1 PROBABILITÁ E.1 Una sorgente binaria senza memoria emette simboli equiprobabili. Per la trasmissione viene utilizzato uno dei due canali binari con le seguenti probabilità di transizione: canale 1: canale 2: ; Se per la trasmissione si sceglie il primo canale con probabilità 0.3 ed il secondo con probabilità 0.7, determinare la probabilità di errore e le probabilità dei simboli di uscita. SOLUZIONE: La probabilitá di errore si puó calcolare attraverso la LEGGE DELLA PROBABILIT Á TOTALE: !"$#% '&( !'&*) ora, calcolando separatamente: + -,/. ,01(.23 -,0 (.45#%-,(. ,01/.23 -,01/.4 '&(+ -,/. ,01(.23'&( -,0 (.45#%-,(. ,01/.23'&( -,01/.4 6 e quindi: " !"7#% '& !'& 98 6:#% 6;8 <9 6=6/) Per i simboli di uscita, dobbiamo calcolare: -,/. "-,/. ,01(.23 -,01(.47#%-,/. ,01/.23 -,01/.4>? @ -,/. '&-,/. ,01(.23'&( -,01(.47#%-,/. ,01/.23'&( -,01/.4>? A e quindi: -,/.4>-,/. " !"7#%-,/. '&( !'&B @2<) mentre -,(.4DCE-,/.4 6/ E.2 Relativamente all’esperimento del lancio ripetuto di un dado non truccato, si considerino i seguenti eventi: - FHG I G G “il risultato del primo lancio è 4”; “il risultato del secondo lancio è 3”; “la somma dei risultati dei primi due lanci è 7”. Si verifichi se i tre eventi sono indipendenti o sono indipendenti a coppie. SOLUZIONE: Sappiamo che per eventi indipendenti la probabilitá congiunta si fattorizza. Calcoliamo quindi le probabilitá congiunte e verifichiamo banalmente se é verificata la condizione: F I B4A ! B-,0 *6.2",(6/ .2",(@*/.2,(*@.",/43A.",(A04.4: A 46=A 4A/) F F I I -,0 * 6.4'46=A -,0 *6 .4'46=A B-,0 *6 .4'46=A F I B-,0 *6.4'46=A/) Pertanto gli eventi non sono indipendenti, ma sono indipendenti a coppie. E.3 In un deposito di materiale elettrico vi sono due scatole di lampadine: la scatola A ne contiene 1000 di cui il 10% sono difettose mentre la scatola B ne contiene 2000 di cui il 5% sono difettose. Due lampadine vengono estratte da una scatola scelta a caso. a. Calcolare la probabilità che entrambe le lampadine siano difettose. b. Nel caso che siano entrambe difettose, calcolare la probabilità che siano state estratte dalla scatola A. SOLUZIONE: Applichiamo la LEGGE DELLA PROBABILIT Á TOTALE: 0 &B 0 & F F 5#% 0 & I I calcoliamo le probabilitá condizionate: 0 0 & F &/ I + = == 8 = 8 4== 6 e quindi: 0 & =2A Per rispondere alla (b) applichiamo la LEGGE DI BAYES: F 0 & 0 0& F & F E.4 In un laboratorio ci sono 10 calcolatori di cui 4 di tipo A e 6 di tipo B. I calcolatori di tipo A sono occupati con probabilità 0.95 mentre quelli di tipo B sono occupati con probabilità 0.8. Calcolare la probabilità di trovare almeno 2 calcolatori disponibili. Se c’è un solo calcolatore disponibile, qual è la probabilità che esso sia di tipo A? SOLUZIONE: Cominciamo a calcolare la probabilitá di avere un calcolatore disponibile. Applicando la legge della probabilitá totale: F F 5#% I I 2@;8 ;#% 80 A " Per calcolare la probabilitá richiesta, ragioniamo sull’evento negato: + A "+ 08 80 80 A80 " La probabilitá dell’evento di interesse, pertanto, vale: > CE CE "B L’ultimo quesito richiede il calcolo della probabilitá condizionata: F 4 F " 4 F "08 F Il calcolo della a numeratore equivale a calcolare la probabilitá che un solo calcolatore di tipo A sia libero, mentre tutti gli altri sono impegnati. Sostituendo i valori numerici: F B 8 898 A @8D8 " 2@2 0 Ex. 5 Per un provino cinematografico vengono selezionate solo persone con capelli biondi o castani e occhi azzurri o verdi. Nel gruppo selezionato la percentuale dei biondi è del 30%, la probabilità che un biondo abbia gli occhi azzurri è 0.7 mentre la probabilità che un castano abbia gli occhi azzurri è 0.4. Scegliendo a caso una persona del gruppo calcolare: a. la probabilità che abbia gli occhi verdi; b. la probabilità che abbia i capelli castani e gli occhi verdi; c. la probabilità che abbia i capelli biondi o gli occhi azzurri. SOLUZIONE: La probabilitá che abbia gli occhi verdi, applicando la legge della probabilitá totale, vale: I I 7#% ! 