Fondamenti di
Trasporto Radiativo
Luminosità e Flusso della radiazione
Sorgente astrofisica che emette energia dE in tempo dt.
La luminosità è la quantità di energia irraggiata nell’unità di tempo:
dE
L=
dt
[ erg s
1
, oppure L ]
la luminosità, e non l’energia irraggiata, è la
quantità che meglio caratterizza una sorgente
astrofisica.
Dato un elemento di superficie dA, attraversato da
una quantità di energia dE nel tempo dT posso
definire il flusso della radiazione come
dE
F =
dAdt
[ erg s
1
cm
2
]
ovviamente bisogna considerare con segno opposto
la radiazione che entra o esce dalla superficie.
Il modulo del vettore di Poynting è pari al flusso di
dA
radiazione e.m. attraverso una superficie
perpendicolare alla direzione di propagazione
c ~
~
~
S=
E⇥B
4⇡
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2016/2017
2
Relazione flusso - luminosità
Sorgente puntiforme che emette radiazione in modo isotropo (es. una stella);
è sorgente di onde sferiche, con luminosità L.
Nel tempo Δt irraggia energia ΔE = L Δt.
Dopo un certo tempo, questa energia attraversa
una superficie sferica di raggio r centrata sulla
sorgente, per cui il flusso attraverso quella
superficie è
F (r) =
E
4 r2
r
L
=
t
4 r2
questa relazione è valida per ogni r, per la conservazione dell’energia (ovvero
se non ci sono processi di emissione o assorbimento della radiazione oltre a
quelli nella sorgente).
F dipende dall’inverso del quadrato della distanza dalla sorgente.
A. Marconi
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3
Luminosità e flusso specifici
L e F così definite sono quantità “bolometriche” ovvero integrate su tutto lo
spettro e.m.
E’ utile considerare le quantità specifiche, ovvero per unità di banda di
frequenza (o lunghezza d’onda):
dE
L⌫ =
[ erg s 1 Hz
dt d
dE
F⌫ =
[ erg cm
dA dt d
ovviamente risulta
1
2
L=
]
s
1
Hz
1
]
F =
Z
+1
L⌫ d
0
Z
+1
F⌫ d
0
L⌫
F⌫ (r) =
4 r2
Ricordiamo che il flusso monocromatico è legato allo spettro del campo
elettrico
2
c
F! =
⌧
Ê(!, ⌧ )
1
Ê(!, ⌧ ) =
2⇡
A. Marconi
Z
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! = 2⇡⌫
⌧ /2
E(t)ei!t dt
⌧ /2
4
Luminosità e flusso specifici
Relazioni analoghe valgono per unità di banda di lunghezza d’onda ovvero
dE
L =
dt d
dE
F =
dA dt d
L d = L⌫ d⇥
F d = F⌫ d⇥
dove le relazioni con le quantità per unità di banda di frequenza si ottengono
banalmente dalla conservazione dell’energia.
Ad esempio nel caso del flusso si ha F = F⌫
dato che
A. Marconi
d⇥
c
= F⌫ (c/ ) 2
d
F = ⇥F⌫
d⇥
⇥
c
= 2 =
d
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5
Intensità (brillanza) della radiazione
Il flusso è una misura dell’energia trasportata da tutti i raggi che attraversano
la superficie dA indipendentemente dalla direzione da cui provengono.
Come si caratterizza l’energia trasportata lungo un raggio ovvero lungo una
direzione definita?
I
,perp
dE
=
dA dt d d
[ erg cm
2
s
1
Hz
1
sterad
1
[ erg cm
2
s
1
Hz
1
arcsec
2
raggio
ale
dΩ
norm
Consideriamo tutti i raggi che attraversano dA
attorno alla normale alla superficie.
L’intensità specifica o brillanza è l'energia per unità
di tempo, superficie, angolo solido e banda di
frequenza, ovvero
]
]
dA
dove “perp” ricorda che si considera solo la
radiazione lungo la perpendicolare alla superficie.
