Energia Potenziale

Energia Potenziale
forme di energia
sistema semplice
[particella o corpo puntiforme]
energia cinetica
K
→ associata al moto
sistema complesso
[due o più oggetti interagenti mediante forza interna]
energia cinetica
K → associata al moto
energia potenziale U → associata alla configurazione
[posizione] del sistema
energia interna
Eint → associata alla temperatura
⇒ un oggetto può compiere lavoro utilizzando:
energia cinetica
energia derivante dalla posizione
energia potenziale: energia immagazzinata dal sistema che
può essere convertita in energia cinetica
o altre forme di energia
r energia
potenziale gravitazionale
energia associata allo stato di separazione tra i corpi
che si attirano reciprocamente
per effetto della forza di gravità
esempio:
sollevando dei pesi
modifico le posizioni
relative del sistema Terra-pesi.
Il lavoro svolto aumenta
energia potenziale
gravitazionale
r energia
potenziale elastica
energia associata allo stato di
compressione o decompressione
di un sistema elastico [tipo molla].
La forza in gioco è quella della molla.
esempio:
stirando o comprimendo
una molla cambio le
posizioni relative delle spire
della molla.
Il lavoro svolto aumenta
energia potenziale
elastica della molla
Come si calcola
l’energia potenziale ?
(energia immagazzinata
a seguito di un cambiamento di posizione)
Energia Potenziale di un Sistema
sistema:
Terra-libro
interazione:
forza gravitazionale
yb = posizione

Fext
finale
ya = posizione
iniziale
agente esterno (mano) solleva il libro di Δy ⇒ compie lavoro L
equazione di continuità
Lext = ΔEsistema = ΔK + ΔEint + ΔU
libro libro e Terra
energia potenziale
fermo NON si scaldano [energia
immagazzinata]
energia potenziale:
se rilascio il libro da yb, libro cade con energia cinetica
origine energia cinetica → lavoro fatto per sollevarlo
in yb energia del sistema ha potenziale capacità
di diventare energia cinetica
deduzione espressione per
energia potenziale gravitazionale


 
Lext = Fext ⋅ Δr = −mg ⋅ Δr


= mg j ⋅ ( yb − ya ) j = mg yb − mg ya = ΔU g
energia potenziale gravitazionale
[si sceglie come riferimento
yi=0 e quindi Ui=0 ]
U g = mg y
N.B. vale solo per g=cost
(vicini alla superficie della Terra)
energia potenziale gravitazionale:
dipende da posizione verticale y [quota], rispetto a posizione di
riferimento (y = 0)
r  non dipende dalla posizione orizzontale
r 


 
L = Fext ⋅ Δr = −mg ⋅ Δr



= mg j ⋅ [(xb − xa ) i + ( yb − ya ) j ]

Δr
yb
= mg yb − mg ya = ΔU g
ya
xb
xa
esempio: contrappeso di un ascensore
quale è la funzione
dei contrappesi
di un ascensore ?
lavoro svolto dal motore:


Lext = Fext ⋅ Δr = ΔU g
senza contrappeso:
4  motore deve sollevare
peso ascensore e suoi occupanti
4  grande aumento energia potenziale
ascensore-Terra
4  grande spesa di energia dal motore
con contrappeso:
4  minore variazione netta della distanza
(ascensore+contrappesi) – Terra
4  minore variazione energia potenziale
4  minore lavoro del motore
Sistema Isolato
[sistema senza trasferimento di energia
attraverso il contorno]
studio lavoro
svolto sul libro
(dalla forza peso)
quando cade:


 
Lgravità = Fg ⋅ Δr = mg ⋅ Δr


= −mg j ⋅ ( ya − yb ) j
= mg yb − mg ya
Lgavità = ΔK libro = ΔK
yb = posizione
iniziale

