Giochiamo con ….
….le combinazioni!
Il calcolo combinatorio è considerato un tema piuttosto impegnativo e
quindi inadatto ad essere affrontato nella scuola dell’obbligo.
Vogliamo invece mostrare, con le attività che vi proponiamo, come in
realtà sia un argomento che può essere trattato anche in modo molto
concreto e coinvolgente addirittura fin dalla scuola dell’ Infanzia e
come possa sviluppare nei bambini e nei ragazzi la capacità di
organizzarsi per riuscire a padroneggiare una situazione complessa.
¿n N
Il principio fondamentale del calcolo combinatorio
In particolare vogliamo affrontare attività relative a quello che
è noto come “principio fondamentale del calcolo combinatorio”
che in modo “formale” può essere enunciato così:
“Se dobbiamo fare N scelte e la prima scelta
può essere fatta inn1 modi, la seconda scelta
in modi e così via fino all’N-esima scelta
che può esseren Nfatta in modi , allora la
successione delle N scelte può essere essere
fatta in n1⋅n 2⋅n3⋅¿ ¿n N
modi diversi.”
n2
Facciamo un esempio
Supponiamo di dover ordinare al ristorante e che nel menù ci siano:
-3 primi
pasta al ragù,tortellini in brodo,risotto con i funghi
-3 secondi
bistecca alla brace, petto di pollo al limone, trota al forno
-2 dolci
tiramisù,crostata
In quanti modi diversi possiamo ordinare?
Possiamo rappresentare la situazione con un “grafo ad albero”:
Ci accorgiamo che percorrendo i vari “rami” dell’albero abbiamo pasti
diversi: per esempio seguendo le frecce in figura abbiamo ordinato pasta al
ragù, bistecca, tiramisù.
Quindi, poiché ogni percorso-pasto termina nell’ultimo livello, per sapere quanti pasti
diversi possiamo ordinare basta contare le “terminazioni” dell’albero, che nel nostro
caso sono 18.
Il numero delle “terminazioni” si ottiene infatti moltiplicando
3 (possibilità per la prima scelta) *
3 (possibilità per la seconda scelta)*
2 (possibilità per la terza scelta)
Ed abbiamo così ritrovato la regola enunciata dal principio fondamentale del
calcolo combinatorio.
Sperimentazione didattica
La nostra sperimentazione consiste nel proporre attività su questo principio
fondamentale per la scuola dell’Infanzia, per la scuola Primaria , per la
scuola secondaria di primo grado e di secondo grado che , in modo diverso
in relazione all’età dei bambini e dei ragazzi, li aiutino a riflettere e a
organizzarsi per risolvere una situazione “complessa”.
E’ importante che i docenti che partecipano alla sperimentazione osservino
come i bambini o i ragazzi cercano di risolvere il problema proposto senza
suggerire la soluzione, ma aiutandoli a scoprirla da soli.
SCUOLA DELL’INFANZIA
Candidi fiocchi stavano scendendo sul paesino di “Biancofiocco”. I bambini non attendevano altro,
tanta neve per poter finalmente costruire degli splendidi pupazzi.
Giovanni e Sofia, dopo l'abbondante nevicata, avevano passato il pomeriggio in giardino, a
costruire con cura il loro pupazzo di neve. Avevano usato due tappi di bottiglia per gli occhi, una
carota per il naso e un pezzo di stoffa rosso per la bocca.
-Che carino questo pupazzo, siamo stati bravi, vero sorellina? – esclamò felice Giovanni.
-Bellissimo, pare quasi vero, gli manca solamente... la parola! – disse Sofia.
- Brrrr…la parola...chi dice che i pupazzi di neve non parlino, eh? – fece una voce roca.
Chi aveva parlato?!I bimbi sul momento pensarono ad uno scherzo dei loro amici. Si guardarono
intorno, ma non videro nessuno.
-Ehi, piccoli! Dico a voi! – tuonò nuovamente la voce roca.