A. Marconi
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6
Intensità (brillanza) della radiazione
dove θ è l’angolo tra la direzione di
propagazione e la normale alla superficie.
norm
dE
I⌫ =
cos dA dt d d⇥
ale
In generale se dA non è perpendicolare alla direzione di propagazione la
definizione di intensità si generalizza come
θ
Questa definizione si spiega col voler
considerare la superficie “vista” dalla
radiazione nella sua propagazione. cosθ dA è proprio la superficie proiettata
perpendicolarmente alla direzione di
propagazione.
dΩ
dA
Nel caso in cui cosθ = π/2, l’energia dE che
attraversa una superficie vista di “taglio” è
ovviamente 0.
A. Marconi
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7
Intensità (brillanza) della radiazione
norm
ale
raggio
norm
ale
dΩ
dA
A. Marconi
ϑ
dΩ
dA
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8
Relazione tra intensità e flusso
In base alle definizioni
dE = I⌫ cos ⇥ dA dt d d⇤ = F⌫ dA dt d⇤
F⌫ = I⌫ cos ⇥ d
dove δFν è il contributo al flusso dato dalla radiazione lungo la direzione
considerata per Iν. Per ottenere Fν occorre integrare su tutto l’angolo solido
F⌫ =
Z
I⌫ ( ) cos d
4⇡
I⌫ = I⌫ ( )
per evidenziare la dipendenza
dalla direzione di propagazione
dΩ angolo solido e, rispetto a coordinate sferiche, vale d
A. Marconi
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= sin d d⇥
9
Relazione tra intensità e flusso
Esempi:
Campo radiazione isotropo
F⌫ = I ⌫
Z
cos d =
I⌫ ( ) = cost.
Z
2⇡
d⇥
0
Z
⇡
d cos sin = 0
0
Se I⌫ ( ) = cost. ma la radiazione proviene da un solo lato della superficie
dA (ad esempio, sulla superficie di una stella) allora
F =I
A. Marconi
Z
cos d =
Z
2⇥
d⇤
0
Z
⇥/2
d cos sin = ⇥I
0
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10
Relazione tra intensità e densità energia
La densità di energia della radiazione elettromagnetica è
t
d
c
dE = u⌫ d⌫ dV
dE
u⌫ =
d⌫ dV
[ erg cm
3
Hz
1
]
P
dA
Ω
Il contributo alla densità di energia in P dalla radiazione trasportata lungo la
direzione Ω è dato dall’energia contenuta nel cilindro di altezza c dt
dE(⌦) = du⌫ (⌦) d⌫ dA c dt = I⌫ dA dt d⌦ d⌫
Considerando intensità media su angolo solido
J⌫ = I⌫
per radiazione isotropa
du⌫ (⌦)
I⌫ = c
d⌦
Z
1
J⌫ =
I⌫ (⌦) d⌦
4⇡ ⌦
Si ottiene:
c
J⌫ =
u⌫
4⇡
A. Marconi
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11
Pressione di radiazione
dE⌫ = I⌫ cos dA dt d d⇥
norm
ale
Riguardo alla pressione di radiazione, ricordiamo la definizione di intensità
θ
se invece dell’energia passo al numero di fotoni
dE⌫
I⌫
dn⌫ ( ) =
=
cos dA dt d d⇥
h⇥
h⇥
dΩ
P
dA
ciascun fotone ha una quantità di moto (diretta lungo il raggio di
propagazione) pari a
h
q⌫ =
c
ovvero la quantità di moto trasportata nella direzione Ω è
dE⌫ h
dE⌫
dQ⌫ ( ) = q⌫ dn⌫ ( ) =
=
h c
c
A. Marconi
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12
Pressione di radiazione
la pressione di radiazione in P sulla superficie dA e dovuta ai fotoni che si
muovono nella direzione Ω è quindi
dF?
dQ ( ) cos
I cos2 d⇥d
Prad ( ) =
=
=
dA
dt
dA
c
1
0
I d⇥
Z
2⇥
d⇤
0
Z
⇥
cos2 sin d
0
norm
Prad
1
=
c
Z
ale
per ottenere la pressione totale occorre integrare su frequenza e angolo
solido (supponiamo Iν isotropa)
dA
θ
dΩ
Conservazione della Brillanza
1
2
dΩ1
R
s
dΩ2
dA1
dA2
Perché la brillanza è utile? Perché si conserva lungo la linea di vista
(in assenza di processi di emissione o assorbimento).
