Duration ed immunizzazione finanziaria

Duration ed immunizzazione
finanziaria
Benedetto Matarazzo
Corso
di
Matematica Finanziaria
Duration
e
immunizzazione finanziaria
Principali
indici temporali
ed
indici di variabilità
di un flusso
di pagamenti
Duration
e liquidità
Duration,
convexity
e volatilità
Rischio
di tasso
Principi di
immunizzazione
finanziaria
classica
Indici temporali
• Sia x = [x1, x2, …, xn] un generico flusso di cassa di importi xi,
xi0 i, pagabili per contratto rispettivamente alle epoche
descritte da t = [t1 , t2, .... tn] (scadenzario), in breve xlt.
Si vuole scambiare (e valutare) al tempo t, tt1t2...tn tale
flusso xlt, considerando quindi un'operazione finanziaria su
n+1 epoche. Spesso si pone per comodità t=0 (istante di
riferimento).
Una rappresentazione semplificata della struttura temporale
di xlt può essere offerta da opportuni indici sintetici,
invarianti rispetto a variazioni proporzionali di x.
Indici temporali
(segue)
• Scadenza (maturity): tn; indica la data in cui il contratto si può considerare
definitivamente concluso
• Vita a scadenza (time to maturity): tn-t; rappresenta la durata complessiva
dell'operazione di scambio.
Questi due indici trascurano completamente l'effetto finanziario dovuto ai
pagamenti intermedi.
• Scadenza media aritmetica:
t 

n
k 1
t k

n
k 1
 t x k
;
xk
rappresenta la media aritmetica ponderata delle vite a scadenza di tutte le poste
con pesi dati dai valori relativi dei singoli importi (momento primo della
distribuzione dei tempi). Interpretazione meccanica:
distanza da t del baricentro delle masse dei flussi di cassa sull’asse dei tempi.
Per il calcolo di tale indice non viene utilizzata alcuna legge di valutazione
finanziaria (completamente trascurati gli effetti di trasformazione del valore
dovuti alle diverse scadenze ed alla situazione del mercato in t).
Indici temporali
(segue)
• Scadenza media finanziaria: t*; indica la data t* per cui il valore attuale (al
tempo t) del flusso xlt è uguale al valore attuale dell’unica posta, costituita
dalla somma aritmetica di tutte le poste del flusso, scadente in t*.
Indicando con v(t,tk) il valore al tempo t di un capitale unitario scadente al tempo tk,
e con
X 
n
x
essa è la soluzione t* dell’equazione:
n
k 1
*
k
k
k 1
Si ottiene pertanto, nel regime composto e con struttura dei tassi di interesse
piatta (tasso i):
k
X v (t , t ) 

x v ( t , t )  A ( t );
A (t, i)
X
lo g ( X )  lo g  A ( t , i ) 
(t*  t )
*
v (t, t ) 
 (1  i )

 t t
.
X
A (t , i)
lo g ( 1  i )
*
La scadenza media finanziaria rappresenta quindi l’epoca ove può essere
“localizzata” la posta “fittizia” costituita dalla somma aritmetica di tutte le poste
per aversi eguaglianza tra i valori attuali in t del flusso e di tale capitale.
Risulta:
t1  t  t *  t  t n  t ,
per l’effetto dell’attualizzazione in t*.
Indici temporali: duration
• Duration (durata media finanziaria), introdotta da Macaulay (1938) e Hicks (1939):
rappresenta la media aritmetica ponderata della vita a scadenza di tutte la poste con
pesi dati dai valori relativi dei singoli importi opportunamente attualizzati in t.
Indicando con v(t,tk) il valore al tempo t di un capitale unitario scadente al tempo tk,
si ha:
t

D t , x  

n
k 1
k
 t  x k v t , t k 
n
k 1
x k v t , t k 
• Siano V(t,xk), k = 1,2, .... n, e V(t,x) rispettivamente i valori attuali in t delle
singole poste e del flusso x|t, calcolati in base alla struttura per scadenza vigente
sul mercato al tempo t.
Posto
V t , x k 
pk 
,


V t, x
k = 1,2, .... n, si può scrivere:
t

D t , x  
n
k 1
k
 t V  t , x k 
V t , x 

 t
n
k 1
k
 tpk
Duration
(segue)
• La duration fornisce utili informazioni sulla liquidità del flusso x|t .
• D(t,x) può interpretarsi come distanza da t del baricentro della distribuzione
temporale delle masse pk (valori relativi dei flussi attualizzati).
Risulta: t1-t  D(t,x)  t*  t  tn -t.
D(t,x) = tn-t se e solo se x|t è un titolo a cedola nulla (zero coupon bond),
cioe' se l'unica posta non nulla di xlt è xn.
• La duration è una funzione positivamente omogenea di grado 0 delle poste
del flusso x|t: D(t,lx) = l0D(t, x )=D(t,x), l>0.
• Detto i(t,tk) il tasso periodale d'interesse a pronti nel regime composto (legge
esponenziale) nell’intervallo di tempo che va da t a tk, la duration può essere
così espressa:
t

D t , x  

n
k 1
k
n
k 1
 t  x k 1  i t , t k 
x k 1  i t , t k 
 tk  t 
 tk  t 
Duration
(segue)
Dati due flussi x’lt’ e x’’lt’’, la duration dell’operazione complessiva (somma)
dei due flussi considerati è la media aritmetica delle duration dei singoli flussi,
ponderata con i corrispondenti valori attuali. Quindi D(t,x’+x’’) risulta compresa
tra D(t,x’) e D(t,x’’).
Questa proprietà discende dal carattere associativo della media aritmetica:
 t k  t 
 t h  t 
'
''
 t  t x 1  it , t 
D t , x  x  

 x 1  it , t 
k
'
''
k
k
'
k
  t h  t xh 1  i t , t h 
k
 tk t 
k
k
h
  x 1  i t , t h 
''
h
 t h  t 

h
'
''
V
(
t
,
x
)
V
(
t
,
x
)
 t k  t 
 t h  t 
'
''
k tk  t xk 1  it , tk  V (t , x ' )  h th  t xh 1  it , th  V (t , x '' )


 t k  t 
 t h  t 
'
''
 xk 1  it , tk    xh 1  it , th 
k
h
'
''
V
(
t
,
x
)
V
(
t
,
x
)
'
''
 D (t , x )
 D (t , x )
.
'
''
'
''
V (t , x  x )
V (t , x  x )
Duration
(segue)
Proprietà di misturabilità
Dati due flussi x’lt’ e x’’lt’’, dei quali sia possibile variare con continuità e
proporzionalmente gli importi dei loro flussi, pertanto senza che variano le
loro rispettive duration, può costruirsi un nuovo flusso la cui duration
(dell’operazione complessiva: mistura) assuma un valore qualunque, purché
compreso tra D(t,x’) e D(t,x’’).
Questa proprietà, che discende dalla proprietà precedente, ha una grande
portata operativa: infatti è possibile costruire un flusso con una duration
arbitraria D, purché si disponga di (almeno) due flussi uno con duration
maggiore e l’altro con duration minore di D.
Duration: casi particolari
•
Se la struttura dei tassi di interesse è piatta (tassi costanti), cioè se i(t,s)=i,
t  s, si ottiene come caso particolare la duration con struttura piatta
(flat yield curve duration):
n
 t k  t 
t

