Cerchio (definizioni) Cerchio E' una superficie piana limitata da una linea curva che ha tutti i suoi punti ugualmente distanti da un punto interno detto centro O. Circonferenza (C) E' la linea curva chiusa che delimita il cerchio. Raggio (r) E' il segmento che unisce il centro del cerchio con qualsiasi punto della circonferenza. Diametro (d) E' il segmento che unisce due punti sulla circonferenza e passante per il centro del cerchio. La sua lunghezza misura due volte quella del raggio. d=2r Formule per calcolare la lunghezza della circonferenza e l'area del cerchio Calcolo lunghezza della Circonferenza Archimede determinò l’esistenza di una costante matematica in ogni cerchio, data dal rapporto della circonferenza con il suo raggio. C = lunghezza della circonferenza r = lunghezza del raggio d = lunghezza del diametro πΆ πΆ = =π 2π π (pi greco, valore costante, numero irrazionale, è un numero aperiodico, ossia un numero decimale con infinite cifre dopo la virgola che non presentano nessuna ripetizione periodica;) Da questo rapporto possiamo ricavarci la lunghezza della circonferenza C=2ο°r=dο° (formula diretta) Calcolo lunghezza del raggio π= πΆ 2π (formula inversa) Calcolo lunghezza del diametro π= πΆ π (formula inversa) Calcolo area del Cerchio La superficie, o area, del cerchio, è la misura della porzione di piano delimitata dalla circonferenza. Esistono diversi modi per calcolare l'area del cerchio; inizieremo dalla formula che utilizza il raggio r e il valore pi greco. π΄ = π ⋅ π2 Se sostituiamo il raggio (r) con la formula sopra indicata π= πΆ 2π Otteniamo un’altra formula per calcolare l’area conoscendo la circonferenza πΆ 2 πΆ2 πΆ2 π΄=π⋅( ) = π⋅ 2 = 2π 4π 4π Se invece sostituiamo il raggio (r) con la formula π= π 2 Otteniamo un’altra formula per calcolare l’area conoscendo il diametro π 2 π 2 π΄=π⋅( ) = ⋅π 2 4 Arco di circonferenza Arco (l) E' una parte (AB) della circonferenza delimitata da due raggi. l L'arco AB determina un angolo al centro (α) i cui lati passano per gli estremi dell'arco, viceversa assegnato un angolo al centro viene determinato un arco; pertanto esiste una relazione di proporzionalità diretta tra arco e angolo al centro. Formule per calcolare la lunghezza di un arco l = lunghezza di un arco α = ampiezza del corrispondente angolo a centro C = lunghezza della circonferenza l : C = α : 360° l lunghezza dell'arco ( : ) sta alla lunghezza della circonferenza C come ( = ) l'ampiezza dell'angolo al centro α in gradi (:) sta a 360 (gradi della circonferenza) Ricordiamo la Proprietà fondamentale: in ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. ESEMPIO 18 : 6 = 12 : 4 I medi sono 6 e 12, gli estremi sono 18 e 4 6 x 12 = 18 x 4 72 = 72 Da cui possiamo ricavarci uno dei termini qualora non lo conoscessimo Lunghezza di un arco l=Cxα 360° Lunghezza della circonferenza C = l x 360° α Ampiezza dell'angolo α = l x 360° C Settore circolare Settore circolare E' una parte del cerchio (OABO) delimitata da due raggi. Formule per calcolare l'area del settore circolare Per trovare l'area del settore circolare si fa un ragionamento analogo a quello fatto per trovare la lunghezza di un arco. Se con As indichiamo l'area di un settore, con Ac l'area del cerchio e con α l'ampiezza del corrispondente angolo al centro ne scaturisce che As : Ac = α : 360° L'area di un settore circolare As sta all'area del cerchio Ac come la l'ampiezza dell'arco a sta alla all'ampiezza della circonferenza. Da cui possiamo ricavarci Area del Settore circolare As = Ac x α 360° Area del Cerchio Ac = As x 360° α Se confrontiamo le due proporzioni l : C = α : 360° hanno uguale il secondo rapporto α e As : Ac = α : 360° : 360° possiamo quindi giungere alla conclusione che esiste una proporzionalità anche tra i primi rapporti ne consegue quindi che As : Ac = l : C L'area di un settore circolare As sta all'area del cerchio Ac come la l'ampiezza dell'arco a sta alla all'ampiezza della circonferenza. Infine facendo le opportune sostituzioni possiamo giungere alla seguente formula As = l x r 2 cioè l'area di un settore circolare si trova moltiplicando la lunghezza dell'arco corrispondente per quella del raggio e dividendo tutto per due.
