Dimostrazioni Analisi 1

Inversa di una funzione
LEMMA
dire
g.
sia
:
Il
TEO
:
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:
-0
sia
:
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B
ye
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:
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,
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f
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→
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B
→
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,
A
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Sia
B
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g
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,
×
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i
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A
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,
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×
,
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:
f- Ty )
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T
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×
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siccome
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f
siccome
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E
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Hye
e
IXEA
A
A
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,
,
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:
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:
×
f- ( flxz)
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×
di
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'
'
Hye
A
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,
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,
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,
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,
×
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x
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.
y
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g
è
un
INVERSA
di
f
1
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=
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,
è INVERTIBILE
1
Massimo di un insieme
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Dire
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:
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A
e
poiché
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±
ha
,
asta
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,
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ha
,
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e
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e
,
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,
La
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:
i
dire
:
7 il
se
ii
A
,
X
E
A
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supponiamo
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i
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,
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tanta
e
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,
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A
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⇐
#
0
te A
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,
-
sia
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e
Il
ii
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=
Il
⇐
I. Ha EA
a ⇐
sana
=
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il
,
=
te A
te tanta
marea
t.mn fa
te A È t.maxA.de tanta
,
Tantra
de
⇐o
te li
te A
,
dettata
Insieme completo
Teo
Dire
:
sia ( X E)
COMPLETO
,
:
A
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µ
=
a
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tra
,
EA
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,
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e
µ
µ
X
e
Ì
Bn
,
le
0
Tb
µ
Fa
tra
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,
,
=
tt A EX
,
tra
TB # ¢
max
pietà
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µ
=D
ha
=
e
B
=
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,
Be
,
B
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max
A
INFERIORMENTE
LIMITATO
7
µ
=
nrf A
X
SUPERIORMENTE LIMITATO
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I
µ
=
serpi
B
=
nun
Fg
B
A
atta
µ
e
e
A
=
Be
Fa
fa
M
=
enf
A
2
Insieme dei numeri naturali
TEO
dire
N
:
:
il
è
più piccolo
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1 EN
Sia
se
,
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N
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I
I
E
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n
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vera
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vera
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M
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vera
ME 7
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M
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-
N
Insieme archimedeo
Teo
:
DIM
:
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( sia
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y
y
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:
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¥
ne
è SUPERIORMENTE
LIMITATO
Assurdo
!
Topologia
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:
A
è
Suppongo
:
x.
⇐
0=0
APERTO
A
NON
EÀ
APERTO
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,
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'
'
(
,
Suppongo
À
tt V
Int (A)
Àè
E A
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E
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Mio
A
,
,
V
NON
x.
E A
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xo
FÀ )
ÀFÀ
n
7
'
À#¢
A
EA
,
INTERNO
PUNTO
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'
Xo
è chiuso
NON
txo EÀ
,
NON
Xo
'
NON
,
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A
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,
xo
¢
Int (A)
APERTO
3
Limiti di successioni
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DIM
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sia
:
Suppongo Ila
:
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>
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,
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-
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,
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le
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>
-
:
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:
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letti
e
M → to
finse N
o
SUCCESSIONE
una
>
N
.net/N
sta
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,
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>
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fila
Sottosuccessioni
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:
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:
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>
>
ù
Teorema di permanenza del segno
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:
{
sia
an
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E
R
una
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:
him
am =L
se
:
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l>
DIM
:
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,
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>
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,
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E
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,
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-
-
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E
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E
>
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,
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>
o
µ
4
Teorema dei 2 Carabinieri
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Siamo
:
Il
,
pt
c.
him
:
am
him
=
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am
bene
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:
bin
visto
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.
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-
:
1am ll
:
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1cm
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bn
lte cane
-
l'
-
>
>
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E
fn
ce
-
ttn
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>
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Il
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Il
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E
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E
-
Algebra dei limiti
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,
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:
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te
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,
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-
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am
-
tu
E
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>
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:
.
.mu/n-s.n-a).ttEaso7neN:/lan+bnt-ll+m)lcEsttn.n.neN
Punti di accumulazione e limiti
TEO
:
Sia AER
,
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x.
x.
