nella sua
interezza, il processo fisico di scattering. La sezione d’urto ( o , più precisamente, sezione d’urto
differenziale ) è ottenuta dalla probabilità di osservare la particella 𝑏 con una certa energia e ad un certo
angolo (𝜗, 𝜑) con riferimento all’asse del fascio.
Sezione d’urto
Introduciamo ora il concetto di sezione d’urto di una reazione del tipo 𝑎 + 𝑋 → 𝑌 + 𝑏 . Indichiamo con 𝐼𝑎
il numero di particelle a inviate (per unità di tempo) , con 𝑅𝑏 il numero di particelle b prodotte (sempre
nell’unit{ di tempo) e con 𝑁𝑥 il rapporto tra il numero di nuclei bersaglio X e la superficie F dove si fa la
misura.
Con queste nuove notazioni possiamo definire la sezione d’urto come
𝜍≡
1
𝑅𝑏
𝐼𝑎 𝑁𝑥
Nel seguito indicheremo gli elementi chimici con la seguente notazione
𝐴
𝑍 𝑋𝑁
dove Z sono i protoni , N i neutroni (insieme formano i nucleoni) , 𝐴 = 𝑍 + 𝑁 . Nuclei che hanno lo stesso Z sono
chiamati isotopi , con lo stesso A sono isobari mentre nuclei con lo stesso N sono detti isotoni
5
Osserviamo che,
dimensionalmente,
𝜍 =superficie ; nei processi di
fisica nucleare si sceglie come
unità di misura il barn :
1 𝑏𝑎𝑟𝑛 = 102 𝑓𝑚2 = 10−24 𝑐𝑚2
La sezione d’urto è
proporzionale alla probabilità
che la reazione avvenga : per
questo è molto importante il suo
studio sperimentale.
Si osservi che la densità di
particelle diffuse cambia al variare dell’angolo solido (non è detto che la diffusione sia isotropa) quindi
conviene definire una sezione d’urto differenziale in modo da poter tener di conto di variazioni
infinitesime. Indichiamo con 𝜗 l’angolo di diffusione sullo schermo e con 𝑑Ω l’angolo solido infinitesimo
che sottende una porzione dello schermo : vale quindi l’immediata relazione tra i due angoli.
𝑑Ω = sin 𝜗 𝑑𝜗𝑑𝜑
La sezione d’urto differenziale è quindi data da
𝑑𝜍 Ω =
𝑑𝑅𝑏
1
𝑑Ω
=
⋅ ℱ 𝜗, 𝜑 ⋅
𝐼𝑎 𝑁𝑥 𝐼𝑎 𝑁𝑥
4𝜋
Con ℱ 𝜗, 𝜑 abbiamo indicato la funzione di distribuzione angolare che deve essere determinata.
Integrando sull’angolo solido ovviamente si ha che
1
4𝜋
ℱ 𝜗, 𝜑 𝑑Ω = 𝑅𝑏
per normalizzazione.
La sezione d’urto differenziale si può quindi scrivere come
𝜍 Ω =
𝑑𝜍
1 ℱ 𝜗, 𝜑
=
⋅
⟹𝜍=
𝑑Ω 4𝜋 𝐼𝑎 𝑁𝑥
𝜍 Ω 𝑑Ω ; 𝜍 = 𝑏𝑎𝑟𝑛/𝑠𝑡𝑒𝑟𝑎𝑑
A volte conviene fare una misura dell’energia con cui arrivano le particelle dopo la reazione : a tale scopo
si introduce la sezione d’urto doppiamente differenziale.
𝑑2 𝜍 Ω, 𝐸𝑏
𝐹 Ω, 𝐸𝑏
=
𝑑Ω 𝑑𝐸𝑏
4𝜋𝐼𝑎 𝑁𝑥
Bersaglio Sottile (Target Thickness)
Cerchiamo infine di capire la condizione per cui il bersaglio si può considerare sottile. Fissato il bersaglio
e proiettile possiamo avere diversi canali di reazione (reazioni di diverse) : definiamo quindi come
sezione d’urto totale le somme di tutte le possibili sezioni d’urto dei canali di reazione, ovvero 𝜍𝑡𝑜𝑡 =
𝑐𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖
𝜍𝑖 . Supponiamo ora di aver praticato il vuoto nel semispazio negativo delle z di un sistema
𝑖
cartesiano di assi coodinati : inviamo un fascio di particelle su un bersaglio X che consideriamo dapprima
di spessore infinito. Vogliamo capire quali sono le particelle a che troviamo ad una certa profondità z . A
tal scopo consideriamo quindi la probabilità che la particella venga assorbita in uno spessore 𝑑𝑧 : 𝑃𝑎 𝑑𝑧 .
Il numero di particelle comprese in questo spessore è quindi dato da
6
𝑑𝒩𝑎 = −𝒩𝑎 𝑧 𝑃𝑎 𝑑𝑧
Definendo 𝑛𝑥 come il numero di nuclei X su unità di volume possiamo scrivere la probabilità come
𝑃𝑎 = 𝑛𝑥 𝜍𝑡𝑜𝑡 . Definiamo ora la quantità 𝜆𝑎 = 1/𝑃𝑎 = 1/𝑛𝑥 𝜍𝑡𝑜𝑡 : è immediato verificare che questa
quantità ha le dimensioni di una lunghezza , infatti viene definita come libero cammino medio delle
particelle. Dall’equazione precedente si ricava quindi (risolvendo la differenziale) che il numero di
particelle decresce in maniera esponenziale , quindi
𝒩𝑎 𝑧 = 𝒩𝑎 0 ⋅ exp{−𝑧/𝜆𝑎 }
Con Δ𝒩𝑎 = 𝒩𝑎 0 − 𝒩𝑎 𝑧 = 𝒩𝑎 0 [1 − 𝑒 −𝑧/𝜆 𝑎 ] si indica la variazione del numero di particelle e con
𝒩𝑏 𝑧 = (𝜍𝑏 /𝜍𝑡𝑜𝑡 ) 𝒩𝑎 0 [1 − 𝑒 −𝑧/𝜆 𝑎 ] il numero di particelle b ; con 𝜍𝑏 invece abbiamo indicato la
sezione d’urto delle particelle b prodotte. Dunque per caratterizzare la definizione di “sottile” dobbiamo
confrontare il libero cammino medio con lo spessore del bersaglio : se il libero cammino medio è minore
dello spessore allora il bersaglio è sottile ed è lecito supporre che non vi siano scattering multipli che
modificherebbero ulteriormente l’angolo di deflessione. Quindi nel limite 𝑧 ≪ 𝜆𝑎 ( spessore sottile)
𝒩𝑏 𝑧 → 𝜍𝑏 /𝜍𝑡𝑜𝑡 𝒩𝑎 0 𝑧/𝜆𝑎 , ovvero
𝜍𝑏 =
𝒩𝑏
𝒩𝑎 0 ⋅ 𝑛𝑥 ⋅ 𝑧
Sezione d’urto Rutherford
Ora che abbiamo definito la sezione d’urto possiamo ritornare all’esperimento di Geiger per ricavare in
maniera classica la sezione d’urto Rutherford. Ci riferiremo ad una situazione particolare in cui abbiamo
un centro scatteratore ( non più un bersaglio colpito da particelle).
Supponiamo che le particelle
incidano con un parametro
d’impatto b e che vengano
deflesse di un angolo Θ , per cui
l’angolo solido è 𝑑Ω =
sin Θ 𝑑Θ 𝑑Φ . Supponiamo
inoltre che il bersaglio abbia
massa molto grande in modo
che si possa considerare
immobile. Il numero delle
particelle che vengono raccolte
sarà proporzionale al numero di
quelle che vengono inviate per
la superficie 𝑏𝑑Φ𝑑𝑏 , dove db è
una variazione infinitesima del
parametro d’impatto . Quindi la
sezione d’urto differenziale è
data da
𝐼
𝑑𝜍
𝑏𝑑𝑏
𝑏 1
𝑑𝜍 = 𝜍 Ω 𝑑Ω = 𝑏𝑑Φ𝑑𝑏 ⟹ 𝜍 Ω =
=
=
𝐼
𝑑Ω sin Θ 𝑑Θ sin Θ 𝑑Θ
𝑑𝑏
7
Indichiamo con Θ = Θ(𝑏) la funzione di deflessione che ci interessa ora ricavare. A questo scopo
consideriamo la Lagrangiana del sistema definendo un sistema di assi cartesiani con asse z invertito
rispetto a quello precedente ( gli angoli polare e azimutale sono 𝜗, 𝜑 )( Per una trattazione completa
dell’argomento vd. Landau Vol.1 pg.93). La Lagrangiana è data da
1
ℒ = 𝑚 𝑟 2 + 𝑟 2 𝜗 2 − 𝑉(𝑟)
2
quindi dobbiamo studiare un moto in campo centrale. Riprendendo alcuni concetti di meccanica analitica
sappiamo che gli integrali primi del moto sono dati dall’energia e dal momento angolare. Scriviamo
quindi queste due leggi di conservazione ( 𝑝 = 𝑚𝑟𝜗 2 ) :
1
𝑙2
1
2
𝐸 = 𝑚𝑟 +
+
𝑉
𝑟
=
𝑚𝑟 2 + 𝑉eff (𝑟)
2
2𝑚𝑟 2
2
𝑙 = 𝑚𝑣∞ 𝑏 = 𝑝𝑏 = 2𝑚𝐸𝑏
dove 𝑣∞ rappresenta 𝑣 𝑟 = ∞ .
Quindi possiamo esplicitare dalle relazioni seguenti 𝑟, 𝜗 :
𝑟=
𝑑𝑟
=
𝑑𝑡
𝜗=
2
𝐸 − 𝑉eff 𝑟
𝑚
𝑑𝜗
𝑙
=
𝑑𝑡 𝑚𝑟 2
Quindi
𝑑𝜗 𝑑𝜗 𝑑𝑡
𝑙
=
⋅
=
⋅
𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑑𝑟 𝑚𝑟 2
1
2
𝑚
𝐸 − 𝑉eff(𝑟)
Integrando tra due raggi 𝑟 ed 𝑟0 si ottiene la legge di variazione temporale
𝑟
𝜗 − 𝜗0 = 𝑙
𝑟0
𝑑𝑟 ′
𝑟 ′ 2 2𝑚 𝐸 − 𝑉eff (𝑟)
𝑟
𝑙 = 2𝑚𝐸𝑏 ⟹ 𝜗 = 𝜗0 + 𝑏
𝑟0
𝑑𝑟 ′
𝑟′ 2 1 −
𝑉 𝑟′
𝐸
𝑏2
− 𝑟′ 2
Esisterà un valore 𝑟𝑚𝑖𝑛 per cui 𝐸 = 𝑉𝑒𝑓𝑓 𝑟𝑚𝑖𝑛 : se la
regione della variazione di r è limitata dalla sola
condizione 𝑟 ≥ 𝑟𝑚𝑖𝑛 il moto della particella è
infinito : la sua traiettoria proviene dell’infinito e
torna all’infinito. Se invece 𝑟 < 𝑟𝑚𝑖𝑛 il moto è
possibile e si sviluppa entro due limiti ( ci interessa
considerare solo 𝑟𝑚𝑖𝑛 in questo caso).
Nel nostro caso per immediate considerazioni di
simmetria Θ = 𝜋 − 2𝜗 𝑟𝑚𝑖𝑛 , quindi
𝑟 𝑚𝑖𝑛
Θ = 𝜋 − 2𝑏
∞
8
𝑑𝑟 ′
𝑟′ 2 1 −
𝑉 𝑟′
𝐸
𝑏2
− 𝑟′ 2
Prendiamo quindi come potenziale la funzione 𝑉 𝑟 = 𝛼/𝑟 , dove 𝛼 ≡ 𝑍𝑒 2 𝑧/4𝜋𝜀0 ( z numero atomico
particella, Z numero atomico nucleo). Con questa scelta l’integrale si riduce a
𝛼
𝜗 𝑟𝑚𝑖𝑛 =
acos 2𝐸𝑏
1+
𝛼 2
2𝐸𝑏
= acos
𝑥
1 + 𝑥2
Da cui si ricava che
1 = 𝑥 2 tan2 𝜗 ; 𝑥 =
𝛼
𝛼2
⟹ 𝑏 2 = 2 tan2 𝜗 𝑟𝑚𝑖𝑛
2𝐸𝑏
4𝐸
Poiché 𝜗 𝑟𝑚𝑖𝑛 = (𝜋 − Θ)/2 si ha che
tan
Θ 1 𝛼
=
2 𝑏 2𝐸
Abbiamo ricavato la funzione di deflessione, possiamo quindi esplicitare la sezione d’urto differenziale (
sezione d’urto Rutherford) :
𝜍 Ω =
𝑑𝜍
𝛼
=
𝑑Ω
4𝐸
2
1
~
Θ
sin4 2
𝑍2 1
𝐸 2 sin4 Θ
2
L’andamento di questa funzione è ben visibile nel grafico seguente.
Come già detto il procedimento di scattering può essere utilizzato per avere informazioni sulla natura
fisica del nucleo. Sappiamo che l’elettrone ha doppia natura ( corpuscolare e ondulatoria ) : alla
particella , oltre alla carica , è associata una lunghezza d’onda data dalla relazione di De Broglie
𝜆 = 𝑕/𝑝 . Quindi per avere informazioni sul nucleo devo scegliere particelle che abbiano lunghezza
d’onda confrontabile ( preferibilmente minore) del raggio atomico : 𝜆 ≤ 𝑅 . Utilizzando la dimensione del
raggio atomico possiamo trovare il limite superiore per l’onda incidente :
𝜆=
𝑕
2𝜋ℏ𝑐
2𝜋ℏ𝑐
~𝑅 ⟹
~𝑅 ⟹ 𝑝𝑐~
≈ 250 𝑀𝑒𝑉
𝑝
𝑝𝑐
𝑅
9
Quindi dobbiamo utilizzare fasci che abbiano almeno questa energia. Utilizzando la relazione più
generale per l’energia dell’elettrone si può quindi ricavare l’energia cinetica :
𝐸=
𝑝𝑐
2
+ 𝑚𝑐 2
2 1/2
⟹ 𝑇 = 𝐸 − 𝑚𝑐 2
Se inviamo un fascio di elettroni a 𝐸 = 420 𝑀𝑒𝑉 possiamo studiare la figura di diffrazione dell’Ossigeno
16. I massimi e minimi di questa figura possono essere facilmente calcolati considerando il nucleo come
piatto e utilizzando quindi la formula per la diffrazione attraverso un foro circolare :
sin 𝜗 = 1,22
𝜆
⟹ 𝑅~2,6 𝑓𝑚
2𝑅
Sezione d’urto Mott
La sezione d’urto Mott si definisce come una generalizzazione di quella di Rutherford. La formula valida
per un nucleo puntiforme è la seguente :
𝑑𝜍
𝑑Ω
𝑀𝑜𝑡𝑡
𝑑𝜍
=
𝑑Ω
𝑅𝑢𝑡 𝑕
𝑣2 2 𝜗
1 − 2 sin
𝑐
2
𝑣
→1
𝑐
𝑑𝜍
𝑑Ω
𝑅𝑢𝑡 𝑕
cos2
𝜗
2
Non verrà esposto il calcolo che porta alla derivazione di questa formula ( che deriva comunque dalla
considerazione di effetti relativistici e di spin) ; vogliamo però correlare questa formula con la sezione
d’urto rilevata sperimentalmente. Per questo ci servir{ introdurre un nuovo concetto.
Fattore di Forma , Distribuzione di carica nei nuclei
Si nota che la sezione d’urto sperimentale è data da
𝑑𝜍
𝑑Ω
𝐸𝑥𝑝
=
𝑑𝜍
𝑑Ω
𝑀𝑜𝑡𝑡
𝐹 𝑞
2
dove 𝑞 è il vettore impulso e 𝐹 𝑞 è una funzione dell’impulso detta fattore di forma nucleare.
Matematicamente la 𝐹 𝑞 è la trasformata di Fourier della distribuzione di carica, ovvero
𝐹 𝑞 =
1
𝑍𝑒
𝑒 𝑖𝑞 ⋅𝑟 𝜌 𝑟 𝑑3 𝑟
con ovvia notazione dei simboli utilizzati. Il fattore di forma può essere ricavato a seconda della
particolare situazione sperimentale. Consideriamo ora il caso in cui si ha uno scattering elastico con
angolo di deviazione 𝜗 . Indichiamo con 𝑘 = 𝑝/ℏ l’impulso della particella che incide sul nucleo.
L’impulso totale trasferito dopo la deviazione è dato dalla somma vettoriale dei due impulsi ( uguali in
modulo per l’elasticit{ dello scattering ma diversi in direzione ) : 𝑞 = 𝑘 − 𝑘 ′ . Con ovvie considerazioni
geometriche (triangolo isoscele con lati 𝑘 , 𝑘 ′ , 𝑞 ) si può ricavare il modulo di q che equivale a
𝑞 = 2𝑘 sin
𝜗
2
Ora che abbiamo il modulo di q possiamo dedicarci a trovare la forma analitica per F. Ovviamente questa
deriva dalla distribuzione di carica del nucleo 𝜌 𝑟 quindi prima dobbiamo trovare una funzione che la
approssimi bene. La distribuzione di carica sferica
10
𝜌0 = 4
𝑍𝑒
,𝑟 < 𝑅
𝜋𝑅 3
3
𝜌 𝑟 =
0 , 𝑎𝑙𝑡𝑟𝑜𝑣𝑒
ha come trasformata la seguente funzione
𝐹 𝑞 =ℱ 𝜌 𝑟
3
=
𝑞 3 𝑅3
3 sin 𝑞𝑅 − 𝑞𝑅 cos 𝑞𝑅
Infatti si deve calcolare l’integrale seguente
𝑒 𝑖𝑞 ⋅𝑟 𝜌 𝑟 𝑑3 𝑟
𝐹 𝑞 =
Indicando con 𝜗 l’angolo polare e con 𝜑 l’angolo azimutale si ha che 𝑞 ⋅ 𝑟 = 𝑞𝑟 cos 𝜗 (ricordiamo che
abbiamo calcolato il modulo di q in precedenza!). Si ha quindi ( utilizzando le coordinate sferiche) :
𝑒 𝑖𝑞𝑟 cos 𝜗 𝑟 2 sin 𝜗 𝑑𝜗𝑑𝜑𝑑𝑟
𝐹 𝑞 =
𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
∞
= 2𝜋
+𝜋/2
𝜌 𝑟 𝑟 2 𝑑𝑟
0
−𝜋/2
∞
= 2𝜋
0
𝑡=cos 𝜗
𝑒 𝑖𝑞𝑟 cos 𝜗 sin 𝜗
𝑒 𝑖𝑞𝑟𝑡
𝜌 𝑟 𝑟 2 𝑑𝑟 ⋅
𝑖𝑞𝑟
3
= 3 3 sin 𝑞𝑅 − 𝑞𝑅 cos 𝑞𝑅
𝑞 𝑅
∞
2𝜋
𝜌 𝑟 𝑟 2 𝑑𝑟
0
+1
∞ 2
= 4𝜋
0
−1
+1
𝑒 𝑖𝑞𝑟𝑡 𝑑𝑡
−1
𝑟 sin 𝑞𝑟
4𝜋
𝜌 𝑟 𝑑𝑟 =
𝜌
𝑞𝑟
𝑞 0
𝑅
𝑟 sin 𝑞𝑟 𝑑𝑟
0
Abbiamo ricavato il risultato esposto prima.
In realtà sperimentalmente conviene considerare una distribuzione di carica del tipo
𝜌 𝑟 =
𝜌0
1 + exp
𝑟−𝑅
𝑎
∶ distribuzione di Saxon-Woods
La costante R indica la distanza radiale alla quale 𝜌 𝑟 si riduce alla metà del suo valore a 𝑟 = 0 e può
quindi essere considerata come il raggio medio del nucleo atomico. Per nuclei medi e pesanti il numero di
nucleoni per unità di volume è circa costante e vale
𝜌𝑁 = 4
𝐴
𝜋𝑅 3
3
⟹ 𝑅 = 𝑟0 𝐴1/3 ,
𝑟0 = 1,2 fm
La costante a è determinata sperimentalmente. Si riporta il grafico della distribuzione di carica per
alcuni nuclei.
11
Si voglia inoltre calcolare il raggio quadratico medio di carica per una distribuzione a simmetria sferica.
La densità di carica è , con buona approssimazione , sferica e dunque vale la seguente
𝜌0 = 4
𝑍𝑒
𝜋𝑅 3
3
𝜌 𝑟 =
0
𝑝𝑒𝑟 𝑟 ≤ 𝑅
𝑝𝑒𝑟 𝑟 > 𝑅
Il raggio quadratico medio si calcola con la definizione statistica usuale :
𝑅
2
=
∫ 𝑟 2 𝜌 𝑟 𝑑3 𝑟
∫ 𝜌 𝑟 𝑑3 𝑟
L’integrazione del denominatore è banale poiché 𝜌 𝑟 = 𝜌(𝑟) e l’integrazione sul solo volume produce la
carica totale presente nella sfera, ovvero 𝑍𝑒 . Per calcolare l’integrale al numeratore basta passare a
coordinate sferiche su una sfera : l’elemento infinitesimo di volume diventa
𝑑3 𝑟 = 𝑟 2 sin 𝜗 𝑑𝜗𝑑𝜑𝑑𝑟
dove – 𝜋/2 ≤ 𝜗 ≤ 𝜋/2 , 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 , 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅 . Si ottiene quindi
𝑅
2
=
∫ 𝑟 2 𝜌 𝑟 𝑑3 𝑟
∫𝜌 𝑟
𝑑3 𝑟
𝜋
=
𝑅
2𝜋𝜌0 ∫0 sin 𝜗 𝑑𝜗 ∫0 𝑟 4 𝑑𝑟
𝑍𝑒
=
4𝜋𝜌0 𝑅5 4𝜋𝑅 5 𝑍𝑒
3
=
⋅4
= 𝑅2 ⟹ 𝑅2
𝑍𝑒5
𝑍𝑒5
𝜋𝑅 3 5
3
1/2
=
3
𝑅
5
Si noti infine che si può sviluppare il termine esponenziale del fattore di forma tramite un’espansione in
serie :
+∞
𝑒
𝑖𝑞 ⋅𝑟
=
𝑛=0
12
𝑖𝑞⋅𝑟
𝑛!
𝑛
Calcolando l’integrale i termini con n dispari vengono soppressi ( poiché hanno integrale nullo ) quindi
rimangono solo i contributi con n pari. Possiamo quindi sviluppare la F in termini della 𝑞 2 :
1
𝐹 𝑞 2 = 1 − 𝑞 2 𝑅2 + ⋯
6
𝑐𝑜𝑛
𝑅 2 = −6
𝑑𝐹 𝑞 2
𝑑 𝑞2
𝑞 2 =0
Dove 𝑅 2 rappresenta il termine calcolato prima.
Atomo idrogenoide
L’atomo idrogenoide è la più semplice schematizzazione della struttura atomica : un elettrone di carica
– 𝑒 si muove intorno ad un nucleo di carica +𝑍𝑒 . Vogliamo
studiare questo sistema da un punto di vista quantistico.