Fg
ya = posizione
finale
teorema energia cinetica
mg yb − mg ya = −(mg ya − mg yb ) = −(U f − U i ) = −ΔU g
Lgravità = ΔK = − ΔU g
ΔK + ΔU g = 0
nella forma equazione continuità
( K f − Ki ) + (U f − U i ) = 0
K f + U f = Ki + U i
1 2
1
mv f + mg y f = mvi2 + mg yi
2
2
Emecc = K + U g = costante
def
l’energia meccanica
per un sistema isolato
si conserva
Conservazione Energia Meccanica
energia cinetica ed energia potenziale:
r  quantità
molto legate tra loro
r  entrambe esprimono il lavoro fatto per andare tra due punti A e B
1 2 1 2
mvB − mv A = K B − K A
2
2
L( A → B) = −(U ( B ) − U ( A)) = U ( A) − U ( B )
L( A → B) =
K B − K A = U ( A) − U ( B )
K B + U ( B) = U ( A) + K A
K
U
E = U+K
corpo in caduta:
a mano a mano che diminuisce di
quota
velocità
r  diminuisce energia potenziale
r  aumenta
è come se l’energia
potenziale si trasformasse in
energia cinetica
Emecc = K + U
def
energia meccanica
in un sistema isolato in cui agiscono solo forze conservative
l’energia meccanica di un corpo si conserva
in ogni punto della traiettoria
[N.B. da qui nasce il termine forze conservative]
Sistema Isolato:
3 differenti tecniche per calcolare il lavoro
1 definizione
L = ∫ F ⋅ ds
l ( A, B )
processo di integrazione in più dimensioni
(spesso complesso o
non risolvibile analiticamente)
2 teorema lavoro - energia cinetica
(per corpo puntiforme)
1 2 1 2
L = mvB − mv A
2
2
banale se si conoscono
velocità iniziale e finale
3 mediante energia potenziale (per forze conservative)
L = −(U ( B) − U ( A))
devo sapere solo ed esclusivamente
il valore dell’energia potenziale
nei due punti A e B
esempi: conservazione energia meccanica
in una cascata:
energia potenziale
gravitazionale
del sistema acqua – Terra
si converte in
energia cinetica acqua
in un salto:
in salita:
in discesa:
converto
energia cinetica in
energia potenziale
converto
energia potenziale in
energia cinetica
esempio: ciclo completo di oscillazioni
del pendolo
Emecc = K + U = costante
def
[N.B. in presenza di forze di attrito (resistenza dell`aria, …)
Emecc è dissipata ⇒ il pendolo si ferma ]
NON tutte le forze
conservano l’energia meccanica !!!
Forze Conservative e NON
Ø  forze conservative:
lavoro compiuto è immagazzinato in forma di energia
(detta potenziale) che può essere liberata successivamente
U = mgy
- posso definire energia potenziale U
U = f(y)
L = -ΔU
- si conserva energia meccanica
Emecc = K + U = costante
Lcons = −ΔU = ΔK
Δ( K + U ) = ΔEmecc = 0
Ø  forze NON conservative:
lavoro compiuto NON può essere recuperato come energia
cinetica ma è trasformato in altra forma di energia
(esempio: calore, rumore, …)
- NON posso definire
energia potenziale U
- NON si conserva
energia meccanica
Definizione/Proprietà forza conservativa
Definizione 1: una forza è conservativa se
r il
lavoro svolto su una particella dalla forza è
indipendente dalla trattoria
r dipende solo dal punto iniziale e finale del percorso
Lab,1 = Lab, 2
Definizione 2: una forza è conservativa se
r  il
lavoro svolto su una particella che si muove lungo un
percorso chiuso è nullo
Lab,1 + Lba , 2 = 0
⇒
Lab,1 = − Lba , 2 = Lab, 2
[N.B. mi permette di risolvere problemi complessi,
utilizzando percorsi semplici a piacere]
Ø  una forza conservativa conserva energia meccanica
Ø  non causa trasformazione di energia meccanica
in energia interna del sistema
forza di gravità
L = mg yb − mg ya
il lavoro dipende solo da
punto iniziale e punto finale
non dal percorso
[vedi piano inclinato]
L=0
per un percorso
chiuso
U g = mg y
forza elastica
xf
1
1
Lm = ∫ (−k x) dx = kxi2 − kx 2f
2
2
xi
il lavoro dipende solo da
punto iniziale e punto finale
non dal percorso
L=0
per un percorso chiuso
Um =
1
kx 2 energia
immagazzinata
2
[viene riconvertita in lavoro]
sono forze conservative
yb = posizione
iniziale
ya = posizione
finale
applicazione: calcolo del lavoro
utilizzando percorsi opportuni
corpo che scivola
su superficie senza attrito
da a a b.
percorre 2.0 m lungo tutto il tragitto
e copre dislivello verticale di 0.80 m.
quanto lavoro compie Fg sul corpo?
NON posso utilizzare L = Fg · s = Fg s cosθ,
infatti θ cambia continuamente
Fg è conservativa
⇒ calcolo L lungo un percorso opportuno
tra a e b, facilitando i calcoli
scelgo il percorso tratteggiato
Lorizzontale = mgd cos(90 0 ) = 0
Lverticale = mgd cos(00 ) = (2.0kg )(9.8m / s 2 )(0.80m) = 15.7 J
L = Lorizzontale + Lverticale = 0 + 15.7 J ≈ 16 J
Esempi di forze conservative
Forza peso