:
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7.
«
in
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→
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:
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,
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N
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I
{
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fan }
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Xo
<
e
Xo
Al Ix }
.
+
In
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xo
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I
fan }
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e
him
:
am
=
ER
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,
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,
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e,
-
+
+
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x.
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e
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,
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i
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{ an }
è
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> 0
Sia
,
l
:
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Sia
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E
Successioni limitate
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DIM
:
:
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him
,
eo
eo
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,
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e
III
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-
o
,
o
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.
|
t
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-
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o
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.
M
t
0
0
O
no + a
fan }
Ibm IEMFNEN
:
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him
=
:
nato
7- MER
i
SUCCESSIONI
am
.
bene
o
nota
6
Successioni monotone
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:
DIM
:
Una
Caso
le
AMMETTE
MONOTONA
,
,
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{ an }
SUCCESSIONE
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M
,
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Reo 7
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:
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M
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an
.
.
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E
time N
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l
-
E
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,
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si
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7
Teorema di Bolzano Weierstrass
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:
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,
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,
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SUCCESSIONE
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2
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[
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-
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ma
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min
{
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(
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,
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NI
ne
ne
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I
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2
ci
elementi
infiniti
sono
di
fan }
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ca
(
elementi
infiniti
sono
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intervalli
a
supponiamo
ma
e
co
ci
.
,
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,
n >
ks
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\
-
I
-
km
km
-
.
e
N
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arme
,
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m
,
.
}
fan }
Mm
bin
:
Mnttne
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n
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mm
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"
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N
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N
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{
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{ Nn }
OEMN
,
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,
{ mm }
-
{
min
-
no
?
carabinieri
le B
nato
8
Teorema di Heine Borel
TEO
DIM
:
Sia AER
A
:
A
:
compatto
Àoeo 7ham }
A- è
compatto
=p
A
=p
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P
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A
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A
è
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x. e
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EÀ
x.
o»
è
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è
A
E
,
EA
:
III.
aneto
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7
x. E
A
=D
A
:
=
EÀ
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À
xs
=
A
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è
E
A
chiuso
LIMITATO
A
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LIMITATO
NON
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SUPERIORMENTE
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¥ {
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{ }
E
an
bin
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+
an
+
-
o
A
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è
compatto
nato
A
Sia { an }
per
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CHIUSO
E
A
e
-
x.
e
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A
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è COMPATTO
{ an }
A è LIMITATO
Bolzano Winston
I farm )
A
LIMITATO
e-
fan }
è
:
LIMITATA
III.
anni xo
EÀ
A
:
III. amare A
Aè
compatto
9
Numero di Nepero
M -11
M
an
1+1
=
bn
,
1+1
=
n
1
bn
+
I
n
n -11
n
(
an
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=
n
1+1
bn antine N
>
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n
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an
n -11
mah
-12
n
anni
n
n
m
An
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n
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n
.
.
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n
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n
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n
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1
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I
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n -11
n
z
1
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M
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MI
'
vita
( n -11)
2Mt 1
di
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n'
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2h42am
n' +
-12
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3nF -13M
"
-12
>
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MI 2sixn-n-2n-sns-3~2-3.nl
but
↳
=
dem
.
alla
analoga
( 1+15=4
71
-1
MX
,
X 72
-
1
precedente
bn )
siccome
( str )
1=0 an 9
,
b. e- il termine
più
grande
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a
,
=
( 1+1/1=2
2
fans
4
,
2 E
Ibm
E 4
zeancbsdttnc.HN
III. LI
1-if-a-ofifaoan-FI.bn-eeksiccomeanebn.no limitate
"
-
II.
•
"
1
.
l'
v
il
e
¢ ¢
,
11
esce 4
"
"
e
si
chiama
NUMERO
di
NEPERO
10
Metodo babilonese per il calcolo delle radici quadrate
da
^
=
C
an
&
E
,
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partendo
an
2
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ttn
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-
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N
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l
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l
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l'
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an
→
ti
nota
11
Criterio del rapporto
Teo
D' m
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l
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an
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le R
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Criterio
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Le R
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,
L
Ass
> o
,
dovrebbe
essere
>
e
Le
+
a
12
Teorema di Cesàro
TEO
:
{ an } { bn }
siamo
successioni
,
him
:
M
]
cum
ante
bn
nato
DIM
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:
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-
-
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l
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III.