L’Hamiltoniana del sistema è banale :
𝐻=
𝑝2
+𝑉 𝑟
2𝑚
𝑐𝑜𝑛 𝑉 𝑟 = −
1 𝑍𝑒 2
4𝜋𝜀0 𝑟
In questa prima parte supporremo che il nucleo possa essere
considerato come puntiforme. Se indichiamo con 𝜓𝑛 𝑟 la
funzione d’onda che descrive il moto dell’elettrone si avr{ che
𝐻𝜓𝑛 𝑟 = 𝐸𝑛 𝜓𝑛 𝑟
Poiché il sistema ha simmetria sferica possiamo scrivere la
funzione d’onda come prodotto di una funzione che dipende
dal raggio e di una funzione con sola dipendenza angolare,
ovvero 𝜓𝑛 𝑟 = 𝑅𝑛ℓ 𝑟 𝑌ℓ𝑚 𝜗, 𝜑 , dove 𝑛, ℓ, 𝑚 sono
rispettivamente il numero quantico principale , secondario(ℓ : momento angolare) e magnetico (m). Gli
autostati di energia dell’elettrone si possono calcolare con la media dell’Hamiltoniana rispetto alla
funzione d’onda dello stesso , ovvero
𝐸𝑛 = 𝜓𝑛 𝐻 𝜓𝑛 ⇒ 𝐸𝑛 = −
𝐸Ryd𝑍 2
𝑛2
La costante 𝐸Ryd è definita da
𝐸Ryd =
𝑚𝑒 𝑒 4
1
= 𝛼 2 𝑚𝑒 𝑐 2 ≅ 13,6 eV
2
2
2 4𝜋𝜀0 ℏ
2
dove 𝛼 è la costante di struttura fine definita precedentemente. All’orbitale 1s, unico orbitale disponibile
in un atomo idrogenoide , è associata la funzione d’onda seguente :
𝑌00 𝜗, 𝜑 =
1
4𝜋
⟹ 𝜓1𝑠 𝑟 =
1
4𝜋
2
𝑍
𝑎0
3/2
𝑒
𝑍𝑟
𝑎0
−
; 𝑎0 ≡
4𝜋𝜀0 ℏ2
= 0,529 ⋅ 10−10 m = 5,29 ⋅ 104 fm
𝑚𝑒 𝑐 2
Atomo idrogeno con nucleo finito (non puntiforme)
In questo caso cambia il potenziale all’interno della distribuzione di carica sferica. Risolvendo l’equazione
di Maxwell ∇ ⋅ 𝐸 = 𝜌/𝜀0 con le opportune condizioni al contorno si ha quindi che
13
1
𝑉 𝑟 =−
×
4𝜋𝜀0
𝑍𝑒 2 1
𝑟2
3− 2
𝑅 2
𝑅
𝑍𝑒 2
𝑟
𝑝𝑒𝑟 𝑟 ≤ 𝑅
𝑝𝑒𝑟 𝑟 > 𝑅
Con questo potenziale la nuova Hamiltoniana si scrive come
𝐻=
𝑝2
+ 𝑉 𝑟 = 𝐻 + Δ𝑉 𝑟 = 𝐻 + 𝑉 𝑟 − 𝑉 𝑟
2𝑚𝑒
Δ𝑉
Quindi dobbiamo utilizzare , come prima 𝐻 𝜓𝑛 𝑟 = 𝐸𝑛 𝜓𝑛 𝑟 ; 𝐸𝑛 = 𝜓𝑛 𝐻 𝜓𝑛 . Nel seguito
utilizzeremo un’approssimazione tipica della teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo.
Riscriviamo l’energia come
𝐸𝑛 = 𝜓𝑛 𝐻 𝜓𝑛 + 𝜓𝑛 Δ𝑉 𝜓𝑛
Se la perturbazione 𝜓𝑛 Δ𝑉 𝜓𝑛 è piccola , la funzione d’onda non è disturbata quindi possiamo
approssimare 𝜓𝑛 ≅ 𝜓𝑛 ottenendo 𝐸𝑛 ≅ 𝜓𝑛 𝐻 𝜓𝑛 + 𝜓𝑛 Δ𝑉 𝜓𝑛 . Consideriamo ora l’effetto di questa
perturbazione indicandolo con Δ𝐸𝑛 = 𝐸𝑛 − 𝐸𝑛 = 𝜓𝑛 Δ𝑉 𝜓𝑛 . Dobbiamo calcolare questo valore di
aspettazione per valutare gli effetti dovuti a questa perturbazione. Indicando con Ω l’angolo si ha
Δ𝐸𝑛 = 𝜓𝑛 Δ𝑉 𝜓𝑛 =
𝜓𝑛∗ 𝑟 Δ𝑉𝜓𝑛 𝑟 𝑑3 𝑟 =
∞
𝑑Ω
Ω
0
𝑟 2 𝜓𝑛 𝑟
2
Δ𝑉 𝑟 𝑑𝑟
1 ∞
𝑍 3 2 −2𝑍𝑟
4
𝑟 𝑒 𝑎 0 Δ𝑉 𝑟 𝑑𝑟
4𝜋 0
𝑎0
𝑅
2𝑍𝑟
1
𝑍 3
3
𝑟2
1
−
=−
⋅4⋅
𝑍𝑒 2
𝑟2 𝑒 𝑎 0
− 3 − 𝑑𝑟
4𝜋𝜀0
𝑎0
2𝑅 2𝑅
𝑟
0
= 4𝜋 ⋅
Poiché 0 < 𝑟 < 𝑅 ∼ 10 fm , possiamo trascurare il rapporto 𝑟/𝑎0 , visto che quest’ultimo è dell’ordine di
104 𝑓𝑚 ( vd.sopra). Quindi l’esponenziale può essere posta uguale a 1 in quanto l’argomento è quasi
nullo. Si ha quindi
Δ𝐸𝑛 = −
1 𝑍
𝑍𝑒 2
𝜋𝜀0 𝑎03
𝑅
0
𝑟2
3
𝑟2
1
− 3−
𝑑𝑟
2𝑅 2𝑅
𝑟
Con una semplice integrazione si ricava
Δ𝐸1𝑠 =
2 1 𝑍4 𝑒 2 2
4
𝑍4 𝑅2
𝑅
⟹
Δ𝐸
=
𝐸
𝑅𝑦𝑑
5 4𝜋𝜀0 𝑎03
5
𝑎02
Vogliamo quindi vedere quanto sia influente questa correzione rispetto al valore dell’energia per il livello
1s : si tratta di stimare il rapporto
Δ𝐸1𝑠
4
𝑅2
= 𝑍2 2
𝐸1𝑠
5
𝑎0
Per il 12 𝐶 questo scarto vale 6 ⋅ 10−8 mentre per 208 𝑃𝑏 vale 7 ⋅ 10−5 , quindi questo è trascurabile e
l’approssimazione risulta efficiente. Inoltre anche inserendo correzioni relativistiche si ottengono valori
differenti nell’ordine di Δ𝐸/𝐸 dunque anche questi effetti sono trascurabili.
14
Spostamento (shift) isotopico delle righe K dei raggi X
In generale la presenza di termini aggiuntivi nel potenziale 𝑉(𝑟) comporta uno slittamento (o shift) dei
livelli energetici. Nel capitolo precedente è stato osservato che lo spostamento relativo al termine che
tiene conto della dimensione fisica del nucleo è trascurabile. Esistono casi invece in cui lo splitting
energetico è ben visibile e può essere sfruttato per ricavarne importanti proprietà sulla struttura
atomica. Con il guscio K intendiamo il guscio più interno dell’atomo. Possiamo misurare l’energia del
passaggio dall’orbitale 1s al 2p in due diversi isotopi dello stesso elemento. Con questa misura si
ottengono risultati diversi visto che il raggio cambia tra isotopi diversi. Utilizziamo quindi le quantità
primate 𝐴′ , 𝑍 ′ per l’isotopo e le quantit{ (𝐴, 𝑍) per l’elemento principale. Le energie emesse dai due
elementi sono date da
𝜀𝑋 𝐴 = 𝐸2 𝐴 − 𝐸1 𝐴 ; 𝜀𝑋 𝐴′ = 𝐸2 𝐴′ − 𝐸1 𝐴′
Quindi la differenza di energia nello stesso processo per i due elementi è data da
𝜀𝑋 𝐴 − 𝜀𝑋 𝐴′ = 𝐸2 𝐴 − 𝐸1 𝐴 − 𝐸2 𝐴′ + 𝐸1 𝐴′
Dobbiamo ora fare alcune considerazioni sulle quantità presenti in questa formula : in realtà , grazie ad
un’argomentazione che illustreremo subito nel seguito , si possono eliminare le quantit{ 𝐸2 𝐴 , 𝐸2 𝐴′
poiché risultano pressoché identiche. Per dimostrare questo utilizzeremo la funzione d’onda per l’orbitale
2p in cui compare la parte radiale.
𝑅2𝑝 𝑟 =
1
3
⋅
3/2
𝑍
2𝑎0
𝑍𝑟
𝑍
−
𝑟 𝑒 2𝑎 0
𝑎0
Le due energie in esame si possono scrivere come
𝐸2 𝐴 = 𝜓2𝑝 𝐻𝐴 𝜓2𝑝 ; 𝐸2 𝐴′ = 𝜓2𝑝 𝐻𝐴′ 𝜓2𝑝
Le due Hamiltoniane differiranno solo per la parte potenziale 𝑉𝐴 ≠ 𝑉𝐴′ . Quindi ogni integrale sarà
calcolato come
𝑅
0
𝑅′
2
𝑟 2 𝑅2𝑝
𝑟 𝑉𝐴 𝑟 𝑑𝑟 ,
0
2
𝑟 2 𝑅2𝑝
𝑟 𝑉𝐴′ 𝑟 𝑑𝑟
trascurando la parte cinetica. Studiando la funzione integranda ci si accorge che :
i.
ii.
𝑍𝑟
2
La funzione 𝑟 2 𝑅2𝑝
(𝑟) è limitata , ha massimo in un punto vicino a 𝑎 = 5 e tende a 0 molto
0
velocemente verso gli estremi.
I potenziali elettrostatici , d’altra parte, differiscono solo per 𝑟 ≤ 𝑅 .
2
Quindi i potenziali differiscono di molto solo in una zona dove la funzione 𝑟 2 𝑅2𝑝
(𝑟) che moltiplica è
nulla, quindi non perdiamo di generalità supponendo che
𝑅
𝑟
0
2
2
𝑅2𝑝
Possiamo quindi dire che 𝐸2 𝐴 = 𝐸2 𝐴′
𝑅′
𝑟 𝑉𝐴 𝑟 𝑑𝑟 ≅
0
2
𝑟 2 𝑅2𝑝
𝑟 𝑉𝐴′ 𝑟 𝑑𝑟
con buona approssimazione, in modo da ottenere
15
𝜀𝑋 𝐴 − 𝜀𝑋 𝐴′ = −𝐸1 𝐴 + 𝐸1 𝐴′ = 𝐸1 𝐴′ + Δ𝐸1 𝐴′ − 𝐸1 𝐴 − Δ𝐸1 𝐴 = Δ𝐸1 𝐴′ − Δ𝐸1 𝐴
2
2
4
𝑍4
4
𝑟02
= 𝐸𝑅𝑦𝑑 2 𝑅 ′ 2 − 𝑅 2 = 𝐸𝑅𝑦𝑑 𝑍 4 2 𝐴′ 3 − 𝐴3
5
5
𝑎0
𝑎0
Negli ultimi passaggi abbiamo utilizzato l’ulteriore approssimazione 𝐸1 (𝐴′ ) ≅ 𝐸1 𝐴 che risulta
appropriata in virtù della poca differenza in massa efficace. Inoltre è stata messa in evidenza la
dipendenza di A utilizzando la legge 𝑅 = 𝑟0 𝐴1/3 . Graficando i risultati sperimentali si può quindi arrivare
ad una stima della costante 𝑟0 : in realt{ si osserva che l’andamento ottenuto è corretto ma il valore della
costante 𝑟0 non è quello atteso. Questo si spiega osservando che la funzione d’onda dell’orbitale 1s
utilizzata nel calcolo non è una buona approssimazione della vera funzione d’onda.
Atomo Muonico
La particolarit{ di questo atomo è che al posto dell’elettrone (atomo idrogenoide) è presente un muone ,
una particella con stessa carica elettrica e spin dell’elettrone ma con una massa pari a 207 volte quella
dell’elettrone. Poiché i muoni sono sensibili soltanto alle forze deboli, elettromagnetiche e gravitazionali,
gli atomi muonici sono governati con precisione elevatissima dall'interazione elettromagnetica : non ci
sono complicazioni derivanti da forze forti tra il muone e il nucleo. Dato che un muone è più massivo di
un elettrone, le orbite di Bohr sono più vicine al nucleo in un atomo muonico rispetto a un atomo
ordinario e le correzioni dovute all'elettrodinamica quantistica sono più rilevanti. Lo studio dei livelli
energetici degli atomi muonici così come i tassi di transizione dagli stati eccitati allo stato fondamentale
permettono dunque test sperimentali riguardo all'elettrodinamica quantistica. Il muone non è stabile ma
decade con la reazione 𝜇− → 𝑒 − + 𝜈𝑒− + 𝜈𝜇 con una vita media di 𝜏 ≅ 2,2 ⋅ 10−6 𝑠 . Un fascio di muoni è
ottenibile dal decadimento di altre particelle, come vedremo tra poco. Studiamo ora le caratteristiche di
quest’atomo. Analogamente a quanto fatto per il raggio di Bohr possiamo calcolare
𝑎𝜇 = 4𝜋𝜀0
ℏ
𝑚𝑒
1
=
𝑎0 ≅
𝑎
𝑚𝜇 𝑒 𝑚𝜇
207 0
Gli autostati dell’energia si trovano utilizzando 𝐻𝜓𝑛 = 𝐸𝑛 𝜓𝑛 , quindi
𝑚𝜇 𝐸𝑅𝑦𝑑 2
𝑝2
1 𝑍𝑒 2
−
𝜓𝑛 = 𝐸𝑛 𝜓𝑛 ⟹ 𝐸𝑛 = −
𝑍 𝑛 = 1,2,3 …
2𝑚 4𝜋𝜀0 𝑟
𝑚𝑒 𝑛2
Vogliamo innanzitutto capire per quali Z il muone avr{ un’orbita compresa nel nucleo. Indichiamo con
ℛ𝑛𝑒 =
𝑛2
𝑎
𝑍 0
il raggio atomico dell’atomo idrogenoide. Nel caso dell’atomo muonico si ha quindi
𝜇
ℛ𝑛
𝑚𝑒 𝑛2
=
𝑎
𝑚𝜇 𝑍 0
Il caso che ci interessa è quello dell’orbitale 1s , dove 𝑛 = 1 : in questo stato il muone è nell’orbita più
𝜇
bassa e vicina al nucleo. Quindi ℛ1 = 𝑚𝑒 𝑎0 /𝑚𝜇 𝑍 . Vogliamo che questo raggio sia uguale al raggio del
nucleo , indicato come 𝑟0 𝐴1/3 . Da queste due relazioni si ottiene
1/3
𝑍𝐴
𝑚𝑒 𝑎0
𝑚𝑒
=
⟹ 𝑍3 𝐴 =
𝑚𝜇 𝑟0
𝑚𝜇
Nell’approssimazione 𝑁 ≅ 𝑍 ⟹ 𝐴 = 2𝑍 si ottiene
16
3
𝑎0
𝑟0
3
𝑚𝑒
2𝑍 =
𝑚𝜇
4
3
𝑎0
𝑟0
3
⟹ 𝑍 ≅ 47
Quindi con un nucleo con 𝑍 ≥ 47 (i.e. l’argento) il raggio dell’orbita muonica cade dentro al nucleo.
Consideriamo adesso un atomo muonico di Ferro. Vogliamo calcolare le quantità caratteristiche del
processo di shift isotopico ovvero l’energia emessa dai raggi X nella transizione del muone 2𝑝 → 1𝑠 nel
caso di nucleo puntiforme , il Δ𝐸 dovuto alla correzione per un nucleo di dimensione finita e la differenza
di energia dello shift isotopico tra i due isotopi del ferro 56 𝐹𝑒 𝜇 e 58 𝐹𝑒 𝜇 . Per il primo punto utilizziamo le
formule gi{ considerate per gli autostati dell’energia.
𝜀𝑋 = 𝐸2𝑝 − 𝐸1𝑠 =
3 𝑚𝜇
4 𝑚𝑒
𝐸𝑅𝑦𝑑 𝑍 2
𝑍 𝐹𝑒 =26
1,427 MeV
La correzione dovuta al nucleo puntiforme si
calcola come
Δ𝐸 =
2 1 𝑍 4 𝑒 2 2 4 𝑚𝜇 3
ℛ2
4
ℛ
=
𝐸
𝑍
𝑅𝑦𝑑
5 4𝜋𝜀0 𝑎𝜇3
5 𝑚𝑒
𝑎02
2
4 𝑚𝜇 3
𝑟0
=
𝐸𝑅𝑦𝑑 𝑍 4 2 𝐴2/3
5 𝑚𝑒
𝑎0
Δ𝐸1𝑠
≅ 0,33 MeV ⟹
≅ 10%
𝐸1𝑠
Infine per i due diversi isotopi si ha
Δ𝜀𝑋 = 𝜀𝑋 𝐴 − 𝜀𝑋 𝐴′
4 𝑚𝜇
=
5 𝑚𝑒
≅ 8 KeV
3
𝑟2
4 0
𝑍 2
𝑎0
2
2
𝐴′ 3 − 𝐴3
Nel seguente grafico è riportato lo shift
isotopico per alcuni isotopi del ferro.
Nuclei Speculari
Un altro processo che ci permette di stabilire il valore di 𝑟0 è lo studio dei nuclei speculari, ovvero nuclei
che si ottengono scambiando il numero di protoni con il numero di elettroni. Per due atomi con nuclei
speculari abbiamo quindi che 𝑍, 𝑁, 𝐴 = 𝑁 + 𝑍 ⟹ 𝑍 ′ = 𝑁, 𝑁 ′ = 𝑍 , 𝐴′ = 𝐴 . Nel seguito considereremo
39
nuclei speculari che differiscono di una sola unità : 137𝑁6 ↔ 136𝐶7 ; 20
𝐶𝑎19 ↔ 39
19𝐾20 . Se gli atomi
′
′
differiscono di una sola unità significa che 𝐴 = 𝑍 + 𝑁 = 𝑍 − 1 + 𝑍 = 2𝑍 − 1 , infatti 𝑍 ′ = 𝑍 − 1 , 𝑁 ′ =
𝑁 + 1 . La massa totale del nucleo sarà data da 𝑀 = 𝑖 𝑚𝑖 − 𝐵 , dove B è una costante ricavata
sperimentalmente : attraverso la misura della massa si potrà risalire alla differenza di energia tra i due
nuclei. Questa differenza può essere imputata alla sola differenza di energia Coulombiana poiché gli altri
termini , come già detto, non sono rilevanti. L’energia di Coulomb per una sfera uniformemente carica di
raggio 𝑅 è data da
3 1 𝑄2
𝐸𝑐 =
5 4𝜋𝜀0 𝑅
La variazione di energia tra i due nuclei speculari è data da
17
Δ𝐸𝑐 =
3 𝑒2 1
3 𝑒2
1
2
′2
𝑍
−
𝑍
=
𝑍2 − 𝑍 − 1
1
5 4𝜋𝜀0 𝑟 𝐴3
5 4𝜋𝜀0 𝑟 𝐴13
0
0
2
=
3 𝑒2
1
3 𝑒 2 1 1/3
2𝑍
−
1
=
𝐴
5 4𝜋𝜀0 𝑟 𝐴13
5 4𝜋𝜀0 𝑟0
0
Dall’esperienza si ricava 𝑟0 ≅ 1,22 𝑓𝑚 , avendo misurato Δ𝐸𝑐 come differenza di massa.
Decadimento radioattivo dei nuclei
Consideriamo il processo di decadimento più generale
𝐴 → 𝑎1 + 𝑎2
𝑀
𝑚1
𝑚2
Prendiamo come riferimento il sistema a riposo della massa M : possiamo scrivere la conservazione
dell’energia 𝑐 = 1 :
𝑀 = 𝑒10 + 𝑒20 = 𝑚1 + 𝐾10 + 𝑚2 + 𝐾20 ≥ 𝑚1 + 𝑚2
Definiamo il Q-valore del decadimento come
𝑄 = 𝑀 − 𝑚1 + 𝑚2
questo indice ci dice quanta energia iniziale è stata trasferita in energia cinetica delle particelle. Affinché
il processo possa avvenire spontaneamente occorre quindi che 𝑀 − 𝑚1 + 𝑚2 > 0 : non è detto
comunque che , con valori di Q strettamente positivi, la reazione avvenga, e in tempi ragionevolmente
brevi. L’energia nei due riferimenti delle masse 𝑚1 , 𝑚2 sarà invece
𝑒10 =
𝑀2 + 𝑚12 − 𝑚22
2𝑀
𝑒20 =
𝑀2 − 𝑚12 + 𝑚22
2𝑀
Nel caso particolare del decadimento Λ → 𝑝 + 𝜋 − 𝑜 𝑛 + 𝜋 0 si ottiene 𝑄 = 37,7 𝑀𝑒𝑉 . Il processo di
decadimento radioattivo si può quindi schematizzare con la reazione 𝐴 → 𝐵 + 𝑏 , dove A è il nucleo
madre, B il nucleo figlio e b un altro prodotto della reazione.
Legge del decadimento radioattivo - Attività
Ovviamente il processo è di natura statistica : possiamo considerare una densità di probabilità 𝜆 costante
nel tempo che esprime il tasso di variazione dei nuclei tra gli istanti 𝑡 e 𝑡 + 𝑑𝑡 . Se individuiamo con 𝑁(𝑡)
il numero di nuclei totali avremo quindi che 𝑑𝑁 = −𝑁 𝑡 𝜆 𝑑𝑡 , da cui si ricava la differenziale di
immediata risoluzione
𝑑𝑁
= −𝜆𝑁 𝑡 ⟹ 𝑁 𝑡 = 𝑁0 𝑒 −𝜆𝑡
𝑑𝑡
Tale relazione va sotto il nome di “Legge del decadimento radioattivo”. Avendo enunciato questa legge
risulta immediato individuare con 𝜏 ≡ 1/𝜆 la vita media della particella. Ovviamente quando 𝑡 = 𝜏 ⟹
𝑁 𝜏 = 𝑁0 /𝑒 . Un’altra quantit{ che si definisce è il tempo di dimezzamento della reazione ricavabile
dalla seguente : 𝑁(𝑇1/2 ) = 𝑁0 /2 ⟹ 𝑇1/2 = 𝜏𝑙𝑜𝑔 2 ≅ 0,693 𝜏 . Generalmente la vita media può variare di
svariati ordini di grandezza : l’uranio 236 per esempio ha 𝜏 ≅ 23,4 ⋅ 106 𝑦𝑟 mentre esistono particelle
che esistono solo per pochi microsecondi.
In realtà la variazione 𝑑𝑁/𝑑𝑡 assume un importante significato nelle reazioni nucleari : per questo viene
definita come attività della reazione.
18
𝑑𝑁
= 𝜆𝑁(𝑡)
𝑑𝑡
𝒜≡
Se definiamo poi con 𝒜0 ≡ 𝜆𝑁0 ⟹ 𝒜 = 𝒜0 𝑒 −𝜆𝑡 . In realtà sperimentalmente non si riesce a misurare
l’attivit{ ad un certo istante , ma solo l’attivit{ mediata su un periodo. In altre parole non è possibile
misurare direttamente N ma solo il numero di nuclei che decadono in un certo intervallo temporale. Si
ottiene quindi che il numero di nuclei che decadono in un tempo Δ𝑡 è dato dalla variazione
Δ𝑁 = 𝑁 𝑡 − 𝑁 𝑡 + Δ𝑡 = 𝑁0 𝑒 −𝜆𝑡 1 − 𝑒 −Δ𝑡/𝜏
Se l’intervallo di misura Δ𝑡 ≪ 𝑇1/2 allora Δ𝑁 ≃ 𝜆𝑁0 𝑒 −𝜆𝑡 Δ𝑡 , quindi l’attività media può essere definita
come 𝒜 = 𝜆𝑁0 𝑒 −𝜆𝑡 . L’unit{ di misura è ovviamente il rapporto del numero di decadimenti con il tempo :
vengono utilizzati il Curie = Ci = 3,7 ⋅ 106 decadimenti/s o il Bequerel = Bq = 1 decadimenti/s .