Consideriamo solo i raggi che attraversano 1 e 2.
Lungo la direzione di propagazione, le superfici 1 e 2 sono attraversate
dalle quantità di energia
A. Marconi
dE1 = I⌫1 dA1 dt d
1
d
dE2 = I⌫2 dA2 dt d
2
d
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14
Conservazione della Brillanza
1
2
dΩ1
R
dA1
A. Marconi
s
dΩ2
dA2
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15
Conservazione della Brillanza
Consideriamo solo i raggi che attraversano 1 e 2:
l’energia si conserva ovvero dE1 = dE2
i raggi passanti per 1 che attraversano 2 sono quelli entro l’angolo solido
d
1
= dA2 /R
2
i raggi passanti per 2 che attraversano 1 sono quelli entro l’angolo solido
d
2
= dA1 /R
2
combinando queste tre relazioni con le espressioni per dE1 e dE2 si ottiene
I⌫1 = I⌫2
ovvero la conservazione della brillanza (in assenza di processi di emissione
o assorbimento lungo la direzione di propagazione).
La brillanza osservata è la stessa di quella emessa dalla sorgente.
A. Marconi
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16
Equazione del trasporto radiativo
La conservazione della brillanza lungo la direzione di propagazione si può
esprimere come:
dI
=0
ds
s
Se lungo la direzione di propagazione avvengono fenomeni di emissione
possiamo aggiungere a secondo membro un “coefficiente di emissione”
dI⌫
= j⌫
ds
s
il significato fisico del coefficiente j𝜈 è facilmente intuibile, infatti
dE = I⌫ d⌫ dt dA d⌦ = (j⌫ ds) d⌫ dt dA d⌦
ma ds dA è un volume per cui si può scrivere
dE = j⌫ d⌫ dt dV d⌦
ovvero jν ha le dimensioni
A. Marconi
[ erg cm
3
s
1
Hz
1
sterad
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1
]
17
Equazione del trasporto radiativo
Se lungo la direzione di propagazione avvengono fenomeni di assorbimento,
la diminuzione di intensità deve essere proporzionale all’intensità stessa
(una frazione della luce è assorbita) per cui si deve avere
dI⌫
=
ds
s
↵⌫ I⌫
con α ν coefficiente di assorbimento. Se l’assorbimento è dovuto
all’interazione con n atomi (elettroni, ecc.) per unità di volume ed il processo
ha sezione d’urto 𝜎𝜈 allora il numero di assorbitori nel volume ds dA è n ds dA
e la superficie che assorbe la radiazione è dAass = n 𝜎𝜈 ds dA
La quantità di energia assorbita sarà pertanto data dalla radiazione
emessa nell’angolo solido d𝛺 che attraversa la superficie dAass
dE = dI⌫ dA d⌦ dt d⌫ = I⌫ (n
da cui
dI⌫ = n
⌫
I⌫ ds
ovvero
⌫ dA ds)d⌦ dt d⌫
↵⌫ = n
Mettendo insieme assorbimento ed emissione si
ottiene l’Equazione del Trasporto Radiativo
A. Marconi
⌫
dI
=
ds
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I +
18
Equazione del trasporto radiativo
Posso definire la profondità ottica d⇥ =
dI
=
d⇥
ds
I +
In caso di solo assorbimento posso facilmente ottenere la soluzione
Iν(0)
Iν(s)
s
dI
=
d
I
dI
dI= d
I
= d
I
⇥ I (0) e
I
=
I = I (0) e
⇥
Posso riuscire a vedere sorgenti solo attraverso una profondità
Un esempio è la “visibilità” nella nebbia: una visibilità di 100 m
significa che la profondità ottica diventa ~1 dopo 100 metri.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2016/2017
⌧⌫ ⇠ 1
19
Equazione del trasporto radiativo
La profondità “ottica” di un mezzo è quindi data da
d⇥ =
Z
Z
s
s
Ovvero
⌧⌫ (s) =
↵⌫ ds =
s0
n
ds
⌫ ds
s0
Se il mezzo è a densità costante, si può quindi scrivere
⌧⌫ (s)
Z
s
n
⌫ ds
=n
⌫
s
s0
Supponiamo di avere una nube di gas ionizzato (solo H) con n ~ 106 cm-3
atomi, come si può trovare nel mezzo interstellare o in un nucleo galattico.