Sofia e Giovanni si girarono entrambi in direzione del pupazzo di neve, e videro che la sua bocca si
era spostata lievemente dalla posizione originale.
-Si, si, sono proprio io che vi parlo! L'amico di neve che avete appena costruito – fece il pupazzo.
-Ma i pupazzi di neve non parlano... o almeno... -mormorò Giovanni.
-Ma io sono speciale, mi chiamo Snow! Sono veramente felice di fare la vostra conoscenza, mi
avete costruito molto bello, però ho molto freddo avrei bisogno di …qualcosa che mi scaldi –
disse il pupazzo.
-Ti potremmo mettere il mio cappello e la mia sciarpa rosa e dei bei bottoni rosa nella pancia –
disse Sofia
-Tutto rosa… non mi piace, gli metteremo il mio cappello e la mia sciarpa rossa oppure cappello
rosso e sciarpa verde e dei bellissimi bottoni gialli-disse Giovanni
I due fratellini iniziarono a litigare e non smettevano più.
Il pupazzo allora decise di intervenire
- Bambini io avrei un’idea! Portate le vostre sciarpe i vostri cappelli e i vostri bottoni e io deciderò
come vestirmi-
Diapositiva 9
L1
Luana; 21/02/2015
I bambini non lo sapevano ma Snow era un pupazzo vanitoso che adorava provarsi sciarpe, cappelli
e bottoni.
I due fratelli passarono le ultime ore del pomeriggio a fargli provare le diverse combinazioni di
sciarpe cappelli e bottoni, che di volta in volta il pupazzo chiedeva.
-Ora andiamo fratellino! Mamma e papà ci stanno aspettando per la cena!- Disse Sofia
-Ciao, ciao Snow, domani torneremo a trovarti e continueremo a giocare! – dissero i due fratelli.
Il pupazzo, sperando che arrivasse presto il nuovo giorno, chiuse gli occhi e continuò a sognare
sciarpe cappelli e bottoni colorati.
IL GIOCO
Costruiamo un gioco comune
In quanti modi posso vestire il mio pupazzo?
Registriamo ogni combinazione che troviamo
Costruiamo uno schema ad albero
controlliamo se abbiamo trovato tutte le combinazioni
Come mi vesto a Carnevale?
A Carnevale posso travestirmi scegliendo un cappello, un
vestito e un paio di scarpe: posso scegliere tra tre cappelli
diversi (fata, strega e mago), tre vestiti diversi (rosa, rosso
e blu) e due paia di scarpe (grosse e eleganti).
In quanti modi diversi posso travestirmi?
Cominciamo a prendere il cappello di fata:
possiamo metterci il vestito rosa con le scarpe grosse o il vestito rosa
con le scarpe eleganti;
possiamo metterci il vestito rosso con le scarpe grosse o il vestito rosso
con le scarpe eleganti;
possiamo metterci il vestito blu con le scarpe grosse o il vestito blu con
le scarpe eleganti.
Quindi abbiamo 6 travestimenti diversi con il
cappello da fata.
Prendiamo poi il cappello da mago:anche in questo
caso avremo 6 travestimenti diversi
Prendiamo infine il cappello da strega:
anche con questo cappello avremo 6 travestimenti diversi.
Quindi avremo in tutto 6+6+6=18 travestimenti diversi!
SCUOLA PRIMARIA
E’ necessario
(in relazione all’età degli alunni):
- PORRE IL PROBLEMA
-
e FORMULARE IPOTESI
SPERIMENTARE
RAPPRESENTARE GRAFICAMENTE
TABULARE I DATI
VERIFICARE LE IPOTESI FORMULATE
ESTRAPOLARE REGOLE
PASSARE DALLA COMBINATORIA ALLA
PROBABILITA’
Provo
COME MI VESTO?
COSA MANGIO?
IN QUALE ORDINE USCIAMO?