Utilizzando questa definizione è immediato verificare che integrando l’attivit{ sul tempo si ottiene il
numero di nuclei iniziale :
∞
𝒜 𝑡 = 𝜆𝑁 𝑡 ⟹
0
𝒜 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑁0
Inoltre ,per verificare le definizioni date prima, possiamo calcolare il tempo medio di decadimento
(ovvero la vita media ) verificando che questo valore è proprio 𝜏 . Si ha infatti
∞
𝑡 =
∫0 𝑡𝒜 𝑡 𝑑𝑡
∞
∫0 𝒜 𝑡
𝑁0
𝑑𝑡
=
1
𝑁0
∞
𝜆𝑡𝑁 𝑡 𝑑𝑡 =
0
1
𝑁0
∞
0
𝜆𝑡𝑁0 𝑒 −𝜆𝑡 𝑑𝑡 =
1
=𝜏
𝜆
Consideriamo ora un nucleo che decade in due diverse reazioni :
𝐴 → 𝐵1 + 𝑏1 𝜆1 , 𝐴 → 𝐵2 + 𝑏2 𝜆2
La variazione dei nuclei è data dalla somma delle variazioni dei due processi , quindi si ha che
𝑑𝑁 = −𝜆1 𝑁𝑑𝑡 − 𝜆2 𝑁𝑑𝑡 = − 𝜆1 + 𝜆2 𝑁𝑑𝑡
Se definiamo 𝜆 ≡ 𝜆1 + 𝜆2 , il risultato precedente si scrive come
𝑑𝑁 = −𝜆𝑁𝑑𝑡 ⟹ 𝑁 𝑡 = 𝑁0 𝑒 −𝜆𝑡
La vita media totale è data da
𝜏=
1
1
=
𝜆 𝜆1 + 𝜆2
Se definiamo poi con 𝜏𝑖 𝑖 = 1,2 le vite medie individuali possiamo riscrivere la relazione precedente
come
𝜏=
1
1
𝜏1
+
1
𝜏2
=
𝜏1 𝜏2 𝜆 1 ≫𝜆 2 ⟹𝜏 1 ≪𝜏 2
𝜏1
𝜏1 + 𝜏2
Conviene definire un parametro noto come “branching ratio” , ovvero il rapporto tra il tempo di
decadimento totale e quello individuale del componente :
19
𝑅𝑖 =
𝜆𝑖
𝜏
=
𝜆 𝜏𝑖
𝜏=
𝜏𝑖 , 𝜆 =
𝑖
𝜆𝑖
𝑖
Per il Berillio 10 𝐵𝑒 ad esempio vale 𝑅 = 0,849.
Ora che abbiamo individuato i parametri utili per descrivere la reazione possiamo supporre che il nucleo
figlio B della reazione 𝐴 → 𝐵 + 𝛽 𝜆𝐴 sia a sua volta instabile (ipotesi più realistica)e che decada
anch’esso 𝐵 + 𝛽 → 𝐶 + 𝛾 𝜆𝐵 . Possiamo considerare la variazione dei nuclei per i diversi componenti ed
in seguito unire le due relazioni per ricavare quella più generale
𝑑𝑁𝐵 = 𝜆𝐴 𝑁𝐴 𝑑𝑡 − 𝜆𝐵 𝑁𝐵 𝑑𝑡 ⟹
𝑑𝑁𝐵
= 𝜆𝐴 𝑁𝐴 − 𝜆𝐵 𝑁𝐵
𝑑𝑡
Visto che 𝑁𝐴 𝑡 = 𝑁𝐴0 𝑒 −𝜆 𝐴 𝑡 , si ottiene
𝑑𝑁𝐵
𝑑𝑁𝐵
= 𝜆𝐴 𝑁𝐴0 𝑒 −𝜆 𝐴 𝑡 − 𝜆𝐵 𝑁𝐵 ⟹
+ 𝜆𝐵 𝑁𝐵 = 𝜆𝐴 𝑁𝐴0 𝑒 −𝜆 𝐴 𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Questa differenziale è risolta da una soluzione composta da una soluzione generale 𝐶𝑒 −𝜆 𝐵 𝑡 e da una
particolare 𝐷𝑒 −𝜆 𝐴 𝑡 , delle quali dobbiamo determinare i coefficienti. Sostituendo nell’equazione
differenziale si ricava il valore della costante D :
𝐷=
𝜆𝐴
𝑁0
𝜆𝐵 − 𝜆𝐴 𝐴
Quindi la soluzione generale è data da
𝑁𝐵 𝑡 = 𝐶𝑒 −𝜆 𝐵 𝑡 +
𝜆𝐴
𝑁 0 ⋅ 𝑒 −𝜆 𝐴 𝑡
𝜆𝐵 − 𝜆𝐴 𝐴
Infine per ricavare la costante C dobbiamo porre la condizione iniziale 𝑁𝐵0 ≡ 𝑁𝐵 0 da cui si ricava
𝐶 = 𝑁𝐵0 −
𝜆𝐴
𝑁0
𝜆𝐵 − 𝜆𝐴 𝐴
Si può scrivere quindi la soluzione come
𝑁𝐵 𝑡 = 𝑁𝐵0 𝑒 −𝜆 𝐵 𝑡 +
𝜆𝐴
𝑁 0 𝑒 −𝜆 𝐴 𝑡 − 𝑒 −𝜆 𝐵 𝑡
𝜆𝐵 − 𝜆𝐴 𝐴
Tipi di decadimento
Riportiamo ora una lista dei decadimenti che verranno studiati nel seguito :
 Decadimenti 𝛼 :
𝐴
𝑍 𝑋𝑁
→
𝐴−4
𝑍−2𝑌𝑁−2
+ 𝛼 , 𝛼 ≡ 42𝐻𝑒2
 Decadimenti 𝛽 −:
𝐴
𝑍 𝑋𝑁
→
𝐴
𝑍+1𝑌𝑁−1
+ 𝑒 − + 𝜈𝑒
Dentro al nucleo avviene una reazione del tipo 𝑛 → 𝑝 + 𝑒 − + 𝜈𝑒 (𝑄 > 0)
20
 Decadimenti 𝛽 +:
𝐴
𝑍 𝑋𝑁
→
𝐴
𝑍−1𝑌𝑁+1
+ 𝑒 + + 𝜈𝑒
Dentro al nucleo avviene una reazione del tipo 𝑝 → 𝑛 + 𝑒 + + 𝜈𝑒 . Poiché per questa reazione
𝑄 < 0 il processo non avviene spontaneamente.
 Cattura elettronica ( 𝜀 ) : Uno dei protoni del nucleo può catturare uno degli elettroni atomici
𝐴
𝑍 𝑋𝑁
𝐴
𝑍−1𝑌𝑁+1
→
+ 𝜈𝑒
Nel nucleo avviene il processo 𝑝 + 𝑒 − → 𝑛 + 𝜈𝑒
 Decadimento 𝛾 :
𝐴 ∗
𝑍 𝑋𝑁
→ 𝐴𝑍 𝑌𝑁 + 𝛾
 Fissione spontanea
𝐴
𝑍 𝑋𝑁
→
𝐴1
𝑍1 𝑌
+
𝐴2
𝑍2 𝑊
+ 𝑘 ⋅ 𝑛 (𝑘 = 1,2)
Datazione con il radiocarbonio
I primi studi per la datazione di reperti tramite l’utilizzo di radiocarbonio sono dovuti a Libby (1952). In
natura esistono due isotopi stabili del Carbonio : Carbonio 12 ( 98,89 % ) ed il Carbonio 13 (1,11 %) . Gli
isotopi instabili (Carbonio 9-10-11) costituiscono solo una piccola parte della composizione ed hanno un
tempo di dimezzamento di circa 30 minuti. L’isotopo del 14 𝐶 ha un’abbondanza ( definita come rapporto
tra i nuclei di 14 𝐶 ed i nuclei totali di carbonio ) 𝑥 ≅ 1,2 ⋅ 10−12 . Essendo un elemento instabile tende
inoltre a decadere in Azoto con un decadimento di tipo 𝛽 : 14 𝐶 → 14 𝑁 + 𝑒 − + 𝜈𝑒 con 𝜏 = 8227 yr =
2,609 ⋅ 1011 s . L’esistenza del 14 𝐶 è dovuta alla sua sintesi durante le reazioni che hanno portato alla
formazione del sistema solare. La sua permanenza al giorno d’oggi è dovuta all’esistenza di un
meccanismo che continuamente provvede a formarne di nuovo : questo processo è dovuto ai raggi
cosmici , una radiazione di grande energia composta da protoni , particelle 𝛼 ed elettroni che
,attraversando la zona superiore dell’atmosfera, frammentano il nucleo delle particelle ivi presenti.
Vengono prodotti mediamente 2 neutroni al secondo per 𝑐𝑚2 : questi interagiscono con altri nuclei
dell’atmosfera e vengono rallentati fino a quando passano ad energie dell’ordine di 0,025 eV . Quindi i
neutroni incontrano un nucleo di Azoto e innescano le reazione 14 𝑁 + 𝑛 → 14 𝐶 + 𝑝 . Dopo che il 14 𝐶 si è
formato questo viene trascinato nella bassa atmosfera in tempi molto lunghi ( dell’ordine di 1000 anni) e
viene assorbito dalla specie naturali. Definiamo con Q il rate di formazioni di 14𝐶 da 14 𝑁 e supponiamo
che questo sia costante nel tempo. Se indichiamo con 𝑁(𝑡) il numero di nuclei di 14 𝐶 presenti ad un tempo
t la variazione ad un tempo infinitesimo è data da
𝑑𝑁 𝑡
𝑄
= 𝑄 − 𝜆𝑁 𝑡 ⟹ 𝑁 𝑡 =
1 − 𝑒 −𝜆𝑡
𝑑𝑡
𝜆
Quindi per 𝑡 → ∞ si raggiunge l’equilibrio alla concentrazione 𝑄/𝜆 . Fin tanto che un organismo è in vita
il carbonio 14 viene riprodotto tramite processi di fotosintesi, etc… Quando l’organismo muore però la
produzione di 14𝐶 si ferma. Utilizziamo quindi la legge del decadimento radioattivo integrando tra gli
istanti 𝑡1 (di misura) e 𝑡0 di produzione.
𝑡1 − 𝑡0 = 𝜏 ln
21
𝑁0
𝑁 𝑡1
Per risolvere questa formula dobbiamo però determinare la costante 𝑁0 ,ovvero il numero di nuclei di
carbonio alla sua formazione. Non è quindi possibile calcolare direttamente questa quantità ma si può
supporre che questa debba mantenersi costante, in modo che 𝑁 𝑡1 + 𝑁𝐵 𝑡1 = 𝑁0 𝑁𝐵 𝑡0 = 0 , dove
abbiamo indicato con 𝑁𝐵 il numero di nuclei di azoto. Quindi il problema si risolve calcolando il numero
di nuclei di azoto: questo è possibile grazie alla tecnica AMS (accelerator mass spectroscopy). La legge
viene quindi modificata come segue
𝑡1 − 𝑡0 = 𝜏 ln 1 +
𝑁𝐵 𝑡1
𝑁 𝑡1
Un altro metodo consiste nel misurare l’attivit{.
𝑡1 − 𝑡0 = 𝜏 ln
𝒜0
𝒜 𝑡1
supponendo che l’attività specifica di un essere vivente si mantenga costante, ovvero che 𝒜0 = 𝒜viv 𝑡1 .
In questo caso dobbiamo quindi valutare l’attivit{ specifica di un campione di carbonio.
𝒜≡
𝒜
1 g di carbonio naturale
Sapendo che la massa molecolare del carbonio è 𝑀 ≅ 12,011 g potremo ricavare il numero di atomi di
carbonio in 1 g :
𝑁=
𝒩𝐴
nuclei
𝑥 ≅ 6,016 ⋅ 1010
12,011 𝑔
g
Quindi l’attivit{ specifica è uguale a
𝒜 =𝑁⋅𝜆 =
𝑁
Bq
decadimenti
≅ 0,23 ⋅
= 14
𝜏
g
minuto⋅g
Ma poiché gli eventi sono evidentemente radi (14/minuto) le fluttuazioni statistiche sono molto evidenti :
occorrerà quindi una misura molto precisa per ridurre gli errori statistici. In realtà la supposizione che la
concentrazione di carbonio 14 non cambi non è del tutto esatta. Tale inesattezza è evidente soprattutto
se si confrontano alcuni risultati di questa tecnica con quelli ottenuti tramite la dendrocronologia ,
ovvero la datazione fatta utilizzando gli anelli dei tronchi d’albero. Facendo combaciare vari campioni si
ha infatti un andamento generale su scale di 1000 anni e si verifica che su tempi molto grandi la tecnica
del carbonio 14 tende a sottostimare la datazione effettiva. Le motivazioni dell’inesattezza di questa
misura sono principalmente le seguenti :
i.
ii.
iii.
Attività solari : macchie solari o esplosioni sulla superficie solare influenzano la produzione di
carbonio 14.
Emissione di prodotti dall’utilizzo di combustibili fossili.
Attività nucleare eccessiva : la corsa agli armamenti nucleari durante la guerra fredda segnò un
rapido incremento della produzione di Carbonio 14. Infatti nelle esplosioni vengono liberati
neutroni che possono dare luogo alla formazione del carbonio ( come succede nell’alta
atmosfera) . Ecco perché per rendere più accurate le misure si utilizzano dati di concentrazione
risalenti agli anni 50.
Energia di legame del nucleo
Supponiamo di avere N particelle di massa a riposo 𝑚𝑖 , provenienti da distanza infinita. Supponiamo di
avvicinarle e di creare un sistema di una particella legata. In generale non è vero che la massa di questa
22
particella legata M è la somma delle masse delle singole particelle. In effetti vale solo la conservazione
dell’energia :
𝐸 = 𝑐2𝑀 = 𝑐2
𝑚𝑖 + 𝐸𝑐𝑖𝑛 + 𝐸𝑖𝑛𝑡 ⟹ 𝐸 ′ ≡ 𝑐 2 𝑀 −
𝑖
𝑚𝑖 = 𝐸𝑐𝑖𝑛 + 𝐸𝑖𝑛𝑡 < 0 (stato legato)
𝑖
Definiamo l’energia di legame , B (binding Energy) , come
𝐵 = −𝐸 ′ =
𝑚𝑖 − 𝑀 𝑐 2 > 0
𝑖
Vediamo di analizzare quindi il caso particolare del nucleo. L’energia di legame , in questo caso, è data da
𝐵 = 𝑍𝑚𝑝 + 𝑁𝑚𝑛 − 𝑀
dove M è la massa del nucleo. Dobbiamo riscrivere questa relazione in funzione della massa dell’atomo
𝑀𝑎 𝐴𝑋 . Poiché anche l’atomo è un sistema composto possiamo riscrivere la massa come 𝑀𝑎 𝐴𝑋 =
𝑀 + 𝑍𝑚𝑒 − 𝐵𝑒 , dove abbiamo indicato con 𝐵𝑒 l’energia di legame di tutti gli elettroni nell’atomo. Quindi
𝐵 = 𝑍𝑚𝑝 + 𝑁𝑚𝑛 − 𝑀 = 𝑍𝑚𝑝 + 𝑁𝑚𝑛 + 𝑍𝑚𝑒 − 𝐵𝑒 − 𝑀𝑎 𝐴𝑋 = 𝑍 𝑚𝑝 + 𝑚𝑒 + 𝑁𝑚𝑛 − 𝑀𝑎
= 𝑍 𝑀𝑎 1𝐻 + 𝑏𝑒 + 𝑁𝑚𝑛 − 𝑀𝑎 𝐴𝑋 − 𝐵𝑒
𝐴
𝑋 − 𝐵𝑒
Infatti la massa dell’atomo di idrogeno è data da 𝑀𝑎 1𝐻 = 𝑚𝑝 + 𝑚𝑒 − 𝑏𝑒 , dove 𝑏𝑒 è l’energia di
legame dell’elettrone nell’atomo di idrogeno. Si ottiene quindi
𝐵 = 𝑍𝑀𝑎
1
𝐻 + 𝑁𝑚𝑛 − 𝑀𝑎
𝐴
𝑋 + 𝑍𝑏𝑒 − 𝐵𝑒
La parte 𝑍𝑏𝑒 − 𝐵𝑒 è trascurabile rispetto all’energia totale ( rispettivamente ordine di KeV e MeV )
quindi 𝐵 ≅ 𝑀𝑎 1𝐻 + 𝑁𝑚𝑛 − 𝑀𝑎 𝐴𝑋 . Nella tabella seguente riportiamo alcuni dati sperimentali
Z
1
2
2
3
N
1
1
2
3
A
2
3
4
6
Nucleo
2H
3He
4He
6Li
23
𝑩(𝑴𝒆𝑽)
2,22
7,72
28,30
32
𝑩/𝑨
1,11
2,57
7,07
5,33
Visto che l’energia
di legame cresce
(quasi)
linearmente con A
, non è raro
graficare l’energia
media per
nucleone , 𝐵/𝐴 ,
come funzione di 𝐴
, come visualizzato
nel seguente
grafico. Si nota
innanzitutto che la
curva è
relativamente
costante eccetto
che per nuclei
molto leggeri.
Secondariamente si nota che la curva raggiunge un massimo per 𝐴 ≃ 60 , dove i nuclei sono saldamente
legati : questa separazione porter{ all’elaborazione della fusione e della fissione nucleare. Lo studio più
attento della relazione che intercorre tra 𝐵 ed 𝐴 porta invece alla formulazione di un nuovo modello.
Modello a goccia del nucleo e formula semiempirica di massa
Dalla figura si vede che l’energia di legame ed il numero atomico A non sono legati (quasi) in alcun modo
: questa indipendenza suggerisce di ipotizzare un modello “a goccia” per il nucleo atomico. Infatti, come
nelle gocce d’acqua il calore di evaporazione (grandezza che stima la probabilit{ che una particella
d’acqua si vaporizzi, lasciando la goccia) non dipende dalla sua grandezza , così nel modello a goccia del
nucleo l’energia che lega le particelle esterne a quelle interne non dipende da A. La formula accurata per
questo tipo di modello è data da
𝐵 = 𝑎𝑟 𝐴 − 𝑎𝑠 𝐴2/3 − 𝑎𝐶
𝑍2
𝑁−𝑍
− 𝑎𝑠𝑦𝑚
1/3
𝐴
𝐴
2
+𝛿
Vediamo di discutere il significato fisico di ogni termine.
i.
ii.
iii.
(𝑎𝑟 𝐴) : Il raggio del nucleo è del tipo 𝑅 = 𝑟0 𝐴1/3 , come già visto in precedenza . Quindi il primo
termine , dominante, è proporzionale alle dimensioni del nucleo ( ~𝑅 3 ) .
(−𝑎𝑠 𝐴2/3 ) : I nucleoni posti sulla superficie sono meno legati rispetto a quelli presenti nel centro,
in quanto risentono meno della attrazione con gli altri. Questi nucleoni non contribuiscono a B
come quelli posti nel centro , quindi bisogna sottrarre al primo termine (di volume) un termine
proporzionale all’area del nucleo , ovvero ∝ 𝑅 2 . Visto che 𝑅 ∝ 𝐴1/3 allora il termine dovrà essere
proporzionale a 𝐴2/3 .
(𝑎𝐶 𝑍 2 /𝐴1/3 ) : Il terzo termine tiene conto dell’attrazione Couloumbiana. Per capire l’andamento
di questo termine si può prendere come modello una goccia uniformemente carica e calcolare il
lavoro necessario per assemblare una distribuzione del genere. A meno di costanti moltiplicative
questo dipende da 𝜌2 /𝑟 .
𝐸𝐶 ~
iv.
𝑍2 𝑒 2 𝑍2
𝑍2
~ ~ 1/3 = 𝑍 2 𝐴−1/3
𝑅
𝑅 𝐴
Quindi il termine Couloumbiano è dato da 𝑍 2 𝐴−1/3 . Il segno negativo è dovuto al fatto che la
repulsione dei protoni tende a renderli meno legati, quindi a diminuire l’energia di legame.
(𝑎𝑠𝑦𝑚 𝑁 − 𝑍 2 /𝐴) : c’`e una tendenza in natura ad una simmetria tra Z e (A − Z), almeno per
nuclei leggeri. Questo fatto ci induce ad introdurre un termine, proporzionale ad A e dipendente
24
da 𝛽 ≡ (𝐴 − 𝑍)/𝑍 , che abbia un minimo per A = 2Z . Tali proprietà vengono soddisfatte dalla
funzione
𝑎𝑠𝑦𝑚 𝑁 − 𝑍
𝐴
2
Ovviamente questo termine è legato fortemente a quello Couloumbiano.
v.
(𝛿): L’ultimo contributo è detto termine di pairing :
𝑎𝑝 𝐴−3/4 , 𝑐𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑐𝑙𝑒𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑖 − 𝑝𝑎𝑟𝑖
0
,
𝑐𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑐𝑙𝑒𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑖 − 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖
𝛿=
−3/4
−𝑎𝑝 𝐴
,
𝑐𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑐𝑙𝑒𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖 − 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖
Dove con le diciture pari, dispari si intendono i casi in cui 𝐴 − 𝑍 e Z sono rispettivamente pari o
dispari. L’atomo più sfavorito è quello dispari-dispari.
La formula, che riportiamo nuovamente , è detta formula semi-empirica di Bethe-Weizsaker.
𝐵 = 𝑎𝑟 𝐴 − 𝑎𝑠 𝐴2/3 − 𝑎𝐶
𝑍2
𝑁−𝑍
−
𝑎
𝑠𝑦𝑚
𝐴
𝐴1/3
2
+𝛿
Dai dati sperimentali si ricavano i valori 𝑎𝑟 ≅ 15,68 MeV , 𝑎𝑠 ≅ 28,56 MeV, 𝑎𝐶 = 0,717 MeV , 𝑎𝑠𝑦𝑚 =
28,1 MeV , 𝑎𝑝 ≅ 34 MeV . Se consideriamo nuclei isobari ( A costante ) possiamo combinare la formula
della massa
𝑀 𝐴, 𝑍 = 𝑍𝑚𝑝 + 𝑁𝑚𝑛 − 𝐵 𝐴, 𝑍
25
e utilizzare la formula semi-empirica per la Binding Energy , ricavando così la formula semi empirica di
massa , la cui dipendenza da Z è evidenziata nella seguente schematizzazione
𝑀 𝑍 = 𝑍𝑚𝑝 + 𝑁𝑚𝑛 − 𝑎𝑟 𝐴 + 𝑎𝑠 𝐴2/3 + 𝑎𝐶
𝑍2
𝑁−𝑍
+ 𝑎𝑠𝑦𝑚
1/3
𝐴
𝐴
2
− 𝛿~𝛼𝑍 2 + 𝛽𝑍 + 𝛾 − 𝛿
Graficando questa funzione ( per A dispari ) si ottiene una parabola con centro nello stato stabile 𝑍0 :
tutti i nuclei del lato decrescente tendono a decadere , attraverso decadimenti 𝛽 − , nello stato 𝑍0 ;
viceversa sull’altro lato si verificano decadimenti di tipo 𝛽 + , come mostrato nella figura seguente.
Interazione Nucleare
Cenni di Meccanica Quantistica
Momento angolare
Definiamo l’operatore momento angolare2 come ℓ = 𝑟 × 𝑝 = −𝑖ℏ 𝑟 × ∇ .