Quali sono le sue dimensioni lineari perché la sua profondità ottica sia ~1,
ovvero sia otticamente spessa alla radiazione?
Nel gas ionizzato il meccanismo di opacità (che è anche quello più semplice
considerato) è la diffusione della luce da parte di elettroni liberi (scattering
Thomson) caratterizzata da
✓ 2 ◆2
8⇡
e
25
2
=
=
6.7
⇥
10
cm
T
3 me c2
σT è la sezione d’urto Thomson; è la minima sezione d’urto per l’interazione
tra materia e radiazione.
Equazione del trasporto radiativo
T
8⇡
=
3
✓
2
e
me c2
◆2
= 6.7 ⇥ 10
25
cm2
Ovviamente, poichè 𝜎T ~ 1/m2, l’interazione avviene con i soli elettroni, per
cui la densità di “assorbitori” è pari alla densità di elettroni, a sua volta pari
alla densità di atomi (solo H, completamente ionizzato).
Per avere profondità ottica ~1 si deve quindi avere:
1
1
s=
= 6
n T
10 cm 3 ⇥ 6.7 ⇥ 10 25 cm2
⇣
⌘
1
n
18
= 1.49 ⇥ 10 cm
' 0.5 pc
6
3
10 cm
Quindi per poter diventare “opaca” alla radiazione la nube deve essere lunga almeno mezzo parsec! Se la nube è più densa, può essere più corta.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2016/2017
21
Equazione del trasporto radiativo
Torniamo all’equazione del trasporto radiativo e definiamo la funzione
sorgente
dI
=
d⇥
j⌫
S⌫ =
↵⌫
I +
dI⌫
=
d⌧⌫
I ⌫ + S⌫
e utilizziamo la profondità ottica come variabile di integrazione:
moltiplichiamo membro a membro per
definiamo le quantità
I = I⌫ e
l’equazione diviene
dI
=S
d⌧⌫
la cui soluzione è
A. Marconi
e⌧⌫
⌧⌫
I(⌧⌫ ) = I(0) +
S = S⌫ e
Z
⌧⌫
0
⌧⌫
S(⌧⌫0 )d⌧⌫0
Introduzione all’Astrofisica 2016/2017
22
Equazione del trasporto radiativo
La soluzione in termini di I e S è pertanto
I(⌧⌫ ) = I(0)e
⌧⌫
+
Z
⌧⌫
e
⌧⌫0 )
(⌧⌫
0
S(⌧⌫0 )d⌧⌫0
Questa rappresenta l’intensità iniziale diminuita dall’assorbimento più la
funzione sorgente diminuita a sua volta dall’assorbimento. E’ una soluzione
solo “formale” perché spesso S dipende da I.
Consideriamo il caso in cui S𝜈 sia costante, si può facilmente verificare che
la soluzione dell’equazione del trasporto radiativo è
I⌫ (⌧⌫ ) = I⌫ (0)e
⌧⌫
+ S⌫ (1
e
⌧⌫
)
Nei limiti otticamente “sottile” e “spesso” diviene
⌧⌫ ⌧ 1
⌧⌫
1
I⌫ ' I⌫ (0) + [S⌫
I⌫ (0)]⌧⌫
I ⌫ ' S⌫
ovvero, ciò che si vede nel limite otticamente spesso è solo la funzione
sorgente!