Immagino
LE BANBIERE DEI PIRATI
I LETTI DEI NANETTI
I TAPPETI DI ALADINO
I FORZIERI DI ALI’ BABA’
APRITI SESAMO
Realizzo
QUALI PAROLE POSSO OTTENERE?
(parole da dividere in sillabe per formarne altre)
Che combinazione!
(gioco da inventare con schede e
cartelle, in scatola)
LIBRO-GAME
STORIA-GAM
(tre personaggi,
due ambienti,
tre oggetti magici,
due antagonisti)
Costruisco
- DOMINO da realizzare
- DADI da disegnare, ritagliare, montare
- LANCIO DI DADI
SCUOLA SECONDARIA
DI PRIMO GRADO
Vacanza studio all’estero!
Supponiamo di poter scegliere:
- di soggiornare in tre città europee per migliorare la conoscenza
delle tre principali lingue straniere come Barcellona (per lo
spagnolo), Parigi (per il francese) o Londra (per l’inglese)
- il mezzo di trasporto che potrebbe essere il pulman, il treno
oppure l’areo
- infine il periodo: durante le vacanze estive oppure in inverno
durante le vacanze natalizie
Con questi presupposti in quanti modi diversi è possibile
organizzare il nostro soggiorno all’estero?
… proviamo a costruire “l’albero” delle combinazioni possibili
estate
inverno
pulman
aereo
treno
Barcellona
Londra
Parigi
scuola
… percorrendo
ogni ramo dell’albero abbiamo tutte le
combinazioni delle possibili gite, ad esempio, seguendo il ramo
colorato andiamo a Barcellona con il treno durante le vacanze
estive
ma quante sono tutte le combinazioni
delle possibili vacanze studio?
Basta contare il numero delle terminazioni dei rami
del nostro albero e scopriamo che
nel nostro caso sono 18!
… ma noi grandi matematici non possiamo
sempre fare alberi e contare una ad una le
terminazioni dei loro rami!
Scopriamo come calcolare questo numero
dunque, considerando che abbiamo:
3 possibili città
3 possibili mezzi di trasporto e
2 possibili stagioni per andare in gita …
trovato! Basta fare ……………
Indovina la password!
Inseriamo una password a protezione di un file (con la successione di
comandi strumenti-opzioni-protezione se usiamo Word altrimenti
introducendola a livello di salvataggio se usiamo Open Office) in cui per
esempio avremo scritto soltanto “Avete indovinato la password…bravi!”.
Proponiamo agli studenti di scoprire la pw per aprire il file…..
Naturalmente dobbiamo stabilire il numero dei caratteri della pw, se ci
possono essere solo numeri o anche lettere con ripetizione o meno..
Si può partire con pw semplici, per esempio di 3 cifre scelte tra le
cifre1,2,3,4 eventualmente ripetute: già così abbiamo 4*4*4=64 pw
diverse!
Vediamo per esempio come aprire questo file
indovina.pw.doc
SUGGERIMENTI
Può essere divertente per gli studenti stabilire essi
stessi la pw di protezione di un loro file, sfidandosi per
esempio a coppie : è importante che comunichino alla
coppia avversaria la modalità di costruzione della pw
e che le pw siano della stessa difficoltà (per esempio
una pw di tre lettere scelte tra a,b,c,d ha la stessa
difficoltà di una pw di 3 cifre scelte tra 1,2,3,4).
E’ comunque fondamentale che comprendano
l’importanza di procedere utilizzando un “metodo”
per scrivere tutte le possibili pw fino ad arrivare a
quella giusta!
Sarebbe interessante proporre ai ragazzi di descrivere
per scritto il metodo o la strategia seguita per evitare
di inserire pw a caso e poi discuterne tutti insieme.
SCUOLA SECONDARIA
DI SECONDO GRADO
Codici segreti
Questa attività può essere svolta in una classe seconda della scuola secondaria
superiore come introduzione al calcolo combinatorio e al calcolo delle probabilità.