Possiamo scomporre sulle componenti x,y,z per ottenere
2
Per semplicità di notazione ometteremo il simbolo di vettore su ℓ e su tutti gli operatori quantistici vettoriali , ℓ ≡ ℓ
26
𝜕
𝜕
−𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕
𝜕
ℓ𝑦 = −𝑖ℏ 𝑧
−𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕
𝜕
ℓ𝑧 = −𝑖ℏ 𝑥
−𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑥
ℓ𝑥 = 𝑦𝑝𝑧 − 𝑧𝑝𝑦 = −𝑖ℏ 𝑦
ℓ→
Possiamo introdurre l’operatore momento angolare quadrato definito da ℓ2 = ℓ2𝑥 + ℓ2𝑦 + ℓ2𝑧 . Passando
in coordinate polari 𝑟, 𝜗, 𝜑 quest’ultimo operatore si può scrivere come
ℓ2 = −ℏ2
1 𝜕
𝜕
1 𝜕
sin 𝜗
+ 2
sin 𝜗 𝜕𝜗
𝜕𝜗
sin 𝜗 𝜕𝜑
Tale operatore ci sarà utile per le sue proprietà di commutazione. Vediamo prima i commutatori per li
momento angolare. Si ha che 𝑥 , 𝑝𝑥 = 𝑖ℏ , quindi segue che
ℓ𝑥 , ℓ𝑦 = 𝑖ℏ ℓ𝑧 ; ℓ𝑦 , ℓ𝑧 = 𝑖ℏℓ𝑥 ; ℓ𝑧 , ℓ𝑥 = 𝑖ℏℓ𝑦
La relazione di commutazione tra il momento angolare ed il suo operatore quadrato è data da
ℓ2 , ℓ𝑧 = 0 , quindi i due operatori ammettono una base ortonormale di autostati comuni. Si osserva che
gli autostati di ℓ2 sono definiti da
ℓ2 ℓ, 𝑚ℓ = ℏℓ ℓ + 1 ℓ, 𝑚ℓ
Il numero quantico ℓ per il momento angolare assume valori dati da ℓ = 0,1,2,3 … . Fissato ℓ si hanno
dunque ℓ𝑖=0 𝑖 = 2ℓ + 1 valori di 𝑚ℓ per la singola componente poiché ad esempio ℓ𝑧 ℓ, 𝑚ℓ =
ℏ𝑚ℓ ℓ, 𝑚ℓ . Per quanto riguarda il momento angolare intrinseco(spin) si può definire l’operatore
(quadrato)
𝑠 2 = 𝑠 2𝑥 + 𝑠 2𝑦 + 𝑠 2𝑧
Si può mostrare che valgono le stesse regole di commutazione già viste per il momento angolare, in
particolare 𝑠 2 , 𝑠 2𝑧 = 0 . Quindi anche per questi operatori si trova una base di autostati comuni e
𝑠 2 𝑠, 𝑚𝑠 = ℏ2 𝑠 𝑠 + 1 𝑠, 𝑚𝑠
fissato s si ha , analogamente, 𝑠 𝑧 𝑠, 𝑚𝑠 = ℏ𝑚𝑠 𝑠, 𝑚𝑠 .E’ noto che s può assumere valori semi interi
(fermioni) o interi (bosoni), in particolare 𝑚𝑠 = 𝑠, 𝑠 − 1, … , −𝑠 . Combinando due o più momenti angolari
si ottiene un momento angolare risultante : i numeri quantici di questa risultante si ottengono facilmente
considerando la composizione dei due sottospazi relativi alle due particelle . Prendiamo quindi 𝐽 = 𝑗1 + 𝑗2
. In termini di operatori si ha che 𝐽2 = 𝐽𝑥2 + 𝐽𝑦2 + 𝐽𝑧2 ⟹ 𝐽2 , 𝐽𝑧 = 0 . Gli autostati comuni sono quindi dati
da
𝐽2 𝐽, 𝑚𝐽 = ℏ2 𝐽 𝐽 + 1 𝐽, 𝑚𝐽
Una volta fissati i valori di 𝑗1 , 𝑗2 i valori di J dovranno essere quantizzati :
𝐽 = 𝑗1 + 𝑗2 , 𝑗1 + 𝑗2 − 1 , … , 𝑗1 − 𝑗2
Quindi 𝑚𝐽 = 𝐽, … , −𝐽 = 𝑚𝑗 1 + 𝑚𝑗 2 .
27
Operatori di salita e discesa
Riferiamoci prima ad un momento angolare generico 𝐽 a cui è associato l’operatore 𝐽2 , 𝐽𝑧 . Si definisce
l’operatore di salita come 𝐽+ ≡ 𝐽𝑥 + 𝑖𝐽𝑦 ; viceversa quello di discesa è dato da 𝐽− ≡ 𝐽𝑥 − 𝑖𝐽𝑦 . Con queste
definizioni è facile verificare che 𝐽+† = 𝐽− , quindi questo operatore non è Hermitiano3. Si possono
dimostrare le relazioni di commutazione seguenti
𝐽+, 𝐽− = 2ℏ𝐽𝑧 ;
𝐽2 , 𝐽± = 0
𝐽𝑧 , 𝐽± = ±𝐽± ;
Se indichiamo con 𝐽, 𝑚𝐽 gli autostati di 𝐽2 e 𝐽𝑧 e applichiamo a questi l’operatore di salita si ottiene
𝐽+ 𝐽, 𝑚𝐽 =
𝐽 − 𝑚𝐽
𝐽 + 𝑚𝐽 + 1 ℏ 𝐽, 𝑚𝐽 + 1
Notiamo che se 𝑚𝐽 = 0 ⟹ 𝐽+ 𝐽, 0 = 0 . Applicando l’operatore di discesa si ottiene invece
𝐽− 𝐽, 𝑚𝐽 =
𝐽 + 𝑚𝐽
𝐽 − 𝑚𝐽 + 1 ℏ 𝐽, 𝑚𝐽 − 1
Per quanto riguarda lo spin possiamo identificare i due stati di spin “up” e “down” con la notazione
1
𝑠 = ; 𝑠, 𝑚𝑠 =
2
1 1
, ≡ ↑ → 𝑢𝑝
2 2
1 1
, − ≡ ↓ → 𝑑𝑜𝑤𝑛
2 2
Quindi applicando 𝑠+ ↑ = 0 , 𝑠+ ↓ = ℏ ↑ e analogamente 𝑠− ↑ = ℏ ↓ , 𝑠− ↓ = 0 . Nel caso particolare
dello spin gli operatori di salita e di discesa si possono scrivere quindi come
𝑠+ ≡ ℏ ↑ ↓ ; 𝑠− ≡ ℏ ↓ ↑
Uno stato generico può essere quindi scritto come combinazione lineare :
𝜒 =
𝑚𝑠
𝜒↑
𝑚𝑠 𝑚𝑠 𝜒 = ↑ ↑ 𝜒 + ↓ ↓ 𝜒 = 𝜒↑ ↑ + 𝜒↓ ↓ = 𝜒
↓
𝜒↑
Il vettore 𝜒 = 𝜒 viene detto spinore. Con questa notazione segue immediatamente che
↓
↑ =
1
0
;
0
1
↓ =
Ovviamente ad un generico operatore 𝑥 è associata una matrice definita da 𝑥𝑛𝑚 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑎𝑚 . Nel caso
ℏ
dello spin 𝑠 = 𝜍 , 𝜍 = 𝜍𝑥 , 𝜍𝑦 , 𝜍𝑧 , dove 𝜍𝑖 sono le matrici di Pauli definite da
2
𝜍𝑥 =
0 1
1 0
; 𝜍𝑦 =
0 −𝑖
𝑖 0
; 𝜍𝑧 =
1
0
0
−1
; 𝜍0 =
Gli operatori di salita e discesa dello spin si possono scrivere come
𝑠+ = ℏ
3
0 1
0 0
; 𝑠− = ℏ
0 0
1 0
Con la notazione † si intende il complesso coniugato dell’operatore considerato.
28
1
0
0
1
Possiamo infine notare che valgono le regole seguenti
𝜍𝑖 𝜍𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 + 𝑖𝜀𝑖𝑗𝑘 𝜍𝑘 ; 𝜍𝑖2 = 𝕀 ; 𝜍 2 = 𝜍𝑥2 + 𝜍𝑦2 + 𝜍𝑧2 = 3𝕀
ove abbiamo indicato con 𝜀𝑖𝑗𝑘 il tensore di Levi-Civita definito dalla seguente
𝜀𝑖𝑗𝑘
+1 se 𝑖, 𝑗, 𝑘 = 1,2,3 , 2,3,1 , (3,1,2)
= −1 se 𝑖, 𝑗, 𝑘 = 3,2,1 , 1,3,2 , (2,1,3)
0 per le altre combinazioni di (𝑖, 𝑗, 𝑘)
Il caso di particolare interesse è quello in cui 𝑠1 = 𝑠2 = 1/2 , ovvero quello di due fermioni identici.
Sistema di due fermioni identici
Supponiamo di poter dividere le variabili nella funzione d’onda del sistema, ovvero
𝜓 𝑟, 𝑆 = 𝜓 𝑟1 , 𝑟2 𝜒 𝑠1 , 𝑠2 ; 𝑆 = 𝑠1 + 𝑠2
Consideriamo inoltre gli operatori 𝑆 2 , 𝑆𝑧 = 0 . Gli autostati sono dati da 𝑆, 𝑚𝑆 . Utilizziamo le regole
di composizione dei momenti angolari : 𝑆 = 1,0 poiché 𝑆 = 𝑠1 − 𝑠2 e ci troviamo in presenza di
fermioni ( 𝑠𝑖 = ±1/2 ) . Consideriamo lo stato associato ad 𝑆 = 1 : per questo il numero 𝑚𝑆 può valere
𝑚𝑆 =
1 ⟹ 1,1
0 ⟹ 1,0
−1 ⟹ 1, −1
Nel secondo caso 𝑆 = 0 ⟹ 𝑚𝑆 = 0 ⟹ 0,0 . Identificando 𝑠1 , 𝑚1 ≡ 𝑚1 , 𝑠2 , 𝑚2 ≡ 𝑚2 , possiamo
trovare 4
𝑆, 𝑚𝑆 =
𝑚1 , 𝑚2 𝑚1 𝑚2 𝑆, 𝑚𝑆 = 𝑐1 ↑ ↑ + 𝑐2 ↑ ↓ + 𝑐3 ↓ ↑ + 𝑐4 ↓ ↓
𝑚 1 ,𝑚 2
1. Consideriamo ora il caso in cui 𝑆 = 1 , 𝑚𝑆 = 1 ⟹ 𝜒 = 1,1 . L’unico stato che da contributo è il
primo : 1,1 = 𝑐1 ↑ ↑ . Possiamo porre 𝑐1 = 1 poiché è una costante di normalizzazione.
Applichiamo a questo stato l’operatore di discesa : questo sar{ dato dalla composizione degli
operatori di discesa per le particelle indipendenti : 𝑆− = 𝑠1− + 𝑠2− . Quindi
1,0 = 𝑆− 1,1 = 𝑠1− + 𝑠2− ↑ ↑ = 𝑠1− ↑ ↑ + 𝑠2− ↑ ↑ = 𝑠1− ↑
↓
↑ + ↑
𝑠2− ↑
↓
= ↓ ↑ + ↑ ↓
Quindi normalizzando si ottiene
1,0 =
1
2ℏ
↓ ↑ + ↑ ↓
⟹ 2ℏ 1,0 = 𝑆− 1,1
Applicando nuovamente l’operatore di discesa a questo stato si ottiene 𝑆− 1,0 = 𝑆− 1, −1 =
↓ ↓ .
2. Consideriamo invece lo stato in cui 𝑆 = 0 , 𝑚𝑆 = 0 : questo può essere scritto in funzione degli
spin delle particelle .
4
Con il prodotto ↑ ↑ si intende ovviamente il prodotto diretto dei due spinori relativi ai due sottospazi della
particella 1 e 2. Si utilizzano anche le notazioni equivalenti ↑ 1 ↑ 2 o , ancora , ↑↑ .
29
0,0 =
1
↑ ↓ − ↓ ↑}
2
Ovvero una combinazione antisimmetrica rispetto alla precedente.
Operatore di Parità
Supponiamo di avere un sistema fisico e di volerlo descrivere in un sistema di coordinate 𝑥, 𝑦, 𝑧 .
L’operazione di parit{ consiste nell’invertire il senso degli assi , mandando ogni coordinata nel suo
opposto : 𝑟 → −𝑟 . Questa operazione equivale a passare da un sistema destrorso ad uno sinistrorso.
Utilizzando coordinate polari 𝑟, 𝜗, 𝜑 la parit{ si può esprimere come l’operatore che applica i seguenti
cambiamenti di coordinate : 𝑟 → 𝑟 , 𝜗 → 𝜋 − 𝜗 , 𝜑 → 𝜑 + 𝜋 . La descrizione del sistema fisico iniziale può
essere fatta tramite la funzione 𝜓 𝑟 . Indichiamo quindi con 𝑃 l’operatore di parit{ : questo agisce sulla
funzione d’onda invertendo la coordinata 𝑟 , ovvero
𝑃𝜓 𝑟 = 𝜓 −𝑟 = 𝜋𝜓 𝑟 ; 𝑃2 𝜓 𝑟 = 𝑃𝜓 −𝑟 = 𝜓 𝑟 ⟹ 𝑃2 = 𝕀
Con 𝜋 sono stati indicati gli autovalori dell’operatore parità che sono, ovviamente, 𝜋 = ±1 . Si definisce
quindi , più generalmente
𝑃 𝜓 𝑟 = 𝜓 −𝑟 =
+𝜓 𝑟 → 𝜋 = 1 → 𝑝𝑎𝑟𝑖𝑡à 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎
−𝜓 𝑟 → 𝜋 = −1 → 𝑝𝑎𝑟𝑖𝑡à 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
In realtà si può trovare una stretta corrispondenza tra la parità ed il momento angolare orbitale , infatti
𝜋 = −1 ℓ . Per un sistema di due particelle la parità del sistema totale si scrive come 𝜋 = 𝜋1 𝜋2 −1 ℓ ,
dove 𝜋𝑖 sono le parità intriseche delle particelle e −1 ℓ è la parità legata al momento angolare
complessivo delle due particelle. In generale si avrà che ( n : numero di particelle totali nel sistema )
𝑛
𝜋𝑡𝑜𝑡 = −1
𝑛 −1
ℓ𝑖
𝑖
𝜋𝑖
𝑖
Deutone
Il deutone ( 2𝐻) è formato da un neutrone e da un protone e rappresenta l’esempio più semplice di stato
legato dei nucleoni , ovvero un sistema ideale per studiare l’interazione nucleone-nucleone.
Proprietà sperimentali
 𝐵 = 2,225 MeV
 𝐽=1
 𝜋 = +1 : parità intrinseca.
𝑒ℏ

𝜇𝑑 = 0,857393𝜇𝑁 , dove 𝜇𝑁 ≡ 2𝑚 ≅ 3,15 ⋅ 10−14 MeV/Tesla


𝑄 = 0,00282 Barn : momento di quadrupolo (normalizzato)
𝑟𝑑2 1/2 = 2,1 fm : raggio quadratico medio
𝑝
Autostati del potenziale nucleare
Per studiare il sistema dobbiamo risolvere l’equazione di Schroedinger tridimensionale.
−
ℏ2 2
∇ 𝜓 + 𝑉𝜓 = 𝐸𝜓
2𝑚
30
dove V è la funzione che tiene conto dell’interazione tra le particelle : questa dipende solo da 𝑟 = 𝑟 =
𝑟1 − 𝑟2 . Passiamo a coordinate sferiche 𝑥, 𝑦, 𝑧 → 𝑟, 𝜗, 𝜑 : il Laplaciano si trasforma in
∇2 =
1 2
𝜕 2 𝜕
∇ + ∇2𝜗 ,𝜑 ; ∇2𝑟 =
𝑟
𝑟2 𝑟
𝜕𝑟
𝜕𝑟
; ∇2𝜗 ,𝜑 =
1 𝜕
𝜕
1 𝜕2
1
sin 𝜗
+ 2
= − 2 ℓ2
sin 𝜗 𝜕𝜗
𝜕𝜗
sin 𝜗 𝜕𝜑 2
ℏ
Possiamo riscrivere la funzione d’onda separando le variabili :
𝜓 𝑟, 𝜗, 𝜑 = 𝑅ℓ 𝑟 𝑌ℓ𝑚 𝜗, 𝜑
La parte angolare restituisce l’equazione agli auto valori per il momento angolare che si può riscrivere
come
ℓ2 𝑌ℓ𝑚 𝜗, 𝜑 = ℓ ℓ + 1 ℏ2 𝑌ℓ𝑚 𝜗, 𝜑
Quella radiale invece è l’equazione agli auto valori per l’energia ed è data da
−
ℏ2 1 𝜕 2 𝜕
ℓ ℓ + 1 ℏ2
𝑟
+
𝑉
𝑟
+
𝑅ℓ 𝑟 = 𝐸𝑅ℓ (𝑟)
2𝑚 𝑟 2 𝜕𝑟
𝜕𝑟
2𝑚𝑟 2
Se definiamo una funzione d’onda radiale ridotta 𝑢ℓ 𝑟 = 𝑟𝑅ℓ (𝑟) possiamo ricavare un’equazione
differenziale per ricavare la soluzione :
−
ℏ2 𝜕 2
ℓ ℓ + 1 ℏ2
+
𝑉
𝑟
+
𝑢ℓ 𝑟 = 𝐸𝑢ℓ 𝑟
2𝑚 𝜕𝑟 2
2𝑚𝑟 2
Supponiamo ora che lo stato fondamentale (legato) del deutone abbia ℓ = 0 ( visto che l’energia deve
essere minima5) . L’equazione precedente con ℓ = 0 diventa
𝑑2
2𝑚
𝑢 𝑟 + 2 𝐸−𝑉 𝑟 𝑢 𝑟 =0
2
𝑑𝑟
ℏ
Tale equazione deve essere risolta specificando l’andamento del potenziale nell’atomo. Possiamo
supporre che V sia del tipo6 𝑉0 > 0 , 𝑐 > 0 , 𝑏 > 0 :
∞ , per 𝑟 < 𝑐 → 𝐼
𝑉 𝑟 = −𝑉0 , per 𝑐 < 𝑟 < 𝑐 + 𝑏 → 𝐼𝐼
0 , per 𝑟 ≥ 𝑐 + 𝑏 → 𝐼𝐼𝐼
dove abbiamo indicato con 𝑐 la dimensione del nocciolo interno dell’atomo e con b la distanza oltre il
quale il potenziale è nullo a causa della bassa interazione con il nucleo : ovviamente questo rappresenta
una schematizzazione del potenziale reale che decrescerà con continuità. Il problema si riduce quindi a
trovare una soluzione per la funzione d’onda in una buca di potenziale. Dividiamo i casi per i 3 intervalli.
I.
II.
Per 𝑟 < 𝑐 , 𝑢𝐼 𝑟 = 0 , per normalizzazione.
Per 𝑐 < 𝑟 < 𝑐 + 𝑏 , 𝑉 𝑟 ≡ −𝑉0 , 𝐸 = −𝐵 visto che ci troviamo in uno stato legato, quindi
l’equazione da risolvere è
5
Il deutone non ha stati eccitati ma solo stati legati , quindi ci troviamo nello stato fondamentale.
Sul testo di riferimento (vd. Krane , pg.82) il potenziale è ulteriormente semplificato : non viene considerata la
dimensione interna del nocciolo 𝑐 : in questo caso si vuole dare una descrizione più appropriata del potenziale
nucleare.
6
31
𝑑2
2𝑚
𝑢 𝑟 + 2 𝑉0 − 𝐵 𝑢 𝑟 = 0
2
𝑑𝑟
ℏ
Definendo 𝑘 ≡
2𝑚 𝑉0 −𝐵
ℏ
si ottiene la soluzione
𝑢𝐼𝐼 𝑟 = 𝒜 sin 𝑘 𝑟 − 𝑐 + 𝒜 ′ cos 𝑘 𝑟 − 𝑐
Ma per la continuità a c deve valere che 𝑢𝐼𝐼 𝑐 = 0 , quindi la soluzione corretta è data da
𝑢𝐼𝐼 𝑟 = 𝒜 sin 𝑘 𝑟 − 𝑐
III.
Per 𝑟 > 𝑐 + 𝑏 ⟹ 𝑉 = 0 , quindi l’equazione diventa
𝑑2
2𝑚
𝑢 𝑟 − 2 𝐵𝑢 𝑟 =0
𝑑𝑟 2
ℏ
Definiamo quindi 𝜒 ≡ 2𝑚𝐵/ℏ per ottenere la soluzione
𝑢𝐼𝐼𝐼 = ℬ𝑒 −𝜒𝑟
Applicando la condizione di monodromia si ha quindi
𝑢𝐼𝐼 (𝑐 + 𝑏) = 𝑢𝐼𝐼𝐼 (𝑐 + 𝑏)
⟹ 𝑘 cot 𝑘𝑏 = −𝜒
′
′
𝑢𝐼𝐼
(𝑐 + 𝑏) = 𝑢𝐼𝐼𝐼
(𝑐 + 𝑏)
𝑟 =𝑐+𝑏 ∶
La relazione tra i parametri della buca e l’energia di legame è quindi data da
2𝑚 𝑉0 − 𝐵
ℏ
𝑉0 − 𝐵 cot 𝑏
=− 𝐵
Questa relazione NON dipende da c e lega 𝑉0 = 𝑓(𝑏; 𝐵) : fissato b si trova quindi 𝑉0 . Tale
equazione però non è risolvibile analiticamente quindi occorre trovare un’altra relazione
matematica che lega i due parametri in modo da trovare un punto di intersezione tra le due
funzioni che definiscono implicitamente la soluzione. Cerchiamo quindi di ricavare il raggio
quadratico medio del deutone
𝑟𝑑2
=
𝑟 2
2
∫ 𝑑3 𝑟
𝜓 𝑟
∫ 𝑑3 𝑟 𝜓 𝑟
2
2
Al numeratore abbiamo 𝑟/2 poiché il raggio quadratico medio viene calcolato rispetto al centro
di massa del sistema costituito da neutrone e protone. Sappiamo che 𝜓 = 𝑅ℓ 𝑌ℓ𝑚 , quindi ci
conviene passare all’integrazione sull’angolo solido.
𝑑3 𝑟
𝑟
2
2
𝜓 𝑟
2
𝒜
=
4
=
2
𝑌00
𝑑Ω
4𝜋
𝑐+𝑏
𝑐
𝑟 2 𝑑𝑟
𝑟2 𝑢 𝑟
4 𝑟2
2
ℬ
𝑑𝑟 𝑟 sin 𝑘 𝑟 − 𝑐 +
4
2
2
Normalizzando la funzione d’onda si ottiene invece
32
=
+∞
𝑐+𝑏
𝑑𝑟
𝑟2
𝑢 𝑟
4
𝑑𝑟 𝑟 2 𝑒 −2𝜒𝑟
2
1=
𝑑3 𝑟 𝜓 𝑟
2
𝑐+𝑏
= 𝒜2
+∞
𝑑𝑟 sin2 𝑘 𝑟 − 𝑐 + ℬ2
𝑐
𝒜
1
ℬ2 −2𝜒
⇒
𝑏−
sin 2𝑘𝑏 +
𝑒
2
2𝑘
2𝜒
𝑑𝑟 𝑒 −2𝜒𝑟
𝑐+𝑏
𝑐+𝑏
≡1
Componendo questa equazione con quella di continuità in (𝑐 + 𝑏) si ottiene il sistema
𝒜
1
ℬ2 −2𝜒
𝑏−
sin 2𝑘𝑏 +
𝑒
2
2𝑘
2𝜒
𝒜 sin 𝑘𝑏 = ℬ 𝑒 −𝜒 𝑐+𝑏
𝑐+𝑏
=1
dal quale si ricavano le due ampiezze
2𝜒
1 + 𝜒𝑏
2
2𝜒 sin 𝑘𝑏 𝑒 2𝜒
ℬ2 =
1 + 𝜒𝑏
𝒜2 =
𝑐+𝑏
Quindi si ricava il raggio quadratico medio
𝑟𝑑2 =
1
1
2𝑐 + 𝑏 (1 + 𝜒𝑏) 𝑐 2
𝜒𝑏 3
−
+
+
−
8𝜒 2 8𝜒 2
8𝜒
4 24 1 + 𝜒𝑏
Ricordando che 𝜒 ≡ 2𝑚𝐵/ℏ e che sperimentalmente 𝑟𝑑2 1/2 ≅ 2,1 𝑓𝑚 si può sostituire
nell’equazione precedente per ottenere una nuova relazione che ci permette di risolvere il
problema.