D t , x  

k 1
k
 t  x k 1  i 
x 1  i 
k 1 k
n
 t k  t 
La duration con struttura piatta al livello i fornisce una soddisfacente
approssimazione del caso generale (cfr. Macaulay) qualora si possa ricavare
l’unico tasso di rendimento interno r dell’operazione finanziaria costituita dal
flusso x|t, noto il suo prezzo di mercato al tempo t, ponendo i=r.
• Se il flusso x|t è costituito da pagamenti periodici, cioè tk=t+k, k=1, 2, …, n,
e t=0, si ha:
D 0 , x  
 k 1 k xk 1  i 
n
 k 1 x k 1  i 
n
k
k
Esempio 1
t =
2
i = 0,05
tk
t 

n
k 1
t k

n
k 1
 t
D t , x  

n
k 1
k
 t x k
3
3,5
5
6,5
7
9
;
xk
flussi x
1
1,5
3
4,5
5
7
 t k  t 
v(t,tk)
30
25
50
60
90
70
Totale
 t  x k 1  i 
x 1  i 
k 1 k
n
tk-t
x*v(t,tk)
(t-tk)xv(t,tk)
30
37,5
150
270
450
490
28,57142857
28,57143
23,23571602
34,85357
43,19187993
129,5756
48,17252431
216,7764
70,51735498
352,5868
49,74769311
348,2339
1427,5
263,4366
1110,598
0,95238095
0,92942864
0,8638376
0,80287541
0,78352617
0,71068133
325
Scadenza media aritmetica
Duration
 t k  t 
(tk-t)*x
4,392308
4,215806
Duration come baricentro
100
90
80
origine
t=2
70
60
50
Flussi
40
Valore attuale flussi
30
20
10
0
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
6,5
7
7,5
8
8,5
9
Duration: casi particolari
(segue)
• Se il flusso x|t costituisce una rendita R immediata posticipata di n anni con rate
annue costanti di importo R, cioè xk = R e tk = k, per k=1, 2, …, n, si ottiene:
R (1v  2 v  ...  nv )
D 0 , R  

2
n
R ( v  v  ...  v )
2
n
 k 1 k 1  i 
n
k
k


1

i
 k 1
n
• Osservazioni:
questa espressione è indipendente da R
il suo denominatore è il valore attuale al tasso i di una rendita unitaria
posticipata immediata: a n  i
il suo numeratore, valore attuale al tasso i di una rendita unitaria crescente in
progressione aritmetica, viene anche chiamato dollar duration della rendita
unitaria r ed indicato con d n i ; risulta:
n
dn i  
k 1
d n i
1 n
k
k
k 1
kv 
kv

kv

1  v  k 1

1 n k

n 1

v

nv

 1 v 

 k 1


v 1 vn

n
  1  v  1  v  nv 




Duration: casi particolari
(segue)
Quindi:
d n i
1
nvn
1 i
n
D 0 , R  




n
a n i 1  v 1  v
i
1  i  n  1
Pertanto:
D(0,R) è funzione decrescente del tasso i e funzione crescente di n (maturity
del flusso R); essendo però
lim
n 
n
 0,
n
1  i   1
1 i
,
il suo grafico presenta un asintoto orizzontale di equazione y 
i
che può quindi interpretarsi come la duration di una rendita perpetua posticipata.
Duration: casi particolari
(segue)
• Se il flusso xlt costituisce un titolo obbligazionario a cedola fissa B (straight bond)
con scadenza al tempo n, valore nominale C e cedole annuali di importo I, cioè
x1= x2=… = xn-1 = I, xn = C+I, tk=k, k=1, 2, …, n, si ottiene la seguente duration
con struttura piatta al tasso i ed al tempo t=0:
D 0 , B  
che può anche scriversi:
I  k  1 k 1  i 
n
k
 n C 1  i 
I  k  1 1  i   C 1  i 
n
k
n
n
Id n !i  n C 1  i 
D 0 , B  
n
Ia n !i  C 1  i 
n
Il titolo a cedola fissa B è equivalente (misturabilità) ad un portafoglio composto da una
rendita immediata posticipata I con n rate annue di importo I e da un titolo a cedola nulla
(TCN) unitario di valore nominale C e maturity n. Il denominatore di questa
espressione, infatti, rappresenta il valore attuale V(0,B) di tale titolo, pari alla somma
del valore attuale della rendita di rata I (V(0,I)=I a n n i i ) e del rimborso del TCN
(Cv(0, n)=C(1+i)-n)
Duration: casi particolari
Si ha quindi:
D 0 , B  
(segue)
Id n  i V  0 , I  n C v  0 , n  C v  0 , n 
V 0 , I 
C v 0 , n 

 D 0 , I 
n
V 0 , I  V 0 , B  C v 0 , n  V 0 , B 
V 0 , B 
V 0 , B 
Pertanto la duration del titolo a cedola fissa considerato può calcolarsi come media
aritmetica ponderata della duration D(0,I) del flusso cedolare I e della duration n
del tcn (rimborso del nominale C), aventi come pesi i corrispondenti valori attuali
percentuali, calcolati al tasso i, rispetto al valore attuale V(0,B) del titolo stesso
OSSERVAZIONI:
Allo “stacco” di una cedola, la duration subisce un incremento (salto) positivo,
cosiddetto “effetto drift” o “effetto deriva”
Se I = 0, il titolo si riduce ad un TCN e quindi D(0,B) = n
Se I > 0, la duration è funzione decrescente sia del tasso di valutazione i che del
tasso cedolare I/C (che, nel caso considerato di periodicità annua, coincide col
tasso di rendimento nominale)
Al variare della maturity n, la duration conserva ancora il valore asintotico (1+i)/i
(come per le rendite a rata costante); ma è strettamente crescente se i  I/C,
mentre presenta un massimo relativo se i > I/C
La dispersione temporale di un flusso
di cassa
• Duration di secondo ordine (momento secondo di origine t):
2


t

t
x k v t , t k 

2 
t
k 1 k

D t , x  

n
 k  1 x k v t , t k 
n
n
k 1
 t pk
2
k
esprime quindi la media ponderata dei quadrati degli scostamenti temporali
da t, ossia una misura di dispersione temporale del flusso x rispetto a t. Risulta:
0  t1  t   D
2
D
2 
t , x 
 t n  t
2
2 
t , x   t n
 t
2
se e solo se x|t è un TCN.
• Dispersione temporale del flusso x|t:
D
2 
t ,
x