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c
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-
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7
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-
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s
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e
E
III.
[
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13
Successioni di Cauchy
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:
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:
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è
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DI
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t
E
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:
:
max
.
OGNI
71
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:
ma
te
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SUCCESSIONE
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CAUCHY
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:
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CAUCHY
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:
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:
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-
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ll
-
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-
-
(
CONVERGENTE
LIMITATA
ll
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:
& è
IN
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1am
⑦
CAUCHY
DI
SUCCESSIONE
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<
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E
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14
Limiti di successioni e di funzioni
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:
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:
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,
an
ne
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:
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e
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III.
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-
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15
Funzioni monotone
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se
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-
,
III.
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continua
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in
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16
Teorema di Wiestrass
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:
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e
,
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E
A
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,
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Teorema di Bolzano (degli zeri)
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8
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e
E
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o
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,
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Funzioni uniformemente continue
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:
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-
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7-
UNIFORMEMENTE
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,
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Xo
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-
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'
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)
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xo )
+
(
x
-
xo )
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flxo)
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:
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-
DIM
:
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,
è
g
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¢
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e
in
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Xo
,
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l
xo
fino
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è
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E
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,
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II.
s
(
A
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'
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,
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1
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-
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Xo
-
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A
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se
DIM
×
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-
1
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,
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,
b
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:
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×,
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-
'
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( a. b)
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-
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hiat.li/bI--o7xoela,b )
:
L'
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o
Per Rolle
l' hai
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-
-
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-
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=
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su
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,
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:
.
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Xs
A
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Xz
,
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La
Per
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Sia
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'
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o
=
e
,
f
A
DERIVABILE
f
è
A
lui
=
o
ttxs
,
×
e
,
A
fè
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£
Teorema della media integrale
TEO
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s
a
DIM
:
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.
.
a
se
f
1
b
a
,
I
i.
a.
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µ
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x.
uff
LIMITATA
Rea
e
,
f
e
io ]
[ a. b)
flxl
E
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al
,
,
vale
:
:[ 1
"' '
R
.
f
sia
,
⇐
:
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E
".
{ fin
,
uso
da
proprietà
=
di monotonia
È:
.
flxo
dia
degli integrali
.
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Igf
-
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[a. b ]
a
f
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t
e
di
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e
,
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è compatto
Winston
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xs , x.
:
la
)
per
t
.
dei
( b- al
,
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¥ fila
.
E) fkldx
lb al
valori
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I
x.
e
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,
b)
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=
integrale
è compresa
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tra
a
valori che
funzione
assume
Teorema fondamentale del calcolo integrale
TEO
:
siamo
b ERI
,
Ige
e.
2
a
.
3.
( (
Se
f
Sia
fe
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b
<
a
,
Rca
E
,
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b]
:
[ a. b) :B)
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è
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:
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=
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,
R)
F
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e
una
f
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=
Flb )
-
Flat
( IFKD !)
DIM
i
1
X.
fa b ]
e
Ig è
⇐
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X.
,
continua
in
Der ( fa
E
b]
fino
oeo
xo
,
ohi ( État ! Ìitiat
Iglxt
Fighe
f-
.
fin
⇐o
)
È
di
VARIABILE
at
MEDIA
INTEGRALE
État
!
messi
[ Xo , Xotht
2
f
CONTINUA
h
=
in
4'
II.
X
×
-
→
Xo
f.
di
X
e
=
.
Xoxh
.
:*
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?
""
=
0=0 X
=
,
,
b]
,
-
e
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O
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( (Ea
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R)
b]
fini
xoth
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Xo
CONTINUITÀ
[a
E
Xo
fe
e
Lasci
O
dei 2 CARABINIERI
ttxoe [ a. b)
xo
ahia !
DEF
0=0
Xo
{ hsot
è CONTINUA in
è
-
:[!
e
per
Ig
X
Igkdt-oo-of.iq/!+flHdt.afYlttdt
! fittato
figo
" ×.