Spin
Vediamo infine cosa possiamo ricavare dal calcolo del momento angolare : 𝐽 = ℓ + 𝑆 = ℓ + 𝑠1 + 𝑠2 .
Sperimentalmente si osserva che ℓ = 0 , 𝑆 = 1 ⟹ 𝐽 = 1 ; invece lo stato con 𝐽 = 0 (ℓ = 0 , 𝑆 = 0) non è
stato mai osservato : con spin antiparallelo dunque l’interazione dipende anche dallo spin. Aggiungiamo
quindi nel potenziale un termine che dipende dallo spin :
𝑉NN = 𝑉1 𝑟 + 𝑉2 𝑟 𝑠1 ⋅ 𝑠2 = 𝑉1 𝑟 + 𝑉2 𝑟 𝜍1 ⋅ 𝜍2
Infatti 𝑠𝑖 = 𝜍𝑖 ⋅ ℏ/2 , con 𝜍 ≡ 𝜍𝑥 , 𝜍𝑦 , 𝜍𝑧 matrici di Pauli. Ricordiamo le relazioni su queste matrici :
𝜍𝑖 𝜍𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 + 𝑖𝜀𝑖𝑗𝑘 𝜍𝑘 , 𝜍 2 = 𝜍𝑥2 + 𝜍𝑦2 + 𝜍𝑧2 = 3
Quindi
𝑆 = 𝑠1 + 𝑠2 =
ℏ
ℏ2 2
ℏ2
𝜍1 + 𝜍2 ⟹ 𝑆 2 =
𝜍1 + 𝜍22 + 2𝜍1 ⋅ 𝜍2 =
3 + 3 + 2𝜍1 ⋅ 𝜍2 ⟹
2
4
4
2
𝜍1 ⋅ 𝜍2 = 2 𝑆 2 − 3
ℏ
Questa relazione lega le matrici di Pauli allo spin totale. Vogliamo calcolare ora il valore di aspettazione
di questa quantità : 𝜍1 ⋅ 𝜍2 . Poiché 𝑆 2 𝑆, 𝑚𝑆 = 𝑆 𝑆 + 1 ℏ2 𝑆, 𝑚𝑆 allora
𝑆 𝑆 + 1 ℏ2 =
33
0 𝑝𝑒𝑟 𝑆 = 0
2ℏ2 𝑝𝑒𝑟 𝑆 = 1
Quindi
𝜍1 ⋅ 𝜍2 =
−3 𝑝𝑒𝑟 𝑆 = 0
1 𝑝𝑒𝑟 𝑆 = 1
Momento di quadrupolo nucleare (asimmetricità del nucleo)
Il momento di quadrupolo si definisce come la quantità di carica mediata sulla distribuzione spaziale,
ovvero
𝜌 𝑟 ⟹𝑞=
𝜌 𝑟 𝑑3 𝑟 ⟹ 𝑄 =
1
𝑞
3𝑧 2 − 𝑟 2 𝜌 𝑟 𝑑3 𝑟
A seconda del segno si distinguono due tipi di nucleo diversi : se 𝑄 > 0 si parla di nuclei prolati ,
altrimenti se 𝑄 < 0 si dice che il nucleo è oblato.
Ovviamente per la simmetria sferica vale che 𝑧 2 = 𝑥 2 = 𝑦 2 = 𝑟 3 /3 . Supponiamo ora che il nucleo
sferico possa essere deformato in modo che esso assuma una forma di ellissoide di rotazione (ovviamente
4
4
la trasformazione è fatta tenendo il volume costante 𝑉 = 3 𝜋𝑅03 = 3 𝜋𝑎𝑏 3 ). Per piccole deformazioni
𝜖=
𝑎2 − 𝑏 2
⟹ 𝑄 ≃ 𝑎2 − 𝑏 2 ≃ 𝜖𝑎2
𝑎2
𝜖 ≪1
Momento di quadrupolo nucleare del Deutone
Una stima di questo momento per il deutone è data dal valore 𝑄𝑑𝑒𝑢𝑡 = 0,00282 𝐵𝑎𝑟𝑛 . Tale stima da
un’informazione su quanto il nucleo sia deformato : infatti basta confrontare questo valore con quello
teorico 𝜋𝑅𝑑2 = 0,1385 ottenendo
𝜋𝑅𝑑2
≃ 49
𝑄deut
Con questi risultati riprendiamo quindi in esame lo studio del potenziale nucleare : in questo caso occorre
aggiungere un termine che tiene conto della deformazione del nucleo :
𝑉NN = 𝑉1 𝑟 + 𝑉2 𝑟 𝜍1 ⋅ 𝜍2 + 𝑉3 𝑟 𝑆12
L’operatore 𝑆12 è detto operatore tensoriale di spin. Per ricavare questo termine dobbiamo seguire una
trattazione più generale. Inizialmente si scrive la funzione d’onda del deutone assumendo 𝑄 ≠ 0
34
𝜓𝑑𝑒𝑢𝑡 = 𝑎0
3
𝑆1 +
𝑎ℓ 𝜓ℓ≠0
ℓ=1
ℓ=0
Si osservi che ℓ non può assumere tutti i valori su ℕ , infatti sappiamo che la parità del deutone è 𝜋 = +1
, quindi utilizzando la formula già vista per la parità di sistemi composti 𝜋 = 𝜋𝑛 𝜋𝑝 −1 ℓ = +1 , si ha che
ℓ deve necessariamente essere pari. Per questi valori di ℓ studiamo quindi tutti i possibili stati compatibili
con il sistema del deutone.
𝓵
0
0
S
0
1
2
2
0
1
4
4
0
1
J
0
1
Stato
1
𝑆0
3
2
3,2,1
1
3
𝑆1
𝐷2
3
𝐷3 , 𝐷2 ,
3
𝐷1
1
4
5,4,3
𝐺4
…
Quindi il deutone è una sovrapposizione quantistica di stati 𝑆1 e 𝐷1 , ovvero
𝜓𝑑𝑒𝑢𝑡 = 𝑎0
3
𝑆1 + 𝑎2
3
𝐷1
Momento magnetico di dipolo
Poiché 𝑚𝑝 ≃ 𝑚𝑛 possiamo supporre che il centro di massa sia esattamente nel punto medio della
distanza tra il neutrone ed il protone. Il momento magnetico totale si calcola considerando tutti i
contributi
1 𝑝
𝑝
𝜇 = 𝑔𝑠𝑛 𝑠𝑛 + 𝑔𝑠 𝑠𝑝 + 𝑔ℓ ℓ
2
Conviene scrivere tutto in funzione dello spin totale e di 𝐽 con 𝑆 = 𝑠𝑛 + 𝑠𝑝 , 𝐽 = 𝑆 + ℓ. Quindi
𝑝
𝑔𝑠𝑛 𝑠𝑛 + 𝑔𝑠 𝑠𝑝 =
𝜇=
1 𝑛
1
𝑝
𝑝
𝑔𝑠 + 𝑔𝑠 𝑆 + 𝑔𝑠𝑛 − 𝑔𝑠 𝑠𝑛 − 𝑠𝑝
2
2
1 𝑛
1
1 𝑝
𝑝
𝑝
𝑔𝑠 + 𝑔𝑠 𝑆 + 𝑔𝑠𝑛 − 𝑔𝑠 𝑠𝑛 − 𝑠𝑝 + 𝑔ℓ ℓ
2
2
2
Visto che 𝑠𝑛 , 𝑠𝑝 sono paralleli , nel calcolare il valore di aspettazione 𝑠𝑛 − 𝑠𝑝 = 0 . Quindi il momento
magnetico si può scrivere come
𝜇=
1 𝑛
1
𝑝
𝑝
𝑔𝑠 + 𝑔𝑠 𝐽 + 1 − 𝑔𝑠𝑛 − 𝑔𝑠 ℓ ≡ 𝜇1 + 𝜇2
2
2
Il momento 𝜇1 è sulla direzione di J , mentre 𝜇2 è sulla direzione del momento ℓ : possiamo definire la
proiezione sull’asse del momento angolare J come
𝜇𝐽 = 𝜇1 + 𝜇2 cos 𝛼
𝐽
𝐽
dove 𝛼 è l’angolo compreso tra 𝐽 , ℓ . Si può utilizzare Carnot e scrivere
35
cos 𝛼 =
𝐽 2 + ℓ2 − 𝑆 2
2 𝐽 ⋅ ℓ
Quindi
𝜇𝐽 =
2
2
2
1 𝑛
1
𝑝
𝑝 𝐽 +ℓ −𝑆
𝑔𝑠 + 𝑔𝑠 𝐽 + 1 − 𝑔𝑠𝑛 − 𝑔𝑠
𝐽
2
2
2
2 𝐽
Per calcolare il valore di aspettazione bisogna prima proiettare sull’asse z
𝜇𝐽 𝑧 =
2
2
2
1 𝑛
1
𝑝
𝑝 𝐽 +ℓ −𝑆
𝑔𝑠 + 𝑔𝑠 𝐽𝑧 + 1 − 𝑔𝑠𝑛 − 𝑔𝑠
𝐽𝑧
2
2
2
2 𝐽
Dobbiamo quindi calcolare
𝜇𝑑𝑒𝑢𝑡 = 𝜓𝑑𝑒𝑢𝑡 𝜇𝐽𝑧 𝜓𝑑𝑒𝑢𝑡
i.
Se ℓ = 0 allora 𝜓𝑑𝑒𝑢𝑡 = 3𝑆1 . In questo caso 𝐽 = 𝑆 quindi il secondo termine nella forma di
𝜇𝐽𝑧 non conta. Per calcolare il valore di aspettazione massimo prendiamo 𝐽 = 1 , 𝑚𝐽 = 1 , quindi
𝜇𝑑𝑒𝑢𝑡 = 1,1 𝜇𝐽𝑧 1,1 =
ii.
iii.
1 𝑛
𝑝
𝑔 + 𝑔𝑠 𝜇𝑁 = 𝜇𝑛 + 𝜇𝑝
2 𝑠
Se ℓ ≠ 0 allora 𝜓𝑑𝑒𝑢𝑡 = 𝑎0 3𝑆1 + 𝑎2 3𝐷1 . Dobbiamo calcolare il valore di aspettazione con
la formula già utilizzata , imponendo la condizione di normalizzazione 𝑎0 2 + 𝑎2 2 = 1 .
Calcolando il valor medio , a causa dell’ortogonalit{ degli stati , i prodotti misti sono ininfluenti.
1
𝑝
Si ottiene quindi per il primo termine 𝑔𝑠𝑛 + 𝑔𝑠 { 𝑎0 2 3𝑆1 3𝑆1 + 𝑎2 2 3𝑆1 3𝑆1 =
1
2
2
𝑝
𝑔𝑠𝑛 + 𝑔𝑠 .
Se invece scegliamo ℓ ≠ 0 , 𝑆 = 1 , 𝐽 = 1 il secondo termine è dato da
1
3
𝑝 𝐽 𝐽 + 1 + ℓ ℓ + 1 − 𝑆(𝑆 + 1)
𝑝
1 − 𝑔𝑠𝑛 − 𝑔𝑠
= 1 − 𝑔𝑠𝑛 − 𝑔𝑠 𝑎2
2
2 𝐽(𝐽 + 1)
4
Quindi si ottiene
𝜇𝑑𝑒𝑢𝑡 = 𝜇𝑛 + 𝜇𝑝 +
3
𝑝
1 − 𝑔𝑠𝑛 − 𝑔𝑠 𝑎2
4
2
Inserendo i dati sperimentali in questa relazione si ottiene
𝑎2
2
≃ 0,0393
Quindi il peso statistico dell’onda D è inferiore al 4% .
Forze nucleari non centrali (correzione tensoriale)
Vettori e scalari
Prima di affrontare l’argomento occorre fare una distinzione tra vettori e scalari.
36
2
𝑃

Vettori polari : si comportano per inversione con l’operatore di parit{ , ovvero 𝑟 → −𝑟


Vettori assiali(pseudovettori): ℓ = 𝑟 × 𝑝 → ℓ
Scalari : 𝑙 ⋅ 𝑠

Pseudoscalari: 𝑠 ⋅ 𝑟 → −𝑠 ⋅ 𝑟
𝑃
𝑃
Operatore tensoriale 𝑺𝟏𝟐
Cerchiamo quindi un potenziale 𝑉NN che descriva anche forze nucleari non centrali. Facciamo l’ipotesi che
V conservi la quantità di moto totale , il momento angolare e la parità. Supponiamo inoltre che questo
dipenda solo da r e dagli spin (compresa la loro orientazione rispetto ad 𝑟 ). Cerchiamo quindi un
operatore tensoriale del tipo 𝑆12 = 𝑆12 𝑟, 𝑠1 , 𝑠2 . Innanzitutto vogliamo che l’operatore sia uno scalare ,
quindi, poiché deve essere una funzione di 𝑟, 𝑠1 , 𝑠2 , possiamo prendere solo certe combinazioni lineari.
Elenchiamo prima tutte le combinazioni possibili e vediamo quali sono accettabili.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
ℏ2
𝑠1 ⋅ 𝑠2 = 4 𝜍1 ⋅ 𝜍2 →scalare
𝑠1 ⋅ 𝑟 , 𝑠2 ⋅ 𝑟 →pseudoscalari
𝑠1 × 𝑠2 ⋅ 𝑟 →pseudoscalare
𝑠1 ⋅ 𝑟 𝑠2 ⋅ 𝑟 →scalare
𝑠1 × 𝑟 ⋅ 𝑠2 × 𝑟 →scalare
La (4) può essere scritta anche come
𝑠⋅𝑟
2
= 𝑠⋅𝑟 𝑠⋅𝑟 =
ℏ2
𝜍⋅𝑟 𝜍⋅𝑟
4
Utilizziamo la seguente proprietà delle matrici di Pauli
𝜍 ⋅ 𝐴 𝜍 ⋅ 𝐵 = 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝑖𝜍 𝐴 × 𝐵
Quindi la relazione precedente diviene
𝑠⋅𝑟
2
=
ℏ2
ℏ2
𝜍 ⋅ 𝑟 𝜍 ⋅ 𝑟 = 𝑟2
4
4
Ripetendo lo stesso ragionamento si ha che
𝑠⋅𝑟
3
= 𝑠⋅𝑟
𝑠⋅𝑟
5
2
𝑠⋅𝑟 =
=⋯=
ℏ2 2
𝑟 𝑠⋅𝑟
4
ℏ4 4
𝑟 𝑠⋅𝑟
16
Quindi per ogni potenza dalla (4) ci si riconduce alla (2) , a meno di una costante moltiplicativa.
Utilizzando invece la (5) si vede che possiamo riportarci ad una forma del tipo (4). Infatti possiamo
utilizzare la proprietà del prodotto vettoriale 𝐴 𝐵 × 𝐶 = 𝐵 𝐶 × 𝐴 = 𝐶 𝐴 × 𝐵 e lo sviluppo del triplo
prodotto vettoriale per ottenere
𝑠1 × 𝑟 ⋅ 𝑠2 × 𝑟 = 𝑠2 𝑟 × 𝑠1 × 𝑟
= 𝑟 2 𝑠1 ⋅ 𝑠2 − 𝑠1 ⋅ 𝑟 𝑠2 ⋅ 𝑟
Quindi la (5) è scomponibile nella (2) e nella (4).
Utilizzando tutte queste proprietà la formula più accurata (verifica sperimentalmente) risulta essere
37
𝑆12 =
3 𝜍1 ⋅ 𝑟 𝜍2 ⋅ 𝑟
− 𝜍1 ⋅ 𝜍2
𝑟2
∶ Formula di Wigher-Eisenbud
Questa espressione rappresenta un operatore tensoriale che può essere riscritto in funzione degli spin
𝑠1 , 𝑠2 . Utilizziamo le identità
2
𝜍1 ⋅ 𝜍2 = 2 𝑆 2 − 3 ;
ℏ
𝑆⋅𝑟
2
2
ℏ
=
𝜍 + 𝜍2 ⋅ 𝑟
2 1
=
ℏ2
𝜍 ⋅ 𝑟 + 𝜍2 ⋅ 𝑟
4 1
2
per ottenere
𝑆12
2 3 𝑆⋅𝑟
= 2
ℏ
𝑟2
2
− 𝑆2
Abbiamo quindi la forma completa del potenziale nucleare che possiamo utilizzare per risolvere
l’equazione di Schroedinger nella parte radiale. Stavolta la funzione d’onda è composta da una parte
radiale-come al solito- e da una parte angolare , insieme a quella di spin , che non ha più la forma delle
armoniche sferiche gi{ viste. La funzione d’onda si può quindi scrivere come
𝜓𝑑 =
𝑢 𝑟
𝑤 𝑟
𝒴𝑠 +
𝒴𝑠
𝑟
𝑟
Se definiamo con 𝑉𝐶 ≡ 𝑉1 + 𝑉2 𝜍1 ⋅ 𝜍2 si ottiene un sistema di due equazioni che definisce implicitamente
la funzione d’onda soluzione.
ℏ2 ′′
𝑢 + 𝑉𝐶 − 𝐸 𝑢 + 8𝑤 = 0
2𝑚
∶ Rerita-Schwinger
ℏ2 ′′
3ℏ2
𝑤 + 𝑉𝐶 − 𝐸 𝑤 +
𝑤 + 𝑉𝑡 𝑟 8𝑢 − 2𝑤 = 0
2𝑚
𝑚𝑟 2
−
𝑉𝑡 indica la parte tensoriale del potenziale.
La risoluzione è troppo complicata quindi si omette il procedimento.
Momento magnetico dei nucleoni
Abbiamo già visto che il momento magnetico legato al momento angolare orbitale si può scrivere come
𝜇ℓ = 𝑔ℓ
𝑒ℏ ℓ
,
2𝑚𝑝 ℏ
𝜇𝑁 ≡
𝑒ℏ
2𝑚𝑝
L’operatore momento magnetico ha le seguenti proprietà
𝜇ℓ 𝑧 = 𝑔ℓ 𝜇𝑁 ℓ𝑧 ⟹ ℓ2 , ℓ𝑧 = 0 ; 𝜇ℓ2 , 𝜇ℓ 𝑧 = 0
Per quanto riguarda la parte dello spin invece
𝜇𝑠 = 𝑔𝑠 𝜇𝑁
𝑠
𝑠𝑧
; 𝜇𝑠𝑧 = 𝑔𝑠 𝜇𝑁
ℏ
ℏ
Il valor medio si calcola come
38
𝜇𝑠 ≡ 𝑠, 𝑚𝑠 = 𝑠 𝜇𝑠,𝑧 𝑠, 𝑚𝑠 = 𝑠 = 𝑔𝑠 𝜇𝑁
1/2
1/2
1
2
Quindi il momento magnetico del nucleone è circa metà di g. Confrontando con i dati sperimentali si ha
questa proprietà è rispettata, infatti
𝜇𝑠 = 2,79 𝜇𝑁 ; 𝑔𝑠 = 5,58 → 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜𝑛𝑒
𝜇𝑠 = −1,91 𝜇𝑁 ; 𝑔𝑠 = −3,82 → 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒
Si osserva che il momento magnetico totale non è nullo poiché, anche se la carica totale è nulla, può
succedere che il momento dovuto allo spin non sia nulla in virtù delle somme vettoriali fatte su tutte le
diverse orientazioni dei momenti interni al nucleo. Il prossimo passo consiste nel calcolare il momento
magnetico.
𝑁
𝑍
𝜇𝑠𝑛𝑖
𝜇=
𝑖=1
𝑝
+
𝑖=1
𝑝
𝜇𝑠𝑖 + 𝜇ℓ𝑖
Per eseguire questo calcolo si considera la proiezione dell’operatore 𝜇 su J 𝜇𝐽 = 𝑔𝐽
considera la componente z : 𝜇𝐽𝑧 = 𝑔𝐽
𝐽𝑧
ℏ
𝐽2
𝜇
ℏ 𝑁
di cui si
𝜇𝑁 .
Quindi il momento angolare è il valore di aspettazione di questo operatore nello stato 𝛹 = 𝐽, 𝑚𝐽 …
preso con la proiezione di J massima ,ovvero
𝜇𝑛𝑢𝑐𝑙 ≡ Ψ 𝐽, 𝐽 𝜇𝐽𝑧 Ψ 𝐽, 𝐽
Scattering Nucleone-Nucleone
Consideriamo l’urto di un neutrone con un protone posto nel centro di un sistema di riferimento. I
neutroni per l’esperimento vengono prodotti facendo passare le particelle prodotte da un ulteriore urto
protone-Nucleo attraverso un condensatore : in questo modo le particelle cariche vengono deflesse
mentre i neutroni riescono a passare. Le particelle scatterate vengono raccolte in un rivelatore : in questo
sono presenti dei nuclei che vengono ionizzati dall’arrivo delle particelle cariche. Collegando un
rilevatore si misura quindi un’intensit{ di corrente che è sicuramente proporzionale al numero di nuclei
ionizzati, e quindi all’energia iniziale della particella entrante. Possiamo quindi definire la quantit{
𝑑𝜍 𝑁𝑈 = particelle entranti per unità di tempo
=
𝑑𝛺 𝑁𝑏 = particelle presenti ⋅ 𝜙𝑖 = luminosità
dove la luminosità è definita come il numero di particelle entranti in unità di tempo , per metro quadro.
Possiamo studiare l’urto nel sistema di riferimento del centro di massa : in questo modo l’equazione di
Schroedinger si può dividere per le due particelle 1, 2.
−
ℏ2 𝛻12 ℏ2 𝛻22
−
+ 𝑉 1,2 𝜓 1,2 = 𝐸𝜓 1,2
2𝑚1
2𝑚2
Definiamo quindi le nuove coordinate
𝑅≡
𝑚1 𝑟1 + 𝑚2 𝑟2
; 𝑟 ≡ 𝑟1 − 𝑟2
𝑚1 + 𝑚2
in modo che la soluzione 𝜓 si divida in due parti , 𝜓 𝑟 = 𝜑 𝑟 𝜙 𝑅 .
39
−
ℏ2 𝛻𝑟2 ℏ2 𝛻𝑅2
−
𝜓 = 𝐸𝜓 − 𝑉𝜓
2𝜇
2𝑀
Ovviamente valgono anche le seguenti sostituzioni
𝑀 ≡ 𝑚1 + 𝑚2 ; 𝜇 ≡
𝑚1 𝑚2
𝑚1 + 𝑚2
Poiché 𝑉 = 𝑉(𝑟) possiamo disaccoppiare le due equazioni per il centro di massa e per la distanza relativa
ottenendo il sistema
ℏ2 𝛻𝑟2
−
+ 𝑉 𝑟 𝜑 𝑟 = 𝐸1 𝜑 𝑟
2𝜇
ℏ2 𝛻𝑅2
−
𝜙 𝑅 = 𝐸2 𝜙 𝑅
2𝑀
Possiamo definire 𝐸1 + 𝐸2 ≡ 𝐸. La soluzione della seconda equazione è data da un’onda piana
𝑅
𝜙 𝑅 = 𝑒 𝑖𝑝 ⋅ ℏ
𝑝2
con 2𝑀 = 𝐸2 . Per trovare 𝜑 𝑟 si deve imporre la continuità nel punto di raccordo.