A differenza della duration di secondo ordine, che ha dimensione di tempo2,
questo indice ha la stessa dimensione adottata per il tempo.
La dispersione temporale di un flusso
di cassa
(segue)
Ponendo l’origine t=D(t,x), la duration di secondo ordine e la dispersione temporale
divengono rispettivamente la varianza e lo scarto quadratico medio delle scadenze
del flusso x|t, (misure della dispersione della vita a scadenza delle poste
rispetto alla loro media, ossia rispetto alla duration):
D(2)(D,x)=2(x|t) e [D(2)(D,x)]1/2=(x|t).
Per uno zero coupon bond sarà quindi 2(x|t)=0.
Ponendo, invece, l’origine t=0, si ha in particolare: D(2)(0,x)= E(x|t2),
ossia si ottiene il valor medio del quadrato delle scadenze delle poste.
Ricordando la relazione tra varianza, valor medio del quadrato e quadrato
del valor medio, si ha: D(2)(D,x)=2(x|t)=E(x|t2)-E2(x|t).
Risulta pertanto:
D(2)(0,x)=E(x|t2)=2(x|t)+E2(x|t)=2(x|t)+D2(0,x).
Indici di sensitività del prezzo
• Fissato il flusso x|t, può esprimersi il suo prezzo in funzione del tasso di
valutazione i. Al tempo t = 0:
V 0 , x  

n
k 1
x k 1  i 
 tk
Risultano:
V i   0 ,  i   1; V 0  
V i   


t
x
1

i
k
k
k 1

n
n

k 1
 (tk 1)
x k ; lim V  i   0
i 
 0
V(i)
(strettamente decrescente)
V   i  
(convessa)





t
t

1
x
1

i
k
k
k
k 1
n
 (tk  2 )
0
 0
i
Indici di sensitività del prezzo
(segue)
• Volatilità (variazione relativa o semielasticità)
V  i 
 D lo g V ( i )  
V i 
1
 
1 i

n

t x 1  i 
k 1 k k


n
x 1  i 
k 1 k
n
t x k 1  i 
k 1 k
n
 tk
 tk
k 1
 ( tk 1)
x k 1  i 
 tk

1
 
D 0 , x   M D ( x )
1 i
• E’ la derivata logaritmica di V(i), che indica il tasso istantaneo di variazione del
prezzo di x|t per unità di valore (ossia la variazione percentuale del prezzo
dV/V) rispetto ad i; tale espressione, strettamente collegata alla duration con
struttura piatta, viene chiamata modified duration (MD).
Indici di sensitività del prezzo
(segue)
• Elasticità:
d V  i  / V  i  D lo g V  i 
V i 
i

 i
 
D 0 , x 
di / i
D lo g i
V i 
1 i
essa rappresenta il limite (per Di0+) del rapporto fra la variazione relativa
del prezzo V e la variazione relativa del tasso i.
• Convessità (convexity):

t

C 0 , x  
n
k 1

2

t
k
k x k 1  i 
 k 1 x k 1  i 
n
 tk
 tk
V '' ( i )

(1  i ) 2  D ( 0 , x )  D ( 2 ) ( 0 , x )  D ( 0 , x )   2 ( x | t )  D 2 ( 0 , x )
V (i)
essa indica il “grado di curvatura” di V(i), utilizza la derivata seconda (positiva) di V(i),
cresce con la duration di x|t e, a parità di duration, cresce con la varianza
delle epoche di incasso, che misura la dispersione temporale di x|t attorno al
suo baricentro (duration).
Indici di sensitività del prezzo
(segue)
• Convessità relativa (Volatility convexity):


t  t k  1  x k 1  i 
k 1 k
n

t x k 1  i 
k 1 k
n
 (tk  2 )
 ( tk 1)
V   i 
1  i 

V  i 
Rappresenta la convessità per unità di variazione del valore.
Esempio 2
Data di valutazione t = 19/01/2020
calcolo in funzione dei tassi forward
tempi k
flussi x
i(t,k-1,k)
v(t,k)
19/01/2021
20,5
0,1 0,90885355
19/07/2022
30
0,125 0,76203574
19/01/2023
37,1
0,1133 0,72190106
19/07/2024
50
0,11 0,6173839
19/01/2025
45,2
0,105 0,58707821
Totale
182,8
t

D t , x  

n
k 1
k
n
k 1

t

C 0 , x  
k 1 k
n
(t = 0)
k-t
1,00273973
2,49863014
3,00273973
4,50136986
5,00547945
v.a. flussi
18,63149787
22,8610723
26,78252941
30,86919493
26,53593493
(k-t)*v.a.
18,68254
57,12136
80,42097
138,9537
132,8251
125,6802294 428,0036
da tabella
in anni
Duration
3,405496752
Dur. sec. ord. 13,47289985
Scad. m. arit. 3,600836306
Convexity
16,87839661
(2)
(=D(0,x) + D (0,x))
n
unità tempo: gg/365
(k-t)2
1,005487
6,243153
9,016446
20,26233
25,05482
(k-t)2*v.a.
18,733728
142,72516
241,48323
625,48183
664,85319
x*(k-t)
20,556164
74,958904
111,40164
225,06849
226,24767
1693,2771 658,23288
S+S2
(k-t)+(k-t)2
2,0082267
8,7417827
12,019186
24,763701
30,060304
(S+S2)*v.a.
37,416271
199,84653
321,90419
764,4355
797,67827
2121,2808
aa,gg
3,148
13,173
3,219
16,321
 t  x k v t , t k 
x k v t , t k 

 t k2 x k 1  i 
 k 1 x k 1  i 
 tk
 tk
V '' ( i )

(1  i ) 2  D ( 0 , x )  D ( 2 ) ( 0 , x )  D ( 0 , x )   2 ( x | t )  D 2 ( 0 , x )
V (i)
Indici di sensitività del prezzo
(segue)
Osservazioni:
Gli indici di dispersione e di sensitività ricordati possono anche esprimersi
considerando il prezzo del flusso in termini dell’intensità istantanea
d’interesse δ = log(1+i), sostituendo e-δt a (1+i)-t. Si ha allora:
Gli indici di sensitività possono calcolarsi anche in ipotesi più generali,
considerando, invece di una struttura piatta dei tassi, una struttura a pronti.
Indici di sensitività del prezzo
(segue)
Quindi, per t=0, risultano (in funzione di d):