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2016/2017
23
Equazione del trasporto radiativo
Consideriamo adesso il caso in cui I𝜈(0)=0 e riscriviamo la funzione sorgente
a partire dai coefficienti di assorbimento ed emissività
I⌫ (⌧⌫ ) = S⌫ (1
⌧⌫
e
j⌫
)=
(1
↵⌫
e
⌧⌫
)
moltiplichiamo membro a membro per le dimensioni della sorgente R
j⌫ R
I⌫ (⌧⌫ ) =
(1
↵⌫ R
e
⌧⌫
) = j⌫ R
✓
1
e
⌧⌫
nei limiti otticamente sottile e spesso si ha quindi
⌧⌫ ⌧ 1
⌧⌫
1
⌧⌫
◆
I⌫ ' j ⌫ R
j⌫ R
I⌫ '
⌧⌫
cioè l’emissione nel limite otticamente sottile è da tutta la sorgente, mentre
nel limite otticamente spesso è solo da una “buccia” di spessore R/𝜏𝜈 ovvero
lo strato che è otticamente sottile.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2016/2017
24
Equazione del trasporto radiativo
Ricapitolando, supponiamo di avere una sorgente sferica e otticamente
spessa di radiazione: quella che giunge a noi è solo la radiazione emessa da una buccia di
spessore 𝜏𝜈 (strato otticamente sottile indipendentemente dalle
dimensioni della sorgente).
l’intensità è pari alla funzione sorgente S𝜈
⌧⌫
S⌫
Com’è fatta la funzione sorgente? Proviamo a capire qualcosa dalle stelle
che si identificano bene con l’esempio appena fatto.
Esempi di spettri stellari
Scala lineare
Scala logaritmica
Perché si usa λFλ in scala logaritmica?
Interessa l’integrale, ovvero l’area sotto la curva:
F1,2 =
Z
2
F d =
1
Z
log
2
F ln 10 d log
log
log λFλ(λ)
1
log λ
Spettri stellari
Per studiare le proprietà dell’emissione continua delle stelle è utile introdurre
il concetto di corpo nero.
T=
40
00
0K
T=1
5400
K
Spettri stellari e
spettri dei corpi
neri che meglio
li approssimano
alle temperature
indicate in figura
K
0
0
2
8
T=
50
50
K
T=
43
=
T = 58
00 K
64
T=
T
K
355
0K
Il Corpo Nero
Il corpo nero (Black Body) è un assorbitore perfetto, ovvero un corpo che
assorbe tutta la radiazione a cui è esposto.
Il corpo nero ha uno spettro di emissione caratteristico che dipende solo da
un parametro ovvero la sua temperatura.
Esempio di corpo nero: foro di una cavità molto grande.
Tutta la radiazione che entra nel foro dopo molto riflessioni nella cavità
viene quasi totalmente assorbita.
Cavità di Corpo Nero
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2016/2017
28
Lo spettro di Corpo Nero
L’origine fisica dello spettro di corpo nero fu compresa da Planck alla fine
dell‘800. Planck fece la famosa ipotesi di quantizzazione per il corpo nero (arrivando
alla definizione della costante h) e riuscì ad ottenere la forma funzionale dello
spettro della radiazione emessa dal corpo nero.
Intensità della radiazione di corpo nero:
2h 3
B (T ) = 2 h
c e
1
/kT
1
4⇡
u⌫ =
B⌫ (T )
c
T temperatura del corpo nero (in gradi Kelvin, K)
h costante di Planck h = 6.6 × 10-27 erg s
k costante di Boltzmann k = 1.4 × 10-16 erg K-1
[ hν/kT ] = numero puro
[ 2hν3 / c2 ] = dimensioni di intensità (es. erg cm-2 s-1 Hz-1 = erg cm-2)
B d = B⌫ d⇥ da cui si ottiene B (T ) = B⇥
A. Marconi
d⇥
2h c2
1
=
5 ehc/ kT
d
Introduzione all’Astrofisica 2016/2017
1
29
Proprietà dello spettro di Corpo Nero
L’emissione di corpo nero è isotropa.