I.
II.
Ove il potenziale è nullo, 𝑉 𝑟 = 0 ⇒ 𝜑 𝑟 = 𝐴𝑒 𝑖𝑘 ⋅𝑟 con
𝑘 2 ℏ2
2𝜇
= 𝐸1
Ove 𝑉(𝑟) ≠ 0 si ha un’onda piana che si infrange su un potenziale in 𝑟 = 0 e crea onde sferiche
che interferiscono con le onde piane. Dunque in questo spazio la soluzione più generale è data da
(supponendo che si stia osservando il fenomeno da 𝑟 → ∞ )
𝑒 𝑖𝑘𝑟
𝑟
𝜑 𝑟 = 𝐴 𝑒 𝑖𝑘 ⋅𝑟 + ℱ 𝜗
Dunque l’onda delle particelle entranti nel rivelatore è data da
𝜓𝑈 = 𝐴ℱ 𝜗
𝑒 𝑖𝑘𝑟
𝑟
Il flusso di particelle entranti nel rivelatore si calcola come
𝐽⋅𝑟 =
ℏ
ℏ𝑘
𝜓𝑈∗ 𝜓𝑈 − 𝜓𝑈∗ 𝜓𝑈 =
𝐴
2𝜇
𝜇
2
2
ℱ 𝜗
Sono stati trascurati gli ordini superiori al secondo in quanto stiamo approssimando il risultato per
𝑟 → ∞ .Il numero di particelle si ricava dal flusso moltiplicando per l’angolo solido.
𝑁𝑈 = 𝐽 𝑟 𝑟 2 𝑑𝛺 = 𝐴
2
ℱ 𝜗
2
ℏ𝑘
𝑑𝛺
𝜇
Si ottiene quindi
𝑑𝜍 = 𝐴
2
ℱ 𝜗
2 ℏ𝑘
𝜇
ℏ𝑘
𝜇
2
𝐴
𝜙𝑖
𝑑𝛺
𝑁𝑏
1
40
⇒
𝑑𝜍
= ℱ 𝜗
𝑑𝛺
2
Per calcolare ℱ(𝜗) ci serviremo dell’argomento descritto nel prossimo capitolo.
Sviluppo ad onde parziali
Qualsiasi onda piana si può sviluppare attraverso un’espansione matematica che utilizza le funzioni di
Bessel ed i polinomi di Legendre.
∞
𝑒
𝑖𝑘 ⋅𝑟
=𝑒
𝑖𝑘𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜗
𝑖 𝑙 2𝑙 + 1 𝑗𝑙 𝑘𝑟 𝑃𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜗
=
𝑙=0
Dove abbiamo definito le funzioni di Bessel come
𝑗𝑙 𝑘𝑟 = −
𝑟
𝑘
𝑙
1𝑑
𝑟 𝑑𝑟
𝑙
𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑟
𝑘𝑟
Ed i polinomi di Legendre come
𝑃𝑙 𝑥 =
1 𝑑𝑙
2𝑙 𝑑𝑥 𝑙
𝑥2 − 1
𝑙
Dato che stiamo considerando il caso 𝑟 → ∞ le funzioni di Bessel hanno l’andamento asintotico dato da
1
𝑙+1 𝜋
1
𝑙𝜋 𝜋
1
𝑙𝜋
𝑒
𝑗𝑙 𝑘𝑟 ∼ cos 𝑘𝑟 −
= cos 𝑘𝑟 − − = sin 𝑘𝑟 −
=
𝑘𝑟
2
𝑘𝑟
2 2
𝑘𝑟
2
𝑙𝜋
2
𝑖 𝑘𝑟 −
𝑙𝜋
2
−𝑖 𝑘𝑟 −
−𝑒
2𝑖𝑘𝑟
quindi l’espansione si scrive come
∞
∞
𝑖 𝑙 2𝑙 + 1 𝑗𝑙 𝑘𝑟 𝑃𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜗 =
𝑙=0
𝑖 𝑙 2𝑙 + 1 𝑃𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜗
𝑒
𝑙𝜋
2
𝑖 𝑘𝑟 −
𝑙=0
𝑙𝜋
2
−𝑖 𝑘𝑟 −
−𝑒
2𝑖𝑘𝑟
Quindi riprendendo la prima parte dell’onda
𝜑 𝑟 = 𝐴 𝑒 𝑖𝑘 ⋅𝑟 + ℱ 𝜗
𝑒 𝑖𝑘𝑟
𝑟
si può scrivere come
∞
𝑖 𝑙 2𝑙 + 1 𝑃𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜗
𝜓(𝑟) ≈
𝑙=0
𝛿𝑙 𝑒
𝑙𝜋
2
𝑖 𝑘𝑟 −
− 𝐴𝑙 𝑒
2𝑖𝑘𝑟
𝑙𝜋
2
−𝑖 𝑘𝑟 −
dove 𝛿𝑙 , 𝐴𝑙 sono coefficienti da determinare ponendo le condizioni al contorno. Per fare questa
1
approssimazione occorre che 𝑉(𝑟) sia infinitesimo di ordine maggiore ad 1/𝑟 ,ovvero che 1+𝜖 → 0 per
𝑟
𝑟 → ∞ . In questo limite l’equazione di Schroedinger si riduce a quella libera. Applichiamo quindi le
condizioni al contorno e ricaviamo innanzitutto 𝐴𝑙 = 1 poiché questo rappresenta il coefficiente
dell’onda entrante che non è ancora stata modificata dal potenziale. Per quanto riguarda 𝛿𝑙 possiamo
notare che questo potr{ essere diverso da 1 poiché l’interazione ha modificato l’onda : in particolare
′
possiamo porre 𝛿𝑙 = 𝑒 2𝑖𝛿 𝑙 , dove 𝛿𝑙′ 𝐸 è un numero reale ed è detto sfasamento. Possiamo calcolare a
questo punto ℱ 𝜗 poiché abbiamo l’espressione esplicita della 𝜓 .
41
𝑒 𝑖𝑘𝑟
𝜓 𝑟
𝑒 𝑖𝑘𝑟
ℱ 𝜗 =
− 𝑒 𝑖𝑘𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜗 ⇒
ℱ 𝜗 =
𝑟
𝐴
𝑟
∞
=
𝑙=0
∞
𝑙
𝑖 2𝑙 + 1 𝑃𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜗 𝛿𝑙 − 1
𝑙=0
𝑒
𝑙𝜋
2
𝑖 𝑘𝑟 −
2𝑖𝑘𝑟
⇒ℱ 𝜗
𝑖𝑙𝜋
𝑒− 2
𝑖 𝑙 2𝑙 + 1 𝑃𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜗 𝛿𝑙 − 1
2𝑖𝑘
Poiché il potenziale è a corto raggio possiamo utilizzare un approssimazione semiclassica , in modo che la
somma sia rilevante solo su alcuni termini di l.
Approssimazione semiclassica
Consideriamo l’urto di una particella contro un nucleo di raggio 𝑅 , con parametro di impatto b . Nel
sistema del centro di massa l’impulso vale 𝑝 = 𝜇𝑣 e l’energia 𝐸 = 𝑝2 /2𝑚 . Il momento angolare è definito
classicamente come 𝑙 = 𝜇𝑣𝑏 = 2𝜇𝐸𝑏 . D’altra parte la quantizzazione dello stesso produce un modulo
pari a 𝑙 = 𝑙 𝑙 + 1 ℏ . Unendo queste due relazioni si ottiene
𝑙 =
𝑙 =
2𝜇𝐸𝑏
𝑙 𝑙+1 ℏ
⇒
𝑙 𝑙+1 ℏ =
2𝜇𝐸𝑏
La particella viene deflessa se e solo se il parametro di impatto è più piccolo del raggio nucleare R ,
altrimenti viaggia indisturbata. Con la condizione di interazione 𝑏 < 𝑅 s ricava quindi
𝑙 𝑙+1 ℏ=
2𝜇𝐸𝑏 ⇒ 𝑙 𝑙 + 1 <
Se sostituiamo i valori 𝑅 ∼ 2 𝑓𝑚 , 2𝜇𝑐 2 ∼ 1000 𝑀𝑒𝑉 , ℏ𝑐 ∼ 200
2𝜇𝑐 2 𝐸𝑅 2
ℏ𝑐 2
𝑀𝑒𝑉
𝑓𝑚
e consideriamo una particella con
energia 𝐸 ∼ 20 𝑀𝑒𝑉 otteniamo che 𝑙 𝑙 + 1 < 2 . Quindi ad energie più basse l’unico contributo è dato
dal termine 𝑙 = 0 altrimenti l’equazione non è soddisfatta.
Riprendiamo quindi in esame la somma : possiamo trascurare i termini 𝑙 > 2 visto che , per basse energie,
non portano contributi rilevanti al risultato . Per 𝑙 = 0 si ha quindi
ℱ0 𝜗 =
2
quindi in questo caso la sezione d’urto ℱ0 𝜗
ℱ1 𝜗 =
𝛿0 − 1
2𝑖𝑘
è costante . Per 𝑙 = 1 si deve aggiungere un termine
𝛿0 − 1
𝛿1 − 1
+ 3 𝑐𝑜𝑠 𝜗
2𝑖𝑘
2𝑖𝑘
2
In questo caso quindi la sezione d’urto sar{ proporzionale a ℱ1 𝜗
Si può calcolare
𝜍=
2𝜋
=
∞
+1
𝑑𝜑
0
𝑖 𝑙 2𝑙 + 1 𝑃𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜗
𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝜗
−1
𝑑𝛺
𝑙=0
∼ 𝑎 + 𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝜗 + 𝑐 𝑐𝑜𝑠 2 𝜗.
𝑑𝜍
𝑑𝛺
𝛿𝑙 − 1
2𝑖𝑘
∞
𝑖 𝑙 2𝑙 + 1 𝑃𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜗
𝑙=0
Poiché la serie è rapidamente convergente ( interazione a corto raggio ) si ha
42
𝛿𝑙 − 1
2𝑖𝑘
∗
2𝜋 2𝑙 + 1 2𝑙 ′ + 1
𝜍=
𝑙,𝑙 ′
𝛿𝑙 − 1 𝛿𝑙∗′ − 1
2𝑖𝑘 −2𝑖𝑘
Infatti i polinomi di Legendre sono ortogonali , dunque il loro prodotto è pari a
+1
−1
𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝜗 𝑃𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜗 𝑃𝑙 ′ 𝑐𝑜𝑠 𝜗 =
2
𝛿 ′
2𝑙 + 1 𝑙𝑙
Si ottiene quindi
𝜍=
4𝜋 2𝑙 + 1
𝑙
𝛿𝑙 − 1
4𝑘 2
2
Ritorniamo alla soluzione per 𝜓 𝑟 , che possiamo scrivere ora come
∞
𝑖 𝑙 2𝑙 + 1 𝑃𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜗 𝑢𝑙 𝑟
𝜓 𝑟 =
𝑙=0
Infatti poiché i polinomi di Legendre sono un SONC , la correttezza di questa espansione è assicurata, così
come la convergenza della serie. Inoltre, poiché 𝜓 𝑟 = 𝜓 𝑟, 𝜗, 𝜑 la soluzione è giusta solo se
𝑉 𝑟 = 𝑉 𝑟 , ovvero se siamo in presenza di un potenziale centrale. Sostituiamo nell’equazione di
Schroedinger e otteniamo
∞
ℏ2 ′′ 2 ′ 𝑙 𝑙 + 1
ℏ2 𝑘 2
𝑖 2𝑙 + 1 𝑃𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜗 −
𝑢 + 𝑢𝑙 −
𝑢𝑙 + 𝑉 𝑟 𝑢𝑙 𝑟 −
𝑢 =0
2𝜇 𝑙
𝑟
𝑟2
2𝜇 𝑙
𝑙
𝑙=0
Questa serie deve dare una somma nulla quindi l’unica soluzione è data dall’annullarsi dei coefficienti ,
ovvero
−
ℏ2 ′′ 2 ′ 𝑙 𝑙 + 1
ℏ2 𝑘 2
𝑢 𝑙 + 𝑢𝑙 −
𝑢
+
𝑉
𝑟
𝑢
𝑟
−
𝑢 =0
𝑙
𝑙
2𝜇
𝑟
𝑟2
2𝜇 𝑙
Vogliamo che per 𝑟 → ∞ la soluzione 𝑢𝑙 𝑟 → 𝜓 𝑟 : dobbiamo quindi porre la condizione al contorno
𝑢𝑙 𝑟 →
𝛿𝑙 𝑒
𝑙𝜋
2
𝑖 𝑘𝑟 −
− 𝐴𝑙 𝑒
2𝑖𝑘𝑟
𝑙𝜋
2
−𝑖 𝑘𝑟 −
Inglobando nella definizione di 𝑢𝑙 𝑟 anche la dipendenza da 1/𝑟 , ovvero definendo nuovamente
𝑢𝑙 𝑟 ≡ 𝑢𝑙 𝑟 /𝑟 , si può scrivere l’equazione nella forma (eliminando la derivata prima)
−
ℏ2 ′′ 𝑙 𝑙 + 1
ℏ2 𝑘 2
𝑢𝑙 −
𝑢
+
𝑉
𝑟
𝑢
−
𝑢 =0
𝑙
𝑙
2𝜇
𝑟2
2𝜇 𝑙
Dunque la differenziale da risolvere si può scrivere insieme alla condizione al contorno appropriata.
−
ℏ2 ′′ 𝑙 𝑙 + 1
ℏ2 𝑘 2
𝑢𝑙 −
𝑢
+
𝑉
𝑟
𝑢
−
𝑢 =0
𝑙
𝑙
2𝜇
𝑟2
2𝜇 𝑙
𝑢𝑙 𝑟 → ∞ =
𝛿𝑙 𝑒
𝑙𝜋
2
𝑖 𝑘𝑟 −
− 𝐴𝑙 𝑒
2𝑖𝑘
43
𝑙𝜋
2
−𝑖 𝑘𝑟 −
=
𝑒 𝑖𝛿 𝑙 𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑟 −
𝑘
𝑙𝜋
2
Ad esempio per ℓ = 0 il sistema diventa
ℏ2 ′′
ℏ2 𝑘 2
− 𝑢0 + 𝑉 𝑟 𝑢0 =
𝑢
2𝜇
2𝜇 0
𝑢0 0 = 0
𝑒 𝑖𝛿 0
𝑢0 𝑟 → ∞ =
𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑟 + 𝛿0
𝑘
Caso di potenziale centrale a corto raggio
Supponiamo di avere un potenziale a corto raggio del tipo
𝑉 𝑟 =
−𝑉0 𝑝𝑒𝑟 𝑟 < 𝑅
0 𝑝𝑒𝑟 𝑟 > 𝑅
Dobbiamo risolvere l’equazione differenziale
𝑢0′′ =
ℏ2 𝑘 2
+ 𝑉0
2𝜇
− 2
𝑢
ℏ /2𝜇 0
≡ −𝛾 2 𝑢0
Quindi la soluzione è del tipo


𝑢0 = 𝐶 𝑠𝑖𝑛 𝛾𝑟 + 𝐷 𝑐𝑜𝑠 𝛾𝑟 nella zona dove è presente il potenziale. Si pone 𝐷 = 0 per rispettare la
continuità.
𝑢0 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑟 + 𝛿0 nella zona dove il potenziale è nullo.
Applicando le condizioni sulla derivata si ottiene l’equazione che definisce la soluzione
𝑢0′
𝑢0′
=
𝑢0 𝐼 𝑢0
Se consideriamo il limite 𝑘 → 0 allora 𝛾 →
trasforma in
⇒
𝐼𝐼
𝛾 𝑐𝑜𝑠 𝛾𝑅 𝑘 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑅 + 𝛿
=
𝑠𝑖𝑛 𝛾𝑅
𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑅 + 𝛿
2𝜇𝑉0 /ℏ2 ≡ 𝛾0 , 𝛿 → −𝑎𝑘 → 0 . Quindi l’equazione si
𝛾0 𝑐𝑜𝑠 𝛾0 𝑅
1
=
𝑠𝑖𝑛 𝛾0 𝑅
𝑅−𝑎
In questa approssimazione si può calcolare la sezione d’urto come 𝜍 → 4𝜋𝑎2 , dove a viene definita
lunghezza di scattering. Con 𝑎 = 2 si ottiene 𝜍 ∼ 2 𝑏𝑎𝑟𝑛 a fronte di un risultato sperimentale di circa
20 𝑏𝑎𝑟𝑛 : questo comportamento è spiegabile osservando che lo spin dipende dalle forze nucleari : la
sezione d’urto misurata è infatti data dalla combinazione della sezione d’urto di tripletto con quella di
singoletto ,combinate con l’opportuno fattore che tiene conto del peso statistico.
Sempre nel caso ℓ = 0 la sezione d’urto totale si può riscrivere come
𝜍𝑡𝑜𝑡 ℓ = 0 =
4𝜋
𝑠𝑖𝑛2 𝛿0 𝑘
𝑘2
Per il deutone si ricava l’espressione analoga
𝜍𝑡𝑜𝑡 ℓ = 0 =
4𝜋
2𝑚𝐵
1 + 𝛼𝑅 ; 𝛼 ≡
2
𝛼
ℏ
44
Per quanto si è osservato poco fa la sezione d’urto totale deve essere riscritta tenendo conto del
contributo del singoletto e del tripletto di spin. Si ottiene dunque
3
1
𝑠𝑝𝑒𝑟
𝜍𝑡𝑜𝑡 = 𝜍𝑡 + 𝜍𝑠 ⇒ 𝜍𝑠 = 4𝜍𝑡𝑜𝑡 − 3𝜍𝑡 ≅ 71𝐵𝑎𝑟𝑛
4
4
Lunghezza di scattering
Sia data una buca di potenziale di profondita 𝑉0 e larghezza R. E’ noto che, per 𝑟 > 0 la soluzione
dell’equazione di Schroedinger è del tipo 𝑢 𝑟 = 𝑐 𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑟 + 𝛿0 . Possiamo riscrivere questa soluzione
come
𝑢 𝑟 = 𝑐 𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑟 + 𝛿0 = 𝑐 𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝛿0 + 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝛿0 = 𝑐 𝑠𝑖𝑛 𝛿0 𝑟
𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑟 𝑘
+ 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑟
𝑘𝑟 𝑡𝑎𝑛 𝛿0
Si definisce quindi la quantità
𝑎 ≡ lim −
𝑘→0
𝑡𝑎𝑛 𝛿0 𝑘
𝑘
come lunghezza di scattering. Se 𝑘 → 0 dunque la funzione d’onda si può approssimare come
𝑢 𝑟 = 𝑐 sin 𝛿0 1 −
𝑟
𝑎
Vediamo quindi come la lunghezza di scattering è legata all’esistenza di uno stato legato per la particella
soggetta al potenziale introdotto.
Se 𝑉0 è molto piccolo (interazione trascurabile) , allora 0 < 𝛿0 ≪ 𝜋/2 : in questo caso la lunghezza di
scattering è negativa . L’attrazione è talmente debole che non riesce a formarsi uno stato legato.
Aumentando la profondità della buca la lunghezza di scattering diventa sempre più grande (in modulo) :
nel limite 𝛿0 → 𝜋/2− , 𝑎 → −∞ ( analogamente per 𝛿0 → 𝜋/2+ , 𝑎 → +∞ ) .
Ad ℓ = 0 è presente uno stato legato e 𝑎 > 0 .
Quindi
𝜍𝑡𝑜𝑡 ℓ = 0 =
𝑘→0
4𝜋
4𝜋 𝑡𝑎𝑛2 𝛿0
𝑎2
2
𝑠𝑖𝑛
𝛿
=
=
4𝜋
4𝜋𝑎2
0
2
2
2
2
2
𝑘
𝑘 1 + 𝑡𝑎𝑛 𝛿0
1+𝑘 𝑎
Come avevamo già osservato.
Per lo scattering n-p dello stato di singoletto e di tripletto si ricavano i valori sperimentali
𝒂𝒔 = −𝟐𝟑, 𝟓𝟓 ± 𝟎, 𝟏𝟐 𝒇𝒎
𝒂𝒕 = 𝟓, 𝟑𝟓 ± 𝟎, 𝟎𝟔 𝒇𝒎
𝝈𝒔 = 𝟔𝟗, 𝟕 𝑩𝒂𝒓𝒏
𝜍𝑡 = 3,6 𝐵𝑎𝑟𝑛
Questi risultati sono validi nell’approssimazione di energie molto basse ( 𝐸 < 1 𝑘𝑒𝑉 ) . Più generalmente
bisogna tener conto anche del raggio efficace per riscrivere la formula che definisce implicitamente la
soluzione come
1 1
𝑘 cotan 𝛿0 (𝑘) = − + 𝑟0 𝑘 2
𝑎 2
In questo caso
45
𝜍𝑡𝑜𝑡 ℓ = 0 =
4𝜋
4𝜋𝑎2
2
𝑠𝑖𝑛
𝛿
≅
0
𝑘2
1 + 𝑎2 𝑘 2 − 𝑎𝑟0 𝑘 2
Si possono ricavare i valori dei parametri sperimentali
𝒂𝒕 = 𝟓, 𝟒𝟐𝟑 ± 𝟎, 𝟎𝟎𝟓 𝒇𝒎
𝒂𝒔
= −𝟐𝟑, 𝟕𝟏𝟓 ± 𝟎, 𝟎𝟏𝟓 𝒇𝒎
𝒓𝟎𝒔 = 𝟐, 𝟕𝟑 ± 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 𝒇𝒎
𝑟0𝑡 = 1,748 ± 0,006 𝑓𝑚
Principali proprietà degli scattering p-p , n-n
La differenza tra questi due casi risiede innanzitutto nell’assenza dell’interazione Coulombiana nel caso
n-n. Consideriamo quindi il sistema di due particelle 1,2 e definiamo con 𝜑 𝑟1 , 𝑟2 la parte spaziale della
funzione d’onda del sistema. Definiamo inoltre l’operatore di inversione totale dato da 𝑃12 𝜑 𝑟1 , 𝑟2 =
𝜑 𝑟2 , 𝑟1 . La simmetria della parte spaziale della funzione d’onda dipende dal valore del momento
angolare orbitale visto che , per la regola della parità , 𝑃12 𝜑 𝑟1 , 𝑟2 = −1 ℓ 𝜑 𝑟1 , 𝑟2 . Quindi se ℓ è pari
allora 𝜑 è simmetrica , altrimenti è antisimmetrica. Per i neutroni la funzione d’onda deve essere
sicuramente antisimmetrica , quindi definendo come 𝜉𝑖 ≡ 𝑟1 , 𝜍1 , … il set di coordinate che identifica
una particella , si avrà che 𝑃12 𝜓 𝜉1 , 𝜉2 = 𝜓 𝜉2 , 𝜉1 = −𝜓 𝜉1 , 𝜉2 .
Scattering p-p
In questo sistema di particelle quantistiche valgono le due proprietà fondamentali
i.
ii.
Indistinguibilità delle particelle identiche.
Principio di Pauli : la funzione d’onda deve essere simmetrica.