F = − mg j
U ( P) = mghP
Forza elastica


F = − kx i
U ( P) =
Forza gravitazionale

mm
F = − G 1 2 2 rˆ
r
U ( P) = G
Forza elettrostatica

1 q1q2
F=
rˆ
2
4πε 0 r
U ( P) =
1 2
kx p
2
m1m2
rp
1 q1q2
4πε 0 rp
non tutte le forze sono conservative:
una forza è NON conservativa se il lavoro che compie
su un corpo dipende dal cammino percorso
[esempio: forza di attrito
forza di resistenza del mezzo]
Forze NON Conservative
una forza è non conservativa se
il lavoro che compie su un corpo
dipende dal cammino percorso
o equivalentemente
una forza è non conservativa se
dissipa energia meccanica
in energia interna al sistema
esempio:
la forza di attrito è dissipativa:
r  trasforma energia meccanica in energia termica
[NON recupero mai l’energia trasformata in calore]
r  il lavoro fatto dipende dal percorso
LAB = ∫
B
A
 
f d ⋅ dx
B
B
A
A
= ∫ (− f d )dx = − f d ∫ dx
= − fd d
= − fd π
d
2
N.B. quando il libro viene lasciato, si ferma subito dopo:
NON recupero il lavoro fatto dalla forza attrito in energia cinetica !!
Conservazione dell’energia TOTALE
[sistema isolato]
in presenza di forze NON conservative:
rdiminuzione energia cinetica
⇒ aumento energia interna
[esempio: forza d’attrito trasforma energia cinetica
in energia termica]
Lattrito = − f d Δx = −ΔEint
r generalizzazione teorema lavoro-energia cinetica:
Ltot = ∑ Li =Lcons + LNON cons = ΔK
i
− ΔU + LNON cons = ΔK
LNON cons = ΔK + ΔU = ΔEmecc
Lattrito = −ΔE int = ΔK + ΔU
ΔK + ΔU + ΔE int = 0
K + U + Eint = Emecc + Eint = Esistema = costante
non si è mai osservata alcuna violazione
di tale principio di conservazione
se considero Universo come sistema isolato:
• quantità di energia presente nell’Universo è costante
• tutti i processi dell’Universo sono trasformazioni di energia
esempio: durante una discesa di montagna
sistema:
scalatore+attrezzatura+Terra
K + U + Eint = Esistema = costante
lo scalatore scende lungo la parete e cambia la
configurazione del sistema
lo scalatore deve trasferire energia
da energia potenziale gravitazionale del sistema
ad energia cinetica (legata alla sua velocità) senza che
questa diventi eccessiva
la corda fa attrito sui moschettoni
⇒ trasferisce maggior parte di energia potenziale
in energia termica di corda e metallo,
piuttosto che in energia cinetica
Conversione energia meccanica
energia cinetica ↔ energia potenziale
K + U = Esistema
Conversione energia totale
energia cinetica ↔ energia potenziale
energia cinetica ↔ energia termica
K + U + Eint = Esistema
F di attrito
compie lavoro negativo!!!
Lavoro svolto da Forza Esterna
[Sistema NON isolato]
lavoro :
energia trasferita a o da un sistema
per mezzo di una forza esterna che agisce su di esso
L=?
r  sistema
semplice [corpo puntiforme]: F modifica solo K
r  sistema complesso: F modifica K, U ed energia interna Eint
Sistema NON isolato
1. sistema senza attrito
lancio in aria una boccia
[compio lavoro sul sistema]
L = ΔK + ΔU
L = ΔEmecc
varia
velocità
boccia
varia
distanza
Terra-boccia
2. sistema con attrito
F − f d = m a ⇒ a = cost
v 2 = v02 + 2ad