Dd 0, x  

 dt k
t
x
e
k
k
k 1
n
n
k 1
xk e
V ' (d )
  Dd 0, x ;
V (d )
 dt k
d

 dt k
2
t
x
e
 k 1 k k

dt k
x
e
k
k 1
n
(V ' (d )  V (d ) D (d ); )
V ' (d )
 dDd 0, x ;
V (d )
n
Dd( 2 ) (0, x ) 
V ' (d )
;
V (d )

V ' ' (d )
 Cd (0, x ); (V ' ' (d )  V (d ) D ( 2 ) (d ); )
V (d )
Dd( 2 ) (0, x )
V '' (d )

.
'
V (d )
Dd 0, x 
Pertanto, in tal caso le duration del primo e del secondo ordine sono uguali
rispettivamente a -V’(δ) e V’’(δ) fratto V(δ),
la volatilità risulta uguale all’opposto della duration;
l’elasticità è data dal prodotto della duration per –δ;
la convessità coincide con la duration di secondo ordine;
la convessità relativa risulta uguale all’opposto del rapporto tra la duration
del secondo e quella del primo ordine.
Indici di sensitività del prezzo
(segue)
La duration e la convexity servono per calcolare con buona approssimazione
la sensitività del prezzo di x|t rispetto a variazioni del tasso i.
Sviluppando V(i) in serie di Taylor nell’intorno di i0, si ha:
V ' ' ( i0 ) 2
V ( n 1) ( i0 ) ( n 1)
D V  V ( i )  V ( i0 )  V ' ( i0 ) D i 
D i  ... 
Di
 Rn.
2!
( n  1 )!
Troncando tale sviluppo al termine del primo ordine e ricordando che
V’(i)=V(i)*MD, si ha: DVV’(i0)*Di= V(i0)*MD*Di; ossia la variazione assoluta
del prezzo di x|t è funzione lineare del prezzo iniziale, della modified duration
e dell’incremento del tasso di interesse.
• Pertanto, la volatilità (MD) può essere usata in pratica per valutare approssimativa-
mente la perdita percentuale di prezzo subita da un titolo per un piccolo aumento del
tasso d’interesse. Infatti, per incrementi di i non troppo grandi risulta
DV/V  MD*Di = -D(0,x)*Di/(1+i) ed approssimando ad 1 il fattore 1/(1+i), si ha:
DV
  D  0 , x D i
V
in particolare, a seguito di una variazione di i pari a Δi = 0,01, si ottiene:
DV
, ossia la duration, a meno del segno, approssima la
D 0 , x    1 0 0
V
variazione percentuale
del prezzo del flusso per una variazione dell’1% di i.
Indici di sensitività del prezzo(segue)
Se si richiede una migliore approssimazione di DV, può troncarsi lo sviluppo
al termine di secondo ordine, utilizzando anche la convexity. Ricordando che
V   i 
C (0, x )
C (0, x ) 
( 1  i ) 2 , o s s ia V ' ' ( i ) 
V (i ),
2
V i 
(1  i )
si ottiene quindi per la variazione assoluta del prezzo DV:
V ' ' (i) 2
C (0, x )
Di2
D V  V ' (i)  D i 
D i  M D V (i)  D i 
V (i) 
.
2
2!
(1  i )
2!
Infine, può calcolarsi con una buona approssimazione anche la
variazione percentuale del prezzo:
DV
C (0, x ) D i 2
 MD Di 

2
V
(1  i ) 2 !
Così si evidenziano distintamente la componente delle variazioni del
prezzo riconducibile alla duration e quella dovuta alla convexity.
Indici di durata e di sensitività
(segue)
Per t=0
in funzione di i (costante)
V x  

V  x   

V   x  

D x  
x k 1  i 
n
k 1
t x 1  i 
k 1 k k
n
 tk
 (tk 1)
t  t k  1  x k 1  i 
n
k 1 k


n
k 1
n
t k x k 1  i 
k 1
in funzione di d (costante)
x k 1  i 
 (tk  2 )

D x  

 dt k
t
x
e
k
k
k 1
n
 tk
 tk

 dt k
x
e
k
k 1
n
V ' ( x)
V ( x)
 x    i D  x  V ' ( x )   D  x  ; d V ' ( x )  d D  x 
V ( x)
V ( x)
x  1  i
n
n 2
t
2
 dt
(2)
''


t
x
1

i
t
x
e
D
( x)
V
'
'
(
x
)
V
(
x
)
 k 1 k k

k
k
(2)
k 1
D ( x )  n  dt 
 C ( x ); '  
n
t
V ( x)
D x 
 k  1 x k 1  i 
 k 1 xk e V ( x)
1
V
V x 

D x   M D (x) ; i
V x 
1 i
V
D (2) x  
k
k

t

C x  
n
k 1

2

t
k
k x k 1  i 
 k 1 x k 1  i 
n
 tk
 tk
k
k
V '' ( x )

