LICEO SCIENTIFICO STATALE “G.B.GRASSI”
CLASSI SECONDE a.s. 2011-2012
SOSPENSIONE DI GIUDIZIO IN MATEMATICA
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ESERCIZI ESTIVI - GEOMETRIA
PROBLEMI RISOLUBILI ALGEBRICAMENTE:
1. Dato un triangolo equilatero di lato
l , condurre per A la retta r perpendicolare ad AC e
Determinare sul lato AB un punto P in modo che, detto H il piede della perpendicolare condotta da
P a r , risulti: CP2 + PH2
≤
29 2
l . In corrispondenza della minore delle soluzioni trovate,
36
determinare il rapporto tra le aree dei triangoli APC e BPC.
2. L’angolo XOY ha ampiezza 120°; presi un punto A su OX e un punto B su OY in modo
che i segmenti OA e OB misurino rispettivamente 2 a e a , si consideri la semiretta OZ
interna all’angolo XOY e perpendicolare ad OY. Determinare su OZ un punto P in modo
2
che la somma dei quadrati delle sue distanze da A e da B sia 5a . Verificare che, in
corrispondenza di una delle soluzioni , il quadrilatero OAPB è un parallelogramma.
3.
L’ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti 6/5 e 3/2 è uguale a:
a)
3
41 ;
10
b)
3 3
;
10
c)
9
10
d)
3
10
4. Il rapporto tra la diagonale di un quadrato di lato l e l’altezza del triangolo equilatero di lato l
è uguale a:
a)
6
; b)
2
6
2 6
; c) 2 6 ; d)
3
3
5. In un triangolo rettangolo l’area è la soluzione della seguente equazione:
1
5 −1
5− 5
(
:
)x = a 2 6
9 5− 5
10
2
Verificato che si ottiene x = 9a 3 , si sa che la mediana relativa al cateto maggiore
forma con esso due angoli di cui uno è 1/2 dell’altro . Calcolare il perimetro del triangolo
6. Nel parallelogramma ABCD l’angolo BAD ha ampiezza 60° e i lati AB e AD sono lunghi
rispettivamente 2a e a. Dopo aver dimostrato che ADB è retto, determinare sulla diagonale
PA 2 + PC 2
BD un punto P in modo che sia verificata la relazione:
= 2.
PB 2 + PD 2
7. In un trapezio rettangolo il rapporto delle basi è 25/16 e la diagonale minore è perpendicolare
al lato obliquo. Sapendo che la misura del perimetro del trapezio è 204 m, calcolare l’area del
trapezio.
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SOSPENSIONE DI GIUDIZIO IN MATEMATICA
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CIRCONFERENZA
1)Un triangolo isoscele AOB ha il vertice O nel centro di una circonferenza e i lati OA e OB
intersecano la circonferenza nei punti E e F. Dimostrare che la corda EF è parallela ad AB.
2) Da un punto P esterno ad una circonferenza di centro O si conduca una tangente e sia A il punto
di contatto. Dal punto medio M del segmento AP si conduca l’ulteriore tangente MB essendo B il
punto di tangenza. Si tracci il diametro AA’. Dimostrare che l’angolo PBA’ è piatto.
3) In un quadrato ABCD, sia M il punto medio del lato BC e d E la proiezione di A sul segmento MD.
Dimostra che:
a) ABME è inscrittibile in una circonferenza di diametro AM(tracciarla) B) l’angolo EAB è congruente
all’angolo CMD.
c) Il triangolo ABE è isoscele.
4) E’ dato il trapezio isoscele ABCD, sia H la proiezione di D sulla base maggiore AB. Si sa inoltre
che BC è congruente a BH. Dimostrare che il trapezio è circoscrittibile ad una circonferenza.