!
!
TEOREMA
he
sia
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-
"
o
.
CAMBIO
( Ign
.
⇐
:
ieri
VE
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78
so
:
flxd
-
e
c
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Idt
e
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f
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o
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,
mantiene la
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-
.
!
a
i
monotonia
ein
i
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.
.
.
.
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COST
h
.
flat
3
.
È
Ignote )
-
E
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e
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F
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,
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,
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F
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-
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c
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f
di
è
flxd
PRIMITIVA
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,
.
=
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un
Igxc
=
"
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=
Tylbi Igea)
=
-
-
( Flbl
=
c
-
) l Fiat
-
-
c)
=
Flb ) Fta)
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:
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,
ben
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,
.
Sia fe ( ( [
a.
b]
,
B)
e
g
e
c' ( Ea
a) bflxtglxldx-fflxlglxdba-afbflxl.gl/xIdx
,
b) ; R
dove F
è
)
allora
una
:
PRIMITIVA
"
Dim
:
sia
uso
F-
g
lè
derivabile
proprietà
)
additiva
( FIN glxl )
=
.
degli
integrali
:
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-
-
{ ( Ftx GIÀ
"
da
[ FingixD !
afbfkidx
"
=
fflxigixi ) ! ! Flxlgkldx
=
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+
di
f
Integrale per sostituzione
teofiiano
a
La
:
F
ER
d
e,
albflxl
vale
DIM
b,
,
ok
=p
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,
ce
,
Sia
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,
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.
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b)
,
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"
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una
(
f
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Fin Fia )
.
"
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Caio
I
finiti qui
.
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GIH
Flyltt)
.
G' IH flutti
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=
µ
.
.
% Hhyilhdt
!
( Haiti
=
!!!
Eheheh) Flalàiai) Flbl
=
=
-
-
Fai
Funzioni assolutamente integrabili in senso generalizzato
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:
:
sia
a
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,
Definiamo
'
f f,
:
la b)
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=
-
ftlxi f- Ix )
,
flx ) è
Ass
.
70
INT
.
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,
ISG
,
→
a
,
)
b) ; B
ft
R
{
,
se
flxt
o
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se
se
ASSOLUTAMENTE
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,
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ISG
f-
su
{
-
fk )
O
se
se
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,
INTEGRABILE
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flxl
70
txe fa b)
,
su
[ a b)
,
a) Ìflxlldx
è
CONVERGENTE oeo
O
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/bfiE!dxc---oafbfYxldxi-o
⇐
io
{ bflxldx e)
fè
[ a. b)
"
ftkl-ftxldx.ae/bfTxidx-a/bfixldec-io
E)
"
lflx ) )
e
+
a
0=0
ISG
sia
f.cl/ca.bs;R)
TEO :
sia
f
1
2
A
ae
g
BERT
,
AMMETTE
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,
e
f-
F
PRIMITIVA
una
MONOTONA
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,
INFINITESIMA
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.ge
①
( Ca
,
b) ;
A)
se
:
LIMITATA
×
→
b-
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"
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I'flxlae ( Flxlglxl ) ! {
è
DIM
:
CONVERGENTE
}
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:
"
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e
M
,
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e
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,
b]
,
-
g' ixidx
supp
g
.
b
:
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fig I
=
I
-
Hai
→
-
g
'
exit
e
[ a. b)
ixidx
gia '
}
=
-
Fiat gia)
'
FINI
=
lflx )
ttx
o
e.) Ìlxlghxidx a)
e
lxteo
aima
.
o
'
a-
-
ÈI
g
,
=
de
20
I FINI f- ghette M
.
-
I gin )
-
,
ttxe [ a. b)
[ M' t.ghxddx-M.biz/it-g'ixidx--MfIz/fgkxD : }
ftp.f-gltt-igiaifxmgialER-o/Flxllg4xHeisGo-oFlxll-g'lxD
è
=D
Il
>o
a) bflxlgl
dx
è
CONVERGENTE
Ass
.
Iso
-
M
-
Flxl I ghxi) è
.
.