1 2 1 2
mv − mv0 + f d d
2
2
Fd = ΔK + f d d = ΔK + ΔEint
Fd =
in generale [es. blocco su rampa]:
Fd = ΔK + ΔU + ΔEint
L = ΔEmecc + ΔEint
Strategia per risoluzione problemi
[sistema isolato e NON]
Applico il principio di conservazione dell’energia:
1. 
2. 
definisco il sistema (uno o più oggetti)
determino se si ha trasferimento di energia
attraverso il contorno del sistema. ΔEsistema =
H
se si: sistema NON isolato
ΔEsistema = 0
se no: sistema isolato
∑
3. 
se il sistema è isolato:
scelgo posizione di riferimento per energia potenziale
gravitazionale e per energia potenziale elastica
4. 
5. 
individuo eventuali forze non conservative
6. 
ricordo che se sono presenti attrito o forza di resistenza dell’aria
energia meccanica NON si conserva
se ho solo forze conservative:
Emecc = K + U = costante
7. 
in presenza di forze NON conservative Emecc non si conserva.:
Esistema = costante = K + U + Eint
è dovuta a forze NON conservative !!
Applico teorema forze vive:
ΔK = ∑ L forze attive
Determinazione energia potenziale
[forze conservative]
Cerco espressione generale per energia potenziale
xf
L = ∫ F ( x) dx
F(x) conservativa
xi, xf punto iniziale e finale percorso
L = −ΔU = U i − U f
il lavoro non dipende dal percorso,
ma solo da punto iniziale e finale.
⇒  definisco
funzione energia potenziale U
xi
[vedi considerazioni su forza di gravità]
il lavoro compiuto da una forza conservativa
è uguale alla variazione, cambiata di segno,
di energia potenziale associata alla forza
xf
relazione generale
xi
N.B. sono importanti solo
le variazioni ΔU
ΔU = U f − U i = −∫ F ( x) dx
xf
U f = U i − ∫ F ( x) dx
xi
riferimento
energia associata ad una
configurazione del sistema
esempio 1:
energia potenziale
gravitazionale
yf
ΔU = − ∫ F ( y ) dy
yi
-mg
yi
yf
= − ∫ (− mg ) dy
yi
= mg ∫
yf
dy
yi
yf -mg
y
= mg [y ]yif
ΔU = mg ( y f − yi ) = mgΔy
per una generica posizione y del corpo:
U − U i = mg ( y − yi ) = mg ( y − yi )
U = mg y
energia potenziale gravitazionale
[se scelgo come riferimento
yi=0 e quindi Ui=0 ]
N.B. vale solo per g = cost
(vicini alla superficie della Terra)
energia potenziale gravitazionale:
dipende da posizione verticale y (quota), rispetto a posizione di
riferimento (y = 0)
r  non dipende dalla posizione orizzontale
r 
esempio 2:
energia potenziale
elastica
xf
ΔU = − ∫ F ( x) dx
xi
xf
= − ∫ (− kx ) dx
xi
= k∫
xf
xi
=
xdx
1
k x2
2
[ ]
xf
xi
1
1
ΔU = kx 2f − kxi2
2
2
per una generica posizione x del corpo:
1 2
U −0 = k x −0
2
1 2
U = kx
2
[se scelgo come riferimento
xi=0 e quindi Ui=0 ]
energia potenziale elastica:
energia immagazzinata nella molla deformata
può essere rilasciata in
energia cinetica del blocco
Forza Gravitazionale e Potenziale
forza gravitazionale:
forza di attrazione reciproca
fra due corpi qualsiasi
nell’universo
Terra attira mela
mela attira Terra
esempio di azione e reazione
r  intensa fra corpi macroscopici
r  la più debole fra le forze
r 
esempio:
sistema protone-neutrone:
Fg (p-n) ∼ 10-47 N
Fem (p-n) ∼ 10-7 N
Terra attira Luna
Luna attira Terra