5) Da un punto A di una circonferenza di centro O conduci le semirette t e s, rispettivamente
tangente e secante la circonferenza, in modo che l’angolo alla circonferenza da esse individuato,
contenga il centro O. Indica con B il punto di intersezione della semiretta s con la circonferenza,
considera su t un punto T tale che AT = AB e traccia il segmento BT che incontra la circonferenza in
P. Dimostra che gli angoli APT e BAT sono congruenti.
6) Due corde congruenti AB e Cd di una stessa circonferenza si incontrano nel punto E interno alla
circonferenza. Dimostrare che esse formano angoli congruenti con il diametro passante per E.
7) Disegna un triangolo ABC e due circonferenze di diametri AC e BC. La retta perpendicolare ad
AB passante per A incontra la circonferenza in E; la retta perpendicolare ad AB passante per B
incontra la circonferenza in F. Dimostra che :
a) i punti E, C, F sono allineati;
b) la retta EF è parallela ad AB.
8) Considera una circonferenza e disegna due corde MN e HK tra loro parallele. Dimostra che MK è
congruente a NH.
9) Considera due circonferenze tangenti esternamente nel punto T e sia t la retta tangente
comune, Per T traccia una retta secante la prima circonferenza in M e la seconda in N. Sempre
per T traccia un’altra retta secante la prima circonferenza in P e la seconda in Q. Dimostra che le
rette PM e NQ sono parallele.
10) Due corde congruenti AB e CD di una stessa circonferenza si incontrano nel punto E interno alla
circonferenza. Dimostrare che esse formano angoli congruenti con il diametro passante per E.
11) Data una circonferenza di centro O e un punto P ad essa interno, congiungi P con O e traccia due
secanti Pa e Pb in modo che PO sia bisettrice dell’angolo aPb. Dimostra che le due corde,
intercettate dalla circonferenza sulle secanti, sono congruenti.
12) Due circonferenze congruenti si intersecano nei punti R e S. Traccia una retta passante per R che
intersechi le due circonferenze in P e Q. Dimostra che il triangolo SPQ è isoscele.
13) In una circonferenza siano: A un punto qualsiasi di un diametro; OB un raggio perpendicolare ad
esso; P l’intersezione della retta BA con la circonferenza; C il punto di intersezione fra il diametro
e la tangente alla circonferenza in P. Dimostra che il segmento AC è congruente al segmento PC.
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14) In una circonferenza di diametro AB considera una corda AH, la tangente r in B e la bisettrice s
dell’angolo BAH. Sia D l’intersezione di s con BH ed E l’intersezione di s con r. Dimostra che
l’angolo ADH è complementare dell’angolo HAD e che (essendo ABE un triangolo rettangolo
perché…) il triangolo BDE è isoscele.
15) Da un punto P esterno ad una circonferenza di centro O, manda le tangenti PA e PB. Dimostra
che il quadrilatero PAOB è circoscrivibile ad una circonferenza. b) Su una circonferenza di centro
C, prendi tre punti A, B e D, in modo che AB = AD = BD. Traccia il diametro AE e dimostra che il
triangolo CBE è equilatero.
16) Data una circonferenza di diametro AB, sia CD una corda perpendicolare al diametro AB, che lo
interseca in E. Traccia le tangenti alla circonferenza in A e in B e individua su di esse due punti A’
e B’ tali che
AA’ = BB’ = AE. Di che natura è il quadrilatero AA’B’B ? Dimostra che tale
quadrilatero è equivalente al quadrato costruito sulla corda AC.
17) Disegna un angolo aVb e una circonferenza di centro O tangente ai lati dell’angolo. Dimostra che
VO è la bisettrice di aVb. Detto E il punto di intersezione della circonferenza col segmento VO,
traccia per E la retta perpendicolare a VO, che interseca i lati dell’angolo nei punti A e B.
Dimostra che il triangolo AVB è isoscele.