(1  i ) 2  D ( x )  D ( 2 ) ( x )  D d ( x )  D d( 2 ) ( x )
V (x)
Data di valutazione t
Esempio 3
FLAT YELD DURATION
tempi k
01/01/2021
01/01/2022
01/01/2023
01/01/2024
01/01/2025
totale
v.a. flussi
flussi x
10
10
10
10
110
v.a.flussi
4,322415014
4,306580506
4,290582214
4,274423795
4,258109013
4,241641732
4,225025914
4,208265615
4,191364976
4,174328225
4,157159664
4,139863672
4,122444693
4,104907235
4,087255865
4,0694952
4,051629905
4,033664688
4,015604293
3,997453494
143,6741112
137,6948002
132,039573
126,6876056
121,6196051
116,8176836
112,2652436
107,9468732
103,8482518
99,95606291
96,25791524
92,74227082
89,39837882
86,21621541
83,18642845
80,30028704
77,54963512
74,92684895
72,42479811
70,03680956
in anni
4,174328225
19,30638789
4,338082192
4,258774628
aa,gg
4,064
19,112
4,123
4,094
Duration in funzione del tasso
Volatilità
(semielast.)
Convess. rel.
(tasso istant.)
-3,79484
-4,62503
Valore attuale flussi in funzione di i
4,4
160
140
4,3
120
4,2
100
4,1
D(x,t)
4
NPV(i)
duration
D(i)
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,2
0,1
(k-t)^2
1,00548696
4,01096641
9,01644586
16,0219253
25,0548245
150
100
Duration
Dur.sec ord.
Scad. media
Scad. med. fin.
tasso
k-t
1,002739726
2,002739726
3,002739726
4,002739726
5,005479452
( in gg.)
01/01/2020
tasso annuo
v(t,k)
0,90885355
0,8262305
0,75111864
0,68283513
0,62059713
80
NPV
60
40
3,9
20
3,8
0
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
tasso
tasso
FLAT YELD DURATION E CONVEXITY
Data di valutazione t
tempi k
01/01/2021
01/01/2022
01/01/2023
01/01/2024
01/01/2025
01/01/2026
01/01/2027
01/01/2028
01/01/2029
01/01/2030
flussi x
5
5
5
5
105
0
0
0
0
0
Duration
Convexity
01/01/2020
flussi y
63,63
0
0
0
0
0
0
0
0
64,17
x
4,550894221
26,44149712
tasso annuo
k-t
E=(k-t)+(k-t)2
1,00273973 2,00822668
2,00273973 6,01370614
3,00273973 12,0191856
4,00273973
20,024665
5,00547945
30,060304
6,00547945 42,0712629
7,00547945 56,0822218
8,00547945 72,0931807
9,00821918 90,1562319
10,0082192
110,17267
y
4,55004077
44,6147137
0,05
v(t,k)
0,952253655
0,906908242
0,863722136
0,82259251
0,783316724
0,746015928
0,71049136
0,676658438
0,64435047
0,613667114
Valore attuale
VA(x,t)
VA(y,t) (k-t)VA(x,t) (k-t)VA(y,t)
4,761268
60,5919 4,7743128 60,757905
4,534541
0 9,0815058
0
4,318611
0 12,967664
0
4,112963
0 16,463119
0
82,24826
0 411,69196
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 39,37902
0 394,11385
99,97564 99,97092
454,97856
E*VA(x,t) E*VA(y,t)
9,561706 121,68227
27,269398
0
51,906183
0
82,360697
0
2472,4076
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 4338,4916
454,87176 2643,5056 4460,1739
Convexity in funzione del tasso
Esempio 4
60
50
40
Convexity
Flusso x
V(0,05) = 99,975; Di = 0,01
MD*V(0,05)*0,01 = -4,333;
(C/1,052)*V(0,05)*Di2/2=0,1198
DV stimato = -4,2131
DV esatto = -4,2151
Conv(x)
30
Conv(y)
20
10
0
Tasso
Esempio 4 (cont.)
FLAT YELD DURATION E CONVEXITY
Data di valutazione t
tempi k
01/01/2021
01/01/2022
01/01/2023
01/01/2024
01/01/2025
01/01/2026
01/01/2027
01/01/2028
01/01/2029
01/01/2030
01/01/2020
flussi x
tasso annuo 0,05
flussi y
5
5
5
5
105
0
0
0
0
0
63,63
0
0
0
0
0
0
0
0
64,17
x
4,550894221
26,44149712
Duration
Convexity
k-t
E=(k-t)+(k-t)2
1,00273973
2,00822668
2,00273973
6,01370614
3,00273973
12,0191856
4,00273973
20,024665
5,00547945
30,060304
6,00547945
42,0712629
7,00547945
56,0822218
8,00547945
72,0931807
9,00821918
90,1562319
10,0082192
110,17267
y
4,55004077
44,6147137
v(t,k)
0,952253655
0,906908242
0,863722136
0,82259251
0,783316724
0,746015928
0,71049136
0,676658438
0,64435047
0,613667114
Prezzo
VA(x,t)
4,761268
4,534541
4,318611
4,112963
82,24826
0
0
0
0
0
VA(y,t)
(k-t)VA(x,t)
(k-t)VA(y,t)
60,5919
4,7743128
60,757905
0
9,0815058
0
0
12,967664
0
0
16,463119
0
0
411,69196
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
39,37902
0
394,11385
99,97564
99,97092
454,97856
454,87176
E*VA(x,t)
9,561706
27,269398
51,906183
82,360697
2472,4076
0
0
0
0
0
E*VA(y,t)
121,68227
0
0
0
0
0
0
0
0
4338,4916
2643,5056
4460,1739
PREZZO IN FUNZIONE DEL TASSO
MD (I ord.)
C (II ord.)
tasso
0,05
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
0,11
0,12
Modified durat.
C/(1+i)2
Prezzo
x
-4,334184973
23,98321735
99,97563873
Prezzo
effettivo
fusso x
fusso y
99,97563873
119,4077463
114,1290269
109,1432406
104,4313271
99,97563873
95,75982306
91,76871685
87,98824925
84,40535377
81,00788811
77,78456104
74,72486565
99,97091877
121,0857957
115,0121516
109,5086038
104,5130986
99,97091877
95,83375578
92,05890627
88,60857579
85,44927437
82,55129131
79,88823798
77,43664951
y
-4,333
40,47
99,97
Prezzo con
modified duration e convexity
Flusso x
Di
-0,04
-0,03
-0,02
-0,01
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
MD*Di*P C(II)*Di^2/2*P
17,3325164 1,918189978
12,9993873 1,078981863
8,66625822 0,479547495
4,33312911 0,119886874
0
0
-4,3331291 0,119886874
-8,6662582 0,479547495
-12,999387 1,078981863
-17,332516 1,918189978
-21,665646 2,997171841
-25,998775 4,315927451
-30,331904 5,874456809
Flusso y
Prezzo stimato
Errori di stima
MD
117,3082
112,975
108,6419
104,3088
99,97564
95,64251
91,30938
86,97625
82,64312
78,30999
73,97686
69,64373
da MD
da MD+C
-2,0995911 -0,181401
-1,1540009 -0,075019
-0,5013437 -0,021796
-0,1225593 -0,002672
0
0
-0,1173134 0,0025734
-0,4593363 0,0202111
-1,0119979
0,066984
-1,7622315 0,1559585
-2,6978949 0,2992769
-3,807697 0,5082305
-5,0811307 0,7933261
MD+C
119,2263
114,054
109,1214
104,4287
99,97564
95,7624
91,78893
88,05523
84,56131
81,30717
78,29279
75,51819
Prezzo stimato Errori di stima
MD*Di*P C(II)*Di^2/2*P
17,328448
3,2364074
12,996336
1,8204792
8,6642239
0,8091018
4,332112
0,2022755
0
0
-4,332112
0,2022755
-8,664224
0,8091018
-12,99634
1,8204792
-17,32845
3,2364074
-21,66056
5,0568865
-25,99267
7,2819166
-30,32478
9,9114976
MD
117,2994
112,9673
108,6351
104,303
99,97092
95,63881
91,30669
86,97458
82,64247
78,31036
73,97825
69,64614
MD+C
120,5358
114,7877
109,4442
104,5053
99,97092
95,84108
92,1158
88,79506
85,87888
83,36725
81,26016
79,55763
da MD
da MD+C
-3,78643 -0,55002
-2,0449 -0,22442
-0,87346 -0,06436
-0,21007 -0,00779
0
0
-0,19495 0,007326
-0,75221
0,05689
-1,63399 0,186486
-2,8068 0,429604
-4,24093 0,815954
-5,90999 1,371926
-7,79051 2,120983
Esempio 4 (cont.)
Prezzo effettivo e stimato di y
Prezzo effettivo e stimato di x
130
130
120
120
110
110
valori
Stima con
MD
90
Prezzo
effettivo
100
Valori
Prezzo
effettivo
100
Stima con
MD
90
Stima con
MD+C
Stima con
MD+C
tasso di valutazione
0,12
0,11
0,1
0,09
0,08
0,07
0,06
60
0,05
60
0,04
70
0,03
70
0,02
80
0,01
80
tasso di valutazione
Immunizzazione finanziaria
Il rischio di tasso
• Sia V(0,x) il valore al tempo t=0 del flusso x|t; detto r il tasso di rendimento
interno (che esiste ed è unico) di questa operazione, risulta:
V 0 , x  