Per la (i) si ha che l’urto tra le due particelle non è del tutto determinato : dal punto di vista quantistico
hanno equivalente proprietà le due situazioni in cui l’angolo di scattering è 𝜗 ( particella 1-2 trasmesse) o
𝜋 − 𝜗 ( particelle 1-2 riflesse ). Si può fattorizzare la funzione d’onda del sistema come
𝜓 𝜉1 , 𝜉2 = 𝜑 𝑟1 , 𝑟2 𝑋 𝜍1 , 𝜍2
𝑠𝑝𝑎𝑧𝑖𝑎𝑙𝑒
𝑠𝑝𝑖𝑛
1
Dato che le particelle possono avere spin 𝑠1 , 𝑠2 = 2 ⇒ 𝑆 = 0,1 . Distinguiamo i due casi
 Se 𝑆 = 1 dobbiamo distinguere vari casi
i.
ii.
iii.
Se 𝑚𝑆 = 1 ⇒ 𝑋 = 𝜒↑ 𝜍1 𝜒↑ 𝜍2
Se 𝑚𝑆 = 0 ⇒ 𝑋 = 𝜒↑ 𝜍1 𝜒↓ 𝜍2 + 𝜒↑ 𝜍2 𝜒↓ 𝜍1 / 2
Se 𝑚𝑆 = −1 ⇒ 𝑋 = 𝜒↓ 𝜍1 𝜒↓ 𝜍2
Ove abbiamo definito 𝜒↑ ≡ ↑ , 𝜒↓ ≡ ↓ . Quindi per 𝑆 = 1 la funzione 𝑋 è simmetrica. Dunque
affinchè 𝜓 sia antisimmetrica occorre che 𝜑 sia antisimmetrica. La simmetria della parte spaziale
è legata al momento angolare dunque la condizione di asimmetria della 𝜑 implica che ℓ sia
dispari.
 Se 𝑆 = 0 , 𝑋 è antisimmetrica, quindi la parte spaziale deve essere simmetrica , dunque ℓ pari .
S
1
0
X
𝝋
simmetrica
antisimmetrica
antisimmetrica
simmetrica
46
𝓵
dispari
pari
Possiamo quindi costruire una tabella con tutti gli stati possibili per questo sistema ( e generalmente per
sistemi con scattering di particelle identiche p-p , n-n , e-e ).
𝓵
0
𝑺
𝓵𝒋
0
1
1
1
2
0
3
3
𝑃1 , 𝑃2 , 3𝑃0
1
3
1
𝑆0
3
𝐷2
3
𝐹4 , 𝐹3 , 3𝐹2
Quindi per il sistema n-n l’unico stato possibile a bassa energia è 1𝑆0 : l’esistenza dell’altro stato è negata
dal principio di Pauli. Per il sistema n-p ci sono invece due stati possibili : 1𝑆0 , 3 𝑆1 .
Sezione d’urto
Per calcolare la sezione d’urto si considera la parte spaziale della funzione d’onda ( supponendo di
trovarsi in un potenziale centrale ) data da
𝜑𝑠 = 𝜑 𝑟, 𝜗 ± 𝜑 𝑟, 𝜋 − 𝜗
con il segno scelto in modo tale che 𝜑 sia simmetrica o antisimmetrica a seconda che lo stato sia di
singoletto o tripletto di spin. Si calcola quindi ℱ𝑠 𝜗 = ℱ 𝜗 ± ℱ 𝜋 − 𝜗 dove ℱ 𝜗 rappresenta il
termine diretto ,mentre ℱ 𝜋 − 𝜗 tiene conto dello scambio. Dividiamo i casi di singoletto e tripletto
 Se 𝑆 = 1 allora il tripletto di spin ha funzione d’onda antisimmetrica. Dunque
𝜍𝑡 𝜗 = ℱ 𝜗 − ℱ 𝜋 − 𝜗 2 = ℱ 𝜗 2 + ℱ 𝜋 − 𝜗 2 − 2ℜ ℱ 𝜗 ℱ ∗ 𝜋 − 𝜗
= 𝜍 𝜗 + 𝜍 𝜋 − 𝜗 − 2ℜ ℱ 𝜗 ℱ ∗ 𝜋 − 𝜗
 Se 𝑆 = 0 allora il singoletto di spin ha funzione d’onda simmetrica. Dunque
𝜍𝑠 𝜗 = ℱ 𝜗 + ℱ 𝜋 − 𝜗
2
= ℱ 𝜗
2
+ ℱ 𝜋−𝜗
2
+ 2ℜ ℱ 𝜗 ℱ ∗ 𝜋 − 𝜗
Utilizzando quindi la formula vista per il calcolo della sezione d’urto totale si ricava
3
1
𝜍tot = 𝜍𝑡 𝜗 + 𝜍𝑠 𝜗 = 𝜍 𝜗 + 𝜍 𝜋 − 𝜗 − ℜ ℱ 𝜗 ℱ ∗ 𝜋 − 𝜗
4
4
Scattering Coulombiano
Le interazioni Coulombiane non sono trascurabili nel caso protone-protone. Si può dimostrare che la
formula per la sezione d’urto che tiene conto dell’interazione Coulombiana è data dalla seguente
𝜍 Coul
𝑒2 1
𝜗 =
4𝜋𝜖0 4𝐸
2
⋅
1
𝜗
𝑠𝑖𝑛4 2
+
𝜗
1
𝜗
𝑐𝑜𝑠 4 2
𝑠𝑖𝑛 4
−
𝑐𝑜𝑠 𝜂 𝑙𝑛 𝑡𝑎𝑛2 2
𝜗
𝜗
𝑠𝑖𝑛2 2 𝑐𝑜𝑠 2 2
𝜋 −𝜗
2
dove 𝜂 ≡ 𝛼 𝑐/𝑣 e 𝛼 = 𝑒 2 /4𝜋𝜖0 ℏ è la costante di struttura fine. Si riconoscono i termini in parentesi :
rispettivamente il termine diretto, di scambio e il termine di interferenza. La formula completa per la
sezione d’urto ad energie minori del MeV è data dalla somma
47
𝜍𝑡𝑜𝑡 𝜗 = 𝜍
𝑒2 1
𝜗 +
4𝜋𝜖0 4𝐸
𝐶𝑜𝑢𝑙
2
𝜗
𝑐𝑜𝑠 𝛿0 + 𝜂 𝑙𝑛 𝑠𝑖𝑛2 2
4
2
2
⋅ 2 𝑠𝑖𝑛 𝛿0 − 𝑠𝑖𝑛 𝛿0
𝜗
𝜂
𝜂
𝑠𝑖𝑛2
𝑒2 1
=
4𝜋𝜖0 4𝐸
⋅
−
2
1
+
𝜗
𝑐𝑜𝑠 2 2
2
𝜗
2
+
−
𝜗
𝜗
𝜗
𝜗
4
4
2
2
𝑠𝑖𝑛
𝑐𝑜𝑠
𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠
2
2
2
2
2𝜗
𝑐𝑜𝑠 𝛿0 + 𝜂 𝑙𝑛 𝑠𝑖𝑛 2
2
𝑠𝑖𝑛 𝛿0
+
𝜗
𝜂
𝑠𝑖𝑛2 2
1
𝜗
𝑐𝑜𝑠 𝛿0 + 𝜂 𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠 2 2
𝑐𝑜𝑠 𝜂 𝑙𝑛 𝑡𝑎𝑛2
+
4
𝑠𝑖𝑛2 𝛿0
𝜂2
𝜗
𝑐𝑜𝑠 𝛿0 + 𝜂 𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠 2 2
𝜗
𝑐𝑜𝑠 2 2
Supponiamo di eseguire una serie di esperimenti ad energie , E , fissate. Per tutti i valori di energia posso
ricavare dal fit i valori di 𝛿0 𝐸 . Se si aumenta ancora l’energia si nota che, oltre un certo valore di
energia, lo sfasamento decresce fino a raggiungere valori negativi : in questo caso la forza nucleare è
diventata repulsiva. Dunque più è grande l’energia tra le
particelle , più queste si possono avvicinare e più si ha
informazione sul comportamento della forza vicino al nucleo. In
figura è riportata la Sezione d’urto per processi di diffusione p–p
a 3.037 MeV.
La conoscenza dell’effetto di interazione Coulombiana permette
di ricavare il comportamento della lunghezza di scattering e del
raggio efficace. Infatti dai dati sperimentali
𝒑𝒑
𝒂𝒔 = −𝟕, 𝟖𝟐 ± 𝟎, 𝟎𝟏 𝒇𝒎
𝒑𝒑
𝒓𝟎𝒔 = 𝟐, 𝟕𝟗 ± 𝟎, 𝟎𝟐 𝒇𝒎
si può sottrarre la parte dovuta all’interazione Coulombiana per
ottenere dei valori da poter confrontare con il caso n-n ( in cui
l’interazione Coulombiana è assente) .
𝒑𝒑
𝒂𝒔 = −𝟏𝟕, 𝟏 ± 𝟎, 𝟐 𝒇𝒎
𝒑𝒑
𝒓𝟎𝒔 = 𝟐, 𝟖𝟒 ± 𝟎, 𝟎𝟑 𝒇𝒎
𝒂𝒏𝒏
𝒔 = −𝟏𝟔, 𝟔 ± 𝟎, 𝟓 𝒇𝒎
𝒑𝒑
𝒓𝟎𝒔 = 𝟐, 𝟔𝟔 ± 𝟎, 𝟏𝟓 𝒇𝒎
L’errore molto grande nel caso n-n è dovuto alla difficoltà di realizzare scattering di questo tipo ( i
neutroni sono elementi più instabili dei protoni ).
Simmetria di carica
𝑝𝑝
Dal confronto dei dati per gli scattering n-n ed p-p si nota che 𝑎𝑠 ~𝑎𝑠𝑛𝑛 , così come il raggio efficace.
Questa analogia si può intepretare con una sostanziale equivalenza delle due interazioni 𝑣𝑛𝑛 1𝑆0 =
𝑣𝑝𝑝 ( 1𝑆0 ) . Confrontando ulteriormente questi valori con quelli del caso n-p
𝒂𝒔
= −𝟐𝟑, 𝟕𝟏𝟓 ± 𝟎, 𝟎𝟏𝟓 𝒇𝒎
𝒓𝟎𝒔 = 𝟐, 𝟕𝟑 ± 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 𝒇𝒎
48
si nota che i raggi efficaci sono simili,mentre è la lunghezza di scattering a differire molto. Questo è
spiegabile con la variazione della funzione d’onda : in effetti una piccola variazione (sfasamento) della
stessa modifica in la lunghezza scattering in maniera rilevante. Quindi, poiché il raggio efficace è simile
nei 3 casi possiamo scrivere la relazione di equivalenza dei potenziali come
𝑣𝑛𝑛
1
𝑆0 = 𝑣𝑝𝑝
1
𝑆0 ≅ 𝑣𝑛𝑝
1
𝑆0
Si può allora dedurre che l’interazione protone-protone è indipendente dalla carica : questa proprietà è
nota come simmetria di carica ( o invarianza di carica ) .
Spin isotopico ( o isospin)
Studiando il nucleo atomico ci si chiese come mai fosse stabile, visto che i suoi componenti sono carichi
positivamente (protoni) o neutri (neutroni), invece di sfaldarsi a causa della repulsione coulombiana. Per
spiegare questo comportamento si teorizzò una nuova forza, la forza nucleare forte, che sviluppasse
un'attrazione tra nucleoni in grado di superare la repulsione elettrica. Tale forza non considera quindi la
carica, ma una quantità differente con una propria legge di conservazione e più simile allo spin che alla
carica. Questa proprietà venne battezzata isospin, una quantità vettoriale che si conserva nelle reazioni
tra particelle e che è caratteristica delle interazioni in cui interviene la forza nucleare forte, impiegata
quindi nella descrizione dei processi tra nucleoni. Si introduce quindi un vettore 𝑡 a 3 componenti definito
come 𝑡 ≡ 𝑡𝑥 , 𝑡𝑦 , 𝑡𝑧 = 𝑡1 , 𝑡2 , 𝑡3 . In realtà i pedici 𝑥, 𝑦, 𝑧 non si riferiscono alle 3 coordinate spaziali
poiché l’isospin è una descrizione aggiuntiva rispetto a quella spaziale. Analogamente a quanto fatto per
l’operatore momento angolare orbitale si può definire un operatore 𝑡 2 = 𝑡𝑥2 + 𝑡𝑦2 + 𝑡𝑧2 con la proprietà
𝑡 2 , 𝑡𝑧 = 0 . Si osserva quindi che
𝑡 2 𝑡, 𝑡𝑧 = 𝑡 𝑡 + 1 𝑡, 𝑡𝑧
Si definiscono quindi i vettori
𝑡, 𝑡𝑧 =
1 1
,+ ≡ 𝑝
2 2
1 1
,− ≡ 𝑛
2 2
Nella rappresentazione di base
1
0
0
𝑛 ≡
1
𝑝 ≡
La proiezione su un angolo 𝜗 generico è data quindi da
𝜗 = 𝑝 𝑝𝜗 + 𝑛 𝑛𝜗 =
𝜗𝑝
𝜗𝑛
L’operatore di isospin si può scrivere anche come 𝑡 = 𝜏/2 , dove 𝜏 ≡ 𝜏𝑥 , 𝜏𝑦 , 𝜏𝑧 sono le matrici di Pauli.
Si possono quindi costruire gli operatori di proiezione
1
1 0
1 + 𝜏𝑧 =
= 𝑝 𝑝
0 1
2
1
0 0
𝛬𝑛 = 1 − 𝜏𝑧 =
= 𝑛 𝑛
0 1
2
𝛬𝑝 =
49
Infatti si può verificare che 𝛬𝑝 𝑝 = 𝑝 mentre invece 𝛬𝑛 𝑝 = 0 e viceversa per 𝑛 . Si definiscono
inoltre degli operatori di salita e discesa
1
0 1
𝜏 + 𝑖𝜏𝑦 =
0 0
2 𝑥
1
0 0
𝜏− = 𝜏𝑥 − 𝑖𝜏𝑦 =
1 0
2
𝜏+ =
Prendiamo ora un sistema di due nucleoni 1,2. L’isospin totale è dato dalla somma
𝑇 = 𝑡1 + 𝑡2 ⇒ 𝑇 = 0,1 ; 𝑇 2 , 𝑇𝑧 = 0
A seconda di 𝑇𝑧 = −1,0,1 si conosce la natura del sistema ( 1 protone + 1 neutrone , 2 protoni , 2 neutroni
) . Se la forza nucleare gode dell’invarianza per carica discussa nel capitolo precedente , allora 𝐻, 𝑇 = 0
. Si vuole ora scrivere la funzione d’onda dei nucleoni utilizzando lo spin isotopico.
Funzione d’onda di due Nucleoni
La funzione d’onda sar{ ovviamente del tipo
𝜓 𝑟1 , 𝜍1 , 𝜏1 ; 𝑟2 , 𝜍2 , 𝜏2 ≡ 𝜓 1; 2
Se si introduce l’operatore di scambio 𝑃12 𝜓 1; 2 = 𝜓 2; 1 = −𝜓 1; 2 , infatti le particelle prese in
considerazione sono fermioni ed hanno funzione d’onda antisimmetrica. Segue quindi che 𝑃12 = −𝕀 .
L’operatore di scambio si può vedere come composizione di più operatori , infatti
𝑃12 = 𝑃𝑟 𝑃𝜍 𝑃𝜏 = −𝕀 ⇒ 𝑃𝑟2 = 𝑃𝜍2 = 𝑃𝜏2 = 𝕀
Segue quindi che gli auto valori sono dati da
𝑃𝑟 = ±1
𝑃𝜍 = ±1 ⇒ 𝑃𝑟 𝑃𝜍 𝑃𝜏 = −1
𝑃𝜏 = ±1
Si definisce inoltre l’operatore ( detto operatore di Heisenberg ) 𝑃𝑟𝜍 ≡ 𝑃𝑟 𝑃𝜍 = −𝑃𝜏 . L’uguaglianza
precedente si ottiene moltiplicando la relazione 𝑃𝑟 𝑃𝜍 𝑃𝜏 = −𝕀 per 𝑃𝜏 e riconoscendo che 𝑃𝜏2 = 𝕀 .
L’operatore 𝑃𝑟 è detto operatore di Majorana , mentre 𝑃𝜍 è detto operatore di Barthlett. Supponiamo ora
che la funzione d’onda si possa dividere in tre parti :
𝜓 1; 2 = 𝜓 𝑟1 , 𝜍1 , 𝜏1 ; 𝑟2 , 𝜍2 , 𝜏2 = 𝛷 𝑟1 , 𝑟2 𝑋 𝜍1 , 𝜍2 𝛩 𝜏1 , 𝜏2
La parte riguardante l’isospin si può scrivere come
𝑇3 = 1 ⇒ 𝛩 = 1,1 = 𝑝 𝑝
1
1
𝑝 𝑛 +
𝑛 𝑝 → 𝑠𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
𝑇 = 1 ⇒ 𝑇3 = 0 ⇒ 𝛩 = 1,0 =
2
2
𝑇3 = −1 ⇒ 𝛩 = 1, −1 = 𝑛 𝑛
𝑇 = 0 ⇒ 𝑇3 = 0 ⇒ 𝛩 = 0,0 =
1
2
𝑝 𝑛 −
1
2
𝑛 𝑝 → 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
Si possono quindi ricavare le combinazioni di simmetria-antisimmetrica come già fatto per lo scattering
p-p.
T
S
ℓ
𝚯
50
𝑿
𝚽
1
1
0
0
1
0
1
0
dispari
pari
pari
dispari
simmetrica
simmetrica
antisimmetrica
antisimmetrica
simmetrica
antisimmetrica
simmetrica
antisimmetrica
antisimmetrica
simmetrica
simmetrica
antisimmetrica
Dalla tabella si ricava inoltre che la quantità ℓ + 𝑆 + 𝑇 è sempre dispari ( altro modo di esprimere il
principio di Pauli ). Gli auto valori degli operatori visti prima si possono quindi generalizzare con la
notazione
𝑃𝑟 = −1
ℓ
; 𝑃𝜍 = −1
𝑠+1
; 𝑃𝜏 = −1
𝑇+1
Si può costruire quindi una tabella con gli stati possibili per questo sistema
T
1
1
0
0
S
1
0
1
0
ℓ
1
0
0
1
3
Stato
𝑃2 , 3𝑃1 , 3𝑃0
1
𝑃1
3
𝑆1
1
𝑆0
𝑻𝟑
nn,np,pp
np
np
nn,np,pp
Supponiamo ora di avere un materiale composto da soli neutroni : per calcolare l’energia di questo
sistema contribuiranno solo i canali del tripletto di isospin ( nella tabella precedente, dove è presente nn).
Struttura dei nuclei
Consideriamo un sistema composto da Z protoni ed N neutroni in modo che 𝑁 + 𝑍 = 𝐴 . L’Hamiltoniana
del sistema si scrive come
𝑍
𝐻=
𝑖=1
𝑝𝑖2
+
2𝑚𝑝
𝑁
𝑖=1
𝑝𝑖2
1
+
2𝑚𝑛 2
𝐴
𝑣𝑖𝑗
𝑖,𝑗
Risolvere l’equazione di Schroedinger con questa Hamiltoniana sarebbe molto difficile : conviene quindi
introdurre delle rappresentazioni semplificate utilizzando variabili 𝜉𝑖 in modo da poter descrivere il
sistema.
Modello del nucleo a Gas di Fermi
Una di queste rappresentazioni consiste nel considerare il nucleo come un contenitore in cui i neutroni ed
i protoni sono liberi di muoversi : si tratta di un caso statistico-quantistico. Il problema si può
schematizzare così : si devono posizionare N fermioni identici in una scatola di volume 𝐿3 .
L’Hamiltoniana si può scrivere come
𝑁
𝐻=
𝑖=1
𝑝𝑖2
+ 𝑉∞ 𝑟𝑖
2𝑚
; 𝑉∞ =
0, 𝑝𝑒𝑟 0 < 𝑥, 𝑦, 𝑧 < 𝐿
∞ , 𝑎𝑙𝑙 ′ 𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜
In questa situazione la funzione d’onda del sistema totale si può scrivere come la composizione delle
funzioni d’onda ( non è detto che sia esattamente il prodotto delle funzioni d’onda!) .Per determinare
quale sia la forma della funzione d’onda del sistema scriviamo l’Hamiltoniana del sistema nella forma
seguente
𝐻=
𝑖
𝑝𝑖2
𝑕𝑖 , 𝑑𝑜𝑣𝑒 𝑕𝑖 =
+ 𝑉∞
2𝑚
51
Se 𝑕𝑖 𝜓𝛼,𝑖 = 𝑒𝛼,𝑖 𝜓𝛼,𝑖 è l’equazione di Schroedinger associata ad ogni particella ci si chiede quindi se vale
𝑁
𝜓=
𝜓𝛼,𝑖 𝜉𝑖
𝑖=1
In realt{ la funzione d’onda deve essere antisimmetrica , quindi deve tener conto degli scambi di indice
(12 → 21 etc… ) . Si può quindi modificare la formula precedente , inserendo una costante, detta
determinante di Sleter (A) , che tiene conto di questi scambi
𝑁
𝜓=
𝐴𝜓𝛼,𝑖 𝜉𝑖
; 𝐴≡
𝑖=1
𝜓1 𝜉1
⋮
𝑁! 𝜓 𝜉
𝑁 1
1
⋯ 𝜓1 𝜉𝑛
⋱
⋮
… 𝜓𝑁 𝜉𝑁
Si può quindi procedere al calcolo della singola funzione d’onda studiando il caso di una particella in una
scatola cubica, per cui l’equazione di Schroedinger si riduce a
−
ℏ2 2
𝛻 𝜓 𝑟 = 𝑒𝜓 𝑟
2𝑚
L’equazione è risolta dalle funzioni del tipo 𝜓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝜓𝑥 𝑥 𝜓𝑦 𝑦 𝜓𝑧 𝑧 . Le componenti sono oscillanti
, del tipo 𝜓𝑥 𝑥 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 𝑥 + 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 𝑥 . Se si ripete il procedimento analogo per le altre componenti ,e
si applicano le condizioni al contorno , si ricava il risultato
𝑘2 =
𝜋2 2
𝜋2 2
2
2
𝑛
+
𝑛
+
𝑛
≡
𝑛
𝑦
𝑧
𝐿2 𝑥
𝐿2
e utilizzando la relazione
𝑘 2 = 𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 + 𝑘𝑧2 =
2𝑚𝑒
ℏ2
si ricava finalmente la condizione
ℏ2 𝜋 2 2
𝑒𝑛 =
𝑛
2𝑚 𝐿2
che definisce gli auto valori dell’energia.
Per avere una distribuzione statistica che tenga conto degli stati delle particelle si procede prima al
calcolo statistico del numero di stati del sistema compresi tra 𝑛 ed 𝑛 + 𝑑𝑛 . Questo equivale a calcolare il
volume di un ottante sferico ,ovvero
4𝜋𝑛2 𝑑𝑛
𝑑𝒩 =
8
Tenendo conto delle eventuali degenerazioni degli stati, si aggiunge il termine 𝜈 alla formula precedente
𝑑𝒩 = 𝜈
4𝜋𝑛2 𝑑𝑛
8
Utilizzando il valore di 𝑛2 ricavato prima si può sostituire in modo da avere la distribuzione in funzione
di e.
𝐿3 2𝑚
𝑑𝒩 = 𝜈 2 2
4𝜋 ℏ
52
3/2
𝑒 1/2 𝑑𝑒
La densità degli stati si trova quindi dividendo per 𝑑𝑒
𝑑𝒩
𝐿3 2𝑚
≡𝑔 𝑒 =𝜈 2 2
𝑑𝑒
4𝜋 ℏ
3/2
𝑒 1/2
Recuperando la definizione di e si può scrivere infine
𝑔 𝑘 =
𝑑𝒩
𝑉
=𝜈
2
4𝜋𝑘 𝑑𝑘
2𝜋
3
Le particelle si dispongono quindi nei livelli energetici fino ad occupare l’ultimo livello energetico
possibile, detto livello di Fermi. A questo livello corrisponde un’energia, 𝑒𝐹 , ed un impulso , 𝑘𝐹 . Il numero
di particelle totale è dato dalla somma delle diverse funzioni di occupazione del livello i-esimo.