18) Data una circonferenza di centro O e una corda AB, sulla retta tangente in A fissa il segmento AF
congruente ad AB. Indica con E il punto di intersezione di FB con la circonferenza. Dimostra che
il triangolo AEF è isoscele. Si verificano due casi a seconda della posizione di F sull’una o
sull’altra semiretta di origine A.
19) Disegna una semicirconferenza di diametro AB, traccia una corda AC e la tangente in B alla
circonferenza; la bisettrice dell’angolo CAB incontra la corda BC in D e la retta tangente in F.
a. dimostra che il triangolo BDF è isoscele
b. possiamo affermare che il quadrilatero ABFC è inscrivibile in una circonferenza?
SIMILITUDINE ED EQUIESTENSIONE
1. Sia CM la mediana del triangolo ABC relativa al lato AB. Detto P un punto qualsiasi di CM,
dimostrare che:
a. I triangoli AMP e BMP sono equivalenti
b. I triangoli APC e BPC sono equivalenti
2. E’ dato il triangolo ABC. Per M, punto medio di BC, si conduca una generica retta r che
intersechi, rispettivamente, il lato AC in Q, la parallela per A a BC in N e la retta del lato AB in
P. Dimostrare che: PN*QM=PM*QN.
3. In un triangolo rettangolo ABC, avente per base l’ipotenusa BC, traccia l’altezza AH. Da H
manda le perpendicolari ai cateti indicando con E l’intersezione con AB e con D l’intersezione
con AC. Rispondi, motivando opportunamente, alle seguenti domande e quesiti:
a)
b)
c)
d)
Di che natura è il quadrilatero ADEH?
I triangoli ABC, ACH, AHB sono tra loro simili. Perché?
A, E, H, D sono punti di una stessa circonferenza.
Il quadrilatero EBCD è inscrivibile in una circonferenza.
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4. Disegna un triangolo ABC e traccia l’altezza AH. Dimostra che il rettangolo avente i lati
congruenti ad AB e alla proiezione di AH su AB è equivalente al rettangolo con i lati congruenti
ad AC e alla proiezione di AH su AC stesso.
5. Disegna un triangolo ottusangolo ABC, indicando con A l’angolo ottuso. Sia CH l’altezza relativa
ad AB. Dimostra che il quadrato costruito su BC è equivalente alla somma dei quadrati costruiti
sugli altri due lati e del doppio del rettangolo avente come lati AB ed AH.
6. Dato il triangolo ABC traccia la bisettrice dell’angolo C che incontra il lato AB in P. Prolunga CP
dalla parte di P fino ad incontrare in Q la circonferenza circoscritta al triangolo. Dimostra che i
triangoli ACP, QBP e QCB sono simili.
7. Dato il triangolo rettangolo ABC con C angolo retto e AC=3/5 AB, sia M il punto medio di AB.
Dette H la proiezione di C su AB e K la proiezione di M su BC, dimostra che i triangoli ACH e
MBK sono tra loro simili e determina il loro rapporto di similitudine.
8.
Sia ABC un triangolo rettangolo in B, con l’ipotenusa AC = 30 cm e il rapporto BC/AB=4/3. Dal
punto medio M dell’ipotenusa tracciare la retta perpendicolare all’ipotenusa stessa, che
incontra il cateto BC in N e il prolungamento del cateto AB in P.
- dimostra che i triangoli ABC, AMP e BNP sono simili
- determina la misura di AB e di BC
- determina la misura di BP
- determina il rapporto tra le Aree dei triangoli BNP e ABC.
9.
Disegna un triangolo rettangolo ABC con angolo retto in A. Traccia la bisettrice CP
dell’angolo BCA. Dal punto P traccia la perpendicolare a CP che incontra l’ipotenusa BC nel punto H.
Dimostra che il segmento CP è medio proporzionale tra i segmenti CA e CH.
Dal libro di testo (Geometria):
pag 501 n.250 e 251
pag 429 n. 164, 166, 168
pag 560 n. 1, 6, 7