n
k 1
x k 1  r 
 tk
• Se il mercato ha una struttura per scadenza piatta dei tassi d’interesse e se
il tasso d’interesse (costante) di mercato è proprio r (per tutte le operazioni),
il valore di x|t ad un tempo  qualunque, 0tn, è esattamente il montante
al tasso r in  di V(0, x):
V  , x  

n
k 1
x k 1  r 
  tk
 V  0 , x  1  r 

Immunizzazione finanziaria
(segue)
Il rischio di tasso
• La teoria dell’immunizzazione finanziaria studia cosa accade quando non sono
verificate le ipotesi di comodo sopra introdotte, al fine di elaborare possibili
strategie di protezione dal rischio di tasso, dovuto a variazioni finanziarie
“esterne”, di mercato, che possono influenzare variamente il risultato finale di
un’operazione finanziaria.
Il rischio di tasso può scindersi in due componenti:
• Rischio di reimpiego: se il tasso d’interesse di mercato i(tk,), tk<, fosse
minore di r, i reinvestimenti delle poste xk sarebbero effettuati a condizioni
di tasso più sfavorevoli rispetto a quelle iniziali.
• Rischio di prezzo: se il tasso d’interesse di mercato i(, tk), tk,> , fosse
maggiore di r, il prezzo di cessione delle poste xk sarebbe minore di quello
previsto inizialmente.
n
  tk
  tk
  tk
V  , x  
t0



x
1

r
k
k 1

n

 x 1  r 
tk 
k
(rischio di reimpiego)
  x k 1  r 
tk 
(rischio di prezzo)
.
Immunizzazione finanziaria
Il rischio di tasso
(segue)
Perché i due rischi (di reimpiego e di prezzo) si presentino entrambi effettivamente,
è necessario che la struttura per scadenza dei tassi d’interesse si muova in direzioni
opposte rispetto ad r, facendo fulcro in  (decresca prima di  e cresca dopo).
I due rischi, quindi, in generale non si cumulano, ma (almeno parzialmente) si
compensano.
Fissato un certo orizzonte temporale T, 0<T<tn, la protezione dal rischio di tasso
si propone di realizzare una valida compensazione delle sue due componenti, ossia
di determinare una durata critica in grado di neutralizzare gli effetti (opposti)
del rischio connesso a variazioni future del tasso di mercato.
Immunizzazione finanziaria
Il rischio di tasso
(segue)
La scelta di un opportuno orizzonte temporale (holding period) T riveste un ruolo
strategico per realizzare la compensazione dei rischi di reimpiego (reinvestimento
degli incassi realizzati) e di prezzo (realizzo anticipato degli incassi futuri).
Un orizzonte temporale di breve periodo comporta basso rischio di reimpiego
(variazioni Di del tasso agiscono nello stesso senso sui rendimenti dei flussi
reinvestiti, ma solo per il tempo T-tk) ed alto rischio di prezzo (le variazioni Di
agiscono in senso opposto sul valore dei flussi futuri e con effetti considerevoli sul
prezzo del titolo, data la lunga vita residua tn-T).
Invece, un orizzonte temporale di lungo periodo accentua il rischio di reimpiego
e rende trascurabile il rischio di prezzo. In particolare per 0 risultano:
 V  , x 
 0,
i
(V decrescente)
  t1 ;
 V  , x 
 0,
i
(V crescente)
  tn
Immunizzazione finanziaria
Il rischio di tasso
(segue)
Se, immediatamente dopo l’epoca di valutazione 0, i tassi di interesse subissero una
variazione Di rispetto al livello iniziale i0=r uguale per tutte le scadenze tra 0 e T,
indicando rispettivamente con VDi(0,x) e VDi(T,x) il valore di tale flusso in 0 e T
dopo il cambiamento (shock additivo) del tasso, si avrebbe:
T
D i
D i
(effetto prezzo) (effetto reimpiego)
V
T
,x  V
 0 , x  1
 r  D i ;
 V D i T , x   V D i  0 , x 

(1  r  D i ) T  V D i ( 0 , x ) T (1  r  D i ) T  1 
i
i

T 1   V D i 0 , x 
 (1  r  D i ) 
(1  r  D i )  T V D i ( 0 , x )  .
i


Ricordando che V’(i)=V(i)*MD=-V(i)*D(0,x)/(1+i), si ha:
 V D i T , x 
 ( 1  r  D i ) T  1   D ( 0 , x ) V D i ( 0 , x )  T V D i ( 0 , x )   V D i ( 0 , x )( 1  r  D i ) T  1 T  D ( 0 , x ) .
i
Pertanto, il valore del flusso x|t (montante) in T e lo shock dei tassi variano nello
stesso senso se T > D(0,x), in senso opposto se T < D(0,x).
La duration come strumento di
protezione
Determinazione del tempo ottimo di smobilizzo nell’ambito
dell’immunizzazione classica o semideterministica in presenza
di uno variazione (shift) additiva aleatoria dei tassi di mercato
• Teorema di immunizzazione globale dal rischio di
tasso (Fisher, Weil):
Dato un flusso x|t, al tempo tt1 ed in presenza di una struttura
per scadenza piatta dei tassi di interesse (tassi periodali costanti),
al variare del tasso i da r (shift additivo aleatorio) risulta
V(t,x)-V(, x) = DV(,x)0  =D(t,x), ossia V(D,r+Di)>V(D,r),
Di0;
in altri termini, V(,x) presenta un minimo assoluto per =D(t,x).
La duration come strumento di
(segue)
protezione
n
T t
Infatti si ha: V  T , x  
 k  1 x k 1  i  , 0  T  t n ;
k
Derivando rispetto ad i ed uguagliando a 0 si ottiene:
ossia:
 V T , x 
n
T  t 1
  k  1  T  t k  x k 1  i  k  0
i
n
n
 tk
t
T  k  1 x k 1  i    k  1 t k x k 1  i  k
 k 1 t k x k 1  i 
n
Da cui:
T 

