20◦ Simulazione
CORSO DI DI ANALISI I
20◦ SIMULAZIONE TEST ESAME
Ogni quesito ha una sola soluzione esatta
√
√
x−1
x−1
1. Siano date le due funzioni f (x) = √
, g(x) =
. Quale delle seguenti proprietà è soddisfatta?
x+3
x+3
a) f (x) = g(x), ∀x ∈ (−∞, −3) ∪ [1, +∞)
b) f (x) = g(x), ∀x ∈ (1, +∞)
c) dom g ⊆ dom f
d) dom g = dom f
e) f (x) = g(x), ∀x ∈ [1, +∞)
∫
2.
π
cos xesin x dx =
0
a) 0
b) 1
c) 2
d) eπ − 1
e) -1
3. Il seguente integrale improprio
∫
+∞
0
a) converge a zero
√
x+2
dx
x+5
1
b) diverge a +∞
c) è indeterminato
d) converge ad un numero positivo
e) nessuna delle risposte precedenti
4. Sia data una funzione continua nel suo dominio, tale che f : R\{1, 6} → R. Allora ha sicuramente un
punto di minimo se:
a) lim− f (x) = +∞ e
x→6+
b) lim+ f (x) = −∞ e
x→6−
x→1
x→1
lim f (x) = +∞
lim f (x) = +∞
c) inf(f ) ≤ 0; sup(f ) ≥ 0
d) inf(f ) ≤ 0; sup(f ) > 0
e) lim+ f (x) = +∞ e
x→1
lim f (x) = +∞
x→6−
5. Sia A ⊆ R e sia p = inf A. Sapendo che p ∈ R, quale delle seguenti affermazioni è FALSA?
a) A è limitato inferiormente
b) se p ∈ A → p è il minimo di A
c) p è il più grande di minoranti
d) A è limitato
e) p è un minorante di A
1 attenzione
Paola Suria
la funzione converge a zero, ma non l’integrale!!
1
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6. Sia f una funzione continua in [10, +∞) che soddisfa alla condizione f (x) ≥
∫
1
, ∀x ≥ 10. Allora
x10
+∞
f (x) dx
10
a) converge
b) è indeterminato
c) diverge
d) può convergere (ad un numero positivo) oppure divergere a +∞
e) converge a zero
)
(
7. Quale delle seguenti funzioni NON è la derivata della funzione f (x) = log cos(2x)e3x ?
3 cos 2x − 2 sin 2x
cos 2x
3
cos
2x
− 4 sin x cos x
f ′ (x) =
cos 2x
f ′ (x) = 3 − 2 tan 2x
sin 2x
f ′ (x) = 3 − 2
cos 2x
sin 2x
f ′ (x) = 3 −
cos 2x
a) f ′ (x) =
b)
c)
d)
e)
8. L’equazione differenziale y ′ =
x−y
, x ∈ (−1, +∞)
x+1
a) ha la soluzione y(x) = x
b) ha la soluzione y(x) = 1
c) è a variabili separabili
d) è lineare
e) non ha soluzioni
9. Calcolare il limite
2
lim
x→+∞
e
x2 +3
x−4
ex
=
a) 1
b) 0
c) +∞
d) e
e) e4
10.
lim
x→0
a)
b)
c)
d)
e)
1 − cos 4x
=
sinh2 3x
16
9
8
9
2
3
4
3
2
9
2 Controllare
Paola Suria
i consigli in calce
2
20◦ Simulazione
11. La parte principale, per x → 0, della funzione f (x) =
u(x) = x, è
√
7
x6 + x7 + 3x, rispetto al campione standard
a) 3x
1
b) 3x 7
c) x
6
d) x 7
1
e) (3x) 7
12.
lim
n→+∞
(
(
cos
n
n2 + 1
))− arctan n
a) +∞
b) 0
c) 1
π
d)
2
e) @
13. Il polinomio di Mac Laurin, di ordine 2, della funzione f (x) =
2e−x − x2
è
1 + x2
a) 1 − x − x2
b) 2x − 2x2
c) 2 − 2x − 2x2 + o(x2 )
d) 2 − 2x − 2x2
e) x − x2
14. Sia data la funzione f : R → R, continua e derivabile e tale che f (1) = 3, f (5) = 7. Allora ∃c ∈ (1, 5)
tale che:
a) f ′ (c) = 2
b) f ′ (c) = 0
c) f ′ (c) = 1
d) f ′ (c) = −2
e) f ′ (c) = 5
(
)