Si presuppone che gli studenti conoscano, dalla scuola media, la definizione classica
di probabilità di un evento come rapporto tra casi favorevoli e casi possibili(tutti
ugualmente probabili)
L’insegnante pone agli studenti, divisi in gruppi di lavoro, il seguente problema:
“Qual è la probabilità, al primo tentativo, di scoprire un codice di
cinque cifre scelte tra le dieci cifre 0,1,2….9?”
Può darsi che qualche studente chieda subito se le cifre si possono ripetere oppure no:
l’insegnante risponderà allora che si devono distinguere i due casi.
Cominciamo con il caso in cui le cifre non si ripetono
Dalla discussione collettiva dovrebbe emergere che un buon metodo per
visualizzare tutti i possibili codici che si possono formare è quello di un “grafo
ad albero”.
Per scegliere la prima cifra ho tutte le dieci cifre a disposizione, per scegliere la
seconda cifra, se non devo ripetere le cifre, ho solo nove cifre , per scegliere la
terza cifra ho otto cifre possibili e così via ottengo
10⋅9⋅8⋅7⋅6
possibili codici diversi!
L’insegnante può a questo punto far notare che per trovare il numero delle
possibili scelte diverse si tratta di moltiplicare il numero delle possibilità che
abbiamo ad ogni passo e questo è detto
principio fondamentale del calcolo combinatorio
In conclusione, in questo caso, la probabilità di indovinare il codice al
primo colpo è di
1
1
P( INDOVINARE IL CODICE )=
=
≃0, 000033
10⋅9⋅8⋅7⋅6 30240
Cioè una probabilità dello 0,0033% !
Caso in cui le cifre si possono ripetere
Se gli studenti hanno capito il principio fondamentale del calcolo
combinatorio a questo punto non sarà difficile risolvere questo caso.
Per la prima cifra ho 10 possibilità, ma avrò 10 possibilità anche per la
seconda cifra visto che posso ripetere le cifre e così via fino alla quinta cifra
e quindi
5
10⋅10⋅10⋅10⋅10=10
diversi possibili codici!
In questo caso la probabilità di indovinare un codice al primo colpo
sarà ancora più bassa:
P( INDOVINARE
IL CODICE )=
e quindi una probabilità dello 0,001% !
1
=0,00001
105
Qual è la probabilità di
essere interrogato?
L’insegnante pone agli studenti, divisi in gruppi di lavoro,il seguente problema:
“L’insegnante di matematica deve interrogare ancora tutti gli studenti della IIB
e decide di chiamarne 5. Se gli studenti della IIB sono 27 qual è la probabilità
che ha un dato studente, per esempio Tommaso, di essere interrogato?”
In quanti modi diversi l’insegnante può scegliere i 5 studenti da interrogare?
In questo caso l’ordine non è importante poiché permutando cinque dati
studenti ottengo sempre lo stesso gruppo di interrogati.
Quindi per trovare quanti gruppi di cinque studenti si possono formare devo
,5
dividere il 27⋅26⋅25⋅24⋅23
numero
(che viene indicato con ilD27simbolo
e
chiamato numero delle disposizioni senza ripetizione di 5 elementi scelti tra 27
5⋅4⋅3⋅2⋅1
elementi distinti)
per
(che viene indicato con Pil5 simbolo
e chiamato
numero delle permutazioni di 5 elementi distinti).
Il numero dei gruppi (o sottoinsiemi) di 5 elementi di insieme di 27 elementi
viene indicato con C 27 ,5 e chiamato “numero delle combinazioni di 5
elementi scelti tra 27 elementi distinti”.
D27 ,5 27⋅26⋅25⋅24⋅23
C 27 ,5=
=
P5
5⋅4⋅3⋅2⋅1
Ma quali sono i sottoinsiemi che contengono Tommaso?
Saranno quelli formati da Tommaso e da 4 altri studenti scelti tra i rimanenti 26
studenti della classe e quindi saranno i sottoinsiemi di 4 elementi scelti in un
insieme di 26 elementi : avremo quindi C 26 ,4 casi favorevoli.