n
t
 k  1 x k 1  i 
n
k 1
in quanto
Essendo ancora
k
x k 1  i 
 V 0 , x 
 2V  D , x 
i 2
 tk
tk
 T  D  i  r,
se i=r e quindi
 0,
V D , x 
 0.
i
ir
si ha la tesi: (V(D,x) min
assoluto per i=r, essendo
V strettamente convessa).
La duration
protezione
come
strumento
di
(segue)
La duration è dunque l’orizzonte temporale
“privilegiato” (tempo “critico”), ossia la scadenza
intermedia (holding period) tra t1 e tn ove si ha perfetto
bilanciamento tra gli effetti di due rischi opposti, cioè il
valore V(D,x) in seguito a variazioni di tasso d’interesse
non si riduce rispetto alla disponibilità attesa
(montante).
“Garanzia” di copertura dell’unica uscita, uguale a V(t,x),
al tempo =D.
N.B: Il teorema può generalizzarsi al caso di struttura dei tassi non
piatta, ma che subisca shift additivi (movimenti paralleli della
curva dei tassi), considerando esplicitamente la loro struttura a
termine per il calcolo della duration.
Duration di portafoglio
Dati due flussi x|t e y|t (non nulli e non negativi), sia z|t il
flusso descrivente l’operazione finanziaria composta (x-y)|t,
cioè z=[x1-y1, x2-y2, …, xn-yn], interpretabile come flusso
generato da un portafoglio di attività (x) e di passività (y)
(asset-liability portfolio), ossia copertura di uscite multiple.
L’immunizzazione finanziaria classica (Macaulay [1938],
Samuelson [1945], Redington [1952]) è una metodologia che
fornisce le condizioni per cui un portafoglio z=x-y, che abbia
un valore netto nullo in t (t≤t1) non possa assumere valore
negativo in conseguenza di uno spostamento parallelo (shift
additivo), di ampiezza e segno qualsiasi, della struttura per
scadenza dei tassi d’interesse.
Duration di portafoglio
(segue)
Un caso banale di immunizzazione si ha nel caso nel caso di perfect
matching, quando i flussi x (entrate) e y (uscite) coincidono in ammontare
ed in scadenze, per cui zk=0, k=1, 2, …, n, per definizione.
Talvolta è possibile decomporre il flusso y in n portafogli composti ciascuno
da una sola uscita yk, k=1,…,n, ed applicare il teorema di immunizzazione
globale separatamente per ciascuna posta.
In generale, ipotizzando in t=0 l’esistenza di una struttura per scadenza
piatta, considerando due flussi x e y entrambi non nulli (entrate ed uscite
del flusso z) può dimostrarsi il seguente
• Teorema di immunizzazione locale dal rischio di
tasso:
Condizioni sufficienti perché il flusso z|t, z=x-y, sia localmente
immunizzato in t=0 al tasso i* (ossia per “piccole” variazioni
del tasso in un intorno di i*) sono:
 V  x , i *  D ( x , i * )  V  y , i *  D ( y , i * )  0

 V ( x , i * ) D ( 2 ) ( x , i * )  V ( y , i * ) D ( 2 ) ( y , i * )  0 .
Duration di portafoglio
(segue)
Infatti, ricordando che V’(s,i)=-vV(s,i)D(s,i) e che V”(s,i)=v2V(s,i)C(s,i)=
=v2V(s,i)[D(2)(s,i)+D(s,i)], s, e che z=x+y, si ha:
V’(z,i))=V’(x,i)+V’(y,i)=-v[V(x,i)D(x,i)+V(y,i)D(y,i)] e
V”(z,i)=v2 {V(x,i)[D(2)(x,i)+D(x,i)]+V(y,i)[D(2)(y,i)+D(y,i)]}=
=v2{[V(x,i)D(2)(x,i)+V(y,i)D(2)(y,i)]+[V(x,i)D(x,i)+V(y,i)D(y,i)]}=
=v2{[V(x,i)D(2)(x,i)+V(y,i)D(2)(y,i)] - uV’(z,i)}.
Per ogni tasso (critico) i* di massimo o di minimo relativo per V(z,i) deve essere
V’(z,i*)=0, ossia [V(x,i*)D(x,i*)+V(y,i*)D(y,i*)]=0.
Per i=i*, si ha ancora V”(z,i*)= v2[V(x,i*)D(2)(x,i*)+V(y,i*)D(2)(y,i*)]; pertanto, la stretta
convessità
locale
di
V(z,i)
equivale
alla
condizione
*
(2)
*
*
(2)
*
[V(x,i )D (x,i )+V(y,i )D (y,i )]>0.
Il flusso z=x+y presenterà, dunque, punti di minimo relativo per ogni tasso i* per cui:
 V  x , i *  D ( x , i * )  V  y , i *  D ( y , i * )  0

 V ( x , i * ) D ( 2 ) ( x , i * )  V ( y , i * ) D ( 2 ) ( y , i * )  0 .
Duration di portafoglio
(segue)
Un corollario del teorema precedente è il seguente
• Teorema di immunizzzione locale (Redington):
Affinché un portafoglio z|t, con z=x-y, sia localmente
immunizzato al tempo t=0 al tasso i*, ipotizzando in t=0
l’esistenza di una struttura per scadenza piatta o che subisca
movimenti paralleli (shift additivi), è sufficiente che il
portafoglio sia bilanciato nei capitali e nella duration in t=0 al
tasso i=i* e che le attività x abbiano convexity maggiore di
quella delle passività y, ossia:
   
   
   
V x , i *  V y , i *

*
*
*
*
*
D
x
,
i

D
y
,
i


I
(
i
)
:
V

x
,
i

D
i


V

y
,
i
 D i ,

C x , i *  C y , i *
*
*
 D i  0 , c o n (i  D i)  I (i )

