POLINOMI e OPERAZIONI CON I POLINOMI Si dice polinomio la somma algebrica di 2 o più monomi non simili fra loro. I monomi che compaiono in un polinomio si dicono termini del polinomio. Un polinomio si dice ridotto a forma normale, o € semplicemente ridotto, se in esso non compaiono termini simili e se tutti i suoi monomi sono scritti in forma normale. 2a + 4b − 1 ab + 7ab 4 6 2 a − 2a + 4b 5 +3x 2 y 3 − 2x 2 + 5x 2 y 4 Si dice grado di un polinomio il maggiore fra i gradi grado di 3x 2 y 3 : 5 € dei suoi termini. grado di −2x 2 : 2 grado di 5x 2 y 4 : 6 € il polinomio è di 6°grado € € Si dice grado relativo di un polinomio rispetto a una 3a 3 + 2ab 2 − b lettera il più alto esponente con cui la lettera €il grado relativo alla lettera a è 3 compare nel polinomio. il grado relativo alla lettera b è 2. Un polinomio si dice omogeneo se tutti i € termini hanno lo stesso grado. 2a 3b + ab 3 − 7b 4 tutti i termini sono di 4°grado. € € Un polinomio si dice ordinato secondo le potenze 4a 3b − 6a 2b + 3ab −15b è ordinato secondo le € decrescenti (o crescenti) di una determinata lettera potenze decrescenti della lettera a. quando gli esponenti della lettera si succedono in modo decrescente (o crescente). € Un polinomio si dice completo rispetto a una sua 5ax 3 + 2ax 2 + ax − 4a il polinomio è completo lettera se in esso figurano tutte le potenze di quella rispetto alla lettera x. 4 lettera dalla maggiore a quella di grado zero; 4 x 3 − x − 7 il polinomino è incompleto. altrimenti è detto incompleto. 5 € Addizione (−5xy + 3x ) + (−7xy − 7xy 2 € La somma di due o più polinomi si ottiene scrivendo l'uno di seguito all'altro i loro termini, ciascuno con il proprio segno, e riducendo successivamente gli eventuali termini simili. Sottrazione + 3x 2 ) = = −5xy + 3x 2 − 7xy − 7xy 2 + 3x 2 = = ( −5 − 7) xy + (+3 + 3) x 2 − 7xy 2 = −12xy + 6x 2 − 7xy 2 (−5xy + 3x ) − (−7xy − 7xy 2 La differenza fra due polinomi si ottiene scrivendo i € termini del primo polinomio, con il proprio segno, seguito dai termini cambiati di segno del secondo polinomio e riducendo gli eventuali termini simili. 2 2 + 3x 2 ) = = −5xy + 3x 2 + 7xy + 7xy 2 − 3x 2 = = ( −5 + 7) xy + (+3 + 3) x 2 + 7xy 2 = = +2xy − 7xy 2 € ALGEBRA 7 Le operazioni di addizione e sottrazione si possono indicare come addizione algebrica. (−6x 3 y + 5a 2 + 2ab 4 ) + ( −a 2 + 4ab 4 + 6x 3 y ) − ( −3x 3 y + 5a 2 + = −6x 3 y + 5a 2 + 2ab 4 − a 2 + 4ab 4 + 6x 3 y + 6x 3 y + 3x 3 y − 5a = ( −6 + 6 + 3) x 3 y + (+5 −1 − 5) a 2 + (+2 + 4 − 9) ab 4 = = +3x 3 y − a 2 − 3ab 4 Moltiplicazione (4a b + 7a b − 3ab)⋅ (−3ab) = (4a b )(−3ab) + (7a b )(−3ab) + (−3ab)(−3ab) = 3 3 € Il prodotto di un polinomio per un monomio, o viceversa, si ottiene moltiplicando ciascun termine del polinomio per il monomio e addizionando poi i prodotti ottenuti. 3 2 3 3 3 2 −12a 4 b 4 − 21a 4 b 3 + 9a 2b 2 (3a + 4ab 2 − 7b)⋅ ( 2b − a ) = Il prodotto di due polinomi si ottiene moltiplicando 3a⋅ ( 2b − a) + 4ab 2 ⋅ (2b − a ) + (−7b)⋅ (2b − a ) = ciascun termine del primo polinomio per €tutti i 3a⋅ 2b + 3a⋅ ( −a) + 4ab 2 ⋅ 2b + 4ab 2 ⋅ ( −a) + (−7b)⋅ 2b + ( −7b)⋅ ( −a) = termini del secondo ed eseguendo la somma 6ab − 3a 2 + 8ab 3 − 4a 2b 2 −14b 2 + 7ab = algebrica dei prodotti parziali ottenuti. 2 3 2 2 2 13ab − 3a + 8ab − 4a b −14b Divisione Il quoziente di un polinomio e di un monomio non nullo si ottiene dividendo ciascun termine del polinomio per il monomio ed eseguendo poi la somma algebrica dei quozienti parziali ottenuti. Prodotti notevoli (−18a +15ab − 6a) : (−3a) = (−18a ) : (−3a) + (+15ab ) : (−3a) + (−6a) : (−3a) = 3 € 2 3 2 +6a 2 − 5b 2 + 2 € il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è uguale alla differenza fra il quadrato del primo monomio e il quadrato del secondo monomio. (2x + 3y )⋅ (2x − 3y ) = = 4 x 2 − 9y 2 (a + b) (a - b) = a2- b2 € il quadrato di un binomio si calcola addizionando algebricamente il quadrato del primo termine, il doppio prodotto del primo per il secondo termine e il quadrato del secondo termine. 2 2 (a + b) = a + 2ab + b (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 2 il cubo di un binomio si calcola addizionando € algebricamente il cubo del primo termine, il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo termine, il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo termine e il cubo del secondo termine. 3 3 2 2 3 € € = 4 x 2 +12xy + 9y 2 (2x − 3y ) = = 4 x 2 −12xy + 9y 2 € (a + b) = a + 3a b + 3ab + b (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 (2x + 3y ) = (2x + y ) 3 = 3 = 8x +12x 2 y + 6xy 2 + y 3 (2x − y ) 3 = = 8x 3 −12x 2 y + 6xy 2 − y 3 ALGEBRA 8