mm
Fg = G 1 2 2
r
G = 6.67 10 −11 N m 2 / kg 2
Legge della Gravitazione Universale:
- Ricavata da Newton (1686)
[sulla base delle leggi di Keplero del moto dei pianeti (1608-1619)];
-  Vale per due masse qualsiasi
[masse concentrate in un punto; sviluppo del calcolo
integrale]
- Base per completa descrizione matematica moto dei pianeti
Leggi di Keplero (1571-1630)
[basate sulle osservazioni astronomiche
di Tycho Brahe (1546-1601)]
Prima Legge
L'orbita descritta da un pianeta è un'ellisse,
di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Seconda Legge
Il segmento (raggio vettore) che unisce
il centro del Sole con il centro del pianeta
descrive aree uguali in tempi uguali
-  Velocità areolare costante
-  La velocità orbitale non è costante,
ma varia lungo l'orbita
Terza Legge
I quadrati dei periodi di rivoluzione
dei pianeti sono proporzionali ai cubi
dei semiassi maggiori delle loro orbite
T
-  Pianeti lontani hanno periodo di rivoluzione
maggiore
a
Limiti di validità delle leggi di Keplero:
à massa del pianeta trascurabile rispetto al Sole;
à Nessuna interazione fra diversi pianeti (perturbazioni delle orbite)
Bilancia di Cavensdish (1798)
per la misura della costante G
[Simile a experimento di Coulomb]
r accelerazione

g=
gravitazionale terrestre

Fg
distribuzione
radiale
m
= −G
MT
rˆ
r2
in prossimità della superficie:
r = RT = 6370 km
g =G
MT
RT2
= 6.67 ⋅10
−11
= 9.8 m / s 2
5.98 ⋅10 24
(6370000)2
distribuzione
uniforme
r
potenziale gravitazionale