Duration di portafoglio
(segue)
• Interpretazione geometrica:
le condizioni precedenti comportano che nel piano (i,V) le
curve rappresentative delle funzioni valore dei due flussi x e
y, per un certo valore i* del tasso di interesse (hanno la
stessa ordinata) e sono tangenti tra loro (essendo, per un
generico flusso s, V’(i)/V(i) = -vD(0,s)); la condizione sulla
convexity, poi, garantisce che la funzione valore di x domini
quella di y,  i  i* (essendo, in generale, V”(i)/V(i)
=v2D(2)(0,s) > 0, D(2)(0,x)>D(2)(0,y)  C(0,x)>C(0,y) 
V”(0,x)>V”(0,y)>0).
V
V(x,i)
V(y,i)
tga=V’(x, i*)=V’(y, i*)
V(x, i*)=V(y, i*)
a
i*
i
Esempio 5
Esempio (copertura di flusso passivo)
t=0
tasso 0,1
zero coupon bond
Flusso
attivo
tempi k
flussi x
0,5
q1
3
0
10
q2
Flusso
tempi k
0,5
3
10
passivo
flussi y
0
100
0
Portafoglio
tempi k
0,5
3
10
z
flussi z
q1
-100
q2
Vinc. di bilancio V(0,x)=V(0,y)
q1 =
q2 =
Vinc. di duration D(0,x)=D(0,y)
58,062098
51,282029
Duration II ord. D(2)(0,x)>D(2)(0,y)
ovvero
Convessità
C(0,x)>C(0,y)
VAN di x e di y in funzione di i
VAN di z = x - y in funzione di i
110
VAN(i)
100
90
VAN(x)
VAN(y)
70
60
50
1
4
7
10
13
tasso
16
19
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
VAN(I)
120
80
Verifica vincoli
V(0,x)
V(0,y)
75,13148 75,13148
D(0,x)
D(0,y)
3
3
D(2)(0,x)
D(2)(0,y)
26,5
9
C(0,x)
C(0,y)
29,5
12
NPV(z)
1
3
5
7
9 11 13 15 17 19 21
tasso
Esempio di immunizzazione (con due titoli)
t0 = 0
tasso = 0,04
tempi k
1
2
3
4
t1
t2
t3
t4
Esempio 6
prezzi in t0
duration
(tempi espressi in anni)
(struttura piatta)
titolo A
k-t
flussi
1
50
2
50
3
50
4
1050
A
1036,299
3,7287113
tempi
1
2
3
4
B
555,0182
1,97386
capitale
scadenza
titolo B
k-t
1
2
3
4
100000
3
flussi
200
200
200
0
Costruzione portafoglio immunizzato
1-a
al tempo t0
a
frazioni
0,5847448
0,415255 V. portaf. V.A. Cap.
quantità
50,162746
66,5132 88899,636 88899,64
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,2
Titolo A
99307,676
102180,12
101435,74
100709,2
100000
99307,676
98631,774
97971,857
97327,504
96698,311
96083,889
95483,86
94897,862
94325,546
93766,575
93220,621
92687,372
92166,522
91657,78
91160,86
90675,49
100989,9
97068,81
98039,47
99016,53
100000
100989,9
101986,2
102988,9
103997,9
105013,5
106035,4
107063,7
108098,4
109139,5
110187,1
111241
112301,4
113368,1
114441,3
115520,9
116606,9
100006,22
100057,62
100025,42
100006,31
100000
100006,22
100024,7
100055,19
100097,44
100151,22
100216,29
100292,44
100379,46
100477,14
100585,28
100703,69
100832,19
100970,61
101118,76
101276,49
101443,63
duration = scadenza
3
3
valore
Titolo B Portafoglio
al tempo
3
nuovo
tasso
al tasso
0,04
A
1165,6954
0,05
1157,625
B
portafoglio D portaf.
624,32
100000
630,5
100006,22
6,218905
Valori con singoli titoli e portafoglio
130000
120000
110000
valori
Tasso
fatt. attual.
0,961538
0,924556
0,888996
0,854804
Titolo A
Titolo B
Portafoglio
100000
90000
80000
70000
60000
nuovo tasso di valutazione
Duration di portafoglio
(segue)
Osservazioni conclusive:
1) E’ sempre possibile costruire in t un portafoglio con duration D arbitraria,
purché esistano sul mercato (almeno) due cash-flows x|t e y|t tali che D(t,x)<D
e D(t,y)>D (con TIR(x)=TIR(y)=r).
Investendo rispettivamente Cx e Cy nei due impieghi (hedging), risulta:
D t , x  y  
C x D t , x   C y D t , y 
Cx Cy
.
Più in generale, la duration modificata di un portafoglio è uguale alla media aritmetica
ponderata delle duration modificate dei titoli componenti (quali che siano i loro TIR),
con pesi eguali al loro valore relativo all’interno del portafoglio considerato.
2) Conviene costruire portafogli con duration lunga in previsione di ribasso di tassi
(per lucrare elevati capital gains) e portafogli con duration corta in previsione di
tassi crescenti (per ridurre le perdite di prezzo).
Duration di portafoglio
(segue)
Osservazioni conclusive (continua):
3) La duration di un flusso indicizzato (cioè con importi almeno in parte
dipendenti dalle condizioni di mercato) è minore della duration di un flusso
corrispondente non indicizzato.
4) Un flusso è immunizzato solamente nell’intervallo di tempo tra t e t1; la
composizione del portafoglio va quindi aggiornata (ricalibratura del portafoglio)
ad ogni istante successivo a t1 in cui si verifica un’entrata e/o una nuova
variazione di tasso (ossia al variare comunque della duration), con conseguenti
costi operativi di transazione.
5) Un impiego iterato della versione elementare della tecnica di immunizzazione
risulta efficace anche in presenza di complessi processi aleatori di variazione
dei tassi (più shift additivi o shift moltiplicativi); le tecniche più sofisticate
esistenti sono spesso di impiego laborioso.
Duration di portafoglio
(segue)
Osservazioni conclusive (continua):
6) La duration può controllare mediante immunizzazione solo variazioni dei prezzi
dei titoli conseguenti a movimenti dei tassi di mercato e non a shock di altra
natura, peraltro non gestibili finanziariamente.
7) L’immunizzazione finanziaria mediante l’impiego della tecnica della duration
costituisce un problema sempre più rilevante e di larga diffusione; il crescente
interesse è anche alimentato dalla facile disponibilità di informazioni, (purtroppo
non sempre tecnicamente corrette).
8) A parità di condizioni, un flusso con convexity maggiore è preferibile, perché
il maggior grado di curvatura di V(i), riduce le diminuzioni di prezzo in caso
di aumento del tasso ed amplifica gli aumenti di prezzo conseguenti a
diminuzioni di tasso di mercato.