In conclusione la probabilità dell’evento E = “Tommaso viene interrogato”
risulta:
C 26,4
5⋅4⋅3⋅2⋅1
5
26⋅25⋅24⋅23
p ( E )=
=
⋅
=
C 27,5
4⋅3⋅2⋅1 27⋅26⋅25⋅24⋅23 27
Qual è la probabilità di vincere al lotto?
E’ molto importante presentare agli studenti situazioni diverse che possono essere
ricondotte allo stesso modello : capire che il modello risolutivo è lo stesso anche se
i problemi sembrano molto diversi è un passo fondamentale e permette di
apprezzare la potenza del ragionamento matematico.
Per questo può essere stimolante, subito dopo l’attività precedente, proporre il
seguente problema:
“Se gioco un numero al LOTTO (su una determinata ruota) qual è la
probabilità di vincere?
(si parla di probabilità di vincere un “estratto semplice”)
Ricordiamo che nel gioco del LOTTO vengono estratti (su ciascuna
Ruota) 5 numeri tra 90 numeri (da 1 a 90).
E’ importante che gli studenti si rendano conto che per risolvere
questo problema possono applicare lo stesso “modello” utilizzato nel
problema delle interrogazioni….è come se la classe fosse di 90 alunni
da cui sceglierne cinque per essere interrogati!
Quindi abbiamo
p (estratto semplice)=
C 89 ,4
C 90 ,5
=
5 1
=
90 18
E se gioco due numeri?
In questo caso per calcolare la probabilità di vincere (cioè la probabilità che tra
i cinque estratti ci siano i due numeri che ho giocato) dobbiamo determinare
quanti sono i casi favorevoli: devo contare quante cinquine possono contenere
i miei due numeri e quindi è come cercare il numero dei sottoinsiemi di 3
elementi scelti in un insieme di 88 elementi .
Quindi i casi favorevoli saranno C88,3 e quindi
C 88,3
4⋅5
2
1
p (ambo secco )=
=
=
=
≃0,0025
C 90,5 89⋅90 801 400 ,5
Naturalmente a questo punto non è difficile determinare anche la
probabilità di vincere giocando tre numeri (probabilità di fare un ternosecco) ecc.
Si può trarre spunto da questa attività per parlare del concetto di gioco equo.
Un gioco tra due giocatori A e B (oppure un giocatore e il banco) che
scommettono su un evento E (A scommette su E , B scommette sul non
verificarsi di E cioè sull’evento contrario che viene indicato con E ), si dice
equo quando la somma rischiata da A e la somma rischiata da B sono nello
stesso rapporto delle rispettive probabilità di vincere di A e di B cioè
r A : r B= p (E ): p( E )
Si può scoprire così che il gioco del LOTTO non è un gioco equo!
Per esempio quanto dovrebbe essere pagato l’estratto semplice?
Poiché la probabilità di vincere è 1/18 e quindi la probabilità di
perdere è 17/18 dovrei guadagnare 17 volte quello che ho rischiato (la
“posta”) e quindi dovrebbe essere pagato 18 volte la posta .
Invece l’estratto-semplice viene pagato solo 11,232 volte la posta!
Nello stesso modo anche l’ambo, il terno, la quaterna e la cinquina vengono
pagati molto meno di quello che dovrebbero perché il gioco fosse equo.
Nota storica
E’ interessante far ricercare agli studenti la storia del LOTTO…
Le origini risalgono al XVI secolo quando a Genova venivano estratti a sorte, tra 90
candidati, i cinque “Reggitori” che dovevano governare la Repubblica.
Poiché su questa estrazione la popolazione effettuava scommesse il gioco fu
regolamentato.
Contatti:
Luana Bacci per la Scuola dell'infanzia
[email protected]
Loretta Sestini per la Scuola primaria
[email protected]
Mario Petrillo per la Scuola secondaria I grado
[email protected]
Cecilia Magni per la Scuola secondaria II grado
[email protected]