Il flusso emergente dalla superficie di un corpo nero (es. stella) è F⌫ =
Z
I⌫ cos d = ⇥I⌫ = ⇥B⌫
⌦BB
vedi gli esempi della relazione tra intensità e flusso.
Il flusso alla superficie di una stella è F⌫ (r? ) = B⌫ (T? )
T★ temperatura superficiale della stella.
La luminosità della stella è perciò
L⌫ = 4 r?2 F⌫ (r? ) = 4 r?2 B⌫ (T? )
pertanto il flusso osservato a Terra è espresso come
L⌫
f⌫ =
=
2
4 d
⇣ r ⌘2
?
d
B⌫ (T? )
funzione di tre parametri fondamentali, r★, T★ e d.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2016/2017
30
Proprietà dello spettro di Corpo Nero
L’emissione del corpo nero integrata su tutto lo spettro è
F =
Z
+1
F⌫ d⌫ =
0
F =
+1
0
2h⇡
c2
✓
+1
0
h
z=
kT
cambio di variabile
Z
Z
kT
h
◆4
z3
1
d⌫
h
dz =
d
kT
1
ez
2h⌫ 3
1
⇡ 2 h⌫/kT
c e
2⇡h
dz = 2
1
c
✓
kT
h
◆4 Z
l’integrale vale 𝜋4/15 e si ha la Legge di Stefan-Boltzmann
σ costante di S.-B.
2 5 k4
⇥=
= 5.7 ⇥ 10
2
3
15c h
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2016/2017
5
erg s
1
+1
z3
ez
0
F =
cm
2
K
1
dz
T4
4
31
Proprietà dello spettro di Corpo Nero
La posizione del picco di emissione del corpo nero si ottiene da
dB⌫
=0
d
dB
=0
d
oppure
da cui si ottiene la legge di Wien
h⇥max = 2.8 kT
max T
max
6= c/⇥max
= 0.29 cm K
poiché deve valere
B d = B⌫ d⇥
pertanto il ν a cui c’è il picco di Bν non è lo stesso a cui c’è il picco di Bλ
Dato che
L⌫ = f⌫ (r? )4 r?2 integrando su ν si ottiene
L=4
2
r?
4
⇥T?
relazione fondamentale che lega L, raggio r★, e temperatura superficiale T★.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2016/2017
32
La temperatura del Sole ...
Applichiamo al Sole, di cui conosciamo L = L⊙ e r = r⊙, la relazione fondamentale
✓
L = 4 r?2 ⇥T?4
◆1/4
L
T =
=
2
4 R ⇥
✓
3.8 ⇥ 1033 erg s 1
=
4 (7.0 ⇥ 1010 cm)2 ⇥ 5.7 ⇥ 10 5 erg cm
3
= 5.7 ⇥ 10 K
2
s
1
K
4
◆1/4
=
Il picco dell’emissione solare avviene per
max
0.29 cm K
=
' 5100Å
5700 K
ovvero la luce verde. Gli animali diurni si sono adattati alla luce solare ed i
loro occhi hanno la massima sensibilità proprio in corrispondenza del
massimo dell’emissione solare.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2016/2017
33
Proprietà dello spettro di Corpo Nero
2h 3
B (T ) = 2 h
c e
1
/kT
1
h
⌧1
kT
2h 3
1
B ' 2
h
c 1 + kT
h
kT
2h 3
B⌫ ' 2 e
c
h
kT
λBλ(T)
00
K
K
00
0K
500
10
00
2
coda di Rayleigh-Jeans
coda di Wien
00
100
00
K
10
500
1
2kT
= 2
c
1
K
νBν(T)
Spettri stellari: la fotosfera
Temperatura di una stella varia con il raggio:
T~106-107 K al centro (r = 0);
T~103-104 K in superficie (r = r ).
Spettro osservato della stella è costituito dai fotoni provenienti dallo strato
superficiale esterno detto fotosfera (quello per cui lo spessore ha 𝜏𝜈~1)
La base della fotosfera è la superficie
dove i fotoni subiscono l’ultimo
processo di diffusione (scattering)
all’interno della stella.