15. Lo sviluppo di Taylor della funzione f , nell’intorno di x = 2, è f (x) = e+e(x−2)−2e(x−2)2 +o (x − 2)2 .
Allora
a) f ha minimo in x = 2
b) f ha massimo in x = 2
c) f ha un flesso in x = 2
d) la retta tangente in x = 0 ha equazione y = −e + ex
e) ∃δ > 0 : ∀x ∈ Iδ (2) la funzione sia positiva, crescente e concava
16. Sia I ⊂ R un intervallo e siano f, g due funzioni definite da I → R che soddisfano alla condizione che
∀x ∈ I → R f ′ = g ′ , allora
a) f − g è una funzione costante in I
b) f, g hanno la stessa primitiva in I
c) f, g hanno integrali indefiniti uguali in I
d) f (x) = g(x), ∀x ∈ I
∫ b
∫ b
f (x) dx =
g(x) dx , ∀a, b ∈ I
e)
a
Paola Suria
a
3
20◦ Simulazione
17. Siano f, g due funzioni definite da R → R, entrambe derivabili, con f ′ (0) = 1, f (0) = −3. Posto
h(x) = f (x) · g(x) allora:
a) h′ (0) = −3g ′ (0) + g(0)
b) h′ (0) = g ′ (0)
c) h′ (0) = 3g ′ (0)
d) h′ (0) = −3
e) h′ (3) = −3g(3) + g ′ (3)
18. Sia f (x) una funzione che soddisfa alla condizione x + 1 < f (x) < x + 2, ∀x ∈ R. Allora
a) f (x) ∼ x, x → +∞
3
b) la retta y = x + è asintoto obliquo per la funzione
2
c) la funzione è monotona, strettamente crescente in R
d) l’equazione della funzione f (x) è del tipo f (x) = x + k, k ∈ [1, 2]
e) f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R
19. La funzione f (x) = |x − 4|a , dove a è un parametro positivo, è derivabile due volte in R se e solo se
a) a > 2
b) a > 0
c) a ≥ 2
d) a ≥ 1
e) a > 1.
20. Se f : R → R è una funzione continua e derivabile almeno 5 volte∫ nell’intorno di x = 0, con sviluppo di
1
f (x) · sin x
dx
Mac Laurin f (x) = 3x3 + x5 + o(x5 ), allora l’integrale improprio
xα
0
a) converge per ogni α < 1
b) converge per ogni α < 5
c) converge per ogni α > 1
d) converge per ogni α > 5
e) è indeterminato per ogni α
RISPOSTE AI QUESITI
Item n◦
Risposta
Paola Suria
1
e
2
a
3
b
4
e
5
d
6
d
7
e
8
d
9
e
10
b
11
e
4
12
c
13
d
14
c
15
e
16
a
17
a
18
a
19
c
20
b
20◦ Simulazione
CONSIGLI
Quesito n◦ 6
f (x) ≥
1
→
x10
∫
+∞
10
1
dx ≤
x10
∫
+∞
f (x) dx
10
Poiché il primo integrale converge ad un numero finito, possiamo dedurre che il secondo integrale può convergere
ad un nuero positivo, ma potrebbe anche divergere a +∞
(P.s. se so che un patrimonio è maggiore del mio, quanto è grande il patrimonio sconosciuto? sicuramente
maggiore del mio, ma di quanto? come quello di S....o oppure di ....)
Quesito n◦ 9
lim
x→+∞
e
x2 +3
x−4
ex
= lim e
x→+∞
x2 +3
x−4 −x
= lim e
x2 +3−x2 +4x
x−4
x→+∞
4x+3
= lim e x−4 = e4
x→+∞
Attenzione sarebbe sbagliato pensare (gli esponenziali...)
lim
x→+∞
e
x2 +3
x−4
ex
x2
ex
ex
= lim
=
lim
= 1 !!!!!!!!!!!!
x→+∞ ex
x→+∞ ex
Ricorda che se f (x) ∼ g(x), x → x0 non è detto che ef (x) ∼ eg(x) , x → x0
Quesito 16
Il quesito si riferisce alle proprietà delle primitive:
Due primitive di una stessa funzione differiscono per una costante addittiva.
Cechiamo due primitive di f (x) = x + 3. Una primitiva (integro) è F1 (x) =
x2
+ 3x. Un’altra F2 (x) =
2
x2
+ 3x + 220...
2
F1 − F2 = −220 = costante
Nel nostro queisto il ruolo di F1 , F2 è ricoperto da f, g e quello di f, g è ricoperto da f ′ , g ′ . Quindi quando faccio
l’integrale definito (propsta e) cioè l’are non è uguale per il ruolo della costante addittiva
Quesito 18
Per il criterio del contronto (limiti, Pinocchio) la funzione va all’infinito restando equivalente a x
equivalente non implica asintotico, le due rette date sono equivalenti all’infinito, ma non asintotiche, perché la
differenza tra due punti di uguale ascissa non tende a zero. Non sappiamo cosa fa una funzione contenuta nel
mezzo
3 1
Nel grafico è rappresentata la funzione f (x) = x + + sin x
2 2
La funzione scelta serva da controesempio anche per le altre risposte.
Quesito 19
{
f (x) =
(x − 4)a
(4 − x)a
x≥4
x<4
′
f (x) =
{
a(x − 4)a−1
−a(4 − x)a−1
x>4
x<4
′′
f (x) =
{
a(a − 1)(x − 4)a−2
a(a − 1)(4 − x)a−2
x>4
x<4
Affinché la funzione sia derivabile almeno una volta (teorema tappabuchi) i limiti laterali, destro e sinistro, della
Paola Suria
5
20◦ Simulazione
derivata prima devono essere uguali.
Perciò a − 1 > 0. In tal modo il risulatto del limite della derivata prima è zero ela fuznione è derivabile
Se osserviamo la derivata seonda i coefficienti moltiplicativi sono uguali, pertanto affinché sia derivabile due
volte è sufficiente che l’esponente sia ≥> 0 → a − 2 ≥ 0; a ≥ 2
Quesito 20
Si tratta di un integrale improprio su intervallo limitato.
Studiamo la funzione integrale
x→0
f (x) sin x
3x3 · x
1
∼
≍ α−4
α
x
xα
x
1. α − 4 ≥ 1 → α ≥ 5 l’integrale improprio diverge ad un numero positivo, per il criterio asintotico
2. α − 4 < 1 → α < 5 l’integrale improprio converge ad un numero positivo, per il criterio asintotico
P.S. per x → 0 abbiamo sostituito sia alla funzione f sia al seno la loro parte principale, perché si tratta di un
prodotto.
Paola Suria
6