6;8 6:#% A;8 <9 @ di conseguenza: F DCE Applicando la legge della probabilitá condizionata si calcola la seconda probabilitá richiesta: ! ! A;8 <9 Per rispondere al terzo quesito bisogna calcolare la probabilitá dell’unione di eventi: I F I 7# F C F I 6 #% C ; @ Ex. 6 (C) Un critico d’arte è in grado di riconoscere un quadro falso con probabilità 0.95 mentre con probabilità 0.01 dichiara falso un quadro autentico. Scegliendo a caso un quadro in una collezione di 98 quadri autentici e 2 falsi con quale probabilità egli lo dichiara falso? Avendo dichiarato un quadro falso è più probabile che sia autentico o che sia effettivamente falso? Suggerimento: Il problema è equivalente a quello di un canale binario non simmetrico. SOLUZIONE: Indicando con il quadro dichiarato falso e quello dichiarato vero, essendo V e F rispettivamente il quadro vero ed il quadro falso, si puó procedere in maniera analoga al canale binario non simmetrico, come indicato dal suggerimento: 5#% @ 80 2 #% 80 2 per rispondere alla seconda domanda, calcoliamo le probabilitá condizionate: 80 6( CE 6( A=A e quindi é piú probabile che sia effettivamente falso. Ex. 7 Si considerino due urne, la prima contenente 3 palline rosse e 2 bianche e la seconda contenente 4 palline rosse e 3 bianche. a. Scegliendo a caso una delle due urne, qual è la probabilità di estrarre una pallina rossa? b. Avendo estratto una pallina rossa è più probabile che sia stata estratta dalla prima o dalla seconda urna? c. Avendo estratto una pallina rossa è conveniente cambiare urna per poter estrarre una seconda pallina rossa? SOLUZIONE: Applicando la legge della probabilitá totale: B$#% > 'B 64@ # =<= 84 @ A/ Per rispondere al secondo quesito, valutiamo: B ? @0 & e quindi é piú probabile che sia stata estratta dalla prima urna. é la probabilitá di estrarre una Infine, il terzo quesito richiede il calcolo delle probabilitá ( pallina rossa dall’urna y avendo precedentemente estratto una pallina rossa dall’urna x): ;& ;&2 ;&2 ;& > > >B? =< BB 64@ >B 6 4A e quindi conviene cambiare urna. Ex. 8 Un utente di computer deve effettuare una copia di backup di un file di 5 Mbyte su dischetti da 1 Mbyte. Poichè con probabilità 0.1 i dischetti possono avere una capacità ridotta pari a 0.5 Mbyte, l’utente ha a disposizione 6 dischetti. Calcolare: a. la probabilità che i 6 dischetti siano sufficienti per il backup; b. la probabilità che solo 2 dischetti siano difettosi; c. la probabilità che solo i primi 2 dischetti siano difettosi. SOLUZIONE: Per rispondere alla prima domanda si consideri che 6 dischetti sono sufficienti se non piú di due risultano difettosi: "B A;80 8 & A 80 8 & quindi la probabilitá cercata vale: 7#% "$#% & & La seconda probabilitá vale Il terzo quesito richiede il calcolo della: "B & #% =2A=A Ex. 9 Un oste deve versare 2 litri di vino in bottiglie da mezzo litro. A causa di un errore nella produzione, le bottiglie possono, con probabilità 0.2, avere una capacità di 1/4 di litro. Se l’oste sceglie a caso 5 bottiglie calcolare: a. la probabilità che le 5 bottiglie siano sufficienti a contenere i 2 litri di vino; b. la probabilità che solo una bottiglia sia da 1/4; c. la probabilità che solo l’ultima bottiglia sia da 1/4. Ex. 10 Si consideri uno schema di decodifica che opera su una sequenza di simboli binari suddividendola in pacchetti di 4 bit e associando loro un 1 o uno 0 secondo una regola a maggioranza. Nel caso che nel pacchetto il numero di 1 sia uguale al numero di 0, il decodificatore decide per un 1 se l’ultimo bit del pacchetto precedentemente ricevuto è pari ad 1, o per uno 0 in caso contrario (si immagini una sequenza ricevuta di lunghezza infinita). Nell’ipotesi che nella sequenza i bit siano indipendenti e il simbolo 1 abbia probabilità 0.7, calcolare: a. la probabilità dei simboli in uscita al decodificatore; b. la probabilità che si sia ricevuto un pacchetto con due 1 e due 0, avendo osservato un 1 all’uscita del decodificatore. SVOLGIMENTO Il decodificatore decide per l’ a maggioranza, oppure, in caso di paritá, ripete l’ultimo bit del pacchetto precedente, pertanto posso scrivere (con indico il numero di nel pacchetto): -,(.4 -,?.47#%-, . , (. 980 < 80 6 #% < #% <;8 8 6 & 80 < & Per rispondere alla seconda domanda bisogna calcolare: .4 8-, .4 = -, . , (.4 -,(. ,1 -,(.4