Materiale alla base della fotosfera
emette spettro di Planck di corpo
nero che viene modificato dal
materiale più freddo e trasparente
negli strati più esterni che
costituiscono il resto della fotosfera.
A. Marconi
FOTOSFERA
Ultima
interazione del fotone
Introduzione all’Astrofisica 2016/2017
Interno della stella
35
Equazione del trasporto radiativo
Torniamo all’equazione del trasporto radiativo e chiediamoci cosa sia la
funzione sorgente
dI⌫
=
d⌧⌫
j⌫
S⌫ =
↵⌫
I ⌫ + S⌫
Ricordiamo che la soluzione con funzione sorgente costante è
I⌫ (⌧⌫ ) = I⌫ (0)e
⌧⌫
+ S⌫ (1
e
⌧⌫
)
Ovvero se I𝜈 > S𝜈 allora si deve avere dI𝜈/d𝜏𝜈 < 0 e I𝜈 tende a decrescere
lungo il raggio. Viceversa se I𝜈 < S𝜈 allora dI𝜈/d𝜏𝜈 > 0 e I𝜈 tende a crescere.
Quindi S𝜈 è la quantità a cui I𝜈 tende, e la raggiunge se si ha una sufficiente
profondità ottica. In questi termini l’equazione del trasporto radiativo
descrive un processo di “rilassamento”.
Se le stelle sono otticamente spesse e gli spettri sono approssimativi come
un corpo nero, è naturale supporre che S𝜈 ~ B𝜈(T).
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2016/2017
36
Equazione del trasporto radiativo
Consideriamo adesso un elemento a temperatura T che emetta
termicamente e mettiamolo dentro l’apertura di una cavità di corpo nero alla
stessa temperatura T. Sia S𝜈 la funzione sorgente.
Per quanto appena detto, se S𝜈 < B𝜈 allora anche I𝜈 < B𝜈 (analogamente per
S𝜈 > B𝜈 si ha I𝜈 > B𝜈).
Ma la presenza del materiale non
può alterare la radiazione di corpo
nero che esce dal foro, perché
anche con il corpo dentro la cavità
è sempre quella di un corpo nero
di temperatura T. Se ne deduce
che
T
I⌫
B⌫ (T )
S⌫ = B⌫ (T )
questa è la legge di Kirchhoff.
A. Marconi
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37
Legge di Kirchhoff
La legge di Kirchhoff comporta che, per tutti i corpi all’equilibrio
termodinamico, vale sempre
j⌫
S⌫ (T ) =
= B⌫ (T )
↵⌫
ovvero
j⌫ = ↵⌫ B⌫ (T )
Quindi, se consideriamo la radiazione termica, l’equazione del trasporto
radiativo diventa
dI⌫
=
d⌧⌫
I⌫ + B⌫ (T )
A questo punto, dobbiamo distinguere tra radiazione di corpo nero per cui
I𝜈 = B𝜈 e radiazione termica per cui S𝜈 = B𝜈.
La radiazione termica diventa radiazione di corpo nero in un mezzo
otticamente spesso.
A. Marconi
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Pressione di radiazione
Ricordiamo che, supposta Iν isotropa, si ha
Prad
1
=
c
Z
1
I d⇥
0
Z
2⇥
d⇤
0
Z
⇥
cos2 sin d
0
se il sistema è all’equilibrio termodinamico locale (cioè posso definire T
punto per punto) Iν = Bν
Z
Z
1
F⌫ [BB]d =
0
⇡
cos
0
Prad
2
Z
1
⇥B⌫ d = ⇤T
4
0
2
sin d =
3
4
1 ⇥T
2
1 4⇥ 4 1
=
2
=
T = aT4
c
3
3 c
3
Z
1
0
⇤T 4
B⌫ d =
⇥
Prad
1
= u
3
si noti come la pressione di radiazione corrisponde dimensionalmente ad
una densità di energia (u = aT4 è la densità di energia della radiazione)