-
iso
sala
,
b]
Teorema del criterio integrale
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:
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,
DIM
X
I
:
to
=D
i. o
Il
¥
In
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,
NON
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eo
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70
zo
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CONVERGE
Rifuggo flx )
)
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=
NON
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In
siano
,
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È
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,
Ils
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n
-
f
flx )
E
e
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In
Lukas )
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La ER
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la
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±
-
a
1
.
=
(
e
Amen
,
la
RT
c-
1
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)
ALLORA
Esito]
In :[
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Definiamo akeflkl.tt KEN
di
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e
c-
x
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I geni
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sum
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×
C-
sia
,
COMPORTAMENTO
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MONOTONA
xldx
)
:
III.
Svela
III.
In
=
la
:
Teorema di Cauchy
TEO
:
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Dire
sia
:
A
E
In
SUCCESSIONE
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[
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an
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TE
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,
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e
'
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E
>
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,
E
{ In } è
0¥
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a
per
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o.tn
si
,
,
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:
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:
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HE
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SUCCESSIONE
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⇐ ,
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CONVERGE
"
N
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E
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E
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N
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E
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Teorema del criterio della radice
TEO
:
Sia { an} ERI
{
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:
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I
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B
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:
.
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,
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1)
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TEO
DIM
:
Sia { an} ERI
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:
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,
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MONOTONA
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COMPORTAMENTO
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:
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DI
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.
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se
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la
La ER
La
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o
o
-
Serie assolutamente convergenti
+00
+ a
TEO
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,
SUCCESSIONE
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=D
ASSOLUTAMENTE
AK
CONVERGE
ASSOLUTAMENTE
allora
Uk
µ ,
o
E I
9kt
=D
CONVERGE
KEI
1
HE time
N://FIau%fcE.ttn.m-s.sn
,
n.nc-N.mn
VALE
n
IEmar.lt?lanl
DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE
HE
>o
7A EN
:/
?É aule
E
,
ttn.m-s-n.n.me
,
non
=D
an
CONVERGE
Teorema di Abel-Dirichlet
TEO
:
Siamo { an } { bn } ERI
^
2
Bn
LIMITATA
am
MONOTONA
!!
allora
DIM
:
,
,
La
Sm
↳ fa
Bn
è
III.
fin
Ma +
ÌÉ
=
! bn.se
an.br
Bn Bn stbn
vale
.
-
-
.li?a.b??.-ianbnBn-Bn-ifBnan-!IBnlau-au+sI
IMEN
limitata
anti
ama o
:
CONVERGE
.
=
Bn
INFINITESIMA
e
an.br
sia
successione ,
IBNIEM
:
Amen
Amen
Amen
anzo
È mimiinima
Bn
an
.
0
=
a
ÌÉ
Br.la
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.
Brian
ÌÉM (
-
)
aus
-
an
.is/,oe/Br.lan-an..dl=lBnHau-axsleMtae:est=M.lan-a*sl
) MÌÉ (
au.ir/=Mlai-fi;.an+s)=MaseR--O?I/Br
an
-
aus
an
=
-
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.
.
an
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an
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au s
-
an
au s
-
))
)
au s
CONVERGE
CONVERGE
)
CONVERGE
CONVERGE
SUCCESSIONE
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MONOTONA
e
INFINITESIMA
'
{]
°
=
.
Leibeniz
sia bene
Bn
Ass
( → pk
=
se
se
né
né
DAR ,
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allora
È?
"
-
1
.
AK
CONVERGE
Teorema formula di De Moivre
Teo
DIM
:
:
sia
P
.
1
.
2
=
cos
Pln )
Pls )
Plnl
2ms
:
( 0)
2
vera
=
"
2
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2
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cos
2
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8)
+
,
i
le
sen
calcetti (sine )
Plnts )
eo
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sento)
ti
=
! I casino
(
ca
R
e
sia
MEN
Zm
vale
=
cos
( notti
-
sin
( no )
( mcl)
V
VERA
( molti sin Indicato)
) colpiti sin
+
ism
19
)
=
Indicante i casino) sin 101
-
! eodlnxsihxisinln.is/OI=oPlnlverattneN
sin
Indi
nn
101
}
=
calmata)
+
isin
( nota)
=