𝑁=𝜈
ℱ 𝑘𝑖
1 𝑝𝑒𝑟 𝑘𝑖 ≤ 𝑘𝐹
0 𝑝𝑒𝑟 𝑘𝑖 ≥ 𝑘𝐹
𝑐𝑜𝑛 ℱ 𝑘𝑖 =
𝑘𝑖
Per 𝑁, 𝑉 → ∞ la somma si può estendere al continuo.
𝑁=
𝜈𝑉
2𝜋 3
ℱ 𝑘 𝑑3 𝑘 =
𝜈𝑉
2𝜋 3
+∞
𝑉
2𝜋
ℱ 𝑘 𝑘 2 𝑑𝑘 = 𝜈
0
4𝜋
3
𝑘𝐹
𝑘 2 𝑑𝑘 = 𝜈
0
𝑉 𝑘𝐹3
~𝑘𝐹3
2𝜋 2 3
Quindi
𝑁
𝜈
ℏ2 𝑘𝐹2
6𝜋 2
𝑛 = = 2 𝑘𝐹3 ⇒ 𝑒𝐹 = 𝑒 𝑘𝐹 =
=
𝑉 6𝜋
2𝑚
𝜈
2
3
ℏ2 2
𝑛3
2𝑚
Energia totale e pressione
L’energia totale si può calcolare facilmente integrando l’energia della particella singola su tutti i possibili
valori di k.
𝑉
𝐸=𝜈
2𝜋
3
ℏ2 𝑘 2
𝑉
ℱ 𝑘 𝑑3 𝑘 = 𝜈
2𝑚
2𝜋
3
4𝜋
𝑘𝐹
0
ℏ2 𝑘 4
𝜈 ℏ2 𝑘𝐹5
𝑑𝑘 = 2
~𝑘𝐹5
2𝑚
2𝜋 2𝑚 5
Quindi , visto che 𝑛 ∼ 𝑘𝐹3 , 𝐸 ∼ 𝑘𝐹5 si ha che
𝐸 3 ℏ2 2
=
𝑘
𝑁 5 2𝑚 𝐹
ovvero l’energia per particella è parti ai 3/5 dell’energia di Fermi , cioè del livello più occupato.
Consideriamo ora un sistema di nucleoni con 𝑍 = 𝑁 ⇒ 𝐴 = 2𝑍 non interagenti. Prendiamo il limite
𝑍, 𝑁 → ∞ . Poiché ogni nucleone può avere spin ↑ , ↓ e le particelle sono indistinguibili la
degenerazione totale è data da 𝜈 = 2 ⋅ 2 = 4 . Sostituendo nell’equazione per la densit{ si ha che
𝑛=
2𝑘𝐹3
3𝜋 2
Numericamente 𝑛0 = 0,17 𝑓𝑚−3 ⇒ 𝑘𝐹0 = 1,36 𝑓𝑚−1 ⇒ 𝑒𝐹 𝑛0 ≃ 38 𝑀𝑒𝑉 ,
Possiamo calcolare la pressione utilizzando la formula termodinamica
53
𝐸 𝑛0
𝐴
≃ 23 𝑀𝑒𝑉.
𝑝=−
𝜕𝐸
𝜕𝑉
𝑆,𝑁
riducendosi però all’energia per particella
𝑝=𝑛
2
𝐸
𝑁
𝜕
=𝑛
𝜕𝑛
𝜕𝜀
𝜕𝑛
𝑆,𝑁
𝑆,𝑁
−𝜀
Sostituendo la formula per l’energia vista prima si ottiene
2 ℏ2 6𝜋 2
𝑝=
5 2𝑚 𝜈
2
3
5
𝑛3
5
Più generalmente si può notare che se 𝑇 = 0 , 𝑝 ≠ 0 e che , se si definisce 𝜌 ≡ 𝑚𝑛 , allora 𝑝 ∼ 𝜌3 .
Miscela di due gas di fermi ideali
Consideriamo un sistema costituito da una miscela di due gas di fermi ideali. Stavolta i due sottosistemi
sono distinguibili, quindi 𝜈 = 2 . Definiamo 𝑁1 ≡ 𝑁 , 𝑁2 ≡ 𝑍 . Le due densità sono date da
1 3
𝑘
3𝜋 2 𝐹𝑛
1
𝑛𝑝 = 2 𝑘𝐹3𝑝
3𝜋
𝑛𝑛 =
Si trascura la differenza di massa tra neutrone e protone, per cui 𝑚𝑛 ≃ 𝑚𝑝 ≡ 𝑚 .
Definiamo quindi
𝑛 = 𝑛𝑛 + 𝑛 𝑝
𝑁 − 𝑍 𝑛𝑛 − 𝑛𝑝
𝛽=
=
𝐴
𝑛
Con questi parametri il sistema si può scrivere come
1
𝑁 1
1+𝛽 𝑛
= 1+𝛽
2
⇒ 𝐴 2
1
𝑍 1
𝑛𝑝 = 1 − 𝛽 𝑛
= 1−𝛽
2
𝐴 2
𝑛𝑛 =
L’energia totale del sistema si può calcolare sommando i due contributi individuali.
𝐸 = 𝐸𝑛 + 𝐸𝑝 =
3 ℏ2
3𝜋 2
5 2𝑚
2
3
2
2
𝑁𝑛𝑛3 + 𝑍𝑛𝑝3
Consideriamo ora l’energia per nucleone, ovvero 𝐸/𝐴 .
𝐸 3 ℏ2
=
3𝜋 2
𝐴 5 2𝑚
2
3
𝑁 23 𝑍 23
1
𝑛𝑛 + 𝑛𝑝 =
𝐴
𝐴
2
1+𝛽
54
5
3
+ 1−𝛽
5
3
3 ℏ2 3𝜋 2
5 2𝑚
2
2
3
2
𝑛3
Si noti che il termine
2
3 ℏ2
5 2𝑚
3𝜋 2 3
2
2
𝑛3 rappresenta l’energia per nucleone nel caso simmetrico in cui
𝛽 = 0 . Possiamo quindi definire
3 ℏ2 3𝜋 2
5 2𝑚
2
2
3
2
𝑛3 ≡
𝐸
𝑛, 𝛽 = 0
𝐴
Supponiamo ora di avere un sistema con 𝛽 = 0 : attraverso un processo abbastanza lento possiamo
aumentare 𝛽 : questa ipotesi ci permette di sviluppare con Taylor l’equazione precedente per ottenere.
𝐸 𝐸
1 10 2
5
𝐸
≃
𝑛, 𝛽 = 0 1 +
𝛽 +
𝛽4 + ⋯ =
𝑛, 𝛽 = 0 + 𝐸sym 𝑛 𝛽2 + ⋯
𝐴 𝐴
2 9
243
𝐴
Ove abbiamo definito come
𝐸sym
5 3 ℏ2 3𝜋 2
𝑛 =
9 5 2𝑚
2
2
3
2
𝑛3
l’energia di simmetria ( analoga al termine di simmetria gi{ visto per la formula semi-empirica di massa
). Numericamente si ottiene 𝐸sym 𝑛0 ≃ 12,8 𝑀𝑒𝑉 , da confrontare con il termine della formula semiempirica di massa dato da 𝑎sym ≃ 28 ÷ 30 𝑀𝑒𝑉 . La pressione si ottiene sommando i due contributi.
𝑝 𝑛, 𝛽 = 𝑝𝑛 + 𝑝𝑝 =
1
1+𝛽
2
5
3
+ 1−𝛽
5
3
𝑝0 𝑛
ove si è definita
2 ℏ2 3𝜋 2
𝑝0 ≡ 𝑝 𝑛, 𝛽 = 0 =
5 2𝑚 2
2
3
5
𝑛3
Modello a Shell del nucleo
E’ noto che , per i nucleoni presenti nel nucleo atomico, esistono livelli energetici discreti . Questi sono
soggetti ad un potenziale medio prodotto dagli altri nucleoni, a differenza degli elettroni che sono
soggetti al potenziale Coulombiano generato dal nucleo. Nel nucleo, dunque, i livelli energetici sono
organizzati in strati (“shell” )di energia permessi : ogni strato contiene alcuni livelli di energia ed è diviso
da un altro da un “gap” di energie non permesse. L’Hamiltoniana per i nucleoni si può quindi scrivere
come
𝐴
𝐻=
𝑖
𝑝𝑖2 1
+
2𝑚 2
𝑣𝑖𝑗
𝑖,𝑗
Sommando e aggiungendo un termine di potenziale che dipende dalla distanza si può riscrivere come
contributo di due parti .
𝐻=
𝑖
𝑝𝑖2
+ 𝑉 𝑟𝑖
2𝑚
+
1
2
𝑣𝑖𝑗 −
𝑖,𝑗
55
𝑉 𝑟𝑖
𝑖
= 𝐻0 + 𝑉𝑟𝑒𝑠
Numeri Magici
I numeri 𝑁, 𝑍 = 2,5,20,28,50,82,126 sono noti come numeri magici. Questo particolare appellativo
deriva da alcune evidenze sperimentali : i nuclei con un numero magico di protoni e/o neutroni sono
praticamente stabili. Se un nucleo possiede un numero magico di protoni (rispettivamente neutroni) è
necessario fornire molta energia per poter estrarre un protone (neutrone) da esso, mentre se si aumenta
di un’unit{ il numero di protoni (neutroni) l’energia di separazione diventa molto più piccola.
Per quest’ultimo caso l’energia necessaria per il processo si può calcolare (nel caso neutrone e protone)
come
𝑆𝑛 = 𝐵 𝑍, 𝑁 − 𝐵 𝑍, 𝑁 − 1 = 𝑚𝑎 𝑍, 𝑁 − 1 − 𝑚𝑎 𝑍, 𝑁 + 𝑚𝑛
𝑆𝑝 = 𝐵 𝑍, 𝑁 − 𝐵 𝑍 − 1, 𝑁 = 𝑚𝑎 𝑍 − 1, 𝑁 − 𝑚𝑎 𝑍, 𝑁 + 𝑚𝑎
1
𝐻
Infine per portare uno di questi nuclei in uno stato eccitato è necessaria molta energia. Tali proprietà
sono analoghe a quelle dei gas nobili. In tabella si riportano alcuni esempi di nuclei contenenti un
numero magico di protoni o neutroni.
Nuclide
Z
2
8
8
9
20
20
21
𝟒
𝑯𝒆
𝑶
𝟏𝟕
𝑶
𝟏𝟕
𝑭
𝟒𝟎
𝑪𝒂
𝟒𝟏
𝑪𝒂
𝟒𝟏
𝑺𝒄
𝟏𝟔
𝑺𝒑 𝑴𝒆𝑽
11,81
12,13
13,78
0,60
8,33
8,89
1,09
N
2
8
9
8
20
21
20
𝑺𝒏 (𝑴𝒆𝑽)
20,58
15,66
4,14
16,81
15,64
8,36
16,19
Autostati del potenziale nucleare
Si deve risolvere l’equazione della singola particella nel campo medio e scrivere la funzione d’onda totale
come prodotto di quella dei protoni e dei neutroni.
−ℏ2 2
𝛻 + 𝑉 𝑟 𝜓𝛼 𝑟 = 𝐸𝜓𝛼 𝑟
2𝑚
L’equazione si può separare nella parte radiale ed in quella angolare
𝑑2
2𝑑
2𝑚
𝑅ℓ 𝑟 +
𝑅ℓ 𝑟 + 2 𝐸 − 𝑉 𝑟
2
𝑑𝑟
𝑟 𝑑𝑟
ℏ
−
ℓ ℓ+1
𝑅ℓ 𝑟 = 0
𝑟2
Introducendo la funzione d’onda ridotta 𝑢ℓ 𝑟 = 𝑟𝑅ℓ 𝑟 l’equazione si può riscrivere come
−
ℏ2 𝑑2
ℓ ℓ + 1 ℏ2
+
𝑉
𝑟
+
𝑢ℓ 𝑟 = 𝐸𝑢ℓ 𝑟
2𝑚 𝑑𝑟 2
2𝑚𝑟 2
Bisogna quindi fissare la forma del potenziale.
In figura è riportata la struttura a shell per un potenziale a buca infinita (a sinistra) e per un
potenziale armonico (a destra).
56
Potenziale a Buca infinita
Come prima approssimazione possiamo scegliere una buca infinita di raggio a. Stiamo supponendo
quindi che i nucleoni si muovano in una scatola sferica di raggio a. La soluzione si può scrivere
utilizzando le funzioni di Bessel.
𝑟
𝑅ℓ 𝑟 = 𝑗ℓ 𝑘𝑟 = −
𝑘
ℓ
1𝑑
𝑟 𝑑𝑟
ℓ
𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑟
𝑘𝑟
Per determinare i valori di energia dei livelli bisogna imporre la condizione al contorno sulla superficie
della buca : la funzione d’onda dovr{ annullarsi in 𝑟 = 𝑎 . Possiamo dunque indicare gli zeri della
funzione di Bessel con 𝜌𝑛,ℓ ⇒ 𝑗ℓ 𝜌𝑛,ℓ = 0 ⇒ 𝜌𝑛,ℓ = 𝑎 2𝑚𝐸/ℏ . Questa condizione fissa univocamente i
livelli energetici
𝐸𝑛,ℓ
2
ℏ2 𝜌𝑛,ℓ
=
2𝑚 𝑎2
L’ordine degli zeri di 𝑗 darà quindi i livelli energetici : questi zeri si possono calcolare analiticamente e
sono tabulati. Riportiamo in una tabella i valori per i primi livelli.
ℓ
0
𝒋𝓵
𝑗0
1
3,14
57
2
6,28
3
1
2
3
𝑗1
𝑗2
𝑗3
4,493
5,763
7,725
Il posizionamento delle particelle nei livelli energetici segue le regole della meccanica quantistica : in
ogni livello generico si possono collocare un numero di particelle che rispetta il principio di Pauli. Fissato
il valore di ℓ il livello energetico considerato è (2ℓ + 1) volte degenere; inoltre posso collocare due
particelle con spin ↑ , ↓ quindi la degenerazione è pari a 2 2ℓ + 1 . Si vede quindi che la chiusura a
shell rispetta la regola dei numeri magici (solo i primi 3) :


Nel livello 1s vengono si posizionano 2 particelle , mentre nel livello 1p , 6 particelle : 2 + 6 = 𝟖 ,
numero magico.
Nel livello 1𝑑 si posizionano 10 particelle : 2 + 6 + 8 + 10 = 𝟐𝟎 , numero magico.
Potenziale armonico
Possiamo tentare un’approssimazione migliore con un potenziale di tipo armonico , ovvero
1
𝑉 𝑟 = 𝑚𝜔2 𝑟 2
2
di cui già conosciamo gli auto valori
𝐸𝑁 = 𝜔ℏ 𝑁 +
3
2
, 𝑁 = 0,1,2, …
In termini del momento angolare 𝑁 = 2 𝑛 − 1 + ℓ . Se N è pari si ha ℓ = 0,2, … , 𝑁 , altrimenti
ℓ = 1,3, … , 𝑁 . C’è però una degenerazione aggiuntiva poiché per lo stesso valore di N ci possono essere
più valori di n ed ℓ . Vediamo come si posizionano le particelle anche in questo caso, osservando
nuovamente che si possono identificare solo i primi 3 numeri magici.
N
0
1
2
3
4
(𝒏, 𝓵)
(1,0)
(1,1)
1,2 ; (2,0)
1,3 ; (2,1)
1,4 ; 2,2 ; (3,0)
stati
1s
1p
1d,2s
1f,2p
1g,2d,3s
𝓝𝑵
2
6
10+2
14+6
18+10+2
𝓝𝒕𝒐𝒕
2
8
20
40
70
I livelli sono equispaziati di 𝜔ℏ ma i numeri magici vengono verificati solo nei primi 3 livelli.
Potenziale di Saxon-Woods
Si può scegliere un potenziale che rappresenta un’approssimazione ancora più accurata
𝑉 𝑟 =−
𝑉0
1 + 𝑒𝑥𝑝
𝑟−𝑅
𝑎
Si vede comunque che neanche con questo potenziale si ottiene un risultato migliore.
Potenziale con interazione spin-orbita
Per migliorare il modello si deve considerare l’interazione tra lo spin della particella ed il momento
angolare. Si deve quindi aggiungere un termine di interazione del tipo
𝑉ℓ𝑠 = −
2𝛼
ℓ ⋅ 𝑠 , (𝛼 > 0)
ℏ2
58
Gli autostati del sistema saranno autostati di 𝑗2 , 𝑗𝑧 e verranno individuati dai numeri quantici 𝑛, ℓ, 𝑗 .
Vogliamo ora stimare il valore di aspettazione dell’operatore 𝑗 = ℓ + 𝑠 . Supponiamo quindi 𝑠 = 1/2 per
cui si ricava 𝑗 = ℓ ± 1/2 . Si ha quindi che
𝑗2 = ℓ + 𝑠
2
= ℓ2 + 𝑠 2 + 2ℓ ⋅ 𝑠 ⇒ ℓ ⋅ 𝑠 =
1 2
𝑗 − ℓ2 − 𝑠 2
2
Ovvero
ℏ2
1
−
ℓ
+
1
,
𝑗
=
ℓ
−
ℏ
3
2
2
ℓ⋅𝑠 =
𝑗 𝑗+1 −ℓ ℓ+1 − =
2
2
4
ℏ
1
ℓ ,
𝑗 =ℓ+
2
2
2
L’interazione spin-orbita ha prodotto uno splitting di due livelli originari che si può quantificare come
𝛥𝐸 = 𝛼 2ℓ + 1 : dunque se il momento angolare è piccolo anche lo splitting è piccolo. Ad esempio il
livello 1𝑝 ( con 6 particelle) si è splittato in due livelli 1𝑝1/2 ( con 2 particelle ) e 1𝑝3/2 ( con 4 particelle)
. Si verifica sperimentalmente che il livello con j più alto è quello ad energia minore : dunque in questo
livello si posizionano più particelle. I livelli sono degeneri rispetto alle proiezioni di J che sono (2𝑗 + 1) .
Scegliendo in maniera opportuna 𝛼 si vede che i numeri magici ottenuti sperimentalmente si possono
ottenere con facilit{. Il modello non è però in grado di dare con certezza l’ordine di livelli energetici molto
vicini tra di loro. Ad esempio per l’atomo di 178𝑂9 con momento angolare e parità dati da 𝐽𝛱 = 0+ ( paripari) le particelle si dispongono nella maniera seguente :




Nel livello 1𝑠1/2 2 protoni e 2 neutroni
Nel livello 1𝑝3/2 4 protoni e 4 neutroni
Nel livello 1𝑝1/2 2 neutroni e 2 protoni
Nel livello 1𝑑5/2 1 solo neutrone.
ℓ
Per nuclei pari-dispari si ha invece 𝐽𝛱 = 𝑗 −1 . Questa regola funziona quasi sempre con i dati
sperimentali. Per nuclei dispari-dispari si dovrebbe considerare un contributo del protone e del neutrone
disaccoppiato : 𝐽 = 𝐽𝑝 + 𝐽𝑛 . In realtà in natura non si trovano elementi dispari-dispari in abbondanza
dunque questa circostanza è molto rara. L’ipotesi della simmetria sferica sta alla base del modello a shell
: in realtà i nuclei assumono forme particolari a seconda del momento di quadrupolo totale.
In figura vengono mostrati i livelli energetici per il potenziale di Saxon-Woods e lo splitting dovuto
all’interazione spin-orbita.
59
Momenti magnetici nel modello a shell
Si suppone che con un numero pari di neutroni e protoni il momento magnetico sia nullo e che l’ultimo
nucleone disaccoppiato porti una variazione nel momento magnetico totale. Prendiamo 𝜇𝐽 = 𝜇𝑗
.Consideriamo quindi 𝑗 = ℓ + 𝑠 e definiamo 𝜇 = 𝑔𝑠 𝑠 + 𝑔ℓ ℓ ( 𝑖 𝑔𝑖 sono detti fattori di Landè). Per
calcolare il momento magnetico bisogna considerare lo stato di proiezione massima , ovvero 𝜇𝑗 =
𝑗, 𝑚𝑗 = 𝑗 𝜇𝑗𝑧 𝑗, 𝑚𝑗 = 𝑗 . Osserviamo prima che 𝜇 = 𝑔𝑠 𝑗 + 𝑔ℓ − 𝑔𝑠 ℓ . Quindi proiettando su 𝑗 si ha
𝜇𝑗 = 𝑔𝑠 𝑗 + 𝑔ℓ − 𝑔𝑠 𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜗
𝑗
𝑗
dove 𝜗 è l’angolo compreso tra la direzione di ℓ e quella di 𝑗 : dunque
𝑐𝑜𝑠 𝜗 =
𝑗 2 + ℓ2 − 𝑠 2
2𝑗 ℓ
Proiettando quindi sull’asse di quantizzazione del momento si ottiene
60
𝜇𝑗 𝑧 = 𝑔𝑠 𝑗𝑧 + 𝑔ℓ − 𝑔𝑠
𝑗 2 + ℓ2 − 𝑠 2
𝑗𝑧 ≡ 𝑔𝑗 𝑗𝑧
2𝑗2
ove si è definito
𝑔𝑗 = 𝑔𝑠 + 𝑔ℓ − 𝑔𝑠
𝑗 𝑗 + 1 + ℓ ℓ + 1 − 3/4
2𝑗(𝑗 + 1)
Distinguiamo i due casi in cui 𝑗 = ℓ ± 1/2 .
(1) Se 𝑗 = ℓ + 1/2 allora
𝑔𝑗 + =
1
1
1
ℓ𝑔ℓ + 𝑔𝑠 ⇒ 𝜇𝑗 + = ℓ𝑔ℓ + 𝑔𝑠 𝜇𝑁
𝑗
2
2
Ove 𝜇𝑁 è il magnetone di Bohr.
(2) Se 𝑗 = ℓ − 1/2 allora
𝑔𝑗
−
=
1
ℓ + 1 2ℓ − 1
1 2ℓ − 1
ℓ + 1 2ℓ − 1
1 2ℓ − 1
−
𝑔ℓ
− 𝑔𝑠
⇒ 𝜇𝑗 = 𝑔ℓ
− 𝑔𝑠
𝜇
𝑗
2ℓ + 1
2 2ℓ + 1
2ℓ + 1
2 2ℓ + 1 𝑁
Possiamo quindi comporre i due risultati e scrivere
𝜇𝑗
±
= 𝑔ℓ ±
1
𝑔 − 𝑔ℓ
2ℓ + 1 𝑠
𝑗𝜇𝑁
Per i nuclei pari-pari 𝜇𝑗 = 0 . Per i nuclei pari-dispari invece 𝜇𝑗 = 𝜇𝐽 , 𝑗 = ℓ + 1/2 , dunque
𝜇𝑝+ = 1 +
1
4,58 𝑗𝑝 𝜇𝑁 = 𝑗𝑝 + 2,29 𝜇𝑁
2𝑗𝑝
𝜇𝑝− = 𝑗𝑝 −
𝑗𝑝
2,29 𝜇𝑁
𝑗𝑝 + 1
I valori sperimentali vengono riportati nella seguente tabella.
1/2
2,793
-0,26
𝒋𝒑
𝝁𝒑+
𝝁𝒑−
3/2
3,79
0,124
5/2
…
…
mentre i valori dei fattori di Landè per i nucleoni sono riportati in quest’ultima tabella.
fattore
𝒈𝓵
𝒈𝒔
n
0
-3,826
61
p
1
5,586