mm
1
F = − G 1 2 2 rˆ ≈ − 2
r
r
rf
è conservativa ⇒ ammette potenziale
rf
r
f
1
⎡ 1 ⎤
U f − U i = − ∫ F (r )dr = Gm1m2 ∫ 2 dr =Gm1m2 ⎢− ⎥
r
⎣ r ⎦ ri
ri
ri
⎛ 1 1 ⎞
U f − U i = −Gm1m2 ⎜ − ⎟
⎜ r r ⎟
i ⎠
⎝ f
Gm1m2
1 è negativo
se scelgo come riferimento
U (r ) = −
≈−
ri=∞ e quindi Ui=0
r
r (forza attrattiva)
N.B. in prossimità della superficie terrestre:
⎛ 1 1 ⎞
⎛ rf − ri ⎞
⎟ = GM T m Δy = mgΔy
ΔU g = −GM T m⎜ − ⎟ = GM T m⎜
2
⎜ r r ⎟
⎜ r r ⎟
R
f
i
f
i
T
⎝
⎠
⎝
⎠
Applicazione: Energia Potenziale e Cinetica
di oggetto che cade verso la Terra [vi = 0, ri molto grande]
Emecc,i = Emecc, f
−
Continua conversione
Energia Potenziale in
Energia Cinetica
GM T m 1 2 GM T m
= mv f −
ri
2
RT
2GM T
vf =
= 11200m / s = 11.2km / s
RT
1
GM T m
0 = mv 2f −
2
RT
Velocità di caduta sulla Terra:
- 16 proiettile di fucile
- NON dipende da m
(asteroidi, …)
applicazioni:
velocità di fuga
proiettile lanciato in aria
massa m, velocità vi
Emecc = K + U = costante
in generale il proiettile:
4rallenta (converte K in U, h aumenta)
4si arresta (K = 0, Emecc = U)
4ricade (converte U in K, h diminuisce)
esiste un valore minimo di vi
per cui il proiettile non torna indietro
Emecc,i = Emecc, f
1 2 GM T m
GM T m
mvi −
=−
2
RT
rmax
v fuga =
def
vi → v fuga
rma x →∞
v fuga
2GM T
=
RT
⇒
⎛ 1
1 ⎞
⎟⎟
vi2 = 2GM T ⎜⎜
−
⎝ RT rmax ⎠
velocità minima che il corpo
deve avere per continuare
a muoversi allontanandosi sempre
Pianeta
Terra
Luna
Sole
Marte
Giove
NON dipende da massa oggetto!!
[è la stessa per molecola o navicella spaziale]
Link: Teoria cinetica dei gas, composizione atmosfera
vf (km/s)
11.2
2.3
618
5.0
60
applicazione:
composizione
atmosfera terrestre
atmosfera terrestre:
involucro di gas
che circondano la terra
trattenuti da
attrazione gravitazionale
composizione aria
fino a 100 km da terra
N2
78%
altro
O2
21%
Perché H, He, gli elementi allo stato libero
più abbondanti (4%) nell’universo,
sono presenti in quantità minime ?
molecole leggere (come idrogeno ed elio)
hanno velocità traslazionali vicine (≥ 1km/s)
a velocità di fuga terrestre (≈ 11 km/s)
vrqm =
⇒ molecole leggere si diffondono nello spazio
Giove:
vfuga= 60 km/s
⇒ trattiene più facilmente H, He
costituenti principale sua atmosfera
Luna:
vfuga= 2.3 km/s
⇒ NON c’è atmosfera
3k BT
m
Ricerca Analitica di una Forza
Il lavoro fatto da una forza conservativa
è pari alla variazione di energia potenziale
fra punto iniziale e finale del percorso
L = −(U ( B) − U ( A)) = −ΔU
L = F ( x) Δx
ΔU
Δx
dU
F ( x) = −
dx
F ( x) = −
una forza conservativa e` uguale
alla derivata cambiata di segno
dell`energia potenziale
Emecc = K ( x) + U ( x)
= costante
K ( x) = Emecc − U ( x)
sistema in equilibrio:
F ( x) = 0
x>x5
x=x2
x=x4
x=x3
eq. indifferente (U cost)
eq. stabile (U min)
eq. stabile (U min)
eq. instabile (U max)
Forza Peso
U ( y ) = mg y
y
60
m = 1 kg
g = 9.8 m/s2
50
0
Energia Potenziale
U
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-4
-2
0
y
2
4
6
Altezza
F ( y) = −
dU ( y)
= −mg
dy
energia potenziale della forza peso è
funzione lineare dell’altezza:
r  maggiore
è l’altezza maggiore è l’energia potenziale
r  la forza peso non ha punti di equilibrio
Forza Elastica
1 2
U ( x) = k x
2
50
45
K = 3.5 N/m
Energia Potenziale
40
U
35
30
25
20
15
10
5
F ( x) = −
dU ( x)
= −k x
dx
0
-5
-4
-2
0
2
x
Allungamento
4
6
energia potenziale della forza elastica è
una parabola con un minimo
nel punto ad allungamento zero
N.B. un minimo di potenziale (anche relativo)
indica un punto di equilibrio stabile del sistema,
ossia un punto dove il corpo non è soggetto a forze